Дедуктивное мышление и древнегреческий полис. (Бычков С.Н.)

С.Н. Бычков

ДЕДУКТИВНОЕ МЫШЛЕНИЕ И ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИЙ ПОЛИС

В статье "Математика", опубликованной в Большой Советской Энциклопедии, А.Н. Колмогоров связал возникновение математики как самостоятельной науки с историческими особенностями древнегреческих государств. "Развитие математики в Древней Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраического характера и разработки математических средств астрономии лишь в эллинистическую эпоху был достигнут и превзойден уровень вавилонской математики, то уже гораздо раньше математика в Древней Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Появилась потребность в отчетливых математических доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математической теории... Это изменение характера математической науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником" [1, с. 466-467].

В концепции А.Н. Колмогорова примечательно то, что становление дедуктивной математики связывается им с восходящей линией развития полиса. "В 4 в. до н.э. в обстановке политической реакции и упадка могущества Афин наступает эпоха известного подчинения математики ограничениям, выдвинутым идеалистической философией. Наука о числах строго отделяется здесь от " искусства счисления" , а геометрия - от " искусства измерения" ... В самой геометрии производится строгое ограничение построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки; найденные в эту же эпоху решения... задачи об удвоении куба объявляются лежащими вне геометрии, так как они прибегают к более сложным конструктивным средствам" [1, с. 467]. В Y в. до н.э. подъем общественной жизни древнегреческих полисов способствовал, таким образом, перестройке математики на систематически-дедуктивной основе. Кризис же Афинского государства, связанный с поражением в Пелопонесской войне, отразился на математике (через философию) в виде ограничений, внешних по отношению к ней как таковой.

Концепция А.Н. Колмогорова в том виде, как она изложена в вышеуказанной статье, носит весьма общий характер и для решения проблемы генезиса теоретической математики требует уточнения. Ее можно пытаться конкретизировать в двух вариантах - "сильном" и "слабом". В первом случае практику общественно значимых дискуссий можно представить как достаточную причину зарождения аксиоматического метода. Во втором случае она рассматривается лишь как необходимая предпосылка возникновения дедуктивной науки, "нуждающаяся" в адекватном идее аксиоматического метода материале (например геометрии).

Остановимся сначала на первой из указанных возможностей конкретизации концепции А.Н. Колмогорова.. Достаточно ли ссылки на практику споров в древнегреческих полисах для исчерпывающего объяснения причин зарождения аксиоматического метода? В состоянии ли подобная практика одна, без дополнительных внешних условий, дать толчок формированию идеи дедуктивного способа рассуждений? На первый взгляд, кажется, что ничего невозможного в подобном допущении нет.

Человек, поднаторевший в ведении дискуссий, в споре с оппонентом всегда стремится отстоять ряд обязательных с его точки зрения положений, опираясь на которые уже можно в дальнейшем принудить собеседника к принятию защищаемого тезиса. В этом способе аргументации заметно сходство с доказательствами дедуктивной науки. Отождествляя завоеванные в начале дискуссии основоположения с аксиомами и учитывая, что противной стороне невыгодно позволять расширять базу аргументации против нее в ходе дальнейшего спора, можно попытаться смоделировать процесс дискуссии в рамках ограничений, характерных для дедуктивного метода.

К сожалению, удачным подобное "моделирование" может оказаться только в том случае, когда оппонент изначально избирает чисто пассивную тактику, не стремясь навязать в ответ собственный взгляд на дискутируемую проблему. Если, однако, он столь же искушен в хитросплетениях словесной борьбы, то обязательно попытается отстоять также и удобные для себя исходные позиции ведения спора.

Если противники так умны, что сразу же видят неприемлемость "системы аксиом", взятых на вооружение противной стороной, то спор по существу проблемы просто не начнется: при условии противоположности отстаиваемых конечных тезисов выбранные исходные наборы положений не могут не противоречить друг другу, что делает бессмысленной последующую чисто "дедуктивную" аргументацию. Спор между достойными друг друга соперниками происходит только тогда, когда они не отвергают с порога чужую позицию, будучи не в состоянии просчитать выводы из нее заранее, а строят в условиях взаимодействия с оппонирующей стороной систему рассуждений в надежде обосновать правильность своей точки зрения. По-иному "аксиоматическая модель" ведения содержательной дискуссии выглядеть не может. Будет ли, тем не менее, описанная процедура действительно удовлетворять жестким канонам дедуктивных доказательств или же здесь будет постоянно происходить выход за границы допустимого для аксиоматического метода?

Демонстрация спорящими сторонами необходимости следования отстаиваемых тезисов из принятых основоположений является лишь предпосылкой последующей дискуссии, помогая всего-навсего лучше ознакомиться с исходными позициями и удостовериться, что избранные "системы аксиом" действительно противоречат друг другу. Если дело этим и ограничится, то спор фактически даже не начнется. Первоначальное условное согласие с "аксиомами" противной стороны нужно лишь для того, чтобы затем поставить их под сомнение, апеллируя к реальности или, неявно, к собственным интересам, выдавая их (не важно - осознанно или бессознательно) за всеобщие и потому отвечающие тому же реальному положению дел. Само существо дискуссии требует систематического выхода за рамки формализованных представлений о предмете спора (да и может ли быть иначе, коль скоро приходится иметь дело одновременно с двумя противоречащими друг другу системами аксиом?!). Эта процедура "слишком содержательна" для того чтобы допускать моделирование средствами дедуктивного вывода. Последний подходит тогда, когда излагается и, соответственно, оспаривается только одна точка зрения.

Итак, принципиальная применимость идей аксиоматики на предварительной стадии дискуссий не дает все же оснований надеяться, что практика споров сама по себе могла послужить толчком к развитию представления о логической дедукции. Для того чтобы выдвинуть заранее основоположения, необходимые для доказательства защищаемого тезиса, надо уже владеть идеей дедуктивного вывода. Непосредственный опыт полемики не может исподволь подвести к этой идее по той причине, что отбор оптимальных аргументов - "аксиом" и вспомогательных "лемм", ведущих к доказательству искомой "теоремы", - зависит не только от предмета спора, но и от особенностей оппонента. Варьируемость поводов для дискуссий и противостоящих взглядов столь велика, что единственным способом ведения спора является выбор наилучших доводов прямо в ходе полемики, угадать же их до начала беседы не представляется возможным. Поэтому предъявление всех основоположений собственной позиции до начала спора на "житейскую" тему может казаться идеалом только приверженцу уже каким-то иным способом сформировавшегося аксиоматического метода рассуждений.

Детальное продумывание своей и чужой позиций в преддверии полемики имеют место в действительности только в научных дискуссиях и при обсуждении политических проблем большой важности, когда предварительные мнения сторон уже известны, а сам предмет спора допускает прогнозирование развития предстоящих бесед. Но и в этих случаях мышление все время ориентировано на преодоление имеющихся противоречий, чего средствами одной формальной дедукции никак не добиться.

Аксиоматический метод представляет собой определенный способ проведения доказательств, и его идея могла зародиться только там, где налицо потребность в обосновании имеющихся в распоряжении или требуемых утверждений. Если бы процесс его становления оказался не связанным со спецификой той или иной области знания (как это было бы в случае возникновения его из практики публичных дискуссий и судебных разбирательств), т.е. не опирающимся на конкретное содержание доказываемых утверждений, то это означало бы, что идея дедуктивного вывода способна появиться сразу в чистом виде, высвобожденном из оболочки геометрических или каких-то иных частных представлений. Но в какой ситуации замысел аксиоматического способа обоснования знания мог бы возникнуть сразу во всей общности, не имея в качестве образца предварительной реализации в особенном материале одной или нескольких наук?

Общность идеи метода может покоиться на общности его фактического использования в реальной практике рассуждений, но в отношении дедуктивного метода это исключено, так как для обоснования многих положений достаточно простой апелляции к чувственному опыту. Обусловленность применимости дедуктивного вывода предметным содержанием мысленных построений совместима с универсальной формулировкой аксиоматического метода лишь при сознательном отвлечении от этого предметного содержания, т.е. при исследовании форм умозаключений как таковых, вне зависимости от того, в каком материале они воплощены. Разве не мешало бы проанализировать, перед тем как рассуждать о конкретных вещах, на каких принципах вообще можно строить доказательство?

Всякое доказательство должно с чего-нибудь начинаться, причем начинаться с недоказанного. Поэтому во всяком рассуждении, претендующем на непреложность своих заключений, следует явно оговорить принимаемые за аксиомы исходные посылки и продемонстрировать, что требуемые заключения на самом деле вытекают из принятых предпосылок. Почему бы к такому выводу не придти в результате анализа неудачных попыток отстаивания собственных точек зрения в обыденных спорах? Если бы какому-то в