Часть 1.

Фреге Г.

Основоположения арифметики.1884.

ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ О ПОНЯТИИ ЧИСЛА

ЛОГИЦИСТСКАЯ ПРОГРАММА Г.ФРЕГЕ

К середине XIX века усилиями ряда мыслителей стал, наконец, проясняться характер связи математики и логики, единство которых было предугадано ещё Г.Лейбницем. Осознание тесной связи пришло со стороны математиков. Первый шаг на этом пути был сделан трудами англичан А. де Моргана и Дж. Булля. Предложив алгебраическую интерпретацию логических отношений, они создали предпосылки для создания математизированной логики, которая нашла своё окончательное выражение в трудах немецкого математика Э. Шредера. Рассматриваемая как раздел алгебры логика предстала здесь как совокупность вычислительных процедур, распространённых с отношений между переменными величинами на отношения между переменными содержаниями. Однако, несмотря на зримые достижения, такой подход таил одно парадоксальное следствие. С одной стороны, логика представлялась разделом математики; с другой стороны, понимаемая как наука об универсальных законах мышления, логика должна была оправдать, в том числе и математические рассуждения. Выход из ситуации был найден великим немецким логиком Г. Фреге, который взамен математизированной логики предложил логизированную математику.

Несмотря на исключительную новизну предложенного решения, суть новаций не выходила за рамки внутренних интенций развития современной математики. Создание неколичественной алгебры, теории трансфинитных чисел и т.д. всё более зримо указывало на отсутствие связи между математическими положениями и эмпирическим исследованием. Наличие независимых друг от друга, но в равной степени обоснованных теорий типа неэвклидовых геометрий требовало нового обоснования специфики математического рассуждения. Таким образом, математика всё более утрачивала эмпирическую основу, что приводило к двум важным следствиям. Во-первых, математические символы всё более и более теряли конкретную связь с пространственными и количественными отношениями, приобретая формальный характер, более свойственный логике, которая, отвлекаясь от содержания мысли, оперирует чистыми формами, репрезентирующими последовательность рассуждений. Математика становится наукой о порядке. Во-вторых, математическое знание более не рассматривается как совокупность истин об особом роде предметов, как считалось со времён Платона, а понимается как выведение следствий. Математики отказываются от понимания истины как определённой адеквации между продуцируемым ими знанием и действительностью. Критерием истины становится непротиворечивость следствий, полученных из исходных постулатов. Стало быть, и в этом отношении логика, как анализ непротиворечивости рассуждения, приобретает исключительное значение. Оба следствия по существу содержат требование логического прояснения лежащих в основании математики понятий. Исследование должно выявить их структурные особенности, обеспечивающие возможность сугубо формального подхода, и гарантировать непротиворечивость формулируемых с их помощью постулатов.

В этом русле как раз и развиваются идеи Г.Фреге, который ставит перед собой проблему выяснения того, как далеко можно продвинуться в арифметике только с помощью умозаключений. Свою задачу он видит в том, чтобы свести основное понятие арифметики "упорядочивание в ряд" к логической последовательности и на этом пути объяснить понятие числа. Отсюда возникает своеобразная программа создания логизированной математики, получившая название логицизма. В общем виде эта программа результируется в двух принципах: во-первых, все понятия арифметики должны быть определены с помощью понятий логики и, следовательно, все утверждения арифметики должны быть преобразованы в утверждения логики; во-вторых, в результате такого перевода все истины арифметики должны стать истинами логики. Если учесть, что вся математика может быть сведена к арифметике, данная программа представляет собой проект последовательного выведения всего математического знания из логического. Однако решению этой основной задачи мешало одно препятствие. Дело в том, что язык, обычно применяемый математиками в своих рассуждениях, обладал значительными недостатками, связанными как с естественными эквивокациями, которые не устранялись математическими символами, поскольку для их связи всё ещё использовались выражения обыденного языка, так и с энтимемичностью, скрывающей полную совокупность умозаключений, приводящих к требуемому следствию. Этот недостаток невозможно было устранить и средствами, предлагаемыми традиционной логикой, поскольку её язык не приспособлен для выражения фундаментальных для математики понятий, например понятия отношения. Устраняя этот недостаток, Фреге дополняет логицистскую программу задачей создания новой логики, решение которой рассматривается как необходимое введение. На этом пути в первой крупной работе Шрифт понятий (1879) немецкий логик фактически создаёт современную логику, которая замышлявшаяся как средство анализа математического рассуждения стала универсальным средством исследования любого языка.

Предлагаемая читателю в русском переводе вторая крупная работа Г. Фреге Основоположения арифметики (1884) решает задачи, связанные непосредственно с логицистской программой. Здесь решается проблема выражения с помощью собственно логических терминов основного арифметического понятия. Определяющая дистинкция между понятием и предметом, достигнутая в первой работе, используется как мощное орудие разрешения парадоксов интерпретации числовых операций и арифметических законов. Критикуя предшествующие способы обоснования чисел - от психологизируюшего реализма до формализма, - немецкий логик основывает своё исследование на специфике структуры понятия, рассматривая число как отражение особенностей этой структуры. Число предстаёт как свойство понятия, которое далеко отстоит как от психологической ассоциации представлений, так и от простого оперирования значками. Сведение числа к свойству понятия позволило: во-первых, рассмотреть способы рассуждения, ранее считавшиеся сугубо математическими (например, принцип математической индукции), как разновидность логического метода получения следствий, и, во-вторых, объяснить природу трансфинитных и комплексных чисел, существование которых казалось парадоксальным. Таким образом, арифметика получала столь необходимое ей достоверное основание, которое связывалось с очевидностью логического знания.

Несмотря на то, что осуществление задач, поставленных Г.Фреге, в целом носит технический характер и на первый взгляд далеко отстоит от насущных проблем философии, их реализация имеет исключительный характер, в том числе и для последней. Со времён И.Канта истины математики и логики считались истинами совершенно различных типов, проходя под рубрикой синтетических и аналитических соответственно. Успешная реализация логицистской программы потребовала бы пересмотра характера всего знания, устранив из области математики созерцание.

Наиболее полно идеи, первоначально представленные в Шрифте понятий и Основоположениях арифметики, нашли своё окончательное выражение в капитальном труде (1893-1902) Основные законы арифметики. Фреге считал свою миссию практически законченной, но как раз тогда английским философом и логиком Б.Расселом был обнаружен парадокс, показавший, что технические методы, которые разрабатывал и, как представлялось, успешно применял немецкий логик, таили в себе глубокое противоречие. С этого момента программа логицизма становится практически исключительной прерогативой Рассела, который представил её в реформированном виде в подготовленном совместно с А. Уайтхедом трёхтомном труде Principia Mathematica (1910-1913). По иронии судьбы логизированная математика становится делом англичан, поменявшись ролями с математизированной логикой, которая, возникнув в Англии, нашла своё завершение в Германии.

Однако обнаружение технических парадоксов ни в коей мере не отменяет значимость работы немецкого логика. Несмотря на то, что на дальнейшее развитие логики и математики пропедевтическая задача создания новой логики оказала гораздо большее влияние (новые средства формального анализа, предложенные Г.Фреге, фактически лежат в основании всех последующих разработок символической логики и могут рассматриваться как достижение, по существу независимое от логицизма), чем сама логицистская программа, как и всякая новаторская работа Основоположения арифметики содержит идеи, вошедшие в необходимый арсенал современных философских методов. Эта книга способствовала глобальной реформе в области философии математики, философии языка и теории познания. В исследованиях по символической логике и основаниях математики ссылки на эту работу присутствуют в обязательном порядке. Для философских школ аналитического направления данный труд по многим вопросам до сих пор остаётся определяющим. Определение понятия числа с точки зрения логических понятий представляет собой классическую модель редукции одной области знания к другой, которая до сих пор служит как образцом для исследований подобного рода, так и примером реализации критических усилий философов и математиков различных школ и направлений. Последовательная критика психологизма привела к значительному изменению структуры и формы теории познания, возродив, в противовес субъективизации описания познавательных процессов, так называемый "реализм" в логике и математике, который оказал значительное влияние на феноменологию. Ряд принципов (например, принцип контекстности), сформулированный Г.Фреге в данной работе, до сих пор служит руководством для исследований в области лингвистической философии и языкознания.

При жизни Г.Фреге сетовал на непонимание ввиду технической сложности и оригинальности высказываемых им идей. Возможно, именно это сохраняет свежесть их восприятия современным читателем и служит поводом к новой интерпретации, зачастую далеко отстоящей от оригинального источника.

В.А.СУРОВЦЕВ

Die

Grundlagen der Arithmetik

eine logish mathematische Untersuchung

?ber den Begriff der Zahl

VON

Dr. G.FREGE

a.o. Professor an der Universit?t Jena

Breslau

Verlag von Wilhelm Koebner

1884

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

§1. В последнее время в математике заметно справедливое стремление к строгости доказательства и точному схватыванию понятия.

§2. Наконец проверка должна распространиться и до понятия числа. Цель доказательства.

§3. Философские мотивы для такого исследования: спорность вопроса о том, являются ли законы чисел аналитическими или синтетическими, априорными или апостериорными истинами. Смысл этих выражений.

§4. Задача этой книги.

I. МНЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ АВТОРОВ О ПРИРОДЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ

ПРЕДЛОЖЕНИЙ

ДОКАЗУЕМЫ ЛИ ЧИСЛОВЫ ФОРМУЛЫ?

§5. Кант отрицает то, что Ханкель справедливо называет парадоксом.

§6. Доказательство 2 + 2 = 4 у Лейбница содержит пробел. Определение Грассманом a + b ошибочно.

§7. Мнение Милля о том, что определения отдельных чисел, из которых вытекает счёт, утверждают наблюдаемые факты, необоснованно.

§8. Для оправдания этих определений не требуется наблюдения таких фактов.

ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ЗАКОНЫ АРИФМЕТИКИ ИНДУКТИВНЫМИ ИСТИНАМИ?

§9. Законы природы у Милля. Называя законами природы арифметические истины, Милль смешивает последние с их применением.

§10. Доводы против того, что законы сложения являются индуктивными истинами: неоднородность чисел; в определениях мы ещё не обладаем множеством общих свойств чисел; напротив, вероятно, индукция основывается на арифметике.

§11. Выражение Лейбница «врождена».

ЯВЛЯЮТСЯ ЗАКОНЫ АРИФМЕТИКИ АПРИОРНО СИНТЕТИЧЕСКИМИ ИЛИ

АНАЛИТИЧЕСКИМИ?

§12. Кант. Бауман. Липшиц. Ханкель. Внутреннее созерцание как основание познания.

§13. Различие арифметики и геометрии.

§14. Сравнение истин в отношении управляемой ими области.

§15. Воззрения Лейбница и Ст.Джевонса.

§16. Милль, напротив, умаляет «искусное пользование словами». Знаки пусты не потому, что они не обозначают чего-то чувственно зримого.

§17. Недостаточность индукции. Предположение о том, что законы чисел являются аналитическими; в чём тогда заключается их польза. Ценность аналитических суждений.

II. МНЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ АВТОРОВ О ПОНЯТИИ ЧИСЛА

§18. Необходимость исследовать общее понятие числа.

§19. Определение не может быть геометрическим.

§20. Определимо ли число? Ханкель. Лейбниц.

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО СВОЙСТВОМ ВНЕШНИХ ВЕЩЕЙ?

§21. Мнения М.Кантора и Э.Шрёдера.

§22. Мнение Баумана противоположно: Внешние вещи не представляют строгих единиц. По-видимому, число зависит от нашего понимания.

§23. Мнение Милля о том, что число является свойством агломерата вещей, непрочно.

§24. Обширная применимость числа. Милль. Локк. Бестелесная метафизическая фигура у Лейбница. Если число являлось бы чем-то чувственным, оно не могло бы быть присуще нечувственному.

§25. Физическое различие между 2 и 3 у Милля. Согласно Беркли, число не есть реальное в вещах, но является созданием духа.

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО ЧЕМ-ТО СУБЪЕКТИВНЫМ?

§26. Описание числообразования у Липшица не подходит и не может заменить определение понятия. Число является не предметом психологии, но чем-то объективным.

§27. Число не является представлением места объекта в ряду, как хочет Шлёмильх.

ЧИСЛО КАК МНОЖЕСТВО

§28. Тома о придании имени.

III. МНЕНИЯ О ЕДИНИЦЕ И ОДИН

§29. Многозначность выражений «?????» и единица. Объяснение Э.Шрёдером единицы как подлежащего счёту предмета, по-видимому, бесцельно. Прилагательное «один» не содержит более близкого определения и не может служить в качестве предиката.

§30. После попытки определения Лейбница и Баумана понятие единицы кажется совершенно расплывчатым.

§31. Признак неделимости и отграниченности у Баумана. Идея единицы не даётся нам каждым объектом (Локк).

§32. Язык всё же указывает на связь с неделимостью и отграниченностью, однако, при этом изменяется смысл.

§33. Нераздельность (Г.Кёпп) - неустойчивый признак единицы.

РАВНЫ ЛИ ЕДИНИЦЫ ДРУГ ДРУГУ?

§34. Равенство, как основание имени «единица». Э.Шрёдер. Гоббс. Юм. Тома. Понятие числа не возникает абстрагированием от различия вещей, и благодаря ему вещи не становятся равными.

§35. Если речь должна идти о множественности, различие даже необходимо. Декарт. Э.Шрёдер. Ст.Джевонс.

§36. Точка зрения на различие единиц также наталкивается на затруднения. Различие однёрок у Ст.Джевонса.

§37. Объяснение числа с точки зрения единицы или однёрки у Локка, Лейбница и Хессе.

§38. «Однёрка» является собственным именем, «единица» - понятийным словом. Число нельзя определить в качестве единиц. Различие «и» и +.

§39. Трудность, примирить равенство единиц с их различимостью, скрыта многозначностью слова «единица».

ПОПЫТКИ ПРЕОДОЛЕТЬ ЗАТРУДНЕНИЕ

§40. Пространство и время как средство различия. Гоббс. Тома. Противоположная точка зрения: Лейбниц, Бауман, Ст.Джевонс.

§41. Цель не достигается.

§42. Место в ряду как средство различия. Полагание у Ханкеля.

§43. Замещение предметов знаками 1 у Шрёдера.

§44. Джевонс об отвлечении от характера различия с удержанием его просто как факта. 0 и 1 являются числами, как и все остальные. Затруднение остаётся.

РЕШЕНИЕ ЗАТРУДНЕНИЯ

§45. Ретроспективный взгляд.

§46. Указание на число содержит высказывание о понятии. Возражение, что у неизменного понятия число изменяется.

§47. Фактичность указания на число объясняется объективностью понятия.

§48. Разрешение некоторых затруднений.

§49. Подтверждение у Спинозы.

§50. Пояснение Э.Шрёдера.

§51. Исправление этого пояснения.

§52. Подтверждение, взятое из немецкого словоупотребления.

§53. Различие между признаками и свойствами понятия. Существование и число.

§54. Единицей можно назвать субъект указания на число. Нераздельность и отграниченность единицы. Равенство и различимость.

IV. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА

КАЖДОЕ ОТДЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ПРЕДМЕТОМ.

§55. Попытка дополнить лейбницевские определения отдельных чисел.

§56. Пробные определения бесполезны, поскольку они объясняют высказывание, в котором число есть только составная часть.

§57. Указание на число следует рассматривать как равенство чисел.

§58. Возражение, связанное с непредставимостью числа как самостоятельного предмета. Число вообще не представимо.

§59. Предмет не исключается из исследования в результате того, что он непредставим.

§60. Даже конкретная вещь не всегда представима. Слово, когда спрашивается о его значении, необходимо рассматривать в предложении.

§61. Возражение, связанное с непространственностью числа. Не каждый объективный предмет является пространственным.

ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА, НЕОБХОДИМО УСТАНОВИТЬ СМЫСЛ

РАВЕНСТВА ЧИСЕЛ.

§62. Нам нужен критерий равенства чисел.

§63. Возможность однозначного соотнесения как такой критерий. Логическое сомнение, что равенство в данном случае объясняется особым образом.

§64. Примеры сходной процедуры: направление прямой, положение плоскости, контуры треугольника.

§65. Попытка определения. Второе сомнение: соблюдаются ли законы равенства.

§66. Третье сомнение: признак равенства недостаточен.

§67. Дополнение нельзя получить тем, что к признаку понятия добавляется способ, которым вводится предмет.

§68. Число как объём понятия.

§69. Комментарий.

ДОПОЛНЕНИЕ И ПРОВЕРКА НАШЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ

§70. Понятие отношения.

§71. Отношение как средство соотнесения.

§72. Взаимно однозначное отношение. Понятие числа.

§73. Число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если существует отношение, которое взаимно однозначно соотносит предметы, подпадающие под F, с предметами подпадающими под G.

§74. Ноль - это число, соответствующее понятию «неравное себе».

§75. Ноль - это число, соответствующее понятию, под которое не подпадает ничего. Ни один предмет не подпадает под понятие, если ноль есть соответствующее ему число.

§76. Объяснение выражения «В натуральном ряду чисел n следует непосредственно за m».

§77. 1 - это число, соответствующее понятию «равное 0».

§78. Предложения, доказываемые посредством наших определений.

§79. Определение следования в ряду.

§80. Замечание к предыдущему. Объективность следования.

§81. Объяснение выражения «x принадлежит f-ряду, оканчивающемуся на y».

§82. Набросок доказательства того, что не существует конечного члена натурального ряда чисел.

§83. Определение конечного числа. Ни одно конечное число не следует в натуральном ряду чисел за самим собой.

БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛА

§84. Число, соответствующее понятию «конечное число», является бесконечным.

§85. Бесконечные числа Кантора; «мощность». Различия в терминологии.

§86. Следование в последовательности у Кантора и моё следование в ряду.

V. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

§87. Природа арифметических законов.

§88. Недооценка аналитических суждений Кантом.

§89. Предложение Канта: «Без чувственности нам не был бы дан предмет». Заслуги Канта перед математикой.

§90. Для полного доказательства аналитической природы арифметических законов не достаёт цепи выводов, лишённой пробелов.

§91. Помочь этому недостатку может мой шрифт понятий.

ДРУГИЕ ЧИСЛА

§92. Смысл вопроса о возможности чисел по Ханкелю.

§93. Числа не являются ни пространственными, внешними нам, ни субъективными.

§94. Отсутствие противоречия в понятии не гарантирует, что под него нечто подпадает, и само требует доказательства.

§95. (c - b) не может безоговорочно рассматриваться как знак, решающий задачу на вычитание.

§96. Математик не может также создать нечто произвольное.

§97. Понятия следует отличать от предметов.

§98. Объяснение сложения Ханкелем.

§99. Недостаточность формальной теории.

§100. Попытка обосновать комплексные числа расширением значения умножения особым способом.

§101. Возможность такого обоснования не равносильно доказательству.

§102. Голое требование, что операция должна выполняться, не является его исполнением.

§103. Объяснение комплексных чисел Коссаком есть лишь руководство к определению и не избегает вмешательства чуждого. Геометрическое изображение.

§104. Всё зависит от того, чтобы установить смысл суждения отождествления для новых чисел.

§105. Очарование арифметики заключается в её разумном характере.

§106 - 109. Ретроспективный взгляд.

ВВЕДЕНИЕ

Если мы зададим вопрос, что такое число один, или что обозначает знак 1, то большей частью получим ответ: Наверное, какую-то одну вещь. И если затем мы укажем на то, что предложение

«(die) Число один есть (ein) вещь»

не является определением, поскольку с одной его стороны стоит определённый артикль, а с другой - неопределённый, что это предложение означает только то, что число один относится к вещам, но не то, какой вещью оно является, нам, вероятно, предложат выбрать для себя какую-нибудь вещь, которая называлась бы одной. Но если каждый в праве понимать под этим именем то, что ему хочется, тогда одно и то же предложение об один означало бы различное для разных людей; у таких предложений не было бы общего содержания. Некоторые, вероятно, отклонят вопрос ссылкой на то, что значение буквы а в арифметике тоже нельзя указать; и если говорят: а означает число, то в этом можно найти те же самые изъяны, как и в определении: один есть число. При ссылке на а отвод вопроса совершенно оправдан: она не означает определённого, заданного числа, но служит для того, чтобы выразить общность предложений. Если вместо а в а + а - а = а подставить любое, но всюду одно и то же число, то всегда получится истинное равенство. Буква а используется в этом смысле. Но с один дело обстоит существенно иначе. Можем ли мы в равенстве 1 + 1 = 2 вместо 1 в обоих случаях подставить один и тот же предмет, скажем, Луну? Напротив, кажется, что вместо первой 1 мы должны поставить нечто другое, чем вместо второй. В чём же дело, что здесь должно происходить как раз то, что в том случае было бы ошибкой. Чтобы выразить отношения между разными числами, арифметика не обходится одной буквой а, но должна использовать ещё и другие (b, c и т.д.). Таким образом, следовало бы полагать, что знака 1, если он сходным образом служит для придания общности предложениям, также могло бы не хватать. Но разве число один не выглядит как определённый предмет с заданными свойствами, например, оставаться неизменным при умножении на само себя? В этом смысле нельзя задать свойства а, поскольку то, что высказывается об а, есть общее свойство чисел, тогда как 11=1 ничего не высказывает ни о Луне, ни о Солнце, ни о Сахаре, ни о Тенерифском пике, ибо, что могло бы быть смыслом такого высказывания?

На такие вопросы, пожалуй, и большинство математиков не готовы дать удовлетворительного ответа. Не постыдно ли науке так и пребывать в неясности о её первейшем и, по-видимому, таком просто предмете? Ещё менее можно сказать, что такое число. Когда понятие, которое лежит в основании обширной науки, преподносит затруднения, неотложная цель, пожалуй, всё-таки состоит в его более тщательном исследовании и преодолении этих затруднений; пока осмотр основания всего строения арифметики всё ещё остаётся недостаточным, особенно трудно здесь, быть может, удастся придти к полной ясности относительно отрицательных, дробных и комплексных чисел.

Многие, правда, сочтут, что это не стоит труда. Ведь с этим понятием, как они полагают, достаточно иметь дело в элементарных руководствах и на этом успокоится на всю жизнь. Кто поверит, что в таком простом деле всё ещё можно чему-то научиться! Ибо понятие положительного целого числа так свободно от всяких затруднений, что и ребёнок может обращаться с ним научно исчерпывающе и что каждый без дальнейших размышлений и без знакомства с тем, что думали другие, точно знает в нём толк. Так что часто недостаёт того первого предварительного условия обучения: знание незнания. В результате всё ещё довольствуются грубым пониманием, хотя уже Гербарт учил правильнее. Печально и обескураживающе, что знание, которое уже было достигнуто, всегда, таким образом, находится под угрозой опять пропасть, что так много работы кажется напрасной, поскольку человек в воображаемом богатстве уверен в ненужности усвоения её результатов. Я хорошо вижу, что также и данная работа подвержена такой опасности. Мне противна та грубость понимания, когда счёт называется комбинаторным, механическим мышлением. Я сомневаюсь, что такое мышление вообще существует. Комбинаторное воображение, наконец, даже может быть утрачено, но для счёта это не имеет значения. По существу мышление всюду одинаково; ведь различные виды мышления не принимаются в расчёт сообразно предметам. Различия заключаются только в большей или меньшей чистоте и независимости от психологических влияний и от внешней помощи мышлению такой, как язык, знаки чисел и т.п.; затем, кое-что ещё зависит от тонкостей в строении понятия, но как раз во внимании к этому математику не могут превзойти ни наука, ни сама философия.

Из данного сочинения можно усмотреть, что даже кажущийся собственно математическим вывод от n к n + 1 покоится на общих логических законах, что нет нужды в особых законах комбинаторного мышления. Можно, конечно, употреблять числовые знаки механически, как можно говорить подобно попугаю; но всё-таки едва ли так можно назвать мышление. Употреблять числовые знаки механически возможно только после того, как посредством действительного мышления математический знаковый язык разовьётся так, что он, как говорят, мыслит за нас. Последнее не доказывает, что числа образуются особым механическим способом, скажем, как куча песка образуется из гранул кварца. Я думаю, в интересах математиков противиться такому воззрению, которое удобно для того, чтобы принизить главный предмет их науки, а с тем и её саму. Но даже у математиков находятся вполне сходные изречения. Напротив, за понятием числа должно признать более тонкую структуру, чем у большинства понятий других наук, хотя оно и является простейшим арифметическим понятием.

Чтобы опровергнуть то заблуждение, что при ссылке на положительные целые числа собственно вовсе нет противоречий, но царит совершенное согласие, мне кажется подойдёт обсуждение мнений философов и математиков о вопросах, подлежащих здесь рассмотрению. Будет видно, как мало оказывается согласия, так что встречаются прямо противоположные изречения. Одни, например, говорят: «Единицы равны друг другу»; другие считают их за различные; для своих утверждений и те, и другие имеют основания, которые нельзя отклонить на скорую руку. Этим я стараюсь пробудить потребность в более тщательном исследовании. Одновременно я хочу посредством предварительного освещения явных воззрений других расчистить поле для своего собственного понимания, с тем, чтобы сразу убедить, что эти другие пути не ведут к цели, и что моё мнение не является равноправным среди многих; и я надеюсь, таким образом, окончательно решить вопрос, по крайней мере, в главном.

Конечно, благодаря этому мои пояснения, пожалуй, станут более философскими, чем может показаться уместным многим математикам; но основательное исследование понятия числа всегда должно проходить несколько философски. Для философии и математики эта задача является общей.

A;8 A>2<5AB=0O @01>B0 MB8E =0C:, =5A<>B@O =0 <=>65AB2> 0B0: A >158E AB>@>=, =5 O2;O5BAO AB>;L CA?5H=>9, :0: E>B5;>AL 1K 8 :0:, ?>60;C9, <>3;> 1K 1KBL, B> MB>, :0: <=5 :065BAO, 7028A8B >B ?@5>1;040=8O 2 D8;>A>D88 ?A8E>;>38G5A:8E A?>A>1>2 @0AA<>B@5=8O, ?@>=8:0NI8E 4065 2 ;>38:C. ! 40==>9 B5=45=F859 <0B5<0B8:0 2>2A5 =5 8<55B B>G5: A>?@8:>A=>25=8O, 8 MB8< ;53:> >1JOA=O5BAO 0=B8?0B8O <=>38E <0B5<0B8:>2 : D8;>A>DA:>B@5=8N. >340, =0?@8<5@, (B@8::5@ =07K205B ?@54AB02;5=8O G8A5; <>B>@=K<8, 7028AOI8<8 >B ICI5=89, B> 2 MB>< <0B5<0B8:8 =5 <>3CB >?>7=0BL A2>8 G8A;0 8 =5 7=0NB, :0: ?@8=8<0BLAO 70 B0:>5 ?@54;>65=85. @8D<5B8:0, >A=>20==0O =0 ICI5=8OE, :>=5G=>, >:070;0AL 1K 2?>;=5 GC2AB25==>9, => 2 @57C;LB0B5 B0:65 8 AB>;L 65 @0A?;K2G0B>9, :0: 8 MB> >A=>20=85. 5B, 0@8D<5B8:0 2>2A5 =5 4>;6=0 @01>B0BL A >ICI5=8O<8.  AB>;L 65 <0;> A 2=CB@5==8<8 >1@070<8, A;820NI8<8AO 87 A;54>2 1>;55 @0==8E GC2AB25==KE 2?5G0B;5=89. 5@5<5=G82>ABL 8 =5>?@545;Q==>ABL, E0@0:B5@87CNI85 2A5 MB8 >1@07>20=8O, =0E>4OBAO 2 A8;L=>< :>=B@0AB5 A >?@545;Q==>ABLN 8 CAB>9G82>ABLN <0B5<0B8G5A:8E ?>=OB89 8 ?@54<5B>2. >6=> 254L 8 A ?>;L7>9 @0AA<0B@820BL ?@54AB02;5=8O 8 8E 87<5=5=8O ?@8 <0B5<0B8G5A:>< ?A8E>;>38O =5 4>;6=0 2>>1@060BL, GB> >=0 <>65B 2=5AB8 :0:>9-B> 2:;04 2 >1>A=>20=85 0@8D<5B8:8. ;O <0B5<0B8:>2 :0: B0:>2KE MB8 2=CB@5==85 >1@07K, 8E ?@>8AE>645=85 8 87<5=5=85 157@07;8G=K. !0< (B@8::5@ 3>2>@8B, GB> ?@8 A;>25 «AB>» >= =5 ?@54AB02;O5B A515 =8G53> 1>;55, :@><5 7=0:0 100. @C385 <>3CB ?@54AB02;OBL A515 1C:2C ! 8;8 GB>-B> 5IQ. 5 A;54C5B ;8 >BAN40, GB> MB8 2=CB@5==85 >1@07K 2 =0H5< A;CG05 4;O ACI5AB20 45;0 A>25@H5==> 157@07;8G=K 8 A;CG09=K, B0: 65 A;CG09=K, :0: 8 B>, GB> GQ@=0O 4>A:0 8 :CA>: <5;0 2>>1I5 =5 70A;C6820NB =07K20BLAO ?@54AB02;5=85< G8A;0 AB>? AQ 65 2 B0:8E ?@54AB02;5=8OE =5 A;54C5B 2845BL ACI5AB2> 45;0! 5 A;54C5B ?@8=8<0BL >?8A0=85 B>3>, :0: 2>7=8:05B ?@54AB02;5=85, 70 >?@545;5=85, =5 A;54C5B ?@8=8<0BL C:070=85 =0 4CH52=K5 8 B5;5A=K5 CA;>28O, ?@82>4OI85 ?@54;>65=85 : A>7=0=8N, 70 4>:070B5;LAB2>, 8 =5 A;54C5B A<5H820BL ?@>F5AA, 2 :>B>@>< ?@54;>65=85 AB0=>28BAO 8AB8==>ABLN! 5>1E>48<>, :0: :065BAO, ?><=8BL, GB> ?@54;>65=85, :>340 O 53> 1>;55 =5 ;L 65 <0;>, :0: C=8GB>605BAO !>;=F5, :>340 O 70:@K20N 3;070. =0G5 ?@8 4>:070B5;LAB25 B5>@5@0 =C6=> CG8BK20BL D>AD>@=>5 A>45@60=85 =0H53> <>730 8 GB> 0AB@>=>< =5 @0A?@>AB@0=O5B A2>8 70:;NG5=8O =0 402=K<-402=> ?@>H54H85 2@5<5=0, >?0A0OAL 2>7@065=8O B8?0: «"K 2>B AG8B05HL, GB> 2 ' 2 = 4; => 254L ?@54AB02;5=85 G8A;0 8<55B @0728B85, 8AB>@8N! >6=> A><=520BLAO 2 B><, 1K;> ;8 >=> 2 B5 40;Q:85 2@5<5=0. B:C40 BK 7=05HL, GB> 2 B>< ?@>H;>< MB> ?@54;>65=85 C65 8<5;> <5AB>? 0725 =5 <>3;8 ACI5AB20, 682H85 2 B5 2@5<5=0, ?@845@6820BLAO ?@54;>65=8O 2 ' 2 = 5, 87 :>B>@>3> ?@54;>65=85 2 ' 2 = 4 @0728;>AL ;8HL ?>A@54AB2>< 5AB5AB25==>3> >B1>@0 2 1>@L15 70 ACI5AB2>20=85 8 :>B>@>N >G5@54L, <>65B 1KBL, =07=0G5=> B5< 65 A0A>1>< @0728BLAO 2 2 ' 2 = 3?» Est modus in rebus, sunt certi denique fines! AB>@8G5A:89 A?>A>1 @0AA<>B@5=8O, ?@8A;CH820NI89AO : AB0=>2;5=8N 25I8 8 87 AB0=>2;5=8O AB0@0NI89AO ?>7=0BL 5Q ACI=>ABL, >?@545;Q==> 2> <=>3>< >?@0240=; => >= B0:65 8<55B 8 A2>8 3@0=8FK. A;8 2A5 25I8 =5 1K;8 1K ?@>G=K<8 8 25G=K<8, 0 =0E>48;8AL 2 ?>AB>O==>< ?>B>:5, B> <8@ ?5@5AB0; 1K 1KBL ?>7=0205AL. 065BAO, 4C<0NB, GB> 2 >B45;L=>9 4CH5 ?>=OB8O 2>7=8:0NB B0:65 :0: ;8ABLO =0 45@52LOE, 8 ?>;030NB, GB> 8E ACI=>ABL <>6=> ?>7=0BL, 8AA;54CO 8E 2>7=8:=>25=85, 8 8ICB 8E >1JOA=5=85 ?A8E>;>38G5A:8 2 ?@8@>45 G5;>25G5A:>9 4CH8. > B0:>5 ?>=8<0=85 ?5@52>48B 2AQ 2 AC1J5:B82=>5 8, 5A;8 A;54>20BL 5 :>=F0, C?@074=O5B 8AB8=C. ">, GB> =07K20NB 8AB>@859 ?>=OB8O, O2;O5BAO, ?>60;C9, 8AB>@859 8;8 =0H53> ?>7=0=8O ?>=OB8O, 8;8 7=0G5=89 A;>2. >7=0BL ?>=OB85 2 53> G8AB>B5, >A2>1>48BL 53> >B GC64KE =0A;>5=89, A:@K20NI8E 53> >B 4CE>2=>3> 27>@0, 2?5@2K5 C40QBAO ?>A@54AB2>< 7=0G8B5;L=>9 4CE>2=>9 @01>BK, :>B>@0O <>65B ?@>4>;60BLAO 2 B5G5=85 AB>;5B89. C 8 GB> 65 A;54C5B A:070BL =0 B>, :>340 :B>-=81C4L

Что касается математиков, борьба с подобными мнениями, пожалуй, вряд ли необходима; но ведь по возможности я хочу излагаемые спорные вопросы привести к разрешению также и для философов, и вынужден в некоторой степени связываться с психологией, хотя и только для того, чтобы предотвратить её вторжение в математику.

Впрочем, даже в учебниках по математике случаются психологические обороты. Когда чувствуют обязанность, но не могут, дать определение, то хотят, по крайней мере, описать способ, которым приходят к соответствующим предметам или понятиям. Этот случай легко узнать по тому, что в последующем к таким объяснениям больше не прибегают. Для учебных целей введение этих приспособлений даже вполне уместно; только их всегда нужно чётко отличать от определений. На то, что даже математики могут спутать основание доказательства с внутренними или внешними условиями проведения доказательства, забавный пример доставляет Э.Шрёдер, предлагая под названием «Особая аксиома» следующее: «Задуманный принцип можно, пожалуй, назвать аксиомой неотъемлемости знаков. Она даёт нам уверенность в том, что при всех наших переходах и выводах знаки закрепляются в нашей памяти - а ещё прочнее на бумаге», и т.д. Насколько сильно математика должна протестовать против такой помощи со стороны психологии, настолько мало она может отрицать свою тесную связь с логикой. Да, в той мере, в которой признаётся, что каждое исследование об обязательности доказательства или оправдании определения должно быть логическим, я согласен с воззрением тех, кто считает невозможным резкое разделение. Но от таких вопросов математика вовсе и не отказывается, ведь только благодаря ответам на них достигается необходимая уверенность.

Разумеется, в этом направлении я также иду далее обычного. Большинство математиков при исследованиях подобного рода довольствуются удовлетворением непосредственных потребностей. Если определение пригодно для использования в доказательстве, если нигде не наталкиваются на противоречие, если можно познать связи между вещами, которые кажутся далёкими друг от друга, и если, благодаря этому, получается более высокая упорядоченность и закономерность, то имеют обыкновение принимать определение за достаточное и гарантированное и мало спрашивают о его логическом оправдании. Подобное поведение, во всяком случае, имеет то благо, что не легко совершенно промахнуться мимо цели. Я тоже считаю, что определения должны оправдываться продуктивностью, возможностью проводить с их помощью доказательство. Но, пожалуй, следует принять во внимание, что строгость доказательства остаётся видимостью, даже при отсутствии пробелов в цепи заключений, если определения только задним числом оправдывают тем, что не столкнулись с противоречием. В сущности, так всегда достигают только уверенности, основанной на опыте, и должны собственно быть готовы, в конце концов, всё же встретить противоречие, которое приводит всё здание к обвалу. Поэтому, я полагаю, к общим логическим основаниям нужно обратиться в несколько большей степени, чем считает необходимым большинство математиков.

В этом исследовании как основных я придерживаюсь следующих правил:

- строго отделять психологическое от логического, субъективное от объективного;

- о значении слова нужно спрашивать не в его обособленности, а в контексте предложения;

- не терять из виду различие между понятием и предметом.

Чтобы следовать первому правилу, я всегда буду употреблять слово «представление» в психологическом смысле и отличать представление от понятий и предметов. Если же остаётся незамеченным второе основное