Часть 3.

Часть II

ИЗМЕРЕНИЕ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ЯЗЫК

97

Глава 5

ТРИ ВИДА ПОНЯТИЙ В НАУКЕ

Понятия науки, так же как и повседневной жизни, условно могут быть разделены на три основные группы: классификационные, сравнительные и количественные.

Под «классификационным понятием» я имею в виду то понятие, которое соотносит предмет с определенным классом. Все понятия таксономии в ботанике и зоологии — различные виды, семейства, роды и т. п. — являются классификационными понятиями. Они значительно различаются по количеству информации, которую дают нам о предмете. Например, если я скажу, что предмет синий, или теплый, или кубический, то я делаю относительно слабое утверждение о предмете. Помещая предмет в более узкий класс, мы увеличиваем информацию о нем, хотя эта информация остается довольно умеренной. Утверждение, что объект есть живой организм, говорит о нем значительно больше, чем утверждение, что он теплый. Утверждение «это — животное» говорит немного больше, а «это — позвоночное» — еще больше. Продолжая суживать классы — млекопитающее, собака, пудель и т. п., — мы увеличиваем количество информации, хотя все еще относительно мало. Классификационные понятия наиболее знакомы нам. Самые первые слова, которые узнает ребенок, — «собака», «кошка», «три» — представляют понятия такого рода.

Более эффективными для выражения информации являются «сравнительные понятия». Они занимают промежуточное положение между классификационными и

98

количественными понятиями. Я считаю желательным обратить на них внимание, потому что даже среди ученых значение и эффективность таких понятий часто недооцениваются. Ученый часто говорит: «Было бы желательно, конечно, ввести количественные понятия — понятия, которые могут быть измерены по соответствующей шкале в моей области. К несчастью, это еще не может быть сделано, поскольку область исследования находится в младенческом состоянии. Мы еще не разработали технику измерения и поэтому должны ограничиться неколичественным, качественным языком. Возможно, что в будущем, когда область исследований более разовьется, мы будем в состоянии разработать количественный язык». Ученый может быть совершенно прав, делая такое утверждение, но он допустит ошибку, если заключит отсюда, что, поскольку он должен говорить в качественных терминах, он обязан ограничить свой язык классификационными понятиями. Часто случается, что, прежде чем в область науки могут быть введены количественные понятия, им предшествуют сравнительные понятия, которые являются значительно более эффективным инструментом для описания, предсказания и объяснения, чем более грубые классификационные понятия.

Классификационные понятия, такие, как «тепло» и «холод», просто определяют место предмета в классе. Сравнительные понятия, такие, как «теплее» или «холоднее», указывают, как относится один предмет к другому в терминах «больше» или «меньше». Задолго до того, как наука разработала понятие температуры, которая может быть измерена, можно было сказать: «Этот предмет теплее, чем другой». Сравнительные понятия такого рода могут быть полезными в значительной степени. Предположим, что для работы, требующей некоторых способностей, нужен тридцатипятилетний человек и компании имеет психолога, задача которого — наилучшим образом охарактеризовать претендентов. Классификационные суждения, конечно, лучше, чем никакие суждения вообще. Психолог может решить, что пять претендентов имеют хорошее воображение, десять из них обладают скорее слабым воображением, а остальные ни слабым, ни сильным. Подобным же образом он может дать грубую классификацию тридцатипятилетних мужчин по их способности, к ручному труду, по математическим способно-

99

стям, их эмоциональной устойчивости и т. п. В известном смысле эти понятия, конечно, могут быть использованы как слабые сравнительные понятия. Мы можем сказать, что у лица с «хорошим воображением» эта способность выше, чем у лица с «бедным воображением». Но если психолог может разработать сравнительный метод, с помощью которого он расположит всех тридцатипятилетних мужчин в один упорядоченный ряд по соответствующей способности, тогда мы будем знать о них значительно больше, чем мы знали тогда, когда они были разделены только на три класса: сильных, слабых и средних.

Мы никогда не должны недооценивать полезности сравнительных понятий, особено в тех областях, где научный метод и количественные понятия до сих пор еще не разработаны. Психология все больше и больше использует количественные понятия, но все же имеются еще такие обширные ее области, в которых могут быть применены только сравнительные понятия. В антропологии почти не имеется количественных понятий. Она в основном оперирует классификационными понятиями и поэтому гораздо больше нуждается в эмпирическом критерии, чтобы развить сравнительные понятия. В таких областях важно разработать такие понятия, которые являются значительно более сильными, чем классификационные, даже если еще невозможно производить в них количественных измерений.

Мне бы хотелось обратить ваше внимание на монографию Карла Гемпеля и Пауля Оппенгейма «Понятие типа в свете новой логики» («Der Typusbegriff im Lichte der neuen Logik»). Она появилась в 1936 году, и в переводе на английский язык заголовок ее гласит: «Понятие типа с точки зрения современной логики» («The concept of type from the point of view of modern logic»). Авторы специально касаются в ней психологии и родственных областей, в которых, как они подчеркивают, понятия типа являются слишком бедными. Когда психологи тратят свое время, классифицируя индивидов, скажем, на интровертных 1, экстровертных 2 и промежуточных между

1. Психологическая характеристика индивидов, сосредоточенных своем внутреннем мире. — Прим. перев.

2. Обозначает индивидов, сосредоточенных на внешнем мире. — Прим. перев.

4* . - 99

100

ними или других типов, то они поступают не наилучшим образом. Иногда мы обнаруживаем стремление к введению эмпирического критерия, который может привести к численным значениям, таким, как в группе типологии Уильяма Шелдона 1. Но в то время, когда Гемпель и Оппенгейм писали свою монографию, имелось очень мало вещей такого рода. Почти каждый психолог, рассматривавший характер, конституцию и темперамент, имел свою собственную систему типов. Гемпель и Оппенгейм указывали, что все эти различные типологии представляли собой несколько больше, чем классификационные понятия. Они подчеркивали тот факт, что, хотя и преждевременно было вводить измерения и количественные понятия, было бы значительным шагом вперед, если бы психологи могли создать действенные сравнительные понятия.

Часто случается, что сравнительные понятия позднее становятся основой для количественных понятий. Классическим примером служит понятие «теплее», которое можно развить в «температуру». Однако, прежде чем заняться деталями того, как устанавливается эмпирический критерий для количественных понятий, будет полезным рассмотреть, как устанавливается этот критерий для сравнительных понятий.

В качестве иллюстрации рассмотрим понятие веса до того, как стало возможным дать ему численные значения. Вначале мы имеем только сравнительные понятия: тяжелее, легче и равные по весу. Какова та эмпирическая процедура, посредством которой мы можем взять любую пару предметов и определить, как они сравниваются в терминах этих трех понятий? Для этого мы нуждаемся только в весах и следующих двух правилах.

1. Если два предмета уравновешивают друг друга на весах, то они имеют равный вес.

2. Если предметы не уравновешивают друг друга, тогда предмет, находящийся на чашке весов, которая опускается вниз, будет тяжелее предмета, лежащего на чашке, которая поднимается вверх.

Строго говоря, пока мы еще не можем сказать, что один предмет имеет «больший вес», чем другой, потому

1. См.: W. Sheldon, The variety of temperament, 1942.— Прим, перев.

101

что мы не ввели еще количественного понятия веса. Но на практике такой язык может быть использован, даже если и неизвестен какой-либо метод для того, чтобы приписать численные значения понятию. Несколько раньше мы говорили, например, об одном человеке, что он обладает «большим воображением», чем другой, хотя и не могли приписать никакого численного значения воображению.

В примере с весами, так же как и во всех эмпирических процедурах, для установления сравнительных понятий важно различать те аспекты процедуры, которые являются чисто конвенциональными, и те, которые таковыми не являются, потому что они зависят от фактов природы или логических законов. Чтобы увидеть это различие, установим более формально два правила, с помощью которых мы определяем понятия «равной тяжести», «тяжелее, чем», «легче, чем». Для равенства мы нуждаемся в правиле для определения наблюдаемого отношения, соответствующего равенству, которое я буду называть Е. Для других двух понятий мы нуждаемся в правиле для определения отношения, которое я буду называть «менее, чем» и символически обозначать через L.

Отношения Е и L определяются посредством эмпирической процедуры. Мы помещаем два тела на чашки весов. Если мы замечаем, что весы остаются в равновесии, тогда мы говорим, что между двумя телами имеет место отношение Е, касающееся свойства весомости. Если мы заметим, что одна чашка весов поднимается вверх, а другая опускается вниз, тогда мы скажем, что между двумя телами относительно свойства весомости имеет место отношение L.

Может показаться, что для определения Е и L мы используем чисто конвенциональную процедуру. Но это не так. Если бы не было некоторых условий, которым удовлетворяют отношения, которые мы выбрали, они адекватно не могли бы служить в качестве Е и L. Таким образом, эти отношения не являются произвольно выбранными. Они применяются ко всем телам, которые имеют вес. Это множество предметов есть «область» наших сравнительных понятий. Если отношения Е к L имеют силу для этой области, тогда становится возможным расположить все предметы данной области в виде стра-

102

тифицированной структуры, которую иногда называют «квазисериальным расположением». Лучше всего это может быть объяснено с помощью некоторых терминов из логики отношений. Отношение Е, например, должно быть «симметричным» (если это отношение имеет место между двумя любыми телами а и b, тогда оно также должно иметь место между b и а). Отношение Е должно быть также «транзитивным» (если отношение имеет место между а и b и между бис, тогда оно должно иметь место также между а и с). Мы можем изобразить это, использовав точки для представления тел и двойные стрелки для указания отношения равенства.

Ясно, что, если бы мы выбрали для Е отношение, которое не является симметричным, тогда оно не было бы подходящим для наших целей. Мы могли бы тогда сказать, что один предмет имеет тот же самый вес, что и другой, но нельзя было бы утверждать, что второй предмет имеет тот же вес, что и первый. Это, конечно, не тот способ, при помощи которого мы хотим использовать термин «тот же самый вес». Равновесие чашек весов есть симметричное отношение. Если два предмета находятся в равновесии, то они будут уравновешивать друг друга и после того, как поменяют свои места на чашках весов. Е должно быть, таким образом, симметричным отношением. Подобно этому, мы найдем, что если а находится в равновесии с b, a b — в равновесии с с, тогда а будет в равновесии с с. Отношение Е является, следовательно, транзитивным. Если Е транзитивно и симметрично, то оно должно быть также «рефлексивно», то есть любой предмет равен по весу себе. В логике отношений отношение, являющееся симметричным и транзитивным, называется отношением «эквивалентности». Очевидно, что наш выбор отношения Е не произволен. Мы выбираем в качестве Е равновесие чашек весов потому, что это отношение оказывается отношением эквивалентности.

Отношение L не симметрично; оно асимметрично,

103

Если а легче, чем b, то b не может быть легче, чем а. L транзитивно: если а легче, чем b, a b легче, чем с, тогда а легче, чем с. Эта транзитивность L, подобно свойствам отношения Е, так нам знакома, что мы забываем о необходимости эмпирической проверки для того, чтобы быть уверенными в том, что она применима к понятию веса. Мы кладем а и b на две чашки весов, и а опускается вниз. Затем мы помещаем на весы b и с и замечаем, что b опускается вниз. Если мы теперь положим на весы а и с, то мы надеемся, что а опустится вниз. В другом мире, где наши законы природы не имеют силы, а может подняться вверх. Если это случится, тогда отношение, которое мы проверяем, не может быть названо транзитивным и, таким образом, не может служить в качестве L. Мы можем изобразить отношение L, транзитивное и асимметричное, с помощью отдельных стрелок от одной точки к другой.

Если отношения E и L имеют место для всех предметов данной области, то это допускает возможность расположения всех этих предметов в квазисериальном порядке, изображенном на рис. 5-1. (см. стр. 104).

На самом нижнем уровне, в слое А, мы имеем все те предметы, которые равны по весу, но легче, чем все предметы, находящиеся не в этом слое. Там может быть только один такой предмет, либо много тысяч. На рис. 5-1 показано четыре предмета. В слое В мы имеем другое множество равных по тяжести предметов, связанных друг с другом отношением Е. Все эти предметы тяжелее, чем предметы слоя А, и легче, чем все предметы, не принадлежащие ни к A, ни к В. Эти слои продолжают подниматься вверх, пока мы, наконец, не достигнем слоя, состоящего из самых тяжелых предметов. Если бы эмпирические испытания не показывали, что предметы Данной области могут быть представлены в этом квазисериальном расположении, тогда отношения E и L

104

не были бы подходящими отношениями для определения соответственно сравнительных понятий равного веса и меньшего веса.

Все это вы можете найти с подробностями в десятом и одиннадцатом разделах монографии Гемпеля «Основы образования понятий в эмпирической науке» («Fundamentals of Concept Formation in Empirical Science») 1.Он там говорит, что существуют четыре условия, которым должны удовлетворять Е и L:

Более Высокие слои

Слой С

Слой В

Слой А

Puc. 5-1.

1. Е должно быть отношением эквивалентности.

2. Е и L должны исключать друг друга. Ни одна

пара предметов не может быть равной по тяжести и в то же самое время соотноситься так, чтобы один предмет был легче другого.

3. L должно быть транзитивным.

4. Для любых двух предметов а и b должен иметь

место один из трех следующих случаев. (Фактически достаточно сказать, что имеет место по

1. «International Encyclopedia of Unified Science», Chicago, University of Chicago Press, 1952, Vol. 2, № 1.

105

крайней мере один случай. То, что имеет место точно один случай, следует из других условий.)

a) Е имеет место между двумя предметами;

b) L имеет место между а и b;

c) L имеет место между b и а.

Другими словами, любые два предмета, которые обладают весом, являются либо равными по весу, либо а легче, чем b, либо b легче, чем а.

Если любые два отношения Е и L удовлетворяют всем этим четырем требованиям, тогда мы можем сказать, что они представляют квазисериальный порядок, который можно изобразить стратифицированным способом, показанным на рис. 5-1. С помощью отношения эквивалентности Е мы можем разделить все предметы на эквивалентные классы. Затем с помощью отношения L мы можем расположить эти классы в последовательном порядке и таким способом построить целую схему упорядоченных слоев (strata). Пункт, который мне бы хотелось здесь подчеркнуть, состоит в том, что сравнительные понятия совершенно независимо от того, применяются ли они к фактам природы или нет, связаны логической структурой отношений.

Не так обстоит дело с классификационными понятиями. Чтобы определить понятие класса, мы можем использовать любое условие, которое пожелаем. Конечно, если мы включим логически противоречивые условия, говоря о предмете, что он имеет вес в три фунта и в то же самое время меньше, чем в один фунт, тогда мы определяем класс, который не будет иметь ни одного члена в любом из возможных миров. За исключением этого, мы свободны определять класс любым непротиворечивым способом, каким мы пожелаем, независимо от того, имеются ли члены этого класса в нашем мире или нет. Классическим примером является понятие единорога. Мы определяем единорога как животное, имеющее форму лошади, но с прямым рогом на лбу. Это совершенно правильное определение в том смысле, что оно придает значение термину «единорог». Оно определяет класс. Этот класс бесполезен для зоолога, потому что он пуст в эмпирическом смысле — он не имеет ни одного члена, — но этот вопрос решается не логиком.

Относительно сравнительных понятий ситуация совершенно отличная. В отличие от понятий класса они

106

заключают в себе сложную структуру логических отношений. Если мы вводим сравнительные понятия, то не можем свободно отвергать или модифицировать их структуру. Четыре требования, установленные для них Гемпелем, должны быть выполнены. Таким образом, мы видим, что сравнительные понятия науки в двух отношениях не являются целиком условными: они должны применяться к фактам природы и обязаны соответствовать логической структуре отношений.

Теперь мы переходим к «количественным понятиям». Каждое количественное понятие имеет соответствующую пару сравнительных понятий, которые в развитых областях науки обычно служат в качестве первого шага к количественному понятию. В примерах, которые мы приводили, сравнительные понятия меньшего веса и равного веса легко приводили к понятию веса, который может быть измерен и выражен числом. Мы будем обсуждать природу количественных понятий; почему они являются столь полезными, в каких областях они могут быть применены и существуют ли области, в которых они не могут быть использованы. Этот последний пункт является крайне важным в методологии науки, и по этой причине мы обсудим его подробнее. Однако, прежде чем приступить к этому вопросу, я сделаю несколько общих предварительных замечаний, которые станут яснее в ходе нашей дискуссии, но они должны быть упомянуты теперь.

Прежде всего мы должны подчеркнуть, что различие между качественным и количественным является не различием в природе, а различием в нашей концептуальной системе, мы можем сказать, в языке, если под языком подразумевать систему понятий. Я употребляю здесь термин «язык» в том смысле, в каком употребляют его логики, а не в смысле английского или китайского языков. Мы имеем язык физики, язык антропологии, язык теории множеств и т. п. В этом смысле язык устанавливается с помощью правил составления словаря, правил построения предложений, правил логического .вывода из этих предложений и других правил. Виды понятий, которые встречаются в научном языке, крайне важны. Вот почему я хочу сделать ясным, что различие между качественным и количественным есть различие между языками.

107

Качественный язык ограничивается предикатами (например, «трава — зеленая»), в то время как количественный язык вводит то, что называют символами функторов, то есть символы для функций, которые имеют численное значение. Это важно подчеркнуть потому, что широко распространен взгляд, особенно среди философов, что в природе существуют особенности двух родов — качественная и количественная. Некоторые философы утверждают, что современная наука, поскольку она все больше и больше обращает свое внимание на количественные черты, игнорирует качественный аспект природы и, таким образом, дает целиком искаженную картину мира. Этот взгляд является совершенно ошибочным, и мы можем увидеть его ошибочность, если введем отличие в соответствующем месте. Когда мы наблюдаем природу, мы не можем спросить: «Относятся ли явления, которые я вижу здесь, к качественным или количественным явлениям?» Это неправильно поставленный вопрос. Если кто-то описывает эти явления в некоторых терминах, определяя эти термины и давая правила для их употребления, тогда мы можем спросить: «Относятся ли эти термины к количественному языку или же они служат терминами доколичественного, качественного языка?»

Другой важный пункт, состоит в том, что соглашения играют очень важную роль при введении количественных понятий. Мы не должны недооценивать эту роль. С другой стороны, мы должны также позаботиться о том, чтобы не переоценивать эту конвенциональную сторону. Это делается не часто, но некоторые философы поступают так. В качестве примера может служить Гуго Динглер в Германии. Он пришел к полностью конвенционалист-ской точке зрения, которую я считаю ошибочной. Он говорит, что все понятия и даже законы науки являются делом конвенций. По моему мнению, он идет слишком далеко. Пуанкаре также обвиняли в конвенционализме в этом радикальном смысле, но, я думаю, это происходит из-за непонимания его сочинений. Он действительно часто подчеркивал важную роль, которую играют конвенции в науке, но также хорошо осознавал роль эмпирических компонентов. Он знал, что мы не всегда свободны сделать произвольный выбор при построении системы науки; мы Должны приспособить нашу систему к фактам природы, когда обнаруживаем их. Природа обеспечивает факторы

108

в ситуации, которые находятся вне нашего контроля. Пуанкаре может быть назван конвенционалистом только в том случае, если под этим имеется в виду исключительно то, что он был философом, который больше, чем предыдущие, подчеркивал огромную роль конвенций. Но он не был радикальным конвенционалистом.

Прежде чем заняться ролью измерения при разработке количественных понятий, мы должны упомянуть, что существует более простой и значительно ранее Применявшийся количественный метод — метод счета. Если бы сначала мы не обладали способностью считать, тогда мы не в состоянии были бы и измерять. Счет не требует ничего, кроме наличия неотрицательных чисел. Я говорю «неотрицательных чисел», а не просто «положительных», потому что нуль также есть результат счета, если мы рассматриваем счет в достаточно широком смысле. Если дан конечный класс — скажем, класс всех стульев в этой комнате, — то счет представляет метод, посредством которого мы определяем кардинальное число этого класса. Мы считаем стулья — один, два, три и т. д., — пока мы не закончим на счете двадцать. Предположим, мы хотим сосчитать число роялей в комнате. Мы оглядываемся вокруг и не видим ни одного рояля, поэтому мы говорим, что кардинальное число их есть нуль. Это может рассматриваться как вырожденный случай счета. Во всяком случае, нуль есть число, и оно может быть приписано классу в качестве его кардинального числа. В таких случаях мы обычно называем его нуль-классом.

Та же самая процедура счета дает нам кардинальное число конечного класса последовательных событий. Мы считаем число ударов грома, которые слышим во время грозы, или число ударов часов. Вероятно, этот тип счета возник в истории раньше, чем счет классов одновременно существующих вещей, таких, как стулья в комнате. Действительно, именно таким способом ребенок сперва учится считать. Он ходит по комнате, притрагиваясь к каждому отдельному стулу, и произносит при этом числительное. То, что он действительно считает, представляет ряд прикосновений. Если вы попросите ребенка сосчитать группу деревьев вдали, то это может оказаться для него трудным, потому что он едва ли может указать на деревья, одно за другим, пальцем и осуществить такого рода процедуру соотнесения. Но если он аккура-

109

тем в счете предметов путем их соотнесения с числами, то, удостоверившись, что он указывает на каждое дерево один и только один раз, мы можем сказать, что существует изоморфизм между числом деревьев и числом такого рода указаний. Если число таких указаний равно восьми, то мы приписываем то же кардинальное число' классу деревьев, находящихся вдали.

Ребенок старшего возраста или взрослый может сосчитать деревья, не указывая на них. Но если это не маленькое число, подобно трем или четырем, которое может быть схвачено одним взглядом, тогда он концентрирует свое внимание на первом дереве, затем на втором и т. д. Процедура все еще остается процедурой счета последовательных событий. То, что кардинальное число, получаемое таким путем, действительно служит кардинальным числом класса, может быть показано путем формального доказательства, но мы не будем входить здесь в эти детали. Существенно то, что при счете класса предметов мы фактически считаем нечто другое — последовательность событий. Затем на основе изоморфизма (одно-однозначного соответствия между событиями и предметами) мы делаем заключение, что кардинальное число событий является также кардинальным числом класса.

Логик всегда обнаруживает столько сложностей в таких простых вещах! Даже счет, самый простой из всех количественных методов, при более глубоком анализе оказывается не таким простым, как кажется на первый взгляд. Но раз мы можем считать, мы можем дальше заняться правилами измерения, как они объясняются в главе 6.

Глава 6

ИЗМЕРЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОНЯТИЙ

Если факты природы должны быть описаны в количественных понятиях, понятиях с численными значениями, мы должны иметь процедуры для получения этих значений. Самой простой такой процедурой, как мы видели в предыдущей главе, является счет. В этой главе мы исследуем более тонкую процедуру измерения. Счет дает

110

только такие значения, которые выражаются целыми числами. Измерение идет дальше этого. Оно дает не только такие значения, которые могут быть выражены рациональными числами (целые числа и дроби), но также значения, которые могут быть выражены иррациональными числами. Это делает возможным применение мощных математических средств, таких, как анализ. В результате этого в огромной степени увеличивается эффективность научного метода.

Первое важное обстоятельство, которое мы должны ясно понять, состоит в том, что для определения значения таких терминов, как «длина» и «температура», мы должны иметь правила для процесса измерения. Эти правила представляют не что иное, как правила, которые показывают нам, как приписывается некоторое число определенному телу или процессу, так чтобы мы могли сказать, что это число представляет значение величины для рассматриваемого тела. В качестве примера того, как это может быть сделано, возьмем понятие температуры вместе со схемой из пяти правил. Правила будут представлять процедуру, посредством которой может быть измерена температура.

Первые два правила этой схемы мы обсуждали в предыдущей главе как правила для определения сравнительных понятий. Однако теперь мы должны рассматривать их как правила для определения количественного понятия, которое мы будем называть величиной М.

Правило 1, для величины М, характеризует эмпирическое отношение Е. Правило устанавливает, что, если отношение Ем имеет место между двумя предметами а и Ь, эти два предмета будут иметь равные значения величины М. В символической форме:

Если Ем (а, b), то М(а) = М(b).

Правило 2 характеризует эмпирическое отношение LM. Это правило говорит, что, если отношение LM имеет место между а и Ь, значение величины М будет меньше для а, чем для b. В символической форме:

Если LM(a, b), то М(а)<М(b).

Прежде чем перейти к другим трем правилам нашей схемы, мы посмотрим, как два предыдущих правила применялись к донаучному, сравнительному понятию темпе-

110

ратуры, которое впоследствии было заменено с помощью количественной процедуры. Вообразим себе, что мы живем в эпоху до изобретения термометра. Как мы решаем, что два предмета являются одинаково теплыми или же один из них теплее, чем другой? Мы прикасаемся к каждому предмету рукой. Если мы чувствуем, что ни один из них не теплее, чем другой (отношение Е), тогда мы скажем, что они одинаково теплые. Если а ощущается как менее теплый, чем b (отношение L),.тогда мы скажем, что а является менее теплым, чем b. Но все это субъективные методы, методы очень неточные, относительно которых трудно достичь согласия между различными наблюдателями. Одно лицо может ощущать, что а теплее, чем b другой может прикоснуться к тем же самым двум предметам и считать, что истинно обратное. Воспоминания о тепловых ощущениях настолько смутны, что человеку становится невозможным решить, был ли предмет теплее в одно время или же три часа назад. По этим причинам субъективные методы установления отношений «одинаково теплое» (Е) и «менее теплое» (L) дают очень мало пользы в эмпирических поисках общих законов.

Необходим объективный метод для определения температуры— метод, более точный, чем наши тепловые ощущения, и с результатами которого обычно будут согласны самые разные люди.

Термометр обеспечивает именно такой метод. Предположим, что мы хотим определить изменение температуры воды в сосуде. Для этого мы опускаем ртутный термометр в воду. Когда вода нагревается, ртуть расширяется и поднимается в трубке; когда она охлаждается, ртуть сжимается и опускается вниз. Если на трубке имеется отметка, указывающая высоту ртути, то легко заметить, находится ли ртуть выше или ниже этой отметки, так что два наблюдателя, вероятно, не будут спорить об этом. Если я сегодня замечаю, что жидкость находится выше отметки, то не представляет никакой трудности вспомнить, что вчера она была ниже этой отметки. С полным доверием я могу заявить, что сегодня термометр регистрирует более высокую температуру, чем вчера. Легко видеть, как с помощью этого инструмента могут быть определены отношения Ет и LT для величины Т (температуры). Мы просто приводим термометр в

112

контакт с телом а, ожидая, пока жидкость в его трубке не будет изменять свою высоту, а затем замечаем уровень этой жидкости. Таким же образом мы применяем термометр к телу b. Отношение Е определяется посредством подъема жидкости в трубке термометра до той же самой отметки. Отношение L устанавливается между телами а и b в том случае, если жидкость в трубке поднимается до более низкой отметки, когда термометр применяется к а, чем когда он применяется к b.

Первые два правила для определения температуры (Т) символически могут быть выражены следующим образом:

Правило 1: Если Ет(а, b), то Т(а) = Т(b).

Правило 2: Если LT(a, b), то Т (а)< Т (b).

Заметим, что для установления двух отношений Е и L вовсе нет необходимости иметь шкалу значений, нанесенных на трубке. Если, однако, мы намереваемся использовать термометр, чтобы приписать численные значения Т, мы, очевидно, нуждаемся более чем в двух правилах.

Остальные три правила нашей схемы восполняют необходимость в дополнительных условиях. Правило 3 говорит нам, когда приписывается выбранное численное значение, обычно нуль, величине, которую мы пытаемся измерить. Это делается путем спецификации состояния, обычно легко узнаваемого и иногда легко воспроизводимого, которое указывает нам, как приписать выбранное численное значение телу, когда оно находится в указанном состоянии. Например, в метрической шкале температуры (Цельсия) правило 3 приписывает нулевое значение температуре замерзания воды. Позже мы добавим некоторые уточнения к условиям, при которых это правило является адекватным. Теперь же мы примем его, как оно установлено.

Правило 4, обычно называемое правилом единицы измерения, приписывает второе выбранное значение величины телу, характеризуя другое легко узнаваемое и воспроизводимое его состояние. Это второе значение обычно представляет 1, но оно может быть любым числом, отличным от числа, определяемого с помощью правила 3. На метрической шкале температуры оно равно

113

100. Это число приписывается температуре кипящей воды. Как только это второе значение становится определенным, оказывается возможным найти основу для определения единицы измерения температуры. Мы помещаем термометр в замерзающую воду, отмечаем высоту ртути и делаем отметку нуль. Затем мы опускаем термометр в кипящую воду, замечаем высоту ртути в трубке и делаем отметку 100. Мы еще не имеем шкалы, но мы имеем основание говорить о единице измерения. Если ртуть поднимается от нулевой отметки к отметке 100, то мы можем сказать, что температура повысилась на 100 градусов. Если мы припишем более высокой отметке число 10 вместо 100, тогда мы можем сказать, что температура поднялась на 10 градусов.

Последний шаг будет состоять в том, чтобы определить точную форму шкалы. Это достигается посредством правила 5, наиболее важного из всех пяти правил. Оно характеризует эмпирические условия EDM, при которых мы будем говорить, что две разности D значений величины М являются равными. Заметьте, что мы не говорим о двух значениях, а о двух разностях между двумя значениями. Мы хотим охарактеризовать эмпирические условия, при которых мы будем говорить, что разность между любыми двумя значениями величин а и b является той же самой, что и разность между двумя другими значениями, скажем, с и d. Это пятое правило имеет следующую символическую форму:

Если EDM(a, b, с, d), то М (а) - М (Ь) = М (с) - М (d).

Правило говорит нам, что если существуют некоторые эмпирические условия для четырех значений величин, в символической формулировке представленных через EDM, то мы можем сказать, что разность между первыми двумя значениями является той же самой, что и разность между двумя другими значениями.

В случае температуры эмпирические условия относятся к объему испытуемого вещества, используемого в термометре, в нашем примере ртути. Мы должны сконструировать термометр таким образом, что когда разность между двумя любыми объемами ртути, а и 6, равна разности между двумя другими объемами, end, то шкала будет показывать одинаковую разность температур.

114

Если термометр имеет стоградусную шкалу, процедура для выполнения условий правила 5 проста. Ртуть помещается в баллончике, находящемся на конце очень тонкой трубки. Тонкость трубки не существенна, но она имеет большое практическое значение, потому что позволяет легко наблюдать очень малые изменения объема ртути. Стеклянная трубка должна быть изготовлена очень тщательно, так чтобы ее внутренний диаметр был всюду одинаков. Вследствие этого одинаковые увеличения объема ртути можно наблюдать как равные расстояния между отметками на трубке. Если мы обозначим расстояние между отметками, когда термометр находится в соприкосновении с телом а и телом Ь, как d(a,b), тогда правило 5 символически может быть выражено так:

Если d(a, b) = d(c, d), то Т (a) - Т (b) = Т (с) - Т (d).

Теперь мы применим правила 3 и 4. Для этого термометр сначала опускают в замерзающую воду и используют 0 в качестве отметки уровня ртути в трубке. Затем помещают термометр в кипящую воду и уровень ртути обозначают 100. На основе правила 5 трубка может быть разделена на сто равных интервалов между 0 и 100. Эти интервалы могут быть продолжены ниже нуля, пока мы не достигнем точки замерзания ртути. Они могут быть продолжены и выше 100 вплоть до точки кипения и испарения ртути. Если два физика построят свои термометры таким способом и в соответствии с процедурами, охарактеризованными пятью правилами, они придут к одинаковым результатам, когда будут измерять температуру того же самого тела. Это совпадение результатов мы характеризуем утверждением, что два физика используют одну и ту же температурную шкалу. Пять правил'определяют единую шкалу для величины, к которой они применяются.

Как физики принимают решение о точном типе шкалы, используемой для измерения величины? Их решения частично основываются на соглашениях, частично на заключениях, связанных с выбором крайних точек по правилам 3 и 4. Единица измерения длины, метр, теперь определяется как длина, равная 1656763,83 длины волны в вакууме некоторого типа излучения атома крип-

115

тона 86. Единица массы или веса, килограмм, основывается на прототипе килограмма, хранящегося в Париже. По отношению к температуре, измеряемой по стоградусной шкале, нуль и 100, как точки замерзания и кипения воды, принимаются вследствие их удобства. В шкале Фаренгейта и так называемой абсолютной шкале Кельвина вместо крайних точек, нуля и 100, выбираются другие состояния веществ. Однако, в сущности, все три шкалы основываются на тех же самых пяти правилах процедуры измерения и, таким образом, могут рассматриваться в принципе как шкалы той же самой формы. Термометр для измерения температуры по Фаренгейту строится точно таким же способом, как и термометр для измерения температуры по стоградусной шкале; они отличаются только способом калибровки. По этой причине весьма просто переводить значения с одной шкалы на другую.

Если два физика принимают совершенно различные процедуры для своих пяти правил, скажем, один из них соотносит температуру с расширением объема ртути, а другой — с расширением железного стержня или же с нагреванием электрическим током некоторого прибора, тогда их шкалы будут совершенно отличными по форме. Две шкалы можно, конечно, согласовать, поскольку это касается правил 3 и 4. Если каждый физик выберет температуры замерзания и кипения воды в качестве двух точек, определяющих его единицу измерения, то, разумеется, они будут согласны, когда будут измерять температуру замерзания или кипения воды. Но когда они будут измерять соответствующими термометрами температуру данной чашки теплой воды, тогда, вероятно, они получат разные результаты, и здесь может не быть простого способа перевода одной шкалы в другую.

Законы, основывающиеся на двух различных видах шкал, не будут иметь ту же самую форму. Одна шкала может привести к законам, которые могут быть выражены очень простыми уравнениями. Другая шкала может привести к законам, требующим очень сложных уравнений. Это обстоятельство делает крайне важным выбор пятого правила процедуры в отличие от более произвольного характера правил 3 и 4. Ученый выбирает эти процедуры с целью упрощения, насколько это возможно, основных законов физики.

116

В случае температуры абсолютная шкала (Кельвина) приводит к максимальному упрощению законов термодинамики. Стоградусная шкала и шкала Фаренгейта могут рассматриваться как варианты абсолютной шкалы, отличающиеся только калибровкой и легко переводимые в абсолютную шкалу. В прежних термометрах в качестве вещества, измеряющего температуру, использовались такие жидкости, как спирт и ртуть, так же как и газы, которые находились под постоянным давлением, так что изменение температуры вызывало изменение и объема. Оказалось, что независимо от используемого вещества могут быть установлены приблизительно одинаковые формы шкал; но когда были изготовлены более точные инструменты, были замечены небольшие различия. Я здесь не имею в виду просто то, что вещества расширяются в разной степени, когда они нагреваются, но скорее то, что сама форма шкалы чем-то отличается в зависимости от того, используется ли для измерения температуры ртуть или водород. Возможно, ученые выбирают абсолютную шкалу как шкалу, приводящую к наипростейшим законам. Удивительным является тот факт, что эта форма шкалы не определяется природой конкретного вещества, используемого для измерения температуры. Абсолютная шкала ближе к водородной или другой газовой шкале, чем к ртутной, но она не совсем похожа на газовую шкалу. Иногда о ней говорят как о шкале, основанной на «идеальном газе», но это только манера речи.

На практике ученые, конечно, продолжают пользоваться термометрами, содержащими ртуть или другие жидкости, которые имеют шкалы, весьма близкие к абсолютной шкале. Затем они переводят температуры, основанные на этих шкалах, в абсолютную шкалу посредством некоторых поправочных формул. Абсолютная шкала позволяет формулировать законы термодинамики наиболее простым возможным способом, потому что ее значения выражают скорее величины энергии, чем изменения объема различных веществ. Законы, в которые входит температура, будут гораздо более сложными, если будет использована любая другая форма шкалы.

Важно понять, что мы не можем в действительности сказать, что мы подразумеваем под любой количественной величиной, пока не сформулируем правила для ее

117

измерения. Может показаться, что сначала наука разрабатывает количественные понятия, а затем ищет способы их измерения. Но количественные понятия в действительности развиваются из процесса измерения. До тех пор пока не были изобретены термометры, понятию температуры не могло быть придано точного значения. Эйнштейн подчеркивает этот пункт в дискуссиях, ведущихся по теории относительности. Он касается преимущественно измерения пространства и времени. Он обращает внимание на то, что мы не можем точно знать, что мы имеем в виду под такими понятиями, как «одинаковая продолжительность», «равенство расстояний (в пространстве)», «одновременность двух событий в разных местах» и т. п., пока мы не определим средства и правила, посредством которых такие понятия измеряются. В главе 5 мы видели, что существуют как конвенциональные, так и неконвенциональные аспекты процедур, принимаемых для правил 1 и 2. Сходная ситуация имеет место и в отношении правил 3, 4 и 5. Существует некоторая свобода выбора в принятии процедур для этих правил; именно в такой мере эти правила являются делом соглашения (convention). Но они не являются целиком конвенциональными. Для того чтобы решить, какого рода соглашения можно принять, не приходя в противоречие с фактами природы, необходимы фактические знания. Чтобы избежать логических противоречий, необходимо принимать различные логические структуры.

Например, мы решаем принять точку замерзания воды как нулевую точку нашей температурной шкалы, потому что мы знаем, что объем ртути в нашем термометре будет всегда одинаковым всякий раз, когда мы опускаем колбочку инструмента в замерзающую воду. Если мы обнаружим, что ртуть поднимается на одну высоту, когда мы используем замерзающую воду, полученную из Франции, и на другую высоту, когда используется вода, полученная из Дании, или же эта высота изменяется с количеством замерзающей воды, тогда замерзание воды не будет подходящим выбором для применения третьего правила.

Подобный же эмпирический элемент ясно входит в наш выбор кипящей воды в качестве отметки 100. То, что температура любой кипящей воды одинакова, есть факт природы, а не дело соглашения. (Мы предполагаем,

118

что мы уже имеем правила 1 и 2, так что мы имеем способ измерения равенства температур.) Но здесь следует внести уточнение. Температура кипящей воды одинакова в той же самой местности, но на горной вершине, где давление воздуха меньше, вода закипает при несколько меньшей температуре, чем у подножия горы. Чтобы использовать точку кипения воды в соответствии с требованиями четвертого правила, мы должны либо сделать добавление, что кипящая вода должна находиться на определенной высоте, либо внести поправочный фактор, когда она не находится на этой высоте. Строго говоря, даже на установленной высоте мы должны удостовериться с помощью барометра, что мы имеем определенное давление воздуха, или же мы должны внести соответствующую поправку. Эти поправки зависят от эмпирических фактов. Они не являются конвенциональными, произвольно вводимыми факторами.

При установлении эмпирического критерия для применения правила 5, которое определяет форму нашей шкалы, мы стремимся найти форму, которая бы давала наипростейшие возможные законы. Здесь снова в выбор правила входит неконвенциональный аспект, потому что факты природы определяют законы, которые мы стремимся упростить. И наконец, употребление чисел в качестве значений нашей шкалы предполагает структуру логических отношений, которая не является конвенциональной, поскольку мы не можем отказаться от нее, ибо иначе мы попадем в ловушку логических противоречий.

Глава 7

ЭКСТЕНСИВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Измерение температуры требует, как мы узнали из главы 6, схемы из пяти правил. Существуют ли в физике понятия, которые могут быть измерены путем использования более простой схемы? Да, существуют. Большое число величин, называемых «экстенсивными величинами», измеряется с помощью схемы, состоящей из трех правил.

Схема из трех правил применяется к тем ситуациям, в которых две вещи могут быть некоторым способом

119

объединены или соединены, чтобы произвести новую вещь, а значение величины М для новой вещи будет представлять сумму значений М для двух вещей, которые соединяются вместе. Вес, например, является экстенсивной величиной. Если мы положим вместе пятифунтовое и двухфунтовое тела, тогда вес составного тела будет равен семи фунтам. Температура не является такой величиной. Не существует никакой простой операции, с помощью которой мы бы могли взять, скажем, тело с температурой 60°, объединить его с телом, имеющим температуру 40°, и получить тело с температурой 100°. Операции, посредством которых объединяются экстенсивные величины, в значительной мере изменяются от величины к величине. В простейших случаях эта операция состоит просто в том, что два тела соединяются вместе, или склеиваются, или связываются, или даже, возможно, помещаются рядом, подобно двум грузам на той же самой чашке весов. Повседневная жизнь изобилует такими примерами. Ширина ряда книг на полке равна сумме толщин каждой отдельной книги. Мы берем с полки книгу и прочитываем десять страниц. Позже, в течение дня, мы прочитываем еще десять страниц. В целом мы прочитываем двадцать страниц. После частичного наполнения ванны мы обнаруживаем, что вода в ней слишком горяча» поэтому мы добавляем немного холодной воды. Полный объем воды в ванне будет равен сумме объемов горячей и холодной воды, протекшей через краны. Точная процедура для объединения вещей относительно некоторой экстенсивной величины часто явно не указывается. Это рискованная практика, и она может вызвать большую путаницу и недоразумения. Поскольку существует так много различных способов объединения вещей, важно не предполагать, что метод объединения является известным. Он должен быть явно установлен и ясно определен. Как только это будет сделано, величина может быть измерена путем применения схемы из трех правил.

Первое правило постулирует то, что называют принципом соединения, или «аддитивности». Оно устанавливает, что когда объект составляется из двух компонентов, то значение величины для такого объекта будет равно арифметической сумме значений величин для двух компонентов. Любая величина, которая соответствует

120

этому правилу, называется «аддитивной величиной». Вес представляет собой знакомый нам пример. Операция объединения в этом случае будет состоять просто в том, что два тела кладутся вместе и взвешиваются как одно тело. Мы кладем тело а на весы и замечаем его вес. Затем мы заменяем его телом b и замечаем вес последнего. Наконец, мы кладем на весы оба тела. Этот новый объект, который есть не что иное, как взятые вместе тела а и b, будет, конечно, иметь вес, равный арифметической сумме весов а и b.

Когда в первое время читатель сталкивается с таким правилом, он может считать странным, что мы даже упоминаем о таком тривиальном правиле. Но в логическом анализе научного метода мы должны все сделать явным, включая вещи, которые обыватель считает само собой разумеющимися и не выражает их словами. Естественно, что никто не будет считать, что, когда камень в 7 фунтов помещается на весах рядом с камнем в 5 фунтов, весы 'покажут полный вес в 70 или 3 фунта. Мы считаем само собой разумеющимся, что составной вес будет равен 12 фунтам. Однако можно допустить, что в некотором другом мире величина веса не будет следовать такому удобному аддитивному образцу. Мы должны установить, следовательно, аддитивность веса явным образом, путем введения аддитивного правила: если два тела соединяются вместе и взвешиваются как одно тело, то их полный вес будет арифметической суммой весов отдельных тел.

Сходные-правила должны быть введены для каждой экстенсивной величины. Длина представляет собой другой знакомый нам пример. Одно тело имеет прямое ребро а, другое — прямое ребро b. Мы помещаем два тела вместе так, чтобы два ребра касались друг друга своими концами и были расположены на одной прямой. Этот новый физический объект — прямая линия — образуется путем соединения а и b и будет иметь длину, равную сумме длин а и b.

Ранние формулировки аддитивного правила для длины часто были совершенно неудовлетворительными. Например, некоторые авторы говорили, что, если два отрезка а и b сложить, длина нового отрезка получается путем сложения длин а и b. Это крайне плохой способ формулировки правила, потому что в том же самом

121

предложении слово «сложить» употребляется в двух совершенно различных смыслах. Сначала оно используется в смысле соединения двух физических объектов, располагаемых вместе некоторым специфическим способом, а затем употребляется в смысле арифметической операции сложения. Эти авторы, кажется, не сознают, что указанные два понятия являются отличными друг от друга, потому что, когда они переходят к символическому выражению правила, они пишут его следующим образом:

L (а + b) = L (а) + L (b).

Некоторые авторы, которыми в других отношениях я восхищаюсь, виновны в такой неуклюжей формулировке — формулировке, которая переносит на символы двойное употребление слова «сложение». Второй символ « + » обозначает арифметическую операцию, но первый « + » вовсе не является обозначением арифметической операции. Вы не можете арифметически сложить две линии. То, что вы можете сложить, представляет не линии, а числа, которые выражают длины этих линий. Линии не являются числами, они являются конфигурациями физического пространства. Я всегда подчеркивал, что необходимо отличать арифметическое сложение от того рода сложения, которое представляет физическую операцию соединения. Чтобы помочь нам держать в уме это различие, нужно, если мы будем следовать Гемпелю (который писал о длине как об экстенсивной величине), ввести специальный символ — маленький кружочек «о» — для физической операции соединения. Это дает нам гораздо более удовлетворительный способ символизации аддитивного правила для длины:

L (а о b) = L (a) + L (b).

Соединение длин может быть представлено графически:

a b

L (a) L(b)

L(a о b) [не «L (a + b)»].

Хотя в случае веса не имеет значения, как именно помещены вместе два тела на весах, в случае длины это

122

имеет значение. Предположим, что два отрезка расположены подобно следующим:

Они соприкасаются своими концами, но расположены не на одной прямой линии. Расстояние между точками А и С не равно сумме длин а и b. Мы должны, следовательно, всегда быть аккуратными, чтобы точно охарактеризовать, что мы понимаем под операцией соединения.

Теперь мы можем символически представить общий принцип аддитивности по отношению к любой экстенсивной величине М с помощью следующей записи:

М(а о b) = М(а) + М(b).

В этом утверждении символ «о» указывает на специфическую процедуру соединения а и b. Будет лучше, если мы назовем это вторым правилом нашей схемы из трех правил, скорее, чем первым правилом. Первое правило, которое проще, есть правило равенства. Оно есть то же самое, что и первое правило схемы из пяти правил для измерения температуры. Оно характеризует процедуру, посредством которой мы определяем равенство величин. В случае веса мы говорим, что два тела будут иметь тот же самыйг вес, если весы будут оставаться в равновесии, когда на их чашки мы положим эти тела.

Третье правило соответствует правилу 4 схемы для температуры. Оно характеризует значение единицы измерения для величины. Это обычно делается путем выбора тела или естественного процесса, который может быть легко воспроизведен, и затем определения значения единицы измерения в терминах этого тела или процесса. Я упоминал раньше о двух примерах: метре, основанном на множестве длин волн некоторого типа излучения, и килограмме, базирующемся на международном прототипе, хранящемся в Париже. Метр и килограмм являются стандартными единицами длины и веса в метрической системе измерения.

Резюмируя, мы можем сказать, что наша схема для измерения любой экстенсивной величины состоит из следующих трех правил:

123

1. Правило эквивалентности.

2. Правило аддитивности.

3. Правило единицы измерения.

Поскольку эта схема проще, чем ранее обсуждавшаяся схема из пяти правил, то почему она не всегда используется? Ответ на этот вопрос заключается, конечно, в том, что для многих величин не существует никакой операции соединения, которая обеспечивала бы основу для применения аддитивного принципа. Мы уже видели, что температура не является аддитивной величиной. Основной тон звука и твердость тел представляют два других примера. По отношению к таким величинам мы не можем найти операцию соединения, которая была бы аддитивной. Поэтому такие величины называют «неэкстенсивными» или «интенсивными» величинами. Однако в физике имеется большое число аддитивных величин, для которых вышеупомянутая трехчленная схема дает адекватную основу для их измерения.

Многие ученые и философы науки рассматривают термины «экстенсивная величина» и «аддитивная величина» как синонимы, но некоторые авторы проводят здесь различие. Если мы хотим провести такое различие, то оно должно быть сделано следующим образом. Мы назовем величину экстенсивной, если мы можем придумать операцию, которая будет представляться естественной операцией соединения и для которой может быть построена шкала измерения. Если мы обнаружим, что относительно выбранной шкалы и избранной операции аддитивный принцип выполняется, мы назовем величину аддитивной, так же как и экстенсивной. Мы можем сказать, что она является аддитивно-экстенсивной величиной. Если же аддитивный принцип не выполняется, мы назовем ее неаддитивно-экстенсивной величиной.

Почти все экстенсивные величины физики являются аддитивными, но существуют и некоторые исключения. Замечательным примером является относительная скорость в специальной теории относительности. В классической физике относительная скорость вдоль прямой линии является аддитивной в следующем смысле. Если тела А, В, С движутся по прямой линии в том же самом направлении и скорость В относительно А есть V1, скорость

124

С относительно В есть V2, то скорость V3 движения С относительно А, согласно классической физике, должна быть равна V1 + V2. Если вы идете вдоль главного прохода самолета, летящего точно на запад, какова будет ваша скорость в этом направлении по отношению к земле? До появления теории относительности на это можно было ответить просто путем прибавления к скорости самолета вашей собственной скорости внутри самолета. Сейчас мы знаем, что относительные скорости не являются аддитивными. Для этого должна быть использована специальная формула, в которую скорость света входит в качестве одного из членов. Когда скорости являются весьма малыми относительно скорости света, мы можем обращаться с ними как с аддитивными величинами, но, если они будут очень большими, мы должны использовать следующую формулу, в которой с есть скорость света:

.

Вообразим, например, что космический корабль В, движущийся по прямой, проходит планету А с относительной скоростью V1. Космический корабль С, движущийся в том же направлении, имеет скорость V2 относительно космического корабля В. Какова будет относительная скорость V3 корабля С по отношению к планете A? Если скорости V1 и V2 космических кораблей будут малы, то значение дроби, которая должна быть прибавлена к 1 в знаменателе формулы, будет так мало, что оно может не приниматься в расчет. Мы получим тогда V3 просто путем сложения V1 и V2. Но если космические корабли движутся с очень большими скоростями, скорость света, с становится фактором, который должен приниматься в расчет. В этом случае 1/3 будет значительно отличаться от простой суммы V1 и V2. Если вы будете исследовать формулу, то увидите, что независимо от того, насколько приближаются относительные скорости кораблей к скорости света, их сумма не может превысить скорости света. Мы заключаем, таким образом, что относительная скорость в специальной теории относительности есть экстенсивная величина (потому что

125

она может быть определена с помощью операции соединения), но она не аддитивна.

Другими примерами экстенсивно-неадди-тивных величин являются тригонометрические функции углов. Предположим, что вы имеете угол а между прямыми кромками L1 и L2 куска металлического листа А (рис. 7-1). Другой кусок металлического листа В имеет угол b между кромками L3 и L4. Теперь мы соединим два угла, поместив их так, чтобы их вершины совпали и L2A совпала с частью

L3B. Ясно, что угол у между L1 и L4 будет представлять

результат сложения углов a и b. Мы можем сказать, таким

Рис. 7-1.

образом, что, когда углы соединены указанным способом и величины их измеряются обычным путем, их значения являются аддитивными. Угол у имеет значение, равное сумме значений аир. Но их значения не будут аддитивными, если мы возьмем в качестве "нашей величины одну из тригонометрических функций, такую, как синус каждого угла. Если мы хотим, то мы можем назвать синус величиной экстенсивной (поскольку мы имеем операцию соединения), но это неаддитивная величина. С другой стороны, мы можем решить, что мы не хотим назвать синус экстенсивной величиной, поскольку операция соединения в действительности относится не к синусам, а к углам. Но это не совсем то же самое, что сложение синусов. С этой, второй точки зрения синус не является экстенсивной величиной.

Критерий, который мы предложили для решения того, является ли величина экстенсивной или нет, как мы видим, не является точным. Если вы помните, мы говорили, что, когда мы можем придумать операцию, которая нам кажется естественной операцией соединения по отношению к данным величинам, тогда мы можем

126

назвать такую операцию экстенсивной. Один человек может сказать, что для него операция сложения двух углов представляет вполне естественный способ соединения синусов. Для него тогда синус является неаддитивно-экстенсивной величиной. Кто-то другой может сказать, что это очень хорошая операция для соединения углов, но не для соединения синусов. Для такого лица синус не является экстенсивной величиной. Иными словами, существуют крайние случаи, когда назвать ли величину экстенсивной или нет представляет субъективное дело. Поскольку такие случаи экстенсивных, но неаддитивных величин относительно редки и даже сомнительны (сомнительны потому, что мы не хотим принять предложенную операцию как законную операцию соединения), то вполне понятно, что многие авторы используют термины «экстенсивный» и «аддитивный» как синонимы. Нет необходимости критиковать такое употребление терминов. Для таких авторов термин «экстенсивный» применяется к величине только тогда, когда имеется операция соединения, относительно которой выполняется аддитивный принцип, как это имеет место для длины, веса и многих обычных величин физики.

Теперь следует сделать некоторые замечания относительно измерения временных интервалов и длин, потому что в некотором смысле эти две величины являются основными в физике. Раз мы можем измерить их, мы можем определить многие другие величины. Быть может, нельзя определить эти величины явно (эксплицитно), но мы можем по крайней мере ввести их посредством операционных правил, в которых используется понятие расстояния в пространстве или времени. Вспомните, например, что в правилах для измерения температуры мы использовали понятия объема ртути и длины столбика ртути в трубке. В этих случаях мы предполагали, что мы уже знаем, как измерить длину. При измерении многих других физических величин делаются подобные же ссылки относительно измерения длины в пространстве и продолжительности во времени. В этом смысле длина и продолжительность могут рассматриваться как первичные величины. В главах 8 и 9 будут рассматриваться процедуры, посредством которых измеряются пространство и время.

127