Логические труды Лейбница.1984. (Субботин А.Л.)

Субботин А.Л.

Логические труды Лейбница.1984.

Лейбниц Г. В. Сочинения в четырех томах: Т. 3.— М.: Мысль, 1984. — 734 с. — (Филос. наследие. Т. 92). — С.41-53.

Нумерация в конце страницы.

Ф и л а л е т. Вы как будто прославляете обычную логику, но я отлично вижу, что то, что Вы говорите, относится к более возвышенной логике, к которон обычная логика относится так же, как азбука относится к науке.

«Новые опыты о человеческом разу -

мении»

Большинство логических произведений Лейбница не печаталось при его жизни. Они были извлечены из его колоссального рукописного архива и опубликованы разными издателями много времени спустя после его смерти. В настоящем томе помещаются лишь некоторые из них,, как нам представляется, наиболее показательные для его творчества. При этом целостность общего впечатления создают работы довольно различного свойства. Одни,; относительно законченные, содержат разработанные фрагменты логических систем. Другие ограничиваются изложением или обсуждением основ таких систем. Третьи,; не содержащие каких-либо итогов, незаконченные, обрывающиеся на полуслове, интересны как свидетельства неустанного биения мысли Лейбница, поиска им путей и средств реализации своих замыслов. Вместе с тем, написанные в разное время, они отражают и различные подходы Лейбница к логике, к построению Calculus ratiocinator — исчисления рассуждений, над которым он размышлял всю жизнь, но которого ему так и не удалось создать.

В основе логических исследований Лейбница лежала мотивированная его рационалистическими установками программа представления человеческого знания в виде некоего универсального символического языка. В рамках такого символизма Лейбниц мыслил свести все человеческие рассуждения к формальному исчислению, которое служило бы средством как доказательства установленных истин, так и открытия новых, насколько это можно сделать исходя из того, что уже известно; в случае же если имеющиеся сведения недостаточны, этот метод должен был Давать приближенный ответ и определять в соответствии с исходными данными, что является наиболее вероятным. В таком универсальном символическом языке, своего рода

==41

всеобщей алгебре, рассуждали бы посредством вычислений, а вместо того чтобы спорить, говорили бы: «посчитаем».

Создание этого метода, или «универсальной характеристики», как назвал его Лейбниц, предполагало разработки в целом ряде направлений. Во-первых, надо было уметь разлагать все сложные понятия на простые, составляющие некий «алфавит человеческих мыслей», и на этой основе получать точные определения всех понятий. И всякий, кто знакомится с трудами Лейбница, не может не обратить внимание на его постоянное стремление анализировать и определять всевозможные понятия. Во-вторых,, надо было найти подходящие символы, или «характеры»,, которые могли бы представлять и замещать понятия, или термины, естественного языка. В-третьих, надо было сформулировать организующие принципы этого всеобщего символизма — правила употребления и комбинаций символов. Этот грандиозный метафизический проект, который Лейбниц неоднократно обсуждает в своих работах, не был— да и не мог быть — осуществлен в том виде, в каком он рисовался его воображению. Но он подсказал те пути исследования, которые привели Лейбница к ряду важных математических открытий, в том числе к открытию начал математической логики.

В наше время, когда имеется разработанная система математической, или символической, логики, в историкологических исследованиях стало преобладать стремление отыскивать в логическом наследии прошлого прежде всего элементы таких воззрений, которые согласуются с ее понятиями и положениями. Современность отбрасывает в прошлое свою тень. У древних стоиков усматривают развитую систему пропозициональной логики, у средневековых схоластиков — теорию логического следования и теорию семантических парадоксов, не чуждаясь при этом и реконструкции дошедшего до нас исторического материала. Однако собственно математическая логика начинается с Лейбница. Его отношение к логике принципиально иное, чем даже его непосредственных предшественников — Т. Гоббса, И. Юнга, А. Гейлинкса. Лейбниц продуманно и целенаправленно применял математические методы в логике и тщательно строил конкретные логические исчисления; и именно эта его работа, а не только формулировка тех или иных логических принципов и приверженность к «луллиеву искусству» дает основание назвать его создателем математической логики. Конечно все эти исследо -

==42

вания стимулировал проект «универсальной характеристики». Но было бы ошибкой думать, что надежда осуществить его надолго пережила Лейбница. К сведению современных логицистов напомню, что еще И. Кант в своей работе 1755 г. «Новое освещение первых принципов метафизического познания» остроумно заметил, что видит в этом замысле великого философа лишь нечто подобное завещанию того отца из басни Эзопа, который перед смертью поведал детям, что якобы зарыл в поле клад, не указав, однако, точного места, и этим побудил сыновей к неустанному перекапыванию земли, благодаря чему они, хотя и обманутые в своих надеждах отыскать клад, разбогатели, так как улучшили плодородие почвы.

Цикл логических работ Лейбница открывается произведениями, датированными апрелем 1679 г. Их пять. Все они не окончены. Все они посвящены поискам путей реализации идеи характеристики». Идея состояла в том, чтобы всякому термину (предложения, силлогизма) приписывать определенное число, соблюдая условие, чтобы термину, составленному из других терминов, соответствовало число, образованное произведением чисел этих терминов. Далее, установив общее свойство таких «характеров» (и используя лишь такие числа, которые соответствуют этому свойству), можно было бы устанавливать, корректны ли те или иные выводы по форме. В работах апреля 1679 г. Лейбниц испытывал в качестве «характеров» простые числа. Их он приписывал простым терминам, а произведения соответствующих простых чисел — сложным терминам, составленным из простых. Объектом приложения «характеристики» являлись формы аристотелевской логики, традицию которой он высоко чтил и стремился продолжить.

В «Элементах универсальной характеристики» Лейбниц предлагает следующие правила применения числовых обозначений к категорическим предложениям: для истинного общеутвердительного предложения необходимо, чтобы число субъекта точно делилось на число предиката; для истинного частноутвердительного предложения достаточно, чтобы пли число субъекта точно делилось на число предиката, или число предиката — на число субъекта; для истинного общеотрицательного предложения необходимо, чтобы ни число субъекта точно не делилось на число предиката, ни число предиката — на число субъекта; для истинного частноотрицательного предложения необходимо, чтобы число субъекта точно не делилось на число предиката.

==43

Предложения записываются в виде равенств и изображаются обобщенными формулами, где символы оptimi имеют определенные численные значения. Но эта числовая интерпретация не является удовлетворительной. Он оправдывает выводы обращения и логического квадрата» уже для первой фигуры силлогизма — лишь модус Barbara. Позднее Лейбниц по-иному сформулирует условие истинности общеотрицательного и частноутвердительного предложений: для общеотрицательною — число субъекта точно делится на число, обозначающее отрицание предиката, для частноутвердительного — точно не делится. Камнем преткновения для числовой интерпретации стала проблема выражения отрицания и отрицательных терминов. В работах «Элементы универсального исчисления» и «Исследования универсального исчисления» Лейбниц рассматривает возможности их характеристического выражения посредством обратных математических операций, но так и не находит удовлетворительного решения.

В работе «Элементы исчисления» излагается интенсиональная трактовка отношений между понятиями и соответственно субъектно-предикатной структуры предложений. В отличие от экстенсионального подхода схоластической логики, где понятия рассматривались по объему (например, общеутвердительное предложение понималось как выражение того, что множество индивидов, отвечающих понятию субъекта, включается как часть в множество, охватываемое предикатом), Лейбниц видовое понятие рассматривает как более содержательное целое, чем родовое, включающее родовое понятие в качестве своей части. Это вполне соответствовало основной установке его «характеристики» представлять все термины как составленные из более простых терминов и соответственно понятия — как комбинации более общих понятий, а также его философскому убеждению, что общие понятия не зависят от существования индивидуальных предметов и могут принадлежать в отличие от них разным возможным мирам.

Наиболее интересным изобретением Лейбница является модель силлогистики, основывающаяся на соответствии между терминами и упорядоченными парами взаимно простых натуральных чисел. Она изложена им в работе «Правила, по которым можно с помощью чисел судить о правильности выводов, о формах и модусах категорических СИЛЛОГИЗМОВ». Согласно этой интерпретации, субъект предложения изображается одной парой взаимно простых

==44

чисел (+я —Ь), предикат — другой (+с —d). Общеутвердительное предложение истинно тогда и только тогда, когда +а делимо на +с и —b делимо на —d. В противном случае истинно частноотрицательное. Частноутвердительное предложение истинно тогда и только тогда, когда --а и —d, —b и +с являются взаимно простыми числами. В противном случае истинно общеотрицательное. Оказывается, что если терминам правильных силлогистических умозаключений так приписать пары взаимнопростых чисел, чтобы они выражали истинность посылок, то они выразят и истинность заключения. Лейбниц проверил изобретенную им модель на законах логического квадрата и обращения. В других работах он применил ее к нескольким модусам силлогизма. Можно показать, что этой интерпретации удовлетворяют все правильные модусы силлогизма. Однако в модели выполнимы и неправильные модусы. Приведем пример самого Лейбница (модус АОО третьей фигуры): Всякий благочестивый есть счастливый

+=10

-3

+5

—1

Некоторый благочестивый не есть богатый

+10 —3 +8—11 След. Некоторый богатый не есть счастливый +8 —11 +5 —1

Здесь взяты такие пары чисел, которые выражают истинность как посылок, так и заключения. Между тем этот силлогизм неправильный: такое заключение с необходимостью из посылок не следует. Возможно подобрать пары чисел, которые покажут ложность этого заключения: Всякий благочестивый есть счастливый

+12 —5 +4 —1 Некоторый благочестивый не есть богатый

+12 -5 +8—11 След. Некоторый богатый не есть счастливый +8—11 +4 —1

==45

Это обстоятельство, конечно, не опровергает модель Лейбница. Аналогичная ситуация имеет место и при интерпретации силлогизмов на круговых схемах, которые, кстати, Лейбниц применял задолго до Эйлера. Для правильных силлогизмов расположение кругов однозначно определяет заключение, для неправильных — наглядно показывает возможность противоречащих друг другу заключений. Подобной наглядности нет в случае арифметической модели Лейбница. Дело в том, что для неправильного силлогизма должна существовать тройка упорядоченных пар взаимно простых чисел, которая, выражая истинность его посылок, обнаруживает ложность заключения. Но эту тройку надо отыскать среди бесчисленного множества, включающего и такие тройки, которые представляют неправильный силлогизм как правильный. В случае формального доказательства, а именно такое доказательство Лейбниц признает истинно логическим, задача сводится к тому, чтобы найти такие две тройки упорядоченных пар взаимно простых чисел, которые подтвердили бы два противоречащих друг другу заключения. Найти методом проб. Таким образом, для проверки силлогизмов модель оказалась неэффективной. Может быть, поэтому Лейбниц в дальнейшем к ней уже не возвращался.

В логических работах 1680—1690 гг., как и в работах апреля 1679 г., предметом анализа Лейбница оставалась субъектно-предикатная силлогистическая логика, для которой он искал систематическую форму выражения. Показательными в этом отношении являются такие его произведения, как «Логические определения», «Математика разума», «О математическом определении силлогистических форм», где он осуществляет доказательства законов и правил силлогистики. Но даже эту традиционную проблему Лейбниц решает по-своему: трактует категорические предложения как тождества и различия, указывая, что таким переходом от предикации к тождеству «совершенствуется логическая наука». Он ставит перед собой задачу построить силлогистику на минимальных очевидных основаниях синтетическим методом и вплотную подходит к ее аксиоматизации. В качестве основных положений он,; в частности, принимает законы тождества: «Всякое А есть Л» и «Некоторое А есть Л», предвосхищая те две аксиомы,, которые через двести пятьдесят лет Я. Лукасевич положит в основу формальной системы силлогистики. И вместе с тем в этот же период в работах Лейбница все в более и

==46

более отчетливой форме проступают черты нового метода исследования логики. Если в сочинениях апреля 1679 г. Лейбниц искал способ изображения и доказательства логических правил и схем с помощью системы чисел, то в исследованиях 1680—1690 гг. он уже стремится, придав логике алгебраическую форму, представить ее в виде символического исчисления.

Один из первых подходов к такому исчислению содержится в работе «Опыт универсального исчисления» и «Добавлении» к нему. Правда, здесь излагается довольно узкая система, предполагающая лишь общие предложения, однако мы находим в ней уже все основные элементы формализма. Лейбниц определяет исходные предложения,, «истинные сами по себе», из которых выводятся, или доказываются в качестве истин, другие предложения; указывает правило вывода, или «следование, истинное само по себе»; характеризует способы подстановки и замены эквивалентным. Он формулирует также ряд общих принципов логического исчисления, и среди них принцип переименования (который гласит: что бы ни выводилось в каких-либо произвольно выбранных буквах, то же самое должно выводиться и в любых других буквах, заданных при тех же условиях), закон коммутативности и закон идемпотентности.

Наиболее значительное и крупное произведение этого периода — «Общие исследования, касающиеся анализа понятий и истин» (1686). Лейбниц высоко ценил этот свой труд и на полях рукописи даже приписал: «Здесь я достиг замечательных успехов». Это сложное, не во всем достаточно ясное произведение, в котором Лейбниц часто еще только нащупывает пути исследования, чрезвычайно богато новыми мыслями и решениями. Как и во многих других работах Лейбница, в нем отражается почти вся его философско-методологическая концепция, в контексте которой он ставит и решает, казалось бы, частные технические вопросы логики.

Значительная часть работы посвящена попыткам построить универсальное исчисление, применимое как к терминам, так и к предложениям, в рамках которого можно было бы представить все законы и правила аристотелевской логики. Лейбниц излагает несколько алгебраических интерпретаций для основных силлогистических предложении (общеутвердительного, частноутвердительного, общеотрицательного и частноотрицательного), вписывающих

==47

теорию силлогизма в конструируемое им исчисление. Вот некоторые из них (ниже А обозначает субъект, В — предикат соответственно, по порядку, общеутвердительного, частноутвердительного, общеотрицательного и частноотрицательного предложения; X, Y, Z обозначают, чт) понятия в экстенсиональной интерпретации берутся ни во всем объеме):

А=АВ AY=ABY AY w=ABY А ш=АВ

IV

А ае-В не=Л ве-В АВ=АВ АВ пе=АВ А ш-В=А ев-в

II

А=АВ А ш=А не В

А=А не -В А ш=АВ

V

Л=УВ YA=ZB

А = Y не В ХА = Y не В

III

А=АВ АВ=АВ

А=А не -В А не –В=А не -В

VI

А не -В не существует А В существует Л В не существует А не В существует

Вместе с тем Лейбниц уточняет предложенное еще в «Элементах универсальной характеристики» выражение силлогистических предложений через отношение точной делимости их терминов и придает ему символическую форму, соответствующую задуманному им формализму. Это универсальное исчисление осталось далеко не завершенным, по-видимому, и из-за тех трудностей и проблем, которые встали в связи с задачей представления предложений как терминов и терминов как предложений. Однако в ходе выяснения его оснований, создания его аппарата и доказательства различных теорем (Лейбница, в частности, занимала задача доказательства эквивалентности излагаемых им разных интерпретаций основных силлогисгических предложений) был сформулирован ряд законов и принципов алгебры логики: принцип двузначности предложений, законы идемпотентности, снятия двойного отрицания, коммутативности, правило замены эквивалентным и др. К этому исчислению Лейбниц вернулся спустя четыре года, написав в августе 1690 г. две небольшие работы — «Первоначальные основания логического исчисления» и «Основания логического исчисления». Здесь он, в сущности, повторил некоторые его основные положения и доказал несколько новых теорем.

Еще на страницах «Общего исследования, касающегося анализа понятий и истин» Лейбниц уделил внимание экзистенциальной интерпретации основных силлогистических

==48

предложений (см. схему VI), содержащейся в его работах также и в других вариантах: где «существует» и «не существует» заменено соответственно на «есть вещь» и «не есть вещь», «есть сущее» и «есть не -сущее». Таким образом, он прямо говорит о пустом понятии (поп Ens). Эта тема стала предметом рассмотрения в его работе 90-х годов «Некоторые логические трудности». В ней рассматривается по видимости парадоксальная ситуация: с одной стороны, общеутвердительное предложение может быть истинным,, даже если не существует тех вещей, о которых идет речь; с другой — из него логически выводится частноутвердительное, всегда предполагающее существование. Между тем анализ самого вывода показывает, что он осуществим лишь при условии непустоты понятия в посылке. Видимость парадокса, считает Лейбниц, проистекает из двусмысленного понимания «сущего» — смешения разных смыслов «существования»: в возможности и в действительности, которое всегда следует устранять, осуществляя вывод. Логические законы остаются незыблемыми, они справедливы для всех возможных миров. Впервые столкнувшись с пустым понятием, Лейбниц не включил его в качестве полноправного элемента в систему логики. Из открывшейся перед ним альтернативы он выбрал верность традиционной аристотелевской концепции. Как законный элемент пустое понятие, или «ничто» (Nihil), войдет в его логическую теорию позднее. Я имею в виду наиболее отделанную в техническом отношении теорию, изложенную в двух тесно связанных между собой сочинениях, первое из которых Лейбниц сначала назвал «Не лишенный изящества опыт абстрактных доказательств». Эта оригинальная система представляет собой исчисление терминов, или понятий. В отличие от предшествующих логических исчислений, так или иначе привязанных к схемам и правилам силлогистики, это лейбницевское исчисление, содержащее, в частности, и теорию тождества, непосредственно не имеет дела с проблематикой традиционной аристотелевской логики, а если и включает в себя положения последней (например, аксиому силлогизма), то в том виде, в каком они получаются из развития его собственных принципов. В известном смысле это исчисление можно рассматривать и как исчисление классов, но лишь в той мере, в какой Лейбниц отходит от принятой им преимущественно интенсиональной трактовки отношений между терминами (понятиями) и допускает возможность экстенсионального рас-

==49

смотрения. Кратко говоря, строится оно следующим образом. Определяются некоторые основные отношения между терминами (тождество, совпадение, различие, включение) и операции с терминами (прибавление, отнятие), вводятся связанные с этим аксиомы, постулаты, характеристики и понятия, а затем доказывается целый ряд теорем. И положения, и рассуждения Лейбница настолько ясны, что вряд ли требуют пояснений.

Вопросов логики Лейбниц касается также в «Новых опытах о человеческом разумении», книге, написанной в 1703—1704 гг. Интересно, что, отстаивая в полемике с Дж. Локком значение силлогизма как универсального способа аргументации по форме, он вместе с тем вслед за И. Юнгом указывает на существование множества других,; асиллогистических выводов, которые нельзя строго доказать при помощи каких бы то ни было силлогизмов, не изменяя их терминов. Сюда относятся, в частности, выводы из высказываний об отношениях. Здесь же Лейбниц говорит о необходимости создания нового вида логики, которая занималась бы степенями вероятности и в отличие от аристотелевской «Топики» давала бы нам надежный критерий для взвешивания шансов и для составления на основании этого твердого суждения,— в сущности, имея в виду задачи, которые уже становились объектом изучения математической теории вероятности. Интересны и те соображения, которые он высказывает в этом, во многом итоговом, сочинении относительно места и роли логики и аргументации по форме, т. е. рассуждению, в котором вывод оправдывается в силу своей формы, относятся не только силлогизмы и асиллогистические выводы, но и правильный счет, и алгебраические выкладки, и анализ бесконечно малых, так как форма рассуждения здесь заранее доказана и ею в дальнейшем можно пользоваться,. не боясь впасть в ошибку. Однако особенные, свойственные математике разновидности форм аргументации сама математика обосновывает с помощью всеобщих форм логики. И все же соотношение математики и логики в лейбницевской концепции в целом представляется не столь одномерным. Ведь Лейбниц во всех своих логических исследованиях настойчиво искал разные способы математизации логики — будь то арифметизация логического вывода или же представление его по образцу алгебраического вычисления. Он сближал математику с логикой и логизируя математику, и математизируя логику. Именно это

К оглавлению

==50

и привело его к новым важным идеям и методам как в математике, так и в логике.

Несколько слов о лейбницевском понимании доказательства и определения. Лейбниц убежден, что научные предложения требуют доказательства. В логическом доказательстве не нуждаются лишь тождественные предложения и очевидные истины опытного знания. В принципе всякое предложение может быть априорно доказано путем разложения его терминов (субъекта и предиката) на составляющие их термины и сведения с помощью определений к тождеству или противоречию. Истинное необходимое предложение сводится таким образом к самоочевидным первым истинам, или тождественным предложениям, тогда как ложное, или невозможное, предложение, сводится к противоречию. Отсюда то первостепенное значение, которое имеют в логике и методологии Лейбница законы тождества и противоречия. Истинное же случайное предложение, по Лейбницу, не может быть сведено к тождественным, ибо процедура разложения здесь уходит в бесконечность. Его доказательство можно осуществить лишь указанием на то, что при продолжающемся разложении оно асимптотически приближается к тождественным. Читая Лейбница, как бы присутствуешь в лаборатории его мысли, ищущей, постоянно испытывающей пути решения. Вот, например, он утверждает: возможные предложения — это такие, относительно которых можно доказать, что в процессе их разложения никогда не возникнет противоречия. И тут же сомневается, достаточно ли для доказательства истины того, что при продолжении анализа становится известно, что не возникнет никакого противоречия; ведь отсюда будет следовать, что все возможное истинно. Он определяет ложное, в частности, как то, истинность чего невозможно доказать. А через страницу задается вопросами: является ли истинным все то, ложность чего не может быть доказана, и ложно ли все, что не может быть доказано как истинное? А как быть с тем, о чем нельзя доказать ни того ни другого? Таков Лейбниц. И именно потому, что, размышляя, он заставляет размышлять и нас, его произведения, несмотря на содержащиеся в них многочисленные повторения, читаются с неослабным интересом.

К Лейбницевой концепции доказательства тесно примыкает его теория определения. Свою трактовку определения Лейбниц не ограничил ни схоластическим правилом

==51

определять per genus et differentiam 1, ни номиналистическим подходом. Конечно, имеются определения через род и видовое отличие, как имеются и номинальные определения. В последних перечисляются отличительные признаки определяемого понятия и тем самым достигается его отчетливость, что является гарантией самой возможности аналитического процесса в доказательстве. Однако надежность доказательства обеспечивается реальными определениями, предполагающими возможность объекта определения, ибо относительно невозможных, или заключающих противоречие, понятий могут быть доказаны и противоречивые положения. Установление возможности, или непротиворечивости, понятия в принципе достигается разложением его на элементарные компоненты. Если же этот принцип реализовать не удается, то допустим другой прием определения. Так как все действительное возможно, то к удостоверению возможности понятия можно подойти, отыскав или же создав удовлетворяющий ему объект, причем это может быть указание некоторого общего способа построения объекта. Так Лейбниц приходит к оправданию определений per generationein 2 и per causam 3.

Как уже говорилось, логические работы Лейбница не были изданы при его жизни. Более того, многие из них написаны так, что, по-видимому, и не предназначались для публикации. Сейчас, столетия спустя, мы можем только глубоко сожалеть об этом, ибо очевидно, что в своих логических исследованиях Лейбниц предвосхитил многое из того, что впоследствии составило фундамент символической логики. Можно даже сказать, что своими исследованиями он предвосхитил саму эту логику. Он не только сформулировал ряд ее принципов и законов, но и выработал понятие формализованного логического языка и, преодолевая неудачи и трудности, в конце концов дал примеры его построения. Логики XVIII столетия (X. Вольф, И. Зегнер, Г. Плуке, И. Ламберт, Ф. Кастильон), выступившие с идеями, аналогичными тем, которые развивал Лейбниц, в принципе не пошли дальше того, на чем он остановился. Лейбниц первый попытался арифметизировать логический вывод, приписать различным логическим объектам различные натуральные числа, чтобы обнару-

1 по роду и отличию (лат.).

2 по происхождению (лат.).

3 по причине (лат.).

==52

жить соответствие законов логики законам чисел. Ему же принадлежит и глубокая идея алгебраизации логики, впервые систематически реализованная лишь полтора столетия спустя и до сих пор являющаяся одним из основных источников новых логических изысканий. Его работы близки современной логике и по стилю мышления, и по приемам постановки и решения задач. Но есть в логических исследованиях Лейбница еще одна особенность: все они находятся в русле глубокого потока его философской мысли. Не логика ради логики, а создание логического аппарата ради достижения каких-то значительных методологических и практических результатов —урок, который мы извлекаем сегодня из лейбницевского логического наследия.

Л. Л. Субботин

==53

Источник:
Лейбниц Г. В. Сочинения в четырех томах: Т. 3.- М.: Мысль, 1984. - 734 с. - (Филос. наследие. Т. 92). - С.41-53.