ЧАсть 9.

Глава II

ПРИРОДА И ИДЕАЛИЗОВАННЫЙ ОБЪЕКТ

Когда мы говорим, что начиная с XVII века естествознание становится математическим, то подразумеваем прежде всего то обстоятельство, что важнейшая наука о природе — механика — с этих пор конструирует свой предмет наподобие того, как конструировала свой предмет геометрия. На протяжении всего XVII века проблема конструирования такого идеализованного объекта активно обсуждается учеными и философами: ею занимаются Г. Галилей, Т. Гоббс, X. Гюйгенс, Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц, если назвать только самые известные имена. Далеко не случайно, что вопрос о возможности перенесения математических методов конструирования в науки о природе становится одним из наиболее острых вопросов в период рождения экспериментально-математического естествознания.

-250-

1. Физика и математика: различие предметов и способов исследовани

Античная и средневековая физика не была математической: предмет физики рассматривался как реально существующая природа, где происходят движения и изменения, которые и должно объяснить. Математика, напротив, понималась как наука, имеющая дело с идеальным, конструируемым объектом, относительно которого велись бесконечные споры (проблема существования — одна из труднейших и в современной математике). И хотя математические конструкции еще со времен Евдокса (IV в. до н. э.) применялись в астрономии, они были лишены статуса теории (физической теории), рассматривались как удобные математические фикции, цель которых — «спасение явлений», т. е. объяснение видимых, наблюдаемых траекторий небесных тел.

Насколько различными были подходы к исследованию одних и тех же явлений природы у математиков (астрономия в античности и в Средние века тоже выступала как одна из математических дисциплин), с одной стороны, и у физиков — с другой, можно судить по рассуждению математика Гемина1, которое цитирует Симпликий2 в своем комментарии к «Физике» Аристотеля. «Задача физического исследования — рассмотреть субстанцию неба и звезд, их силу и качество, их возникновение и гибель; сюда относится доказательство фактов, касающихся их размера, формы и устройства. С другой стороны, астрономия ничего этого не обсуждает, а исследует расположение небесных тел, исходя из убеждения, что небо есть реальный космос, и сообщает нам о форме и размерах Земли, Солнца и Луны и расстояниях между ними, а также о затмениях, о сочетаниях звезд, о качестве и продолжительности их движений. Так как астрономия связана с исследованием величины, размера и качества формы, она нуждается в арифметике и геометрии... Итак, во многих случаях астроном и физик стремятся выяснить одно и то же, например что Солнце очень большого размера или что Земля сферична, но идут они при этом разными путями. Физик доказывает каждый факт, рассматривая сущность, или субстанцию, силу, или то,

-251-

что для всех вещей наилучшим является быть такими, каковы они суть, или возникновение и изменение. Астроном же доказывает все через свойство фигур или величин или путем расчета движения и соответствующего ему времени. Далее, физик во многих случаях доискивается причины, рассматривая производящую силу, астроном же... не компетентен судить о причине, как, например, когда он говорит, что Земля или звезды сферичны. (...) Он изобретает гипотезы и вводит определенные приемы, допущение которых спасает явления. (...) Мы ... знаем человека, утверждавшего, что явление неравномерного движения Солнца может быть спасено и в том случае, если допустить, что Земля движется, а Солнце покоится. Ибо не дело астронома знать, чему по природе свойственно покоиться и чему — двигаться, но он вводит гипотезы, при которых некоторые тела остаются неподвижными, тогда как другие движутся, а затем рассматривает, каким гипотезам соответствуют явления, действительно наблюдаемые на небе. Но он должен обращаться к физику за своими первыми принципами»3.

В этом отрывке ясно выражено воззрение (как оно существовало на протяжении двух тысячелетий — со времен Евдокса и Аристотеля вплоть до Н. Коперника и И. Кеплера) на различие предметов и методов физики и математики. Рождение механики Нового времени произошло тогда, когда было преодолено это различие, но такой акт потребовал серьезного переосмысления сложившихся в античности предпосылок научного знания.

Характерно, что еще и в XVII веке нередко сохраняется представление о том, что физика не может быть математической наукой, ибо у этих двух наук — физики и математики — разные предметы исследования. Так, Гоббс, непримиримый критик схоластики и защитник нового в науке, в то же время решительно различает математику как науку априорную (а потому и самую достоверную) и физику как науку опытную (апостериорную), которая поэтому не может быть такой же точной, как математика. Рассуждение Гоббса очень интересно для нас, а потому стоит остановиться на нем подробнее.

-252-

2. Гоббс о критериях достоверности знания в математике и физике

Гоббс определяет науку как единственно достоверный вид знания; подобно Аристотелю, он считает, что достоверным, а стало быть научным, может быть лишь знание, которое объясняет предмет из его причин. «Наука, — пишет Гоббс, — начинается лишь с того знания, благодаря которому мы постигаем истину, содержащуюся в каком-нибудь утверждении; она есть познание какого-нибудь предмета на основании его причины, или познание его возникновения посредством правильной дедукции. Знание есть также правильное понимание возможной истинности какого-нибудь положения: такое понимание мы получаем путем правильного умозаключения из установленных опытом следствий. Оба указанных вида дедукции мы называем обычно доказательствами. Однако первый вид дедукции считают более ценным, чем второй, и для этого есть вполне достойное основание»4.

Заключение от причин считал наиболее достоверным видом знания еще Аристотель, и его точка зрения разделялась на протяжении всего Средневековья; заключение от следствий не может, по Аристотелю, быть столь же строго достоверным (аподиктическим), как заключение от причин. Тут Гоббс следует Аристотелю. Однако само понятие причины у Гоббса получает новую интерпретацию. И происходит это в силу того, что для него, как и для большинства ученых и философов его времени, самой достоверной среди наук является математика, тогда как Аристотель таковой считал логику. Критикуя схоластику, тоже опиравшуюся прежде всего на логику, Гоббс, как и Декарт, видит именно в математике главный инструмент познания истины, а потому подчеркивает, что математика есть вид знания из причин. Математику Гоббс называет демонстративным познанием, достоверность которого тем непоколебимей, что оно возможно «лишь относительно тех вещей, возникновение которых зависит от воли самого человека»6. Гоббс высказывает соображение, которое позднее становится центральным принципом «Критики чистого разума» И. Канта: мы с достоверностью можем знать только то, что произвели сами. Правда, когда речь идет о мате

-253-

матических предметах, Гоббс излишне акцентирует, что порождающие причины находятся в воле самого человека. Именно путем порождения (т. е. конструкции) создаются, подчеркивает он, линии и фигуры, составляющие предмет геометрии. «В этом смысле строго доказательной является большая часть положений о величине; наука о них называется геометрией. Так как причина тех свойств, которыми обладают отдельные фигуры, заключается в линиях, которые мы сами проводим, и так как начертание фигур зависит от нашей воли, то для познания любого свойства фигуры требуется лишь, чтобы мы сделали все выводы из той конструкции, которую сами построили при начертании фигуры. То, что геометрия считается демонстративной наукой и действительно является строго доказательной, обусловливается тем обстоятельством, что мы сами рисуем фигуры»6.

Представление о том, что в основе достоверного знания о предмете лежит деятельность, производящая этот предмет, как видим, вполне осознано в XVII веке. Априорность, а значит и достоверность, геометрии покоится на том, что ее предмет конструируется нами самими. Однако физика, по убеждению Гоббса, отнюдь не сходна с геометрией и не является в этом плане столь же достоверной наукой: ее предмет не есть наша конструкция. «То, что геометрия... является строго доказательной, обусловливается тем... что мы сами рисуем фигуры. Предметы же и явления природы, напротив, мы не в состоянии производить по нашему усмотрению. Эти предметы и явления созданы по воле Бога, и, сверх того, большая часть их, например эфир, недоступна нашим взорам. Поэтому мы и не можем выводить их свойства из причин, которых не видим»7.

В результате науки о природе Гоббс относит не к чистым, какими являются математические (арифметика и геометрия), а к прикладным, хотя и математическим, поскольку они пользуются математикой как вспомогательным средством. Выводы прикладных наук, т. е. физики, астрономии, музыки, могут, по Гоббсу, быть только гипотетическими, а метод их состоит в том, что, исходя из видимых свойств вещей, можно путем умозаключений (от следствий) устанавливать их причины. Мысль о том, что физические законы могут быть в такой же мере результа

-254-

том конструкции, как и принципы математические, чужда Гоббсу. Совсем не так рассуждает Галилей, а тем более Декарт.

3. «Механическое» и математическое доказательства

У Галилея впервые проводится математическое обоснование физики уже не в качестве лишь условно-гипотетического, как это было в античной и средневековой астрономии, а в качестве аподиктического.

Как мы уже отмечали выше, объяснение у Галилея означает преобразование проблемы из физической в математическую; последняя затем и разрешается средствами математики8. Ибо для того, чтобы математическое доказательство получило право гражданства в физике, необходимо создать эксперимент, т. е. такую предельную ситуацию, в рамках которой математическая конструкция и физическая реальность могли бы совпасть. В случае, когда эксперимент носит воображаемый (или, как у нас чаще говорят, мысленный) характер — а таково большинство экспериментов Галилея, — главную задачу ученый видит в демонстрации его точности.

Главным своим противником Галилей считает Аристотеля, у которого физика и математика строго различены; напротив, своим предшественником он вполне справедливо считает Архимеда — ведь статика Архимеда и в самом деле покоится на иных предпосылках, чем аристотелевская физика. Если Аристотель исходит из понятий кинематических, считая главным предметом физики движение, то Архимед в работе «О равновесии плоских фигур» рассуждает как геометр. Античная математика не считала возможным сделать движение своим предметом, поэтому и античная механика как наука геометрическая ограничилась статикой. Но тут есть один существенный момент: хотя аксиомы, принятые Архимедом в качестве предпосылок теории равновесия тел, имеют своим образцом евклидовы, однако их доказательная сила, по мнению самого Архимеда, уступает силе евклидовых доказательств. То, что доказано так называемым «механическим методом», как убежден сам Архимед, уступает в строгости тому, что

-255-

доказано средствами чистой математики9. Причина этого различия, указанная еще Аристотелем, состоит в том, что геометрическое доказательство требует исходить из начал, которые сами по себе истинны и не вызывают никакого сомнения, тогда как при «механическом доказательстве» начала, т. е. исходные допущения, суть лишь гипотезы, правомерность которых подтверждается с помощью полученных из них следствий — если последние совпадают с опытом. Но такое знание не может быть столь же достоверным, как геометрическое. В первом случае, таким образом, исходят из истинного, тогда как во втором — лишь из правдоподобного.

Надо сказать, что это различие между чисто математическими и механическими доказательствами признавали не только античные и средневековые ученые, но и многие математики и физики Нового времени. Так, например, Гюйгенс в «Трактате о свете», пользуясь механическим методом, оценивает его точно так же, как и Архимед. «Доказательства, приводимые в этом трактате, — пишет Гюйгенс, — отнюдь не обладают той же достоверностью, как геометрические доказательства, и даже весьма сильно от них отличаются, так как в то время, как геометры доказывают свои предложения с помощью достоверных и неоспоримых принципов, в данном случае принципы подтверждаются при помощи полученных из них выводов... Все же при этом можно достигнуть такой степени правдоподобия, которая часто вовсе не уступает полной очевидности. Это случается именно тогда, когда вещи, доказанные с помощью этих предполагаемых принципов, совершенно согласуются с явлениями, обнаруживаемыми на опыте»10.

В отличие от Гюйгенса, Галилей не считал механический метод в чем-нибудь уступающим геометрическому. Применяя в физике математическую конструкцию, Галилей относится к ней совсем не так, как в свое время греческие и средневековые математики и астрономы; математическое построение у него не просто «спасает явления», но нередко ставится на место причинного их объяснения. В результате представление Гоббса о геометрии как науке демонстративной и строго доказательной распространяется Галилеем и на физику: предмет не только геометрии, но и физики (механики) конструируется нами самими,

-256-

а потому есть продукт нашей деятельности и в качестве такового познаваем столь же достоверно, как и предмет математики. Однако поскольку эмпирическая картина движения тел сильно отличается от конструируемой математически картины движения, то ученый должен либо отыскать в природе такой объект, который в наиболее чистой форме демонстрировал бы его математическую конструкцию, либо создать объект искусственно, т. е. поставить эксперимент. То обстоятельство, что эксперименты Галилея по большей части являются мысленными, или, как в свое время характеризовал их Э. Мах, воображаемыми, с особенной наглядностью показывает их назначение.

Однако Галилею не удалось до конца провести идею математизации физики: хотя он и был пионером в деле математического конструирования предмета физики, тем не менее физическая реальность все же отличается у него от геометрической, поскольку она наделена силой, и прежде всего силой тяжести. Не случайно, как это давно отмечали историки науки, Галилею так и не удалось сформулировать закон инерции.

Более решительно, чем Галилей, к проблеме конструкции физического объекта подошел Декарт. Постулировав тождество материи и пространства (протяженной субстанции), Декарт в сущности получил онтологическое обоснование для сближения механики с геометрией, — обоснование, которого не было у Галилея. Не случайно именно Декарту принадлежит и первая формулировка важнейшего закона механики — закона инерции. Инерция — это первый закон не эмпирически наблюдаемого, а мысленно конструируемого, т. е. идеального движения, а потому этот закон есть ключ к той идеализованной природе, которая является предметом изучения механики как математической науки. Отождествляя физическое бытие (материю) с протяжением и изгоняя из природы все, что связано с понятием жизни и силы— а именно эти понятия были центральными в физике античности и Средних веков и объяснялись через категорию цели и формы, — Декарт тем самым создает предпосылки для нового рассмотрения природы как механизма, действия которого могут быть познаны лишь с помощью математической конструкции.

-257-

При этом, однако, характерно, что у Декарта возникает проблема, не встававшая перед физиками предшествующих эпох: как соотносится природа сама по себе, какой мы ее наблюдаем эмпирически, с конструируемой нами картиной природы? Так, в «Началах философии» Декарт подчеркивает гипотетичность принимаемых им принципов и, соответственно, условный характер конструируемой природы: «...ввиду того что разбираемые здесь вещи имеют значение немаловажное и что показалось бы, пожалуй,, дерзновенным, если бы я стал утверждать, что нашел истины, которые не были открыты для других, — я предпочитаю ничего по этому поводу не решать, а для того чтобы всякий был волен думать об этом, как ему угодно, я все, о чем буду писать далее, предлагаю лишь как гипотезу, быть может, и весьма отдаленную от истины; но все же и в таком случае я вменю себе в большую заслугу, если все, в дальнейшем из нее выведенное, будет согласовываться с опытом, ибо тогда она окажется не менее ценной для жизни, чем если бы была истинной, так как ею можно будет с тем же успехом пользоваться, чтобы из естественных причин извлекать желаемые следствия»11. Такое же рассуждение — о гипотетичности конструируемого мира — встречаем и в декартовском «Трактате о свете»: «...я не намерен подробно им (имеются в виду представители схоластики. — Л.Г.) объяснить вещи, действительно имеющиеся в настоящем мире, а просто хочу придумать такой, в котором все было бы понятно даже самым грубым умам»12.

Нередко эти указания Декарта на гипотетичность конструируемой им геометрически природы воспринимаются как просто попытка уклониться от столкновений с католической церковью, тем более что декартовская космогония, как он ее развивает в «Началах», действительно противоречит Библии13.

В самом деле, осуждение Галилея произвело на Декарта сильное впечатление, и он избегал всего того, что могло бы навлечь на него подозрения в подрыве религиозной веры. Однако нам представляется, что Декарт настаивал на гипотетичности конструируемой им природы не только из практических, но и из теоретических соображений. Дело в том, что, заменяя в механике логическое доказательство математическим, Декарт, как и Галилей, вынужден в ка

-258-

честве исходного начал а опираться на гипотезу, или предположение, которое удостоверяется лишь в результате исследования, с помощью следствий, если таковые совпадают с явлениями, наблюдаемыми нами в опыте. Но это как раз и есть «механический» метод. Вот как характеризует его сам Декарт: «Если некоторые из положений, которые я привожу в начале "Диоптрики" и "Метеоров", на первый взгляд покажутся странными вследствие того, что я их называю предположениями и, по-видимому, не намерен их доказывать, то пусть читатели имеют терпение прочесть все со вниманием, и я надеюсь, что они будут удовлетворены. Ибо мне кажется, что доводы следуют друг за другом таким образом, что как последние доказываются первыми, то есть их причинами, так и первые взаимно доказываются последними, то есть их действиями. Не следует думать, что я совершаю здесь ошибку, которую логики называют кругом, ибо так как опыт с достоверностью подтверждает большинство этих действий, то выводимые причины служат не столько для доказательства их, сколько для объяснения; напротив, причины доказываются действиями»14.

4. Проблема объективной значимости идеальных конструкций

Как видим, утверждение о гипотетичности конструируемого механикой мира вытекает у Декарта из применяемого им «метода предположений». Вопрос о значимости созданной конструкции тем не менее постоянно тревожит Декарта, он все время возвращается к нему. Вот одно из характерных его рассуждений на эту тему: «Я даже полагаю, что для житейских целей одинаково полезно знать как придуманные, так и подлинные причины; подобно тому как медицина и механика, так и вообще все искусства, для которых требуется знание физики, имеют своей задачей только взаимно сблизить некоторые тела, ощущаемые с помощью чувств, настолько, чтобы в силу естественных причин возникли некоторые ощутимые действия; достигнуть же этого мы сможем с таким же успехом, если станем

-259-

рассматривать следствия из некоторых придуманных причин, хотя бы и ложных, как если бы они были истинными, раз эти следствия предполагаются одинаковыми, поскольку они касаются ощутимых действий»15.

В античности и в Средние века механику как искусство создания машин отличали от науки как познания природы: искусство, техника, с одной стороны, и наука — с другой, рассматривались как два разных способа действия. Становление экспериментально-математического естествознания Нового времени как раз и начинается с преодоления этого различия, и не случайно именно механика теперь становится основной наукой о природе. Галилей и Декарт — родоначальники этого нового типа науки.

Одной из существенных предпосылок преодоления противоположности искусственного и естественного, конструирования и теории, техники и науки послужило в XVII—XVIII вв. убеждение в том, что мир — это машина, сложнейшая система машин. Это убеждение как раз и позволило размывать границу между идеальной конструкцией и природной реальностью, вернее, несколько иначе представлять себе эту границу: естественное — это продукт конструкции бесконечного Творца, тогда как искусственное — продукт творца конечного, человека. Но и то, и другое — только конструкция, механизм, машина, а потому зазором между ними в конечном счете (в пределе) можно пренебречь. Пренебречь в том смысле, что из объяснения природных явлений можно и нужно исключить все причины кроме механических: только они и могут быть предметом познания физики. Вопрос о силе — источнике движения — Декарт выносил за пределы физики и рассматривал его как метафизический, за что его впоследствии критиковал Ньютон16.

Если мир — машина, то нет больше различия между божественной и человеческой конструкцией — по крайней мере, нет там, где это различие усматривалось античными учеными. Ведь одну и ту лее машину можно построить разными способами, важно, чтобы она при этом выполняла нужную функцию. «Подобно тому, — пишет Декарт, — как один и тот же искусный мастер может изготовить несколько часов так, что и те и другие одинаково станут указывать время и внешне будут вполне подобны друг другу,

-260-

хотя бы и не было никакого сходства в составе их колес, точно так же несомненно, что и высочайший мастер — Бог — владеет бесчисленным множеством средств, коими он мог достигнуть того, чтобы все вещи здешнего мира казались такими, какими они ныне кажутся, между тем как ум человеческий бессилен постичь, какие из этих средств угодно ему было применить для этого»17.

Не случайно часы — своего рода парадигма мышления ученых XVII века. Пример множества часов, по-разному устроенных, но показывающих одно и то же время, фигурирует в философских трактатах самых разных философов этой эпохи. По Декарту, мы можем не доискиваться сходства в колесах этих часов, так как одного и того же действия можно добиться с помощью разных причин, то бишь разных систем колесиков и пружинок. Прежде наука стремилась понять природу, так сказать, в ее внутреннем устройстве, но это, по убеждению Декарта, не только невозможно, но, что важнее, и не нужно — идти надо другим путем: не так уж важно, имеется ли действительное сходство между «колесами» реального мира и мира, как мы его конструируем, — лишь бы совпадали следствия того и другого, т. е. явления природы — с выводами из наших предположений. Новый подход к познанию природы требует, по Декарту, отвергнуть те способы ее исследования, которые применялись раньше. Задача науки — не в раскрытии тайн природы, к каждой из которых должен быть подобран свой, индивидуальный ключ, а в конструировании идеальных моделей тех реальных явлений, которые мы хотим познать. Поэтому нам следует выбирать простейшие и понятнейшие нам самим средства, элементы, из которых мы будем строить явления, по своим функциям аналогичные искомому. Поэтому ученый, подобно инженеру или ремесленнику, должен сначала создать инструментарий для своей деятельности, а таковым Декарт считает метод, или, как он иногда говорит, «универсальную науку» — mathesis universalis. «Под методом, — пишет Декарт, — я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум достигает истинного познания того, что ему доступно»18. Ме

-261-

тод, как его понимает Декарт, должен превратить познание в организованную деятельность, освободив его от случайностей, от таких субъективных факторов, как наблюдательность или острый ум, с одной стороны, удачи или счастливого стечения обстоятельств — с другой. Образно говоря, метод превращает научное познание из кустарного промысла в промышленность, из спорадического и более или менее случайного обнаружения истин — в систематическое и планомерное их производство.

Возникает вопрос: поскольку Декарт подчеркивает гипотетический характер идеальных конструкций, не возвращается ли он тем самым к принципу «спасения явлений» старой астрономии? Не ближе ли он к этой последней, чем Галилей? Нет, не возвращается; более того, он формирует философское (натурфилософское) основание для отождествления предмета математики с предметом физики, основание, которого не хватало Галилею, а именно: сущность материального составляет протяжение (материя, по Декарту, в отличие от духа есть субстанция протяженная). А коль скоро это так, то геометрия в состоянии дать не только описание, а и причинное объяснение природных процессов. Таким образом, позиция Декарта здесь далеко не однозначна: трудности, связанные с вопросом о природе и значимости математической конструкции, полностью преодолеть не удалось и Декарту.

Вопрос об идеализованном объекте, о степени его адекватности природному явлению и процессу, т. е. о сущности эксперимента, является одной из сложнейших проблем не только в XVII веке, но и в последующие периоды, вплоть до наших дней19. Та перестройка логико-методологических оснований физики, которая произошла в XVII-XVIII вв. и положила начало экспериментально-математическому естествознанию, открыла широкие перспективы для освоения человечеством природы, реализовав проект Декарта о науке как «поточном производстве» открытий-конструкций. Однако эта перестройка породила и ряд новых проблем как в рамках самой науки, так и за ее пределами. Вопрос о границах применимости человеческих конструктов, т. е. о границах человеческого могущества по отношению к природе, стоит сегодня еще более остро, чем в описанную нами эпоху зарождения нового естествознания. Теперь это

-262-

уже не просто теоретический, но и практический — прежде всего экологический — вопрос: природа — не только объект, который мы подчиняем себе и которым овладеваем, она — наш дом, условие и источник нашего существования. Она, наконец,—это мы сами: ведь мы не только социальные, но и природные существа.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Гемин (около I в.) — ученик известного стоика Посидония, математик и астроном, продолжатель традиции древнегреческого математика Евдокса.

2 Симшшкий (ум. в 549 г.) — философ-неоплатоник, автор известных комментариев к сочинениям Аристотеля и Эпиктета.

3 Цит. по: CrombieA.C. Medieval and Early Modern Science. Cambridge (Mass.), 1963. Vol. 1. P. 87-88.

4 Гоббс Т. Избранные произведения в двух томах. Т. 1. М., 1965. С. 235-236.

5 Там же. С. 236.

6 Там же.

7 Там же.

8 См. с. 170-172 настоящей работы.

9 См.: Архимед. Соч. М., 19624 С. 299. Как отмечает в этой связи А.В. Ахутин, «геометрические теоремы, полученные Архимедом с по мощью механических методов, он не считает тем самым доказанными, напротив, их подлинное доказательство может быть проведено только в аксиоматической системе самого Евклида» (Ахутин А.В. История принципов физического эксперимента. М., 1976. С. 91).

10 Гюйгенс X. Трактат о свете. М.-Л., 1935. С. 6-7.

11 ДекартР. Избранные произведения. М., 1950. С. 510.

12 Там же. С. 196.

13 См. об этом: Каире А. Очерки истории философской мысли. М., 1985. С. 214.

14 Декарт Р. Цит. соч. С. 315.

15 Там же. С. 541.

16 См.: Ньютон И. Оптика, или Трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света. М., 1954. С. 279-280. 17ДекартР. Цит. соч. С. 540-541.

18 Там же. С. 89.

17 Сегодня этот вопрос стоит не менее остро, чем в XVII веке, хотя и формулируется по-новому. «Как на макро-, так и на микроскопическом уровне, — пишут современные ученые И. Пригожий и И. Стенгерс, — науки о природе освобождаются от узости концепции, согласно которой наши эксперименты (и соответственно наши конструкции. — П.Г.) полностью отражают объективную реальность и которая принци

-263-

пиально отрицает любое необъяснимое новшество и разнообразие во имя некоего незыблемого закона». Пригожин И., Стенгерс И. Возвращенное очарование мира // Природа. 1986. № 2. С. 89. См. также: Prigogine I., Stengers I. La nouvelle alliance: metamorphoses de la Science. P., 1981. P. 273.

Глава III

К ИСТОРИИ ПРИНЦИПА НЕПРЕРЫВНОСТИ

Понятие научной революции сегодня прочно вошло в наше сознание, и плодотворность его при анализе истории науки очевидна. Однако, как это нередко бывает, новые и весьма полезные идеи начинают иной раз применяться слишком смело и широко, выходя за рамки той границы, внутри которой они вполне справедливы. Так, например, по отношению к XVII веку понятие научной революции мыслится некоторыми исследователями столь радикально, что предшествующий период развития научного знания, а именно античная и средневековая наука объявляются либо вообще не-наукой, пред-наукой и т. д., либо «совсем другой наукой», не имеющей ничего общего с математикой и естествознанием XVII-XVIII вв. В этой ситуации исследование судьбы античных научных традиций позволяет внести нужные коррективы, установив более точный смысл понятия «научной революции», т. е. ограничив его, ибо оно сегодня имеет тенденцию утратить свою границу, т. е. из научного понятия превратиться в идеологическое.

Хорошо известно, что в XVII веке пересматривается ряд принципов и понятий античной и средневековой науки. Во-первых, на место конечного космоса встает бесконечная вселенная, и пространство из анизотропного становится изотропным. Во-вторых, меняется понимание движения — основного понятия физики и натурфилософии: закон аристотелианской физики «все движущееся движется чем-нибудь» заменяется законом инерции, благодаря чему отменяется прежде незыблемое противопоставление движения и покоя как качественно разных состояний. Закон инерции как раз предполагает бесконечность вселенной, благодаря которой круговое движение,

-264-

прежде считавшееся самым «совершенным», «выпрямляется» и приравнивается к прямолинейному. В-третьих, не остаются неизменными и основания математики; становление новой механики как основной науки о природе имеет в качестве своей предпосылки создание инфинитезимального исчисления, которое первоначально — у Галилея, Кавальери, Торричелли и др. — сопровождается пересмотром важнейших положений античной математики, и прежде всего метода исчерпывания, который на первый взгляд и кажется сходным с дифференциальным исчислением.

Мы упомянули только самые значительные изменения, происшедшие в XVI-XVII вв., но их вполне достаточно, чтобы охарактеризовать этот период как научную революцию. Наибольшей критике в XVII веке, как известно, подверглась перипатетическая программа, и не только физика и космология, но и метафизика Аристотеля, столь авторитетного в Средние века, стала главной мишенью нападок Галилея и Декарта, Фр. Бэкона и П. Гассенди. Аристотелевской научной программе прежде всего противопоставлялась математическая — платоновско-пифагорейская, или атомистическая — демокритова, а нередко и «синтез Платона и Демокрита», как охарактеризовал галилееву механику А. Койре. Уже сам факт такого противопоставления, кстати, свидетельствует о том, что пересмотр античных научных традиций был отнюдь не универсальным, хотя в Новое время существенно меняется не только структура античной математики, но и понятие атома не всегда совпадает с демокритовским.

Мне, однако, хотелось бы показать, что и судьба некоторых принципов аристотелевской программы оказалась в Новое время не столь однозначной, как первоначально может показаться. Прежде всего это принцип непрерывности, как его сформулировал Аристотель в «Физике». Этот принцип фундаментален для Аристотеля; с его помощью греческий философ решал целый ряд проблем, возникших не только в физике и математике, но и в философии — в связи с апориями Зенона. Здесь мы, по-видимому, вправе говорить именно о прогностической функции философии по отношению к науке, функции, специально рассмотренной в последних работах B.C. Степина1.

-265-

1. Принцип непрерывности в античной физике и математике

Как известно, элеец Зенон пытался доказать, что ни множественность, ни движение невозможно мыслить без противоречия. В основе апорий Зенона лежит допущение актуальной бесконечности, которое, собственно, и приводит к противоречию всякий раз, когда речь идет о множественности и движении.

Выше мы уже рассматривали четыре апории Зенона — «Дихотомия», «Ахиллес», «Стрела» и «Стадий», как их излагал Аристотель в «Физике», VI, 92.

Как мы помним, апории «Дихотомия» и «Ахиллес» исходят из допущения бесконечной делимости пространства, которое, в силу этого, невозможно пройти до конца. Напротив, «Стрела» и « Стадий» основаны на допущении актуально бесконечного множества неделимых «моментов» времени и «точек» пространства.

Поскольку Аристотелю необходимо доказать мыслимость движения без противоречия, —в противном случае физика как наука о движении невозможна, — он вводит принцип непрерывности, играющий фундаментальную роль в его научной программе. Непрерывность, по Аристотелю, есть определенный тип связи элементов системы, отличный от последовательности и смежности. Важно уяснить различие между смежным и непрерывным: если предметы соприкасаются, но при этом сохраняют каждый свои края, так что соприкасающиеся границы не сливаются в одну общую, то мы имеем дело со смежностью; если же граница двух предметов (отрезков линии, «частей времени» И т. д.) является общей, то тут речь идет о непрерывности3.

Непрерывными, по Аристотелю, могут быть не только части пространства и времени, но и движения; более того, подлинно непрерывным он считает то , что непрерывно по движению4. Чтобы движение было непрерывным, должны быть выполнены три условия: единство (тождественность) вида движения, единство движущегося предмета и единство времени.

Из определения непрерывного вытекает, что оно делится на части, делимые до бесконечности и, стало быть,

-266-

не может состоять из неделимых. Таким образом, Аристотель разрешает апории Зенона «Стрела» и «Стадий». Остаются, однако, две первых апории — «Дихотомия» и «Ахиллес», основанные на допущении бесконечной делимости пространства и времени. Здесь для разрешения противоречия Аристотель действует иначе. Если любой отрезок пути в силу его непрерывности делим до бесконечности, то трудность устраняется, если учесть, что непрерывности пути соответствует непрерывность времени. «Поэтому ошибочно рассуждение Зенона, что невозможно пройти бесконечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей в ограниченное время. Ведь длина и время, как и вообще все непрерывное, называются бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления, или в отношении границ. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного согласно делению — возможно, так как само время в этом смысле бесконечно. Следовательно, приходится проходить бесконечность в бесконечное, а не в ограниченное время и касаться бесконечного множества частей бесконечным, а не ограниченным множеством»5.

Аристотелево определение непрерывности базируется на тех же предпосылках, что и принцип отношений Евдокса, получившей название также аксиомы Архимеда и сформулированной Евклидом в четвертом определении V книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»6. Аристотель полностью принимает евдоксов принцип отношений, который по существу разрешает парадокс «Дихотомия»7.

Аристотель, как и греческая математика, не принимает понятия актуальной бесконечности. Он пользуется только понятием потенциально бесконечного, т. е. бесконечно делимого, которое, «будучи проходимым по природе, не имеет конца прохождения, или предела»8.

Сказать, что бесконечное существует только как потенциальное, а не как актуальное — значит сказать, что оно становится, возникает, а не есть нечто законченное, завершенное, не есть бытие. Пример потенциально бесконечного — это беспредельно возрастающий числовой ряд, ряд

-267-

натуральных чисел, который, сколько бы мы его ни увеличивали, остается конечной величиной. Потенциально бесконечное всегда имеет дело с конечностью и есть беспредельное движение по конечному. Принцип непрерывности, как его сформулировал Аристотель, базируется на понятии потенциально бесконечного.

Бесконечное, таким образом, есть, по Аристотелю, возможное, а не действительное, материя, а не форма: не случайно же материю Аристотель понимает как возможность. Не допуская актуальной бесконечности, Аристотель определяет бесконечное, как то, вне чего еще всегда что-то есть9.

Бесконечное — это материя, т. е. в ее аристотелевском понимании нечто неопределенное, не имеющее в себе связи и лишенное всякой структуры. Целое же — это материя оформленная, и «конец», «граница», структурирующая его и делающая чем-то актуально сущим, действительным, — это форма. Именно потому, что началом актуально сущего является форма, а форма есть предел, начало цели (она же — « конец», граница), он отвергает возможность актуально бесконечного: такое понятие является, по Аристотелю, как, впрочем, и по Платону, самопротиворечивым.

2. Пересмотр аристотелевского принципа непрерывности и понятие бесконечно малого у Галилея и Кавальери

Несмотря на напряженные споры вокруг понятий бесконечного и непрерывного, средневековая физика и математика признавала как теорию отношений Евдокса, так и аристотелево понятие непрерывного. Философско-теоретическому пересмотру эти античные принципы были подвергнуты в эпоху Возрождения Николаем Кузанским и Джордано Бруно. В рамках же собственно физики и математики они были поставлены под сомнение и в сущности отвергнуты Галилеем и его учеником Кавальери, стоявшими у истоков инфинитезимального исчисления10.

Проблема непрерывности обсуждается Галилеем в разных контекстах. Так, например, рассматривая вопрос

-268-

о причинах сопротивления тел разрыву или деформации и считая причиной мельчайшие «пустоты» или «поры» в телах, Галилей сталкивается с таким аргументом: как объяснить большую силу сопротивления некоторых материалов, если при ничтожном размере «пустот» и сопротивление их должно быть ничтожным? Отвечая на этот вопрос, Галилей пишет: «Хотя эти пустоты имеют ничтожную величину и, следовательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но неисчислимость их количества неисчислимо увеличивает сопротивляемость»11. Понятие ничтожно-малых пустот характерно: ничтожно-малое, в сущности, не есть конечная величина, ибо в этом случае число пустот в любом теле было бы исчислимым. Что Галилей хорошо понимает заключающуюся здесь проблему и трудность, свидетельствует следующая беседа Сагредо и Сальвиати: «Если сопротивление не бесконечно велико, — говорит Сагредо, — то оно может быть преодолено множеством весьма малых сил, так что большое количество муравьев могло бы вытащить на землю судно, нагруженное зерном... Конечно, для того чтобы это было возможно, необходимо, чтобы и число их было велико: мне кажется, что так именно обстоит дело и с пустотами, держащими связанными частицы металла.

Сальвиати. Но если бы понадобилось, чтобы число их было бесконечным, то сочли бы вы это невозможным?

Сагредо. Нет, не счел бы, если бы масса металла была бесконечной, в противном случае...»12

Мысль Сагредо ясна: в противном случае мы окажемся перед парадоксом Зенона: как бы малы ни были составляющие элементы, но если они имеют конечную величину, то бесконечное их число в сумме даст величину бесконечную — неважно, идет ли речь о массе металла, длине линии или величине скорости. На этом принципе стояла как античная математика, так и античная физика. Но именно этот принцип и хочет оспорить Галилей. Вот ответ Сальвиати на соображения Сагредо: «В противном случае — что же ? Раз мы уже дошли до парадоксов, то попробуем, нельзя ли каким-либо образом доказать, что в некоторой конечной непрерывной величине может существовать бесконечное множество пустот»13. Доказательство Галилея состоит в допущении тождества круга и многоугольника

-269-

с бесконечным числом сторон, т. е. образований, с точки зрения античной математики, не могущих иметь между собой никакого отношения. Именно предельный переход от многоугольника к кругу путем допущения многоугольника с актуально бесконечным числом сторон составляет основание вводимого Галилеем метода инфинитезимального исчисления. Использование актуально бесконечного в математике, по мнению Галилея, расширяет возможности последней. Именно Галилей пользуется понятием неделимого, на основе которого строит затем геометрию неделимых его ученик Кавальери14. Эти неделимые Галилей именует «неконечными частями линии», «неделимыми пустотами», «атомами». Природа их парадоксальна, противоречива: они не являются ни конечными величинами, ни «нулями». Из них-то, по Галилею, и состоит непрерывная величина.

Характерно, что в XVIII веке, когда бурно обсуждалась природа этой самой «бесконечно малой», Вольтер со свойственным ему остроумием определил математический анализ как «искусство считать и точно измерять то, существование чего непостижимо для разума»15.

Галилей, вводя понятие «бесконечного числа бесконечно малых», принимает таким образом в качестве предпосылки актуальную бесконечность, которой избегала античная математика, как и античная физика.

Вслед за Галилеем Кавальери, принимая те же предпосылки, предложил метод составления непрерывного из неделимых. При этом характерно название работы Кавальери: «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» (первое ее издание вышло в 1635 г.). Название полемично по отношению к принципу отношений Евдокса—Архимеда, как и к принципу непрерывности Аристотеля, который в XIII веке кратко сформулировал Фома Аквинский: «Ничто непрерывное не может состоять из неделимых»16. Каким образом непрерывное составлено из неделимых, Кавальери поясняет, в частности, в предложении XXXV второй книги «Геометрии»: «Построенный на каком-либо прямоугольнике параллелепипед, высотой которого служит некоторая прямая линия, равен (сумме) параллелепипедов, имеющих основаниями тот же прямоугольник, а высотами какие угодно части, на кото

-270-

рые может быть разделена высота. Если же представим себе, что прямоугольник, служащий основанием, разделен каким угодно образом на какое угодно число прямоугольников, то указанный параллелепипед будет равен (сумме) параллелепипедов, имеющих высотами отдельные части высоты, а основанием — отдельные части основания»17. Плоская фигура мыслится, таким образом, как совокупность всех линий, а тело — как сумма всех его плоскостей. Интересно разъяснение, которое дает Кавальери новому методу, прямо указывая на то, что ему не ясна природа «неделимого», с помощью которого он «составляет» геометрические объекты, а потому не ясна и сущность самого «составления»: «Я пользовался тем же приемом, каким пользуются алгебраисты для решения предлагаемых им задач: хотя бы корни чисел были неопределимы, непостижимы и неизвестны, они их тем не менее складывают вместе, вычитают, умножают и делят и, если только они окажутся в состоянии получить в результате этих манипуляций нужное им решение предложенной задачи, они считают, что достигли цели. Как раз так же я оперирую с совокупностью линий или плоскостей: пусть они, поскольку речь идет об их числе, неопределимы и неизвестны; поскольку речь идет об их величине, они ограничены всякому видными пределами»18. Кавальери сознает, что понятие актуальной бесконечности, с которым оперирует геометрия неделимых, порождает «сомнения, связанные с опасностью плавания у скал этой бесконечности»19. Это сознание, как и та критика, которой подверглось понятие континуума как «совокупности неделимых» со стороны современников Кавальери20, заставили его в седьмой книге «Геометрии» утоннить метод, примененный им в первых шести книгах. Если первоначально Кавальери сравнивал между собой совокупность всех линий одной плоской фигуры с совокупностью всех линий другой (аналогично — и плоскостей, из которых составлены тела), то в седьмой книге он сравнивал любую линию одной фигуры с соответствующей линией другой, или одну плоскость одной фигуры тела с плоскостью другого. Таким путем он избегал необходимости оперировать понятиями «все линии» и «все плоскости». Поясняя свое ограничение, Кавальери писал: «Мы намеревались доказать лишь

-271-

то, что отношение между континуумами соответствует отношению между неделимыми и наоборот»21.

Самое удивительное, однако, состоит в том, что одним из критиков Кавальери оказался также и ...Галилей, сам, как мы знаем, предлагавший составлять непрерывное из бесконечно большого числа неделимых! Из переписки Кавальери известно, что Галилей не хотел признать правомерности понятий «все плоскости данного тела» и «все линии данной плоскости». Это кажется неожиданным, если мы вспомним, что Галилей допускал «строение континуума из абсолютно неделимых атомов»22, хотя и не мог разъяснить природу этих неделимых23. Как мы уже выше могли видеть, Галилей рассуждал о неделимых не только с точки зрения математической, но и как физик. Размышляя о природе континуума в работе «Разные мысли», Галилей утверждает: «Бесконечность должна быть вовсе исключена из математических рассуждений, так как при переходе к бесконечности количественное изменение переходит в качественное, подобно тому, как, если мы будем самой тонкой пилой размельчать тело, то как бы мелки ни были опилки, каждая частица имеет известную величину, но при бесконечном размельчении получится уже не порошок, а жидкость, нечто качественно новое, причем отдельные частицы вовсе исчезнут»24.

В чем тут дело? Почему Галилей то допускает понятие актуальной бесконечности, то запрещает его? Почему он критикует Кавальери за метод, каким пользовался сам? Вот что думает по этому поводу С.Я. Лурье, переводчик «Геометрии» Кавальери и автор предисловия к переводу: «Галилей вообще не выставил никакой связной математической теории неделимых: стоя на атомистической точке зрения (непрерывное состоит из неделимых, линия состоит из точек), он в то же время видел логические несообразности, к которым приводила эта теория; компромисс Кавальери его не удовлетворял, он не хотел понять Кавальери, чувствовал, что математический атомизм необходим для дальнейшего прогресса математики, но не знал, как сделать его теоретически приемлемым»26. Вероятно, С.Я. Лурье здесь не далек от истины, хотя его утверждение о том, что Галилей в своем учении о неделимых следует Демокриту, вряд ли можно принять без оговорок. Гали

-272-

лей пытается найти объединение физического атомизма Демокрита с математическим атомизмом, которого у Демокрита не было, а потому опирается скорее на Архимеда26. Но позиция его в этом вопросе с психологической точки зрения очень показательна; то, что он позволяет себе, хотя и не без некоторых оговорок, крайне раздражает его у другого: тут с особой ясностью ему видны логические противоречия, связанные с понятием актуальной бесконечности, в частности — с бесконечно малым. Как бы то ни было, очевидно одно: Галилею не удалось удовлетворительно разрешить проблему континуума на пути, отличном от евклидовско-аристотелевского, и он, критикуя Кавальери, вынужден признать, что вместе с неделимым в математику входят неразрешимые парадоксы.

3. Попытки преодолеть парадоксы бесконечного: Декарт, Ньютон, Лейбниц

Не удивительно, что Декарт, признавая принцип непрерывности не только в математике, но и в физике, возвращается в этом пункте к Аристотелю. «Невозможно, — пишет Декарт, — существование каких-либо атомов, т. е. частей материи, неделимых по своей природе», как это вообразили некоторые философы»27. Соответственно Декарт не допускает в научный обиход и понятие актуально бесконечного. Актуально бесконечен, по Декарту, лишь Бог, но именно потому он и непознаваем. Ведь познание, говорит Декарт, следуя здесь античной традиции, есть полагание предела, границы. «Мы никогда не станем вступать в споры о бесконечном, тем более что нелепо было бы нам, существам конечным, пытаться определить что-либо относительно бесконечного и полагать ему границы, стараясь постичь его. Вот почему мы не сочтем нужным отвечать тому, кто спрашивает, бесконечна ли половина бесконечной линии, или бесконечное число четное или нечетное и т. д. О подобных затруднениях, по-видимому, не следует размышлять никому, кроме тех, кто считает свой ум бесконечным. Мы же относительно того, чему в известном смысле не видим пределов, границ, не станем утверждать,

-273-

что эти границы бесконечны, но будем лишь считать их неопределенными. Так, не будучи в состоянии вообразить столь обширного протяжения, чтобы в то же самое время не мыслить возможности еще большего, мы скажем, что размеры возможных вещей неопределенны. А так как никакое тело нельзя разделить на столь малые части, чтобы каждая из них не могла быть разделена на еще мельчайшие, то мы станем полагать, что количество делимо на части, число которых неопределенно»28.

Из этого отрывка видно, что в качестве понятия, доступного человеческому разуму, Декарт признает только потенциальную бесконечность. Как и Аристотель, он мыслит континуум как беспредельно делимое.

Правда, в отличие от Аристотеля, Декарт не считает вселенную конечной. Но характерно, что он называет ее не бесконечной (infinite), а только неопределенной (indefinite), т. е. бесконечной потенциально, не имеющей предела. Атомизма же Декарт не признает ни в математике, ни в физике: картезианские корпускулы отличаются от демокритовских атомов тем, что они бесконечно делимы. В этом смысле картезианская программа является континуалистской, как и перипатетическая. Отвергая аристотелианскую физику и космологию по целому ряду параметров, Декарт, однако, полностью разделяет аристотелевский принцип непрерывности.

Таким образом, пересмотр понятий античной науки и философии в XVII веке отнюдь не был универсальным: важнейшее положение античной математики и физики, вначале поколебленное учением о неделимых Галилея, Кавальери, Торричелли, было восстановлено в правах Декартом. Да и Галилей, как мы видели, в вопросе о непрерывности так и не пришел к определенному решению: критикуя Кавальери, он в сущности отказывался от своего революционного переворота.

Споры вокруг принципа непрерывности и природы бесконечно малого не утихали на протяжении XVII и XVIII вв., что, впрочем, не мешало дальнейшей разработке и использованию математического анализа. Характерна попытка Ньютона найти выход из затруднений, связанных с понятием актуально бесконечно малого. Первоначально английский ученый употреблял бесконечно малые величины

-274-

и пользовался ими, как и его предшественники (в частности, Дж.Валлис)29, т. е. отбрасывал их на том же основании, что и другие математики: поскольку значение их исчезающе мало по сравнению с конечными величинами. Однако затем Ньютон создает так называемую теорию флюксий. «Главное отличие теории флюксий в ее законченном виде от современного ей дифференциального исчисления, — пишет А.П. Юшкевич, — заключается в стремлении изгнать из математики бесконечное при помощи метода первых и последних отношений, т. е. пределов»30. Метод флюксий, содержащий в самой первоначальной формулировке принцип пределов, был со стороны Ньютона попыткой избежать актуально бесконечного и обосновать практически уже вошедшее в обиход математиков отбрасывание бесконечно малых слагаемых. Метод флюксий следующим образом вводится в «Математических началах натуральной философии»: «Количества, а также отношения количеств, которые в продолжение любого конечного времени постоянно стремятся к равенству и ранее конца этого времени приблизятся друг к другу ближе, нежели на любую заданную разность, будут напоследок равны»31.

Это — первая лемма книги «Начал». Анализируя математические работы Ньютона, в частности его «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», Д.Д. Мордухай-Болтовской замечает, что Ньютон стоял как бы на перепутье — между созданным им методом флюксий и возникшим позднее у Даламбера понятием предела; однако создать теорию предела Ньютону не удалось32, хотя само понятие «предела» и появляется у Ньютона в « Началах ».

Мы не можем сколько-нибудь подробно останавливаться на методе флюксий Ньютона: для нашей цели достаточно показать, что Ньютон искал способа избежать понятия бесконечно малой величины, т. е. актуально бесконечного, и его метод первых и последних отношений есть попытка приблизиться к методу исчерпывания древних, вполне строгому и строящемуся на признании лишь потенциальной бесконечности33.

Аналогичные затруднения с понятием бесконечно малого испытывал Лейбниц, чье отношение к принципу непре

-275-

рывности весьма показательно для научно-философской мысли XVII-XVIII вв. На теории бесконечно малых Лейбница мы остановимся подробнее, поскольку немецкий ученый не только разработал метод дифференциального исчисления, но и многократно обсуждал те трудности, которые связаны с его обоснованием.

Позиция Лейбница в вопросе о бесконечно малых столь же непоследовательна, как и позиция его предшественника Галилея: как и Галилей, Лейбниц, с одной стороны, оперирует этим понятием и сам разрабатывает метод математического анализа, а, с другой, он вполне разделяет критическое отношение других математиков и особенно философов к этому понятию-парадоксу. Такая двойственная позиция у Лейбница в сущности сохраняется на протяжении всей его жизни. В этом отношении показательно письмо Лейбница к Фуше от января 1692 г. Фуше в письме к Лейбницу доказывал невозможность оперирования с неделимыми в математике и настаивал на необходимости признать принцип непрерывности в его аристотелевской формулировке. Отвечая Фуше, Лейбниц пишет: «Вы правы, говоря, что коль скоро все величины могут делиться до бесконечности, не существует такой величины, сколь угодно малой, которая в свою очередь не могла бы быть разделена на еще меньшие части, число которых бесконечно»34. Однако, признав бесконечную делимость любой величины, Лейбниц тут же добавляет: «Впрочем, я не нахожу ничего дурного и в предположении, что эта делимость может быть в конце концов исчерпана, хотя и не вижу в этом никакой нужды»36. Это замечание стоит в прямом противоречии с признанным только что принципом непрерывности: в самом деле, если делимость может быть исчерпана, значит, могут быть получены последние неделимые элементы, — а это означает, что величины не будут делимы до бесконечности. И тут делу не может помочь оговорка Лейбница: « хотя и не вижу в этом никакой нужды».

Точно так же «вибрирует» мысль Лейбница в вопросе о бесконечном в его «Новых опытах о человеческом разумении», написанных в 1703-1704 гг. С одной стороны, Лейбниц признает, что в математике нельзя оперировать с понятием актуальной бесконечности. «Не существует бесконечного числа, или бесконечной линии, или какого-

-276-

нибудь другого бесконечного количества, если брать их как настоящие целые... Истинная бесконечность... заключается лишь в абсолютном, которое предшествует всякому соединению и не образовано путем прибавления частей»36. В данном случае речь идет о невозможности актуально существующей бесконечно большой величины. Однако и по отношению к актуально существующей бесконечно малой величине Лейбниц здесь высказывается тоже однозначно: «Мы заблуждаемся, пытаясь вообразить себе абсолютное пространство, которое было бы бесконечным целым, составленным из частей. Ничего подобного не существует. Такое понятие внутренне противоречиво, и все эти бесконечные целые, равно как и их антиподы, бесконечно малые, применимы лишь для математических выкладок, подобно мнимым корням в алгебре»37. Однако, с другой стороны, Лейбниц в той же работе признает актуально бесконечное множество восприятий, имеющихся в нас в каждый момент, но не сознаваемых нами38, а также актуально бесконечное множество субстанций-монад, или, как он их называет, «метафизических точек». Таким образом, причина «вибрации» Лейбница — в невозможности признать актуальную бесконечность в математике и в то же время в невозможности отвергнуть актуальную бесконечность в физике и метафизике; последние имеют дело с реально сущим, с бытием, тогда как математика — лишь с возможным, конструкцией воображения.

Вот что в этой связи пишет Лейбниц Фуше в 1693 г.: «Я настолько убежден в существовании актуальной бесконечности, что не только не допускаю мысли о том, что природа не терпит бесконечного.., а, напротив, считаю, что она повсюду выказывает любовь к нему, дабы тем нагляднее продемонстрировать совершенство Творца. Итак, я полагаю, что нет ни одной части материи, которая была бы не скажу только неделимой, но даже не разделенной актуально и, следовательно, любая мельчайшая частица материи должна рассматриваться как мир, наполненный бесчисленным количеством разнообразных созданий»39.

Возражая Декарту и его последователям, не допускавшим возможности для конечного существа мыслить актуально бесконечное, Лейбниц в письме к Мальбраншу замечает: «Ответ, что наш ум, будучи конечным, не понимает

-277-

бесконечного, неправилен, так как мы можем доказать и то, чего мы не понимаем»40.

Не правда ли, эта мысль Лейбница в точности повторяет высказанную Кавальери: хотя бы мы не понимали сущности тех приемов, которыми мы пользуемся, мы тем не менее можем получать с их помощью нужное решение задачи; именно так, справедливо говорит Кавальери, поступают алгебраисты, и математический анализ по своему методу сходен с алгеброй, оперирующей с непостижимыми корнями чисел. Это — целый переворот по сравнению с античной математикой, переворот, основанный на сближении техники вычисления (логистики) и точной науки, приближенного метода вычисления (так понимал метод бесконечно малых Кеплер) и строго математического доказательства.

Лейбниц, таким образом, допускает актуально бесконечное в тварном мире, а не только в Боге; то, что делимо до бесконечности, должно быть уже актуально разделено на бесконечное число бесконечно малых единиц, ибо, согласно Лейбницу, возможное должно иметь свое основание в действительном, потенциальное — в актуальном. Здесь Лейбниц занимает позицию, отличную как от античной — аристотелевско-евклидовской, так и от картезианской. В этом отношении интересно проанализировать диалог 1776 года «Пацидий — Филалету», в котором намечены все ходы мысли, воспроизводившиеся затем Лейбницем на протяжении последующих сорока лет. Диалог посвящен трудностям, связанным с проблемой континуума, которая, по Лейбницу, есть узел, еще никем не развязанный. «Ни Аристотель, ни Галилей, ни Декарт не могли обойти этот узел: один его скрыл, другой оставил неразвязанным, третий разрубил»41. Диалог построен по классическим канонам жанра: принимается допущение, затем обсуждаются его следствия, и оно отвергается в пользу другого, которое затем обсуждается таким же образом.

Первое допущение, которое принимает Лейбниц, принадлежит сторонникам составления непрерывного из неделимых. К ним первоначально, до своего приезда в Париж, принадлежал и сам Лейбниц. Вот это допущение: пространство состоит из точек, а время — из моментов «теперь». Поскольку составление линии из конечного

-278-