Элементы физики. ок. 460 н.э. (Прокл Диодох)

Прокл Диодох

Элементы физики. ок. 460 н.э.

ЧАСТЬ I

Определения

I. Непрерывные суть те, края которых одно.

II. Касающиеся суть те, края которых вместе.

III. Следующие друг за другом суть те, между которыми нет ничего однородного им.

IV. Первое время движения есть то, которое не больше и не меньше движения1.

V. Первое место есть то, которое не больше охватываемого им тела и не меньше.

VI. Покоящееся есть то, что и ранее и позднее находится в одном и том же месте, как само, так и части.

1. Два неделимых не касаются друг друга.

Допустим, два неделимых А и В касаются друг друга. Но касающимися были те, края которых в одном и том же. Это означает, что у двух неделимых будут края. Следовательно, А и В не неделимы.

2. Два неделимых2 не образуют ничего непрерывного.

Допустим, имеется два неделимых А и В, и пусть они вместе образуют непрерывное. Но все непрерывное сначала соприкасается. Следовательно, А и В касаются друг друга, будучи неделимыми, что невозможно.

Иначе: Допустим, непрерывное состоит из неделимых А и В. Тогда А касается В либо как целое целого, либо как целое части, либо частью части3 . Но если как целое части или частью части, то А и В не будут неделимыми. Если же они касаются как целое целого, то не получится непрерывного, а одно всего лишь совпадет с другим ((tm)farmТsei). Поэтому, если А не было непрерывным, то и В вместе с А не будет непрерывным, поскольку касается его как целое целого.

3. Промежуточное между неделимыми в непрерывном непрерывно4 .

Пусть имеются два неделимых А и В. Я утверждаю, что промежуточное между А и В непрерывно. Если это не так, то неделимое А касается неделимого В, что невозможно. Следовательно, промежуточное между ними непрерывно.

4. Два неделимых не могут быть следующими друг за другом.

Пусть имеются два неделимых А и В. Я утверждаю, что А не может следовать за В. В самом деле, поскольку было доказано, что промежуточное между двумя неделимыми непрерывно, пусть промежуточным между ними будет GD, и пусть оно будет разделено в Е. Тогда неделимое Е находится между А и В. Но следующими друг за другом назывались те, между которыми нет ничего однородного. Следовательно, А и В не могут следовать друг за другом.

5. Все непрерывное делимо на части, всякий раз снова делимые5 .

Пусть имеется непрерывное АВ. Я утверждаю, что АВ делится на части, всякий раз снова делимые. В самом деле, разделим его на АЕ и ЕВ. Они, в свою очередь, либо неделимы либо всегда делимы. Тогда, если они неделимы, то непрерывное будет состоять из неделимых, что невозможно, а если делимы, то разделим их снова. Если новые части неделимы, то неделимые одно с другим составят непрерывное, а если делимы, то разделим и их, и так до бесконечности. Все непрерывное, следовательно, делимо на части, всякий раз снова делимые.

6. Если некая величина будет состоять из неделимых, то и движение по ней будет из неделимых.

Пусть величина АВG состоит из неделимых А, В, G. Я утверждаю, что и движение по величине АВG будет состоять из неделимых. Пусть движением по ней будет DEZ, а движущимся пусть будет Q, и пусть оно движется движением D по А, движением Е по В и движением Z по G. Очевидно, что D или неделимо или делимо. Допустим, оно делимо и поделено надвое. Тогда Q пройдет половину прежде целого, а поскольку оно двигалось по А, то и А делимо, но по условию, оно было неделимым. Тогда неделимо и D. Точно так же доказывается, что неделимы Е и Z.

7. Если движение будет состоять из неделимых, то и время движения будет из неделимых.

Пусть движение АВG состоит из неделимых А, В, G, и пусть временем движения АВG будет DEZ. Я утверждаю, что и оно состоит из неделимых. Возьмем какое-нибудь движущееся Q, и пусть оно движется движением А в течение времени D, движением В - в течение Е, движением G - в течение Z. Я утверждаю, что D, E и Z неделимы. В самом деле, если D, в течение которого Q совершает движение А, делимо, разделим его. Тогда за половину времени Q совершит не полное А, а часть. Следовательно, движение А тоже делимо, однако, по условию, оно было неделимым. Тогда неделимо и D. Точно так же доказывается, что неделимы Е и Z.

8. Из движущихся с неравной скоростью более быстрое за равное время проходит большее расстояние.

Пусть имеются тела, движущиеся с неравной скоростью: более быстрое А и более медленное В, и пусть А движется из G в D в течение времени ZH. Тогда, поскольку В - более медленное, за время ZH оно еще не придет из G в D, потому что более быстрое приходит к цели раньше, а более медленное позже. Пусть тогда В за время ZH пришло в Е. Тогда за одно и то же время А прошло расстояние GD, а B - расстояние GE. Но GD больше GE, значит, более быстрое за одно и то же время проходит большее расстояние.

9. Для движущихся с неравной скоростью могут быть указаны промежутки времени (больший для более медленного, меньший для более быстрого), за которые более быстрое проходит большее расстояние, а более медленное - меньшее.

Пусть А и В движутся с неравной скоростью: А быстрее, В медленнее. Тогда, поскольку более быстрое за то же самое время проходит большее расстояние, пусть А за время ZH пройдет расстояние GD, а B - расстояние GE. Поскольку А за полное время ZH проходит расстояние GD, то GQ оно пройдет за меньшее чем ZH время. Возьмем меньший промежуток времени и назовем его ZK. Тогда, поскольку А за время ZK прошло расстояние GQ, а В за время ZH - расстояние GE, причем GQ больше GE, и время ZH больше ZK, то тем самым указаны промежутки времени - больший ZH для В и меньший ZK для А - за которые А прошло большее расстояние GQ, а В - меньшее расстояние GE, что и требовалось сделать.

10. Из движущихся с неравной скоростью более быстрое за меньшее время пройдет равное расстояние.

Пусть имеются тела, движущиеся с неравной скоростью: А быстрее, В медленнее, и пусть за время ZH A прошло расстояние GD, а В за то же самое время - меньшее расстояние GE. Тогда, поскольку за весь промежуток времени ZH A проходит расстояние GD, меньшее расстояние GE оно пройдет за меньшее время. Пусть оно проходит его за время ZK. В же проходило GE за время ZH. Но время ZH больше ZK, следовательно, равное расстояние GE A проходит за меньшее время, а В - за большее.

То же самое можно доказать иначе: Пусть A быстрее В, и пусть В проходит расстояние GE за время ZH. Тогда A проходит GE или за то же самое время, или за большее, или за меньшее. Но если за то же самое, то его скорость будет равна скорости В, а если за большее, то оно будет медленнее В, хотя должно быть быстрее. Следовательно, A пройдет расстояние GD за меньшее время, что и требовалось доказать.

11. Всякое время делимо до бесконечности, а также всякая величина и всякое движение.

Пусть A быстрее В, и пусть В за время ZH проходит расстояние GD. Тогда, поскольку было доказано, что более быстрое за меньшее время проходит равное расстояние, A пройдет GD за время, меньшее ZH, и тем самым время ZH будет поделено. Разделим его в Q. Тогда, поскольку A за время ZQ пройдет GD, В за то же самое время пройдет расстояние, меньшее GD (ведь было доказано также, что за равное время более быстрое проходит большее, а более медленное - меньшее расстояние), и тем самым разделит GD. Пусть оно разделит его в К. Поскольку В пройдет расстояние GK за время ZQ, A опять пройдет то же расстояние за меньшее время, как было доказано, и тем самым разделит время ZQ. Таким образом, делимость времени будет доказываться через более быстрое на основании предыдущей теоремы, а делимость величины - через более медленное на основании восьмой теоремы. Но если делимы они, то очевидно, что и движение делимо до бесконечности, поскольку было доказано, что если движение состоит из неделимых, то и время. Поэтому, если время делится до бесконечности, то точно так же и движение, что и требовалось доказать.

12. За конечное время нельзя пройти бесконечное расстояние.

Допустим, за конечное время GD A проходит бесконечную величину ZE, и пусть время GD будет поделено надвое в К. Тогда за время GK A проходит либо целое ZE либо его часть. Пройти целое оно, конечно, не может, поскольку A проходило целое за время GD. Пусть тогда оно проходит его часть QL. Далее, поскольку в течение времени КD оно проходит какую-то часть ZE (а не целое, как уже доказано), то пусть оно пройдет расстояние LM. Итак, расстояние QM пройдено за время GD, то есть конечное расстояние за конечное время; отсюда ясно, что бесконечное расстояние не может быть пройдено за время GD, поскольку невозможно пройти целое и часть за одно и то же время6 .

Отсюда ясно, что как целая величина относится к своей части, так время движения по целой величине у равномерно движущихся тел относится ко времени движения по части.

13. Никакая конечная величина не может быть пройдена за бесконечное время.

Пусть A - движущееся, ВG - конечная величина, DZ - бесконечное время движения, и пусть величина ВG будет поделена надвое. Очевидно, что A проходит половину величины BG и саму ее либо за бесконечное, либо за конечное время. Пусть оно проходит первую половину за бесконечное время. Однако все непрерывно движущееся проходит целое за большее время чем часть. Следовательно, расстояние BG будет пройдено за время, большее бесконечного, следовательно, не за бесконечное, следовательно, за конечное. Назовем его QL. Затем A проходит оставшуюся половину ВG, и на том же самом основании оно проходит ее не за бесконечное, а за конечное время. Назовем его LM. Итак, A проходит ВG за время QM - не за бесконечное, а за конечное, что и требовалось доказать.

14. Если дано, что одно тело быстрее другого в полтора раза, то можно доказать, что неделимых линий не существует.

Пусть A быстрее В в данном отношении и пусть даны три неделимых линии G, D, и Е, и еще две - Z и Q. A проходит G, D и Z, а В - Z и Q за равное время, так как отношение