Математический способ мышления. 1940. (Вейль Г.)

Г.Вейль

Математический способ мышлени

(выступление на конференции, посвященной 200-летию Пенсильванского университета 17.09.1940 г.)

Источник сканирования: Вейль Г. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ МЫШЛЕНИЯ (под ред. Б.В. Бирюкова и А.Н. Паршина; пер. с англ. Ю.А. Данилова). — М.: Наука, 1989. —стр. 6—24; первоисточник: «Science», 1940, V. 92, P. 437—446;H. WeilGesammelteAbhandlungen — Berlin, 1968)

Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире — в физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, и, во-вторых, ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе. В процессе мышления мы пытаемся постичь разумом истину; наш разум стремится просветить себя, исходя из своего опыта. Поэтому, подобно самой истине и опыту, мышление по своему характеру есть нечто довольно однородное и универсальное. Влекомое глубочайшим внутренним светом, оно не сводится к набору механически применяемых правил и не может быть разделено водонепроницаемыми переборками на такие отсеки, как мышление историческое, философское, математическое и другое. Мы, математики, не ку-клукс-клан с неким тайным ритуалом мышления. Правда, существуют — скорее внешне — некоторые специфические особенности и различия; так, например, процедуры установления фактов в зале суда и в физической лаборатории заметно различаются. Тем не менее, вряд ли можно ожидать от меня, что математический способ мышления я опишу более ясно, чем, скажем, можно описать демократический образ жизни.

Движение за реформу преподавания математики, совершившее несколько десятилетий назад подлинный переворот в Германии1, где во главе него стоял великий математик Феликс Клейн, выдвинуло в качестве своего лозунга «функциональное мышление». Как провозгласили реформаторы, самое важное из того, чему должен научиться средний образованный человек, пройдя обучение математике, - это умение мыслить в терминах переменных и функций. Функция описывает зависимость одной переменной у от другой переменной х или, говоря более общо, отображает одно множество — область значений переменного элемента х — на другое (или то же самое) множество. Понятие функции, или отображения, — несомненно одно из самых фундаментальных понятий, и оно встречается в математике на каждом шагу как в теории, так и в приложениях.

Федеральный закон США о подоходном налоге устанавливает налог у в зависимости от дохода х; делает он это довольно неуклюже, «склеивая» одну за другой несколько линейных функций, каждая из которых действует в пределах своего интервала изменений дохода — группы налогоплательщиков по доходу. Археолог, который через пять тысяч лет обнаружит в раскопе наши декларации о доходах вместе с руинами инженерных сооружений и математическими книгами, вероятно, датирует их двумя столетиями раньше, наверняка отнеся ко временам до Галилея и Виета. Виет способствовал введению адекватной алгебраической символики, Галилей открыл квадратичный закон свободного падения тел, гласящий, что расстояние s, проходимое в пустоте свободно падающим телом, пропорционально квадрату времени t, истекшего с начала падения:

S = ? g t2, (1)

где g — константа, имеющая одно и то же значение для любого тела в данном месте. Установив формулу (1), Галилей превратил закон природы, присущий реальному движению тел, в некоторую математическую функцию, построенную apriori, и это то, что физика стремится проделать с каждым явлением. Закон свободного падения тел «спроектирован» гораздо лучше, чем наши законы о налогах. Его «проект» создан самой Природой, которая составляет свои планы, тонко ощущая математическую простоту и гармонию. К тому же Природа, в отличие от законов о налогах на доходы и сверхприбыли, не ограничена требованием быть понятной юристам и членам торговой палаты.

С самого начала мы сталкиваемся со следующими характерными чертами любой математической процедуры: 1) наличием переменных, подобных t и s в формуле (1), допустимые значения которых принадлежат некоторой области (в случае свободного падения — области действительных чисел), вполне обозримой, поскольку своим происхождением она обязана нашему же построению; 2) представлением этих переменных с помощью знаков; 3) наличием функций или apriori построенных отображений области значений одной переменной t на область значений другой переменной s. Время есть независимая переменная «katexochen» [первое, что бросается в глаза — греч.].

При изучении функции необходимо следить за тем, чтобы независимая переменная пробегала всю область своих допустимых значений. Прежде чем подвергать проверке правильность любого предложения относительно зависимости между теми или иными величинами в природе, мы можем мысленно, еще до его сравнения с экспериментальными данными, проверить, покрывает ли оно всю область допустимых значений независимых переменных. Иногда неприемлемость предполагаемой зависимости сразу проявляется в некоторых простых предельных случаях. Лейбниц, сформулировав свой принцип непрерывности, учил нас рассматривать покой не как противоположность движения а как ею предельный случай. Исходя из непрерывности, Лейбниц сумел apriori опровергнуть предложенные Декартом законы соударения тел3. Мах дает следующую рекомендацию: «Составив определенное заключение на основании одного конкретного случая, надлежит постепенно и как можно шире модифицировать сопутствующие ему обстоятельства, стремясь, насколько это возможно, остаться при первоначальном заключении. Не существует иного способа, который с большей надежностью и меньшими умственными усилиями приводил бы к простейшему объяснению всех явлений природы»4. Большинство переменных, с которыми нам приходится иметь цело при анализе явлений природы, — непрерывные переменные, такие, как время, но хотя непрерывность интуитивно и подразумевается в слове «переменная», математическое понятие переменной отнюдь не ограничено непрерывным случаем. Наиболее важный пример дискретной переменной дает нам последовательность натуральных, или целых положительных, чисел 1, 2, 3, ... Так, число делителей любого целого числа и есть функция аргумента n.

В логике Аристотеля переход от единичного к общему совершается путем выявления у данного объекта определенных абстрактных свойств и отбрасывания остальных, так что два объекта подпадают под одно и то же понятие или принадлежат к одному и тому же роду, если оба они обладают выделенными свойствами (features). Такого рода описательная классификация, например, описание растений в ботанике и животных в зоологии, ориентирована на реально существующие объекты. Можно сказать, что Аристотель мыслит в терминах субстанции и акциденции, в то время как идея функции господствует при формировании математических понятий (concepts). Возьмем, например, понятие (notion) эллипса. Любой эллипс на плоскости ху есть множество Е точек (х, у), заданное квадратным уравнением

ax2 + 2bxy + су2 = 1,

коэффициенты а, b и с которого удовлетворяют условиям:a>0, с>0, ac2 – b2 >0,

Множество Е зависит от коэффициентов а, b, с мы получаем некоторую функцию Е(а, b, с), порождающую конкретный эллипс, если переменным коэффициентам а, Ь, с придадим определенные значения. Переход от конкретного эллипса к соответствующему общему понятию не требует отбрасывания каких-либо специфических различий, он совершается благодаря тому, что некоторые характеристики (в нашем примере они представлены коэффициентами) превращаются в переменные, область значений которых apriori обозрима (у нас она задана приведенными выше неравенствами). Таким образом, общее понятие распространяется скорее на все возможные, чем на все актуально существующие характеристики [ср. в этой связи статью: СassirerErnst. SubstaniibegriffmidFunktionsbegriff. — 1910 и мою критическую заметку: WеilH. PhilosophiederMathematikundNaturwissenschaft. — 1923. — S. 111; здесь речь идет о двух возможных способах образования понятий, первый из которых — «объемный», или «теретико-множественный» — восходит к Аристотелю («общее» получается путем собирания в одно множество всех частных случаев), а второй — восходящий к Платону — представляет собой обратный процесс от «общего» к «частному», например, платоновскую процедуру «диарезиса» (разделения надвое), или нисхождение от абстрактного задания переменных к их частной конкретизации — К.С.]5.

После этих предварительных замечаний относительно функционального мышления я перехожу теперь к более систематической аргументации. Математика снискала дурную славу из-за разреженного воздуха абстракций, в котором она живет. Скверная репутация заслужена математикой лишь наполовину. В самом деле, первая трудность, с которой сталкивается человек с улицы, когда его пытаются научить мыслить математически, состоит в том, что ему необходимо усвоить более прямой взгляд на вещи; его вера в слова должна быть поколеблена; ему необходимо научиться мыслить более конкретно и направленно. «Высота»— слово, имеющее вполне ясное значение, когда я спрашиваю, как высок потолок в этой комнате, — каково расстояние от пола до потолка. Значение этого слова становится все менее определенным, если мы станем применять его к относительной высоте горных вершин, расположенных на все более обширной территории. Его значение станет совсем зыбким и растворится в воздухе, если мы распространим его на весь земной шар, не подкрепив динамическим понятием потенциала. Потенциал более конкретен, чем высота, поскольку порожден распределением масс в земном шаре и зависит от этого распределения.

Слова — орудия опасные. Созданные для нашей повседневной жизни, они обладают привычным значением лишь при известных ограниченных обстоятельствах, но Пит и человек с улицы склонны распространять их на более широкие сферы, нимало не заботясь о том, сохраняют ли те при этом твердую опору в реальности или нет. Мы все не раз были свидетелями того, к каким тяжким последствиям приводит магия слов в сфере политики, где все слова имеют гораздо более расплывчат