Часть 14.

кий принцип Декарта состоял в том, чтобы создать науку, все положения которой можно было бы вывести из одного исходного принципа; необходимость, с которой должно быть произведено такое выведение, и должна служить гарантом строгости и достоверности научного знания. В результате все научное знание мыслилось Декартом как единая система или, как говорит Кассирер, «как один единый, замкнутый в себе ряд, внутри которого нет ни одного необоснованного перехода»'9. Ни одно звено научного знания не должно выступать как самостоятельный элемент: все должно вытекать из исходного постулата по определенным методическим правилам.

Применительно к геометрии, говорит Кассирер, такая методологическая установка означала, что в строгом смысле геометрическое познание имеется лишь там, где отдельные объекты исследуются «не как разрозненные предметы, а где дан прием, по которому можно конструировать всю совокупность этих объектов»100. Но для того, чтобы геометрические объекты предстали не как различные пространственные фигуры, а как образования, получаемые посредством применения некоторого единого приема, нужно перевести их на такой язык, чтобы они утратили свое принципиальное различие фигур. «Здесь-то, — пишет Кассирер, — и выступает с внутренней философской необходимостью мысль о дополнении понятия о пространстве понятием о числе»101. Таким путем создается аналитическая геометрия Декарта в отличие от синтетической геометрии древних греков. Декарт вводит тем самым в геометрию понятие движения. Фигуры различных плоских кривых возникают благодаря движению точки по отношению к вертикальной и горизонтальной осям. Благодаря движению этой точки геометрическая линия, выступавшая раньше как наглядно данный пространственный объект, может рассматриваться теперь как ряд числовых значений, связанных между собой определенным аналитическим правилом. Данные внешнему созерцанию пространственные свойства предстают как ряды числовых значений. С точки зрения Кассирера, аналитическая геометрия, по сравнению с античной (синтетической), гораздо более рационализирована, поскольку в ней не придается такого большого значения данной готовой форме (т. е. данности), а послед

-401-

няя выводится из некоторого арифметического закона ряда (мысленное порождение).

Но чтобы аналитическая геометрия могла распространить свой принцип не на одну только область геометрии, но и на все остальные ее области, ей необходимо было, по убеждению Кассирера, углубить и уточнить свой метод. Это происходит тогда, когда возникает геометрия бесконечно малых. «Понятие о числе, — пишет в этой связи Кассирер, — наполняется и пропитывается общим понятием о функции; и лишь благодаря совместному действию обоих понятий оказывается возможным изобразить с логической полнотой всю геометрию»102.

Метод бесконечно малых, согласно неокантианцам, имеет прежде всего логическое значение. «Лишь из соединения бесконечного многообразия логических соответствий кривая выступает как логическая совокупность... Если в аналитической геометрии отдельная точка на плоскости определяется числовыми значениями своих координат X и Y, то теперь, благодаря дифференциальному уравнению , с каждой подобной данной точкой связывается еще определенное направление поступательного движения, и задача заключается теперь уже в том, чтобы построить из совокупности этих направлений некоторую определенную кривую целиком, со всеми особенностями ее геометрического бытия. Интегрирование уравнения обозначает лишь синтез этих бесчисленных характеристик направления в одно единое связное образование»103.

В геометрии бесконечно малых скорость тела в определенный момент времени в определенной точке его траектории можно изобразить путем сопоставления ряда пространственных значений с рядом значений временных. Кассирер подчеркивает, что тем самым скорость перестает рассматриваться как абсолютное свойство самого движущегося тела, а понимается как простое выражение отношения зависимости между пространственными и временными значениями. С точки зрения Кассирера, шаг вперед по сравнению с аналитической геометрией здесь состоит в том, что мышление освобождается еще от одной содержательной характеристики, ранее приписывавшейся самим предметам, и заменяет ее отношениями зависимости, функциональными характеристиками. Математическое

-402-

исследование здесь выходит за пределы простого рассмотрения величин и обращается к рассмотрению функций. Тем самым геометрия делает еще один шаг на пути к рационализации, т. е. к вытеснению «субстанциальных» элементов функциональными связями.

Однако появление проективной геометрии должно, казалось бы, подорвать это кассиреровское построение: ведь проективная геометрия вновь возвращается к пространственным формам, отказываясь от замены геометрических операций алгебраическими. Проективная геометрия, на первый взгляд, возвращается к «синтетической» геометрии древних, поскольку она реабилитирует момент наглядности, «воззрительности». Однако, замечает Кассирер, «там, где геометрия положения основывается исключительно на воззрении, под этим понимается не узкое рассмотрение отдельной чувственно данной фигуры, но свободное творчество фигур по некоторому определенному единому принципу. Различные чувственно возможные случаи какой-нибудь фигуры не разбираются и изучаются как в греческой геометрии, порознь, но весь интерес сосредоточивается как раз на том способе, каким они возникают один из другого. Если же рассматривается отдельная фигура, то она никогда не берется сама по себе, но как символ всей связи, к которой она принадлежит, и как выражение всей совокупности форм, в которые она может быть переведена при соблюдении определенных правил преобразования »104.

Действительно, в проективной геометрии отдельные члены отступают на задний план по сравнению с соединяющей их системой отношений; исследование направлено здесь главным образом на установление зависимости друг от друга различных геометрических фигур. В этом смысле Понселе подчеркивал, что проективная геометрия не просто расширяет область геометрии, а претендует на то, чтобы внести новый принцип исследования в геометрию вообще. Этот новый принцип состоит в том, чтобы рассматривать не свойства данной фигуры, но систему отношений, в которых она находится с другими геометрическими образованиями.

Благодаря такому подходу, говорит Кассирер, становится возможным допущение в геометрии мнимых величин. В самом деле, поскольку акцент в проективной геоме

-403-

трии перенесен с отдельной фигуры на связь, отношение различных фигур, постольку открывается возможность исследовать и такие геометрические образования, которым нельзя приписать «существование» в смысле доступности внешнему созерцанию, так как эти образования выражают связь между объектами, а не сами геометрические объекты.

«Вообще, — пишет Кассирер, — можно различать вместе с Понселе три различные основные формы метода «соотношения». Мы можем перевести определенную, выбранную нами за исходный пункт, фигуру в другую путем сохранения ее отдельных частей и их взаимного распорядка, так что различие здесь заключается единственно в абсолютной величине определяющих элементов. В этом случае мы будем говорить о прямом соотношении; в том же случае, когда порядок отдельных частей в выведенной фигуре изменен или перевернут, мы будем говорить о «косвенном» соотношении. Но методически наиболее интересный и важный случай — это тот, когда при преобразовании фигуры отдельные элементы, бывшие в первоначальной фигуре отдельными составными частями, совершенно исчезают в продолжение процесса. Рассмотрим круг и пересекающую его прямую; путем непрерывных изменений мы можем так преобразовать эту геометрическую систему, что под конец прямая упадет вне круга и таким образом точки пересечения и соответствующие направления радиусов будут выражаться мнимыми значениями. Соотнося между собой выведенную фигуру с первоначальной, мы соединяем теперь не фактически наличные элементы, а лишь мысленные: мы имеем здесь случай чисто идеального соотношения»106.

Мы привели целиком этот отрывок из Кассирера, поскольку он хорошо демонстрирует, во-первых, метод исследования истории науки как чисто-логический и, во-вторых, позволяет видеть, на каких именно особенностях современного научного мышления основывают неокантианцы свою концепцию научного знания вообще и истории этого знания в частности. С точки зрения проективной геометрии, как подчеркивает здесь Кассирер, нет различия между реальными и мнимыми элементами: мнимые элементы выражают вполне реальные геометрические отно

-404-

шения. Этот подход составляет противоположность античной геометрии, которая совершенно иначе решала проблему существования, поскольку перед ней не стояла задача установления связи элементов, рассмотрения их как единой системы, а лишь анализ отдельных, независимо друг от друга данных фигур.

Наука новейшего времени, в особенности последнего столетия, постоянно имеет дело с такими «мнимыми» реальностями; такая ситуация характерна не только для геометрии и математики в целом, но и для естественных наук — физики, астрономии и др. Эта ситуация в науке, требовавшая своего осмысления, и вызвала к жизни неокантианскую логическую концепцию научного знания, согласно которой наука исследует идеальные соотношения, а не сами существующие физические вещи. Соответственно история науки рассматривается неокантианцами как прогрессивное развитие, идущее от наивного представления о задачах и методах науки, выработавшегося еще в античности, к более зрелому пониманию задач и принципов научного исследования в Новое и новейшее время. Последним шагом в развитии геометрии Кассирер считает создание теории групп, поскольку здесь «связывается в одно мысленное единство не столько совокупность отдельных элементов или образов, сколько некоторая система операций»106.

Каков же, согласно Кассиреру, итог, вывод, который можно сделать на основании анализа развития геометрии? Вывод этот состоит в том, что «центр тяжести математической системы в течение исторического развития постоянно перемещается в определенном направлении. Круг объектов, к которым применим и приложим способ рассмотрения математики, в