Часть 10.

числа точек ведет к очевидным несообразностям, например к невозможности разделить отрезок пополам, то остается допустить, что «линии состоят из точек, но по числу бесконечных»42. Однако в этом случае пришлось бы согласиться, что диагональ и сторона квадрата равны, а также что целое равно части. Поскольку это невозможно, делается вывод: линия не состоит из точек, и принимается аристотелево определение континуума как делимого до бесконечности. Актуально бесконечное в математике, таким образом, отвергается. Эту позицию Лейбниц оценивает как «ответ Галилею». Ответ этот гласит: «До обозначения нет никаких точек... Нет точек, линий, поверхностей, т. е. вообще оконечностей (границ, пределов. — П.Г.), кроме тех, которые возникают при делении: и в непрерывности нет частей, пока они не созданы делением. Но никогда не осуществляются все деления, какие только осуществимы...»43 Это — позиция Аристотеля, Евдокса, Декарта, допускающая лишь потенциальную бесконечность.

Однако Лейбниц на этом не останавливается. Хотя, казалось бы, вопрос решен и противоречия сняты, он ставит вопрос о континууме в физике, рассматривая структуру твердых тел и жидкостей и желая теперь возразить Декарту, с которым он только что солидаризировался. «Я не допускаю ни атомов (Гассенди), т. е. совершенно твердого тела, ни тонкой материи Декарта, т. е. совершенно жидкого тела»44. Модель физической непрерывности, по Лейбницу, — это тело, повсюду сгибаемое. «Разделение непрерывности надо уподобить не песку, распадающемуся на отдельные песчинки, а бумаге или ткани, которая может образовать складки: хотя число складок ничем не ограничено и они могут быть все меньше и меньше одна другой, однако тело никогда не распадается на точки или наименьшие части »45. Для Лейбница главное здесь — что «складки» все время остаются протяженными величинами, а не превращаются в «неделимые точки». Однако принципиального отличия от Декарта тут нет, ибо у последнего тоже части материи — корпускулы — остаются всегда делимыми.

Рассмотрев непрерывность пространства, времени, а затем материи Лейбниц ставит вопрос о непрерывности по отношению к движению и рассматривает две альтернативные точки зрения. Если принять непрерывное движение,

-279-

то придется признать, что непрерывность состоит из точек, ибо «движение есть смена двух пребываний, которыми тело связано с двумя ближайшими точками в два ближайших момента...»46 Поскольку же составленность линии из точек уже была отвергнута, то Лейбниц обращается ко второй возможности — движению скачками. «Между промежутками покоя будет происходить моментальное движение скачком»47. Скачки эти можно мыслить как своего рода «транскреации», т. е. уничтожение тела в одной точке и сотворение его заново в другой, как, по-видимому, решали проблему движения мусульманские математики мутакаллимы: «Движущееся тело Е, пробыв некоторое время в А, исчезает и уничтожается, а в следующий момент снова возникает и возрождается в В»48. Характерно, что признать первую из двух возможностей, а именно непрерывность движения, Лейбницу мешает убеждение в том, что «движение есть смена двух пребываний», т. е. что оно прерывно по своему существу. И эта посылка представляется Лейбницу настолько само собой разумеющейся, что он не принимает идею непрерывности движения Аристотеля, средневековых физиков, Декарта. Но и «скачки» тоже не удовлетворяют Лейбница, представляются ему таким же «чудом», что и «совершенная твердость атомов, принимаемая Гюйгенсом»48.

Какой же выход видится здесь немецкому философу? Как ни неожиданно это для читателя, только что принявшего к сведению пассаж о невозможности актуально бесконечного в математических и физических объектах, но Лейбниц вновь возвращается к актуально бесконечному, отвергнутому в споре с Галилеем: «Я думаю так: нет такой части материи, которая не была бы актуально разделена на множество частей, и, следовательно, нет столь малого тела, в котором не содержался бы мир бесчисленных творений... Таким образом, и тело, и пространство, и время актуально подразделены до бесконечности»60. Соответственно теперь отвергается непрерывность движения и признаются уже было отброшенные «скачки», но, правда, с одной оговоркой: эти скачки должны быть «бесконечно малыми», а значит, «проскакиваемое» расстояние должно быть меньше любой конечной величины»51. Таков итог размышлений Лейбница.

-280-

С известной оговоркой он в конце концов вновь признает и бесконечно малую величину, а именно как «воображаемую»: «В геометрии я допустил бы с эвристической целью бесконечно малые величины пространства и времени, рассматривая их как воображаемые»52.

Можно было бы сказать, что диалог, написанный в 1676 году, еще не вполне зрелое произведение Лейбница, если бы те же самые ходы мысли не были воспроизведены им почти двадцать лет спустя в переписке с Фуше, а затем и в более поздних работах — вплоть до 1716 года. Поэтому нельзя не согласиться с А.П. Юшкевичем, отмечавшим в одной из своих статей непоследовательность Лейбница: «Великий философ и математик высказывал в разное время различные мнения о сущности исчисления бесконечно малых. Иногда, например, он рассматривал дифференциал dx как конечный, но крайне малый отрезок, по крайней мере, пропорциональный конечному отрезку. Очень часто, особенно в более поздние годы жизни, он отзывался о бесконечно малых как об идеальных вещах и понятиях, как об удобных в эвристическом отношении фикциях, результаты применения которых можно, если угодно, получить с помощью строгого доказательства исчерпыванием. Наконец, у него имеется и та мысль, что бесконечно малые суть величины, меньше всякой конечной величины, хотя и не нулевые, величины «несравнимые» в том смысле, что на какую бы конечную величину их ни умножить, результат не будет конечной величиной»53. И действительно, точка зрения Лейбница на бесконечно малую все время неустойчива, потому что он в своей физике и метафизике принимает актуальную бесконечность, что не может не отражаться и на его понимании бесконечного в математике.

В то же время в философии Лейбница идея непрерывности играет существенную роль: актуально существующие метафизические и физические «точки», единицы (монады) составляют своего рода непрерывную цепь, лишенную «промежутков», «разрывов», «скачков». Характерно, что П.А. Флоренский, отвергая идею непрерывности, которая, по его мнению, господствовала в науке и философии XIX пека, возводит эту идею прежде всего к Лейбницу54. Однако лейбницкого понимания непрерывности, как мы

-281-

видели, существенно отличается от традиционного, к которому тяготел Декарт, а впоследствии — Кант: у Лейбница идея непрерывности имеет предпосылкой принятие актуально бесконечного.

Так, вводя понятие «незаметных», «бесконечно малых восприятий», возникшее у него по аналогии с математической бесконечно малой, Лейбниц пишет: «Незаметные восприятия имеют такое же большое значение в пневматике, какое незаметные корпускулы имеют в физике... Ничто не происходит сразу, и одно из моих основных и достоверных положений — это то, что природа никогда не делает скачков... Значение этого закона в физике очень велико: в силу этого закона всякий переход от малого к большому и наоборот совершается через промежуточные величины.... Точно так же никогда движение не возникает непосредственно из покоя, и оно переходит в состояние покоя лишь путем меньшего движения... Придерживаться другого взгляда — значит не понимать безграничной тонкости вещей, заключающей в себе всегда и повсюду актуальную бесконечность. Эти последние слова об актуальной бесконечности кладут водораздел между традиционным принципом непрерывности как бесконечности потенциальной (бесконечной делимости) и лейбницевым толкованием этого принципа.

Философское обоснование по-новому истолкованного им принципа непрерывности Лейбниц предлагает в «Монадологии ». Здесь на новом уровне воспроизводится старый парадокс, возникающий при попытке составлять непрерывное из неделимых. С одной стороны, Лейбниц определяет монаду как простую субстанцию, не имеющую частей, а значит, нематериальную (все материальное имеет части и делимо). Он поясняет, что «где нет частей, там нет ни протяжения, ни фигуры и невозможна делимость»66. С другой стороны, Лейбниц говорит, что «сложная субстанция есть не что иное, как собрание или агрегат простых»57. Выходит, что сложное (т. е. непрерывное) мы получаем из суммы бесконечного числа простых (неделимых), статус которых так же неясен, как и статус математической бесконечно малой: это и не величины (ибо монады, по Лейбницу, нематериальны, не имеют протяжения), и не «нули» (ибо, как позднее мы узнаем, всякая монада обладает «телом»).

-282-

Монада у Лейбница мыслится по аналогии с душой: именно души по определению неделимы. Но тогда выходит, что тело как сложная субстанция составляется из бесконечного числа душ — субстанций простых. Пытаясь выйти из этого затруднения, Лейбниц прибегает к метафоре: сравнивает тела с «прудом, полным рыбы» (где рыбы — это, надо думать, монады)58. Но в таком случае что такое та «вода», в которой обитают «рыбы»? Если реальны только монады, как и заявляет Лейбниц, то «вода» тоже состоит из новых неделимых, и так до бесконечности. Противоречие не разрешается. Для его разрешения Лейбниц прибегает еще к одному средству: рассматривать материю не как субстанцию, а как «субстанциат», подобный армии или войску. «В то время как ее рассматривают так, будто она есть некая вещь, на самом деле она есть феномен, но вполне истинный, из которого наше восприятие создает единство»59.

Рассмотрение материи как «феномена», пусть даже «хорошо обоснованного» (хотя самого этого обоснования Лейбниц так и не смог предъявить), означает — правда, на другом языке — возвращение к предпосылкам Аристотеля, трактовавшего материю как возможность, а не действительность. Но для последовательного проведения такой точки зрения необходимо отказаться от понятия актуальной бесконечности применительно к конечному (тварному) миру: ведь Аристотель в свое время потому и определил материю как бесконечно делимое, что она принадлежала у него к сфере возможного. Лейбниц же, объявляя материю феноменом, в то же время сохраняет в силе вышеприведенные тезисы: 1) в каждой части материи «содержится» актуально бесконечное число монад и 2) всякая душа обладает телом. Последнее утверждение совершенно лишено смысла, если считать, что тело — это феномен; первое, впрочем, тоже, хотя, может быть, это и не так очевидно.

Как видим, даже Лейбницу не удалось разрешить парадоксы актуальной бесконечности и последовательно провести принцип непрерывности в математике. Вопрос остался открытым и в философии. К нему во второй половине XVIII века вновь обратились как математики, так и философы.

-283-

4. Возвращение к античным традициям в математике и философии во второй половине XVIII века

В философии проблему непрерывности попытался разрешить Кант, столкнувшись с затруднениями, которые эта проблема породила у Лейбница, с одной стороны, и у математиков — с другой. Рождение трансцендентального идеализма в немалой степени было обусловлено необходимостью справиться с парадоксами актуальной бесконечности. По Канту, подлинным бытием обладают лишь вещи в себе, которые суть простые, неделимые единства, лишенные протяжения. От лейбницевых монад, однако, эти единства отличаются тем, что они, во-первых, непознаваемы, а, во-вторых, из них недопустимо «составлять» материальные тела, т. е. рассматривать сложное как «агрегат» простого. Что же касается мира явлений, протяженного в пространстве и длящегося во времени (которые как раз суть априорные формы, с помощью которых порождается мир явлений), то он непрерывен, т. е. бесконечно делим.

Именно разделение сущего на вещи в себе и явления позволяет Канту решить проблему континуума: непрерывность пространственно-временного мира не противоречит, так сказать, «дискретности» мира сверхприродного. В «Метафизических началах естествознания» (1786) Кант пишет: «Сколь далеко... простирается математическая делимость пространства, наполненного той или иной материей, столь же далеко простирается и возможное физическое деление субстанции, его наполняющей. Но математическая делимость бесконечна, следовательно, и физическая, т. е. всякая материя, до бесконечности делима, и притом на части, из которых каждая в свою очередь есть материальная субстанция»60.

Последнее замечание имеет целью подчеркнуть, что в материи нет «последних неделимых» элементов, которые оказались бы чем-то сверхматериальным: всякая часть материи, как и пространства, делима до бесконечности. Здесь Кант возвращается к Аристотелю и следовавшему за ним Декарту. И объяснение этой бесконечной делимости Кант дает в духе Аристотеля, хотя для достижения такой пози

-284-

ции ему пришлось пойти совсем не аристотелевским и не характерным для античности путем: допустить феноменальный характер эмпирического мира. Это путь, на который Лейбниц последовательно встать не смог.

Перед Кантом стояла альтернатива. Если принять материю за субстанцию, и притом не тождественную пространству, как это было у картезианцев, то допущение бесконечной делимости материи требовало бы допустить, что она состоит из актуально бесконечного множества «последних единиц» — путь, которым пошел Лейбниц, отвергнув физический атомизм во имя принципа бесконечной делимости. Но если считать, как Аристотель, что материя — это лишь возможность, то нет надобности искать в самой материи бесконечной разделенности в качестве условия ее бесконечной делимости. Кант объявил материю только явлением, для того чтобы можно было выбрать второй путь — возвращение к принципу непрерывности в его аристотелевско-евдоксовом варианте. «О явлениях, деление которых можно продолжить до бесконечности, можно лишь сказать, что частей явления столько, сколько их будет дано нами, пока мы будем в состоянии продолжать деление. Ведь части, как относящиеся к существованию явлений, существуют лишь в мыслях, т. е. в самом делении»61. Иначе говоря, если материя не есть вещь в себе, то нет надобности допускать актуальной бесконечности (частей) для обоснования потенциальной бесконечности, т. е. процесса деления.

Феноменалистское истолкование пространства, времени и материи позволяет Канту вернуться в XVIII веке к классической античной теории непрерывности.

Возвращение к потенциальной бесконечности при обосновании дифференциального исчисления происходит и в математике второй половины XVIII века, хотя полностью преодолеть идею актуально бесконечно малого и создать теорию пределов, опирающуюся на методологические принципы метода исчерпывания, удалось только позднее, усилиями К.Ф. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши и особенно К. Вейерштрасса.

Противоречивость понятия бесконечно малого, как мы видели, была очевидна с самого появления этого понятия; не случайно Ньютон создавал теорию первых и последних отношений, стремясь избежать «бесконечно малых». Это

-285-

стремление особенно усилилось после критики инфинитезимального исчисления, осуществленной Беркли. Не удивительно поэтому, что Даламбер в своих статьях «Дифференциал» (1754), «Флюксия» (1756), «Бесконечно малое» (1759) и «Предел» (1765), помещенных в знаменитой «Энциклопедии, или Словаре наук, искусств и ремесел», в качестве обоснования анализа предложил теорию пределов. При этом он опирался на ньютоновский принцип «первых и последних отношений». Дальнейшие шаги в этом направлении были предприняты Лагранжем. В 1784 году по инициативе Лагранжа Берлинская Академия наук назначила приз за лучшее решение проблемы бесконечного в математике. Объявление об условиях конкурса гласило: «...Всеобщим уважением и почетным титулом образцовой «точной науки» математика обязана ясности своих принципов, строгости своих доказательств и точности своих теорем. Для обеспечения непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью. Хорошо известно, что современная геометрия (математика) систематически использует бесконечно большие и бесконечно малые величины. Однако геометры античности и даже древние аналитики всячески стремились избегать всего, что приближается к бесконечности, а некоторые знаменитые аналитики современности усматривают противоречивость в самом термине бесконечная величина. Учитывая сказанное, Академия желает получить объяснение, каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения, вместе с формулировкой точного, ясного..., истинно математического принципа, который был бы пригоден для замены принципа бесконечного и в то же время не делал бы проводимые на его основе исследования чрезмерно сложными или длинными»62.

Однако, как мы уже говорили, строгое решение поставленной Берлинской Академией наук проблемы было предложено только в XIX веке. Решающую роль играли здесь работы О. Коши. Метод, им предложенный, сходен с античным методом исчерпывания и тоже исключает обращение к актуально бесконечному. Вот как определяет Коши вводимое им понятие предела: «Если значения, последова

-286-

тельно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно (indefiniment) приближаются к фиксированному значению таким образом, чтобы в конце концов отличаться от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных»63. Бесконечно малая определяется здесь как переменная, последовательные численные значения которой становятся меньше любого данного положительного числа64.

Именно благодаря философии Канта, с одной стороны, и разработанной в XIX веке теории пределов, с другой, в XIX веке и в самом деле принцип непрерывности, близкий к его античному пониманию, стал играть важную роль. В заключение мне хотелось бы остановиться еще на одном, последнем моменте —на понятии непрерывного, как оно было разработано Р. Дедекиндом в 60-х — 70-х годах XIX века.

5. Аксиома непрерывности Р. Дедекинда

В связи с необходимостью обосновать теорию пределов к проблеме непрерывности в 60-70-х годах XIX века обратился немецкий математик Р. Дедекинд. Считая недостаточно строгим введение понятия предела с помощью геометрической наглядности, Дедекинд попытался найти арифметическое обоснование анализа бесконечных. «Говорят часто, что дифференциальное исчисление занимается непрерывными величинами, однако же нигде не дают определения этой непрерывности, и даже при самом строгом изложении дифференциального исчисления доказательства не основывают на непрерывности...»66 В результате напряженных поисков Дедекинд достиг цели: он предложил принцип непрерывности, который, по его убеждению, удовлетворял самым строгим требованиям. «В предыдущем параграфе, — пишет Дедекинд, имея ввиду свою работу "Непрерывность и иррациональные числа", — обращено было внимание на то, что каждая точка Р прямой производит разложение прямой на две части таким образом, что каждая точка одной части расположена влево от каждой точки другой. Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, т. е. в следую

-287-

щем: «Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение на два класса, это рассечение прямо на два куска»67. . На первый взгляд, это определение непрерывности совпадает с аристотелевским. Как мы помним, согласно Аристотелю, непрерывно то, концы чего образуют единое. Применительно к прямой это значит: непрерывна та прямая, два отрезка которой имеют только одну общую точку. О том же, как видим, говорит и Дедекинд. И не случайно после выхода в свет работы Дедекинда математик Р. Лифшиц указал ему на то, что открытая Дедекиндом аксиома непрерывности совпадает с теорией отношений Евдокса, основанной на том же принципе, что и аристотелево понятие непрерывности. «Я не отрицаю обоснованности Вашей дефиниции, — писал Р. Лифшиц, — я лишь думаю, что она только по форме выражения, а не по существу отличается от того, что установили древние. Я могу только сказать, что установленное -Евклидом определение (кн. V, опр. 4), которую я привожу по-латыни, я считаю столь же удовлетворительным, как и Ваше определение: rationem habere inter se magnitudines dicuntur, quae possunt multi-plicatae sese mutuo superare (говорят, что величины имеют отношение между собой, если, взятые кратно, они могут превзойти друг друга)»67. Отвечая Лифшицу, Дедекинд, однако, настаивает на том, что «одни только евклидовы принципы, без привлечения принципа непрерывности, который в них не содержится, не способны обосновать совершенную теорию реальных чисел как отношений величин... И напротив, благодаря моей теории иррациональных чисел создан совершенный образец непрерывной области, которая именно поэтому способна характеризовать всякое отношение величин определенным содержащимся в нем числовым индивидуумом (Zahlen-Individuum)»68.

При этом Дедекинд подчеркивает, что он не случайно мыслит континуум как арифметический и само обоснование анализа стремится дать с помощью арифметики: он не хочет «привлекать довольно темное и сложное понятие величины»69. Все это говорит о том, что действительно Дедекинд иначе мыслит непрерывное, чем Аристотель.

-288-

Для Аристотеля непрерывное — это то, что бесконечно делимо, т. е. потенциально бесконечное; для Дедекинда же непрерывное содержит в себе актуально бесконечное множество «сечений», т. е. «числовых индивидуумов». Дедекинд вводит постулат существования всех сечений и порождающих их реальных чисел, справедливо указывая на то, что такой постулат не был нужен Евдоксу. Не случайно теория непрерывности Дедекинда имеет общую базу с теорией множеств Г. Кантора: оба опираются на понятие актуально бесконечного. «К определению некоторого иррационального реального числа, — пишет Г. Кантор, — всегда принадлежит хорошо определенное бесконечное множество первой мощности рациональных чисел; в этом состоит общее всех форм дефиниции...»70 В основе определения непрерывности Дедекинда, справедливо замечает Кантор, лежит совокупность всех рациональных чисел.

По-видимому, та характеристика теоретико-множественного понимания континуума, которую дает Г. Вейль, может быть отнесена и к теории континуума Дедекинда. «...Наша концепция, — говорит Вейль, имея в виду концепцию Г. Кантора, — остается по-прежнему статической, характерным для нее является ничем не ограниченное применение терминов «все» и «существует» не только к натуральным числам, но также и к местам в континууме, т. е. к возможным последовательностям или множествам натуральных чисел. В этом и заключается сущность теории множеств: она рассматривает в качестве замкнутой совокупности существующих самих по себе предметов не только числовой ряд, но и совокупность его подмножеств. Поэтому она целиком базируется на почве актуально бесконечного»71. Когда Вейль характеризует теоретико-множественную концепцию как «статическую», он имеет в виду то же различение бесконечного как «бытия» и как «становления», о котором у нас шла речь выше. Дедекинд в своей трактовке непрерывности возвращается, таким образом, не к Аристотелю и Евклиду, а скорее к Лейбницу, у которого речь идет не просто о бесконечной делимости как незавершимом процессе («становления»), а о «бесконечной разделенности» как завершенном состоянии (т. е. «бытии»).

Вероятно, именно в силу того, что принцип непрерывности математики и философы уже более ста лет отождествляют с аксиомой непрерывности Дедекинда, античная его формулировка представ

-289-

ляется чем-то архаическим, нестрогим и неточным. Чаще всего в научном обиходе античный метод вообще не фигурирует, оказывается вне поля зрения, как это хорошо показывает И.Г. Башмакова, сравнивая Евдокса и Дедекинда. «Общая теория отношений, — пишет И.Г. Башмакова, — была построена Евдоксом Книдским в IV в. до н. э. и дошла до нас в изложении Евклида... Она оставалась, по существу, непонятой и считалась весьма искусственной, пока Р. Дедекинд не построил в 1870-1871 гг. прошлого века свою теорию сечений, с помощью которой определил действительные числа. И тогда все вдруг "поняли" теорию Евдокса, которая основана на той же конструкции, что и теория сечений»72.

А между тем всякий раз, когда оперирование понятием актуально бесконечного приводит к парадоксам, как это случилось и с теорией множеств, математическая мысль вновь пытается обосновать свои построения на понятии «становления» (возможности), а не «бытия» (действительности). И независимо от того, известна ли математикам аристотелева (и кантова) теория непрерывности, они невольно вновь обращаются к ней.

Так в XX веке близкую к античной математике точку зрения на непрерывность обосновывал Л.Э. Брауэр, построивший, по словам Вейля, «строгую математическую теорию континуума, рассматривающую последний не как некое застывшее бытие, но как среду свободного становления»73. Мы не будем здесь рассматривать принцип непрерывности Брауэра — достаточно лишь указать на то, что характерная для античности постановка проблемы континуума отнюдь не была отменена в период становления науки Нового времени, хотя аристотелевская теория движения, как и учение о конечном космосе, в XVIII веке были отвергнуты. К тем принципам, которые после довольно длительного периода их критики (отчасти у Галилея, затем — у Кавальери и Торичелли, а также в математическом анализе — у Валиса, братьев Бернулли и других математиков, опиравшихся на понятие актуально существующего бесконечно малого) вновь получили признание в математике и философии в XVIII и XIX вв., принадлежат, как мы видели, теория отношений Евдокса и понятие непрерывности Аристотеля. Судьба античной идеи непрерывно

-290-

сти свидетельствует о том, насколько неверно то представление (получившее сегодня широкое распространение как среди философов, так и среди ученых), что наука в собственном смысле слова начинается только в XVII веке. Столь же несостоятельно и утверждение, что существует столько же разных, не совместимых между собой «наук», сколько имеется разных «культур», а потому понятия, которыми оперирует, скажем, аристотелевская физика, совершенно не переводимы на язык физики Нового времени. Конечно, в рамках различных культурно-исторических контекстов научные теории имеют свои особенности, но эти особенности нельзя слишком абсолютизировать, иначе окажется невозможной никакая историческая реконструкция прошлого.

Рассмотрение исторической судьбы того или иного научного понятия или принципа может оказаться весьма плодотворным как для того, чтобы более корректно пользоваться понятием «научная революция», так и для того, чтобы показать реальные возможности истории науки в плане реконструкции проблемы, сохраняющей свое значение на протяжении веков и даже тысячелетий. И, быть может, такая реконструкция окажется полезной также и для решения этой проблемы — по крайней мере для ее более четкой и сознательной постановки.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Сопоставление истории философии и истории естествознания позволяет констатировать, что философия обладает определенными прогностическими возможностями по отношению к естественнонаучному поиску, поскольку она способна заранее вырабатывать необходимые для него категориальные структуры» (Спгепин B.C. О прогностической природе философского знания: Философия и наука / «Вопросы философии», № 4,1986. С. 42.

2 См. с. 139-140 настоящей книги.

3 Физика, V, 3. 226Ь-227а.

4 Физика, V, 4.

5 Физика, VI, 2, 233а.

6 Евклид. Начала, кн. I-VI. С. 142.

7 Об этом подробнее см. с. 113 настоящей книги.

8 Физика, Ш, 6, 206Ь.

-291-

9 Физика, III, 6, 20 7а.

10 Еще до Кавальери метод исчисления неделимых применил Кеплер в своей «Стереометрии винных бочек». Однако, подобно античным математикам, он рассматривал этот метод лишь как технику вычисления, а не как строго научный, т. е. математический, метод.

11 Галилей. Избранные труды в двух томах. Т. 2. М., 1964. С. 131.

12 Там же. С. 131-132.

13 Там же. С. 132.

14 С помощью понятия «неделимых» Галилей пытается решить задачу «колеса Аристотеля: при совместном качении двух концентрических кругов больший проходит то же расстояние, что и меньший. Как это возможно? Разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но представляя себе линию, разделенную на неконечные части, т. е. на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот» / Галилей. Избранные труды. Т. 2, С. 135.

15 Цит. по книге: Клайн М. Математика. Утрата определенности, М., 1984. С. 176.

16 Цит. по книге: Lasswitz К. Geschichte der Atomistik, 1,1890. S. 191.

17 Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, М.-Л., 1940. С. 277.

18 Кавальери Б. Геометрия. С. 89.

19 Там же. С. 91.

20 Вот что говорит об этом сам Кавальери: «От меня не скрыто, что о строении континуума и о бесконечном весьма много спорят философы, выдвигая такие положения, которые находятся в разногласии с немалым числом моих принципов. Они будут колебаться либо потому, что понятие всех линий или всех плоскостей кажется им непонятным и более темным, чем мрак Киммерийский, либо потому, что мой взгляд склоняется к строению континуума из неделимых, либо, наконец, потому, что я осмелился признать за прочнейшее основание геометрии тот факт, что одно бесконечное может быть больше другого» (Цит. по книге: Зубов В.П. Развитие атомистических представлений до начала XIX века. С. 223).

21 Cavalerius D. Geometria mdivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, Bononiae 1635, lib. VII, p. 2.

22 Галилей. Избранные труды. Т. 2. С. 154.

23 Галилей называл их иногда «невеличинами», пытаясь избежать парадоксов. «Самая возможность продолжать деление на части приводит к необходимости сложения из бесконечного множества невеличин» (Там же. С. 142).

24 Цит. по книге: Кавальери Б. Геометрия. Предисловие С.Я. Лурье. С. 37.

25 Лурье С.Я. Математический эпос Кавальери. Предисловие к кн.: Кавальери Б. Геометрия. С. 39.

25 «Утверждали иногда, — пишет по этому поводу В.П. Зубов, — что Галилей продолжил традицию Демокрита. С гораздо большим основа

-292-

нием можно говорить, однако, о традиции Архимеда. Ведь мы знаем, что, по Демокриту, континуум слагался из элементов того же рода (тела из мельчайших тел и т. д.), тогда как у Архимеда речь шла об элементах п-1 порядка» (Зубов В.П. Цит. соч. С. 215-216).

27 Декарт Р. Избранные произведения. М., 1960. С. 475.

28 Там же. С. 437-438.

29 В «Трактате о конических сечениях, изложенных новым методом» (1655), Валлис, ссылаясь на Кавальери, рассматривает площади плоских фигур как составленные из бесконечно многих параллельных линий. При этом, как пишет А.П. Юшкевич, «бесконечно малое количество то отождествляется с нулевым.., то параллелограммы бесконечно малой высоты объявляются вряд ли чем-либо иным, нежели линия...» (Юшкевич А.П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса / Историко-математические исследования. Вып. XXX. М., 1986. С. 25). Валлис, таким образом воспроизводит те же принципы, что мы видели у Кавальери, и соответственно те же теоретические затруднения.

30 Юшкевич АИ. Идеи обоснования математического анализа в XVIII в. Там же. С. 26.

31 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. С. 57.

32 Мордухай-Болтовской Д.Д. Комментарии к Ньютону. Ньютон И. Математические работы. М.-Л, 1937. С. 289.

33 Интересно, что известный математик К. Маклоран, пытавшийся защитить ньютоновский метод флюксий от критики Дж. Беркли (в сочинении «Аналист» 1734), в своем «Трактате о флюксиях» сближает метод Ньютона с методом исчерпывания Евклида и Архимеда. В основе метода исчерпывания лежит сколь угодно точное приближение к искомой величине с помощью сходящихся к ней сверху и снизу последовательностей известных величин. Вот как формулирует сущность метода исчерпывания Маклоран: если две переменные величины АР V.AQ, находящиеся друг к другу в неизменном отношении, одновременно приближаются к двум определенным величинам АВ и AD так, что разности между ними оказываются меньшими любой заданной величины, то отношение пределов будет тем же, что и отношение переменных величин АР и AQ (см.: Maclaurin С. Treatise of Fluxions in Two Books, 1742. T. I, p. 6).

34 Лейбниц Г.В. Сочинения. Т. 3. М., 1984. С. 287.

35 Там же. С. 287.

36 Лейбниц Г.В. Сочинения. Т. 2. М., 1984. С. 157.

37 См. там же. С. 158.

38 См. там же. С. 53.

39 ЛейбницГЈ. Сочинения. Т. 3. С. 294. Здесь в переводе фраза несколько утяжелена, и мысль Лейбница ясна не сразу.. В сущности философ утверждает, что любая часть материи не только делима до бесконечности, но и актуально разделена на бесконечное множество физических точек.

40 Там же. С. 316.

41 Там же. С. 246.

42 Там же. С. 247.

43 Там же. С. 250.

42 Там же. С. 252.

-293-

45 Там же.

46 Там же. С. 253.

47 Там же. С. 254.

48 Там же. С. 255.

49 Там же. С. 256.

50 Там же.

51 Там же. С. 263.

52 Там же. С. 260.

53 Юшкевич АЛ. Идеи обоснования математического анализа в XVIII веке. С. 14-15.

54 «Необходимо указать на источник, откуда вытекла эта идея в широкую публику и сделалась столь распространенной. Нет никакого сомнения, что таким первоисточником является открытие анализа бесконечных, и, говоря определеннее, мы можем утверждать, что Лейбниц как математик и философ ввел в общественное сознание идею непрерывности; мы можем даже сказать, что система Лейбница есть почти вся целиком коррелят его работ по анализу, гениальная транспонировка самим изобретателем математических данных на философский язык» (Флоренский ПА. Введение к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания» / Историко-математические исследования. Вып. XXX. М., 1986. С. 160.

55 Лейбниц Г.В. Сочинения Т. 2. С. 56.

56 Там же. Т. З.С. 413.

57 Там же. Т. 1.С.413: «Сложная субстанция есть не что иное, как собрание, или агрегат, простых».

58 «...Не существует части вещества, в которой бы не было бесконечного множества органических и живых тел... Однако отсюда еще не следует, что всякая часть вещества одушевлена, точно так же как мы не говорим, что пруд, полный рыбы, одушевлен, хотя рыбы — одушевленные существа» (Лейбниц. Избр. филос. соч. С. 240).

59 Leibniz G.W. Die philosophische Schriften, hrsg. Von C.I. Gerhardt, Bd. VI, S. 624.

60 Кант. Сочинения. Т. 6. С. 103.

61 Там же.

62 Цит. по: Клайн М. Математика. Утрата определенности. С. 175. Характерно, что победитель конкурса, швейцарский математик С. Люилье, представил работу под девизом: «Бесконечность — пучина, в которой тонут наши мысли» (См. там же).

63 Коши О.Л. Алгебраический анализ. СПб., 1864. С. 19.

64 Дедеки Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1923. С. 17.

65 Там же. С. 9-10.

66 Там же. С. 17.

67 Цит. по: Becker О. Grundlage der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung, Frankfurt a M., 1975. S. 237.

68 Ibid. S. 240.

69 Ibid. S. 241.

-294-

70 Цит. по книге: Becker O. Grundlage der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. S. 243.

71 Вейль Г. О философии математики. С. 73.

72 Башмакова И.Г. О роли интерпретаций в истории математики. ИМИ, вып. XXX. С. 186.

73 Вейль. Г. О философии математики. С. 22.

Глава IV

ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У ПЛАТОНА, ПРОКЛА И КАНТА

Работа над обоснованием математического знания сыграла существенную роль в становлении идеализма Платона; о том, насколько принципиальным был вопрос о природе математики для Канта, хорошо известно. Однако не менее известно и то, насколько различными оказались концепции математического знания у обоих философов, и это различие мешало разглядеть то общее, что составляет важный момент философии математики у этих мыслителей, один из которых стоял у истоков «Начал» Евклида1, а другой, фигурально выражаясь, почти у «конца» евклидовой геометрии, если принять во внимание, что спустя немногим более полувека после смерти Канта эта геометрия потеряла свое прежде абсолютное значение и стала лишь одной из возможных наряду с геометрией Римана и Лобачевского.

Развитие греческой математики в VI и V вв. до н. э. в первую очередь связано с пифагореизмом. У пифагорейцев мы находим новое — по сравнению с восточной математикой — понимание числа и числовых соотношений, а в связи с этим и новое представление о задачах математической науки: с помощью чисел пифагорейцы не просто решают практически-прикладные задачи, а пытаются объяснить природу всего сущего. Однако у пифагорейцев мы не находим логико-онтологического обоснования числа. Как свидетельствует Аристотель, они отождествляли числа с вещами. «...Пифагорейцы признают одно — математическое — число, только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них это — не числа, состоящие из (отвлеченных) единиц, но единицам они приписывают (пространственную) вели

-295-

чину; а как получилась величина у первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них»2.

Вместе с развитием критицизма и появлением скептических мотивов — сперва у элеатов3, а позднее в более резкой форме — у софистов — возникает настоятельная потребность уяснить логическую природу и онтологический статус числа, а тем самым и природу той связи, которая существует между «числами и вещами». Поскольку софисты доказывали, что познание вообще носит субъективный характер, определяется особенностями познающего, то в этой ситуации проблема обоснования математики выступает в тесной связи с вопросом о возможности истинного знания вообще.

Решением обоих этих вопросов и занялся Платон. Математика служила для него образцом научного знания, а потому, идя от нее, он искал способа обоснования науки в целом. Вот как определяет Платон природу числа. «Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. — П.Г.): «Достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, — то есть всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет в себе никаких частей ?» — как ты думаешь, что они ответят? — Да, по-моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться»4. Еще более выразителен следующий отрывок: «... когда они (геометры. — П.Г.) вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором*5. Всякий чертеж, таким образом, есть лишь чувственное подобие некоторого идеального образования — в противном случае невозможно было бы говорить ни о равенстве отрезков (всякое равенство эмпирических предметов и их чувственных изображений является лишь приблизительным), ни об их соизмеримости.

-296-

Как видим, важнейшая характеристика числа — это его идеальность, в силу которой его «можно только мыслить». Ни числа, ни геометрические объекты — точка, линия, треугольник и т. д. — не существуют в эмпирической реальности, в мире чувственном: здесь мы имеем дело только с их «образными выражениями». Потому они как раз и вводят нас в сферу, в которую, по Платону, можно войти лишь с помощью мышления, а это, с точки зрения Платона, и есть сфера истинного бытия, всегда себе тождественного, вечно пребывающего, в отличие от изменчивого мира эмпирического становления.

Поэтому, согласно Платону, математика служит подготовкой мышления к постижению идей, которое осуществляется с помощью науки, стоящей выше математики, а именно диалектики. Математическое познание как бы посредине между «мнением», опирающимся на чувственное восприятие, и высшей формой знания — диалектикой, или философией. Поэтому Платон придавал большое значение математической подготовке своих учеников. «Не геометр — да не войдет» — гласила надпись у входа в Академию. Именно Платон впервые осуществил философскую рефлексию по отношению к числу и пришел к выводу, что оно имеет другой онтологический статус, чем чувственные вещи. После Платона стало уже невозможно говорить о том, что вещи состоят из чисел, не раскрывая смысла слова «состоят». Вот что по этому поводу говорит Аристотель: «Он (Платон. — П.Г.) полагает числа отдельно от чувственных вещей, а они (пифагорейцы. — П J1.) говорят, что числа — это сами вещи, и математические объекты в промежутке между теми и другими не помещают. Установление единого и чисел отдельно от вещей, а не так, как у пифагорейцев, и введение идей произошло вследствие исследования в области понятий (более ранние философы к диалектике не были причастны...)»7.

Говоря здесь о диалектике, Аристотель имеет в виду именно критическую рефлексию, размышление о природе самих понятий, чего действительно не было у философов-досократиков. Платоновский идеализм, таким образом, обязан своим возникновением не в последнюю очередь тому, что Платон пытался осмыслить процедуру идеализации как способа образования математических понятий

-297-

и пришел к необходимости допустить существование некоторого идеального мира, в котором обитают и числа. Тут, однако, следует оговорить, что в греческой математике число мыслилось совершенно иначе, чем в математике Нового времени8; для пифагорейцев, а также для Платона «действия и сущность числа должно созерцать по силе, заключающейся в декаде »д. Строго говоря, для Платона, как и для математиков-пифагорейцев его эпохи, числа — это числа до десяти, причем единица числом не является10. Эта оговорка существенна для адекватного понимания учения Платона об идеальной природе числа.

Как мы уже отмечали выше, понимание чисел как идеальных образований послужило логико-теоретической базой для греческой математики, прежде всего для Евклида11. Однако если это справедливо по отношению к VII книге «Начал», посвященной арифметике, то дело обстоит не так однозначно по отношению к геометрической алгебре, имеющей дело не с числами, ас геометрическими объектами. Последние образуются, по Платону, из чисел (которые суть идеальные образования) и некоторой материи — вот почему они могут быть квалифицированы как промежуточные вещи.

Но если объекты геометрии образуются из числа и материи, то чем же они отличаются от эмпирических вещей, которые ведь, по Платону, обязаны своим существованием тому, что материя «приобщается» к идеям?

В диалоге «Тимей» Платон различает три рода сущего: первый — идеальное бытие, постигаемое только мыслью, второй — мир чувственных вещей, воспринимаемых ощущением. Третий же род—пространство — Платон помещает как бы между ними: оно имеет признаки как первого, так и второго. А именно, подобно идее, пространство, по Платону, вечно, неизменно и постигается не через ощущение. Но сходство его со сферой чувственного в том, что оно постигается все же и не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы постигаем пространство, квалифицируется Платоном как «незаконное умозаключение»11.

Именно пространство и есть «материя», путем «соединения» которой с числом создаются, по Платону, геометрические объекты. Спустя более двух тысяч лет Кант обра

-298-

щается к вопросу о том, что такое пространство, и в той же связи, что и Платон, а именно в связи с задачей обоснования геометрии. Многолетние исследования приводят Канта к выводу, что математика является не аналитической наукой, положения которой с логической необходимостью выводятся из исходных посылок, имеющих опять-таки аналитический характер, а наукой, чьи суждения опираются на созерцание, т. е. являются синтетическими. Но для того чтобы математическое знание не утратило своей необходимости и всеобщности, необходимо допустить, что созерцание, о котором здесь идет речь, есть созерцание особого рода, отличающееся от эмпирического. Это — не созерцание вещей и явлений в пространстве и времени, а созерцание самого пространства и времени. Геометрия в своих построениях опирается, по Канту, на созерцание пространства, а арифметика — на созерцание времени; то и другое, пространство и время, суть априорные формы созерцания, которые являются условием возможности эмпирического созерцания. Мы здесь не будем касаться кантовского обоснования арифметики, которое столь же отличается от платоновского, как и в целом кантовский трансцендентальный идеализм — от объективного идеализма Платона12.

Остановимся на обосновании Кантом геометрии и на его учении о пространстве. «Геометрия, — пишет Кант, — есть наука, определяющая свойства пространства синтетически и тем не менее a priori. Каким же должно быть представление о пространстве, чтобы такое знание о нем было возможно? Оно должно быть первоначально созерцанием, так как из одного только понятия нельзя вывести положения, выходящие за его пределы, между тем мы встречаем это в геометрии... Но это созерцание должно находиться в нас a priori, т. е. до всякого восприятия предмета, следовательно, оно должно быть чистым, не эмпирическим созерцанием. В самом деле, все геометрические положения имеют аподиктический характер, т. е. связаны с сознанием их необходимости, например положение, что пространство имеет только три измерения; но такие положения не могут быть эмпирическими, или суждениями, исходящими из опыта, а также не могут быть выведены из подобных суждений»13.

-299-

Пространство, по Канту, есть форма всех явлений внешних чувств, субъективное условие чувственности. При этом пространство не есть ни понятие, ни чувственное созерцание, а потому его невозможно постигнуть ни с помощью мышления, ни через ощущение, как воспринимаются чувственные вещи. Оно, как и у Платона, предстает у Канта в качестве промежуточного звена между мышлением и ощущением, а потому имеет общие моменты как с первым, так и со вторым. В самом деле, вспомним, какие функции выполняет в системе Канта мышление и какие — чувственность. Мышление осуществляет функцию единства, связи многообразного, чувственность же дает, поставляет само многообразное. Пространство же как априорная форма чувственности имеет общее с мышлением — оно есть форма единства всего внешним образом воспринимаемого: на уровне чувственного восприятия все вещи внешнего мира как бы объемлются («находятся») в едином пространстве. А потому и пространство — одно, а не множество различных и разнородных пространств. «Представить себе можно только одно-единственное пространство, и если говорят о многих пространствах, то под ними разумеют лишь части одного и того же единственного пространства. К тому же эти части не могут предшествовать единому, всеохватывающему пространству, словно его составные части (из которых можно было бы его сложить): их можно мыслить только находящимися в нем. Пространство в существе своем едино...»14. Но, с другой стороны, пространство имеет общее и с чувственностью, с ощущением, поскольку оно содержится во всяком эмпирическом представлении о многообразном, как оно дано внешнему восприятию; оно есть чистая форма рядоположенности, а тем самым и различия; поэтому-то пространство и делимо на бесконечно многие части.

Таким образом, у Канта пространство тоже есть нечто вроде «гибрида» между мышлением и ощущением, как говорил Платон, между ньЮуЯт и бЯуцеуЯт. И можно было бы сказать, что поскольку его невозможно постигнуть ни через мышление (оно — не категория рассудка), ни через ощущение, то оно постигается с помощью «незаконнорожденного рассуждения», и мы видим его «как бы во сне». Кстати, метафора «сна» получает у Канта вполне проду

-300-

манное толкование: пространство, по Канту, имеет только эмпирическую реальность, а это значит, что «только с точки зрения человека мы можем говорить о пространстве, о протяженности и т. п.»16 Трансцендентальной реальности пространство не имеет, «пространство есть ничто, как только мы отбрасываем условия возможности всякого опыта и принимаем его за нечто лежащее в основе вещей в себе»1в. Кстати, у Платона образ «сна» наиболее ярко раскрывается в его известном сравнении эмпирического мира с пещерой: ведь узники в пещере принимают за истину тени проносимых за их спиной предметов, так же точно как человек во сне принимает за реальность свои сновидения. Само пространство у Платона — это не тени, т. е. не чувственные вещи, а как бы сама стихия сна, сам сон — как то состояние, в котором мы за реальные вещи принимаем лишь тени вещей. И, подобно тому, как проснувшись, мы воспринимаем виденное во сне как-то смутно, не можем дать себе в нем отчет, оно не позволяет себя схватить и остановить, определить, подобно этому не дает себя постигнуть с помощью понятий и пространство.

Наше сравнение платоновского и кантовского учений о пространстве и обнаружение в них ряда общих моментов отнюдь не содержат в себе тенденции к тому радикальному сближению философии этих мыслителей, какое уже предпринималось в истории философии, в частности неокантианцами марбургской школы17. Конечно, и у Платона, и у Канта мы находим жесткое разделение мира чувственного, с одной стороны, и с другой — мира идей у первого и мира вещей в себе у второго. Но ни мир идей Платона не тождествен кантовскому миру вещей в себе, ни тот принцип, по которому производится это разделение, наконец, само обоснование научного знания и рассмотрение познавательного процесса существенно различаются у обоих, и не случайно Платон в своем обосновании знания ориентируется на античную науку, прежде всего математику, а Кант — на науку Нового времени, отличную от античной как по своим методам, так и по целям исследования. Этим обстоятельством объясняется и различие в кантовском и платоновском обосновании арифметики: если один укореняет число в мире идей, то другой, напротив, связывает его с априорной формой внутреннего созерцания — време

-301-

нем и, таким образом, полагает теоретическую базу для конструктивистского обоснования математики, далекого и чуждого платонизму.

Но при таком различии — откуда же тогда такая общность по вопросу о пространстве и по способу обоснования геометрии? Общность эта становится понятной, если принять во внимание, что Платон оказал сильное влияние на способ мышления античных математиков, получивший наиболее полное отражение в «Началах» Евклида, а Кант исходил из евклидовой геометрии как незыблемого фундамента физических наук. В этой точке и произошла встреча Канта с Платоном, как она до того не раз происходила и у других философов в связи с обоснованием математического знания: у Роберта Гроссетеста, И. Кеплера, Г. Галилея, И. Ньютона, Г. Лейбница — если указать только наиболее известные имена.

Поскольку у нас обсуждается проблема пространства, то необходимо во избежание недоразумений отметить, что ни у Платона, ни у Канта пространство не предстает как «пустое пространство», наподобие «абсолютного пространства» ньютоновской физики, служащего бесконечно протяженным вместилищем всех телесных вещей. Применительно к Канту о таком абсолютном вместилище не может быть и речи, ибо для него пространство есть априорная форма человеческой чувственности. Что же касается Платона, то его космология, во-первых, предполагает ограниченную, а не бесконечную вселенную, а, во-вторых, и в пределах последней не допускает существования пустоты18; Платон столь же решительный противник пустоты, как и Аристотель. Поэтому в известной мере прав А.Ф. Лосев, критикующий несостоятельность попыток сблизить платоновское представление о пространстве с представлением классической физики19. Интуиция бесконечного пространства, совершенно отделенного от своего наполнения и потому могущего быть рассмотренным как «пустое», есть одна из основных предпосылок естествознания Нового времени, возникшая в результате длительной и сложной эволюции не только научных (прежде всего математических и космологических) понятий и представлений, но и серьезных мировоззренческих «переворотов». Эти «перевороты» (в Средние века и в эпоху

-302-

Возрождения) в конце концов разрушили устойчивый и завершенный облик античного космоса и расчистили путь к возникновению и формированию новой картины мира, а в ее рамках — и новой интуиции пространства.

Однако вернемся к нашей теме. Для уточнения платоновского учения о геометрии необходимо теперь ответить еще на один вопрос: как можно мыслить «соединение» чисел с пространством? В каком смысле можно говорить о таком «соединении» различного? Некоторый свет на этот вопрос проливают сочинения неоплатоников, прежде всего «Комментарии» Прокла к евклидовым «Началам». Разумеется, в неоплатонизме не только сохраняются и уточняются идеи Платона; они, конечно, получают тут и новую интерпретацию, поскольку существенно дополняются важнейшими принципами Аристотеля и принимают поэтому новую форму. Но тем не менее именно у неоплатоников мы находим часто разъяснение тех понятий, которые не вполне раскрыты в диалогах самого Платона, но, видимо, детально обсуждались им в занятиях с учениками. Сюда не в последнюю очередь относится и проблема обоснования математики: в XIII и XIV книгах аристотелевой «Метафизики» сообщается о теории числа и геометрического объекта много такого, чего мы не находим в платоновских диалогах или находим в «свернутой» форме. Это обстоятельство, кстати, привело некоторых исследователей к выводу о существовании «эзотерического» Платона, лишь отдаленно схожего с тем, которого изучали и знали прежде20. Разделение творчества Платона на «эзотерическое» и «экзотерическое» в такой резкой форме представляется несостоятельным; но обращение к сочинениям неоплатоников с целью прояснения некоторых положений Платона, в частности и связанных с обоснованием геометрии, видимо, очень полезно.

Комментируя постулаты Евклида, Прокл останавливается на интересной полемике, которую вели между собой ученик Платона Спевсипп и математик Менехм, ученик знаменитого Евдокса. Спор между ними велся по вопросу о доказательстве существования математических (геометрических) объектов, т. е. об их онтологическом статусе. Спевсипп считал, что математический объект существует до его построения, а Менехм доказывал, что он порождается с помощью построения21.

-303-

Как же Прок л разрешает этот спор — спор, который по существу в самой разной форме ведется философами математики и по сей день? Прокл заявляет, что в сущности обе спорящие стороны правы. Прав Спевсипп, «ибо проблемы геометрии — иного рода, чем проблемы механики... Но столь же права и школа Менехма: ибо без вхождения в материю невозможно нахождение теорем: имею в виду интеллигибельную (умную) материю. Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними»22.

А что такое «умная материя»? Это ведь уже известный нам «гибрид», соединение умопостигаемого и чувственного, каким Платон считал пространство. А фантазия — это та способность, которую Платон называл «незаконнорожденным рассуждением» (может быть, лучше перевести — незаконнорожденным умозрением?).

Посмотрим теперь, что означают разъяснения Прокла по отношению к постулатам Евклида. Вот первый постулат (требование) евклидовой геометрии: «Требуется, чтобы (можно было) через всякие две точки провести прямую»23. Согласно Проклу, Спевсипп прав в том отношении, что проведение прямой, о которой говорится в постулате, не тождественно с механической задачей, которая выполняется с помощью технических средств: в данном случае линейки24. Но как же тогда мыслится проведение прямой из одной точки в другую? Вот что пишет об этом Прокл: «Возможность провести прямую из любой точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки и прямая — равнонаправленное и не отклоняющееся течение. Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первый постулат выполнен без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны»26. Стало быть, первый постулат Евклида — это, по Проклу, простейший акт представления того, как движется точка.

Но если не нужно особых усилий, чтобы представить себе, как движется точка, то необходимо большое усилие,

-304-

чтобы понять, где же, в какой стихии движется точка и что такое она сама.

Прокл отвечает на этот вопрос так: «Но если бы у кого-нибудь возникли затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку), ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не очень огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении. И мы не можем признать, что неделимое (точка) подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движению фантазии (кЯнЮуЯт цбнфбуфЯкЮ). Ибо неделимый ум (нпнт) движется, хотя и не путем перемещения; также и фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное движение»26. Таким образом, движение геометрической точки совершается не в умопостигаемом мире (идей), но и не в мире чувственности; оно совершается в воображении. Такое название у Прокла получила та стихия, которая, по Платону, подобна сну. И в полном соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют собой только чувственные подобия соответствующих геометрических фигур, Прокл далее говорит о том, что телесное движение есть лишь чувственный аналог движения в воображении.

Итак, точка — это не идея, но и не материальное тело; ее характеристика столь же двойственна, сколь и характеристика самой стихии воображения, в которой она движется. В самом деле, по определению античных математиков, точка — это единица (мпнбт), наделенная положением. Благодаря своему «положению» она уже не есть нечто чисто умопостигаемое, какой является монада, единица (она же — единое), но она еще и не стала чем-то чисто чувственным, а стало быть, делимым. Поэтому Евклид и определяет точку как то, «что не имеет частей». У нее какой-то промежуточный статус: как замечает Прокл, благодаря своей наделенности «положением» точка «простирается в воображении», она тем самым «оматериалена через интеллигибельную материю» и в этом смысле есть нечто «теловидное» (уюмбфпеЯдет)27.

Воображение, таким образом, есть способность, благодаря которой возможна связь между неделимым, постига

-305-

емым лишь с помощью ума, и делимым, постигаемым с помощью чувственного восприятия. «Может оказаться затруднительным вопрос, — пишет Прокл, — как может математик постигнуть в фантазии неделимую точку, если фантазия все воспринимает только в образах и частях. Ибо не только понятия мыслящего ума, но и формы умопостигаемых и божественных идей фантазия получает сообразно ее собственному роду, порождая из безобразного образы и из бесфигурного фигуры... Деятельность фантазии не является ни односторонне делимой, ни неделимой, а идет от неделимого к делимому и от безобразного к образному... Содержа, следовательно, в себе двойную способность, неделимости и делимости, фантазия содержит точку в неделимом и протяжение — в делимом образе»28.

Не удивительно поэтому, что воображение как способность, отличная как от мышления, так и от чувственного восприятия, рассматривалась как важнейшая функция души, которую еще Платон в своем «Тимее» поместил между умом, с одной стороны, и телом — с другой29.

Аналогичную роль отводит воображению и Кант. Говоря о продуктивной способности воображения, которую он отличает от репродуктивного, синтез которого подчинен только эмпирическим законам и которое поэтому подлежит изучению в психологии, а не в трансцендентальной философии30, Кант, подобно Проклу, определяет его как способность, лежащую как бы посредине между рассудком и его категориями, с одной стороны («неделимое» Прокла), и с явлениями — с другой («делимое», «образное»). Поскольку эта способность находится как бы «между» этими двумя противоположными сферами, она, по Канту, служит связующим мостом между ними. Она есть то третье, однородное, с одной стороны, с категориями, а с другой — с явлениями, и делающее возможным применение категорий к явлениям. Это посредствующее представление должно быть чистым (не заключающим в себе ничего эмпирического) и тем не менее, с одной стороны, интеллектуальным, а с другой — чувственным31.

Не случайно трансцендентальное действие воображения Кант называет фигурным синтезом: в отличие от чисто рассудочного синтеза, который можно было бы назвать интеллектуальным и который лишен всякого образа («по

-306-

нятия мыслящего ума», как их называет Прокл, или «категории», по Канту)32, фигурный синтез есть результат воздействия рассудка на внутреннее чувство (априорной формой внутреннего чувства является, по Канту, время). «Рассудок не находит во внутреннем чувстве подобную связь многообразного, а создает ее, воздействуя на внутреннее чувство»33. Продуктивная способность воображения, таким образом, не есть, по Канту, самостоятельная способность; она есть деятельность, порождаемая активным действием рассудка на внутреннее чувство. Но без этой способности невозможна ни теоретическая, ни практическая деятельность человека. И уж несомненно, что именно продуктивная способность воображения является неотъемлемым условием возможности геометрических объектов. «Мы не можем мыслить линию, не проводя ее мысленно, не можем мыслить окружность, не описывая ее, не можем представить себе три измерения пространства, не проводя из одной точки трех перпендикулярных друг другу линий...»34.

Так же как и Прокл, Кант считает, что проведение линии в воображении не тождественно механическому действию в эмпирической реальности, с помощью которого мы эту линию чертим на доске. Поэтому, с точки зрения Канта, механика и геометрия — принципиально разные науки. «Движение объекта в пространстве не подлежит рассмотрению в чистой науке, следовательно, не подлежит также рассмотрению в геометрии, так как подвижность чего бы то ни было познается не a priori, а только опытом. Но движение как списывание пространства есть чистый акт последовательного синтеза многообразного во внешнем созерцании вообще при помощи продуктивной Способности воображения и подлежит рассмотрению не только в геометрии, но даже в трансцендентальной философии»36. По Канту, именно геометрия как чистая наука служит условием возможности механики, подобно тому как математика в целом есть то основание, на котором строит свое здание все естествознание.

Таким образом, мы видим, что традиция античной философии математики, как она сложилась у Платона, а затем в неоплатонизме, отнюдь не пресекается в трансцендентальной философии Канта, хотя, конечно, и осмысляетс

-307-

в ином контексте, поскольку Кант решительно пересматривает важнейшие положения объективного идеализма Платона. Мы здесь не можем подвергнуть анализу весь контекст кантовской и платоновской концепций геометрии — это выходит за рамки нашей главы. Но, видимо, традиция и живет именно в форме такого рода «изменения контекста» — если же ее стремятся хранить в полной неизменности и « нетронутости», то она больше не говорит, а замолкает и превращается в музейный экспонат.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Платон был непосредственно связан с крупнейшими математиками своего времени: Теэтетом, Евдоксом, атакже Архитом, его близким другом; открытия этих математиков вошли в состав «Начал» Евклида.

2 Метафизика, XIII, 6, 1080 b 13. Перевод А.В. Кубицкого.

3 «...Последовательно проводимое элеатство с его учением о невозможности движения... приводило к безвыходному иллюзионизму, которого пугалась и страшилась вся античность вообще...» (ЛосевА.Ф. История античной эстетики (ранняя классика). М., 1963. С. 429.

4 Государство, УП, 526. Перевод А.Н. Егунова.—Выделено мной. — П.Г.

5 Государство, VI, 510-511.— Курсив мой. — П.Г.

6 Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М.. 1959. С. 201.

7 Метафизика, I, 6, 987 а 29.

8 Во-первых, греки никогда не отождествляли отношение и число, в отличие от ученых Нового времени: начиная с Ньютона и Лейбница математики нередко рассматривают число как некоторого рода отношение. Не является поэтому для греческого математика числом и дробь. У Евклида число определяется как собрание единиц (см. определение 2 седьмой книги «Начал»).

9 Маковельский А. Досократики. Ч. III. Казань, 1919. С. 35 (32 В 11). Согласно пифагорейцам, декада содержит в себе сущность числа. Об этом сообщает Аэций: «Природа же числа — десять. Ибо все эллины и все варвары считают до десяти, дойдя же до этого (числа), они снова возвращаются к единице» (Там же. С. 73 (45 В 15). Смысл этого высказывания становится понятным только, если иметь в виду, что подразумевают греческие математики под числом. Как указывает переводчик и комментатор «Начал» Евклида Д.Д. Мордухай-Болтовской, для Евклида «число — бсЯимпт — это прежде всего целое число, собрание нескольких (1) единиц, к тому же часто определенным образом расположенных (фигурные числа)» (Мордухай-Болтовской ДД. Комментарии к «Началам» / «Начала» Евклида. Кн. I-VI. М.-Л., 1948. С. 385).

9 Единица, или единое (мпнбт), — не просто число, а скорее начало, принцип числа. Определение единицы, как его дает Евклид в VII книге

-308-

10 «Начал», явно восходит к пифагорейцам: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым» («Начала» Евклида. Кн. VII-X. Перевод Д.Д. Мордухай-Болтовского. М., 1949. С. 9).

11 См. с. 40 настоящей книги.

12 Немецкий историк математики Оскар Беккер отмечает, что Кант, сведя число к времени, оказался много ближе к аристотелевскому, чем к платоновскому пониманию числа. См.: Becker О. Mathematische Existenz. Untersuchungen zur Logik und Ontologie mathematischer Phanomene. In: Jahrbuchfur Forschung. Hrsg. von E. Husserl. Bd. VUI, Hallea.d.S., 1927,8. 637-653.

13 Кант И. Сочинение в шести томах. Т. 3. М., 1964. С. 132.

14 Там же. С. 131.

15 Там же. С. 133.

16 Там же. С. 134.

17 Наиболее характерна в этом отношении работа П. Наторпа «Учение Платона об идеях» (Platons Ideenlehre. Eine Einfiihrung in den Idealismus, 1903).

18 Тимей, 58 a, 59 a, 60 c, 79 ab.

19 Лосев А.Ф. Античный космос и современная наука. М., 1927. С. 179-180.

20 См., например, книгу: Gaiser R. Platons ungeschriebene Lehre. Stuttgart, 1963. Этот вопрос с большой обстоятельностью рассмотрен Т.В. Васильевой в ее книге «Комментарий к курсу истории античной философии». М., 2002. С. 91-118.

21 Об этом подробнее сы.:Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л., 1932. С. 71 и сл.

22 Отрывок из Прокла цитируется по кн.: Becker О. Die Grundlagender Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. Orbis Academicus, Bd 11, 6. Freiburg, 1964, S. 34-35.

23 Мы цитируем здесь Евклида в переводе М.Я. Выгодского. См.: Выгодский МЛ. Начала Евклида / Историко-математические исследования. Вып. I., М.-Л., 1948. С. 248.

24 В этой связи приведем замечание С.А. Яновской: «Геометрия «Начал» Евклида есть геометрия циркуля и линейки, но только «идеализированных» циркуля и линейки — таких, с помощью которых можно, например, удвоить любой сколь угодно большой отрезок или разделить пополам сколь угодно малый» (Яновская С-А. Из истории аксиоматики / Историко-математические исследования. Вып. XI. М. 1958. С. 89).

25 Отрывок из Прокла цит. по кн.: Szabo A. Anfange der griechischen Mathematik. S. 374.

26 Ibid. S. 375-376.

27 Эти замечания Прокла цитируются нами по кн.: Лосев АФ. Античный космос и современная наука. С. 413.

26 Proklus Diadochiis. Euklid — Kommentar, ubers. von Leander Schbnberger. Halle, 1945. S. 231-232. Проблеме выражения в геометрии и рассмотрению понятия умопостигаемой материи в античной и новоевропейской философии посвящено интересное исследование Д.В. Никулина: Nikulin D. Matter, Imagination and Geometry. Ontology, natural

-309-

philosophy and mathematics in Plotinus, Proclus and Descartes. Ashgate, 2002. См. особенно страницы 141-144.

29 He случайно поэтому Конрад Гайзер рассматривает учение Платона о числах и геометрических объектах в тесной связи с платоновской теорией души (см.: Gaiser К. Platons ungeschriebene Lehre. S. 52-66, 104-105).

30 См.: Кант И. Сочинения. Т. 3. С. 205.

31 Там же. С. 221.

32 Мы здесь отнюдь не снимаем того существенного различия, которое существует между платоновским и кантовским пониманием «ума»; но в том достаточно узком вопросе, который здесь обсуждался, мы специально на этом различии не останавливаемся.

33 Кант И. Сочинения. Т. 3. С. 207.

34 Там же. С. 206.

35 Там же. С. 207.