Часть 2.

жило логико-теоретической базой для дальнейшего развития греческой математики. «Числа, — пишет он, — являются чисто мыслительными элементами, к которым невозможно подходить иначе, как путем чистого мышления. Следовательно, можно видеть, что та греческая математика, которая у Евклида стремилась избегать в своих доказательствах только наглядного и видимого, тоже хотела понимать свой предмет как такой, который полностью лежит в сфере чистого мышления. Именно эта тенденция науки сделала возможным прекраснейшие евклидовы доказательства...»18.

Это утверждение Сабо представляется вполне справедливым по отношению к VII книге «Начал» Евклида, посвященной арифметике; что же касается тех книг «Начал», где рассматривается геометрическая алгебра, т. е. где Евклид имеет дело не с числами, а с геометрическими объектами, то по отношению к ним дело обстоит несколько сложнее.

Обратимся еще раз к свидетельству Аристотеля. Касаясь платоновского обоснования математики, Аристотель высказывает два разных и, на первый взгляд, трудно совместимых утверждения: во-первых, он подчеркивает, что числа у Платона суть идеи (т. е. принадлежат к сфере идеального бытия); а во-вторых, он неоднократно заявляет, что предмет математических наук составляют некоторые «промежуточные вещи»19, находящиеся как бы между сферами идеального и эмпирического бытия.

С другой стороны, как мы помним, и сам Платон помещает математику посредине — между «мнением», имеющим свой источник в чувственном восприятии, и высшей формой знания — философией, или диалектикой. Но, может быть, никакого противоречия не будет в сообщениях Аристотеля, если предположить, что Платон и его последователи вовсе не отождествляли понятие числа и «математического объекта»? Но тогда — что же такое «математические объекты», или, иначе говоря, «промежуточные вещи»? Тот же Аристотель дает некоторое указание, в каком направлении следует искать ответ на этот вопрос. «Что же касается тех, — говорит он, имея в виду Платона и его учеников, — кто принимает идеи... они образуют геометрические величины из материи и числа (из двойки –

-38-

линии, из тройки — можно сказать — плоскости, из четверки — твердые тела...)»20. Легко видеть, что здесь выявляется разный способ бытия чисел и геометрических величин; оказывается, последние образуются, по Платону, 13 чисел (которые суть идеальные образования) плюс некоторая материя,— вот почему они и могут быть квалифицированы как промежуточные вещи. Арифметика, стало быть, оперирует с числами, а геометрия — с линиями, плоскостями, объемами, из которых она конструирует фигуры (окружности, треугольники, четырехугольники, шары, кубы) и их элементы (радиусы, углы, диагонали и пр.). Не случайно Платон ставит арифметику по логико-онтологическому рангу выше геометрии: число, которое она изучает, элементарнее и в этом смысле «чище», идеальнее, чем «промежуточные» объекты геометрии.

Но тут снова возникает вопрос: если объекты геометрии образуются из числа и материи, то чем же они в таком случае отличаются от обычных эмпирических вещей, которые, по Платону, ведь тоже обязаны своим существованием тому, что «материя» приобщается к идеям? А в то же время, как мы видели, Платон весьма определенно отличает четырехугольник как объект изучения математика и его чувственное воплощение — чертеж, говоря, что математики делают свои выводы только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Точно так же и те эмпирические вещи, которые имеют форму шара или куба, Платон считает лишь чувственными подобиями некоторого идеального шара или куба. Снова вроде бы получается какая-то неувязка: преодолев одно затруднение, выяснив, что числа и геометрические объекты имеют у Платона разный онтологический статус (числа — идеальные образования, а линии, углы, фигуры — «промежуточные»), мы попадаем в новое затруднение: чем же тогда «промежуточные вещи» отличаются от просто чувственных вещей?

Вопрос упирается в понятие «материи», которая, соединившись с числами, дает геометрические величины. Что это за «материя» ? И как она может соединиться с числами? Есть ли на этот счет какие-либо разъяснения у Платона?

В позднем диалоге Платона «Тимей» есть очень интересное рассуждение, проливающее свет на интересующий нас

-39-

вопрос: «...Приходится признать, во-первых, что есть тождественная идея, нерожденная и негибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя — ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некотором месте и вновь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением. В-третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но само воспринимается вне ощущения, посредством некого незаконного умозаключения и поверить в него почти невозможно»21.

О первых двух родах существующего мы уже знаем: это, с одной стороны, идеальное бытие (идея), постигаемое только мыслью, а с другой, мир чувственных вещей, воспринимаемых ощущением. Третий же род— пространство — Платон помещает как бы между этими мирами: оно имеет признаки как первого, так и второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неизменно, и постигается оно нами не через ощущение. Но сходство его со сферой чувственного в том, что оно постигается все же и не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство, квалифицируется Платоном весьма неопределенно — как «незаконное умозаключение». Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне. «Мы видим его (пространство. — П.Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто этому бытию22 непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует»23.

Сравнение «незаконнорожденного» постижения пространства с видением во сне весьма важно для Платона, потому что он не однажды употребляет это сравнение. В диалоге «Государство», говоря о геометрии и ее объектах, Платон вновь пользуется этим сравнением: «Что касается остальных наук, которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней. — П.Г.), то им всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть,

-40-

пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?»24

Пространство мы видим как бы во сне, мы его как бы и видим и в то же время не можем постигнуть в понятиях, — и вот оно-то, по мнению Платона, служит началом («материей») для геометров. Значит, их начало таково, что они его не знают в строгом смысле слова.

Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования геометрических объектов, как то «начало», которого сами геометры «не знают» и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых положений своей науки.

Именно пространство и есть «материя», путем соединения которой с числами образуются, по Платону, геометрические объекты. Однако сама эта «материя» — особого рода; не случайно Платон помещает пространство посредине — между чувственными вещами и чисто логическими идеальными образованиями. Впоследствии в неоплатонизме возникает понятие, хорошо передающее этот «промежуточный» характер пространства: оно было названо «умной (или умопостигаемой — в отличие от чувственной) материей». Ату способность, с помощью которой постигается этот род бытия и которую Платон назвал «незаконным умозаключением» (может быть, лучше было бы сказать — незаконным умозрением), неоплатоник Прокл в своем «Комментарии к «Началам» Евклида» именует воображением, фантазией. Воображение — это и не логическое мышление, и не чувственное восприятие, хотя оно имеет общие черты и с первым, и со вторым (что и зафиксировал Платон).

Геометрические объекты, следовательно, тоже рассматриваются Платоном и его последователями как некоторые «гибриды»: в них чисто идеальное (число, числовое отношение) оказывается «сращенным» с «умопостигаемой материей» — пространством. Движение точки, с помощью которой образуется линия (ибо и сама точка, как то, что « не имеет частей», не есть эмпирический объект), происходит,

-41-

согласно Платону, не в чувственном мире, а как бы в некоторой идеализованной чувственности — в воображении.

Подводя итог нашему анализу платоновского обоснования математики и науки вообще, можно сделать следующие выводы.

Во-первых, Платон считает математику образцом науки как таковой; правда, она уступает высшему знанию, которое Платон называет диалектикой; это выражается, в частности, в том, что математика нуждается в некоторых предпосылках — допущениях, которые ею самой принимаются, но внутри нее доказаны быть не могут.

Во-вторых, математика оперирует с идеальными объектами, или, как мы сегодня сказали бы, создает идеализации, и в этом — основа строгости ее выводов и определенности ее понятий.

В-третьих, математические науки имеют дело с идеализациями, так сказать, разной степени строгости и логической чистоты: арифметика — с числами, образованиями идеальными (логическими), геометрия — с пространственными фигурами, образованиями промежуточными, для конструирования которых приходится как бы придавать идеям-числам пространственный облик, что и выполняет особая способность — воображение.

Именно философская рефлексия об основных понятиях античной науки, прежде всего математики, таких как число, геометрическая фигура, пространство и т. д., существенно содействовала превращению научного мышления в систематическое, содействовала возникновению единой связной системы доказательств, которой отличается теоретическое знание. Образцом последнего не только для древнегреческой, но и д