Проблема причинности в свете концепции динамического хаоса. 2001. (Гулидов А.И.,Наберухин Ю.И.)

Проблема причинности в свете концепции динамического хаоса*

А.И.Гулидов, Ю.И.Наберухин

* Работа поддержана грантом Минобразования РФ в области гуманитарных наук (Г00–1.1–238).

Открытие в физике явления динамического, или детерминированного, хаоса требует уточнения ряда философских понятий, связанных с онтологическим статусом категории случайности. В нашей предыдущей статье [1] мы попытались рассмотреть в свете концепции динамического хаоса диалектику необходимого – случайного. Здесь мы попытаемся осмыслить, во-первых, понятие причинности в динамических системах с хаотической динамикой и, во-вторых, парадокс совместимости детерминистического описания и невозможности предсказания в таких системах.

Динамический хаос

В упомянутой статье мы достаточно подробно описали суть явления динамического хаоса. Здесь мы хотели бы только подчеркнуть, что в современной литературе [2] обычно смешиваются две стороны этого явления. Дело в том, что, во-первых, хаотические режимы установлены в движениях консервативных (т.е. с сохранением энергии) систем классической механики, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Во-вторых, специфическое хаотическое поведение открыто в диссипативных (т.е. рассеивающих энергию в окружающую среду) физических системах, далеких от равновесия. Только во втором случае возможны специфические ситуации, описываемые ставшими модными понятиями странных аттракторов и самоорганизации. Нас же интересует прежде всего первый случай. В нем мы имеем дело с замкнутой (изолированной) динамической системой, описываемой строго детерминистическими уравнениями движения классической механики. Именно здесь, в противоречие со школьной интуицией, обнаружено хаотическое поведение уже в системах с небольшим числом степеней свободы. Типичным примером являются два нелинейно взаимодействующих маятника (“полторы” степени свободы) – модель Хенона – Хейлеса, на которой впервые в физике открыто явление динамического хаоса [3].

Результатом упомянутого смешения является иногда встречающееся в философской литературе мнение, что любая модель хаоса “должна учитывать действие флуктуаций” и что “без этих слабых случайных возмущений хаос возникнуть не сможет” [4]. Это явное непонимание природы динамического хаоса. О флуктуациях можно говорить только применительно к открытым системам, взаимодействующим с окружением, которое не входит в рамки динамического описания и поэтому является случайным. Только к таким системам относится ставшая расхожей фраза И.Пригожина: “флуктуации запускают нестабильности” [5]. В закрытых (изолированных) системах никаких флуктуаций нет [6], поскольку нет случайных воздействий на систему и она полностью управляется детерминистическими законами движения. Хаотическое поведение в таких системах имеет внутреннюю природу. Именно в этом и заключаются необычность и парадоксальность явления динамического хаоса в консервативных системах, что осознано лишь недавно (с 60?х годов) и позволило говорить о новой парадигме классической механики.

Механизмы возникновения хаоса как внутреннего свойства консервативных систем хорошо изучены и изложены в учебниках [7]. Яркую их интерпретацию дал Б.В.Чириков: «Источник чрезвычайной сложности, характерной для индивидуальной реализации случайного процесса… не в сложном устройстве конкретной динамической системы (и уж тем более не в числе ее степеней свободы) и даже не во внешнем “шуме”… а в точно заданных начальных условиях движения… Эти начальные условия содержат бесконечное количество информации, которое при наличии сильной неустойчивости и определяет предельно сложную, непредсказуемую и невоспроизводимую картину хаотического движения. Такая система не “забывает” свои начальные условия, а наоборот, следует им во всех мельчайших деталях и именно это и приводит к хаосу, который с самого начала заложен в этих деталях» [8]. В этом смысле “понятие (строго) определенной динамической траектории уже содержит в себе понятие случайности” [9].

Необходимо также подчеркнуть, что явление динамического хаоса отнюдь не связано с неточностью численных методов решения динамических уравнений движения, как это представляет О.Шарыпов [10]. Влияние этих неточностей исследовалось в конкретных работах. Их результат недвусмысленно показывает, что “хаотическое движение, наблюдаемое в гамильтоновых системах, является следствием их динамики, а не конечной точности счета” [11].

Причинность и детерминизм

Часто принцип причинности формулируют следующим образом: “одинаковая причина всегда производит одинаковое действие” [12]. Встречаются и вариации этой формулировки: “одни и те же причины при одинаковых условиях приводят к одним и тем же следствиям” [13]; “одна и та же причина при сходных обстоятельствах порождает одно и то же следствие” [14]. Такое на первый взгляд естественное определение принципа причинности в связи с открытием динамического хаоса является совершенно недостаточным. Весь вопрос заключается в том, чтo понимать под причиной и следствием. Прежде всего, под причиной можно понимать состояние динамической системы в момент времени t0 , а следствием – ее состояние в последующий момент t1. Такую причинность называют связью состояний. Для динамической системы состояние в начальный момент t0 и закон движения однозначно определяют ее будущее развитие. В этом случае одна и та же причина действительно приводит к одному и тому же следствию. Но такое понимание причинности ничем не отличается от понятия детерминистического закона.

На это обращал внимание еще немецкий физик П.Иордан, рассматривая понятие причинной связи в физике: “Она (причинная связь. – А.Г., Ю.Н.) ни в коем случае не равнозначна с существованием физических законов, вообще – с существованием математических соотношений между физическими величинами в некоторой области мира… Согласно принципу причинности, между известными областями мира, разделенными во времени, существует физическая зависимость” [15]. Приняв такой подход к определению причинности за основу, попытаемся выяснить характер физической зависимости для динамических систем классической механики.

Удобно начать с рассуждений А.Пуанкаре, который предлагает следующий способ выявления такой физической зависимости: “Когда воспроизводится одно и то же условие, должно воспроизводиться то же самое следствие; такова обычная формулировка (принципа причинности. – А.Г., Ю.Н.). Но в такой форме этот принцип не мог бы оказать никаких услуг. Для того чтобы можно было сказать, что воспроизведено то же самое условие, необходимо воспроизведение всех обстоятельств, так как ни одно из них не является абсолютно безразличным, и притом воспроизведение должно быть точным. А так как этого никогда не будет, то принцип не мог бы иметь никакого применения. Поэтому мы должны видоизменить формулировку и сказать: если однажды условие А произвело условие В, то условие А?, мало отличающееся от А, произведет следствие В?, мало отличающееся от В” [16].

Пуанкаре изменяет обычную формулировку принципа причинности из-за того, что на практике невозможно точно воспроизвести все обстоятельства предшествующего опыта. Однако когда речь идет о причинности как связи состояний посредством динамического детерминированного закона, тогда, конечно, имеется в виду теоретическое, а не практическое определение причинности. Детерминистическое описание как раз и подразумевает, что точное воспроизведение всех обстоятельств приводит к одинаковому результату. В этом смысле понятие причинности никак не может быть связано с неточностью воспроизведения условий. Поэтому решение Пуанкаре не может считаться общей формулировкой принципа причинности.

Явление динамического хаоса не привносит ничего нового в принцип причинности, если рассматривать причинность как связь состояний, поскольку это явление подразумевает эволюцию системы по одно­значно заданной траектории. Однако Пуанкаре, по существу, предлагает другой подход к принципу причинности, который можно назвать операциональным. И здесь явление динамического хаоса позволяет уточнить многие детали.

Зададимся вопросом: каким образом, при помощи каких операций можно установить, что два состояния динамической системы причинно связаны между собой? Подход Пуанкаре предлагает естественный способ. Пусть S0 – начальное состояние динамической системы, рассматриваемое как причина. Будем изменять это начальное состояние на малую величину e и смотреть, как меняется конечное состояние системы St (следствие). Если конечное состояние не изменяется вовсе или изменяется произвольно, вне зависимости от величины e, то логично заключить, что два состояния динамической системы причинно не связаны. Если же конечное состояние (следствие) изменяется в такой же мере, как начальное состояние (на величину порядка e), то можно заключить, что два состояния динамической системы физически зависят друг от друга, т.е. между ними существует причинная связь.

Таким образом, принцип причинности в динамических системах мы можем сформулировать в следующем операциональном виде: два состояния физической системы находятся в причиной связи, если малое изменение начального состояния (причины) приводит к изменению конечного состояния (следствия) такого же порядка малости. Назовем такое положение принципом e-причинности. Выполнение этого принципа означает, что малые отличия в состоянии системы в начальный момент времени t0 остаются такими же малыми в течение будущей временной эволюции.

Именно принцип e-причинности нарушается при наличии в системе динамического хаоса. Динамический хаос является следствием локальной неустойчивости движения, которая проявляется в том, что две близкие вначале траектории расходятся экспоненциально во времени. Если обозначить через d(t) расстояние между этими двумя траекториями через время t, то закон изменения d(t), как это следует из определения локальной неустойчивости, определится формулой

d(t) = d0e?t , (1)

где l > 0 – так называемый показатель Ляпунова, определяющий скорость