Часть 2.

З.А.Сокулер

Проблема "следования правилу" в философии Людвига Витгенштейна и ее значение для современной философии математики

Проблема "следования правилу" возникает в рассуждениях Витгенштейна необходимым образом. В самом деле, он рассматривает значение как употребление. Но употребление не произвольно: оно регулируется принятыми в языковом сообществе правилами. Овладевая языком, ребенок учится следовать этим правилам. Если говорящий не следует принятым языковым правилам, его не понимают, коммуникация разрушается. Все это - столь тривиальные констатации, что множество философов анализировали сущность языка, не видя в следовании правилам особой проблемы. Только Витгенштейн впервые увидел тут предмет для серьезной философской рефлексии. Ее результатом стала формулировка весьма неожиданного парадокса, ставшего фокусом всех дискуссий, о которых пойдет речь ниже. Поэтому целесообразно привести соответствующий параграф "Философских исследований" полностью: "Наш парадокс был таким: правило не может определить никакого способа действия, ибо любой способ можно привести в соответствие с этим правилом. Ответ был таков: если любое действие можно согласовать с правилом, то любое действие можно сделать и противоречащим ему. Следовательно, тут не будет ни соответствия, ни противоречия.

Что здесь возникало неправильное понимание, обнаруживается хотя бы в том, что в данном рассуждении мы подставляем одну интерпретацию вместо другой; как будто каждая успокаивает нас на минутку, пока мы думаем о другой интерпретации, лежащей в основе этой. Тем самым мы показываем, что существует понимание правила, которое не является интерпретацией, но проявляется в различных случаях применения в том, что мы называем "следованием правилу" и "действием вопреки правилу".

Есть тенденция говорить: каждое действие согласно правилу представляет собой его интерпретацию. Однако об "интерпретации" следует говорить только тогда, когда одно выражение для правила заменяется другим"[59]. Далее Витгенштейн говорит, что следование правилу есть практика. Поэтому нельзя приватно, индивидуально следовать правилу.

Что все это значит? Откуда следует столь странный вывод, что правило не может определить способ действия? Интерпретация рассуждений Витгенштейна о следовании правилу (§§ 139-242 "Философских исследований") стала объектом бурных дискуссий в западной философской литературе. Они вращаются вокруг предложенной С.А.Крипке "скептической" интерпретации витгенштейновской позиции[60]. Эта интерпретация встретила дружную критику со стороны витгенштейноведов. Они упрекали Крипке в искажении идей Витгенштейна, проявляющемся, в частности, в том, что Крипке объявил ядром "Философских исследований" формулировку "скептического парадокса", ставящего под сомнение саму возможность существования языка и реализации языкового общения. Критики совершенно справедливо напоминали Крипке, что Витгенштейн ни в коем случае не был философом-скептиком: напротив, пафос его философствования состоял в преодолении излишних сомнений. Последние, для Витгенштейна, были "философским заболеванием", требующим специальной терапии[61]. Подобная критика рассуждений Крипке, конечно, справедлива. Язык Крипке далек от способа выражения, используемого Витгенштейном, а его формулировки зачастую неосторожны и дают повод для критических замечаний. Однако Крипке и сам предупреждает об известном "волюнтаризме" своего подхода к тексту Витгенштейна. Сквозь призму этого текста он хочет исследовать определенную проблему и показать всю серьезность ее следствий. А поскольку данная проблема, по моему представлению, действительно органично связана с витгенштейновским подходом к языку и значению, то установка Крипке оправдывает себя, и странные, на первый взгляд, заметки Витгенштейна получают новую жизнь в современной философской проблематике, - несмотря на то, что обозначение этой проблемы как "скептического парадокса" неудачно и отражает философские ориентации скорее самого Крипке, нежели Витгенштейна.

Я не буду здесь подробно излагать позицию Крипке[62] и сконцентрируюсь на моментах, которые важны для понимания витгенштейновских идей и тех следствий, которые вытекают из них относительно философии математики.

Основная проблема следования правилу формулируется, по мнению Крипке, как раз в цитированном выше § 201 "Философских исследований". Этот парадокс является, с его точки зрения, центральным моментом "Философских исследований". Формулируя его, Крипке придает ему заостренно экстравагантную форму.

Мы все знаем, говорит он, обычную арифметическую операцию сложения, однако знаем ее, строго говоря, лишь на конечном числе примеров. Существуют числа, которые еще никогда за всю историю человечества не складывались. Это, конечно, огромные числа, но для данного изложения не существенно, какие именно, и Крипке берет для примера числа 68 и 57. Мы сделаем это впервые и напишем, естественно, 125. А почему, спрашивает Крипке, не 5? Откуда мы знаем, как нужно следовать правилу в случае, с которым встретились впервые? Конечно, по правилам сложения должно получаться именно 125, а не 5, и Крипке это знает. Он и предлагает различать операции "плюс", для которой 68 + 57 = 125, и "квус", которая для любых чисел, до сих пор складывавшихся в человеческой практике, дает результаты, совпадающие со сложением, а в рассматриваемом выше случае никогда еще не суммировавшихся чисел 68 и 57 дает 5. Вопрос же состоит в следующем: какими мы располагаем фактами и свидетельствами в пользу того, что окружающие нас люди, в том числе и обучавшие нас в свое время школьные учителя, используют именно "плюс", а не "квус"? Каким образом операция сложения задана и преподана нам таким образом, что определяет однозначно даже те суммы, которые никогда за всю историю человечества не вычислялись, и, может быть не будут вычислены? Крипке знает, сколько будет 68 + 57, но он спрашивает, где, в какой сфере, в каких фактах надо искать то содержание, которое однозначно детерминирует любые применения данного правила[63].

Ответ на первый взгляд настолько очевиден, что сам вопрос представляется абсурдным. Мы складываем числа определенным образом, потому что нас выучили при сложении проделывать одни и те же определенные операции. Попытка придать подобному ответу более углубленную философскую форму могла бы весьма естественно пойти по такому руслу: признать, что в результате обучения арифметике в сознании людей формируются определенные диспозиции, либо образы арифметических операций, либо некоторые ментальные состояния, обусловливающие именно такое, а не иное внешнее поведение. Короче, речь идет о некоем психическом механизме, который срабатывает определенным образом в случае, когда обладающий им человек сталкивается со знаком сложения. Предполагается, что разница между людьми, усвоившими операцию "плюс", и людьми, усвоившими операцию "квус", состоит не в их внешнем поведении, но в различных психических механизмах, которые невидимо работают, когда эти люди осуществляют действия сложения.

Крипке анализирует возможные ответы на поставленную им проблему, состоящие в том, чтобы обратиться к содержанию сознаний использующих арифметику людей. Он показывает, что ответы такого рода просто допускают то, что требуется объяснить. В самом деле, мы не можем проникнуть в сознание людей, следующих правилу, и потому судим о наличии в их сознаниях известного образа, диспозиции, состояния только на основании их наблюдаемого поведения, в рамках которого, по определению, нельзя различить "плюс" и "квус".

Рассуждая таким образом, Крипке, по моему мнению, остается верен смыслу витгенштейновских заметок. В §§ 143-184 "Философ­ских исследований" Витгенштейн говорит как раз о том, что следование правилу нельзя рассматривать как внутреннее ментальное состояние или процесс. Чтобы понять смысл витгенштейновского утверждения, надо прежде всего правильно понять, что именно отрицает при этом Витгенштейн. Его тезис (аналогично тезису о невозможности персонального языка) не является психологическим. Речь идет вовсе не о том, что следование правилу не сопровождается каким-то специфическим внутренним опытом, не связано ни с какими психическими процессами. Витгенштейн не является бихевиористом. Он не отрицает существования психических процессов и состояний. Он утверждает, что нет таких определенных процессов и состояний, которые можно привлекать в качестве объяснительных принципов внешнего поведения, состоящего в следовании правилу. То же самое можно сформулировать и таким образом: между актами следования правилу и состояниями и процессами в сознании нет одно-однозначного соответствия.

Доказывая, что знание правила или понимание того, как ему надо следовать, не являются специфическими состояниями сознания, Витгенштейн отмечает, что любое состояние имеет начало, конец, максимум и минимум интенсивности. Бессмысленно говорить это о понимании или знании правила. Когда люди начинают понимать какое-то математическое правило и следовать ему, в их головах могут происходить самые разные процессы: у кого-то может появиться чувство, что он пережил озарение, у кого-то перед внутренним взором мелькнет соответствующая алгебраическая формула, а у кого-то вообще ничего не будет (ср. § 172). Витгенштейн приводит для пояснение пример с деятельностью чтения вслух (§ 164). Когда мы читаем текст, а не декламируем его вслух и не говорим от себя, то текст как будто ведет нас, аналогично тому, как в случае следования правилу нас ведет правило. В то же время, несмотря на наличие такого единого описания данного действия, в головах читающих могут происходить самые разные процессы. Ясно, например, что в голове ребенка, который только учится читать, и в голове человека, для которого эта деятельность автоматична и который может читать текст, не сосредоточиваясь на нем, а думая совсем о другом, происходят различные процессы.

Аргументируя свою мысль, Витгенштейн предлагает посмотреть и на обыденное словоупотребление, на то, как мы выучиваем употребление выражений, означающих следование правилу. Такие выражения выучиваются и используются в ситуациях, когда кто-то что-то делает, и произносятся на основе внешних действий субъекта, а вовсе не его внутренних состояний и процессов (Ср. § 155). Что можно доказать такой апелляцией к обыденному словоупотреблению? Думаю, что Витгенштейн не собирался подменить философское размышление анализом различных случаев словоупотребления. Скорее всего, апелляция к обычному употреблению слов направлена тут против рассуждений, аналогичных его собственным в период ра­боты над "Логико-философским трактатом". Тогда он допускал, что предложениям языка соответствуют особые психические образования - мысли. Причем если предложение состоит из слов, то мысль со­стоит из психических конституент, соответствующих этим словам, так что структуры предложения и соответствующей ему мысли оказываются изоморфны (разъяснение, данное Витгенштейном Расселу в письме от 19.08.19 г.). Реализация подобного допущения на практике приводила бы, очевидно, к следующему: наличие в языке слов типа "понимание", "чтение", "умение", "внимание" и т.д. и предложений с такими словами давало бы повод к введению особых психических единиц, соответствующих этим словам, наподобие их смыслов. А эти последние легко и незаметно отождествлялись бы с самими психическими механизмами понимания, чтения, умения, внимания и т.д., которые превращались бы тем самым в особые ментальные сущности (состояния, процессы). Вот именно против введения особых ментальных сущностей для анализа определенных слов нашего языка и выступает Витгенштейн. Он показывает, что язык не навязывает подобные ментальные сущности: мы говорим о следовании правилу, не обращаясь к их помощи (Ср. § 179; 198). Допущение таких ментальных сущностей является неоправданным и ничего не объясняющим. Объяснение, что следование правилу есть особое состояние сознания, обладает такой же объяснительной силой, как и объяснение: "опиум усыпляет потому, что обладает усыпляющей силой".

Однако ответ на вопрос: каким образом правило определяет, как люди следуют ему в бесконечном множестве возможных ситуаций, мож­но искать и в иной сфере: идеальных сущностей, или смыслов правил. И в самом деле, наиболее естественный ответ на вопросы о том, что означает овладение правилом и как ему надо следовать, состоял бы в том, что человек должен понять правило, держать в голове его смысл (в самом деле, ведь формулировка правила сама по себе - ничто, важно понять его смысл) и действовать, сообразуясь с этим смыслом как с эталоном. Подобный ответ опирался бы на устоявшееся представление о том, чем человек отличается от пчелы: его деятельность определяется его со­знанием. Поэтому естественно считать, что человек следует правилу не слепо, но на основе своего понимания. Отсюда будет вытекать, далее, что понимание правила - это одно, а овладение им вследствие подражания, при натаскивании в определенных ситуациях - это совсем другое. Подобное различие должно выступать особенно явно в случае математического правила, ибо только понимание его смысла обеспечивает постижение потенциально бесконечного охвата правила, тогда как подражание образцам по необходимости ограничено небольшим набором случаев.

Так что в случае правил, особенно математических, представляется, на первый взгляд, совершенно очевидным, что тут смысл или значение никак не сводятся к употреблению.

Однако Витгенштейн берется спорить и с этим на первый взгляд очевидным утверждением. Оно для него не только не очевидно, но и вообще неприемлемо. В результате вырисовывается чрезвычайно нетривиальная и (оборотная сторона нетривиальности) неочевидная трактовка правил, предлагаемая Витгенштейном. Она разрывает и с представлениями здравого смысла, и с респектабельными философскими традициями. Совершенно не случайно в ходе его рассуждений возникает парадокс, формулируемый в § 201: никакой образ действий не детерминируется правилом, ибо любой образ действий может быть поставлен в соответствие данному правилу. Надо сказать, что Витгенштейн вообще большой мастер на эпатирующие утверждения. Чего стоят, например, его утверждения, что нет абсолютно ничего страшного в противоречиях, которые могут содержаться в основаниях математики, или что логические парадоксы примечательны только тем, что показывают, из-за какой ерунды могут беспокоиться люди. Конечно, Витгенштейн не останавливается на парадоксе из § 201, но дает его разрешение, которое может кому-то показаться не менее парадоксальным и неприемлемым, чем сам парадокс.

Рассуждения Крипке необходимы для нас сейчас потому, что помогают понять новаторское содержание и глубину утверждений Витгенштейна, высвечивая прежде всего их неочевидные и сильные следствия. Во многом этому способствует именно придуманный им необычный пример с "плюсом" и "квусом". Крипке тоже эпатирует читателя, чтобы произвести на него впечатление, заставить задуматься и потом уже повести за собой в поисках решениях проблемы.

Крипке показывает, что если рассматривать одного отдельно взятого человека, то ни состояние его сознания, ни все его внешнее поведение до настоящего момента не дадут нам фактов, подтверждающих, что под сложением он понимает ту операцию, которая в применении к 68 и 57 дает 125, а не 5. Крипке делает вывод, что нет никаких фактов относительно осуществляющего сложения субъекта, которые показывали бы, что именно он подразумевает под "+". Отсюда и вытекает скептический парадокс, который затрагивает не только философию математики, но и понимание языка. Получается, что нет фактов, которые бы показывали, что именно значит для человека любое слово и как он будет применять его в новых ситуациях. Но таким образом под вопросом оказывается и возможность языковой коммуникации. "Витгенштейн изобрел новую форму скептицизма. Лично я считаю, что это самая радикальная и оригинальная философская проблема из всех до сих пор известных в философии. Поставить ее мог лишь необычный по складу ум. Однако он не хотел оставить нас с этой проблемой, но разрешил ее, ибо скептическое заключение безумно и непереносимо"[64].

Данное решение составляет основу витгенштейновской критики персонального языка, но в то же время имеет независимое от этой критики значение. В интерпретации Крипке проблема, поставленная Витгенштейном, состоит вовсе не в том, чтобы показать, почему невозможен персональный язык, но в том, чтобы показать, почему возможен язык человеческой коммуникации. Витгенштейн, по мнению Крипке, согласился бы со скептиком в том, что нет никаких особых философских фактов относительно сознания субъекта, которые конституировали бы значения употребляемых им слов (ср. § 192). Но в §§ 183-193 он показывает, что сама идея, будто подобные факты нужны для анализа значения языковых выражений или следования правилу, вытекает из ошибочных философских представлений.

Витгенштейн - как это объясняет Крипке - не призывает отказаться от фраз типа "Для Джона "+" значит то-то и то-то", "Джон понимает под сложением то-то и то-то". Он просто показывает, что подобные утверждения не требуют специального философского обоснования, вроде теории значения или теории математических сущностей. В своем обыденном употреблении подобные фразы и не нуждаются ни в каком оправдании.

К чему же мы приходим таким образом вместе с Крипке? К тому, чтобы, отбросив всевозможные философские допущения и усложнения, признать, что человек следует арифметическому правилу для операции сложения тогда, когда, по мнению большинства здравомыслящих людей, умеющих складывать, он делает именно это. "Если рассматривать одного человека изолировано, то понятие правила как того, чем он ведом в своих действиях, не может иметь никакого содержания"[65]. Но ситуация меняется, если включить в рассмотрение языковое сообщество. "Другие люди знают условия, оправдывающие или не оправдывающие утверждение, что этот человек следует правилу..." (там же). А условия, о которых идет речь, - это всем известные обстоятельства, при которых говорят, например, что ребенок выучился считать. Тут вовсе не требуется вскрывать таинственное, скрытое и "бесконечное" содержание арифметической операции. Если ребенок получает результаты, совпадающие с общепризнанными, достаточно часто, то его считают овладевшим операцией. Индивид, чьи результаты и реакции достаточно часто не совпадают с принятыми в сообществе, не будет считаться действующим по правилу, независимо от того, что он считает сам. Такой индивид исключается из многих типов общественного взаимодействия. В связи с этим Крипке еще раз привлекает внимание к тем разделам "Философских исследований", в которых подчеркивается важность согласия и разделяемых сообществом форм жизни для работы языка: речь идет о §§ 240-242.

Таким образом, говоря на обыденном языке, что данный человек следует правилу, мы не приписываем ему никакого специального "состояния сознания", но делаем нечто более важное: включаем его в наше сообщество - до тех пор, конечно, пока его поведение не даст повода для его исключения. Подобное описание "языковой иг­ры" приписывания субъекту следования таким-то правилам и составляет, по мнению Крипке, суть витгенштейновского анализа данного понятия.

Крипкевская интерпретация следования правилу часто критиковалась в западной литературе за субъективизм и релятивизм. Так известные витгенштейноведы Дж.Байкер и П.Хакер[66] считают, что крипкевская интерпретация уничтожает объективность логики и математики, ибо у Крипке оказывается, что сообщество всегда применяет правила правильно, раз оно само и является гарантом правильности. Тем самым объективность отождествляется с фактическим поведением сообщества, а нормативность правил логики, математики или лингвистики подменяется статистическими представлениями. И приговор Бейкера и Хакера звучит так, что скептические выводы Крипке не столько убедительны сами по себе, сколько созвучны скептическим и культурно-релятивистским установкам современной философии.

Однако подобная критика представляется мне чрезмерной. Крипке все-таки не делал столь радикальных заявлений. В то же вре­мя непонятно, как авторы смогут совместить свою критику с утверждениями Витгенштейна, что работа языка опирается на согласие человеческих суждений. Ведь сам Витгенштейн считал, что это не отменяет логику.

Я попытаюсь защитить позицию Крипке и доказать, что введение социального измерения в феномен следования правилу отвечает содержанию витгенштейновских заметок, не вступает в противоречие с логикой и не ведет к крайнему субъективизму.

По-видимому, никто не станет спорить с тем, что, с точки зрения Витгенштейна, правило (его смысл, его интерпретация) не является автономным объектом "третьего мира", который сам определяет, какое следование ему является правильным, а какое - нет. Однако один только Крипке, как мне кажется, понял - и сумел в своем примере показать, - какие серьезные следствия вытекают отсюда. В самом деле, ведь тем самым правила как бы "зависают", они оказываются бессильны определить что-то сами по себе. Можно сказать, что они принципиально неполны - любые правила, в том числе математические. Поэтому, естественно, они должны быть чем-то дополнены, подкреплены, доопределены. Витгенштейн говорит и, - как мне кажется, - говорит наредкость прямо и недвусмысленно, - что следование правилу есть практика, обычай. А овладение правилом - это овладение определенной техникой, результат тренировки, натаскивания. При этом Витгенштейн не употребляет квалификацию "социальные", говоря об обычаях и практиках. Однако представляется очевидным, что обычаи и практика носят социальный характер, так же как и процессы обучения, так что прилагательное тут было бы просто излишним. Поэтому Крипке не отклонился от позиции Витгенштейна, делая акцент на социальном характере деятельности следования правилу.

Однако подобные рассуждения хорошо воспринимаются в общем виде, но в применении к математическим правилам представляются скорее неуместными. Мысль, что обычные арифметические правила неполны, так что результаты сложения зависят не только от них, но и от сложившейся практики, кажется сначала просто дикой. Тем более велика заслуга Крипке. Он, предложив пример, использующий именно арифметическое правило, поставил точку над i. Он смело вскрыл самое нетривиальное и уязвимое в рассуждениях Витгенштейна. Но без этого они остались бы довольно "беззубыми". Данный уязвимый пункт состоит в следующем: рассуждение Витген­штейна подразумевает, что одно и то же арифметическое правило можно, в принципе употреблять разными, даже взаимоисключающими способами. Тот факт, что реально используется какой-то один определенный способ, есть результат сложившейся традиции. Но традиция, принятая в данном обществе, - в связи с одним и тем же арифметическим правилом - может, вообще говоря, и измениться.

Возможно ли защищать подобное утверждение, - и тем самым оправдать Витгенштейна и Крипке? Отвечая на этот вопрос, я прежде всего отвечу на одно возражение против Крипке, которое возникает у многих людей и кажется естественным и легким разрешением описываемого им затруднения с различением "плюса" и "квуса". В самом деле, правила нашей арифметики имеют полную и адекватную формулировку в аксиомах Пеано. А последние определяют бесконечное множество действий сложения. Они, в отличие от практики арифметических вычислений, не ограничены числами какой-то определенной величины. И из них ясно следует, что операция сложения есть "плюс", а не "квус".

И, однако, с витгенштейновских позиций подобное возражение в адрес Крипке необоснованно. В самом деле, какие факты мы можем привести в пользу того, что наша обычная операция сложения наиболее адекватно формулируется именно аксиомами Пеано? Разве не ясно, что обыденная практика счета имеет свои особенности, не отраженные в этой аксиоматике, - например, в ней присутствует раз­ветвленная система правил приблизительного счета, причем рубли, копейки, минуты, ананасы, картошка округляются по своим правилам, которые мы выучиваем, не отдавая себе в этом отчета, взаимодействуя с другими людьми в ходе разнообразных повседневных ви­дов деятельности, касающихся соответствующих предметов. Тут можно проследить какие-то правила, но мы не делаем их предметом рефлексии. Мы автоматически поступаем так, как все, ибо это вполне соответствует нашим интересам. В этом смысле можно сказать, что мы следуем правилу слепо. И даже в самой математике можно проследить специфические практики счета. Например, единственным числом, которое удовлетворяет уравнению (x - 1)5 = 0, является единица. Тем не менее в силу основной теоремы алгебры уравнение пятой степени должно иметь ровно пять корней. Поэтому в данном случае, в практике ("языковой игре") применения этой теоремы, одна единица считается пятью разными, но совпадающими корнями! И этот особый тип практики счета не осознается ни математиками, ни философами математики; обучающиеся алгебре получают образцы такой практики попутно, в ходе обучения их решению уравнений, и далее следуют этому правилу, - говоря словами Витгенштейна, - слепо.

Идея, что в аксиомах Пеано содержится вся арифметика и что они детерминируют все потенциально бесконечное множество случаев следования арифметическим правилам, опирается на два невысказанных убеждения, в равной степени чуждых Витгенштейну: 1) числа суть самостоятельные идеальные объекты. Они сами по себе обладают определенными свойствами, стоят между собой в известных отношениях; 2) все виды арифметики, от античной до современной, от преподаваемой в начальной школе до той, которая является предметом исследований профессоров математических факультетов университетов, относятся к этим самостоятельным идеальным объектам, и потому составляют иерархию, основанную на степени глубины и полноты проникновения в их свойства.

Витгенштейновская философия позволяет говорить о семействе арифметических "языковых игр". В каждой - своя практика следования арифметическим правилам. Они связаны отношениями "семейного сходства", - кроме всего прочего, и потому, что имеют общих предков, связаны отношениями происхождения. Они равноправны и равноценны. Ни одна не является "более глубокой", чем другая. Идея того, что научные виды деятельности более глубоки, ценны, замечательны, чем повседневные "языковые игры", что именно первые, а не последние должны прежде всего интересовать философов, - подобная идея глубоко чужда Витгенштейну, хотя именно она составляет сердцевину европейской культуры и европей­ской философской традиции. Недаром Витгенштейн писал в наброске предисловия к предполагаемой книге, что дух его работы глубоко чужд духу современной цивилизации и скорее всего не будет понят учеными[67]. Эта же его установка присутствует и в рассуждениях о "следовании правилу". Так, обсуждая вопрос об ученике, который следует арифметическому правилу с какими-то странными ошибками, он замечает, что одна из возможных реакций состоит в том, что такой способ следования правилу будет признан допустимой формой. На первый взгляд, это может показаться абсурдом. Математическое правило (если, конечно, оно сформулировано строго и точно) определяет, как ему надо следовать. И никогда неправильное следование не может стать допустимым: что неправильно, то неправильно.

В подобном возражении самым интересным является его кажущаяся очевидность - при том, что опровергающие его факты общеизвестны. Например, с точки зрения античной математики наша современная арифметическая практика сплошь ошибочна, даже абсурдна. Посмотрим на выражения типа "3O -1", "(3)1/2", "(3)-2", "3 - 5" и т.д. Математика в своем историческом развитии превратила эти запрещенные выражения сначала в "допустимые частные случаи", а потом вообще создала совершенно новую практику. В "чис­лах самих по себе" в "арифметике самой по себе" все это вовсе не со­держалось. Можно представить себе, что развитие математической мысли пошло бы по другому пути, и тогда у нас были бы совсем другие практики следования арифметическим правилам.

Правило, взятое само по себе, не детерминирует своих примене­ний. Это может показаться очевидным в случае таких, например, правил, как правила защиты диссертаций, когда любой соискатель, ознакомившись с инструкцией, тут же начинает узнавать у людей, прошедших эту процедуру, как принято следовать данной инструкции. Однако считается, что математическое правило по крайней ме­ре должно быть сформулировано так, чтобы полностью определять свои применения, т.е. то, как надо ему следовать. А Витгенштейн в § 189 "Философских исследований" предлагает подумать над тем, как употребляется выражение "быть определяемым алгебраической формулой". Может быть, это означает, что люди обучены употреблять данную формулу так, что она определяет то, что они должны писать, следуя ей как правилу. И только в контексте уже определенного употребления можно отличать формулы, которые полностью определяют (нечто), от тех, которые определяют не полностью. Сам Витгенштейн в этом параграфе рассматривает пример с формулой y = x2. Казалось бы, опять он говорит нелепости, недопустимые для человека, знакомого с математикой хотя бы в школьном объеме. И тем не менее опять прав Витгенштейн, а наше недоумение объясняется тем, что мы не видим того, что у нас перед глазами. Не видим потому, что глаза наши закрыты шорами представлений о математике как особой, исключительной, суперстрогой и точной, имеющей дело с особыми, эфирными математическими объектами, - словом, стоящей выше, чем все прочие виды человеческой деятельности.

В том, что говорит Витгенштейн, еще нет в эксплицитном виде какой-то новой философской концепции математики, - но его замечания вызывают "смену аспекта видения", позволяют увидеть привычное в новом свете, избавившись от дихотомии "высшего" и "низшего", профанного и точного знания. И вследствие этого они несут в себе большой энергетический заряд, который рано или поздно выльется в появление новой философии математики, сильно отличающейся от того, что мы имеем сейчас под этим названием, и которая заставит по-другому взглянуть и на историю математики.

Что же касается формулы y = x2, то надо только представить себе, что вместо x подставляются иррациональные числа, например p или е. И тогда разные люди, обученные разным правилам получения приближений этих чисел (например, сверху или снизу), с разными представлениями о том, до какого знака надо продолжать вычисления в соответствии с формулой y = x2 (в связи с разными задачами), будут получать отличающиеся результаты. Это и показывает, что данная формула однозначно определяет, что надо делать согласно ей, только в поле определенных видов применения.

Но является ли подобная недоопределенность правил принципиальной? Может быть, она вполне устранима, и для этого нужна как раз формализация и аксиоматизация, которая выявит все предпосылки, в том числе область применения, и тем самым сделает системы правил такими, какими они и должны быть? Ответ, согласующийся с духом витгенштейновской философии, должен быть таким: да, такая недоопределенность принципиальна. Даже формализованные системы опираются, в конце концов, на представление о том, что все люди одинаково отождествляют и различают символы, с помощью которых они сформулированы, а это тоже означает апелляцию к сложившейся практике. Однако более существенно следующее. Если данная формализованная система останется только памятником эпохи веры в необходимость формализации и аксиоматизации, если она не будет иметь никаких применений (что случается с формализованными системами), если она не будет этапом на пути развития данной теории, тогда можно будет сказать, что ее правила детерминируют все возможные применения - коль скоро реально применений нет. Но если такая система будет "жить" в каких-то употреблениях, развиваться, претерпевать эволюцию, - тогда вполне возможны новые неожиданные применения, никак не детерминированные самой системой при ее создании.

Правда, можно было бы сказать, что и тут правила будут теми же самыми и применения будут те же самые. Например, Бейкер и Хакер, возражая Крипке, говорят о том, что правило просто показывает, что во всех случаях надо делать вот это, и всегда то же самое, что, по их мнению, снимает крипкевскую проблему "плюса" и "квуса"[68]. Возражение, не соответствующее духу витгенштейновской философии. Кто, в самом деле, будет решать, когда возникает новая практика следования правилу, делается ли то же самое или нет? Или "то же самое" - это, по их мнению, некая абстрактная сущность, не зависящая от конкретных применений? Например, многие математики убеждены, что у нас та же самая арифметика, что и у античных математиков. А с точки зрения последних, скорее всего, дело выглядело бы так, что математика XX в. вопиюще нарушает арифметические правила, применяя их к отрицательным, комплексным и прочим числам.

Размышления Витгенштейна о следовании правилу тесно связаны с позицией, занятой им в связи с проблемой противоречий в основаниях математики. Его рассуждения показывают, почему бессмыслен страх перед скрытыми противоречиями в системе правил. В правилах самих по себе ничего не заложено, в том числе в них не "сидит" и это неведомое нам скрытое противоречие. Все определяется тем, как мы следуем системе правил. Так в математическом анализе используются непредикативные определения, но это не ведет к противоречиям. Как отметил А.Тарский, обычный язык и обычная двузначная логика образуют противоречивую систему. Однако это не приводит к краху любых рассуждений, потому что мы не употребляем в выводах и рассуждениях парадоксальные предложения. У нас нет практики осуществления выводов типа "я лгу, что я лгу, следовательно, 2 х 2 равно сколько угодно". Потому и в теории множеств можно спокойно работать, пока принятые в ней способы рассуждений и построений понятий не приведут к противоречиям. Если же возникнут новые применения правил системы, новые типы и области рассуждений, ведущие к противоречию, тогда и надо будет пересмотреть - либо систему правил, либо одно из применений, - чтобы устранить противоречие. Идея же заранее устранить все возможности появления противоречий столь же утопична, как и попытка построить такую тюрьму, в которой исключались бы все возможности для побега заключенных (пример самого Витгенштейна).

Подведем итоги.

Витгенштейновские замечания о следовании правилу не связаны с утверждением, что люди следуют правилу, как дрессированные животные, без какого бы то ни было своего понимания правила. Суть позиции Витгенштейна в ином. Он утверждает, что:

1) содержание сознания следующего правилу человека не является основанием для объяснения того, что означает следование правилу. Ментальные образы и процессы, которые философы любят привлекать для объяснений, сами суть производное от языка, способов обучения, набора образцов следования данному правилу и прочее;

2) объясняющим и детерминирующим принципом не является также и смысл (интерпретация) правила как особый идеальный объект, который можно якобы рассматривать как резервуар, содержащий детерминации для всех случаев будущих его применений, как критерий того, какое применение правильно, а какое - неправильно.

Правило "живет" практикой его применения. Именно она является активным определяющим началом. Она определяет, какое следование правильно, а какое - нет. Существенно, что практика может изменяться, расширяться, появляются новые типы следования правилу. Наличная совокупность практик следования правилу не фиксирует того, что может быть дальше. Это - разнородная и открытая совокупность.

Устраняет ли подобная интерпретация объективность, например, законов арифметики? Бейкер и Хакер, как мы видели выше, обвиняют Крипке в крайнем субъективизме. У него якобы получается, что все сообщество не может ошибаться, а это означает отождествление истинности с фактическим поведением людей. Позицию Крипке данные авторы толкуют как утверждение, что если завтра все люди будут делать одну и ту же арифметическую ошибку, то это будет уже не ошибка, а правильное вычисление. Тогда как ясно, что реальность даст людям почувствовать, что они ошиблись, даже если они будут ошибаться "всем миром".

Поэтому Бейкер и Хакер убеждены, что Витгенштейн не мог придерживаться тех взглядов, которые развивает Крипке.

Ответ на подобное возражение, по моему мнению, состоит в том, что у Витгенштейна речь идет не о законах арифметики самих по себе, но всегда о системе: "законы в их определенном применении". Разумеется, если люди, даже и все вместе, вдруг изменят какой-то один фрагмент этой системы (не так сложат какие-то числа, оставив без изменений всю сложившуюся практику применения арифметики), тогда реальность за себя отомстит (будут рушиться мосты, не сходиться бухгалтерские отчеты и пр.). Позволю себе такой образ: если мы обходим все острые углы в комнате, а про один угол забудем, он нам о себе напомнит. А если мы сумеем построить новую практику обращения с углами, скажем, перестанем ходить по комнате, а будем парить под потолком, - что тогда нам этот один забытый угол! Витгенштейн заметил как-то, что вполне может быть арифметика, в которой 2 х 2 = 5. Но у нее будет другое применение! - Впрочем (тут же замечает он), как мы определяем, какое применение "то же самое", и какое - "другое"?

Возвращаясь к примеру, сконструированному Крипке, предлагаю представить себе следующую утопическую ситуацию: в XXI в. люди считают научно-технический прогресс уже не благом, а суетой. Они стремятся ограничивать свои потребности и гордыню, жить как можно проще и естественнее, как можно меньше нарушая естественный ход природных процессов. Они изучают в школах те же арифметические правила, что и мы. Однако у них принято, в случае, когда результат вычислений превышает какие-то разумные, по их мнению, пределы, прекращать их и писать просто "5". Где проходят эти "разумные пределы", люди определяют на основе признанных образцов и своего такта, наподобие того, как они определяют, что прилично, а что - неприлично. Когда вместо суммы каких-то огромных чисел пишут "5", это означает фактически отказ производить определенные действия (осуществлять капиталовложения, конструировать двигатели большой мощности), которые с точки зрения людей данной культуры негармоничны и потому нежелательны. Таким образом, в нашем примере все сообщество стало ошибаться, употребляя вместо "плюса" - "квус", что сочеталось с изменениями в применении арифметики и было, в свою очередь, частью общего изменения формы жизни. В этом случае люди совсем не будут ощущать, что их арифметика "не соответствует реальности". В их форме жизни она соответствует реальности. Более того: они убеждены, что следуют арифметическим правилам правильно, т.е. сообразно заложенному в них смыслу, тогда как математика XX в., с их точки зрения, заблуждалась, за что реальность в конечном счете отомстила людям (всевозможными экологическими катастрофами). Что ж, и математики XX в. считают, что они правильно употребляют арифметические правила, тогда как математика античности и средневековья была неоправданно ограниченной. Стоит ли за этим что-то более объективное, чем присущая всем людям убежденность в том, что они правы, а те, кто имеют отличные от них убеждения, ошибаются? Отмечу, что с позиций витгенштейновской философии никакого объективного эталона - в виде самих арифметических правил как объектов "третьего мира" - нет. Поэтому бессмыслен вопрос о том, какое из возможных применений арифметических правил "на самом деле" правильно. Каждое из применений является органической частью соответствующей формы жизни. Вопрос о том, какая форма жизни правильна, а какие - неправильны, лишен всякого смысла: никакой объективный ответ на него невозможен.

Напомню, кстати, что наша привычная арифметика опровергается практикой на каждом шагу: подумайте о результате сложения кубиков льда на горячей печке; капелек воды; половых клеток многоклеточных животных. Мы не замечаем этого, потому что обучены соответствующему применению правил арифметики. Эта практика задана для нас твердыми, не исчезающими, четко различимыми счетными палочками. Мы уже не замечаем, что объективность арифметики покоится в неразрывном сплаве того, что от нас не зависит (факты природы), с установившейся социальной практикой. Объективность нигде не дана нам в голом виде, но всегда в том облачении, которое ей придают принятые практики или формы жизни.

Таким образом, наше рассмотрение витгенштейновских рассуждений о следовании правилу (сквозь призму их интерпретации, предложенной С.Крипке) показывает, что правила не существуют сами по себе, как "объекты третьего мира". Они не управляют оттуда поведением людей, следующих правилу. Они "живут" в применяющем эти правила сообществе, так что в конечном счете применения определяют смысл и интерпретацию правил, а не наоборот.

Это еще раз показывает, что математика не существует как автономный факт "третьего мира". Она есть форма человеческой деятельности и не может быть осмыслена в абстракции от традиций, культуры, формы жизни занимающегося ею человеческого сообщества.