Абстракция и математическая интуиция.1975. (Дьедонне Ж.)

Жан Дьедонне[1] АБСТРАКЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТУИЦИЯ (Математики о математике, М.:«Знание». 1982; оригинал: Par Jean Dieudonne. L' abstraction et l'intuition matliematique. Tire a part de «Dialectica», Revue internationale de philosophie de la connaissance Vol. 29 №1 [1975] Case postale 1081, 2501 Bienne [Suisse] )

Все математики единодушно признают основополагающую роль, которую воображение играет в математическом творчестве. Логика — это необходимый и скучный инструмент (известно, что математики ее, вообще говоря, не слишком ценят); ею надо уметь должным образом владеть, так как она позволяет следить за доказательством и проверять его... но не изобретать!

Но как же изобретается доказательство? Этот процесс прекрасно описал А. Пуанкаре на ставших знаменитыми страницах: воображение предоставляет математику, стоящему перед лицом некоторой проблемы, множество всевозможных комбинаций известных фактов, теорем, однако большинство из них никуда не ведет. Если случайно математик нашел верный путь, то говорят, что у него хорошая интуиция, которая его удачно направляла. Но как только речь заходит об интуиции, сейчас же возникает недоразумение, проистекающее из того, что это слово уже имеет одно значение — кстати, очень расплывчатое — в разговорной речи, касающейся вполне обыденных вещей и явлений, и это приводит нас прямо в центр проблемы, затронутой на этом коллоквиуме.

Никто, конечно, не думает отрицать, что источником основных математических понятий, таких, как число или пространство, является чувственный опыт. Начиная примерно с 12 лет, если верить профессиональным психологам, небольшие натуральные числа или простые пространственные отношения (положение, величина и т. д.) могут рассматриваться как устойчивые, базирующиеся на опыте понятия, присущие всем нормальным людям и образующие субстрат соответствующих математических понятий. Однако необходимо сразу же отметить одно обстоятельство, которое, на мой взгляд, недостаточно учитывается: математические объекты, претендующие на выражение этих опытных понятий, наделяются математиками такими свойствами, которые явно выходят за пределы опыта. Возьмем, например, произвольное натуральное число: я сомневаюсь, что кто-либо обладает серьезной интуицией натурального числа, большего, чем 10 (я имею в виду непосредственное восприятие; насколько мне известно, существуют психологические опыты, в которых требуется, не считая, определить количество возникающих на экране точек, и при этом безошибочный ответ дается лишь тогда, когда число точек не превосходит 7). Понятия неограниченно продолжаемого натурального ряда чисел, бесконечной прямой и т. д. могут служить примерами концепций, не имеющих непосредственного экспериментального обоснования. Существование точной верхней грани, аксиома о вложенных отрезках, говорящая о том, что при неограниченном разбиении отрезков существует общая точка для всех полученных отрезков - все это, строго говоря, нельзя проверить экспериментально. То же замечание относится и к постулату Евклида.

После двухвекового раздумья над этими вопросами мы теперь знаем, что выбор аксиом производится математиками довольно произвольно иногда из эстетических соображений или, по Пуанкаре, из соображений удобства; они вовсе не навязываются извне некоторыми явлениями или чувственной интуицией, которую мы можем иметь по отношению к ним. Кстати, история показывает, что некоторые аспекты этой чувственной интуиции могут вступать в столкновение, когда встает вопрос о выборе между ними. Г. Гирш напоминал в своем выступлении, что пифагорейцы были приведены к рассмотрению не действительной прямой в нашем обычном понимании, а «рациональной» прямой. Почему так произошло? Из-за меры: имеются две длины, и вполне естественно считать, что у них есть общая мера. Это совершенно логично, однако произошло столкновение с другой стороной интуиции: когда захотели измерять отрезки, возникающие в геометрии на плоскости, обнаружили, что существуют длины (например, диагональ единичного квадрата), которые не отвечают этому требованию. И тогда необходимо было выбрать: заниматься ли геометрией на плоскости, в которой диагональ квадрата имеет длину, или считать, что диагональ квадрата длины не имеет. (Кстати, это вполне можно было бы допустить. Геометрия над полем рациональных чисел совершенно разумна, но только некоторые утверждения в этой геометрии становятся ложными.)

Другими словами, имеются причины, связанные с историческим развитием математики, по которым на понятия, возникшие в основном из опыта, стали налагать требования, которые вовсе не имеют такого происхождения, и которые выступают в качестве аксиом, наложенных на понятия, выбранные в качестве основных. После этого, естественно, нет ничего удивительного, хотя это и смущало людей в свое время, что чувственная интуиция рассматриваемых объектов, хотя бы действительных чисел, либо в некоторых случаях совершенно не существовала, либо была недостаточной и обманчивой. Она не существовала в упомянутом выше случае произвольно больших натуральных чисел: если бы имелась мгновенная интуиция произвольно больших натуральных чисел, получение результатов теории чисел не представляло бы труда, в то время как на самом деле это весьма сложное дело и к результатам этой теории приходят путем огромных усилий, использующих всевозможные ресурсы, лежащие вне ее. Никто не может сказать, что у него есть интуиция истинности или ложности теоремы Ферма. Иногда интуиция, которой обладают относительно некоторых понятий, начиная с аксиом, дает идею доказательства. Классическим примером может служить теорема Больцано, говорящая о том, что непрерывная функция не может изменить знак, не обратившись в нуль. Здесь есть достаточно четкая геометрическая интуиция, которая дает идею доказательства. Если же попытаться доказать теорему Жордана[2], которая тоже интуитивно очевидна, выясняется, что здесь интуиция обманчива. Имеются и вовсе неинтуитивные объекты, классические чудовища: кривая Пеано, континуум Брауэра, который является общей границей трех плоских областей, кольцо Антуана, являющееся вполне разрывным множеством, хотя существует кривая, которую нельзя деформировать в точку, не пересекая этого кольца. Кстати, чтобы не заходить в столь далекие области, можно привести такие примеры ложной интуиции, как знаменитый чертеж, с помощью которого доказывают, что всякий треугольник равнобедренный. Если сделать чертеж так, что точка пересечения перпендикуляра к середине стороны и биссектрисы противолежащего угла окажется внутри треугольника (что, очевидно, невозможно), легко показать, что треугольник равнобедренный. Этот пример хорошо иллюстрирует тот факт, что пространственная интуиция, вырабатываемая в нас элементарной геометрией, может оказаться обманчивой.

Поэтому не надо давать себя обманывать. Даже для понятий, которые кажутся близкими к чувственной интуиции, соответствующие математические объекты, в сущности, очень отличаются от того, что мы о них думаем. В этом факте кроется источник огромного удивления, возникшего у большинства математиков XIX века, полагавших, что понятия, которые они ассоциировали с действительными числами, сами собой разумеются и не могут привести к экстравагантным результатам, подобным кривой Пеано.

Мы больше не удивляемся таким явлениям. Начиняя с конца XVI - XVII века математики разрушили классическое представление о числе и пространстве и начали исследовать объекты, не имеющие никакого чувственного эквивалента. Никто никогда не видел группы, кольца, тела, модуля. Геометрии Лобачевского, Римана и все другие геометрии, р-адические числа[3], дифференцируемые многообразия созданы математиками. Как же можно говорить об интуиции для этих объектов? Ответ на этот вопрос, безусловно, трудно сформулировать, так как речь идет о явлениях совершенно субъективных. Каждый математик создает себе индивидуальный мысленный образ, в чем-то несравнимый с соответствующими образами мыслей других. Поэтому анализ, который я попытаюсь провести, прочно связан с моими собственными образами. Иначе не могло бы и быть, и я, не претендуя на произнесение всеобщих истин, просто попытаюсь прояснить некоторые умственные процессы, которые мне все же кажутся примерно общими для многих математиков.

Вначале отметим распространенную и совершенно банальную точку зрения: интуиция математического объекта постепенно развивается и зависит прежде всего от степени знакомства с этим объектом. Что делает математик, когда перед ним встает совершенно новая для него проблема, которую он никогда не изучал и над которой он только начинает работать? Чаще всего он либо совсем не знает, какие вопросы надо ставить, либо ставит абсурдные вопросы. Здесь типичным примером может служить А. Пуанкаре (к счастью, Пуанкаре, будучи самым большим математиком своего времени, счел нужным очень точно описать свои впечатления об исследованиях). Когда Пуанкаре начал работать над автоморфными функциями, как он сам говорит об этом в своей книге, он пытался доказать, что не существует других автоморфных функций, кроме тех, которые были хорошо известны в то время (в том числе модулярных функций). Отсюда видно, до какой степени даже самые крупные математики могут двигаться в совершенно абсурдном направлении. Пуанкаре заметил это сам, и именно в этом проявилась его, как говорят, большая интуиция, потому что, изучая вопрос, понемногу начинают осваиваться в незнакомой стране; привыкая, приходят к умению угадывать, что должно произойти, когда встречают данный математический объект, и какой инструмент нужно применить для его исследования. Постепенно прекращаются нелепые ошибки, допускаемые вначале. В конце концов вырабатывается определенная привычка к теме и, если повезет, удается поставить проблему и решить ее.

Это очевидно, и все-таки банально говорить, что интуиция просто является плодом хорошего знания темы. Я верю, что есть крайние случаи, где, нет ничего другого, кроме хорошего знания, ибо речь идет об объектах совершенно абстрактных, не имеющих никаких связей с другими математическими понятиями. Для меня типичным примером (здесь большую роль играет личное восприятие) является область, в которой я никогда не рабо