Часть 6.

гостей) на том основании, что они сыновья Посейдвна [47]. Нужно хвалить [тогда] также и Ниобу за то, что она имела много детей [48]. И наоборот, если заслуживают порицания неприглядность и бедность, то нужно порицать Одиссея за то, что он, принявши вид поденщика, "вступил в город враждебных мужей" [49]. Нужно будет порицать также и Персея, сына Зевса, за то, что он с подвязанной сумой шел по безводной Ливии, а также и Геракла за то, что он носил, совершая свои подвиги, львиную шкуру и дубину [50].

Если же сказать вообще, то пусть мы даже согласимся с этими частями риторики. Однако если справедливое в том, что оно есть справедливое, и полезное в том, что оно есть полезное, а также и прекрасное в том, что оно есть прекрасное, обнаруживается при помощи доказательства, а никакого доказательства не существует, то не сможет возникнуть и никакой риторики, составленной из подобных частей. А что не существует никакого доказательства - это в более точном виде выявляется в скептических рассуждениях [51] и теперь будет [у нас] представлено [только] ради лучшего воспоминания.

Именно, если не существует никакой речи, то не существует и доказательства, поскольку оно является какой-то речью. Но как мы установили [52], речь ни в коем случае не существует вследствие того, что она не имеет бытия ни в звуках, ни в бестелесном "словесном". Следовательно, не существует и доказательства.

[Можно сказать] еще иначе. Если оно существует, то оно или очевидно, или неясно. Однако оно не очевидно, потому что оно охватывает нечто неясное, отчего и вызывает разногласие, поскольку всякая разногласящая вещь является неясной. Остается, следовательно, чтобы доказательство было неясным. Однако если это так, то оно будет воспринято или само собой, или путем доказательства. Но оно не может быть воспринято ни само собой, поскольку оно было неясным, а само собой воспринимаемое неясное является неубедительным, ни путем доказательства вследствие ухода в бесконечность [53]. Следовательно, никакого доказательства не существует [54].

142

Далее, если не существует никакого доказательства как рода, то не может существовать никакого доказательства и как вида, подобно тому как не может существовать и человека, если нет живого существа. Однако, как мы установили, родового доказательства ни в какой форме не существует. Следовательно, не может существовать и никакого другого доказательства из видовых. Ведь если оно неясно, как мы перед этим вывели, необходимо, чтобы оно было установлено при помощи какого-нибудь [доказательства]. Но при помощи какого же? Ведь [только] или при помощи родового, или при помощи видового доказательства. Но [этого не может быть] ни при помощи видового доказательства вследствие того, что самое существование родового доказательства еще не является установленным, ни при помощи родового, поскольку это последнее является спорным. Однако нет никакого родового доказательства. А из этого вытекает, что не существует никакого и видового доказательства. И еще иначе. Если родовое доказательство имеет посылки и вывод, то оно не есть родовое. А если оно [их] не имеет, то оно ничего не сможет и установить, а тем более свое собственное существование. Кроме того, доказательство, которое удостоверяет доказательство же, или является предметом исследования, или не является таковым, но не являться таковым оно не может по причинам, высказанным раньше. Если же оно является предметом исследования, то оно должно быть установлено другим [доказательством], а это последнее в свою очередь - третьим, и так до бесконечности. Следовательно, никакого доказательства не существует.

Однако, высказавшись против тех положений, которые составляют содержание риторики, начнем новое рассмотрение и коснемся апорий, направленных против геометров, и арифметиков.

КНИГА III

ПРОТИВ ГЕОМЕТРОВ

[1. О ПРЕДПОСЫЛКАХ]

Так как геометры, обозревая множество получающихся у них апорий, ищут прибежища в том предмете, который кажется безопасным и надежным, [а именно] в постулировании принципов геометрии на основе предпосылок (###), то будет хорошо и нам положить в качестве начала возражений против них рассуждение о предпосылке [1]. Ведь и Тимон [2] в своих рассуждениях против физиков счел необходимым исследовать это в первую голову, т.е. вопрос о том, следует ли что-нибудь из предпосылки. Поэтому прилично будет и нам, идя по его следам, сделать подобное же в своем рассуждении против этих ученых.

Ради порядка сначала следует установить, что хотя о предпосылке говорится во многих и разнообразных смыслах, но сейчас достаточно будет сказать о трех смыслах, а именно: в первом смысле [имеется в виду] драматическая перипетия, вследствие чего мы говорим о трагической и комической "предпосылке" и о некоторых Дикеарховых [3] "предпосылках" для мифов Еврипида и Софокла, называя "предпосылкой" не что иное, как драматическую перипетию. В другом смысле говорится о предпосылке в риторике как об отдельном исследовании, в соответствии с чем часто софисты обыкновенно говорят в своих диатрибах: "Допустим [такую-то] предпосылку". Наконец, в третьем смысле мы называем предпосылкой отправной пункт доказательств, который является постулированием предмета для того или иного построения. Так, например, мы можем сказать, что Асклепиад [4] пользуется тремя предпосылками для установления обстоятельства, вызывающего лихорадку: первой - что в нас существуют какие-то умственно усматриваемые сосуды, взаимно-различные по величине, второй - что [в нас] отовсюду собираются частицы влаги и воздуха, состоящие из усматриваемых умом корпускул, постоянно пребывающих в движении, и третьей - что от нас возникают вовне какие-то непрерывные испарения, то большие, то меньшие по числу соответственно вызывающему их обстоятельству.

144

Однако если предпосылка мыслится теперь в стольких смыслах, то [нам] предстоит сейчас исследовать, конечно же, не драматическую диспозицию - накажет бог - и не те вопросы, которые ставятся у риторов, но ту предпосылку, о которой сказано в конце и которая является принципом доказательства. В этом виде и геометры принимают свою предпосылку, желая доказывать то или иное геометрически.

Вследствие этого сейчас же нужно сказать, что если принимающие что-либо на основе предпосылки без доказательства удовлетворяются для ее подтверждения только простым высказыванием, то можно спросить их о следующем, используя такого рода заключение. Именно, допущение чего-либо на основе предпосылки является или крепким и прочным в смысле достоверности, или недостоверным и бессильным. Но если оно крепко, то окажется достоверным и прочным также и принятое на основе предпосылки противоположное допущение, так что мы утвердим противоречивое. А если оказывается недостоверной предпосылка у того, кто принимает противоположное на основе [голой] предпосылки без доказательства, то недостоверной окажется она и здесь, так что мы не сможем утверждать ни того, ни другого из них. Следовательно, на основе предпосылки нельзя ничего принимать.

Далее, предпосылаемый предмет или истинен и таков, каким мы его предполагаем, или ложен. Но если он истинен, то незачем его постулировать путем прибегания к предмету весьма подозрительному, а именно к предпосылке, но мы принимаем его на основе его же самого, поскольку при помощи предпосылки никто не принимает истинного и существующего, как, например, того, что сейчас день или что я разговариваю и дышу. Ведь ясность этих предметов обладает уже сама собой прочным положением, а не той предпосылкой, которая [только еще] подвергается исследованию. Поэтому если предмет истинен, то мы уже не постулируем его так, как будто бы он не был истинным. Если же он не таков, но есть ложь, то из предпосылки не получится никакой пользы. Пусть мы будем его принимать в качестве предпосылки хотя бы бесчисленное множество раз, на гнилом фундаменте, как говорят, не получится никакого вывода из исследования, раз это последнее исходит из несуществующих принципов.

145

Впрочем, если считать достоверными выводы из всего, что бы ни допускалось в качестве предпосылки, то как бы этим не устранилось всякое вообще исследование. Пусть, например, каждый из нас предположит, что три равно четырем, и, допустивши это, сделает вывод, что и шесть равно восьми. Ведь если три равно четырем, то шесть будет равно восьми. Но как гласит предпосылка, три равно четырем. Следовательно, шесть равно восьми. Далее, пусть мы опять будем постулировать, что движущееся находится в покое, и, согласившись с этим предметом, сделаем вывод, что пламя неподвижно. Действительно, если движущееся находится в покое, то пламя неподвижно. Но движущееся именно находится в покое. Следовательно, пламя неподвижно. Однако как геометры назовут эти предпосылки нелепыми (ведь основание необходимо должно быть прочным, чтобы можно было согласиться и со следствием), так и мы не допустим без доказательства ничего из того, что у них принимается на основании предпосылок.

И - иначе. Если предпосылаемое прочно и достоверно [уже] тем самым, что оно предпосылается, то пусть они предпосылают не то, на основании чего они что-нибудь доказывают, но само это доказываемое, т.е. не посылки доказательства, но его вывод. Ведь какова сила предпосылки для [суждений], раскрывающих предметы, такова же должна она быть и для раскрываемых на основе данного доказательства предметов. Ведь если вывод из доказательства без самого доказательства является, несмотря на многократное полагание в виде предпосылки, недостоверным, то должно оказаться недостоверным и то, что допускается для его построения, если оно не преподано при помощи доказательства.

Но клянусь Зевсом, они говорят, что если вывод из предпосылок оказывается истинным, то обязательно должно оказаться истинным и предпосылаемое, т.е. то, из чего произведен вывод. Однако это в свою очередь глупо. Ведь на основании чего именно [надо заключать], что следующее из некоторых моментов доказательства является обязательно истинным? Они это могут утверждать или на основании самой [доказанной вещи], или на

146

основании тех посылок, из которых сделан вывод. Но на основании самой вещи этого нельзя сказать, потому что она неясна, а неясное на основании самого себя не является достоверным; во всяком случае они принимаются доказывать ее как то, что в самом себе не обладает достоверностью. Но это неочевидно и на основании посылок, поскольку о них-то и происходит весь спор. Если они еще не обладают достоверностью, то не может быть прочным и то, что на их основании доказывается. Также если последующее истинно, то это еще далеко не значит, что таково же и предыдущее. Ведь как из истин-ного обычно вытекает истинное и изо лжи - ложь, так же считается необходимым, чтобы изо лжи выводилось истинное, вроде того, например, как из суждения "земля летает", хотя оно и ложно, следует суждение "земля существует", которое истинно. Вследствие этого если последующее истинно, то это далеко еще не значит, что истинно предыдущее, но при истинности последующего предыдущее может быть ложью.

Этим достаточно доказано, что ученые, принимающие принципы доказательства и каждой теоремы на основании предпосылки, приговаривая это свое "пусть будет дано", поступают нехорошо.

[2. ПЛАН ДАЛЬНЕЙШЕГО ИССЛЕДОВАНИЯ]

Если же перейти к дальнейшему, то мы выставим учение, что [самые] принципы их науки оказываются ложными и неубедительными. И поскольку об этом можно было бы, очевидно, сказать многое, как мы говорили в начале нашего рассуждения, то должно быть приведено к апории то, с устранением чего устранится одновременно и прочее. Поэтому если после дискредитирования принципов уже не могут двинуться с места и отдельные доказательства, то мы выскажем то, что относится к этим принципам.

Итак, если перейти прямо к делу, они поучают нас как чему-то первичному и элементарному, что тело есть то, что обладает тремя изменениями: длиной, шириной и глубиной [5]. Первое измерение из этих есть измерение по длине сверху вниз, второе - по ширине справа налево и третье - по глубине спереди назад. Поэтому при трех измерениях получается шесть направлений, два по каждому: по первому - вверх и вниз, по второму - налево и направо и по третьему - вперед и назад.

147

Они, кроме того, утверждают, что из движения точки возникает линия, из движения линии - поверхность и из движения поверхности - твердое тело. В связи с этим они, употребляя общее описание, говорят, что точка есть знак, не содержащий никаких частей и промежутков, или граница линии, линия - длина без ширины, или граница поверхности, поверхность же - граница тела, или ширина без глубины. Рассуждая по порядку, мы скажем сначала о точке, потом о линии, а после этого о поверхности и теле. Ведь с устранением этого и геометрия перестанет быть наукой, раз она не обладает тем, от чего зависит успех ее построения.

[3. ТОЧКА]

Итак, точка, которую они называют знаком, не содержащим никаких промежутков, мыслится или в качестве тела, или в качестве бестелесного [6]. Но телом она у них не может быть, поскольку то, что не имеет протяжения, не есть тело. Следовательно, остается, чтобы она была бестелесной. А это опять неубедительно. Ведь бестелесное не мыслится способным что-нибудь порождать, будучи как бы тем, к чему нельзя и прикоснуться. А точка мыслится способной порождать линию. Следовательно, точка не есть знак, не содержащий никаких промежутков.

Далее, если явление есть видение неочевидного [7], то, поскольку в области явлений невозможно воспринять точки и границы чего-нибудь, не имеющей размеров, ясно, что подобное не может быть допущено и в области мыслимого. Но, как я установлю, в области чувственного ничего нельзя воспринять без размеров. Поэтому нельзя [найти этого] и в области мыслимого. Действительно, все наблюдаемое в области чувственного как граница чего-нибудь и точка воспринимается вместе с тем и в качестве крайней точки чего-нибудь, и в качестве части того, чего она является крайней точкой. Если мы, например, отнимаем ее, то должно уменьшиться и то, от чего произошло отнятие. Но то, что является частью чего-нибудь, тем самым оказывается способным и восполнять его. А то, что способно восполнять что-нибудь, во всяком случае должно увеличивать его размер. И то, что способно увеличивать размер, то по необходимости

148

само обладает размером. Следовательно, всякая точка и крайний предел чего-нибудь в области чувственного, обладая известным размером, не является лишенным размеров. Вследствие этого если мы даже и мыслим предмет мысли на основании перехода от чувственного, то мы должны мыслить его вместе с тем и в качестве точки и предела линии, а вместе с этим и в качестве того, что способно его заполнять. Поэтому и оно обязательно должно обладать протяжением, будучи способно создавать протяжение.

И иначе. Они утверждают, что исходящая из центра прямая образует на плоскости круг вращением одного из своих концов. Это значит, что если конец данной прямой есть точка и если эта последняя в результате вращения отмеривает окружность, то она должна быть тем, что заполняет эту окружность. Но эта окружность во всяком случае обладает протяжением. Следовательно, и способная заполнить ее точка тоже должна обладать каким-то протяжением.

Далее, шар, как считают, касается плоскости в одной точке; и когда он катится, то он образует линию. Ясно, что линия образуется благодаря ниспадению точек, составляющих всю ее. Следовательно, если точка способна заполнить величину линии, то она и сама должна обладать величиной. Однако признано, что она есть то, что способно заполнить величину линии. Следовательно, она должна обладать и величиной и не быть лишенной размеров.

Однако Эратосфен [8], возражая против подобных аргументов, по своему обыкновению говорит, что точка не занимает никакого места и не отмеривает никаких отрезков линии, но что она создает линию своим движением. Этого, однако, невозможно себе представить. Ведь движение мыслится относительно того, что простирается от одного какого-нибудь места к какому-нибудь другому. Такова, например, вода. Если же мы будем представлять себе точку чем-то вроде этого, то получится, что она не может быть лишенной всяких частей, но что, наоборот, она обладает многими частями.

[4. ЛИНИЯ]

Вот что [можно сказать] о точке. Рассмотрим далее и то, что должно быть сказано о линии [9], поскольку она помещается после точки.

149

Итак, даже если согласиться, что какая-то точка существует, [все равно] линия не может существовать. Действительно, если она есть движение точки и длина без ширины, то она является или одной точкой, протянутой в длину, или многими точками, расположенными на известных расстояниях в виде ряда. Однако, как мы установим, она не есть одна точка, протянутая в длину, и, как мы укажем и на это, она не есть и множество точек, расположенных в виде ряда. Следовательно, линии не существует.

Действительно, если она есть одна точка, то сама эта точка или занимает только одно место, или передвигается с места на место, или протягивается с какого-нибудь одного места к какому-нибудь другому. Но если она заключена внутри одного места, то она будет не линией, но точкой, поскольку линия мыслится в движении. Если же она будет переходить с места на место, то она или переходит, как я выше сказал, оставляя одно место и занимая другое или держась за одно место и протягиваясь к другому. Но если она оставляет одно место и занимает другое, то она опять будет не линией, а точкой. Ведь на каком основании то, что занимает первое место, мыслится в качестве точки, а не линии, на том же основании и занимающее второе место должно мыслиться в качестве точки. А если она держится за одно место и протягивается к другому, то она протягивается или соответственно делимому месту, или неделимому. И если она протягивается по неделимому месту, то она опять будет не линией, а точкой, поскольку то, что занимает не содержащее частей место, и само не содержит таковых" а то, что не содержит частей, является точкой, а не линией. Если же [точка протягивается] по делимому [месту], то, поскольку делимое обязательно имеет части (раз оно протягивается по всему данному месту), а то, что имеет части, благодаря которым оно протягивается по частям данного места, есть тело, отсюда точка должна быть делимой и телом. А это нелепо. Поэтому линия не есть одна точка.

Однако она не есть и множество точек, расположенных в виде ряда. Действительно, эти точки мыслятся или взаимно соприкасающимися, или несоприкасающимися. И если они взаимно не соприкасаются, то, содержа в себе промежутки, она разделится на некоторые отрезки, а то, что разделяется на отрезки, уже не может создать единую

150

линию. Если же их мыслить взаимно соприкасающимися, то или все они будут касаться друг друга целиком, или же [каждая] своей частью - части [другой]. И если они будут касаться своими частями частей же, то они уже не будут лишены промежутков и не будут лишены частей. Ведь точка, которая мыслится, например, между двумя точками, одной своей частью будет касаться предыдущей точки, а другой своей частью - последующей, да и плоскости - тоже иной какой-то частью, а еще каких-либо мест - иными, так что в действительности она уже не будет лишенной частей, но будет обладать многими частями. Если же точки будут касаться друг друга целиком, то ясно, что точки будут содержаться внутри точек и будут занимать то же самое место. А в силу этого они уже не будут лежать в виде ряда, чтобы получалась линия, но раз они занимают одно и то же место, получится одна точка. Поэтому если, чтобы мыслить линию, нужно прежде помыслить точку, в понятии которой заключена линия, но показано, что линия не есть точка и не состоит из точек, то значит, ее и не будет.

Более того, оставив в покое понятие точки, можно и прямо устранить линию и показать ее немыслимость.

Действительно, линия, как можно слышать от самих геометров, есть длина без ширины. Подвергнувши это точному рассмотрению, мы найдем, что ни в мыслимом, ни в чувственном нельзя допустить никакой длины без ширины. И в чувственном потому, что, какую бы чувственную длину мы ни взяли, мы везде и обязательно возьмем ее вместе с определенной шириной. В мыслимом же потому, что мы можем мыслить одну длину более узкой, чем другая, и когда, сохраняя одну и ту же длину одинаковой, мы будем делить в мысли ее ширину и будем делать то же самое до известного момента, то мы должны будем мыслить, что ширина становится все меньше и меньше, а когда представим себе, что длина совсем лишилась ширины, то мы не сможем представить себе уже и длины, но исчезнет и само понятие длины.

И вообще, все мыслимое мыслится двумя первыми способами: или как очевидное впечатление, или в результате перехода от очевидного; и это последнее - трояко: по уподоблению, по соединению [разнородных впечатлений] и по аналогии [10]. В результате фактической очевидности мыслится белое, черное, сладкое и горькое. В результате перехода от очевидного мыслится: уподо-

151

бительно, например, по изображению Сократа сам Сократ; соединительно, например, по лошади и человеку гиппокентавр (потому что путем смешения лошадиных и человеческих черт мы представляем себе не человека и не лошадь, но составленного из них обоих гиппокентавра). Аналогистически же нечто мыслится опять двумя способами: либо увеличительно, либо уменьшительно. Например, если иметь в виду людей вообще, "тех, что смертные ныне", то увеличительно мы мыслим киклопа, который не сходен

...был с человеком, вкушающим хлеб, и казался лесистой,

Дикой вершиной горы [11],

уменьшительно же - пигмея, которого мы чувственно не воспринимаем.

При стольких способах мышления если мыслится длина без ширины, то, очевидно, она должна необходимо мыслиться или в результате очевидного чувственного впечатления, или в результате перехода от очевидного. Однако в результате очевидного впечатления она не может мыслиться, поскольку мы не встречаем никакой длины без ширины. Остается, следовательно, утверждать, что она находится в мысли в результате перехода от очевидного. Но это в свою очередь относится к самому невозможному. Действительно, если бы она так мыслилась, то она мыслилась бы обязательно или по уподоблению, или по соединению, или по аналогии. Но, как мы установим, она не может появиться в мысли ни одним из этих способов. Следовательно, никакая длина без ширины не мыслится.

Действительно, мыслить какую-нибудь длину без ширины по уподоблению было бы невозможно. Ведь у нас нет никакой мыслимой длины без ширины в области явлений, чтобы мы могли подобно ей мыслить какую-нибудь длину без ширины. Ведь подобное чему-нибудь обязательно подобно познаваемому, а подобного непознаваемому невозможно и найти. Поэтому если мы не имеем такой длины без ширины, которая встречалась бы нам очевидным образом, то мы не сможем мыслить и что-нибудь ей подобное.

Далее, для геометров невозможно вывести понятие о ней и в результате соединения. В самом деле, пусть они скажут нам, соединяя что именно из познаваемого в качестве фактически очевидного и с чем именно, мы можем мыслить длину без ширины, подобно тому как раньше мы представляли гиппокентавра, создавая его из человека и лошади.

152

Им остается, следовательно, прибегнуть к понятию, полученному по способу аналогистического увеличения или уменьшения, что в свою очередь явно ведет к апории. Ведь то, что мыслится по аналогии, содержит в себе нечто общее с тем, в отношении чего оно мыслится, как, например, в отношении величины человека вообще мы мыслили увеличительно киклопа и уменьшительно - пигмея, так что существует нечто общее у того, что мыслится по аналогии, с тем, в отношении чего оно мыслится. Однако мы не имеем ничего общего в мышлении длины без ширины и длины с шириной, чтобы, отправляясь от последнего, мы могли бы помыслить длину без ширины. Если же мы не имеем ничего общего для них, то мы не будем в состоянии создать мышление длины без ширины и по аналогии.

Вследствие этого если всякий мыслимый предмет мыслится указанными способами, а показано, что длина без ширины не мыслится никаким из этих способов, то длина без ширины совершенно ускользает от всякой мысли.

Однако даже на такие очевидные аргументы геометры, набираясь по возможности храбрости, говорят, что длина без ширины мыслится "по усилению свойства" [12]. Именно, взявши какую-нибудь длину с определенной шириной, они утверждают, что эта ширина с усилением ее свойства быть узкой уменьшается; так что, если ширина будет все более и более сужаться, то когда-нибудь достигнет одной длины без ширины в конце такого усиления, а тем самым и мы придем к искомому понятию.

Однако, скажет кто-нибудь, мы ведь показали, что совершенное отнятие ширины есть уничтожение и длины [13]. Затем, то, что мыслится по усилению свойства, ничем не отличается от исходно данного понятия, но является им же самим, только в усиленном смысле. Поэтому если мы хотим что-нибудь мыслить "по усилению свойства" узости, исходя из определенной ширины, то мы никоим образом не мыслили бы длины вполне без ширины (поскольку это относится уже к другому роду), по мы воспримем некую узкую ширину, так что получится остановка мысли на очень малой ширине, однако все-таки на ширине. А после этого возникнет направленность мысли на предмет другого рода, т. 0. на то, что не есть ни длина, ни ширина.

153

Далее, если было бы возможно, мысля какую-нибудь длину с определенной шириной, получить путем отнятия ширины длину без ширины, то можно было бы подобным же образом, мысля тело со специфическим признаком ранимости, путем отнятия признака ранимости мыслить тело неранимым и нечувствительным.

Можно было бы также, мысля тело со специфическим признаком сопротивляемости, путем отнятия сопротивляемости получить и какое-нибудь тело, лишенное сопротивляемости. Это, однако, совершенно невозможно и противоречит общечеловеческим представлениям. Ведь то, что мыслится как неранимое, уже не является для нас телом, поскольку [только] с ранимостью как со специфическим признаком тело и мыслится в качестве тела; и тело, лишенное сопротивляемости, уже не мыслится в качестве тела. Ведь тело как тело мыслится [только] вместе с сопротивляемостью как со своим специфическим признаком. Поэтому и длина, которая мыслится без ширины, не может быть длиной, поскольку длина как длина мыслится вместе с обладанием определенной шириной.

Однако, несмотря на разнообразно установленную немыслимость этого предмета и несмотря на то, что геометры находятся в немалом смущении [по этому вопросу], как раз Аристотель [14] утверждает, что выдвигаемая ими длина без ширины вовсе не является немыслимой, но что она может появиться в области нашей мысли без всяких трудностей. Он строит свое рассуждение на некотором очевидном и ясном примере, а именно: длина стены, говорит он, берется нами без внимания к ее ширине. Вследствие этого и выдвигаемая у геометров длина без всякой ширины тоже может быть мыслима, поскольку явления суть видение неочевидного. Но Аристотель заблуждается или, может быть, софистически нас обманывает. Ведь когда мы мыслим длину стены без ширины, то мы мыслим ее не без всякой ширины, но без той ширины, которая относится к стене, почему и оказывается возможным, сочетая длину стены с какой-то шириной, сколь угодно малой, получить понятие [стены без ширины]. Поэтому длина берется в настоящем случае не без всякой ширины, как этого требуют ученые, по только без такой-то данной ширины. Однако Аристотелю надлежало установить не то, что выдвигаемая, согласно геометрам, длина не причастна к такой-то ширине, но что она лишена всякой ширины [вообще]. А этого он не доказал.

154

[5. ЛИНИЯ И ПОВЕРХНОСТЬ]

Вот что [можно сказать] об этом. Однако, поскольку геометры называют линию, которая есть длина без ширины, также и границей поверхности, то мы построим более общую апорию относительно линии и поверхности сразу [15]. А таким образом легко будет дискредитировать и рассуждение относительно тела.

Действительно, если линия есть граница поверхности, будучи [к тому же] длиной без ширины, то ясно, что когда мы приставим одну поверхность к другой, то или две линии окажутся одна возле другой, или обе окажутся одной. И если две линии становятся одной, то, поскольку линия есть граница поверхности, а поверхность - граница тела, при слиянии двух линий в одну сольются в одну и две поверхности; а если две поверхности стали одной, то по необходимости и два тела станут одним телом, если же два тела стали одним, то приставление уже не будет приставлением, но [неразличимым] единением. А это невозможно. Ведь в отношении одних тел приставление [одного к другому] может стать единением (как, например, в отношении воды и подобного ей), в отношении же других не может. Так, если камень приставить к камню, железо к железу и сталь к стали, то здесь нет единения по линии, значит, две линии не могут стать одной.

Так же и иначе. Если действительно существует единение двух линий, становящихся одной, и также слияние тел, то неизбежно, чтобы разделение их возникало в результате разрыва не по тем же самым границам, но по частям, все разным и разным, так что должно было бы возникнуть и уничтожение [самих границ]. Однако этого явления вовсе не усматривается, но границы тел и до присоединения, и после присоединения оказываются теми же самыми, какими они являлись и раньше, в процессе самого присоединения. Следовательно, две линии не становятся одной.

155

Впрочем, если бы две линии даже становились одной, то нужно было бы, чтобы присоединяемые друг к другу тела становились на один край меньше. Ведь две линии стали одной, которая должна иметь и одну границу и один край. Однако присоединяемые друг к другу тела не становятся меньше на один край. Поэтому две линии не могут стать одной линией.

Однако если две линии с присоединением одного тела к другому пойдут одна возле другой, то составленное из двух линий будет больше одной линии. Если же то, что возникает из двух линий, больше одной линии, то каждая из них должна обладать шириной, которая в соединении с другой шириной создает большее расстояние. И таким образом, линия не есть длина без ширины.

Следовательно, одно из двух: или нужно отбросить очевидность, или, если она остается, нужно устранить мнение геометров, согласно которому они полагают, что линия есть длина без ширины.

Итак, вот что нужно нам прежде всего сказать против принципов геометрии. Однако, переходя к дальнейшему, мы выставим учение, что исследование не может сдвинуться с места с точки зрения их же собственной предпосылки.

Как известно, их мнение таково, что прямая линия, как мы и говорили выше [16], своим вращением всеми своими частями описывает круг. Однако с этой теоремой, хотя она и очень содержательная, находится в противоречии то, что линия есть длина без ширины. Рассмотрим дело следующим образом.

Именно, если, как они говорят, каждая часть линии содержит точку, а точка своим вращением описывает круг, то, по их учению, необходимо, чтобы всякий раз, когда прямая линия, вращаясь и описывая всеми своими частями круг, отмеривает на плоскости расстояние от центра до самой внешней окружности, тогда описываемые круги оказываются или непрерывно [следующими] один за другим или находящимися друг от друга на известном расстоянии. Но если они находятся друг от друга на известном расстоянии, то из этого должно следовать, что имеется некоторая часть плоскости, не занимаемая кругом, и часть прямой, которая хотя и прошла это расстояние, но не описала круга. А это нелепо. Ведь прямая линия или не содержит точки в данной своей части, или, если содержит, то не описывает круга. А то и другое из этого противоречит геометрическому ученику поскольку в нем утверждается как то, что всякая часть линии содержит точку, так и то, что всякая точка своим вращением описывает круг.

156

С другой стороны, если они полагают, что круги непрерывно [следуют] один за другим, то или они занимают одно и то же место, или они расположены один около другого, причем посередине не попадается ни одной точки (поскольку всякая точка, которая берется мысленно посередине, тоже должна была бы описывать круг). И если все они занимают одно и то же место, то получается один круг, и потому наименьшему кругу, расположенному у центра, будет равен больший круг, самый внешний и охватывающий все другие. Действительно, если самый внешний круг, находящийся у самой окружности, занимает большее расстояние, а самый внутренний круг, находящийся у центра, занимает малое расстояние, но притом все круги занимают одно и то же место, то круг, занимающий большую плоскость, окажется равным тому, который занимает наименьшую часть. Однако это бессмысленно. Следовательно, круги непрерывно [следуют] не так, чтобы занимать одно и то же место. Если же они оказываются один возле другого так, что между ними не попадается ни одной точки, лишенной частей, то они заполнят [всю] ширину от центра до периферии. Если же они [ее] заполнят, то во всяком случае [каждая из них] занимает какую-то ширину. Но ведь эти круги - линии. Следовательно, линии обладают какой-то шириной и не являются "без ширины".

Отправляясь от того же самого принципа, мы можем присоединить аргументацию того же рода, что и предложенная выше, а именно: когда они говорят, что если описывающая круг прямая описывает круг при помощи себя самой, то мы тоже поставим вопрос и скажем [так]. Если описывающая круг прямая способпа описать круг при помощи себя самой, то линия не есть длина без ширины. Но описывающая круг прямая описывает круг при помощи себя самой, как они утверждают. Следовательно, линия не есть длина без ширины. Как мы покажем, это вполне следует из их учения. Именно, когда проходящая из центра прямая вращается и описывает круг при помощи себя самой, то прямая линия проходит или по всем частям плоскости, заключенной внутри данной окружности, или не по всем,, но по не-

157

которым. И если она проходит по некоторым, то она не описывает круга, потому что по одним частям она проходит, а по другим нет. Если же она проходит по всем, то она отмеривает всю ширину окружности, а, отмеривая ширину, она сама будет обладать шириной, поскольку то, что способно отмеривать ширину, должно само обладать шириной, при помощи которой она отмеривала бы. Следовательно, прямая линия, описывающая круг, отмеривает всю ширину, и линия не есть длина без ширины.

То же самое станет яснее на том положении геометров, что если будет двигаться боковая сторона четырехугольника, то она отмерит плоскость в виде параллелограмма. Действительно, если движущаяся боковая сторона четырехугольника есть длина без ширины, то она не сможет при помощи себя самой отмерить часть плоскости, на которой находится четырехугольник, в виде параллелограмма. Ведь то, что способно отмерить ширину, само обладает шириной. А если она отмеривает, то она обязательно обладает шириной. Поэтому опять-таки или данная теорема у геометров неправильна, или не существует никакой длины без ширины, которую можно было бы мыслить.

[6. ЛИНИЯ, ПОВЕРХНОСТЬ И ТЕЛО]

Далее, они утверждают, что цилиндр касается плоскости по прямой линии, и, когда катится, он вследствие постепенного наложения все новых и новых прямых отмеривает плоскость [17]. Однако если цилиндр касается плоскости по прямой и, когда катится, путем наложения все новых и новых прямых отмеривает плоскость, то плоскость обязательно состоит из прямых, и также поверхность цилиндра наполняется прямыми. Вследствие же этого, поскольку плоскость, а также и поверхность цилиндра обладают шириной и не являются без ширины, а то, что способно образовать ширину, должно и само обладать шириной, то ясен вывод, что и прямые линии, способные заполнить ширину, по необходимости сами обладают шириной, так что не существует никакой "длины без ширины", а тем самым и линии.

153

Однако если даже мы согласимся, что линия есть длина без ширины, то из этого последует еще большая апория. Действительно, как точка в своем движении создает линию [18], так, по их мнению, и линия в своем движении образует поверхность, которая, по их словам, есть граница тела, поскольку она обладает двумя измерениями - длиной и шириной. Поэтому если поверхность есть граница тела, то тело обязательно обладает границей. А если так, то, когда два тела присоединяются одно к другому, либо их границы касаются границ, либо ограниченное в них касается ограниченного, либо и ограниченное касается ограниченного, и также границы - границ. Так [бывает], например, с амфорой, если в качестве границы мы представим себе внешний черепок, а в виде ограниченного - содержащееся в нем вино. Именно когда две амфоры приставлены одна к другой, то или черепок будет касаться черепка, или вино - вина или и черепок - черепка, и вино - вина. Но если границы касаются границ, то одно ограниченное не будет касаться другого, т.е. [не будут взаимно касаться] тела. А это абсурд. Если же одно ограниченное будет касаться другого, т.е. [будут взаимно касаться] тела, а границы их взаимно не будут касаться, то тела окажутся вне собственных границ. Если же и границы касаются границ, и одно ограниченное - другого, то мы [только] объединим эти апории: поскольку взаимно соприкасаются границы, одно ограниченное не будет касаться другого, а поскольку [будет соприкасаться] одно ограниченное с другим, тела окажутся вне собственных границ (раз границей является [здесь] поверхность, а ограниченным - тело).

Далее, границы или суть тела, или бестелесны. Но если они тела, то ложным окажется утверждение геометров, что поверхность не имеет глубины. Ведь если она есть тело, то по необходимости она должна будет обладать и глубиной, поскольку всякое тело должно обладать глубиной. Затем, [границы] не будут и касаться чего-нибудь, но все окажется беспредельным по величине. Ведь если они есть тело, то, поскольку всякое тело обладает границей, и эта последняя, будучи телом, также должна будет обладать границей, и эта последняя - точно так же, и так - до бесконечности. Если же граница бестелесна, то, поскольку бестелесное не может ни касаться чего-нибудь, ни быть предметом касания [19], границы тоже не будут касаться друг друга. А если они не касаются, то не будет и одно ограниченное касаться другого. Поэтому если даже мы и согласимся, что линия есть длина без ширины, то приводит к апории рассуждение о поверхности. Если же это приходит к апории, то даже без нашего изложения придет к апории и твердое тело, поскольку оно составляется из этого.

159

Будем рассматривать еще и так. Если, как утверждают геометры, тело есть то, что обладает тремя измерениями (длиной, шириной и глубиной), то тело или отделимо от этого так, что тело это - одно, а длина, ширина и глубина тела - другое, или же тело есть сочетание этих [измерений]. Однако невероятно, чтобы тело отделялось от этого, поскольку, где не имеется ни длины, ни ширины, ни глубины, там нельзя помыслить и тела. Если же в качестве тела мыслится сочетание этих [моментов измерений] и кроме этого нет ничего другого, то по необходимости, если каждое из этих [измерений] бестелесно, должно стать бестелесным и общее объединение бестелесного. Именно, подобно тому как соединение точек и объединение прямых, которые по природе бестелесны, не создает твердого и сопротивляющегося тела, точно так же и стечение ширины, длины и глубины, будучи бестелесным, не сможет образовать твердого и сопротивляющегося тела. Если же тело и не существует вне этого и не есть самые эти [измерения], то тело, поскольку оно рассматривается геометрами, становится немыслимым.

Кроме того, если объединение длины, ширины и глубины образует тело, то каждое из этих [измерений] или еще до этого соединения мыслится в качестве содержащего в себе самом эту телесность и эти как бы телесные моменты, или же тело [только еще] образуется после их стечения. И если каждое из этих [измерений] еще до данного объединения мыслится в качестве содержащего в себе рассматриваемую телесность, то каждое из них будет телом [само по себе], а не станет им после их объединения. Затем, поскольку тело не является ни длиной просто, ни шириной, взятой в отдельности, ни самостоятельной глубиной, но является всеми этими тремя: и длиной, и шириной, и глубиной - и каждое из этих [измерений] содержит в себе телесность, то каждое из них должно будет обладать всеми тремя [измерениями], т.е. длина окажется не просто длиной, но и шириной, и глубиной, и ширина окажется не просто шириной, но и длиной, и глубиной, и глубина одина-

160

ково будет и длиной, и шириной. Это, однако, в полном смысле слова безрассуднее всего. Если же тело мыслится в своем составе только после стечения этих [измерений], то после их стечения или остается первоначальная природа длины как длины, ширины как ширины и глубины как глубины, или же она изменилась в сторону телесности [20]. Если эта их первоначальная природа остается, то, поскольку они бестелесны, она не сможет создать отличного от этого тела, но и после своего объединения они останутся бестелесными, поскольку они по природе бестелесны. Если же после схождения они изменяются в сторону телесности, то, поскольку способное к изменению тем самым уже есть тело, каждое из этих [измерений] будет телом еще до соединения в тождественном, а кроме того, еще и бестелесное станет телом. Далее, подобно тому как изменяющееся тело получает одно качество вместо другого, но тем не менее остается телом, как, например, белое - чтобы стать черным, сладкое - чтобы стать горьким, вино - чтобы стать уксусом, свинец - чтобы стать белилами, и медь - чтобы стать ржавчиной, но остаются телом и черное, когда оно из 90 белого стало черным, и горькое, когда из сладкого оно стало горьким, и уксус, когда из вина он стал уксусом, точно так же и эти [измерения], когда они превращаются в тела, должны становиться вместо одних тел другими, но тем не менее оставаться телами же, поскольку они не выходят [тут] за пределы собственной природы.

Следовательно, если нельзя помыслить тела ни до схождения этих [измерений], ни после их схождения, а кроме того, нельзя придумать ничего другого, то тела [просто] не существует. К тому же если не существует ни длины, ни ширины, ни глубины, то не будет и мыслимого по причастности им тела. Но действительно не существует ни длины, ни ширины, ни глубины, как мы доказали предыдущими рассуждениями [21]. Следовательно, не будет и тела, понимаемого как нечто причастное этим измерениям.

[7. ПРЯМАЯ]

Таким образом, начала геометрии оказываются лишенными всякой реальной основы. Но с их устранением не может существовать никакое другое геометрическое положение. Действительно, каково бы ни было это последнее, оно должно быть доказано на линиях [черте-

161

жей]. А мы показали [22], что никакой линии как родового понятия не существует. Из этого следует, что не существует и никакой линии в качестве вида, будет ли кто-нибудь предполагать ее в виде прямой, ломаной или имеющей какой-нибудь другой вид. Отсюда на этом, пожалуй, можно было бы и закончить наше возражение против геометров. Однако же, вступая снова в борьбу, мы попробуем показать, что, даже если мы оставим в стороне эти принципы геометрии, все равно геометры не могут ни составить, ни доказать никакой теоремы.

Однако и прежде того относительно их основных принципов можно сказать еще немало, как, например, относительно их положения, что прямая есть линия, одинаково расположенная всеми своими частями [23]. Действительно, если пройти мимо прочего, ясно [уже] то, что если не существует линии как рода, то не может существовать и прямой линии. Ведь подобно тому как при отсутствии живого существа не существует и человека, а при отсутствии человека не существует и Сократа, точно так же с устранением родовой линии должна устраниться и плоская прямая линия. Затем, и "одинаковое" высказывается в двух смыслах. В одном смысле оно есть то, что обладает одинаковой величиной, и не превосходит то, в отношении чего оно зовется одинаковым, не превосходится им, как, например, мы говорим, что палка длиной в один локоть одинакова с палкой в один локоть. В другом смысле это есть то, что обладает одинаково расположенными частями, т.е. равномерное. Так, например, мы называем почву ровной, вместо того чтобы назвать ее равномерной. Итак, если об одинаковом говорится в двух смыслах, то, когда геометры в целях определения прямой линии говорят: "Прямая линия есть та, которая одинаково расположена своими частями", - они пользуются "одинаковым" или в первом значении, или во втором. Но если в первом, то они поступают совершенно безрассудно, поскольку нет никакого смысла в том, чтобы прямая линия имела одинаковые величины своих частей и не превосходила их, и не была превосходима ими. Если же во втором смысле, то они должны будут вести доказательство при помощи того, что [только еще] исследуется, потому что существование прямой они устанавливают на основании того, что она имеет свои части расположенными равномерно и по прямой, а то, что нечто лежит на прямой, нельзя узнать без использования [уже готовой] прямой.

162

Еще нелепее рассуждают "те, кто дает такое определение: "Прямая линия есть та, которая одинаково обращается в своих собственных пределах" или такое: "...которая, обращаясь в своих собственных пределах, всеми своими частями касается плоскости". Во-первых, и эти определения подпадают под высказанные нами раньше апории. Затем, как это говорят и эпикурейцы [24], хотя прямая в пустоте есть прямая, по, однако, она здесь не вращается, потому что сама пустота не допускает движения ни цельного, ни по частям; что же касается второго определения, то оно, кроме того, впадает и во взаимодоказуемость [25]. А это дурнее всего. Именно, плоскость они определяют при помощи прямой, а прямую - при помощи плоскости, поскольку прямой является, по их мнению, та, которая касается всеми своими частями плоскости, а плоскость есть то, чего касается всеми своими частями проводимая прямая, так что для определения прямой надо сначала узнать плоскость, а чтобы узнать эту последнюю, необходимо предварительно знать прямую. Это - нелепо. И вообще тот, кто определяет прямую через плоскость, делает не что иное, как устанавливает прямую при помощи прямой же, поскольку, по их мнению, плоскость есть просто множество прямых.

[3. УГОЛ И КРУГ]

Но каково рассуждение относительно прямой, таковым же оно должно быть и относительно угла. Именно, опять-таки, когда они в целях определения утверждают, что угол есть "то наименьшее, что получается при взаимном наклонении двух прямых, не параллельных между собой" [26], то под "наименьшим" они понимают или лишенное частей тело, или то, что у них называется точкой. Однако лишенного частей тела они не могут иметь в виду, поскольку это последнее не может делиться даже па две части, в то время как угол, по их мнению, делится до бесконечности. И иначе: из углов один, по их мнению, больше, другой же - меньше. Но нет ничего меньше наименьшего тела, поскольку наименьшим является это последнее, а не [что-нибудь другое]. Следовательно, остается иметь в виду то, что они называют г точкой. А это и само относится к области апории.

163

Действительно, если точка, во всяком случае, везде является лишенной всяких промежутков, то угол не может быть подвергнут делению. Кроме того, угол не может быть больше или меньше, поскольку в том, что не обладает никаким размером, не может существовать и никакого различия по величине. И иначе: если точка попадает между прямыми, то она разделяет прямые; а то, что производит разделение, не может быть лишенным промежутков.

Но нет, некоторые из них имеют еще обыкновение называть углом "первое расстояние при наклонении [прямых]". Против них

Простое слово истины имеется [27].

А именно: указанное расстояние или не содержит в себе частей, или оно делимо. Но если оно не содержит в себе частей, то у них последуют выше высказанные апории. Если же оно делимо, то ни одно из разделенных не будет первым, поскольку, какую бы часть ни предположить первой, всегда можно найти другую, еще более первую вследствие признаваемого ими же самими деления [всего] существующего до бесконечности.

Я уж не говорю, что подобное определение углов противоречит их другому научному пониманию у геометров. Именно, производя разделение, они утверждают, что из углов один является прямым, другой - тупым, третий - острым, причем среди тупых углов одни являются более тупыми, чем другие, и то же самое среди острых углов. Но если мы скажем, что углом является наименьшее расстояние при наклонении [прямых], то подобное различие углов не сохранится, поскольку они и превосходят друг друга и друг другом превосходятся. Или же, если они сохраняются, то уничтожится сам угол, поскольку он [в данном случае] не обладает устойчивой мерой, при помощи которой его можно было бы распознать.

Итак, вот что нужно сказать против них по поводу прямой линии и угла. Когда же с целью определения круга они говорят [28]: "круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, когда проведенные до нее от центра прямые равны между собой", - то это пустой разговор, поскольку если устранены и точка, и линия, и прямая, и также плоскость и угол, то не может быть мыслим и круг.

164

[9. ОПЕРАЦИИ С ПРЯМОЙ]

Однако чтобы не показаться какими-то софистами и не тратить все содержание возражений на одни только геометрические принципы, давайте перейдем к дальнейшему и, как мы обещали раньше [29], рассмотрим теоремы, следующие у них за принципами.

Например, говоря о разделении данной линии на две части [30], они говорят о разделении или той линии, которая дана на доске, или той, которая мыслится на основании перехода от этой. Однако они не могут говорить о разделении линии, данной на доске, поскольку эта линия является имеющей чувственную длину и ширину, а та прямая линия, о которой говорят они, есть длина без ширины, так что, не будучи, по их мнению, линией на доске, она не может быть и разделена на две части как линия. Но не может быть разделена и линия, которая мыслится по переходу от этой [линии на доске]. Действительно, пусть, например, будет дана линия, состоящая из девяти точек, причем от каждого конца будет считаться четыре и четыре точки, а одна из них будет находиться между двумя четверками [точек] [31]. Если при этих условиях целая линия делится на две [равные] части, то делящее попадает либо между этой пятой точкой и другой четверкой точек, либо на самую эту пятую точку так, что разделит ее [пополам]. Однако было бы неразумным считать, что делящее проходит между упомянутой пятой точкой и одной из четверок [точек], поскольку результаты деления оказались бы неравными и один из [отрезков] состоял бы из четырех точек, а другой из пяти. Но было бы еще гораздо неразумнее этого думать, что сама точка делится пополам, потому что [тогда] у них уже не оставалось бы точки, лишенной всякого размера, раз она делится пополам делящим.

То же самое рассуждение [получается] и тогда, когда они говорят о делении круга на равные части [32]. Действительно, если круг делится на равные части, то, поскольку он обязательно содержит посередине себя центр, который как раз является точкой, этот центр должен быть приписан к одной из половин [круга] или должен будет сам делиться пополам. Однако отнесение центра круга к той или иной из его половин делает деление пополам неравным; а если и сам он делится пополам, то это противоречит тому, что точка лишена промежутков и частей.

165

Далее, делящее линию или есть тело, или оно бестелесно. Но оно не может быть ни телом, поскольку [тело] не могло бы разделить нечто лишенное частей и бестелесное, с чем невозможно столкнуться, ни бестелесным. Ведь если это бестелесное есть опять-таки точка, то оно не может производить деления, поскольку не имеет частей и делит опять-таки не имеющее частей; если же оно есть линия, то в свою очередь, раз оно должно делить своими собственными границами, а ее границы лишены частей, оно опять не производит никакого деления.

И иначе: та граница, которая производит деление, делит линию на две части, или попадая в середину между двумя точками, или оказываясь в середине самой точки. Однако невозможно, чтобы она оказывалась в середине точки, потому что, как мы сказали выше [33], [в данном случае] было бы необходимым, чтобы точка вообще оказывалась делимой и уже не лишенной размеров. Но еще неразумнее было бы думать, что она оказывается посередине двух точек. Во-первых, никакая граница не может падать в середине того, что непрерывно. Во-вторых, если даже допустить возможность этого, то она должна была бы раздвинуть то, посередине чего она поместилась бы, если оно действительно непрерывно. Однако оно не способно двигаться. Следовательно, и рассуждение относительно того, что производит деление, тоже ведет к апории.

Впрочем, пусть даже мы согласимся с ними в том, что отнятие производится от чувственных прямых. Все равно и в этом случае у них ничего не получится. Действительно, отнятие может происходить или от всей прямой, или от ее части; и то, что отнимается, будет отнимаемым или в качестве равного от равного, или в качестве неравного от неравного, или наоборот. Но, как мы установили в рассуждении против грамматиков [34] и против физиков [35], ничто из этого не может быть проведено беспрепятственно. Следовательно, для геометров невозможно что-нибудь отнимать от прямой или ее делить.