Метафизика фрактала. (Тарасенко В.В.)

Тарасенко Владислав Валерьевич

Институт философии РАН

р.(095) 203-4336

E-mail: vtaras@com2com.ru

Метафизика фрактала

версия 4.2

Метафизика задания категории.

Ведение фрактальной концепции в практику научных исследований разрушает евклидианскую исследовательскую научную программу. Этот процесс можно рассмотреть используя представления И.Лакатоса о влиятельной метафизике научной теории (то есть о положениях, стоящих над эмпирической проверкой и направляющих научный поиск).

Концепция фрактала игнорирует "защитный пояс" классических геометрических концепций (конкретные исчисления, связанные с евклидианской программой фрактальной концепцией даже не критикуются), заменяя "жесткое ядро" - тривиальные первые принципы - категории геометрии. Этим самым задается метафизика фрактала - влиятельная метафизика фрактальной концепции.

Эта замена идет не по пути изменения или введения новой аксиоматики, основанной на строгих логических приемах определения понятия, а по пути введения интерсубъетивного контекста фрактальной концепции - создания устойчивых практик узнавания фрактала как в феноменах математики (геометрических множествах, решениях нелинейных уравнений), так и в феноменах - конструктах прикладных теорий (географии, лингвистики, астрофизики).

В связи с этим, можно предложить схему контекстуального введения категории фрактала и задания на этой базе влиятельной метафизики - как самоорганизации коммуникаций, интерсубъективной среды для диалога между учеными, способствующему усилению познавательной ценности категории фрактала. Предлагается следующая модель введения Мандельбротом категории фрактала в научное знание:

во-первых, Мандельброт ввел термин "фрактал";

во-вторых, он ввел "затравку" - первое - (математически точное, но в общем случае, неверное) определение понятия фрактала через размерность Хаусдорфа-Безиковича;

и, в-третьих, он запустил интерсубъективный механизм "самоорганизации научного понятия" - во-первых, сумел описать (пользуясь методами аналогии, компьютерной визуализации, перечислением сходных, по его представлениям, предметных областей, применяя метафоры) способы отождествления (узнавания) различных математических и природных форм как фрактальных, с помощью которых можно было бы расширить "затравочное" определение и произвести диверсификацию понятия фрактала на различные области знания, придав этому понятию категориальный статус, и во-вторых, создать на этой базе этих способов массовую научную коммуникацию - стратегию диалога среду самоорганизации нового понятия.

С середины прошлого века геометрические фрактальные предметы уже были и исследовались, появлялись первые операциональные способы работы с ними, а общего понятия не было. Не было общей методологии, связывающей в целое представление такие, казалось бы, совершенно не корреспондирующие между собой вещи как, например, множество Кантора и чертеж побережья Британии.

С методологический точки зрения представляется важным тот факт, что для введения нового понятия - понятия фрактала, Мандельброт не "изобретал" каких-то абсолютно новых формализмов или теорий, он, скорее не "первооткрыватель", а "перворассматриватель" - первый-по-новому-рассмотритель - его работа заключалась в перестройке перцептивных схем и создании языка объяснения новых предметностей. Для этого он переключил "гештальт" (парадигму) - воспринимающие и интерпретирующие способности научного сообщества на сборку нового понятия, на распознавание и интерпретацию фрактальных структур в конкретных познавательных контекстах. создавая как устойчивые перцептивные механизмы, так и устойчивые лингвистические коммуникативные практики в науке, заставляя научное сообщество по новому оценивать давно известные вещи (например - различные типы размерностей, парадоксы измерения, множества, типа множества Кантора).

Поэтому, фрактальная геометрия не есть "чистая" геометрическая теория. Это скорее концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по новому видеть мир.

Мандельброт сделал сильный методологический ход, перейдя от некомуникабельного современной ему науке "чистого" конструктивного монстра, к фракталу - предмету измерения как математики, так и прикладных наук, сконструировав две процедуры отождествления - процедуру отождествления рекурсивных математических "монстров" как фракталов и процедуру отождествления предметов измерения фрактальной концепции и предметов измерения теоретических конструктов прикладных исследований (географии, лингвистики, материаловедения и др.). В этом смысле, он ввел цельность представления в разрозненные нагромождения фактов и моделей, создав (предустановив) "фрактальную" гармонию - фрактальный порядок интерпретируемого мира, точнее запустив интерсубъективный механизм самодостраивания, самоорганизации этого порядка.

После подобного "переключения внимания" в научном сообществе интерсубъективно фиксируется познавательная ценность категории фрактала, формируется некоторое "личностное" знание - подразумеваемое знание о фрактале, предающее статус очевидности категории фрактала, создающее контекст фрактальной концепции и снимающее необходимость точного определения фрактала.

Если попытаться понять какую роль - какие "языковые игры" играют понятия, вводимые Мандельбротом, то можно заметить, что язык введения категории фрактала не связан напрямую с уточнением и ограничением этого понятия. Это впечатление усиливается и при прочтении его "Fractal Geometry of Science". Мандельброт вводит категорию фрактала фрактально - задает "затравку" - первые (пусть и неверные) определения, а потом запускает механизмы их итерации, изменений. И пытается описать то, что при этом получается, какие интерпретации при этом появляются.

Это становится очевидным при рассмотрении проблем определения фрактала. Как известно, точного определения фрактала до сих пор не предложено - с одной стороны, все формулировки разрушались контрпримерами. С другой стороны, определение для категории фрактала особо и не нужно после того, как родилась интерсубъективная практика научного применения категории.

В качестве примера можно рассмотреть определение фрактального множества через понятие самоподобия. Как известно, это понятие неприменимо для описания многих фрактальных множеств - например, для множеств Жюлиа и Мандельброта - их фрагменты, строго говоря, не переводятся во все множество с помощью преобразования подобия. Чтобы выйти из этого положения, Мандельброт говорит о том, что можно расширить описания фракталов через преобразования фрагмента фрактального множества во всї множество, используя и подыскивая не только преобразования подобия, но и другие виды геометрических преобразований (например, аффинные).

Действительно, видно, что фрактал - фигура Коха и фрактал - множество Мандельброта это разные типы фракталов. У них есть общее - наличие рекурсивной процедуры их генерации, но есть и отличия. В первом случае мы имеем дело с инвариантным относительно масштабных преобразований фракталом, во втором можно говорить о коваринтности - о нарушениях инвариантности при масштабных преобразованиях. Поэтому можно говорить о том, что фигура Коха это инвариантный фрактал, а множество Мандельброта это ковариантный (или - если взять на вооружение термин Тимофеева-Ресовского - ковариантно редуплицированный) фрактал.

Исходя из этого, на наш взгляд, можно ввести представление о двух пониманиях самоподобия - жесткого самоподобия (ЖС) - самоподобия типа самоподобия фигур Коха, связанного инвариантностью относительно масштабных преобразований и, и нежесткого самоподобия (НС) - ковариантного самоподобия типа самоподобия множества Мандельброта, когда преобразование фрагмента во всї множества нетривиально.

На наш взгляд жеское и нежесткое самоподобие есть фундаментальные предикаты описания категории фрактала. Именно на поиске и интерпретации самоподобии основаны поиск и интерпретация фрактальных структур в конструктах прикладных теорий, о которых речь пойдет далее.

Подчеркну еще одну важную вещь, связанную с описаниями фрактала. На мой взгляд, концепция фрактала дистанциируется от традиционных понятий задания и описания формы - места, границы, ширины, длины, дихотомий "непрерывное - дискретное", "простое - сложное", определений типа "сложное есть сумма простых частей". Этих понятий просто нет. Они не имеют смыслов - перестают работать внутри концепции фрактала хотя бы потому, что совершенно непонятно как их применять.

Например, когда мы говорим, о самоподобии, о том, что часть в каком-то смысле подобна целому, то познавательный статус понятия "часть" в этом контексте отличается от понятия части в контексте евклидовой геометрии.

Когда утверждается, что отрезок АВ есть часть треугольника АВС, то механизмы восприятия утверждающего - как зрительные, так спекулятивно-теоретические уже настроены на некоторую очевидность границ части и целого, заданную, в выделенных точках А и В. С точки зрения этой очевидности я могу во-первых, совершить сборку целого - сборку треугольника АВС с помощью частей-отрезков, а во-вторых, решить обратную задачу - перейти от частей к целому.

В случае применения фрактальной концепции эта методология сборки целого посредством частей сильно меняется - части не очевидны, границы невидны, для "сборки" целого частей недостаточно, точнее - частей бесконечно много, они бесконечно иерархизированы, перепутаны, наложены друг на друга, и традиционная методология идущая по пути часть- граница - целое не приводит к сборке целого, а разрушает познание бесконечными усложнениями и ограничениями.

Понятие самоподобия есть некий конструктивный фактор, фактор требующий такого же статуса очевидности у фрактала, как статус гладкости евклидовой прямой. Без представления о самоподобии, на наш взгляд, корректно ввести представления о фрактале невозможно.

Поиск самоподобия направлен на поиск инвариантов описания в бесконечных метаморфозах различных масштабов рассмотрения, в различных фрагментах фрактальных множеств.

Фрактальная концепция входит в научные коммуникации потому, что она занимается поиском и интерпретацией неких количественных инвариантов. Проблема описания этих инвариантов, на мой взгляд, стыкуется с проблемой измерения, о которой будет сказано ниже.

Несомненно, что научные коммуникации неявно принимают "метафизические" правила игры - волюнтаризм ввода категории фрактала. Но принятие этого волюнтаризма "новообращенными", рождает новые научные практики, новые фрактальные интуиции, "символы веры" и возможность научной коммуникации в понятиях. На этой базе рождается отождествление математического множества с определенными свойствами и категории фрактальной концепции, в частности происходит превращение "монстра" во фрактал.

Исходя из интерсубъективных коммуникативных практик, связанных с освоением языка, перцепций, воспитанием интуиций выкристаллизовывается междисциплинарный статус фрактальной концепции и статус категории фрактала в науке. Статус, задающий новые "порядки слов" и "порядки вещей".

Порядок вещей, всегда связан с нашей его интерпретацией словами-понятиями-метапорядками, интерпретацией, подразумевающей какие-то явные или нет концептуальные установки исследователя, и с этой точки зрения, этот порядок есть не независимая от наблюдателя вешь.

Фрактальные интерпретации мира, так же как и евклидианские исследовательские программы оказываются заложниками собственной метафизики - активность разума творит новый нелинейный мир - фрактальный космос из саморазваливающегося линейного знания.

Метафизика движени

Принятие фрактальной метафизики, на мой взгляд, необходимо влечет принятие новых представлений о процессуальности, о движении.

Статус процессуальности фрактала отличается от понимания процессуальности движения тела в каком-то пространстве. Более того, на наш взгляд, введение фрактальный представлений обессмысливает понимание движения как движения физического тела по чему-то внешнему, а вслед за этим тоже деструктурирует представление о части и целом.

Поясним эту мысль.

Геометрия Евклида, как и геометрия Лобачевскго, как и классическая механика подразумевают какую-то заданность предмета измерения в каком-то пространстве. Назовем эту заданность термином "интуиция тела в пространстве".

Точку или линию можно задать на плоскости или шаре, и в этом смысле, плоскость или шар будут пространствами точки или линии. Для объяснения взаимоотношений тела в пространстве (точки на линии или линии в плоскости) необходимо вводить представление о месте - категорию места. Далее можно задать движение, процессуальность - во-первых, как какой-то способ описания изменения положения тела в пространстве, во-вторых, как способ изменения формы самого тела.

Исходя из этого (во-первых, из разных способов задания пространства, во-вторых, из разных способов задания движения - перемещений или преобразований геометрического тела в пространстве) можно классифицировать и конструировать различные типы геометрий, и на этой базе интерпретировать различные типы движений и физических процессов.

Мы можем взять и рассмотреть треугольник на плоскости. При этом мы считаем само собой разумеющимся, не требующем отдельного обоснования фактом то, что чтобы изменить треугольник, с ним надо что-то сделать - нам надо специально произвести над ним какую-то операцию, описать процесс его изменения, после чего треугольник как бы "застынет" - будет ждать следующей над ним операции - мы можем растянуть или сжать этот треугольник с помощью аффинной геометрии, можем его двигать по плоскости-пространству согласно какому-то закону движения.

Треугольник может меняться - под действием каких-то наших геометрических преобразований и операций, но кроме этих специальным образом оговоренных и конечных операций геометра над телом - предметом в пространстве, этот треугольник меняться не может. В этом смысле демиург треугольника - геометр - внешний наблюдатель треугольника. Геометр как бы "толкает" треугольник, заставляя включаться в какой-то процесс.

Фрактал же есть нечто иное, он не приемлет оценок с точки зрения интуиции заданного тела-предмета в заданном пространстве. Он скорее есть бесконечное изменение самого себя, тело-автомат с обратной связью - геометр задает итерационный процесс, а после этого начинает удивляться тому, что вдруг выросло.

В этом смысле традиционная интуиция "тело в пространстве" при оценке фрактала только запутывает геометра, так как нет четкой границы между телом и пространством, нет неизменчивости тела.

Поэтому многие действия, считавшиеся нами, например, в евклидовой геометрии тривиальными и само собой разумеющимися становятся загадочными при обращении к фракталам.

Например, непонятно, как вводить тождество и различие фрактальных объектов.

К примеру, в евклидовой геометрии два треугольника считаются равными, если их можно наложить друг на друга с помощью преобразования движения. А в аффинной геометрии - если их можно наложить друг на друга с помощью аффинного преобразования.

В утверждении о равенстве тел в данном случае, тоже неявно принимается гипотеза о неизменности заданной формы треугольника - кроме случаев какого-то над ним геометрического преобразования. Неизменность - гарант наложения и отождествления равных треугольников.

Кроме того, треугольник надо задавать на плоскости - в каком-то неизменном геометрическом пространстве.

У треугольников есть три выделенные точки - по ним осуществляется наложение, а далее оговаривается процедура, подтверждающая наложение всех остальных точек.

Но как сравнивать в этом смысле тела, у которых каждая точка меняется при ее рассмотрении?

Надо признать, что в случае с фракталом, граница тела становится контекстуально зависимой, каждый раз ее приходится переопределять и описывать заново, и отождествление фрактальных форм не осуществляется через описание и отождествление границ тел.

Поэтому отождествление различных фрактальных структур физиками производится не их наложением - как треугольников, а с помощью отождествления масштабных инвариантов - размерностей или их спектров.

Но несмотря на это, проблема тождественности и различия фрактальных структур остается - в смысле отхода от описательной интуиции формы как тела в пространстве.

Фрактал как бы самодостаточен. Ему внешнее пространство не нужно - процессуальность фрактала рефлексивна, поэтому он есть не движение по внешнему пространству, а само-движение, движение по самому-себе, всегда подразумевающем бесконечно длящуюся обратную связ, то есть - рост. Или умирание - в зависимости от направления. Фрактал как математический объект всегда незавершенность, "чистое" становление. Поэтому он так хорошо моделирует процессы самоорганизации, саморазворачивания. Живое - растущее или умирающее тело, есть тело состоящее из складок, "повсюду сгибаемое". Живое (в отличие от неизменного мертвого) очень трудно, практически невозможно поймать, локализовать, ограничить телом в пространстве.

Фрактал и монада

Эти представления, на мой взгляд соотносятся с воззрениями Лейбница - с его представлениями о теле и о монаде.

Лейбниц вводит различие между телом жидким и телом сгибаемым, состоящем из складок. Можно предположить, что разные эти тела символизируют разные парадигмы, разные интуиции, разные методологии, одну из которых можно пометить как телесно-атомискую (или телесно-корпускулярную), другую - как телесно-монадологическую.

Здесь надо сделать небольшую оговорку. Говоря о монаде, Лейбниц тоже использовал термины "атом" или "не имеющая частей" субстанция. Но субстанциональная заданность лейбницевской монады отличается от субстанциональной заданности евлидовой точки или линии.

Постараемся рассмотреть фрактал с точки зрения отхода от атомисткой парадигмы оценки физических тел в парадигму монадологическую - для этого перечитаем лейбницевскую "Монадологию" уже имея представление о фракталах.

Лейбниц начинает с рассуждения о монаде как о простой субстанции, атоме не имеющем частей.

На первый взгляд - несоответствие между представлением о фрактале - ведь фрактал вроде бы - вещь всегда делимая, всегда демонстрирующая нам какие-то свои новые фрагменты.

Часть, в нашем понимании - нечто простое, составляющая некоторого сложного агрегата. Агрегат - это то, что может делиться, имеет способность распадаться на части.

Монады распадаться не могут - им не куда делиться, как и не из чего собираться. Поэтому они и не имеют частей.

Но с другой стороны, монады изменчивы, как во времени, так и друг от друга (именно внутренне изменчивы (п.11)) - а каким образом они могут быть внутренне изменчивы, не имея частей, если внутри них нечему меняться?

Казалось бы парадокс? Противоречие? Нет.

Атом, не имеющий частей, можно понимать двояко.

С одной стороны образ атома - это образ точки. Вспомним определение Евклида еще раз: точка это то, что не имеет частей. Но по какому внутреннему принципу можно отличить одну точку от другой? Непонятно - ведь по внутреннему устройству точки тождественны - их нельзя покрасить или дифференцировать по имманентным, индивидуальным признакам.

Значит модель атома-точки это не модель монады.

Монада должна иметь внутреннюю структуру хотя бы потому, что в отличие от точки она изменяется, и по различиям этих изменений можно типологизировать монады:

"Это многоразличие должно обнимать многое в едином или простом. Ибо так как естественное изменение совершается постепенно, то кое-что при этом изменяется, а кое-что остается в прежнем положении; и, следовательно, в простой субстанции необходимо должна существовать множественность состояний и отношений, хотя частей она не имеет".

Субстанциональная заданность лейбницевской монады отличается от субстанциональной заданности евлидовой точки или линии.

В связи с этом можно отметить две совершенно четкие тенденции (если пользоваться терминологией М.Полани "неявного знания" - условностей акта сознания, установок сознания по отношению к "простой субстанции".

Простая субстанция может быть автоматом, непрерывно разворачивающимся перед нами ("само-штампующим" свои уровни рассмотрения, новые и новые точки зрения на себя) и потому от нас непрерывно ускользающим, а может быть и "лежачем камнем", "универсально простым кирпичиком - раз и навсегда аксиоматически заданным и не требующим дополнительных обоснований.

Отсутствие частей не необходимо является отсутствием внутренней структуры, состояний и отношений - в простой монаде есть множественность, источник их внутреннего действия. Множественности монады есть только наши различные точки зрения (а мы бы сказали - различные масштабы) монады. Но почему тогда монада не имеет частей?

Очень просто. Монада всегда есть единое. Единое, принципиально неделимое на части, и обессмысливающее само противопоставление часть-целое.

В этом месте сразу вспоминается платоновский "Парменид" - где великолепно вводится методология исследования единого.

Единое по Платону, беспредельно - оно не имеет ни начала, ни конца, ни середины (иначе оно бы имело части), оно не стоит на месте (нет интуции тела в пространстве) и не движется, не причастно ко времени, но причастно к бытию.

С подобной точки зрения, с точки зрения единого, на наш взгляд, надо выстраивать методологию понятия фрактала.

У фрактала нет конца, начала или середины - "читать", рассматривать фрактал можно с любого места.

Генерирующее масштабное преобразование у геометрического фрактала, конституирует его как единое - ведь оно не задает его части, не описывает все подролбности фрактала на всех масштабах. Это и не нужно. Нет нужды локализовывать предмет, описывать точно его границы.

Фрактал делокализован - различие субстанциальной заданности фракальной предметности проявляется в переходе от локализации свойств на уровне четко ограниченной предметности (неделимого носителя свойств, точки - того, что не меняется внутри, чьей внутренней структурой можно пренебречь) к делокализованной связности, метаморфозам монады-целого.

От редукции (часть-целое или целое-часть) к мета-редукции, обессмысливающей понятия части и целого в монадологически-фрактальном единстве.

Метафизика измерения.

Все разговоры о делокализации, становлении и процессуальности форм фрактальной концепции были бы только качественными метафорами, если бы фрактальная концепция не предложила способ количественной оценки нелинейных структур.

Центральным понятием, из которого, на наш взгляд, первоначально "выросла" фрактальная "идеология", было понятие размерности - числа измерений, с помощью которых можно задать положение точки на геометрическом объекте. Причем, первоначальное - "неправильное" - определение-затравка фрактала через размерность Хаусдорфа-Безиковича сыграло свою конструктивную роль, родив новые научные интерпретации форм.

В свое время бурные дискусси вызвал переход в "многомерие" - от плоскостей с размерностью два и евклидовых пространств с размерностью три к менее представляемым n-мерным абстракциям. Достаточно сложно себе представить четырех, пяти или шестимерное пространство. Представить сложно, а вот формализовать и исследовать геометрических "жителей" такого пространства гораздо легче. Но для этого к подобного рода пространствам надо как-бы привыкнуть, включить в свои интерпретационные механизмы.

Подобная эпистемологическая ситуация, на наш взгляд, происходит сейчас с концепцией фрактала.

Подчеркнем, что размерность сильно зависит от того как ее измерять. Это означает, что кроме формул для подсчета размерности необходимо точно задать и некий операциональный набор способа измерения и интерпретации размерности.

Эти особенности могут образовывать не только разные виды размерностей, но и разные понятия, разные подходы к измерению.

Я.Б. Зельдович и Д.Д. Соколов в одном из первых обзоров по фракталам приводят такой пример. Положение точки области плоскости, ограниченной квадратом можно задать двумя измерениями, и тогда ее размерность будет равна двум, а можно исхитриться, и представить себе эту область в виде ломаной с очень сильно прижатыми друг к другу звеньями, сложенными наподобие столярного метра. Тогда, для задания положения точки хватит и одного измерения, и размерность будет равна единице. Об этом же пишут и Ю.А.Данилов с Д.Д.Кадомцевым - по их мнению, размерность объекта зависит от наблюдателя, точнее от связи объекта с внешним миром.

На основе чего поддерживается эта связь? На мой взгляд, на основе интерсубъективных коммуникаций формирующих представления о предмете измерения.

Нашим фундаментальным предположением, к которому мы еще будем не раз обращаться, будет предположение об интерсубъективности введения размерности в контекст измерения, и как следствие этого, об интерсубъективности введения понятия фрактала в научном исследовании - как множественности интерпретаций, которые могут конституировать принципиально разные понятия в научной практике.

Конституирование научного понятия сопровождается созданием устойчивых схем научных коммуникаций, и в этом смысле, понятие зависит от того, сколько людей вступили в коммуникацию, сколько людей приняли это понятие, как возникла смысловая согласованность их понимания.

Именно таким образом можно объяснить свойство "маргинализации" метафизических проблем в научном дискурсе. Для этого, вслед за В.И.Аршиновым, приходится принимать модель науки как цепи перцептивно-лингвистических коммуникаций. Смысловая согласованность в виде появления понятия, в этом случае, рождается вовсе не на базе уточнения или определения понятия, а на базе возможности научной коммуникации - если у нас есть возможность обсудить свои прикладные проблемы с помощью понятия фрактала, не пускаясь в дискуссии о его генезисе и онтологическом смысле, то у нас есть возможность создать механизмы употребления этого понятия и конституировать его в научном дискурсе, элиминировав метафизические проблемы, связанные с уточнением и определением фундаментальных категорий.

В момент создания научной коммуникации создаются интерпретационные схемы - на этой базе понятие фрактала конституирует процедуру измерения фрактального предмета, достраивая наблюдаемые величины. Без этого, не может быть наблюдаемости измеряемой величины - ни странный аттрактор, ни даже фрактальная размерность броуновской частицы не наблюдаемы без представлений о специфике фрактальных предметностей.

Интерсубъективность есть еще и возможность вариантов, введения различных схем объяснения. Субъект-исследователь, рассматривающий свой предмет измерения не может быть локализован независим от предметности рассмотрения уже в силу того, что он может влиять на предмет измерения, меняя его статус. В этом смысле исчезает объяснение в связке субъект-объект, образуя какое-то новое взаимодействие, которое можно пометить как наблюдатель-предмет наблюдения.

Чем отличается наблюдатель от субъекта, а предмет измерения от объекта? Разными метафизическими статусами их локализации. Наблюдатель менее закреплен в своих границах, его стратегии познания более зависимы от языка описания, ему практически невозможно элиминировать свои познавательные установки из исследования.

Тезис об интерсубъективности может вызвать суждения о "конце науки" в смысле придания волюнтаризма и прозвольности научному дискурсу. Это, на наш взгляд, неверно.

Очень важно подчеркнуть, что интерсубъективность это не произвол наблюдателя, хотя бы в силу того, что не все интерпретационные схемы устойчивы - в смысле создания массовости научных коммуникаций. В этом месте встает так называемая проблема "лже-науки", маргиналий научного дискурса.

Устойчивость интерпретации научного понятия подразумевает принятие основных модельных установок исследования, вступление в научную коммуникацию, освоение языка объяснения.

Устойчивых состояний может быть много, и каждая - со своими способами коммуникации, со своим языком, ставя наблюдателя перед проблемой выбора. При этом, в момент выбора интерпретационной схемы совершенно непонятно, какое место в научном дискурсе она займет.

Исходя из этого наблюдатель уже не может спрятаться, в отличие от субъета, за понятие объективного закона природы, элиминируясь из научного дискурса. Ему приходится нести ответственность за свой выбор наблюдаемой величины. Это, несомненно, привносит определенные антропные элементы в науку.

Это замечание делает характер связей между наблюдателем и предметом измерения нетривиальным.

Этот ход нашего рассуждения можно проиллюстрировать с помощью анализа проблем измерения береговой линии.

Как известно, с трудностями при измерении длины береговой линии Британии столкнулся в начале нашего века английский гидромеханик Ридчардсон при попытке заменить линию ломаной с длиной L=Nx . Оказалось, что при уменьшении единицы измерения x, длина L резко возрастает.

Мандельброт предложил аппроксимировать степень "убегания" длины береговой линии в зависимости от x степенным законом, связав показатель степени с размернстью Хаусдорфа-Безиковича формулой, сходной с формулой для кривой Коха.

Он показал, что размерности различных побережий отличаются, и могут служить достаточно информативной географической характеристикой, описывая степень извилистости, скрученности побережья.

Почему побережье "является" фракталом? Только ли потому, что его длина аппроксимируется степенным законом? С таким же успехом можно задать вопрос о том, почему поверхность стола является плоскостью.

Но если побережье - "действительно" фрактал, то почему, этого так долго "не замечали" географы? С чем это связано?

С одной стороны, можно сказать, что факт аномального поведения длины побережья - ошибка географов, которую исправила фрактальная теория.

Но нам интереснее рассмотреть этот факт не в терминах ошибки или заблуждения, а в терминах интерсубъективности. С этой точки зрения весьма интересной представляется концепция личностного знания М.Полани. Факт невнимания географов к масштабному "разбеганию" длины побережья, выразившийся, в частности, в попытках найти и обосновать "истинный", "самый верный" масштаб измерения обусловлен отсутствием "влиятельной метафизики" и соответствующей ей научной теории, и как следствие - языка описания, способов интерпретации.

В результате этого рождается селективный отбор эмпирических фактов:

"...в научном исследовании всегда имеются какие-то детали, который ученый не удостаивает особым вниманием в процессе верификации точной теории. Такого рода личностная избирательность является неотъемлемой чертой науки."

Когда внимание учного направлено на линию, происходит интенциональный акт понятийного "схватывания" линии, который, несомненно, связан с "влиятельной метафизикой" евклидианской исследовательской программы, определяющей свойства сознания ученого, характеристики познавательной среды, в которую он погружен. Личностная избирательность - результат этого "схватывания", абстрагирования понятия.

Математические "монстры" (затем преобразившиеся в фракталы) - яркий пример личностной избирательности научного сообщества, нежелающего принимать "в свою компанию" то, что "противоречит здравому смыслу".

Ситуация становится более интересной, когда появляются дополнительные схемы объяснения,. когда бывшие монстры теряют свои маргинальные статусы. В дополнительности кроится конфликт, вызов коммуникационной тотальности единой схемы объяснения.

В результате этого могут появляться смысловые парадоксы, когда понятие, в зависимости от личностных установок может либо приобретать, либо терять смысл.

Парадоксы отождествлени

Для корректного рассмотрения данной проблемы введем понятие о парадоксе отождествления понятий фрактальной теории с природным феноменом, когда предмет измерения, в зависимости от понятийных установок исследователя, может менять свой свой понятийный статус.

По аналогии с интерпретацией квантово-механических событий копенгагенской школы Бора и Гейзенберга, можно предположить, что при отождествлении предмета измерения разными теориями (фрактальной геометрией и геометрией Евклида) образуются комплиментарные предложения, по крайней мере одно из которых может быть определенным, тогда как другое - неопределено.

Будем считать, что утверждение о том, является ли отождествление природного феномена, например, с евклидовой линией или фракталом, является неопределенным до тех пор, пока мы не уточним, в рамках какой теории мы его пытаемся объяснить - на языке фракталов, или на языках других геометрий. Только после такого уточнения одно из дополнительных понятий приобретает смысл.

Например, пусть А - высказывание "длина побережья Британии равна 2 километра", В - высказывание "фрактальная размерность побережья Британии равна 1.23".

Высказывания А и В находятся в отношении, напоминающим отношение дополнительности в квантовой механике. Если измерена длина побережья, и результаты измерения выражены высказыванием А, то А - истинно или ложно.

В этом случае высказывание В о том, что побережье Британии имеет фрактальную размерность принципиально неопределено - фиксированием длины мы задали линейность побережья как ее единичную, нефрактальную размерность.

Длину и фрактальную размерность измерить одновременно (при одном и том же масштабном преобразовании) нельзя. А дополнительно к В. И наоборот - В дополнительно к А. Как и в квантовой механике, дополнительность в данном случае симметрична.

Эти высказывания подпадают под определение отношения дополнительности В.С.Меськова: "Два высказывания находятся в отношении дополнительности, если и только если: 1) они не могут быть одновременно истинными; 2) они не могут быть одновременно ложными; 3) если одно из них является истинными или ложным, то второе - неопределенным; 4) если одно из них является неопределенным, то второе может принимать любое из допустимых истинностных значений".

Если высказывание А или его отрицание определены как истинные или ложные, то высказывание В неопределено и наоборот.

Как известно, Г.Рейхенбах, наряду с М.Штраусом и П.Феврие был основоположником семантического подхода в логике квантовой механики, суть которого заключалась в логической экспликации дополнительности, "предполагающей переход от дополнительности как отношения между одновременно ненаблюдаемыми в квантовой механике величинами к дополнительности как отношению между высказываниями о значении этих величин, то есть как к отношению между экспериментальными высказываниями квантовой механики."

Аналогичный переход вполне возможен и при рассмотрении методологии интерсубъективной сборки понятия фрактала.

Введение в предмет рассмотрения фрактальных размерностей или характеристик, связанных с гладкими моделями, зависит от наблюдателя. Поэтому говорить об "объективности" измерения, как о возможности точного разделения субъекта и объекта измерения в смысле их независимости, принципиально невозможно - "фрактальная" или "линейная" установка наблюдателя влияет на результат измерения.

Данный пример может служить иллюстрацией того, как разные способы задания размерностей могут конституировать разные понятия. В "побережье-как-линии" наблюдатель метафизически (доопытно, до осуществления операциональной геометрической практики) уже предположил линеарность предмета измерения, введя этим предположением целую размерность предмета измерения. Из-за этого предположения конституируется понятие длины, лишающее понятие фрактала смысла, и соответственно, обессмысливающее употребление этого понятия в данном "линейном" контексте. В этом контексте фрактал и фрактальная размерность ненаблюдаемы. Наблюдатель, в силу настроенности своих механизмов интерпретации на линейные схемы объяснения, их просто не видит.

И наоборот линия ненаблюдаема (вместе с понятием длины) при настройке механизмов "схватывания" - отождествления фрактала (естественно, что в определенном диапазоне масштабов).

Надо заметить методологическое отличие от введения различения предметов измерения на одном природном феномене типа длина-размерность от различения предметов измерения типа длина-площадь, или длина-цвет.

Отличие состоит в специальном выстраивании соответствия теорий, задающих понятия длины и понятие размерности.

Мандельброт специально искал такое определение размерости (по Хаусдорфу и Безиковичу), которое бы в общем случае было бы характеристикой фрактального множества, а частном случае была равна обычной топологической размерности.

Теория измерения фрактала включает в себя в качестве частного случая и измерение размерностей гладких тел.

Соответствие теорий в данном случае является условием появления дополнительности высказываний А и В. Если вместо них взять высказываения о результатах измерения длины и цвета или длины и площади, то никакой дополнительности не будет.

Подчеркнем еще один важный момент, связанный с невозможностью одновременного измерения линейных и фрактальных характеристик. На наш пример можно возразить следующим образом: диапазон изменения масштабов, на котором фрактальная размерность является инвариантом у береговой линии, в отличие, например от фигур Коха и других геометрических фракталов, не бесконечен - всегда можно указать верхнюю и нижнюю границу масштабного преобразования. На этих границах нет никакого фрактала - есть только линия, и побережье "на самом деле" линия.

Определенностям понятий линии и фрактала соответсвуют разные способы задания масштаба измерения. Вводя один единственный масштаб (пусть и самый маленький) мы тут же предустановили линейность измерения, и лишили понятие фрактала смысла. Исходя из этого линейность и фрактальность побережья несоизмеримы с точки зрения того, чем побережье является "на самом деле".

Осмысленность понятия вводится интерсубъективно на основании теоретических установок, относящихся к введению масштаба предмета измерения и "неявным знанием наблюдателя" - его установками на масштабную локализацию "первичной субстанции".

У понятий побережье-фрактал и побережье-линия установки разные из-за разных предположений о вводе масштабного преобразования, которые диктуют различные виды операциональной деятельности.

Этот подход снимает проблему "реальности" или "эмпиричности" фрактала. Реальность, исследуемая наукой интерсубъективна и коммуникативна, завися от наших о ней предположений - она способна самодостраиваться, и устанавливать на этой базе практики измерения.

Любое измерение всегда связано с интерсубъективной коммуникацией. Поэтому фрактал, линия представимы как результаты интерсубъективной интерпретации, шаги понимания сложности мира.

В этом смысле измерение есть процесс коммуникации наблюдателя с миром. Миром, имеющим достаточно прихотливую структуру - изменчивую, нежесткую, но единую, не распадающуюся на части.

Револьт Пименов в одной из своей статей сравнивал переход от гладких геометрических концепций к фрактальным с переходом группы туристов от хорошо возделанной лужайки к темному и малопредсказуемому лесу.

Образ достаточно точный, если учесть сколькими (казавшимися незыблимыми) понятиями приходится при этом пожертвовать.

Но будем, оптимистами, надеясь, по примеру блаженного Августина, на то, что "фрактальная" наука это не только слом старых представлений, но и рождение новых представлений неизбежно сложного и красивого мира.