Часть 4.

Глава 8

ВРЕМЯ

Какого рода операция соединения может быть использована для объединения интервалов времени? Здесь мы сразу же сталкиваемся с серьезной трудностью. Мы не можем обращаться с временными интервалами тем же самым способом, как мы можем обращаться с пространственными интервалами, или, более точно, рёбрами твердых тел, представляющих пространственные интервалы. Не существует никаких твердых ребер времени, которые можно было бы соединить, чтобы образовать прямую линию.

Рассмотрим два таких интервала: длительность какой-либо войны с первого выстрела и до последнего и длительность какой-либо грозы с первого удара грома

А В С

а ь

Рис. 8-1.

до последнего. Как мы можем соединить две эти длительности? Мы имеем два отдельных события, каждое с некоторой длиной во времени, но не существует никакого способа, который мог бы связать их вместе. Конечно, если два события уже являются смежными, то мы можем признать этот факт, но мы не можем сдвигать во времени события вокруг нас, как мы можем перемещать ребра физических тел.

Самое лучшее, что мы можем сделать, — это представить два временных интервала на концептуальной шкале. Предположим, что мы имеем одно событие а, которое совершается от временной точки А до точки В, и второе событие Ь, которое происходит между временными точками В и С (рис. 8-1). Начальная точка события Ь совпадает с конечной точкой события а, поэтому эти два события являются смежными во времени. Мы не приводим их в эту позицию — так они в действительности происходят. Длина промежутка времени от точки Л до точки С может теперь рассматриваться как результат объединени

128

а и b. Но это объединение понимается не в физическом смысле, а в концептуальном, то есть посредством способа, с помощью которого мы рассматриваем эту ситуацию. Концептуальная операция, символически обозначаемая посредством « о », позволяет нам сформулировать следующее правило аддитивности для измерения временной длительности Т:

T(a о b)=T(a) + T(b).

Иными словами, если мы имеем два события, одно из которых начинается как раз тогда, когда другое кончается, тогда длительность совокупного события будет равна арифметической сумме длительностей двух событий. Это правило не так сильно, как правило аддитивности для пространственных длин, потому что мы можем применить его только к тем событиям, которые являются смежными во времени, но не к любым парам событий.

Позже, когда мы разработаем схему для измерения времени, состоящую из трех правил, мы будем в состоянии измерять совокупную длительность несмежных событий. Теперь же мы только ищем операцию соединения, которая бы служила основой для аддитивного правила. Такую операцию мы находим в появлении событий, смежных во времени.

Чтобы завершить нашу схему, мы нуждаемся еще в двух правилах: правиле эквивалентности и правиле, которое определяет единицу измерения. Оба эти правила обычно основываются на некотором типе периодического процесса: колебании маятника, вращении земли и т. п. Любые часы представляют инструмент для создания периодического процесса. В некоторых часах это осуществляется с помощью маятника, в других — путем балан-сирного ко,леса. Солнечные часы измеряют время посредством периодического движения солнца в небе. Тысячи лет ученые основывали эту единицу времени на продолжительности дня, то есть на периодическом вращении земли. Но поскольку степень земного спина несколько меняется, в 1956 году было достигнуто международное соглашение основывать единицу времени на периодическом вращении земли вокруг солнца в один определенный год. Соответственно этому секунда

129

определялась как 1/315569259747 часть 1900 года 1. В 1964 году отказались от этого, поскольку можно было достичь еще большей точности, основывая секунду на периоде колебания атома цезия.

Это понятие «периодичности», столь существенное для определения единицы времени, должно быть полностью осознано до того, как мы перейдем к рассмотрению правил эквивалентности и единицы измерения, которые могут быть основаны на нем.

Прежде всего мы должны ясно различать два смысла «периодичности», один — слабый и другой — сильный. В слабом смысле процесс считается периодическим просто, если он повторяется снова и снова. Биение пульса периодично. Периодичны также колебания маятника. Но в таком слабом смысле периодичным будет также выход мистера Смита из дома. Это повторяется снова и снова, сотни раз в течение жизни мистера Смита. Ясно, что периодичность в слабом смысле повторяется. Иногда периодичность означает повторяемость полного цикла различных фаз в том же циклическом порядке. Маятник, например, совершает колебание от самой нижней точки до самой верхней точки вправо, потом проходит нижнюю точку и достигает самой верхней точки влево и, наконец, снова возвращается к самой нижней точке. Потом этот полный цикл новторяется снова. Повторяться может не только одно событие, но и целая последовательность событий. Это, однако, вовсе не необходимо, чтобы назвать процесс периодическим. Достаточно, если одна фаза процесса продолжает повторяться. Такой процесс является периодическим в слабом смысле.

Часто, когда кто-то говорит о процессе как периодическом, то он имеет в виду значительно более сильный смысл: дополнительно к слабой периодичности такой процесс характеризуется тем, что интервалы между последовательными появлениями некоторой фазы являются равными. Относительно выходов мистера Смита из дома это условие, очевидно, не выполняется. Иногда он может оставаться дома несколько часов. В другие дни он может покидать дом несколько раз в течение часа. В противоположность этому движения баланса колеса хорошо

1. В качестве эталона времени при этом принималась длительность тропического года, то есть промежуток времени между двумя последовательными весенними равноденствиями. — Прим, перев.

130

сконструированных часов являются периодическими в сильном смысле. Ясно, что существует огромная разница между двумя типами периодичности.

Какой тип периодичности мы должны взять в качестве основы для измерения времени? Сначала мы склоняемся к ответу, что, очевидно, мы должны выбрать процесс, который является периодическим в сильном смысле. Мы не можем опираться при измерении времени на выходы мистера Смита из дома, потому что они являются слишком нерегулярными. Мы не можем даже использовать здесь пульс, хотя он значительно ближе подходит к периодическим процессам в сильном смысле, чем выходы мистера Смита, но все же и удары пульса не представляют достаточно регулярного процесса. Если кто-либо быстро бежит или кого-то сильно лихорадит, то его пульс бьется чаще, чем обычно. Мы нуждаемся в периодическом процессе, который был бы как можно более регулярным.

Но в этом рассуждении есть нечто ошибочное. Мы не можем знать, что процесс является периодическим в сильном смысле, если мы уже не имеем метода для определения равных интервалов времени! Именно такой метод мы и хотим найти с помощью наших правил. Как мы можем избежать здесь порочного круга? Мы можем сделать это, только отказавшись от требования периодичности в сильном смысле. Мы вынуждены отказаться от него, потому что мы не имеем еще основы для его принятия. Мы находимся в позиции наивного физика, подходящего к проблеме измерения времени, не располагая даже преимуществами донаучных понятий равных интервалов времени. Не имея никакой основы для измерения времени, он пытается наблюдать периодические процессы в природе, которые в состоянии дать такую основу. Поскольку он не располагает никаким способом измерения интервалов времени, то он не имеет никакого способа для обнаружения того, является или не является определенный процесс периодическим в сильном смысле.

Именно это мы и должны сделать. Сначала мы находим процесс, который был бы периодическим в слабом смысле (это может быть также и периодический процесс в сильном смысле, но мы пока еще не можем знать этого). Затем мы берем в качестве нашей операции соединения два интервала времени, являющиеся последова-

131

тельными в том смысле, что один начинается точно тогда, когда кончается другой. Мы утверждаем, согласно нашему правилу аддитивности, что длина полного интервала будет равна арифметической сумме длин двух отдельных интервалов. Впоследствии мы можем применить это правило для выбора периодического процесса.

Чтобы закончить нашу схему, мы должны найти правила для эквивалентности и единицы измерения. Продолжительность любого периода выбранного процесса может служить в качестве нашей единицы времени. На рис. 8-2 эти периоды изображены в виде длин а, Ь, с, d, ... между временными точками А, В, С, D, Е, ... Мы говорим, что каждый из этих отрезков имеет длину в одну единицу. Кто-то может возразить: «Но период b взят гораздо более долгим, чем период а». На это можно ответить так: «Мы не знаем, что вы понимаете под «более долгим». Мы пытаемся установить правила для измерения времени так, чтобы мы были в состоянии придать точное значение термину «более долгий».

Теперь, после того как мы определили нашу единицу времени (она представляет просто длительность каждого периода выбранного процесса), наше правило аддитивности дает нам основу для измерения длительности времени. Это правило говорит нам, что интервал времени от точки А до точки С равен 2, от точки А до точки D — 3 и т. п. Мы можем теперь измерить любой интервал времени, даже если мы основываем нашу процедуру на слабом периодическом процессе. Мы просто отсчитываем число периодов, встречающихся в событии, которое мы хотим измерить. Это число и будет длительностью события. Правило для эквивалентности является здесь очевидным. Оно говорит, что два интервала (которые

132

могут быть значительно отделены друг от друга во времени) будут равны, если оба содержат одинаковое число элементарных периодов периодического процесса. Этим завершается наша схема из трех правил. Мы имеем правило эквивалентности, правило аддитивности и правило для единицы измерения. На основе этой схемы мы имеем метод для измерения времени.

Здесь могут возникнуть возражения. Может ли такая схема действительно основываться на любом слабом периодическом процессе? Например, может ли она основываться на выходах мистера Смита из дома? Как ни удивительно, мы должны ответить «да», хотя, как я объясню несколько позже, законы физики будут значительно проще, если мы выберем некоторые другие процессы. Важно понять теперь, что, как только мы установим схему для измерения времени, даже если она основывается на таком нерегулярном процессе, как выходы мистера Смита из дома, мы получим средство для определения того, эквивалентен ли один периодический процесс другому.

Предположим, что мы приняли в качестве нашей основы для измерения времени периодический процесс Р. Мы можем теперь сравнить Р с другим слабо периодическим процессом Р', чтобы установить, когда они являются «эквивалентными». Допустим, например, что Р, выбранный нами периодический процесс, представляет колебания какого-либо короткого маятника. Мы хотим сравнить его с Р', колебаниями более длинного маятника. С точки зрения того факта, что периоды колебания этих двух маятников не равны, как мы можем сравнить вышеотмеченные периодические процессы? Мы делаем это путем отсчета числа колебаний обоих маятников за более длительный интервал времени. Мы можем обнаружить, что десять колебаний короткого маятника совпадает с шестью колебаниями длинного. Это встречается всякий раз, когда мы повторяем испытание. Однако мы не в состоянии иметь дело с дробными частями периодов колебаний, поэтому наше сравнение должно быть осуществлено в целых числах колебаний. Мы можем заметить, однако, что совпадение здесь не является вполне точным. После десяти колебаний короткого маятника длинный маятник начинает совершать уже седьмое колебание. Поэтому мы исправляем наше

133

сравнение, взяв более длинный интервал времени, такой, как сотня колебаний короткого маятника.

Всякий раз, когда испытание повторяется, мы обнаруживаем, что в течение этого времени длинный маятник совершит шестьдесят два колебания. Таким путем мы можем уточнить наше сравнение настолько, насколько мы пожелаем. Если мы обнаружим, что некоторое число периодов процесса Р всегда соответствует определенному числу периодов процесса Р', тогда мы говорим, что эти два периодических процесса эквивалентны.

Существование очень обширных классов периодических процессов, эквивалентных друг другу в указанном смысле, является фактом природы. Это не есть нечто такое, что мы можем знать априори. Мы обнаруживаем существование обширных классов благодаря исследованию реального мира. Мы не можем сказать, что эти эквивалентные периодические процессы относятся к процессам сильного типа, но мы можем сравнить любые два из них и установить, что они являются эквивалентными. Все колеблющиеся маятники принадлежат к этому классу, так же как движения балансирных колес в настенных и карманных часах, кажущееся движение солнца по небу и т. п. Мы находим в природе огромный класс процессов, любые два из которых оказываются эквивалентными, когда мы сравниваем их по способу, объясненному в предыдущем параграфе. Насколько мы знаем, существует только один обширный класс такого рода.

Что произойдет, если мы решимся основать нашу шкалу времени на периодических процессах, которые не принадлежат к этому обширному классу эквивалентных процессов, например таких, как биение пульса? Результаты будут в какой-то мере странными, но мы хотим подчеркнуть, что выбор биений пульса в качестве основы для измерения времени не приведет нас к какому-либо логическому противоречию. Измерение времени на такой основе ни в каком смысле не может считаться ложным.

Вообразим, что мы живем в самую раннюю фазу развития понятия измерения. Мы не располагаем никакими инструментами для измерения времени, такими, как часы, поэтому мы не имеем никакого способа для определения того, как могут изменяться биения нашего пульса при различных физиологических обстоятельствах. Мы

134

стремимся вначале разработать операциональные правила для измерения времени, а затем решаем использовать биения моего пульса в качестве основы для измерения.

Как только мы сравним биения моего пульса с другими периодическими процессами в природе, мы обнаружим, что все виды процессов, которые мы можем мыслить единообразными, не оказываются таковыми. Например, мы обнаруживаем, что солнце проходит свой путь по небу за столько-то биений пульса, когда я чувствую себя хорошо. Но когда меня лихорадит, то оно затрачивает на тот же путь значительно больше времени. Мы находим это странным, но не имеется ничего логически противоречивого в нашем описании целого мира на такой основе. Мы не можем сказать, что выбор колебаний маятника в качестве единицы измерения времени является «правильным», а биений моего пульса — «ложным» выбором. Ни о какой правильности или ложности здесь говорить нельзя, потому что в обоих случаях не существует никакого логического противоречия. Это просто выбор между простым и сложным описанием мира.

Если мы основываем время на моем пульсе, то мы должны говорить, что все виды периодических процессов в природе имеют временные интервалы, которые изменяются в зависимости от того, что я делаю или как я себя чувствую. Если я быстро бегу некоторое время, затем останавливаюсь и измеряю процессы природы посредством моего пульса, то я замечаю, что в то время, когда я бегу, и несколько позже течение вещей в мире замедляется. Через несколько минут они возвращаются в нормальное состояние. Вы должны помнить, что мы предполагаем, что находимся в эпоху, когда никакие знания о законах природы не были известны. Мы не располагаем никакими учебниками физики, которые информировали бы нас, что тот или иной процесс является единообразным. В нашей примитивной системе физики вращение земли, колебание маятника и т. п. выступают как весьма нерегулярные процессы. Они имеют одну скорость, когда я чувствую себя хорошо, и другую, когда меня лихорадит.

Мы, таким образом, можем сделать здесь настоящий шбор. Но это не выбор между правильной и ошибочной измерительной процедурой, а выбор, основанный на про-

135

стоте. Мы найдем, что если мы выберем в качестве нашей основы времени колебания маятника, то возникающая при этом система физических законов будет гораздо проще, чем когда мы выберем биения моего пульса. Эти законы значительно усложнятся, если в качестве основы для измерения времени мы используем биения моего пульса, но будет, конечно, гораздо хуже, если для этого мы выберем выходы мистера Смита из дому, если мистер Смит не похож на Иммануила Канта, который, говорят, выходил из дому каждое утро точно в то же самое время, так что окрестные жители могли сверять свои часы по его появлению на улице. Но никакие обычные передвижения смертных не могут быть подходящей основой для измерения времени.

Под «подходящей» я, конечно, имею в виду такую основу, которая приводит к простым законам. Когда мы основываем наше измерение времени на колебаниях маятника, то мы находим, что вся вселенная функционирует очень правильно и может быть описана с помощью весьма простых законов. Читатель, когда он изучал физику, мог не считать эти законы простыми, но они являются простыми в относительном смысле. Законы были бы гораздо более сложными, если бы мы в качестве единицы времени приняли биения пульса. Физики постоянно выражают удивление по поводу простоты новых законов. Когда Эйнштейн открыл свой общий принцип относительности, он выразил изумление по поводу того факта, что такой сравнительно простой принцип управляет всеми явлениями, к которым он применим. Такой простоты не было бы, если бы мы основывали свою систему измерения времени на процессе, который не принадлежит к очень обширному классу взаимно эквивалентных процессов.

Биения моего пульса, напротив, принадлежат к чрезвычайно небольшому классу эквивалентных процессов. Только другие члены моего собственного тела, вероятно физиологически, связаны с ударами сердца. Пульс на моем левом запястье эквивалентен пульсу на запястье правой руки. Но, помимо процессов, связанных с деятельностью сердца, трудно обнаружить в природе какой-либо процесс, который был бы эквивалентен моему пульсу. Мы имеем здесь, следовательно, крайне малочисленный класс эквивалентных процессов .по сравнению

136

с таким очень обширным классом, который включает движения планет, колебания маятников и т. п. Поэтому в качестве основы для измерения времени желательно выбрать процесс именно из этого обширного класса.

При этом не имеет большого значения, какой процесс из этого класса мы выберем, так как мы еще не заботимся о большой точности измерения. Как только мы сделаем выбор, мы можем сказать, что процесс, который мы выбрали, является периодическим в строгом смысле слова. Это, конечно, дело определения. Но теперь другие процессы, которые эквивалентны ему, являются строго периодическими нетривиальным образом, не просто по определению. Мы делаем эмпирические испытания и путем наблюдений находим, что эти процессы являются строго периодическими в том смысле, что они обнаруживают большое единообразие в своих временных интервалах. В результате этого мы оказываемся в состоянии описывать процессы природы относительно простым способом. Этот пункт настолько важен, что я подчеркиваю его многократным повторением. Наш выбор процесса в качестве основы для измерения времени не является ни правильным, ни ложным. Логически возможен любой выбор. И любой выбор приводит к непротиворечивой совокупности законов природы. Но если мы основываем наше измерение времени на таких процессах, как колебание маятника, мы придем к гораздо более простой физике, чем когда мы используем некоторые другие процессы.

Исторически наше физиологическое чувство времени, наше интуитивное ощущение повторяемости явлений, несомненно, играло роль при выборе тех процессов, которые мы принимаем в качестве основы для измерения времени. Кажущийся восход и заход солнца происходит регулярно, поэтому солнечные часы стали удобным способом измерения времени, гораздо более удобным, чем, например, движения облаков. Подобным же образом на ранних этапах цивилизации было найдено удобным основывать часы на времени падения песка, протекания воды или других процессов, которые приблизительно эквивалентны движению солнца. Но основной пункт остается неизменным: выбор делается в терминах удобства и простоты.

137

Глава 9

ДЛИНА

Перейдем теперь от понятия времени к другому основному понятию физики — длине, и рассмотрим его более подробно, чем мы делали до сих пор. Вспомните, что в главе 7 мы рассматривали длину как экстенсивную величину, измеряемую посредством трехчленной схемы. Правило 1 определяет эквивалентность: отрезок, отмеченный на одном ребре, имеет равную длину с другим отрезком на другом ребре, если конечные точки этих отрезков могут быть совмещены друг с другом. Правило 2 определяет аддитивность: если мы соединим два ребра по прямой, то их общая длина будет равна сумме их отдельных длин. Правило 3 характеризует единицу длины: мы выбираем стержень с прямым ребром, отмечаем две точки на этом ребре и берем отрезок между двумя этими точками в качестве нашей единицы длины.

Основываясь на этих трех правилах, мы можем теперь применить обычную процедуру измерения. Предположим, что мы хотим измерить длину длинного края с, скажем, края ограды. Мы имеем измерительный стержень, на котором наша единица длины отмечена конечными точками Л и В. Мы располагаем стержень вдоль с в положении a1 (см. рис. 9-1), так что А совпадет с одной из конечных точек С0 на с. На крае ограды с мы отметим точку С0 которая совпадет с концом В нашего стержня. Затем мы передвигаем стержень а в смежную

137

позицию а2 и отмечаем точку С2 на с и т. д., пока мы не достигнем другого конца с. Предположим, что десятая позиция a10 стержня такова, что его конечная точка В приблизительно совпадет с конечной точкой C10C. Пусть с1,c2, ..., c10 будут отмеченными отрезками с. По правилу 3 мы имеем

L(a) = L (a1) = L (a2) = ... = L (а10) = 1.

Таким образом, по правилу 1, эквивалентности:

L(c1) = l, L(c2) =1, ...L(c10)=l.

По правилу 2, аддитивности:

L (c1 о с2) = 2, L (c1 о с2 о с3) = 3 ...

Следовательно,

L(c) = L (c1 о с2 о… о с10) = 10.

Эта процедура, являющаяся основной процедурой для измерения длины, в качестве значений измеряемой длины дает только целые числа. Очевидное уточнение достигается посредством деления единицы длины на п равных частей. (Дюйм традиционно делится последовательно пополам: сначала на две части, затем на четыре, восемь и т. д. Метр делится на десять последовательных частей: сначала на десять, затем на сто и г. д.) Таким образом мы в состоянии построить, путем проб и ошибок, вспомогательный измерительный стержень, разделенный на отрезки длины d, таких, что d может быть отложено вдоль единичного ребра а в п смежных позициях di, dz, ..., dn (см. рис. 9-2). Мы можем теперь сказать, что

138

Следовательно:

С помощью этих частей отрезков, отложенных на а, мы можем теперь более точно измерить длину данного ребра. Когда мы снова измерим длину ограды с в предыдущем примере, то может оказаться, что эта длина равна не 10, а более точно 10,2. Таким способом вводятся в измерение дроби. Мы больше не ограничиваемся целыми числами. Измеряемое значение может быть любым положительным рациональным числом.

Важно понять, что, делая такие уточнения при измерении, мы можем вводить все меньшие и меньшие дроби, но мы никогда не придем к числам, которые не были бы рациональными. С другой стороны, класс возможных значений величин в физике обычно рассматривается как содержащий все действительные числа (или все действительные числа определенного интервала), куда входят как иррациональные, так и рациональные числа. Однако иррациональные числа вводятся на более поздней стадии, чем измерение. Непосредственное измерение может дать только значения, выражаемые с помощью рациональных чисел. Но когда мы формулируем законы и делаем вычисления с помощью этих законов, тогда на сцену выступают иррациональные числа. Они вводятся не в процессе измерения, а в теоретическом контексте.

Чтобы сделать это яснее, рассмотрим теорему Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это теорема геометрии, но когда мы применяем ее к физическим отрезкам, она становится также физическим законом. Предположим, что мы вырезали из деревянной доски квадрат со стороной, равной единице длины. Теорема Пифагора говорит нам, что длина диагонали этого квадрата (рис. 9-3) равна квадратному корню из 2. Квадратный корень из 2 представляет иррациональное число. Поэтому диагональ квадрата не может быть измерена с помощью линейки совершенно точно, независимо от того какие мелкие доли единицы измерения мы выберем. Однако когда мы используем теорему Пифагора, чтобы вычислить длину

140

диагонали, то мы косвенно получим иррациональное число.

Подобным же образом, если мы измерим диаметр круглого дёревянного диска и найдем, что он будет равен 1, тогда с помощью вычисления мы обнаружим, что длина окружности диска будет равна иррациональному р(пи).

Поскольку иррациональные числа всегда получаются в результате вычислений, а не непосредственных измерений, то нельзя ли и в физике совершенно отказаться от

иррациональных чисел и оперировать только рациональными числами? Это, конечно, возможно, но это было бы революционным изменением. Мы, например, были бы не в состоянии больше работать с дифференциальными уравнениями, потому что такие уравнения требует континуума действительных чисел. Физики, однако, не находят достаточных оснований для подобных изменений. Верно, однако, что в квантовой физике мы с самого начала обнаруживаем тенденцию к дискретности. Например, электрический заряд измеряется только в величинах, которые представляют кратное минимального электрического заряда.

Если мы возьмем этот минимальный заряд как единицу, тогда все значения электрических зарядов будут представляться целыми числами. Квантовая механика не является все же полностью дискретной, но она настолько дискретна, что некоторые физики с самого начала выдвигают предположение о возможной дискретности всех физических величин, включая пространство и время. Это только предположение, хотя и наиболее интересное.

Какого рода законы будут возможны в такой физике? Там будет, вероятно, минимальное значение для каждой величины, а все большие значения будут выражаться как кратные этого основного значения. Минимальное значение для длины предлагали назвать «хо-доном», а для времени — «хрононом». Дискретное время будет состоять из непостижимых мгновенных скачков, подобных движению стрелки электрических часов, когда она перескакивает от одной секунды к другой. Никакое

141

физическое событие не может произойти в пределах любого интервала между скачками.

Дискретное прострарство может состоять из точек такого рода, которые показаны на рис. 9-4. Линии, соединяющие их на рисунке, показывают, какие точки являются «соседними точками» (например, В и С — соседние точки, а В и F — нет). В обычной геометрии непрерывного мы должны говорить, что существует бесконеч-дое множество точек между В и С, но в дискретной геометрии, если физика придерживается этого взгляда на пространство, мы обязаны сказать, что между Б и С не существует никаких промежуточных точек. Никакое

Рис. 9-4.

физическое явление какого-либо рода не может находиться в позиции «между» и и С. Например, электрон будет находиться в одной из точек сетки, а не где-либо еще на диаграмме. Длина будет определяться как минимальное расстояние, связывающее две точки. Мы можем условиться считать расстояние между двумя соседними точками равным 1. Тогда длина пути ABCDG будет равна 4, a AEFG — 3. Мы будем говорить, что расстояние от А до G равно 3, потому чго оно представляет кратчайший путь от А до G. Каждая длина будет выражаться целым числом. Фактически никакой системы такого рода не было построено для физики, хотя многие предварительные наметки и были сделаны. Некоторые .физики размышляли даже о размерах этих минимальных величин.

Когда-то в будущем, когда мы гораздо больше будем знать о пространстве и времени и других величинах физики, возможно, что мы обнаружим, что все они являются дискретными. Тогда законы физики будут иметь Дело исключительно с целыми числами. Они будут,

142

конечно, целыми числами огромных размеров. В миллиметре длины, например, будут содержаться биллионы минимальных единиц. Значения, принимаемые величинами, будут так близки друг к другу, что практически мы можем поступать с ними так, как если бы мы имели континуум действительных чисел. Практически физики, вероятно, будут продолжать пользоваться дифференциальными и интегральными исчислениями и формулировать законы в виде дифференциальных уравнений так же, как и прежде. Самое большее, что мы можем сказать теперь, — это то, что некоторые особенности физики благодаря принятию дискретной шкалы станут проще, в то время как другие значительно усложнятся.

С помощью наших наблюдений мы никогда не можем решить, должно ли быть выражено значение величины рациональным или иррациональным числом, поэтому этот вопрос является целиком вопросом удобства: будет ли наиболее полезной для формулировки некоторых физических законов дискретная или непрерывная шкала чисел?

Описывая, как могут быть измерены длины, мы до сих пор не рассматривали один крайне важный вопрос: какого рода тело мы должны взять в качестве стандартной измеряющей линейки (стержня)? Для повседневных целей достаточно будет взять железную или даже деревянную линейку, потому что здесь нет необходимости измерять длины с большой точностью. Но, если мы стремимся к большой точности, то сразу же увидим, что здесь мы встречаемся с трудностью, подобной той, с которой мы сталкивались в отношении периодичности.

Как вы помните, раньше перед нами стояла проблема — построить нашу единицу времени с помощью периодических процессов с равными периодами. Здесь мы сталкиваемся с аналогичной проблемой основания нашей единицы длины с помощью «твердого тела». Мы склонны думать, что мы нуждаемся в теле, которое всегда сохраняло точно ту же самую длину, так же как прежде мы нуждались в периодическом процессе с временными интервалами, которые были бы всегда одинаковыми. Очевидно, мы не хотим основывать нашу единицу длины на резиновой линейке или линейке, сделанной из воска, которые легко изменяют свою форму. Мы предполагаем, что мы нуждаемся в твердой линейке, которая не изме-

143

няла бы свою форму и размеры. Возможно что мы определим «твердость» следующим образом: линейка является твердой, если расстояние между двумя отметками, сделанными на ней, остается постоянным с течением времени.

Но что точно мы понимаем под фразой «остается постоянным»? Для объяснения-этого мы должны ввести понятие длины. Если бы мы не имели понятия длины и средств для ее измерения, то что бы означало утверждение, что расстояние между двумя точками на стержне фактически остается постоянным? И если мы не можем,определить это, то как мы можем определить твердость? Мы, таким образом, попадаем здесь в ту же самую ловушку порочного круга, в которой мы очутились, когда искали способ распознавания сильно периодических процессов до того, как разработали систему измерения времени. Как еще раз мы можем избежать порочного круга?

Выход из него подобен тому способу, с помощью которого мы избежали порочного круга при измерении времени: использование относительных понятий вместо абсолютных. Мы можем без всякого логического круга определить понятие «относительной твердости» одного тела по отношению к другому. Возьмем одно тело М и другое М'. Ради простоты мы будем предполагать, что каждое из них имеет прямое ребро. Мы можем совместить эти ребра и сравнить точки, отмеченные на них (рис. 9-5).

Рассмотрим пару точек А, В на М, которые определяют отрезок а. Аналогичным образом на М' возьмем пару точек А' и В', которые определяют отрезок а'. Мы скажем, что отрезок а равен (конгруентен) отрезку а', если всякий раз, когда два ребра совмещаются друг с другом и точка А совпадает с точкой А', то точка В

144

совпадает с точкой В'. Такова наша операциональная процедура для определения того, что отрезки а и а' равны. Всякий раз, когда мы делаем такую проверку и находим, что соответствующие пары точек совпадают, мы заключаем, что при повторении эксперимента в любое время в будущем его результат, вероятно, будет тот же самый. Дополнительно к этому предположим, что каждый отрезок, отмеченный таким способом на М, будет равен соответствующему отрезку на М' в 4любое время, когда осуществляется проверка. Мы тогда скажем, что М и М' являются твердыми относительно друг друга.

Важно осознать, что никакого логического круга здесь не возникает. Мы не можем и не говорим об абсолютной твердости М. Мы не можем сказать, что М всегда сохраняет свою длину. Однако имеет смысл говорить, что два тела являются твердыми в отношении друг к другу. Если мы выберем М в качестве измеряющего стержня, то мы обнаружим, что отрезки, отмеченные на М', остаются постоянными по длине. Если в качестве измеряющего стрежня мы выберем М', то постоянными по длине остаются отрезки на М. То, что мы здесь имеем,— это понятие относительной твердости, твердости одного тела по отношению к другому.

Когда мы испытываем различные тела в мире, то мы находим, что многие из них не являются твердыми друг относительно друга. Рассмотрим, например, две моих руки. Я свожу их вместе так, что некоторые пары точек на кончиках моих пальцев совпадают. Затем я их свожу снова. Положение моих пальцев изменится. Те же самые пары точек больше уже не будут совпадать, поэтому я не могу сказать, что мои руки будут твердыми относительно друг друга. То же самое будет верно, если мы сравним два тела, сделанные из воска, или же одно тело из железа, а другое из мягкой резины. Они не являются твердыми друг относительно друга. Но так же, как мы находим, что в мире имеется обширный класс процессов, которые эквивалентны по своей периодичности, так и здесь мы сталкиваемся с другим счастливым случайным обстоятельством природы. Эмпирически мы находим, что имеется обширный класс тел, которые являются приблизительно твердыми друг относительно друга. Два любых тела из металла — железа, меди и

145

т. п. — являются твердыми друг относительно друга. Такими же являются тела из камня и даже дерева, если они достаточно сухие и не покрыты зеленью. Мы находим, что огромное количество твердых веществ относится к тому роду, что тела, сделанные из этих веществ, являются твердыми друг относительно друга. Конечно, они не будут твердыми, если согнем их или заставим расширяться путем нагревания и т. п. Но если никакие ненормальные условия не накладываются, то эти тела в отношении их длин ведут себя весьма регулярным образом. Когда мы производим грубое сравнение одного тела с другим, мы находим их относительно твердыми.

Вы помните, что при обсуждении периодичности мы видели, что не существует никакого логического основания, заставляющего нас строить измерение времени на каком-либо одном периодическом процессе, принадлежащем к обширному классу эквивалентных процессов. -Мы выбираем такой процесс только потому, что он приводит к большей простоте наших законов природы. Аналогичный выбор имеется и здесь. Нет никакой логической необходимости основывать измерение длины на одном определенном классе, взятом из обширного класса относительно твердых тел. Мы'выбираем такие тела потому, что с ними более удобно иметь дело. Если бы мы выбрали в качестве единицы измерения стержень, сделанный из резины или воска, то мы бы могли найти в мире очень немного (если ни одного) тел, которые были бы относительно твердыми по нашему стандарту. Наше описание природы стало бы, таким образом, чрезвычайно сложным. Мы должны были бы тогда, например, говорить, что железные тела .постоянно изменяют свою длину, потому что каждый раз, когда мы измеряем их нашей гибкой резиновой линейкой, мы получаем различные значения. Ни один ученый, конечно, не захочет обременять себя изобретением сложных физических законов, чтобы описать такие явления. С другой стороны, если мы выберем в качестве единицы длины металлическую полоску, то мы обнаружим в мире очень большое число твердых тел, когда они измеряются этой единицей. Благодаря этому в наше описание мира вводятся большая регулярность и простота.

146

Эта регулярность возникает, конечно, из природы действительного мира. Мы могли бы жить в мире, в котором железные тела были бы твердыми друг относительно друга, а медные тела, в свою очередь, были бы твердыми относительно друг друга, но железные тела были бы нетвердыми по отношению к медным. Здесь не существует никакого логического противоречия. Это один из возможных миров. Если бы мы жили в таком мире и обнаружили, что он содержит много железа и меди, то какой из этих металлов мы бы выбрали в качестве подходящей основы для измерения? Каждый выбор имел бы определенные недостатки. Если же другие металлы подобным же образом, так сказать, не соответствовали друг другу, то такой выбор было бы сделать гораздо трудней. К. счастью, мы живем в мире, где это не имеет места. Все металлы являются твердыми друг относительно друга. Таким образом, мы можем взять любой из них в качестве нашего стандарта. Когда мы это сделаем, мы обнаружим, что другие металлические тела являются твердыми.

Вот почему, очевидно, желательно пользоваться при измерении длины скорее металлическим, чем резиновым стержнем, а при измерении времени —скорее маятником, чем биениями пульса. Мы склонны забывать, что имеется конвенциональный элемент в нашем выборе стандарта для измерения. Наличие этого элемента я подчеркивал в моей докторской диссертации о пространстве 1, а Рейхенбах позже отмечал в своей книге о пространстве и времени 2. Выбор является условным (конвенциональным) в том смысле, что не существует никакого логического основания запретить нам выбрать в качестве стандарта резиновый стержень и биения пульса, но за это нам придется расплачиваться разработкой фантастически сложной физики, чтобы иметь дело с миром, в котором господствует иррегулярность. Это, конечно, вовсе не означает, что выбор является произвольным, что один выбор является таким же хорошим, как и другой. Существуют сильные практические основа-

1. «Der Raum, Ein Baitrag zur Wissenschaftslehre» (Jena, University of Jena, 1922); (Berlin, Verlag von Reuther & Reichard, 1922).

2. Речь идет о книге Г. Рейхенбаха: «The Philosophy of Space and Time», New York, Dover, 1958. — Прим, nepeв.

147

ния, связанные с природой мира, для того, чтобы предпочесть стальной стержень и маятник.

Как только мы выберем стандарт для измерения, такой, как металлический стержень, мы сталкиваемся с другим выбором. Мы можем сказать, что длина данного конкретного стержня служит единицей измерения независимо от изменения его температуры, магнетизма и т. п., или же мы можем ввести поправочные коэффициенты, зависящие от таких изменений. Первый выбор, очевидно, дает более простые правила, но если мы сделаем его, то снова столкнемся со странными следствиями. Если стержень нагревается и затем используется для измерения, то мы обнаружим, что все другие тела в мире сократятся. Когда стержень охладится, остальной мир снова расширится. Мы будем вынуждены сформулировать всякого рода причудливые и сложные законы, но здесь не будет никакого логического противоречия. По этим основаниям мы можем говорить о возможном выборе.

Вторая процедура связана с введением поправочных коэффициентов. Вместо условия, что отрезок мел-еду двумя отметками будет рассматриваться как имеющий выбранную длину l0 (скажем, 1 или 100), мы теперь будем заявлять, что он имеет нормальную длину l0, только когда стержень имеет температуру Т0, которую мы выбираем в качестве «нормальной» температуры, в го время как при любой другой температуре Т длина отрезка дается уравнением

l = l0 [1 + в (T-T0)],

где в есть константа (называемая «коэффициентом теплового расширения»), которая характеризует вещество стержня. Подобные же поправки таким же путем вводятся для других условий, таких, как наличие магнитных полей, которые также могут повлиять на длину стержня. Физики предпочитают больше эту более сложную процедуру — введение поправочных коэффициентов — по тем же самым основаниям, по которым они выбирают металлический стержень вместо резинового — такой выбор приводит к значительному упрощению физических законов.

148

Глава 10

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

И КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ЯЗЫК

Когда даются правила для измерения некоторых величин, подобных длине, интервалу времени и массе, тогда на основе этих «исходных» величин мы можем ввести другие путем определения. Такие величины называют «определяемыми» или «производными». Значение производных величин всегда может быть найдено косвенным путем, с помощью их определения, из значений исходных величин, входящих в это определение,

В некоторых случаях, однако, возможно построить инструмент, который будет измерять такую величину непосредственно. Например, плотность обычно рассматривается как производная величина, потому что ее измерение основывается на измерении таких исходных величин, как длина и масса. Мы непосредственно измеряем объем и массу тела'и затем определяем его плотность как частное от деления массы на объем. Возможно, однако, измерить плотность жидкости непосредственно с помощью ареометра. Обычно он представляет собой стеклянный поплавок с длинной трубкой, подобной термометру. Трубка имеет проградуированную шкалу, которая указывает глубину, на которую погружается инструмент в испытуемую жидкость! Приближенная плотность жидкости определяется непосредственно по этой шкале.

Таким образом мы устанавливаем, что отличие между исходными и производными величинами не должно рассматриваться как фундаментальное. Это различие скорее основывается на практических процедурах, которые физик применяет для измерений.

Если тело не является однородным, то мы должны говорить о «средней плотности». Возникает искушение сказать, что плотность такого тела в любой данной точке должна рассматриваться как предел отношения массы к объему, но поскольку вещество дискретно, то понятие предела не может быть применено здесь. В других случаях производных величин предельный подход становится необходимым. Рассмотрим, например, тело, движущееся по своей траектории. В течение интервала времени Дt оно проходит путь длиною Дs. Мы определим

148

теперь его «скорость», другую производную величину, как отношение Дs/Дt. Если, однако, скорость тела не постоянна, мы можем только сказать, что его «средняя скорость» в течение этого интервала времени равнялась Дs/Дt. Какова была скорость тела в некоторой временной точке, принадлежащей к указанному интервалу времени? На этот вопрос нельзя ответить посредством определения скорости как отнбшения пути ко времени. Мы должны ввести понятие предела этого отношения, когда временной интервал стремится к нулю. Иными словами, мы должны использовать то, что в дифференциальном исчислении называют производной. Вместо простого отношения Дs/Дt мы имеем производную

для Дt0.

Это называют «мгновенной скоростью» тела, потому что она выражает скорость в определенной точке времени скорее, чем среднюю скорость в этом интервале времени. Она является другим примером производной величины. Подобно понятию плотности, эта скорость также может быть измерена посредством некоторых инструментов. Например, спидометр автомашины дает возможность непосредственно измерить мгновенную скорость машины.

Понятие предела также используется для определения производной величины ускорения. Мы имеем скорость v и изменение этой скорости, которое возникает от одного мгновения времени к другому. Если интервал времени равен Дt, а изменение скорости Дv, то ускорение, или темп изменения скорости, равно Дv/Дt. Здесь снова мы должны рассматривать это отношение как «среднее ускорение» в течение интервала времени Дt. Если мы хотим достичь большей точности и говорить о «мгновенном ускорении» в данной точке времени, то мы должны отказаться от отношения двух конечных значений и написать следующую производную:

для t0.

Мгновенное ускорение есть, таким образом, то же самое, что и вторая производная s no t:

.

150

Иногда физик может сказать, что плотность в некоторой точке физического тела представляет производную массы по объему, но это только приблизительный способ выражения. Его утверждения нельзя брать буквально потому, что, хотя пространство и время и являются (на сегодняшний день физики) непрерывными, распределение массы в теле не является таковым, по крайней мере на молекулярном и атомном уровнях. По этим основаниям мы не можем буквально говорить о плотности как производной. Она не является производной, между прочим, потому, что это предельное понятие может быть применено только к настоящим непрерывным величинам.

В физике существует много других производных величин. Чтобы ввести их, нет необходимости формулировать такие сложные правила, которые мы обсуждали раньше при введении исходных величин. Мы должны только определить, как значения производных величин могут быть вычислены с помощью исходных величин, которые могут быть измерены непосредственно.

Иногда возникает трудная проблема относительно как исходных, так и производных величин. Чтобы разъяснить ее, вообразим себе, что мы имеем две величины M1 и M2. Когда мы исследуем определение величины M1 или правила, которые показывают нам, как ее измерить, мы находим, что сюда входит величина М2. Когда мы обращаемся к определению или правилам для М2, мы находим, что сюда входит M1. На первый взгляд здесь создается впечатление логического круга, но его легко избежать путем применения того, что называют методом последовательного приближения.

Вы помните, что в предыдущей главе мы рассматривали уравнение, которое определяет длину измерительного стержня. В этом уравнении встречается поправочный коэффициент для теплового расширения. Другими словами, в совокупность правил для измерения длины входит температура. С другой стороны, вы помните, что в наших правилах для измерения температуры мы обращались к длине или, скорее, к объему определенной испытуемой жидкости, используемой в термометре, но объем, конечно, определяется с помощью длины. Поэтому кажется, что здесь мы имеем две

151

величины — длину и температуру, каждая из которых зависит от другой при их определении. Кажется, что здесь имеет место порочный круг, но фактически его нет.

Один из выходов таков. Сначала мы вводим понятие длины, не рассматривая поправочный коэффициент для теплового расширения. Это понятие не будет давать нам осуществлять измерения с большой точностью, но оно будет достаточно подходящим в тех случаях, когда не требуется большой точности. Например, если для измерения используется железный стержень, тепловое расширение его при нормальных условиях настолько мало, что измерения будут оставаться достаточно точными. Это дает первое понятие, L1 длины. Мы можем теперь использовать это понятие для построения термометра. С помощью железной измерительной линейки мы делаем отметки на трубке, содержащей нашу испытуемую жидкость. Так как мы можем построить эту шкалу с достаточной точностью, то мы достигаем достаточной точности, когда измеряем температуру по этой шкале. Таким способом мы вводим наше первое понятие температуры T1. Теперь мы можем использовать T1 для установления уточненного понятия длины L2. Мы делаем это путем введения T1 в правила для определения длины. Это уточненное понятие длины L2 (исправленное за счет теплового расширения железного стержня) теперь пригодно для построения более точной шкалы для нашего термометра. Это, конечно, приводит к T2, уточненному понятию температуры.

В случае длины и температуры только что описанная процедура будет уточнять оба понятия до такого пункта, в котором ошибки будут крайне незначительными. В других случаях может оказаться необходимым возвращаться к этому несколько раз, прежде чем последовательные уточнения приведут к измерениям, достаточно точным для наших целей. Мы должны допустить, что мы никогда не достигнем абсолютно совершенного метода измерения любого понятия. Мы можем, однако, сказать, что чем больше мы будем повторять эту процедуру – начиная с двух огрубленных понятий и уточняя каждое с помощью другого, — тем более точными станут наши измерения. Благодаря такой технике последовательных

152

приближений мы избегаем того, что на первый взгляд кажется порочным кругом.

Теперь мы займемся вопросом, который много раз поднимался философами: могут ли измерения быть применены к каждому аспекту природы? Существуют ли такие стороны мира или даже некоторые виды явлений, которые в принципе неизмеримы? Например, некоторые философы могут допустить, что все то, что находится в физическом мире, является измеримым (хотя некоторые философы отрицают даже это), но они считают, что в духовном мире это не имеет места. Некоторые из них идут даже так далеко, что утверждают, что все то, что является духовным, неизмеримо.

Философ, который придерживается такой точки зрения, может рассуждать следующим образом: «Интенсивность чувства или боли или степень интенсивности, с которой я вспоминаю прошлые события, являются в принципе неизмеримыми. Я могу чувствовать, что моя память об одном событии является более сильной, чем о другом, но я не могу сказать, что первое из них имеет степень интенсивности, равную 17, а второе —12,5. Измерение силы памяти является, таким образом, в принципе невозможным».

Чтобы высказать возражения против этой точки зрения, мы сначала рассмотрим физическую величину — вес. Вы поднимаете тяжелый камень, вы сравниваете его с другим камнем, значительно более легким.

Если вы исследуете оба камня, вы не придете к каким-либо числам или же не найдете каких-либо дискретных единиц, которые можно было бы сосчитать. Сами явления не содержат ничего численного, только ваши личные ощущения веса. Как мы видели в предшествующих главах, мы вводим, однако, численное понятие веса путем установления процедуры для его измерения. Именно мы приписываем числа природе. Сами явления обнаруживают только свойства, которые мы наблюдаем. Все численное, за исключением кардинальных чисел, которые могут быть соотнесены с дискретными объектами, вносится нами самими, когда мы устанавливаем процедуры для измерения.

Ответ на наш первоначальный философский вопрос, я полагаю, должен быть сформулирован следующим образом. Если в любой области явлений вы обнаружите

153

достаточный порядок, чтобы можно было осуществлять сравнения и сказать, что в некотором отношении одна вешь больше или выше, чем другая, а эта последняя больше, чем нечто третье, то в принципе существует возможность измерения. Теперь вы должны приступить к установлению правил, посредством которых можно приписать числа явлениям наиболее целесообразным образом. Как мы видели, первый шаг состоит в нахождении сравнительных правил. Затем, если возможно, следует найти количественные правила. Когда мы приписываем числа явлениям, нет смысла спрашивать, являются ли они «правильными» числами. Мы просто устанавливаем правила, которые характеризуют, как должны быть приписаны числа. С этой точки зрения не существует ничего в принципе неизмеримого.

Даже в психологии мы фактически осуществляем измерения. Измерение ощущений было введено в девятнадцатом столетии. В связи с этим, возможно, читатель вспомнит закон Вебера — Фехнера в той области, которая впоследствии стала называться психофизикой. Ощущение, которое должно быть измерено, сначала соотносится с чем-то физическим. Затем устанавливаются правила, которые определяют степень интенсивности ощущения. Например, было осуществлено измерение чувства давления различных грузов на кожу или ощущения высоты или интенсивности звука, и т. п. Один из подходов к измерению высоты звука — мы здесь говорим об ощущении, а не о частоте звуковой волны — состоит в построении шкалы, основывающейся на единице, представляющей наименьшую разницу в высоте звука, которая может быть обнаружена. С.-С. Стивенс в одно время предложил другую процедуру, основанную на узнавании субъектом высоты звука, который он воспринимает точно в середине между двумя другими тонами. Таким образом, мы в состоянии самыми различными способами придумывать шкалы для измерения некоторых психологических величин. Следовательно, дело не в том, что в принципе невозможно применение количественного метода к психологическим явлениям.

В этом пункте мне бы хотелось сделать замечания о границах процедуры измерения. Конечно, не существует ни малейшего сомнения в том, что измерение представляет одну из основных процедур науки, но в то же

154

время мы должны позаботиться о том, чтобы не переоценить сферу его действия. Характеристика процедуры измерения не всегда дает нам полное значение понятия. Чем больше мы изучаем развивающуюся науку, в особенности такую быстро развивающуюся ее отрасль, как физика, тем больше мы начинаем осознавать тот факт, что полное значение понятия не может быть раскрыто с помощью одной измерительной процедуры. Это верно даже для простейших понятий.

В качестве примера рассмотрим длину. Процедура измерения длины твердым стержнем может быть применена только в пределах определенной промежуточной области значений, которые не являются слишком большими или слишком маленькими. Она может быть применена к таким небольшим длинам, как миллиметр или его доли, но не тысячная часть миллиметра. Весьма малые длины не могут быть измерены таким способом. Мы не можем также применить измеряющий стержень для определения расстояния от Земли до Луны. Даже расстояние от Соединенных Штатов Америки до Англии не может быть измерено посредством такой процедуры без предварительного сооружения моста отсюда до Англии. Конечно, мы продолжаем говорить о расстоянии между США и Англией, имея в виду расстояние, которое могло бы быть измерено измерительным стержнем, если бы поверхность земли между этими странами была твердой. Но эта поверхность нетвердая, поэтому даже здесь мы должны изобрести другую процедуру для измерения длины.

Одна из таких процедур состоит в следующем. Путем непосредственного измерения мы устанавливаем некоторое расстояние на земле, например между пунктами А и В (рис. 10-1). Основываясь на этой линии АВ, как на базисе, мы можем определить расстояние от В до удаленного пункта С, не производя непосредственного измерения. С помощью угломерных инструментов мы измеряем два угла аир. Теоремы физической геометрии позволят нам вычислить длину отрезка а, который представляет собой расстояние между В и С. Зная это расстояние и измерив углы б и у мы можем вычислить расстояние от В даже до более удаленного пункта D. Таким образом, посредством процесса, называемого «триангуляцией», мы можем измерить обширную сеть расстояний и таким образом построить карту большой области.

155

Астрономы используют триангуляцию также для измерения расстояний от 3/емли до сравнительно близких звезд внутри нашей галактики. Конечно, земные расстояния являются слишком малыми, чтобы использовать их в качестве базисных отрезков, поэтому астрономы выбирают для этого расстояние от одной точки земной орбиты до противоположной. Этот метод не является достаточно точным для звезд,

находящихся на очень больших расстояниях внутри нашей галактики или же для измерения расстояний до других галактик, но для измерения таких огромных расстояний могут быть использованы другие методы. Например, по спектру звезды может быть определена присущая ей яркость. Путем ее сравнения с яркостью этой звезды, наблюдаемой с Земли, может быть определено ее расстояние от 3емли. Существует много способов измерения расстояний, которые не могут быть измерены непосредственно путем использования измеряющего стержня. Мы наблюдаем некоторые величины и затем на основе законов, связывающих эти величины с другими, приходим к косвенной оценке расстояний.

В этом пункте возникает важный вопрос. Если существует множество различных способов измерения некоторой физической величины, такой, как длина, тогда не должны ли мы вместо одного понятия длины говорить о множестве различных понятий? Такое мнение было высказано физиком и философом науки П.-У. Бриджме-Ном в его теперь ставшей классической книге «Логика современной физики» («The Logic of Modern Physics», 1927). Бриджмен склоняется к той точке зрения, что каждое количественное понятие должно быть определено Путем тех правил, которые описывают процедуру его измерения. Иногда это называют «операциональным определением» понятия. Но если мы имеем множество

156

различных операциональных определений длины, мы не должны, согласно Бриджмену, говорить об определенном 1, одном понятии длины. В противном случае мы должны отказаться от взгляда, что понятия определяются посредством явно установленной измерительной процедуры.

Моя точка зрения на этот вопрос такова. Я считаю, что лучше всего физические понятия рассматривать как теоретические понятия в процессе их последовательного уточнения, а не как понятия, полностью определяемые операциональными правилами. В повседневной жизни мы делаем различные наблюдения природы. Эти наблюдения мы описываем в качественных терминах, таких, как «длинный», «короткий», «горячий», «холодный», и в таких сравнительных терминах, как «длиннее», «короче», «горячее», «холоднее». Этот язык наблюдения связан с теоретическим языком посредством некоторых операциональных правил. В теоретический язык мы вводим количественные понятия, такие, как длина и масса, но мы не должны считать такие понятия определенными явным образом. Скорее операциональные правила вместе со всеми постулатами теоретической физики служат для того, чтобы дать частичные определения или, лучше, частичные интерпретации количественных понятий.

Мы знаем, что эти частичные интерпретации не являются окончательными, полными определениями, потому что физика постоянно пополняется новыми законами и операциональными правилами. Никакого конца этому процессу не видно — физика, далека от законченного развития системы процедур, — поэтому мы должны допустить, что мы располагаем только частичными, неполными интерпретациями всех теоретических терминов.

Многие физики включают такие термины, как «длина», в словарь наблюдения потому, что они могут быть измерены посредством несложной, прямой процедуры. Я предпочитаю не разделять их таким образом. Верно, что в повседневном языке, когда мы говорим, что «длина этого ребра стола равна тридцати дюймам», мы упо-

1. В подлиннике используется здесь определенный артикль — «the». — Прим. перев.

157

требляем термин «длина» в том смысле, который может быть полностью определен с помощью простой измерительной процедуры. Но это только небольшая часть полного содержания понятия длины, которая применима лишь к некоторой промежуточной области значений, а именно к той области, где в качестве измерительной техники используются стержень или линейка. Но это значение неприменимо к расстоянию между двумя галактиками или между двумя молекулами. Тем не менее ясно, что в этих трех случаях мы имеем в виду одно понятие длины, которое частично определяется всей системой физики, включающей правила для всех операционных процедур, используемых для измерения длины.

То же верно и в отношении понятия массы. Если мы ограничим его содержание определением, относящимся к взвешиванию, мы можем применить этот термин только к небольшой промежуточной области значений. Мы не можем говорить о массе луны или молекулы или даже о массе горы или дома. Мы должны были бы тогда проводить различие между множеством различных вели-чин, каждая со своим собственным операциональным определением. В тех случаях, когда для измерения масс могут быть применены два различных метода, мы должны были бы говорить, что две величины каким-то случайным образом имеют те же значение. Все это приводит, по моему мнению, к ненужной сложности языка. Мне кажется, самое лучшее — принять форму языка, который используется большинством физиков, и рассматривать длину, массу и т.п.скорее как теоретические понятия, чем как понятия наблюдения, определяемые явным образом посредством некоторых процедур измерения. Такой подход связан с предпочтением в выборе эффективного языка. Не существует единственного способа построения языка науки. Имеются сотни различных путей. Я могу только сказать, что, по моему мнению, такой подход к количественным величинам имеет много преимуществ. Я не всегда придерживался этого взгляда. Одно время, в согласии с многими физиками, я рассматривал такие понятия, как длина и масса, в качестве «наблюдаемых» терминов в языке наблюдения. Но постепенно я все больше и больше стал склоняться к мысли расширить объем теоретического языка и включить в него такие термины.

158

Позже мы обсудим теоретические термины более подробно. Здесь я только хочу отметить, что, по моему мнению, различные процедуры измерения не должны пониматься как окончательные определения величин. Они представляют просто особые случаи того, что я называю «правилами соответствия» (correspondence rules). Они служат для связи терминов языка наблюдения с терминами теоретического языка.