Часть 2.

членов более обширного класса, который исследуется, скажем, к полному числу жителей Лос-Анджелеса.

Мы можем говорить о вероятности выпадения некоторой грани, утверждает Мизес, не только в случае правильной кости, когда она составляет Ve, но также в случае всех видов утяжеленной кости. Предположим, кто-то утверждает, что кость утяжелена и вероятность выпадения на ней одного очка равна не Ve, а меньше, чем Ve- Кто-то другой скажет: «Я согласен с вами в том, что кость утяжелена, но не тем способом, который вы полагаете. Я думаю, что вероятность выпадения одного очка больше, чем 1/6»- Как указывает Мизес, чтобы узнать, что понимают два человека под различными утверждениями, мы должны посмотреть на способ, с помощью которого они пытаются установить свои доводы. Они будут, конечно, делать эмпирические испытания. Они будут многократно бросать кость, учитывая при этом число бросаний и число очков.

Сколько раз они бросят кость? Предположим, что они сделают 100 бросаний и обнаружат, что одно очко появится 15 раз. Это немного меньше, чем 1/6 от 100. Не будет ли это доказывать, что первый человек прав? «Нет», — может сказать другой. «Я по-прежнему думаю, что вероятность больше, чем 1/6. Одной сотни бросаний недостаточно для точного испытания». Возможно, эти люди продолжат бросания кости, пока не достигнут 6000 бросаний. Если очко появится меньше 1000 раз, второй человек может отказаться от спора. «Вы правы, — скажет он, — это меньше, чем 1/6».

Почему эти люди остановились на 6000? Может быть, они устали от таких бросаний. Возможно, они заключили пари на доллар по поводу способа утяжеления кости, и просто за доллар не хотят потратить более трех дней на дополнительные бросания. Но решение остановиться на 6000 — чисто произвольно. Если после 6000 бросаний число очков очень близко к 1000, они могут считать вопрос все еще не решенным. Небольшое отклонение может быть обязано скорее случаю, чем физической природе самой кости. В конечном итоге физическая природа может вызвать отклонение в противоположном направлении. Чтобы сделать испытание более доказательным, люди могут согласиться продолжить бросания до 60000. Ясно, что не существует никакого ко-

69

нечного числа бросаний, какое бы оно ни было большое, на котором они могли бы остановить испытания и с твердой уверенностью сказать, что вероятность выпадения одного очка есть 1/6 или меньше или больше, чем 1/6.

Поскольку никакого конечного числа испытаний недостаточно для точного определения вероятности, то как можно эту вероятность определить в терминах частоты? Мизес и Рейхенбах предложили определять ее не как относительную частоту конечной последовательности случаев, а как предел относительной частоты в бесконечной последовательности. (Это было именно то определение, которое отличает взгляды Мизеса и Рейхенбаха от взглядов Р. А. Фишера в Англии и других статистиков, также критиковавших классическую теорию. Они вводят частотное понятие вероятности не с помощью определения, а как исходный, неопределяемый термин в аксиоматической системе.) Конечно, Мизес и Рейхенбах хорошо сознавали, хотя их часто критиковали так, будто бы они этого не понимали, что никакой наблюдатель не может иметь в своем распоряжении бесконечную последовательность наблюдений. Но я думаю, что их критики ошибались, когда говорили, что новое определение вероятности не имеет никакого применения. Как Рейхенбах, так и Мизес показали, что на основе их определения могут быть выведены многие теоремы и с помощью этих теорем мы можем сказать нечто существенное. Мы не можем сказать с достоверностью, каково значение вероятности, но если последовательность достаточно длинна, то можно утверждать, что это значение вероятности является вероятным. В примере с игральной костью мы можем сказать, что вероятность того, что значение вероятности выпадения одного очка будет больше 1/6, очень мала. Возможно даже, что вероятность этого значения вероятности может быть вычислена. Тот факт, что в определении вероятности используется понятие предела и делается ссылка на бесконечную последовательность, вызывает, конечно, трудности и сложности как логические, так и практические. Однако они не делают определение бессмысленным, как это утверждают некоторые их критики.

Рейхенбах и Мизес согласны со взглядом, что понятие вероятности, основанное на пределе относительной частоты бесконечной последовательности, являетс

70

единственным понятием, приемлемым в науке. Классическое определение, выведенное из принципа индифферен-ции, было найдено неадекватным. Никакое новое определение, которое превосходило бы старое, кроме определения Мизеса и Рейхенбаха, не было предложено. Но теперь сразу же возникает трудный вопрос об отдельном случае. Новое определение очень хорошо подходит к статистическим явлениям, но как оно может быть применено к отдельному случаю? Метеоролог объявляет, что вероятность того, что завтра будет дождь, есть 2/3. Слово «завтра» относится здесь к одному частному дню, а не к какому-либо другому. Подобно случаю со смертью человека в проблеме страхования жизни, это есть единичное, неповторимое событие. Однако мы хотим приписать ему вероятность. Как это может быть сделано на основе частотного определения?

Мизес думал, что это не может быть сделано. Таким образом, вероятные утверждения для отдельных случаев должны быть исключены. Рейхенбах, однако, сознавал, что как в науке, так и в повседневной жизни мы постоянно делаем вероятностные утверждения об отдельных событиях. Поэтому будет полезно, думал он, найти правдоподобную интерпретацию для таких утверждений. Для предсказания погоды легко дать такую интерпретацию. Метеоролог имеет в своем распоряжении большое число отчетов о прошлых наблюдениях, так же как данных относительно погоды на сегодня. Он находит, что сегодняшняя погода принадлежит к некоторому классу и что в прошлом, когда встречалась погода такого рода, относительная частота, с которой ожидался дождь на следующий день, была 2/3. Тогда, согласно Рейхенбаху, метеоролог делает «ставку», то есть он полагает, что наблюдаемая частота 2/з, основанная на конечной, но довольно длительной серии наблюдений, является также пределом бесконечной последовательности. Иными словами, он оценивает предел, который должен быть вблизи 2/з. Затем он делает утверждение: «Вероятность дождя на завтра есть 2/з».

Утверждение метеоролога, настаивает Рейхенбах, должно рассматриваться как эллиптическое. Если он раскроет его полное значение, то должен сказать: «Согласно нашим прошлым наблюдениям, то состояние погоды, которое мы наблюдали сегодня, должно сопрово-

71

ждаться дождем с частотой 2/з». В сокращенном утверждении кажется, что вероятность применяется к отдельному случаю, но это только манера речи. В действительности же утверждение касается относительной частоты в длительной последовательности (случаев). То же самое верно в отношении утверждения: «При следующем бросании кости вероятность выпадения одного очка есть 1/6». «Следующее бросание», подобно «завтрашней погоде», есть отдельное, единственное в своем роде событие. Когда мы приписываем ему вероятность, мы в действительности эллиптически говорим об относительной частоте в длительной серии бросаний.

Таким способом Рейхенбах нашел интерпретацию для утверждений, приписывающих вероятность отдельному событию. Он даже пытался найти интерпретацию для утверждений, приписывающих вероятность общим гипотезам в науке. Мы не будем входить в обсуждение этого вопроса, потому что он более сложен и потому что (в противопожность его интерпретации вероятности единичных предсказаний) он не нашел общего признания.

Последующий важный шаг в истории развития теории вероятностей был связан с выдвижением логической концепции. Она была предложена после 1920 года Джоном Мейнардом Кейнсом — известным британским экономистом — и с того времени разрабатывалась многими авторами. В настоящее время происходят оживленные споры между защитниками этой логической концепции и теми, кто склоняется к частотной интерпретации. В следующей главе будет обсуждаться этот спор и способ, с помощью которого, я думаю, он должен быть решен.

Глава 3

ИНДУКЦИЯ И ЛОГИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Для Джона Мейнарда Кейнса вероятность была логическим отношением между двумя высказываниями. Он не только не пытался определить это отношение, но даже заходил настолько далеко, что утверждал, что вообще никакое определение не может быть сформулировано.

72

Только посредством интуиции, настаивал он, мы можем понять, что означает вероятность. В своем «Трактате по вероятности» 1 он дал несколько аксиом и определений, выраженных на языке символической логики, но они не очень обоснованы с современной точки зрения. Некоторые из кейнсовских аксиом фактически являлись определениями, а некоторые определения в действительности были аксиомами. Но его книга интересна с философской точки зрения, в особенности те главы, в которых он обсуждает историю теории вероятностей и то, что мы можем узнать сегодня о ранних точках зрения. Его главным утверждением было то, что, когда мы делаем вероятностное утверждение, мы делаем утверждение не о мире, а только о логическом отношении между двумя другими утверждениями. Мы говорим только то, что одно утверждение имеет такую-то вероятность относительно другого утверждения.

Я написал: «Такую-то». Фактически Кейнс был более осторожен. Он сомневался в том, что вероятность в общем случае может быть сделана количественным понятием, то есть понятием с численным значением. Он соглашался, конечно, что это может быть сделано в определенных случаях, таких, как бросание кости, в которых применяется старый принцип индифференции. Игральная кость симметрична, все ее грани подобны, мы не имеем никакого основания подозревать, что она утяжелена, и т. п. То же самое верно относительно других азартных игр, в которых условия тщательно подбираются так, чтобы обеспечить физическую симметрию или, по крайней мере, симметрию в отношении нашего знания и незнания. Колеса рулетки делаются так, чтобы ее различные секторы были равны. Колесо тщательно балансируется, чтобы исключить какой-либо уклон, который может привести к тому, что шарик остановится скорее у одного числа, чем у другого. Если кто-то бросает монету, то мы не имеем никакого основания предполагать, что решка выпадет скорее, чем герб.

В ограниченных ситуациях такого рода, говорит Кейнс, мы можем законно применить нечто подобное классическому определению вероятности. Он соглашалс

1. JohnMaynardKeynes, Treatise on Probability, London, Macmillan, 1921.

73

с другими критиками принципа индифференции, что этот принцип в классический период использовался слишком в широком смысле и ошибочно применялся ко многим ситуациям, таким, как предсказание того, взойдет ли завтра солнце. Верно, говорил он, что в азартных играх и других простых ситуациях принцип индифференции применим, и вероятности может быть дано численное значение. Однако, в большинстве ситуаций мы не имеем способа определения равновозможных случаев и, следовательно, никакого обоснования для применения принципа индифференции. В таких случаях, говорил Кейнс, мы не должны использовать численные значения. Его позиция была осторожной и скептической. Он не хотел идти слишком далеко, чтобы не вступить в такую область, которую он рассматривал как тонкий лед. Поэтому он ограничивал количественную часть своей теории. Во многих ситуациях, в которых мы не колеблясь заключаем пари, приписывая численное значение вероятности предсказаний, Кейнс предостерегал против такой практики.

Второй важной фигурой, положившей начало современному логическому подходу к вероятности, был Гарольд Джеффрис — английский геосЬизик. В его «Теории вероятности» («Theory of Probability»), впервые опубликованной в 1939 году издательством Оксфордского университета, защищается концепция, весьма близкая к концепции Кейнса. Когда Кейнс издал свою книгу (она вышла в свет в 1921 году, а написал он ее, вероятно, в 1920 году), только что появились первые публикации, по вероятности Мизеса и Рейхенбаха. Кейнс, по-видимому, не знал о них. Он критиковал частотный подход, но не обсуждал его в деталях. К тому времени, когда Джеффрис написал свою книгу, частотная интерпретация была полностью развита, поэтому он гораздо более явно имел дело с ней.

Джеффрис решительно говорил, что частотная теория целиком ошибочна. Он подтверждал мысль Кейнса о том, что вероятность относится не к частоте, а к логическому отношению. Джеффрис был гораздо смелее осторожного Кейнса. Он верил, что численное значение может быть приписано вероятности в гораздо большем числе ситуаций, в частности во всех тех ситуациях, в которых применяется математическая статистика. Он хотел

75

иметь дело с теми же самыми проблемами, которые интересовали Р. А. Фишера и других статистиков, но хотел разрабатывать их на основе другого понятия вероятности. Поскольку он использовал принцип индиффе-ренции, я полагаю, что некоторые его результаты вызывают те же самые возражения, которые выдвигались против классической теории. В его книге трудно, однако, найти специфические утверждения для критики. Его аксиомы, взятые одна за другой, приемлемы. Только тогда, когда он пытался вывести теоремы из одной аксиомы, он, по моему мнению, заблуждался.

Указанная аксиома формулировалась Джеффрисом так: «При имеющихся данных мы приписываем большее число более вероятному высказыванию (и, таким образом, равные числа равновероятным высказываниям)». Часть этого предложения, заключенная в скобки, очевидно, говорит только о том, что если р и q равновероятны на основе свидетельства г, тогда в качестве значений вероятности р и q должны быть приписаны равные числа относительно свидетельства г. Это утверждение ничего не говорит нам об условиях, при которых мы должны рассматривать р и q как равновероятные относительно г. В своей книге нигде, кроме этого места, Джеффрис не уточнял этих условий. Позже он, однако, интерпретировал эту аксиому самым удивительным образом, чтобы установить теоремы о научных законах. «Если не имеется никакого основания верить в одну гипотезу больше, чем в другую, — писал он, — тогда вероятности их равны». Иными словами, если у нас недостаточно данных, чтобы решить, является ли какая-либо теория истинной или ложной, тогда мы должны заключить, что теория имеет вероятность, равную 1/2.

Является ли это законным использованием принципа индифференции? По моему мнению, такое использование принципа справедливо осуждалось критиками классической теории. Если принцип индифференции должен быть использован вообще, тогда в ситуации должна быть симметрия некоторого вида, такая, как равенство граней игральной кости или секторов колеса рулетки, позволяющая нам говорить о том, что некоторые случаи являются равновероятными. При отсутствии такой симметрии в логических или физических чертах ситуации необоснованно предполагать равенство вероятностей

75

просто потому, что мы ничего не знаем об относительных достоинствах конкурирующих гипотез.

Простая иллюстрация сделает эту мысль яснее. Согласно интерпретации Джеффрисом своей аксиомы, мы можем предполагать с вероятностью, равной 1/2, что на Марсе существуют живые организмы, потому что мы не имеем достаточного основания верить как в эту гипотезу, так и в ее отрицание. Рассуждая подобным же образом, мы можем сказать, что вероятность того, что на Марсе существуют животные, равна 1/2. Вероятность того, что там имеются человеческие существа, равна также 1/2. Каждое из этих утверждений, рассматриваемое само по себе, есть утверждение, о котором мы не имеем достаточных свидетельств, полученных тем или иным способом. Но эти утверждения относятся друг к другу таким образом, что они не могут иметь то же самое значение вероятности. Второе утверждение сильнее, чем первое, потому что оно влечет первое, в то время как первое не влечет второго. Таким образом, второе утверждение менее вероятно, чем первое. То же самое отношение существует между третьим и вторым утверждениями. Мы должны, следовательно, быть крайне осторожными даже при применении модифицированного принципа индифференции, или же мы, вероятно, впадем в противоречия.

Книга Джеффриса резко критиковалась специалистами по математической статистике. Я согласен с их критикой только в отношении немногих мест, где Джеффрис выводит теоремы, которые не могут быть выведены из его аксиом. С другой стороны, мне бы хотелось сказать, что как Кейнс, так и Джеффрис были пионерами, работавшими в правильном направлении 1. Моя собственная работа по вероятности идет в том же самом направлении. Я разделяю их точку зрения, что логическая вероятность представляет логическое отношение. Если

1. Детальную оценку работ Кейнса и Джеффриса и других, которые защищают логическую вероятность, можно найти в разд. 62 моей книги «Logical Foundations of Probability» («Логические основания вероятности»), (Chicago: University of Chicago Press, 1950). Шесть неспециальных разделов этой книги были перепечатаны , в виде небольшой монографии «The Nature and Application of Inductive Logic» («Природа и применение индуктивной логики»), (Chicago: University of Chicago Press, 1951).

76

вы высказываете суждение, утверждающее, что для данной гипотезы логическая вероятность по отношению к данному свидетельству есть 0,7, тогда полное утверждение является аналитическим. Это означает, что утверждение следует из определения логической вероятности (или из аксиом логической системы) без ссылки на что-либо, кроме логической системы, то есть без ссылки на структуру действительного мира.

В моей концепции логическая вероятность представляет логическое отношение, в чем-то сходное с логической импликацией. Действительно, я думаю, что вероятность может рассматриваться как частичная логическая импликация. Если свидетельство является таким сильным, что гипотеза логически следует из него — логически имплицируется им, — тогда мы имеем один крайний случай, при котором вероятность равна 1. (Вероятность, равная 1, встречается также в других случаях, но это есть один специальный случай, где она встречается.) Подобным же образом, если отрицание гипотезы логически имплицируется свидетельством, тогда вероятность гипотезы есть 0. Между ними имеется континуум случаев, о которых дедуктивная логика не говорит нам ничего, кроме отрицательного утверждения, что ни гипотеза, ни ее отрицание не могут быть выведены из свидетельства. В этом континууме должна занять свое место индуктивная логика. Но индуктивная логика, подобно дедуктивной, имеет отношение исключительно к рассматриваемым утверждениям, а не к фактам природы. С помощью логического анализа установленной гипотезы h и свидетельства е мы заключаем, что h не логически имплицируется, а, так сказать, частично имплицируется е в такой-то степени.

В этом пункте, по моему мнению, мы имеем основание приписывать численное значение вероятности. Если это возможно, то нам бы хотелось построить систему индуктивной логики такого рода, чтобы любой паре предложений — одному, утверждающему свидетельство е, и другому, устанавливающему гипотезу h, — мы могли приписать число, характеризующее логическую вероятность h относительно е. (Мы не рассматриваем тривиальный случай, когда предложение е противоречиво. В таком случае h не может быть приписано никакое значение вероятности.) Мной успешно развиты возможные

77

определения таких вероятностей для очень простых языков, содержащих только одноместные предикаты, и задача теперь состоит в том, чтобы достичь прогресса в.распространении теории на более обширные языки. Конечно, если полная индуктивная логика, которую я пытаюсь построить на этой основе, должна иметь какую-либо реальную ценность для науки, то она, вероятно, в конечном счете будет применима к такому количественному языку, какой мы имеем в физике, в которой существуют не только одно- или двухместные предикаты, но также такие численные величины, как масса, температура и т. п. Я верю, что это возможно, и основные принципы, входящие в физику, те же самые, что и принципы, которыми мы руководствовались при построении индуктивной логики для простых языков, содержащих одноместные предикаты.

Когда я говорю, что считаю возможным применить индуктивную логику к языку науки, я не имею в виду, что возможно сформулировать совокупность правил, фиксируемых раз и навсегда, которые бы автоматически, в любой области приводили от фактов к теориям. Кажется сомнительным, например, что можно сформулировать правила, которые позволяли бы ученому обозреть сотни тысяч предложений, выражающих различные отчеты о наблюдениях, и затем путем механического применения этих правил найти общую теорию (систему законов), которая объяснила бы наблюдаемые явления. Это обычно невозможно сделать, потому что теории, в частности более абстрактные, имеют дело с такими ненаблюдаемыми объектами, как частицы и поля, и используют понятийную структуру, которая превосходит структуру, используемую для описания наблюдаемого материала. При создании новой системы теоретических понятий и с ее помощью теории нельзя просто следовать механической процедуре, основанной на фиксированных правилах. Для этого требуется творческая изобретательность. Этот пункт иногда выражают посредством утверждения, что не может быть индуктивной машины, го есть вычислительной машины, в которую мы могли бы ввести все предложения, относящиеся к наблюдениям, и на выходе получить точную систему законов, которые объяснили бы наблюдаемое явление. Я согласен, что не может быть создана индуктивная машина, если цель

78

машины состоит в изобретении новых теорий. Я верю, однако, что может быть построена индуктивная машина со значительно более скромной целью. Если даны некоторые наблюдения е и гипотеза h (в форме, скажем, предсказания или даже множества законов), тогда я уверен, что во многих случаях путем чисто механической процедуры возможно определить логическую вероятность, или степень подтверждения h на основе е. Для этого понятия вероятности я употребляю также термин «индуктивная вероятность», потому что убежден, что это есть основное понятие, которое входит во все индуктивные рассуждения, и главная задача индуктивного рассуждения состоит в оценке этой вероятности.

Если мы рассмотрим современную ситуацию в теории вероятностей, то обнаружим споры между защитниками частотной теории и теми, кто, подобно Кейнсу, Джеф-фрису и мне, говорит в терминах логической вероятности. Имеется, однако, одно важное отличие между моей концепцией и позицией Кейнса и Джеффриса. Они отрицают частотное понятие вероятности. Я нет. Я считаю, что частотное понятие вероятности, называемое также статистической вероятностью, является хорошим научным понятием, вводится ли оно путем явного определения, как в системах Мизеса и Рейхенбаха 1, или же определяется с помощью аксиом и правил практического применения (без явного определения), как это делается в современной математической статистике. В обоих случаях я рассматриваю это понятие как важное для науки. По моему мнению, логическое понятие вероятности есть второе понятие, полностью иной природы, хотя и одинаково важное.

Утверждения, приписывающие значения статистической вероятности, не являются чисто логическими. Они представляют фактические высказывания в языке науки. Когда медик говорит, что вероятность того, что пациент будет положительно реагировать на некоторую инъекцию, «очень хороша» (или, возможно, он использует численное значение и скажет, что она равна 0,7), то он делает утверждение в медицинской науке. Когда физик

1. Наряду с явным определением Рейхенбах прибегает и к аксиоматическому построению теории вероятностей. Правда, впоследствии он дает своим аксиомам частотную интерпретацию. — Прим. перев.

79

говорит, что вероятность некоторого радиоактивного явления такая-то, то он делает утверждение в физике. Понятие статистической вероятности есть естественнонаучное, эмпирическое понятие. Высказывания о статистической вероятности являются «синтетическими» утверждениями, утверждениями, которые не могут быть разрешены логикой, а основываются на эмпирических исследованиях. В этом пункте я полностью согласен с Мизесом, Рейхенбахом и статистиками. Когда мы говорим, что «статистическая вероятность выпадения очка при бросании данной игральной кости составляет 0,157», то мы устанавливаем научную гипотезу, которая может быть проверена только посредством серии наблюдений. Это эмпирическое утверждение, потому что только эмпирическое исследование может подтвердить его.

С развитием науки вероятностные утверждения такого рода, по-видимому, будут становиться все более важными не только в общественных науках, но также и в современной физике. Статистическая вероятность входит не только в те области, где она необходима из-за незнания (как в общественных науках или физике, когда физик вычисляет путь молекулы в жидкости), но и в качестве существенного фактора в основные принципы квантовой теории. Вот почему крайне важно для науки, иметь теорию статистической вероятности. Такие теории были развиты статистиками и, иным путем, Мизесом и Рейхенбахом.

С другой стороны, мы также нуждаемся в понятии логической вероятности. Оно особенно полезно в метанаучных высказываниях, то есть высказываниях о науке. Мы говорим ученому: «Вы заявляете мне, что я могу положиться на этот закон, делая некоторые предсказания. Как надежно установлен закон? В какой мере заслуживает доверия предсказание?» Сегодня ученый может ответить или не ответить на метанаучный вопрос такого рода в количественных терминах. Но я уверен, что, как только индуктивная логика будет достаточно развита, он сможет ответить: «Эта гипотеза подтверждается в степени 0,8 на основе известных свидетельств». Ученый, отвечающий таким образом на вопрос, высказывает утверждение о логическом отношении между свидетельством и рассматриваемой гипотезой. Род вероятности, который он имеет в виду, я называю также

80

«степенью подтверждения». Его утверждение о том, что значение этой вероятности равно 0,8, в этом контексте является не синтетическим (эмпирическим), а аналитическим высказыванием. Оно является аналитическим потому, что не требует никакого эмпирического исследования. Оно выражает логическое отношение между предложением, которое формулирует свидетельство, и предложением, которое формулирует гипотезу.

Заметьте, что при формулировании аналитических утверждений о вероятности всегда необходимо явно характеризовать свидетельство. Ученый не должен говорить: «Гипотеза имеет вероятность 0,8». Он должен добавить: «в отношении к такому-то свидетельству». Если это не добавляется, тогда его высказывание может быть понятно как утверждение о статистической вероятности. Если он имеет в виду логическую вероятность, тогда его высказывание представляет собой эллиптическое высказывание, в котором пропущена важная часть. В квантовой теории, например, часто трудно узнать, имеет ли физик в виду статистическую или логическую вероятность. Физики обычно не проводят такого различия. Они говорят так, как если бы имелось одно-единственное понятие вероятности, с которым они работают. «Мы имеем в виду тот вид вероятности, который удовлетворяет обычным аксиомам теории вероятностей», — могут сказать они. Но обычным аксиомам теории вероятностей удовлетворяют оба понятия, поэтому это замечание не разъясняет вопроса о том, какой тип вероятности они точно имеют в виду.

Подобная же неясность обнаруживается в высказываниях Лапласа и других авторов, разрабатывавших классическую концепцию вероятности. Они не осознавали, как это мы делаем сегодня, различие между логической и частотной вероятностью. По этой причине не всегда можно определить, какое понятие вероятности они имели в виду. Я убежден, однако, что большей частью, но не всегда, конечно, они имели в виду логическое понятие. Мизес и другие частотники, по моему мнению, не всегда были правы в своей критике классической школы. Мизес считал, что там не существовало никакого другого научного понятия вероятности, кроме частотного, поэтому он предполагал, что если авторы классического периода вообще что-либо понимали под

81

«вероятностью», то они должны были иметь в виду статистическую вероятность. Конечно, они не были в состоянии сказать явно и отчетливо, что они понимали под устойчивой относительной частотой (in the long run), но, согласно Мизесу, это есть именно то, что они имели в виду. Я не согласен с этим. Я уверен, что когда представители классической теории делали некоторые утверждения об априорной вероятности, то они говорили о логической вероятности, которая является аналитической и, таким образом, может быть известна априори. Я не рассматриваю эти утверждения как нарушение принципа эмпиризма, как это делают Мизес и Рейхенбах.

Позвольте мне добавить одно предостережение. После того как я выразил этот взгляд в моей книге по вероятности, многие коллеги — некоторые из них мои друзья — приводили мне отдельные цитаты из работ авторов классической теории и говорили, что эти авторы не могли иметь в виду логическую вероятность. С этим я согласен. В некоторых своих утверждениях авторы классической теории могли иметь в виду не логическую, а, по-видимому, частотную вероятность. Тем не менее я убежден, что их основным понятием была логическая вероятность. Я считаю, что намек на это содержится даже в заголовке первой систематической работы в этой области — «Искусство догадок» («Ars conjectandi») Якоба Бернулли. Мизесовская теория вероятностей не есть искусство догадок. Она представляет математически сформулированную аксиоматическую теорию массовых (случайных) явлений и не содержит ничего такого, что нужно было бы угадывать. То, что имел в виду Бернулли, есть совершенно другое. Мы наблюдаем некоторые события, говорит он, такие, как способ падения игральной кости, и пытаемся сделать Догадку о том, как она упадет, если мы бросим ее снова. Мы хотим знать, как заключать разумные пари. Для авторов классического периода вероятность была степенью достоверности будущих событий или доверия к ним. Это логическая вероятность, а не вероятность в статистическом смысле 1.

1. Мой общий взгляд на то, что как статистическая, так и логическая вероятность являются законными, хорошими научными понятиями, которые играют различную роль, изложен во II главе книги

82

Я не вхожу здесь в более подробные детали моей точки зрения, потому что она включает многие специальные вещи. Но я рассмотрю одно умозаключение, в которое могут войти одновременно два понятия вероятности. Такое умозаключение встречается тогда, когда либо гипотеза, либо одна из посылок индуктивного вывода содержит понятие статистической вероятности. Мы можем легко усмотреть это, изменив основную схему, которую мы использовали при обсуждении универсальных законов. Вместо универсального закона (1) мы берем в качестве первой посылки статистический закон (1'), который утверждает, что относительная частота (rf)Q относительно Р составляет, скажем, 0,8. Вторая посылка (2), как и прежде, устанавливает, что некоторый индивид а имеет свойство Р. Третье утверждение (3) говорит, что а имеет свойство Q. Это третье утверждение Qa представляет гипотезу, которую мы хотим рассмотреть на основе двух посылок.

В символической форме

(1')rf(Q, P) = 0,8.

(2) Ра.

(3) Qa.

Что мы можем сказать о логическом отношении (3) к (И) и (2)? В предыдущем случае — схеме для универсального закона — мы могли сделать следующее логическое утверждение:

(4) Утверждение (3) логически имплицируется (1) и (2).

Мы не можем сделать такого утверждения в вышеприведенной схеме, потому что новая посылка (Г), слабее, чем прежняя посылка (1). Она скорее устанавли-

«Логические основания вероятности» («Logical Foundations of Probability»), цитировавшейся в предыдущей сноске, и в моей статье 1945 года «Два понятия вероятности» («The Two Concepts of Probability»), перепечатанной в «Readings in Philosophical Analysis», eds. Herbert Feigl and Wilfrid Sellars, New York: Appleton — Century — Crofts, 1949, p. 330—348, и в «Readings in the Philosophy of Science», eds. Herbert Feigl and May Brodbeck, New York, Appleton — Century — Crofts, 1953, p. 438—455. Более популярно написанную защиту той же самой точки зрения см. в моей статье «Что такое вероятность» («What is Probability?», «Scientific American», 189 (September, 1953).

83

вает относительную частоту, чем универсальный закон. Мы можем, однако, сделать следующее утверждение, которое также устанавливает логическое отношение, но скорее в терминах логической вероятности, или степени подтверждения, чем импликации:

(4') Утверждение (3) на основе (1') и (2) имеет вероятность 0,8.

Заметьте, что это утверждение, хотя, подобно (4), не есть логический вывод из (1') и (2), как (4), так и (4') являются утверждениями на том языке, который называют метаязыком. Они представляют логические высказывания относительно трех утверждений: (1) [или (К) соответственно], (2) и (3).

Важно ясно понять, что подразумевают под такими утверждениями, как «статистическая вероятность Q относительно Р есть 0,8». Когда ученые делают такие утверждения, говоря о вероятности в частотном смысле, то не всегда бывает вполне ясно, что они подразумевают под частотой. Является ли это частотой Q в наблюдаемой выборке? Или же это частота Q в рассматриваемой полной популяции? Если число наблюдаемых случаев в выборке очень велико, тогда частота Q в выборке может не отличаться в какой-либо значительной степени от частоты Q в популяции. Тем не менее важно иметь в виду теоретическое отличие, которе существует здесь.

Предположим, что мы желаем узнать, какой процент из сотни тысяч мужчин, живущих в некотором городе, бреется электрической бритвой. Мы решаем опросить одну тысячу этих людей. Чтобы избежать пристрастной выборки, мы должны выбрать тысячу мужчин теми способами, которые разработали специалисты в области современной техники выборки. Предположим, что мы получили репрезентативную выборку и восемьсот людей в этой выборке сообщили, что они бреются электрической бритвой. Наблюдаемая относительная частота этого свойства равна, таким образом, 0,8. Поскольку одна тысяча представляет достаточно большую выборку, то мы можем отсюда заключить, что статистическая вероятность этого свойства в популяции в целом есть 0,8. Строго говоря, это необоснованное заключение. Нам известно только значение частоты в выборке, значение же частоты в популяции неизвестно. Самое лучшее, что мы можем

84

сделать, — это оценить частоту в популяции. Такую оценку нельзя смешивать со значением частоты в выборке. Такие оценки, в общем, будут отклоняться в некотором отношении от наблюдаемой относительной частоты в выборке 1.

Предположим, что (1') известно. Статистическая вероятность относительно Р есть 0,8 (как мы это узнаем, этот вопрос не нуждается здесь в рассмотрении. Мы можем проверить целую популяцию из сотни тысяч человек, опрашивая каждого мужчину в городе). Суждение об этой вероятности есть, конечно, эмпирическое утверждение. Предположим также, что вторая посылка известна: (2) Ра. Мы можем теперь сделать утверждение (4'), которое говорит, что логическая вероятность (3) Qa относительно посылок (1') и (2) есть 0,8. Если, однако, первая посылка представляет не высказывание о статистической вероятности, а утверждение о наблюдаемой относительной частоте в выборке, тогда мы должны принять в расчет размер выборки. Мы можем еще вычислить логическую вероятность, или степень подтверждения, выраженную в утверждении (4), но она не будет точно равняться 0,8. Она будет отклоняться тем способом, который я рассматривал в монографии, упомянутой в предыдущей сноске.

Когда таким способом делается индуктивное умозаключение от образца к популяции, от одного образца к неизвестному будущему образцу или от одного образца к неизвестному будущему случаю, то я говорю об этом как о «косвенном вероятностном умозаключении» в отличие от индуктивного умозаключения, которое делается от популяции к выборке или отдельному случаю. Как я уже отмечал раньше, если знание действительной вероятности в популяции дается в (Г), то корректно приписать утверждению (4) то же самое численное значение для степени подтверждения. Такое умозаключение не является дедуктивным. Оно занимает некоторое промежуточное положение между другими видами индук-

1. Этот вопрос не обсуждается в моей книге «Логические основания вероятности» («Logical Foundations of Probability»), но в небольшой монографии «Континуум индуктивных методов» («The Continuum of Inductive Methods», University of Chicago Press, 1952) я разработал вычислительную технику для оценки относительной частоты на основе наблюдаемого образца.

85

тивных и дедуктивных умозаключений. Некоторые авторы называют их даже «дедуктивными вероятностными умозаключениями», но я предпочитаю говорить о них скорее как об индуктивных, чем дедуктивных умозаключениях. Всякий раз, когда статистическая вероятность для популяции задана и мы пытаемся определить вероятность для выборки, значения, приписываемые ей моей индуктивной логикой, являются теми же самыми, которые дают им статистики. Если, однако, мы делаем косвенное умозаключение от выборки к популяции или от выборки к будущему отдельному случаю или же к будущей конечной выборке [эти два последних случая я называю «умозаключениями предсказания» (predictive inferences)], тогда я уверен, что методы, используемые статистиками, не являются адекватными. В моей монографии «Континуум индуктивных методов» (The Continuum of Inductive Methods») я в деталях рассмотрел причины моего скептицизма.

Основные пункты, которые я желал бы подчеркнуть здесь, следующие: оба типа вероятностей — статистическая и логическая — могут встречаться вместе в той же самой цепи рассуждения. Статистическая вероятность есть часть объектного языка науки. К утверждениям статистической вероятности мы можем применить логическую вероятность, которая представляет часть метаязыка науки. По моему убеждению, эта точка зрения дает значительно более ясную картину статистических умозаключений, чем ту, которую мы обычно находим в книгах по статистике, и это обеспечивает более основательный фундамент для построения адекватной индуктивной логики науки.

Глава 4

экспериментальный метод

Одна из наиболее важных отличительных черт современной науки в сравнении с наукой раннего периода состоит в подчеркивании того, что называют «экспериментальным методом». Как мы уже видели, все эмпирическое познание в конечном счете основывается на наблюдениях, но эти наблюдения могут быть получены

86

двумя существенно отличными способами. В неэкспериментальных ситуациях мы играем пассивную роль. Мы просто смотрим на звезды или на некоторые цветы, замечаем сходства и различия и пытаемся обнаружить регулярности, которые могут быть выражены как законы. В экспериментальных исследованиях мы играем активную роль. Вместо того чтобы быть случайными зрителями, мы что-то делаем для получения лучших результатов, чем те, которые мы получаем путем простого наблюдения явлений природы. Вместо того чтобы ждать, когда природа обеспечит нам ситуацию для наблюдения, мы пытаемся создать такую ситуацию. Короче, мы делаем эксперименты.

Экспериментальный метод продемонстрировал свою громадную плодотворность. Огромный прогресс, достигнутый в физике в последние два столетия и особенно в последние несколько десятилетий, был бы невозможен без экспериментального метода. В таком случае можно спросить, почему экспериментальный метод не используется во всех областях науки?

В некоторых областях его не так легко использовать, как в физике. В астрономии, например, мы не можем сообщить планете толчок в некотором другом направлении и посмотреть, что с ней случится. Астрономические объекты вне пределов досягаемости. Мы можем только наблюдать и описывать их. Иногда астрономы могут в лаборатории создавать условия, подобные, скажем, условиям на поверхности Солнца или Луны, а затем наблюдать, что случится при этих условиях. Но в действительности это есть не астрономический, а физический эксперимент, который имеет лишь некоторое отношение к астрономическому познанию.

Совершенно другие причины препятствуют ученым в области общественных наук производить эксперименты с большими группами людей. Эти ученые производят эксперименты с группами, но обычно это малые группы людей. Если мы хотим узнать, как реагируют люди, когда они не в состоянии получить воду, мы можем взять двух или трех человек, установить им диету без жидкости и наблюдать их реакцию. Но это не покажет нам, как будут реагировать большие общины, когда будет отключено водоснабжение. Было бы интересным экспериментом — отключить водоснабжение, например,

87

Нью-Йорка. Станут ли люди неистовствовать или сделаются апатичными? Попытаются ли они организовать революцию против городского управления? Конечно, никакой ученый в области общественных наук не будет планировать постановку такого эксперимента, потому что он знает, что общество не позволит ему этого. Люди не разрешат ученым играть их насущными нуждами.

Даже тогда, когда по отношению к общине не проявляется никакой действительной жестокости, часто существует сильное общественное противодействие экспериментам с группами людей. Например, в Мексике имеются племена, которые исполняют ритуальные танцы, когда происходит затмение солнца. Члены этих племен убеждены, что таким путем они могут задобрить бога, который вызывает эти затмения. Наконец свет солнца появляется снова. Предположим, что группа антропологов попытается убедить этих людей, что их ритуальные танцы не имеют никакого отношения к появлению солнца. В этих целях они предложат племени в качестве эксперимента не исполнять танцев во время очередного солнечного затмения и посмотреть, что из этого выйдет. Члены племени возмутятся этим. Для них это будет означать подвергнуть себя риску остаться навсегда в темноте. Они так сильно верят в свою версию, что не захотят подвергаться испытанию. Таким образом, вы видите, что существуют препятствия для экспериментов в общественных науках даже тогда, когда ученые убеждены, что никакой социальной тревоги эти эксперименты не вызовут, если будут осуществлены. В общественных науках ученые ограничиваются в общем тем, что они могут узнать из истории и из экспериментов с индивидами и малыми группами.

Экспериметальный метод особенно плодотворен в тех областях, где существуют количественные понятия, которые могут быть точно измерены. Как ученый планирует эксперимент? Трудно описать общую природу эксперимента, поскольку существует так мною его разновидностей, что можно указать только немногие их общие черты.

Прежде всего мы пытаемся определить существенные факторы, относящиеся к явлению, которое хотим исследовать. Некоторые факторы — но не слишком многие – должны быть оставлены в стороне как несущественные.

88

Например, в экспериментах в области механики, где встречаются колеса, рычаги и тому подобные, мы можем не рассматривать трение. Мы знаем, что трение существует, но полагаем, что его влияние слишком мало, чтобы оправдать усложненный эксперимент, который бы учитывал его. Подобным же образом в экспериментах с медленно движущимися телами мы можем игнорировать сопротивление воздуха. Если мьд имеем дело с очень высокими скоростями, такими, как сверхзвуковая скорость снаряда, то мы не можем больше игнорировать сопротивление воздуха. Короче, ученый не принимает во внимание только те факторы, влияние которых на его эксперимент, как он полагает, будет незначительным. Иногда, чтобы избежать слишком сложного эксперимента, он даже может игнорировать факторы, которые, как он полагает, могут иметь важный эффект.

После того как будут установлены существенные факторы, мы строим эксперимент, в котором некоторые из этих факторов сохраняем постоянными, в то время как другим позволяем изменяться. Предположим, что мы имеем дело с газом в сосуде и пытаемся сохранить его температуру постоянной, насколько это возможно. Мы погружаем сосуд в водяную баню значительно большего объема. (Удельная теплоемкость газа столь мала по сравнению с удельной теплоемкостью воды, чхо, даже если температура газа изменяется моментально из-за сжатия или расширения, она быстро возвращается к прежнему значению.) Или мы можем пожелать сохранить постоянным электрический ток. Это можно сделать с помощью амперметра так, что, когда мы заметим увеличение или уменьшение тока, мы можем изменить сопротивление и сохранить ток постоянным. В таких случаях, как приведенные выше, мы в состоянии сохранить некоторые величины постоянными, пока мы наблюдаем, что происходит, когда изменяются другие величины.

Наша конечная цель состоит в том, чтобы найти законы, связывающие все относящиеся к нему величины. Но если сюда входит очень много факторов, то это может усложнить задачу. С самого начала, таким образом, мы ограничиваем нашу цель законами более низкого уровня, связывающими лишь некоторые факторы. Если имеется k величин, то самый простой первый шаг состоит в том, чтобы поставить эксперимент таким образом,

89

чтобы k-2 величины держать постоянными. Тогда остаются две величины, M1 и M2, которые мы можем свободно изменять. Мы изменяем одну из них и наблюдаем, как ведет себя другая. Возможно, что М2 уменьшается всякий раз, когда M1 увеличивается. Или, может быть, когда mi увеличивается, М2 сначала возрастает, а затем убывает. Значение М2 представляет функцию от значения mi. Мы можем начертить эту функцию в виде кривой на миллиметровке и, возможно, определить уравнение, которое выражает эту функцию. Мы будем иметь тогда ограниченный закон: если величины М3, M4, М5, ... держать постоянными, а M1 увеличивается, тогда М2 изменяется по способу, выраженному некоторым уравнением. Но это только начало. Мы продолжаем наш эксперимент, контролируя другие множества из k-2 факторов так, чтобы мы могли видеть, как функционально связаны другие пары величин. Позже тем же самым способом мы экспериментируем с тройками величин, держа постоянными все величины, кроме трех. В некоторых случаях мы будем в состоянии узнать из наших законов, относящихся к парам величин, некоторые или все законы, относящиеся к тройкам (величин). Затем мы задаемся целью получить еще более общий закон, включающий четыре величины, и, наконец, наиболее общий, иногда весьма сложный зййон, охватывающий все относящиеся к исследованию факторы.

В качестве простого примера рассмотрим следующий эксперимент с газом. Мы делаем грубое наблюдение, что температура, объем и давление газа часто изменяются одновременно. Мы хотим знать точно, как эти три величины соотносятся друг с другом. Четвертым существенным фактором будет состав газа, который мы используем. Мы можем произвести эксперимент с другим газом позднее и сначала решаем держать этот фактор постоянным, используя только чистый водород. Мы помещаем водород в цилиндрический сосуд (см. рис. 4-1) с движущимся поршнем, на который можно положить груз. Мы можем легко измерить объем газа и, изменяя груз на поршне, можем изменять давление. Температура регулируется и измеряется другим способом.

Прежде чем приступить к эксперименту, имеющему целью определить, как связаны три фактора — температура, объем и давление, — нам необходимо осуществить

90

некоторые предварительные эксперименты, чтобы быть уверенными, что не существует никаких других существенных факторов. Мы можем подозревать, что некоторые факторы будут существенными, а некоторые — нет. Например, является ли существенной форма сосуда, содержащего газ? Мы знаем, что в некоторых экспериментах (например, при распределении электрического заряда и его поверхностного потенциала) форма предмета имеет важное значение. Здесь же нетрудно определить, что форма сосуда несущественна, важен только его объем.

Рис. 4-1.

Мы можем использовать наше знание природы, чтобы исключить многие другие факторы. Астролог может войти в лабораторию и спросить: «Вы проверили, как сегодня расположены планеты? Их положение может иметь некоторое влияние на ваш эксперимент». Мы рассматриваем это как несущественный фактор, ибо полагаем, что планеты находятся слишком далеко, чтобы оказать такое влияние.

Наше предположение о несущественности влияния планеты является верным, но было бы ошибкой думать, что мы можем автоматически исключить различные факторы просто потому, что, как мы полагаем, они не оказывают никакого влияния на процесс. Не существует никакого способа убедиться в этом, пока не будут проведены экспериментальные испытания. Вообразите, что вы живете до изобретения радио. Кто-то ставит на ваш стол ящик и говорит вам о том, что если кто-либо поет

91

в некотором месте на расстоянии тысячи миль отсюда, то вы услышите, как прибор в этом ящике исполняет точно ту же самую песню, в том же самом тоне и ритме. Поверите ли вы этому? Вероятно, вы ответите: «Невозможно». Не существует никаких электрических проводов, связанных с этим ящиком. Из моего опыта я знаю, что ничто происходящее за тысячу миль отсюда не может иметь какого-либо влияния на происходящее в этой комнате».

Это точно то же самое рассуждение, посредством которого мы пришли к выводу, что положение планет не может влиять на наш эксперимент с водородом! Очевидно, мы должны быть очень осторожными. Иногда существуют воздействия, о которых мы не можем знать, пока они не обнаружены. По этой причине самый первый шаг в нашем эксперименте, определяющий существенные факторы, иногда является трудным. Кроме того, этот шаг часто явно не указывается в отчетах об исследованиях. Ученый описывает только приборы, которые он использует, эксперимент, который осуществляет, и то, что он открывает в отношениях между некоторыми величинами. Он не добавляет к этому: «И кроме того, я обнаружил, что такие-то факторы не оказывают влияния на результат». В большинстве случаев, когда область, в которой происходят исследования, достаточно известна, ученый будет считать само собой разумеющимся, что другие факторы являются несущественными. Он может быть совершенно прав, но в новых областях следует быть крайне осторожным. Конечно, никто не будет считать, что на лабораторный эксперимент может повлиять то обстоятельство, смотрим ли мы на приборы с расстояния в десять дюймов или десять футов или же находимся ли мы в добром или дурном расположении духа. Эти факторы, вероятно, несущественны, но абсолютно быть уверенными в этом мы не можем. Если кто-то подозревает, что эти факторы существенны, то должен быть проведен эксперимент, исключающий их.

Практические соображения будут удерживать нас, конечно, от испытания каждого фактора, который может быть существенным. Могут быть испытаны тысячи маловероятных возможностей, но просто не будет времени, чтобы исследовать их все. Мы должны руководствоваться здравым смыслом и уточнять свои предположения,

92

только если случится нечто неожиданное, заставляющее нас рассматривать в качестве существенного фактор, который мы прежде игнорировали. Будет ли цвет листьев на деревьях вне лаборатории влиять на длину волны света, который мы используем в эксперименте? Будут ли части прибора функционировать иначе в зависимости от того, находится ли их законный владелец в Нью-Йорке или Чикаго, или же в зависимости от его отношения к эксперименту? Очевидно, что мы не имеем времени, чтобы испытать такие факторы. Мы предполагаем, что духовное состояние владельца оборудования не имеет никакого физического влияния на эксперимент, но члены некоторых племен могут думать иначе. Они могут верить в то, что боги будут помогать эксперименту, если владелец прибора хочет, чтобы эксперимент был осуществлен, и не будут, если собственник этого не хочет. Существующие верования могут, таким образом, влиять на то, что считать существенным. В большинстве случаев ученый, размышляя о проблеме, делает обычные догадки о том, какие факторы заслуживают рассмотрения, и, возможно, даже осуществит несколько предварительных экспериментов, чтобы исключить факторы, в которых он сомневается.

Предположим, что мы решили, что существенными факторами в нашем эксперименте с водородом являются температура, давление и объем. В нашем сосуде состав и общее количество газа остаются теми же самыми, потому что мы держим сосуд закрытым. Мы свободны, таким образом, в проверке отношения между тремя факторами. Если мы поддерживаем постоянную температуру, но увеличиваем давление, тогда мы обнаруживаем, что объем изменяется обратно пропорционально давлению, то есть если мы удвоим давление, то объем уменьшится на половину прежней величины. Если мы утроим давление, то объем уменьшится на одну треть. Этот известный эксперимент был осуществлен в семнадцатом столетии ирландским физиком Робертом Бойлем. Закон, который он открыл, известный как закон Бойля, утверждает, что если температура газа в замкнутом сосуде остается постоянной, то произведение объема на давление есть константа.

Затем мы сохраняем постоянным давление (помещая тот же самый груз на поршень), но изменяем темпера-

93

туру. Тогда мы обнаруживаем, что объем увеличивается, когда газ нагревается, и уменьшается, когда газ охлаждается. Путем измерения объема и температуры мы найдем, что объем пропорционален температуре. (Эту зависимость иногда называют законом Шарля в честь французского ученого Жака Шарля.) Мы должны позаботиться о том, чтобы не использовать при измерении ни шкалу Фаренгейта, ни Цельсия, а взять шкалу, в которой нуль является «абсолютным нулем» или равен —273° шкалы Цельсия. Это — «абсолютная шкала», или «шкала Кельвина», введенная лордом Кельвином, английским физиком девятнадцатого века. Теперь легко приступить к экспериментальной верификации общего закона, охватывающего все три фактора. Такой закон фактически предполагается двумя законами, которые мы уже получили, но общий закон имеет большее эмпирическое содержание, чем два закона, взятые вместе. Этот общий закон утверждает, что если количество газа в замкнутом сосуде остается постоянным, то произведение давления на объем равно произведению температуры на R (P*V = T*R). В этом уравнении R представляет константу, которая меняется в зависимости от количества взятого газа. Таким образом, этот общий закон выражает отношение между всеми тремя величинами и является более эффективнгам для предсказаний, чем два других объединенных закона. Если мы знаем значения любых двух из трех переменных величин, тогда мы можем легко предсказать третью.

Этот пример простого эксперимента показывает, как можно сохранить некоторые факторы постоянными, чтобы исследовать зависимости, существующие между другими факторами. Он также показывает — и это очень важно — плодотворность количественных понятий. Законы, определяемые с помощью этого эксперимента, предполагают умение измерять различные величины. Если бы это было не так тогда пришлось бы сформулировать законы качественным образом. Такие законы будут значительно слабее и менее полезны для предсказаний. Без численных значений для давления, объема и температуры самое большее, что можно сказать об одной из величин,— это то, что она остается той же самой, или увеличивается, или уменьшается. Так, мы могли бы сформулировать закон Бойля следующим образом: если

94

температура газа в замкнутом сосуде остается той же самой, а давление увеличивается, тогда объем будет уменьшаться. Когда давление уменьшается, объем увеличивается. Это, конечно, закон. Некоторым образом он даже похож на закон Бойля, но он, однако, значительно слабее его, потому что не дает нам возможности предсказать значение величины. Мы можем предсказать только то, что величина будет возрастать, уменьшаться или останется постоянной.

Недостатки качественного варианта законов для газов станут даже более очевидными, если мы рассмотрим общий закон, выраженный посредством уравнения P*V= T*R. Перепишем его в следующей форме:

Из этого общего уравнения, истолкованного качественно, мы можем вывести слабые варианты закона Бойля и закона Шарля. Предположим, что все три величины — давление, объем, температура — изменяются одновременно и только количество газа (R) остается постоянным. С помощью эксперимента мы обнаруживаем, что как температура, так и давление увеличиваются. Что мы можем сказать тогда об объеме? В этом случае мы не можем даже сказать, увеличивается ли он, или уменьшается, или остается постоянным. Чтобы определить его, мы должны знать отношение, в котором увеличиваются температура и давление. Если температура увеличивается в гораздо большей степени, чем давление, тогда из формулы следует, что объем будет увеличиваться. Но если мы не можем определить численные значения для давления и температуры, то в этом случае мы не можем сделать какого-либо предсказания вообще об этом объеме.

Мы видим, следовательно, как мало можно было бы сделать предсказаний и какими грубыми были бы объяснения, если бы наука ограничивалась качественными законами. Количественные законы в огромной степени превосходят их. Для таких законов мы должны, разумеется, иметь количественные понятия. Эту тему мы подробнее изучим в главе 5.