Проблема причинности в свете концепции динамического хаоса. 2001. (Гулидов А.И.,Наберухин Ю.И.)

Проблема причинности в свете концепции динамического хаоса*

А.И.Гулидов, Ю.И.Наберухин

* Работа поддержана грантом Минобразования РФ в области гуманитарных наук (Г00–1.1–238).

Открытие в физике явления динамического, или детерминированного, хаоса требует уточнения ряда философских понятий, связанных с онтологическим статусом категории случайности. В нашей предыдущей статье [1] мы попытались рассмотреть в свете концепции динамического хаоса диалектику необходимого – случайного. Здесь мы попытаемся осмыслить, во-первых, понятие причинности в динамических системах с хаотической динамикой и, во-вторых, парадокс совместимости детерминистического описания и невозможности предсказания в таких системах.

Динамический хаос

В упомянутой статье мы достаточно подробно описали суть явления динамического хаоса. Здесь мы хотели бы только подчеркнуть, что в современной литературе [2] обычно смешиваются две стороны этого явления. Дело в том, что, во-первых, хаотические режимы установлены в движениях консервативных (т.е. с сохранением энергии) систем классической механики, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Во-вторых, специфическое хаотическое поведение открыто в диссипативных (т.е. рассеивающих энергию в окружающую среду) физических системах, далеких от равновесия. Только во втором случае возможны специфические ситуации, описываемые ставшими модными понятиями странных аттракторов и самоорганизации. Нас же интересует прежде всего первый случай. В нем мы имеем дело с замкнутой (изолированной) динамической системой, описываемой строго детерминистическими уравнениями движения классической механики. Именно здесь, в противоречие со школьной интуицией, обнаружено хаотическое поведение уже в системах с небольшим числом степеней свободы. Типичным примером являются два нелинейно взаимодействующих маятника (“полторы” степени свободы) – модель Хенона – Хейлеса, на которой впервые в физике открыто явление динамического хаоса [3].

Результатом упомянутого смешения является иногда встречающееся в философской литературе мнение, что любая модель хаоса “должна учитывать действие флуктуаций” и что “без этих слабых случайных возмущений хаос возникнуть не сможет” [4]. Это явное непонимание природы динамического хаоса. О флуктуациях можно говорить только применительно к открытым системам, взаимодействующим с окружением, которое не входит в рамки динамического описания и поэтому является случайным. Только к таким системам относится ставшая расхожей фраза И.Пригожина: “флуктуации запускают нестабильности” [5]. В закрытых (изолированных) системах никаких флуктуаций нет [6], поскольку нет случайных воздействий на систему и она полностью управляется детерминистическими законами движения. Хаотическое поведение в таких системах имеет внутреннюю природу. Именно в этом и заключаются необычность и парадоксальность явления динамического хаоса в консервативных системах, что осознано лишь недавно (с 60?х годов) и позволило говорить о новой парадигме классической механики.

Механизмы возникновения хаоса как внутреннего свойства консервативных систем хорошо изучены и изложены в учебниках [7]. Яркую их интерпретацию дал Б.В.Чириков: «Источник чрезвычайной сложности, характерной для индивидуальной реализации случайного процесса… не в сложном устройстве конкретной динамической системы (и уж тем более не в числе ее степеней свободы) и даже не во внешнем “шуме”… а в точно заданных начальных условиях движения… Эти начальные условия содержат бесконечное количество информации, которое при наличии сильной неустойчивости и определяет предельно сложную, непредсказуемую и невоспроизводимую картину хаотического движения. Такая система не “забывает” свои начальные условия, а наоборот, следует им во всех мельчайших деталях и именно это и приводит к хаосу, который с самого начала заложен в этих деталях» [8]. В этом смысле “понятие (строго) определенной динамической траектории уже содержит в себе понятие случайности” [9].

Необходимо также подчеркнуть, что явление динамического хаоса отнюдь не связано с неточностью численных методов решения динамических уравнений движения, как это представляет О.Шарыпов [10]. Влияние этих неточностей исследовалось в конкретных работах. Их результат недвусмысленно показывает, что “хаотическое движение, наблюдаемое в гамильтоновых системах, является следствием их динамики, а не конечной точности счета” [11].

Причинность и детерминизм

Часто принцип причинности формулируют следующим образом: “одинаковая причина всегда производит одинаковое действие” [12]. Встречаются и вариации этой формулировки: “одни и те же причины при одинаковых условиях приводят к одним и тем же следствиям” [13]; “одна и та же причина при сходных обстоятельствах порождает одно и то же следствие” [14]. Такое на первый взгляд естественное определение принципа причинности в связи с открытием динамического хаоса является совершенно недостаточным. Весь вопрос заключается в том, чтo понимать под причиной и следствием. Прежде всего, под причиной можно понимать состояние динамической системы в момент времени t0 , а следствием – ее состояние в последующий момент t1. Такую причинность называют связью состояний. Для динамической системы состояние в начальный момент t0 и закон движения однозначно определяют ее будущее развитие. В этом случае одна и та же причина действительно приводит к одному и тому же следствию. Но такое понимание причинности ничем не отличается от понятия детерминистического закона.

На это обращал внимание еще немецкий физик П.Иордан, рассматривая понятие причинной связи в физике: “Она (причинная связь. – А.Г., Ю.Н.) ни в коем случае не равнозначна с существованием физических законов, вообще – с существованием математических соотношений между физическими величинами в некоторой области мира… Согласно принципу причинности, между известными областями мира, разделенными во времени, существует физическая зависимость” [15]. Приняв такой подход к определению причинности за основу, попытаемся выяснить характер физической зависимости для динамических систем классической механики.

Удобно начать с рассуждений А.Пуанкаре, который предлагает следующий способ выявления такой физической зависимости: “Когда воспроизводится одно и то же условие, должно воспроизводиться то же самое следствие; такова обычная формулировка (принципа причинности. – А.Г., Ю.Н.). Но в такой форме этот принцип не мог бы оказать никаких услуг. Для того чтобы можно было сказать, что воспроизведено то же самое условие, необходимо воспроизведение всех обстоятельств, так как ни одно из них не является абсолютно безразличным, и притом воспроизведение должно быть точным. А так как этого никогда не будет, то принцип не мог бы иметь никакого применения. Поэтому мы должны видоизменить формулировку и сказать: если однажды условие А произвело условие В, то условие А?, мало отличающееся от А, произведет следствие В?, мало отличающееся от В” [16].

Пуанкаре изменяет обычную формулировку принципа причинности из-за того, что на практике невозможно точно воспроизвести все обстоятельства предшествующего опыта. Однако когда речь идет о причинности как связи состояний посредством динамического детерминированного закона, тогда, конечно, имеется в виду теоретическое, а не практическое определение причинности. Детерминистическое описание как раз и подразумевает, что точное воспроизведение всех обстоятельств приводит к одинаковому результату. В этом смысле понятие причинности никак не может быть связано с неточностью воспроизведения условий. Поэтому решение Пуанкаре не может считаться общей формулировкой принципа причинности.

Явление динамического хаоса не привносит ничего нового в принцип причинности, если рассматривать причинность как связь состояний, поскольку это явление подразумевает эволюцию системы по одно­значно заданной траектории. Однако Пуанкаре, по существу, предлагает другой подход к принципу причинности, который можно назвать операциональным. И здесь явление динамического хаоса позволяет уточнить многие детали.

Зададимся вопросом: каким образом, при помощи каких операций можно установить, что два состояния динамической системы причинно связаны между собой? Подход Пуанкаре предлагает естественный способ. Пусть S0 – начальное состояние динамической системы, рассматриваемое как причина. Будем изменять это начальное состояние на малую величину e и смотреть, как меняется конечное состояние системы St (следствие). Если конечное состояние не изменяется вовсе или изменяется произвольно, вне зависимости от величины e, то логично заключить, что два состояния динамической системы причинно не связаны. Если же конечное состояние (следствие) изменяется в такой же мере, как начальное состояние (на величину порядка e), то можно заключить, что два состояния динамической системы физически зависят друг от друга, т.е. между ними существует причинная связь.

Таким образом, принцип причинности в динамических системах мы можем сформулировать в следующем операциональном виде: два состояния физической системы находятся в причиной связи, если малое изменение начального состояния (причины) приводит к изменению конечного состояния (следствия) такого же порядка малости. Назовем такое положение принципом e-причинности. Выполнение этого принципа означает, что малые отличия в состоянии системы в начальный момент времени t0 остаются такими же малыми в течение будущей временной эволюции.

Именно принцип e-причинности нарушается при наличии в системе динамического хаоса. Динамический хаос является следствием локальной неустойчивости движения, которая проявляется в том, что две близкие вначале траектории расходятся экспоненциально во времени. Если обозначить через d(t) расстояние между этими двумя траекториями через время t, то закон изменения d(t), как это следует из определения локальной неустойчивости, определится формулой

d(t) = d0e?t , (1)

где l > 0 – так называемый показатель Ляпунова, определяющий скорость расхождения траекторий. Закон расхождения соседних траекторий (1) остается справедливым до момента, когда d(t) становится порядка максимального размера области движения L (который конечен в замкнутых консервативных системах). При d(t) > L корреляция между траекториями теряется, начинается процесс перемешивания: две сколь угодно близкие вначале траектории блуждают случайно, независимо друг от друга по всей области движения.

Соотношение (1) является ключевым при обсуждении проблем причинности и предсказуемости при хаотических движениях в динамических системах. Из него ясно видно, что принцип e-причинности при таких движениях не выполняется. Малые изменения начального состояния на величину e экспоненциально нарастают со временем, так что следствия становятся неадекватными причине. Нарушение принципа e-причинности есть результат потери корреляций между динамическими состояниями системы из-за перемешивания. Вслед за Б.В.Чириковым [17], оценим масштаб области d0, в которую проникает процесс перемешивания за время t. Пусть две соседние траектории разошлись на максимально возможное расстояние L, т.е. d(t) ~ L. Соотношение (1) в этом случае можно переписать в виде

d0/ L~ e-?t . (2)

Отсюда видно, что при t ®? размер области d0 стремится к нулю. Это означает, что при достаточно большом времени процесс перемешивания затронет сколь угодно малую область. Иными словами, сколь бы ни были близки вначале траектории, всегда наступит время, когда они будут описывать совершенно разные, нескоррелированные состояния системы.

Таким образом, получается, что для хаотической динамической системы мы не можем операционально установить, что ее состояние на больших временах причинно связано с начальным состоянием. В этом смысле хаотическое поведение динамической системы является “беспричинным”. Хотя состояние системы в любой момент времени точно детерминировано динамическим законом движения (и, следовательно, имеет место причинность как связь состояний), в хаотическом режиме состояния системы на больших интервалах времени оказываются нескоррелированными и как бы причинно несвязанными. Этот парадокс динамического хаоса ярко показывает, что операциональный критерий e-причинности неэквивалентен причинности как связи состояний.

Предсказуемость

Отсутствие корреляции между состояниями системы на больших интервалах времени означает невозможность долговременных предсказаний. Предсказание, или прогноз, эволюции динамической системы – конечно, практическая, а не теоретическая проблема, ибо эта эволюция полностью детерминирована и, следовательно, теоретически точно предсказуема. На практике же исходное состояние системы известно всегда с некоторой погрешностью. Если бы движение было регулярным, не хаотическим, то выполнялся бы принцип e-причинности, и, уменьшая погрешности в определении начального состояния, мы всегда смогли бы сделать прогноз будущего состояния системы с любой желаемой точностью. Однако большинство движений нелинейной динамической системы является хаотическим, и тогда принцип e-причинности выполняется только в течение некоторого временного интервала, который определяет принципиальный предел предсказуемости.

Этот интервал – горизонт прогноза – равен по порядку величины обратному показателю Ляпунова и носит название времени Ляпунова: ?L = 1/?. Действительно, в соответствии с формулой (1) расстояние меж­ду двумя траекториями в течение времени Ляпунова остается порядка начального расстояния (т.е. неточности в определении исходного со­стояния системы): d(?L) ~ d0. Значит, на протяжении времени Ляпунова сохраняется ?-причинность и возможно предсказание [18]. Время Ляпу­нова является важным внутренним параметром динамической системы, специфичным для каждой системы и для каждого вида движения. На­пример, для регулярных движений типа вращения планеты вокруг Солнца показатель Ляпунова равен нулю и время Ляпунова бесконечно.

Завершая обсуждение проблемы причинности в динамической системе при наличии детерминированного хаоса, перечислим выводы, к которым мы пришли: 1) в общем случае классический тезис: “одни и те же причины при одинаковых условиях приводят к одним и тем же следствиям” – не имеет места; эволюция динамической системы в общем случае непредсказуема; 2) этот тезис справедлив применительно лишь к временам, меньшим, чем время Ляпунова tL; при этих же временах эволюция динамической системы предсказуема.

Причинность и случайность

Парадоксальная совместимость детерминистического описания и хаотического поведения, демонстрируемая явлением динамического хаоса, требует внести коррективы в принятые представления о соотношении причинности с категориями необходимости и случайности. Тезис о том, что “в необходимом процессе причина есть нечто внутреннее, а в случайном – нечто внешнее по отношению к нему” [19], сейчас уже неверен. Детерминистический динамический закон, управляющий с необходимостью движением системы, является, конечно, ее внутренним свойством. Однако этот закон однозначно определяет всю траекторию на любом интервале времени – независимо от того, регулярна ли она или хаотична. Поэтому детерминированный хаос, вскрывающий случайное, непредсказуемое поведение замкнутой системы, не подверженной влиянию внешних причин, является также ее внутренним свойством. Необходимое и однозначное порождение состояния системы в какой-либо момент времени ее исходным состоянием посредством динамического закона не противоречит отсутствию корреляции между удаленными во времени состояниями системы. Явление детерминированного хаоса показывает (и в этом состоит его методологическое значение), что случайность сама по себе не есть свидетельство беспричинности, – она говорит только об отсутствии корреляций между состояниями системы.

Таким образом, нескоррелированные состояния вдоль хаотической траектории причинно связаны друг с другом через детерминистический динамический закон. В таком утверждении имеется в виду причинность как связь состояний или причина как порождающая сила. Это теоретический, или идеальный, аспект каузальной связи. Но в то же время нескоррелированные состояния случайны, не зависят друг от друга, т.е. не находятся в причинно-следственной связи. Теперь, очевидно, имеется в виду практический, эмпирический или феноменологический аспект каузальности. Именно в такой ситуации невозможно установить причинную связь между состояниями с помощью рассмотренного выше операционального критерия причинности (здесь не выполняется принцип e-причинности). Поэтому когда говорят: “Понятие случайности характеризует отсутствие причинно-следственных связей между событиями в рамках рассматриваемых совокупностей” [20], – речь может идти не о беспричинности, а об отсутствии корреляций, т.е. это утверждение может относиться только к практическому аспекту причинности, а не к принципу причинности вообще. Философское значение явления динамического хаоса как раз и заключается в том, что оно показывает необходимость четкого различения разных видов причинности [21].

Примечани

1. См.: Гулидов А.И., Наберухин Ю.И. Диалектика необходимого – случайного в свете концепции динамического хаоса // Философия науки. – 2001. – № 1 (9). – С. 33–46.

2. См.: Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления. – М., 1994; Концепция самоорганизации в исторической перспективе. – М.: Наука, 1994; Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза // Вестн. РАН. – 2001. – Т. 71, № 3. – С. 210–224.

3. Оригинальная работа (Henon M., Heiles C. // Astronom. Journ. – 1964. – V. 69. – P. 73) излагается сейчас во всех учебниках нелинейной механики. См., например: Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. – М.: Мир, 1988. – C. 171; Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. – C. 106.

4. См.: Шарыпов О.В. Детерминированный хаос и случайность // Философия науки. – 2001. – № 2 (10). – C. 76–77.

5. Пригожин И. Время, структура и флуктуации // УФН. – 1980. – Т. 131, вып. 2. – С. 195.

6. Неспециалисту, читающему физические книги, нужно быть осторожным, не смешивая физический жаргон с сущностью явлений. Так, зачастую флуктуациями называют нерегулярности в поведении консервативной динамической системы. Здесь это просто синоним (внутренней!) стохастичности.

7. См., например, упомянутые в примечании 3 книги Г.Шустера (гл. 6) и М.Табора (гл. 4).

8. Чириков Б.В. [Предисловие редактора перевода] // Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. – М., 1984. – C. 5.

9. Чириков Б.В. Природа статистических законов классической механики // Методологические и философские проблемы физики. – Новосибирск, 1982. – С. 190.

10. См.: Шарыпов О.В. Детерминированный хаос и случайность. – С. 77.

11. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. – С. 310.

12. Бунге М. Причинность. – М., 1962. – С. 16.

13. Философский энциклопедический словарь. – М., 1989. – С. 511.

14. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. – М.: Прогресс, 1999. – С. 80, 81.

15. Иордан П. Причинность и статистика в современной физике // УФН. – 1927. – Т. 7, вып. 5. – С. 318.

16. Пуанкаре А. Ценность науки // Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983. – С. 273.

17. См.: Чириков Б. В. Взаимодействие нелинейных резонансов. – Новосибирск: НГУ, 1978. – C. 31.

18. На самом деле горизонт прогноза может быть несколько больше времени Ляпунова. Поскольку корреляции между двумя траекториями сохраняются, пока d(t) <(1/l)ln(L/d0). При фантастически огромном отношении L/d0 = e100 » 1043 логарифм будет равен всего сотне. Поэтому в практических ситуациях логарифмический множитель можно опустить. >

19. Философская энциклопедия. – М., 1970. – Т. 5. – С. 34. В формулировке Аристотеля этот тезис гласит: “причины, по которым возникает случайное, по необходимости неопределенны” (Аристотель. Физика, II, 197а9 / Аристотель. Соч.: В 4 т. – М.: Мысль, 1981. – Т. 3. – С. 93.)

20. Сачков Ю.В. Вероятностная революция в науке: Вероятность, случайность, независимость, иерархия. – М.: Науч. мир, 1999. – С. 67.

21. Ясность, достигнутая в понимании природы случайности в динамических системах, особенно подчеркивает темноту рассуждений типа: “Идея случайности существенно опирается на представления о том, что причины не всегда могут быть разумно соотнесены со своими следствиями, что во взаимосвязях в материальном мире существуют своего рода иррациональные, несоизмеримые элементы. Однако последнее не означает, что случай беспричинен. Трудности здесь скорее связаны с тем, что происходит отказ от модели линейного мира как базовой” (Сачков Ю.В. Случайность формообразующая // Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления. – М., 1994. – С. 142.) Эта сентенция повторена ее автором в книге, упомянутой в предыдущем примечании, с заменой “несоизмеримых элементов” на “несоизмеримые независимые соотношения”. Но в обеих формулировках в ней трудно увидеть рациональный смысл.

Новосибирский государственный

университет

Gulidov, A.I. and Yu.I.Naberukhin. Causality problem in the light of the dynamical chaos conception

The phenomenon of dynamical chaos reveals that one must distinguish two types of causality in the conservative dynamical systems. At first, causality as the coupling of states, which always holds true in such systems. And secondly, causality as the correlation between states that are distant in time; these correlations do not exist at chaotic behavior of the dynamic systems. In this case, there is a limiting time at which prediction of the future state is possible.

Источник:
Грант РГНФ. Новосибирск.