Часть 5.

Глава 11

ПРЕИМУЩЕСТВА КОЛИЧЕСТВЕННОГО МЕТОДА

Количественные понятия не даются самой природой, они возникают из нашей практики применения чисел к явлениям природы. Какие преимущества это дает? Если бы количественные понятия доставлялись самой природой, мы не задавали бы этот вопрос, как мы не спрашиваем, в чем состоят преимущества цвета. Природа может не иметь цветов, но приятно находить их в мире. Они просто существуют как часть природы. Мы не можем что-либо сделать с этим. В отношении к количественным понятиям ситуация совершенно другая. Они представляют часть нашего языка, а не часть природы. Именно мы вводим их; следовательно, законно спросить, почему мы это делаем. Почему мы соглашаемся на все хлопоты по изобретению сложных правил и постулатов, чтобы иметь величины, которые могут быть измерены по численной шкале?

Все мы знаем этот ответ. Много раз говорилось о том, что огромный прогресс науки, особенно в последние несколько столетий, был бы невозможен без использования количественного метода. (Впервые точным образом он был введен Галилеем. Конечно, другие ученые использовали этот метод раньше, но он первый сформулировал ясные правила метода.) Всюду, где это возможно, физик пытается ввести количественные понятия. В последние десятилетия по этому же пути следуют другие области науки. Мы не сомневаемся в том, что это представляет преимущество, но хорошо знать в подробностях, в чем это преимущество состоит.

Прежде всего — хотя это представляет небольшое преимущество — имеется увеличение эффективности нашего словаря. До введения количественных понятий мы должны были использовать множество различных качественных терминов или прилагательных, чтобы описать различные возможные состояния тела относительно данной величины. Например, не имея понятия температуры, мы должны были бы говорить о чем-то как об «очень горячем», «горячем», «теплом», «тепловатом», «прохладном», «холодном», «очень холодном» и т. п. Все это представляет собой то, что мы называем классификационными понятиями. Если бы мы имели несколько сот таких терминов, может быть, не было бы необходимости для повседневных целей вводить количественное понятие температуры. Вместо того чтобы говорить «сегодня 35 градусов», мы бы имели специальное прилагательное, которое обозначало бы эту температуру, а для 100 градусов — другое прилагательное и т. п.

Какие возражения имеются против этого? Прежде всего это чрезвычайно обременило бы нашу память. Мы бы не только должны были знать громадное число различных прилагательных, но также обязаны были бы помнить их порядок, поэтому мы непосредственно должны были бы знать, стоит ли некоторый термин выше или ниже другого по шкале. Но если мы введем единое понятие температуры, которое соотносит состояния тела с числами, тогда мы должны помнить только один термин. Порядок величин непосредственно обеспечивается порядком чисел. Верно, конечно, что мы должны предварительно запомнить числа, но, как только мы это сделаем, - мы можем применить эти числа к любой количественной величине. В противном случае мы должны запомнить различное множество прилагательных для каждой величины и в каждом случае должны также помнить их особый порядок. Вот два второстепенных преимущества количественного метода.

Самое главное преимущество, как мы видели в предыдущих главах, состоит в том, что количественные понятия позволяют нам формулировать количественные законы. Такие законы являются гораздо более эффективными как для объяснения существующих явлений, так и Для предсказания новых явлений. Даже с обогащенным качественным языком, в котором наша память была бы

160

обременена сотнями прилагательных, выражающих свойства, мы бы встретились с огромными трудностями даже при выражении простейших законов.

Предположим, например, что мы имеем экспериментальную ситуацию, в которой мы наблюдаем, как некоторая величина М зависит от другой величины Р. Мы изобразим это отношение в виде кривой, показанной на рис. 11-1. На горизонтальной прямой графика величина М принимает значения x1, x2, ... Для этих значений М величина Р принимает значения y1, y2,... После нанесения на график точек, соответствующих этим значениям, мы пытаемся подобрать плавную кривую, проходящую через эти точки. Возможно, что для этого подойдет прямая линия. В этом случае мы скажем, что М

Рис. 11-1.

представляет линейную функцию от Р. Мы выразим это так: Р=aM+b, где а и b являются параметрами, которые остаются постоянными в данной ситуации. Если точки подойдут под кривую второго порядка, мы будем иметь квадратичную функцию. Возможно, что М будет логарифмом Р или же более сложной функцией, которая должна выражаться в терминах различных простых функций. По'сле того, как мы остановимся на наиболее вероятной функции, мы проверим путем повторных наблюдений, нашли ли мы функцию, которая представляет универсальный закон, связывающий две величины.

Что случилось бы в этой ситуации, если бы мы не имели количественного языка? Предположим, что мы имеем качественный язык, более богатый, чем современный английский язык. В нашем языке мы бы не имели такого слова, как «температура», но имели бы для каж-

161

дого свойства примерно пятьдесят прилагательных, которые все были бы точно упорядочены. Наше первое наблюдение не было бы М=x1. Вместо этого мы должны были бы сказать, что предмет, который мы наблюдаем, является_______, используя здесь одно из пятидесяти прилагательных, которые относятся к М. А вместо Р = у1 мы имели бы другое предложение, в котором использовали бы одно из пятидесяти прилагательных, относящихся к свойству Р. Строго говоря, два прилагательных будут соответствовать не точкам на осях нашего графика — мы не имеем возможности ввести такое количество прилагательных, которое бы соответствовало всем точкам на линии, — но, скорее, интервалам на каждой линии. Одно прилагательное, например, будет относиться к интервалу, который содержит x1. Пятьдесят интервалов вдоль оси М, соответствующих пятидесяти прилагательным для М, будут иметь нечеткие границы, и они даже могут в некоторой мере перекрываться друг другом. В этом языке мы не смогли бы выразить простой закон, скажем, формы Р = а + bМ + сМ2. Мы -должны были бы точно охарактеризовать, как каждое из наших пятидесяти прилагательных для М соответствовало бы одному из пятидесяти прилагательных для Р.

Для большей конкретности предположим, что М относится к свойству теплоты, а Р — к цвету. Закон, связывающий два эти свойства, будет состоять из совокупности пятидесяти условных предложений вида: «Если предмет является очень, очень, очень горячим (для выражения этого факта мы должны, конечно, иметь одно прилагательное), то он должен быть ярко-красным». Действительно, в английском языке мы имеем большое число прилагательных для обозначения цветов, но это почти единственная область свойств, где мы имеем так много прилагательных. По отношению к большинству величин в физике качественный язык крайне беден прилагательными. Таким образом, закон, выраженный в количественном языке, будет гораздо короче и проще, чем громоздкие выражения, которые потребуются, если мы попытаемся выразить тот же самый закон в качественных терминах. Вместо одного простого, компактного уравнения мы будем иметь множество предложений типа «если — тогда», в каждом из которых предикат-одного класса соединяется с предикатом другого класса.

162

Наиболее важное преимущество количественных законов состоит, однако, не в их краткости, а, скорее, в той пользе, которую они могут принести. Как только мы будем иметь закон в численной форме, мы можем применить к нему ту мощную часть дедуктивной логики, которую мы называем математикой 1, и таким способом делать предсказания. Дедуктивная логика может, конечно, использоваться для вывода предсказаний также и в качественном языке. Так, мы можем вывести из посылки «это тело очень, очень, очень горячее» предсказание «это тело будет ярко-красным». Но эта процедура будет громоздкой по сравнению с сильными, эффективными методами дедукции, которые составляют часть математики. В этом состоит огромное преимущество количественного метода. Он позволяет нам выразить законы в виде математических функций, благодаря чему предсказания из них могут быть сделаны наиболее эффективным и точным способом.

Эти преимущества так велики, что никто сейчас не будет всерьез думать о предложении, чтобы физики отказались от количественного языка и возвратились к донаучному качественному языку. Однако в ранний период науки, когда Галилей вычислял скорости, с которыми скатывались шары по наклонной плоскости, и периоды маятника, имелось много людей, которые, вероятно, говорили: «Что хорошего все это дает? Как все это поможет нам в повседневной жизни? Я никогда не буду иметь дело с тем, что происходит с маленькими шарообразными телами, когда они падают по желобу. Верно, иногда, когда я вынимаю горошины из стручка, они скатываются по наклонному столу. Но какое значение имеет вычисление их точного ускорения? Какую практическую пользу может иметь такое знание?»

Сегодня никто не говорит таким образом, потому что все мы пользуемся множеством сложных инструмен-

1. Такая точка зрения о сведении математики к логике характерна для сторонников логицизма, к которым принадлежит и Карнап. Однако такой взгляд наталкивается на серьезные возражения как логико-методологического, так и общефилософского характера. Поэтому большинство ученых не разделяют мнения логицистов о сведении математики к логике. Подробнее об этом см.: Г. И. Руза-вин, О природе математического знания, М., «Мысль», 1968, стр. 237—244. — Прим. перев.

163

тов — автомобилем, холодильником, телевизором, — которые, как мы знаем, были бы невозможны, если бы физика не разрабатывалась как количественная наука. У меня есть друг, который с самого начала придерживается той философской позиции, что разработка количественной науки была прискорбным явлением, потому что она привела к механизации жизни. Я на это отвечал, что, если он не желает противоречить себе, он никогда не должен пользоваться самолетом, автомобилем или телефоном. Отказ от количественной науки означал бы отказ от всех тех удобств, которые дает нам современная техника. Не много людей, я думаю, пожелают этого.

В этом пункте мы сталкиваемся с аналогичной, хотя и несколько отличной, критикой количественного метода. Действительно ли он помогает нам понять природу? Конечно, мы можем описывать явления в математических терминах, делать предсказания, изобретать сложные машины, но не существует ли лучшего способа проникновения в тайны природы? Такая критика количественного метода как низшего по сравнению с более непосредственным, интуитивным подходом к природе была предпринята величайшим немецким поэтом Гёте. Читатель, вероятно, знает его только как автора драм и поэм, но в действительности он много интересовался некоторыми отраслями науки, в частности биологией и теорией цветов. Он написал большую книгу по теории цветов и временами думал, что эта книга имеет более важное значение, чем все его поэтические произведения, вместе взятые.

Часть книги Гёте посвящена психологическим эффектам цветов. Она систематически изложена и действительно очень интересна. Гёте был очень тонок в восприятии своих ощущений и по этой причине мог квалифицированно судить о том, каким образом окружающие нас цвета влияют на наше настроение. Каждый архитектор, занимающийся отделкой внутренних помещений, знает эти эффекты. Значительное количество желтого и красного цвета в комнате действует стимулирующе. Зеленый и синий цвета дают успокаивающий эффект. Когда мы выбираем цвета для наших спален и жилых комнат, мы имеем в виду именно эти психологические эффекты. В своей книге Гёте разбирает также

164

физическую теорию цветов. В ней имеется исторический раздел, в котором он обсуждает предшествующие теории цветов, в частности ньютоновскую теорию. Он в принципе не удовлетворен общим подходом Ньютона. Световые явления во всех их аспектах, утверждал Гёте, в особенности цвета, должны наблюдаться только при наиболее естественных условиях. Его работа в биологии привела его к заключению, что, если вы хотите обнаружить реальный характер дуба или лисицы, вы должны наблюдать дуб или лисицу в их естественной среде. Гёте переносит это понятие в физику. Грозу лучше всего наблюдать, выйдя во время грозы из комнаты и наблюдая небо. Так же обстоит дело со светом и цветами. Они

должны наблюдаться так, как встречаются в природе,— путь светового луча, проходящего через облака, изменение цвета неба, когда заходит солнце. Путем таких наблюдений Гёте обнаружил некоторые закономерности. Но когда он читал в известной книге Ньютона «Оптика» утверждение о том, что белый свет представляет соединение всех,спектральных цветов; он очень сердился.

Почему он сердился? Потому что Ньютон не производил своих наблюдений над светом при естественных условиях. Вместо этого он осуществил свой известный эксперимент с призмой, не выходя из комнаты. Он затемнил лабораторию и сделал тонкую щель в ставне окна (рис. 11-2), щель, пропускающую только узкий пучок света в темную комнату. Когда этот луч света проходил через призму, Ньютон заметил, что он отобра-

165

жается на экране в виде системы различных цветов, начиная от красного и кончая фиолетовым. Он назвал эту систему спектром. Измерив углы преломления, он пришел к выводу, что эти углы различны для разных цветов, наименьший — для красного и наибольший — для фиолетового. Это заставило его предположить, что сама призма не производит цветов, она просто отделяет цвета, которые содержатся в первоначальном луче солнечного света. Это предположение он подтвердил другими экспериментами.

Гёте выдвигал различные возражения против общего подхода Ньютона к физике, который иллюстрируется вышеуказанным экспериментом. Прежде всего, указывал он, чтобы пытаться понять природу, мы должны больше полагаться на непосредственные данные наших чувств, чем на теоретический анализ. Поскольку белый свет предстает перед нашими глазами как совершенно простой и бесцветный, мы должны принимать его именно таким, а не представлять его в виде объединения различных цветов. Гёте казалось также ошибочным наблюдать природные явления, такие, как луч света, при искусственных, экспериментальных условиях. Если вы хотите понять природу солнечного луча, вы не должны затемнять вашу комнату и затем наблюдать луч света через узкую щель. Вы должны^ыйти под открытое небо и созерцать все замечательные цветовые явления так, как они проявляются в их естественной обстановке. Наконец, он скептически относился к пользе количественного „метода. Он допускал, что производить точные измерения углов, расстояний, скоростей, весов и т. п. и затем на основе результатов этих измерений делать математические вычисления, может быть, и полезно для технических целей. Но он серьезно сомневался, является ли это наилучшим подходом, если мы хотим действительно проникнуть в тайны природы.

Сегодня, конечно, мы знаем, что в споре между ньютоновским аналитическим, экспериментальным, количественным подходом и гётевским непосредственным, качественным, феноменологическим подходом первый одержал победу не только в физике, но в наши дни все больше и больше завоевывает другие области науки, включая социальные науки. Теперь очевидно, особенно в физике, что огромные успехи в последнем столетии

166

были бы невозможны без использования количественных методов.

С другой стороны, мы не должны упускать из вида того огромного значения, которое может иметь интуитивный подход, подобный гётевскому, для открытия новых фактов и развития новых теорий, в особенности в относительно новых областях познания. Гётевский способ художественного воображения в сочетании с тщательными наблюдениями позволил ему открыть новые важные факты в области сравнительной морфологии растений и живых организмов. Некоторые из этих открытий впоследствии были признаны пак шаг в направлении к эволюционной теории Дарвина. (Это было объяснено великим немецким физиком и физиологом Германом Гельмгольцем в 1853 году в его лекции о научных исследованиях Гёте. Гёльмгольц очень высоко оценивает работы Гёте в биологии, но критикует его теорию цветов. В 1875 году в постскриптуме к лекции он указывает, что некоторые гипотезы Гёте со временем были подтверждены теорией Дарвина 1).

Может быть, интересно упомянуть, что примерно в середине прошлого века философ Артур Шопенгауэр написал небольшой трактат о видении и цветах («ОЬег das Sehen und die Farben»), в котором он придерживается позиции, что в историческом споре по этому вопросу Гёте был целиком прав, а Ньютон полностью оши-

1. Труд Гёте «Теория цветов» («Die Farbenlehre) — большая работа из трех частей, опубликованная в Германии в 1810 году. Английский перевод I части Чарлза Истлейка вышел в Лондоне в 1840 году. Лекция Гельмгольца «О научных исследованиях Гёте» («On Goethe's Scientific Researches») впервые появилась в его «Популярных лекциях по научным предметам» («Popular Lectures on Scientific Subjects», First Series, New York, Longmans, Green, 1881) и была перепечатана в «Популярных научных лекциях» («Popular Scientific Lectures», New- York, Dover, 1962). Сходная критика Гёте дается в речи Джона Тиндаля «Учение Гёте о цветах» («Goethe's Farbenlehre»), в его «Новых фрагментах» («New Fragments», New York, Appleton, 1892) и в лекции Вернера Гейзенберга в 1941 году «Учение Гёте и Ньютона о цветах в свете современной физики («The Teachings of Goethe and Newton on Colour in the Light of Modern Physics), в «Философских проблемах ядерной науки» («Philosophic Problems of Nuclear Science», London, Faber & Faber, 1952). (Русск. перев. «Учение Гёте и Ньютона о цвете и современная физика», в кн.: В. Гейзенберг, Философские проблемы атомной физики, М., 1953, стр. 54—71. — Прим. перев.)

167

бался. Шопенгауэр не только отвергает применение математики в естественных науках, но и саму технику математических доказательств. Он называет такие доказательства «мышеловками», приводя в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Это доказательство, утверждает он, является точным; никто не может возразить вам и сказать, что оно ложно. Но оно представляет совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его является, конечно, убедительным, однако к концу доказательства у вас возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Математик вынуждает вас допустить истинность теоремы, но вы не получаете никакого реального понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы вдруг выходите из лабиринта и говорите себе: «Да, я здесь, но я не знаю, как здесь очутился». Нечто подобное существует с этой точки зрения и при обучении математике. Мы должны обращать большее внимание на интуитивное понимание того, что мы делаем на каждом шагу доказательства, и почему мы предпринимаем именно эти шаги. Но все это между прочим.

Чтобы дать ясный ответ на вопрос, теряем ли мы нечто, как думают некоторые философы, когда описываем мир с помощью чисел;" мы должны четко различать две языковые ситуации: язык, который действительно не включает некоторых свойств описываемых предметов, и язык, который только кажется не включает их, тогда как на самом деле содержит их. Я убежден, что значительная путаница в умах этих философов происходит из-за того, что они не проводят такого различия.

Термин «язык» употребляется здесь в широком, необычном смысле. Он применяется к любому методу, с помощью которого передается информация о мире,— слову, картине, диаграмме и т. п. Рассмотрим язык, не включающий некоторых сторон предметов, которые он описывает. Вы рассматриваете в журнале черно-белую фотографию Манхэттена. Возможно, заголовок ее гласит: «Очертания Нью-Йорка, вид с запада». Эта картина передает на языке черно-белой фотографии информацию о Нью-Йорке. Вы что-то узнаете о размерах и формах зданий. Картина сходна с непосредственным зрительным впечатлением, которое вы могли бы получить,

168

если бы стояли на месте установки камеры и обозревали Нью-Йорк. Вот почему, разумеется, вы понимаете картину. Она не является языком в обычном смысле слова. Она представляет язык в более общем смысле, поскольку она выражает информацию.

Однако фотографии недостает многого. Она не имеет измерения в глубину и ничего не говорит нам о цветах зданий. Это, конечно, не значит, что вы не можете сделать правильных выводов о глубине и цвете. Если вы видите черно-белую фотографию вишни, то вы предполагаете, вероятно, что вишня красная. Но это только умозаключение. Сама картина не передает цвета вишни.

Теперь обратимся к ситуации, в которой свойства только кажутся отсутствующими, на самом же деле язык содержит их. Когда вы впервые увидели музыкальную запись, возможно, будучи еще ребенком, вы могли спросить: «Что за странные вещи находятся здесь? Вот пять линий, которые пересекают всю страницу. Они покрыты черными точками, некоторые из них имеют хвостики».

Вам говорят: «Это музыка, это очень красивая мелодия».

Вы протестуете: «Но я не слышу никакой музыки».

Верно, конечно, что эта запись не выражает мелодии тем же самым путем, как, скажем, фонограф. Она не содержит ничего такого, что можно было бы слышать. Однако в другом смысле запись передает ритмы и продолжительность каждого тона. Она не выражает их способом, который был бы понятен ребенку. Даже взрослому мелодия может показаться сразу недоступной, пока он не сыграет ее на пианино или же не попросит кого-нибудь сыграть ее. И все же тоны мелодии, несомненно, неявно содержатся в записи. Конечно, для этого необходимы- правила перевода, которые показывают, каким образом эта запись преобразуется в звуки. Но если такие правила известны, мы можем сказать, что тембры тонов — их ритм, продолжительность, даже интенсивность переходов — все дается в нотной записи. Искусный музыкант даже в состоянии изучить звуки и «слышать» мелодию в уме. Очевидно, что здесь мы имеем ситуацию, явно отличающуюся от ситуации с черно-белой фотографией. Фотография действительно не со-

169

держит цвета. Музыкальная-запись, на первый взгляд, тоже не включает звуков, но фактически она подразумевает их.

В случае обычного языка мы так привыкаем к словам, что часто забываем, что они не являются естественными знаками. Когда вы слышите слово «синий», вы непосредственно представляете синий цвет. Еще детьми мы привыкаем к представлению, что слова нашего языка, обозначающие цвет, действительно выражают этот цвет. С другой стороны, когда мы слышим утверждение физика, что имеется некоторое электромагнитное колебание определенной интенсивности и частоты, мы не можем непосредственно представить цвет, который он описывает. Однако, если вы знаете правила перевода, вы можете определить этот цвет так же точно, может быть, даже точнее, чем когда вы слышите слово, обозначающее цвет. Если вы имели дело со спектроскопом, вы наизусть знаете, какой цвет какой частоте соответствует. В таком случае утверждение физика может непосредственно сообщить вам, что он говорит, например, о сине-зеленом цвете.

Правила перевода могут быть сформулированы различным образом. Например, шкала частот видимого спектра может быть нанесена на диаграмму, в которой каждой частоте будё'т точно соответствовать слово, обозначающее цвет. Или вместо слов для обозначения цветов можно взять небольшие квадраты, содержащие действительные цвета. В любом случае, когда вы услышите количественное утверждение физика, с помощью правил перевода вы можете вывести, какой в точности цвет он описывает. Свойство, в данном случае цвета, совсем не теряется при методе его передачи. Ситуация здесь аналогична нотной записи: существуют правила для определения тех свойств, которые на первый взгляд не включаются в запись. Это не похоже на черно-белую фотографию, в которой действительно некоторые свойства упускаются.

Преимущества количественного языка так очевидны, что приходится удивляться, почему многие философы критикуют его использование в науке. В главе 12 мы обсудим некоторые причины такой курьезной позиции.

170

Глава 12

МАГИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА ЯЗЫК

У меня сложилось впечатление, что одна из причин, почему некоторые философы возражают против подчеркивания того, что наука устанавливает количественный язык, состоит в том, что наше психологическое отношение к словам донаучного языка — словам, которые мы выучиваем еще с детства, — совершенно отлично от отношения к тем сложным записям, с которыми мы сталкиваемся в языке физики. Вполне объяснимо, что дети могут верить, что некоторые слова действительно несут, так сказать, те свойства, к которым они относятся. Я не хочу быть несправедливым по отношению к некоторым философам, но я подозреваю, что они иногда делают ту же самую ошибку при восприятии научных слов и символов, которую всегда совершают дети.

В хорошо известной книге Огдена и Ричардса «Значение значения» («The Meaning of Meaning») 1 имеются отличные примеры (некоторые из них просто изумительны) того, что авторы называют «магией слова». Многие люди придерживаются магического взгляда на язык, взгляда, что существует некоторая мистическая естественная связь между некоторыми словами (только, конечно, словами, с которыми они знакомы!) и их значениями (meanings). В действительности же только благодаря исторической случайности в развитии нашей культуры слово «синий» стало обозначать определенный цвет. В немецком языке этот цвет называется «blau». В других языках с ним связываются другие звуки.

Для детей вполне естественно считать, что только одно определенное слово «синий», к которому они привыкают в родном языке, является подлинным словом, а все другие слова для обозначения синего цвета или совершенно ошибочны, или несколько странны. Когда они становятся старше, они могут стать более терпимыми и сказать: «Другие люди могут употреблять слово «blau», но они используют его для вещи, которая в действитель-

1. С. К. Оgden and I. A. Richards, The Meaning of Meaning (London, Kegan Paul, Trench, Trubner, 1923); (8th rev. ed.; New York, Harcourt, Brace, 1946); (New York, Harvest Books, I960).

171

ности синяя». Маленький ребенок считает, что дом есть дом, а роза есть роза, и это есть все, что существует для него. Затем он узнает, что незнакомые люди во Франции называют дом «maison». Почему они говорят «maison», когда они имеют в виду дом? Поскольку это есть дом, то почему они не называют его домом? Ему расскажут, что это обычай во Франции говорить «maison». Французы сотни лет говорят так. Ребенок не будет порицать их за это или считать бестолковыми. Ребенок, наконец, признает это. Незнакомые люди имеют странные привычки. Пусть они употребляют слово «maisons» для обозначения тех вещей, которые в действительности являются домами. Кажется, не только детям, но и многим взрослым трудно отказаться от такой терпимой позиции и выработать взгляд, что между словами и тем, что они означают, не имеется никакой существенной связи. Конечно, они никогда открыто не скажут, что английское слово является единственно правильным словом, а слова других языков ошибочны, но магический взгляд их детства неявно присутствует в их мышлении и часто в их замечаниях.

Огден и Ричарде цитируют английскую пословицу; «The Divine is rightly so called». Это, по-видимому, значит, что пророк действительно пророчествует. Следовательно, он правильно тай называется. Хотя можно чувствовать, что какая-то вещь правильно так называется, пословица ничего фактически нам не говорит. Она, очевидно, не имеет смысла. Тем не менее часто люди с сильным эмоциональным чувством повторяют ее, действительно думая, что она выражает своего рода глубокое проникновение в природу пророка.

Несколько более сложные примеры магического взгляда на язык содержатся в книге Курта Рицлера «Физика и реальность» 1 («Physics and Reality: Lectures of Aristotle on Modern Physics at an International Congress of Science», 679 Olympiad, Cambridge, 1940, A. D.). Автор вообразил Аристотеля возвратившимся на землю в наше время и излагающим свою точку зрения (которая также представляет точку зрения Рицлера, хот

1. Книга Курта Рицлера была опубликована в 1940 году Цель-ским университетом в Нью-Хевене, который дал разрешение привести цитаты из нее.

172

полагаю, что она есть только точка зрения последнего) относительно современной науки.

Аристотель начинает с высокой оценки современной науки. Он восхищен ее громадными достижениями. Затем он.добавляет, что он должен, чтобы быть справедливым, сделать несколько критических замечаний. Эти замечания как раз и интересны для нас. На странице 70 книги Рицлера Аристотель собирательно говорит о физиках:

«День является холодным для негра и жарким для эскимоса. Вы разрешаете диспут тем, что отмечаете 50° на вашем термометре» 1.

Рицлер хочет сказать здесь, что в качественном языке повседневной жизни мы не имеем никакого соглашения относительно таких слов, как «жаркий» и «холодный». Если эскимос из Гренландии прибывает в пункт, где температура равна 50°, то он скажет: «Это довольно жаркий день». Негр из Африки в этом же месте будет говорить: «Это холодный день». Два человека не соглашаются о значении слов «жаркий» и «холодный». Рицлер представляет себе физика, говорящего им: «Забудьте ваши слова и говорите вместо этого в терминах температуры; тогда мы можем прийти к согласию. Мы согласны, что сегодня температура составляет 50°».

Продолжим цитату:

«Вы гордитесь тем, что нашли объективную истину путем элиминации...»

Я прошу читателя догадаться о том, что, по мнению Рицлера, элиминировали физики. Мы можем ожидать, что предложение будет продолжено так: «...путем элиминации слов «жаркий» и «холодный». Физик, конечно, элиминирует эти слова не откуда-нибудь, а из количественного языка физики. Но он все же хочет сохранить их в качественном языке повседневной жизни. Действительно, качественный язык необходим даже для физика, чтобы описать то, что он видит. Но Рицлер продолжает говорить не то, что мы ожидаем. Продолжим его утверждение:!

«...путем элиминации как негра, так и эскимоса». Когда я впервые прочел это, я подумал, что он говорит

1. Имеется в виду шкала Фаренгейта. По Цельсию эта температура равна 24,2°. — Прим. перев.

173

почти то же самое, но несколько отлично и что он имеет в виду то, что физик элиминирует способы выражения негра и эскимоса. Но это не так. Рицлер имеет в виду более существенное. Позже становится совершенно ясным, что, с его точки зрения, современная наука элиминировала человека, забывает и игнорирует наиболее важный предмет человеческого познания — самого человека.

«Вы гордитесь нахождением объективной истины посредством элиминации как негра, так и эскимоса. Я признаю важность того, что вы достигли. Согласен также, что вы бы не построили ваши чудесные машины без элиминации негра и эскимоса. А как насчет реальности и истинности?

Вы отождествляете истину с уверенностью. Но очевидно, что истина имеет отношение к бытию, или, если вы предпочитаете, к чему-то, называемому «реальностью». Истина может иметь высокую степень достоверности, какими являются, конечно, истины математики, и тем не менее низкую степень «реальности». Как насчет ваших 50°? Поскольку это истинно как для негра, так и эскимоса, вы называете это объективной реальностью. Эта ваша реальность мне кажется крайне бедной и тощей. Она представляет отношение, связывающее свойство, называемое температурой, с расширением ртути. Эта реальность не зависит ни от негра, ни от эскимоса. Она относится не к какому-либо конкретному лицу, а к анонимному наблюдателю».

Несколько дальше он пишет:

«Конечно, вы хорошо отдаете себе отчет в том, что теплота и холод в 50° имеют отношение к негру или эскимосу».

Я не совсем уверен в том, что он хочет сказать здесь. Возможно, он считает, что если бы негр или эскимос понимали, что означает «50°», тогда им следовало бы объяснить в терминах температуры слова «жаркий» и «холодный».

«Вы скажете, что система, подлежащая наблюдению, должна быть расширена, чтобы включить физические события, происходящие внутри негра или эскимоса».

Это означает предъявить к ответу физика требование: «А не упускаются ли ощущения тепла и холода, которые имеют эскимос и негр?» Рицлер, кажется, считает, что физик ответит нечто подобное следующему: «Нет, мы не

174

упускаем эти ощущения. Мы описываем также самого негра, как и эскимоса, как организмы. Мы анализируем их как телесные системы, физиологические и физические. Мы находим, что происходит внутри них, и таким путем можем объяснить, почему они имеют различные ощущения, которые заставляют их описывать тот же самый день, как «жаркий» и «холодный».

Продолжим выдержку:

«Вы сталкиваетесь с двумя системами, в которых градиент температуры противоположен — холод в одной системе и тепло в другой. Однако здесь холод и тепло не являются уже настоящими холодом и теплом. Негр и эскимос представляются в вашей системе сложными физическими или химическими явлениями, они больше не являются уже существами самостоятельными; они являются тем, чем они представляются анонимному наблюдателю,— сложными случаями, описываемыми посредством отношений между измеримыми количествами. Я чувствую, что негр и эскимос в вашей системе представляются довольно ограниченно. Вы ищете ответ в огромных усложнениях, которые входят в такую систему».

Рицлер обращается здесь к человеку как системе. Единый организм, конечно, является в громадной степени сложным, когда вы пытаетесь анализировать его физически. Он продолжает:

«Нет, джентльмены, вы приписываете символы, но вы никогда не опишете холод как холод, а тепло как тепло».

Здесь обнаруживается наконец-то небольшое подозрение на магию слов! Физик приписывает искусственные символы, в действительности не выражающие ничего похожего на свойства. Это неудачный случай, потому что физик не в состоянии описывать холод как «холод». Название «холод» вызывает у нас действительные ощущения. Мы все будем дрожать, как только вообразим, как холодно было. Или выражение: «Вчера было ужасно жарко» — вызовет у нас действительное ощущение жары. Это является моей интерпретацией того, что говорит Рицлер. Если читатель захочет дать более благожелательную интерпретацию, он волен поступить так, как он пожелает.

Далее (на стр. 72) имеется другое интересное заявление рицлеровского Аристотеля:

175

«Возвратимся к моей позиции. Реальность есть реальность субстанций. Вы не знаете субстанций, которые обусловливают случай, что ваш термометр показывает 50°. Но вы знаете, что негр и эскимос похожи...»

Рицлер имеет в виду, что вы знаете, что негр и эскимос похожи, потому что они — люди. Вы — человек и поэтому имеете общие с ними ощущения.

«...Спрашивать их — значит спрашивать себя, спрашивать о собственной боли и радости, собственном действии и подвергнуться действию. Здесь вы знаете, что реальность означает. Это вещи конкретные. Вы знаете, что они существуют».

Действительная реальность, он чувствует, может быть постигнута только тогда, когда мы говорим о боли и радости, жаре и холоде. Как только мы перейдем к символам физики, температуре и ей подобным, реальность ослабевает. Это утверждение Рицлера. Я убежден, что оно не является суждением Аристотеля. Аристотель был одним из величайших людей в истории мышления. В свое время он был высшим авторитетом для науки. Он сам производил эмпирические наблюдения и эксперименты. Если бы он смог увидеть развитие науки от его дней до нашего времени, я уверен, он бы с энтузиазмом поддержал научный способ мышления и выражения. Действительно, он был бы, вероятно, одним из ведущих Современных ученых. Я считаю, что Рицлер во многом необоснованно приписывает Аристотелю такие мнения.

Как я предполагаю, возможно, что Рицлер хотел только сказать, что наука не должна концентрировать все внимание исключительно на количественных понятиях, что она не должна игнорировать все те стороны природы, которые недостаточно точно подходят под формулы с математическими символами. Если это все, что он имел в виду, тогда, конечно, мы согласны с ним. Например, в области эстетики не было значительного прогресса в разработке количественных понятий. Но наперед всегда трудно сказать, где будет полезно ввести численные измерения. Мы должны оставить это специалистам в области конкретных наук. Если они найдут это полезным, они введут количественные понятия. Мы не должны отбивать охоту к таким усилиям, прежде чем они будут сделаны. Конечно, если язык используетс

176

для эстетических целей — не для научного исследования эстетики, а для выражения эстетического удовольствия, — тогда отпадает вопрос о количественном языке. Если мы хотим выразить наши чувства в письме к другу или в лирической поэме, тогда, естественно, мы выберем качественный язык. Мы нуждаемся в словах, которые так знакомы нам, что они непосредственно вызывают в памяти разнообразное множество значений и ассоциаций.

Верно также, что иногда ученый игнорирует важные аспекты даже тех явлений, над которыми он работает. Часто, однако, это связано только с разделением труда. Один биолог проводит свою работу целиком в лаборатории. Он исследует клетки под микроскопом, делает химические анализы и т. п. Другой — выходит на природу, наблюдает, как растут растения, при каких условиях птицы строят гнезда и т. п. Эти два человека имеют различные интересы, но знания, которые они приобретают разными путями, становятся составной частью науки. Никто не должен полагать, что другой делает бесполезную работу. Если намерением Рицлера было предостеречь нас, что наука должна позаботиться о том, чтобы не забывать некоторых вещей, тогда можно согласиться с ним. Но если он имеет в виду сказать, как он, кажется, говорит, что количественный язык науки в действительности упускает некоторые качества, тогда я думаю, он ошибается.

Позвольте мне процитировать обзор книги Рицлера, сделанный Эрнстом Нагелем1.

«Теории физики не могут заменить ни солнца, ни звезд, ни многосторонней деятельности конкретных вещей. Но почему кто-либо с достаточным основанием должен ожидать обогрева с помощью рассуждения?»

Вы видите, что Нагель истолковывает Рицлера даже менее благожелательным образом, чем попытался сделать я. Может быть, он и прав, но я в этом совсем не уверен. Нагель понимает Рицлера как критикующего язык физики за то, что он не выражает непосредственно, в более сильном смысле, такие свойства, как цвета, которые действительно содержатся в цветной картине.

1. Journal of Philosophy, 37 (1940), p. 438—439.

177

Тем же самым путем мы могли бы выразить информацию о запахах путем разбрызгивания духов — скорее, создавая благоухание, чем называя их. Возможно, Риц-лер имеет в виду — Нагель понимает его так, — что язык должен выражать свойства в этом сильном смысле, что он должен приносить нам свойства. Он, кажется, считает, что слово, подобное слову «холод», несет с собой некоторое действительное свойство холода. Такая точка зрения, конечно, представляет магический взгляд на язык.

Часть III

СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА

181

Глава 13

ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ

Природа геометрии в физике представляет тему, имеющую большое значение для философии науки,— тему, между прочим, к которой я питаю специальный интерес. Я написал по этому предмету свою докторскую диссертацию и, хотя с тех пор мало опубликовал на эту тему, над ней я продолжаю много думать.

Почему эта тема так важна? Прежде всего она приводит к анализу пространственно-временной системы, являющейся базисной структурой современной физики. Кроме того, математическая и физическая геометрии являются превосходными образцами двух фундаментально различных способов приобретения знания: априорного и эмпирического 1. Если мы ясно поймем отличие между vэтими геометриями, то мы получим ценное понимание важных методологических проблем теории познания.

Рассмотрим сначала природу математической геометрии. Мы знаем, конечно, что геометрия была одной из самых ранних математических систем, которые были разработаны. Мы мало знаем о ее происхождении. Изумительным является то обстоятельство, что уже ко времени Евклида она была так хорошо систематизирована. Аксиоматический характер евклидовой геометрии —

1. Термин «априорный» здесь не подходит, так как он может породить представление об особом пути познания, не опирающемся на опыт и практику. Суть дела лучше раскрывают термины «рациональное» или «аналитическое» знание. — Прим. перев.

182

выведение теорем из фундаментальных аксиом и постулатов— сам по себе был замечательным научным вкладом, который все еще продолжает играть основную роль в большинстве современных способов представления математических систем в точной форме. Удивительно, что этой процедуре уже следовали во времена Евклида.

Одна из аксиом Евклида, аксиома о параллельных, причиняла много беспокойства математикам в течение многих столетий. Мы можем сформулировать эту аксиому следующим образом. На любой плоскости, на которой имеется прямая L и точка Р вне этой прямой L, существует одна и только одна прямая L' на этой плоскости, проходящая через Р и параллельная L. (Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.)

Эта аксиома казалась столь очевидной, что вплоть до начала прошлого столетия никто не сомневался в ее истинности. Споры, которые происходили вокруг нее, касались не ее истинности, а того, является ли она необходимой в качестве аксиомы. Она казалась менее простой, чем другие аксиомы Евклида. Многие математики верили, что она может стать теоремой, которую можно будет вывести из других аксиом.

Были предприняты многочисленные попытки вывести аксиому о параллельных из других аксиом, и некоторые математики даже заявляли, что они добились здесь успеха. Мы знаем сегодня, что они ошибались. В то время не легко было увидеть ошибку в каждом из этих предполагаемых выводов, потому что они основывались — как это часто все еще делается в учебниках по геометрии для средней школы — на обращении к нашей интуиции. Мы делаем чертеж. По общему признанию, чертеж является неточным. Не существует никаких совершенных линий — линии, которые мы чертим, имеют толщину, потому что они проводятся на классной доске мелом или на бумаге чернилами, — но чертеж имеет целью воздействовать на наше воображение. Он помогает нам «видеть» истину, которую мы хотим доказать. Философия такого интуитивного подхода была наилучшим образом систематизирована Иммануилом Кантом. Интуиция является не нашим чувственным впечатлением от физического чертежа, а скорее нашим внутренним узрением геометрических конфигураций, которое не может быть

182

ошибочным. Позиция Канта здесь совершенно ясна. Никогда нельзя быть уверенным в том, что два отрезка прямой на классной доске являются равными, или в том, что меловая линия, изображающая круг, представляет действительный круг. Кант рассматривает такие чертежи только в качестве вторичного психологического фактора, чтобы помочь нам. Но он считал, что наша сила воображжения — то, что он называет Anschauung, интуиция, — является безошибочной. Если мы видим ясно геометрическую истину в уме, а не только нашими глазами, тогда мы видим ее с полной достоверностью.

Как мы постигаем, согласно Канту, утверждение, что две прямые не могут иметь больше одной общей точки? Мы представляем ситуацию мысленно. Вот две линии, которые пересекаются в одной точке. Могут ли они пересекаться где-то еще? Очевидно, не могут, потому что линии расходятся все больше и больше по мере того, как мы удаляемся от точки их пересечения. Кажется, таким образом, совершенно ясным, что две прямые либо имеют все точки общие (в таком случае они совпадают, чтобы образовать отдельную линию), либо они имеют самое большее одну общую точку, либо ни одной общей точки. Эти простые истины геометрии, считал Кант, мы усматриваем непосредственно. Мы постигаем их истинность интуитивно. Тот факт, что мы не должны опираться на чертежи, привел Канта к предположению, что мы можем иметь полное доверие к истинам, полученным таким интуитивным путем. Позже мы вернемся к этой точке зрения. Здесь же мы упоминаем о ней только потому, что хотим помочь читателю понять способ мышления ученых начала девятнадцатого столетия в геометрии. Даже если они никогда не читали Канта, они имели ту же самую точку зрения 2. Здесь не имеет значения то обстоятельство, заимствовали ли они свою

1. Созерцание (нем.). — Прим. перев.

2. С таким подходом автора вряд ли можно согласиться, так как он игнорирует материалистический подход к аксиомам геометрии. Что же касается характеристики аксиом, как самоочевидных и простых утверждений, то эта традиция восходит еще к Аристотелю, а в дальнейшем развивалась в трудах Б. Паскаля, Р. Декарта и других ученых. Кант только попытался обосновать ее с позиций априорного синтеза. Подробнее см.: Г. И. Рузавин, О природе математического знания, М., 1968, стр. 92—93. — Прим. перев.

183

точку зрения у Канта или же она была только частью общей культурной атмосферы, которую в явном виде выразил Кант. Всякий допускал, что существуют ясные, простые и основные истины геометрии, не вызывающие никакого сомнения. Из этих простых истин, аксиом геометрии можно было шаг за шагом перейти к некоторым выводным истинам, теоремам.

Как мы уже указывали, некоторые математики верили, что они смогли вывести аксиому о параллельных из других аксиом Евклида. Почему так трудно было обнаружить ошибки в их доказательствах? Ответ на этот вопрос связан с тем фактом, что в то время не существовало достаточно сильной логики, которая давала бы строгие правила для геометрических доказательств. В некоторых местах вывода иногда незаметно допускалось обращение к интуиции, иногда это делалось совершенно явно, иногда скрытым путем. Метод для различения чисто логического вывода и вывода, вносящего нелогические компоненты, основанные на интуиции, стал известен только после систематической разработки логики во второй половине прошлого столетия. Тот факт, что эта новая логика была сформулирована символически, увеличивает ее эффективность, но эта черта не является абсолютно существенной. Существенным для новой логики было, во-первых, то, что правила умозаключений в ней могли быть установлены с полной точностью. Во-вторых, на протяжении всего вывода никакое утверждение не принималось, если оно не было получено из посылок или же из ранее полученных результатов путем применения к ним правил логических умозаключений.

До разработки современной логики никакая система существовавшей логики с совокупностью ее правил не была адекватна геометрии. Традиционная логика имела дело только с одноместными предикатами, но в геометрии мы изучаем отношения между многими элементами. Точка, лежащая на прямой, или прямая, лежащая на плоскости, представляют примеры двуместных отношений. Точка, лежащая между двумя другими точками, дает пример трехместного отношения. Мы можем рассматривать равенство двух отрезков как двуместное отношение, но, поскольку отрезки не берутся в качестве исходных объектов, отрезок лучше представить как пару точек. В таком случае равенство между двумя отрезками

185

представляет отношение между двумя соответствующими парами точек. Иными словами, оно является четырехместным отношением между точками. Как вы видите, геометрия нуждается в логике отношений. Эта логика не существовала в то время, которое мы рассматриваем. Когда она была создана, логические ошибки в различных предполагаемых доказательствах аксиомы о параллельных были обнаружены. В каком-то пункте каждого такого рассуждения допускалось обращение к посылкам, которые основываются на интуиции и не могут быть выведены из других аксиом Евклида. Это могло бы быть интересным, если бы не тот факт, что скрытые, интуитивные посылки оказывались замаскированной формой самой аксиомы о параллельных.

В качестве примера такой скрытой аксиомы, эквивалентной аксиоме о параллельных, может служить следующая: если на плоскости существует прямая линия L и кривая М, а все точки М находятся на том же самом расстоянии от L, тогда М также представляет прямую линию. Это показано на рис. 13-1, где а представляет постоянное расстояние от L всех точек М.

Эта аксиома, которая интуитивно кажется истинной, принималась иногда в качестве молчаливого предположения при доказательстве аксиомы о параллельных. Когда она предполагается, тогда аксиома о параллельных действительно может быть доказана. К несчастью, само это предположение не может быть доказано, если мы не будем исходить из истинности аксиомы о параллельных или некоторой другой аксиомы, эквивалентной ей.

Другая аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных, хотя, возможно, и не так интуитивно очевидна, как только что приведенная, есть предположение о том, что

186

геометрические фигуры различных размеров могут быть подобными. Например, два треугольника будут подобными, если они имеют равные углы и пропорциональные стороны. На рис. 13-2 отношение а: b равно отношению а': b' и отношение b : с равно отношению b': с'. Предположим, что я начерчу сначала меньший треугольник со сторонами а, b, с. Существует ли больший треугольник

C

С'

Рис. 13-2.

с теми же самыми углами и со сторонами а, Ь, с"? Кажется очевидным, что ответ является положительным. Предположим, что мы хотим построить треугольник, стороны которого будут в точности вдвое больше сторон взятого треугольника. Мы можем это легко сделать, как показано на рис. 13-3.

Рис. 13-3.

Мы просто продолжим стороны а и с на ту же самую длину, затем соединим их конечные точки. После некоторого размышления кажется совершенно ясным, что третья сторона должна иметь длину 2b и больший треугольник будет подобен меньшему. Если мы будем исходить из этой аксиомы о подобных треугольниках, то мы можем доказать аксиому о параллельных. Но снова мы в скрытой форме предполагаем аксиому о параллельных. Действительно, мы не можем доказать подобие двух треугольников без применения аксиомы о параллельных или другой аксиомы, ей эквивалентной. Таким образом, использование аксиомы о подобных треугольниках рав-

187

носильно использованию аксиомы о параллельных, аксиомы, которую мы пытались доказать.

Но вплоть до девятнадцатого столетия строго логически не было доказано, что аксиома о параллельных независима от других аксиом Евклида. Она не может быть выведена из них. Отрицательные утверждения такого рода, устанавливающие невозможность осуществления чего-либо, обычно значительно труднее доказать, чем утверждения позитивные. То, что позитивное утверждение того или иного рода, может быть выведено из некоторых посылок, доказывается просто путем показа логических шагов вывода. Но как можно доказать, что нечто невыводимо? Если вам после ста попыток не удалось вывести теорему, вы можете отказаться от дальнейших попыток, но это не служит доказательством невозможности. Может быть, кто-то каким-либо неожиданным окольным путем найдет вывод. Тем не менее, несмотря на эту трудность, формальное доказательство независимости аксиомы о параллельных было наконец получено.

Разработка следствий из этого доказательства представляет одно из наиболее волнующих открытий в математике девятнадцатого столетия. Если аксиома о параллельных независима от других аксиом Евклида, тогда без всякого противоречия с другими аксиомами она может быть заменена утверждением, с нею несовместимым. Путем испытания различных возможностей были созданы новые аксиоматические системы, названные неевклидовыми геометриями. Что следовало думать об этих странных новых системах, теоремы которых так противоречили интуиции? Должны ли они рассматриваться в качестве не более чем безобидной логической игры — игры, имеющей целью показать, как могут комбинироваться без противоречий различные утверждения? Или же они должны рассматриваться как возможно «истинные» в том смысле, что они могут быть применены к структуре самого пространства?

Последний случай казался настолько абсурдным в то время, что никто не помышлял об обсуждении этого вопроса. Фактически, когда несколько смелых математиков начали исследовать неевклидовы системы, они колебались, публиковать ли им свои результаты. Сейчас можно смеяться над этим и спрашивать, почему публикаци

187

какой-либо системы математики должна вызывать какие-то чувства. В настоящее время мы часто придерживаемся чисто формалистического взгляда на аксиоматическую систему. Мы не спрашиваем, какие интерпретации или применения она может иметь, но ограничиваемся только вопросом, является ли система аксиом логически непротиворечивой и возможно ли вывести некоторое утверждение из них. Однако позиция большинства математиков девятнадцатого столетия была не такова. Для них «точка» в геометрической системе означала место в реальном пространстве, а «прямая линия» — прямую в обычном смысле слова. Геометрия не рассматривалась как упражнение в логике; она ставила своей задачей исследование окружающего нас пространства, а не пространства в абстрактном смысле, которое математики имеют в виду сегодня, когда говорят о топологическом, метрическом, пятимерном пространствах и т. п.

Карл Фридрих Гаусс, один из величайших математиков, возможно самый великий математик девятнадцатого столетия, впервые, насколько известно, открыл непротиворечивую систему геометрии, в которой аксиома параллельных была заменена противоположным утверждением. Мы знаем это не из какой-либо его публикации, а только из письма, которое он написал другу. В этом письме он говорит об исследовании такой системы и выводе некоторых интересных теорем из нее. Он добавлял, что не заботится об опубликовании своих результатов, потому что «боится крика беотийцев». Читатель, возможно, знает, что в Древней Греции беотийцы — жители провинции Беотия — невысоко ценились афинянами. Мы можем перевести это выражение на современный язык так: «Эти невежды будут смеяться и скажут, что я сошел с ума». Под невеждами Гаусс подразумевает не необразованных людей, а некоторых профессоров, математики и философии. Он знал, что они сочтут его сумасшедшим, если он всерьез будет говорить о неевклидовой геометрии.

Если мы откажемся от аксиомы о параллельных, то чем мы можем заменить ее? Ответ на этот вопрос, на один из наиболее важных вопросов в истории современной физики, будет подробно рассматриваться на протяжении 14—17 глав.

189

Глава 14

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ

При исследовании аксиомы, которая берется вместо аксиомы о параллельных Евклида, можно двигаться в двух противоположных направлениях.

(1) Мы можем утверждать, что через точку, лежащую вне данной прямой на плоскости, к ней нельзя провести ни одной параллельной (Евклид считает, что существует только одна параллельная).

(2) Мы можем допустить, что существует более одной параллельной (оказывается, что если имеется более одной параллельной, тогда их будет бесчисленное множество).

Первое из этих отклонений от Евклида было исследовано немецким математиком Георгом Фридрихом Риманом, второе — русским математиком Николаем Лобачевским. В схеме на рис. 14-1 я расположил неевклидовы геометрии по обе стороны от евклидовой, чтобы подчеркнуть, как они отклоняются от евклидовой структуры в противоположных направлениях.

Геометрия Лобачевского была независимо и почти одновременно открыта Лобачевским, который опубликовал свою работу в 1835 году, и венгерским математиком Яношем Больяй, опубликовавшим свои результаты на три года раньше 1.

Геометрия Римана была открыта примерно двадцать лет спустя. Если вы, хотите – познакомиться с предметом неевклидовых геометрий ближе, то существует множество хороших книг на английском языке. Одна из них — «Неевклидовы геометрии» (Non-Euclidean Geometry»)

1. Впервые с изложением основных, идей новой неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевский выступил еще 23 февраля 1826 года на заседании физико-математического отделения Казанского университета. Через три года, то есть в 1829 году, он опубликовал в «Казанском вестнике» статью «О началах геометрии», в которой продолжал дальше разрабатывать свои идеи. Наконец, в 1835 году в «Ученых записках Казанского университета» появляется его работа под названием «Воображаемая геометрия». Французский ее текст, переработанный Лобачевским, был опубликован в известном немецком математическом журнале в 1837 году. По-видимому, на эту работу и ориентируется Карнап. — Прим. перев.

189

итальянского математика Роберто Бонолы. В ней имеются статьи Больяй и Лобачевского, и поэтому интересно ознакомиться с ними в их оригинальной форме. Я считаю одной из лучших книг, в которых неевклидовы геометрии обсуждаются с принятой здесь точки зрения, а именно их значения для философии геометрии и пространства, книгу Ганса Рейхенбаха «Философия учения о пространстве и времени» («Philosophic der Raum-Zeit-Lehre»), которая впервые была опубликована в 1928 году, а теперь переведена на английский язык как «Философия пространства и времени» («The Philosophy of Space and Time»). Если вы интересуетесь историей

Тип геометрии Число параллельных Сумма углов треугольника Отношение окружности к диаметру круга Мера кривизны

Лобачевский <18О° > <0

Евклид 1 180° 0

Риман 0 >180° < >0

Рис. 14-1.

вопроса, то можете обратиться к книге Макса Джемме-ра «Концепции пространства: История теорий о пространстве в физике» («Concepts of Space: The History of Theories of Space in Physics»). Иногда у Джеммера встречаются метафизические рассуждения. Я не уверен, однако, связаны ли они с его собственными взглядами или взглядами тех людей, которых он обсуждает. Во всяком случае, это одна из немногих книг, в которых подробно освещается историческое развитие философии пространства.

Рассмотрим подробнее две неевклидовы геометрии. В геометрии Лобачевского, которую на специальном языке называют гиперболической геометрией, имеется бесконечное множество параллельных. В римановой геометрии, известной как эллиптическая геометрия, параллельные отсутствуют вообще. Как возможна геометрия, которая не содержит параллельных? Мы можем понять это путем обращения к модели, которая хотя и не представляет точной модели эллиптической геометрии, но

191

очень похожа на нее, — модели сферической геометрии. Эта модель является просто поверхностью сферы. Мы рассматриваем эту поверхность по аналогии с плоскостью. Прямые линии на плоскости здесь представлены большими кругами сферы. В более общих терминах мы можем сказать, что в любой неевклидовой геометрии линии, которые соответствуют прямым линиям евклидовой геометрии, представляют собой «геодезические линии». Они имеют с прямыми линиями то общее свойство, что образуют кратчайшее расстояние между данными

Рил. 14-2.

точками. На нашей модели — поверхности сферы — кратчайшее расстояние между двумя точками, или геодезическая линия, есть часть большого круга сферы. Большие круги представляют кривые, образуемые путем пересечения сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Знакомыми примерами являются экватор и меридианы Земли.

На рис. 14-2 меридианы начерчены перпендикулярно к экватору. В евклидовой геометрии мы предполагаем, что две прямые линии, перпендикулярные к данной, будут параллельными, но на сфере такие линии пересекаются на Северном и Южном полюсах. На сфере не существует никаких двух прямых, или, скорее, квазипрямых, линий, то есть больших кругов, которые бы не пересекались. Здесь перед нами легко вообразимая модель геометрии, в которой не существует никаких параллельных линий.

192

Две неевклидовы геометрии могут также различаться по сумме углов треугольника. Это различие важно с точки зрения эмпирических исследований структуры пространства. Гаусс был первым, кто ясно увидел, что только эмпирическое исследование пространства может раскрыть природу геометрии, которая наилучшим образом описывает это пространство 1. Как только мы осознаем, что неевклидовы геометрии могут быть логически непротиворечивыми, мы больше не можем без эмпирической проверки говорить, какая геометрия осуществляется в природе. Вопреки кантианскому предубеждению, господствовавшему в свое время, Гаусс мог действительно предпринять эксперимент такого рода.

Легко видеть, что проверка треугольника значительно проще, чем параллельных линий. Линии будут считаться параллельными, если они не пересекаются, когда продолжаются на многие биллионы миль. Измерение же углов треугольника может быть осуществлено в небольшой области пространства. В евклидовой геометрии сумма углов любого треугольника равна двум прямым углам, или 180°. В гиперболической геометрии Лобачевского эта сумма меньше, чем 180°. В эллиптической геометрии Римана она больше, чем 180°.

Отклонение суммы углов треугольника от 180° в эллиптической геометрии легко понять с помощью нашей модели — поверхности сферы. Рассмотрим треугольник NAB на рис. 14-2. Он образован дугами двух меридианов и экватора. Два угла у экватора содержат по 90°. Добавление угла у Северного полюса делает сумму большей, чем 180°. Если мы передвинем меридианы, чтобы они пересекались друг с другом под прямым углом, тогда каждый угол треугольника будет прямым и сумма всех трех углов составит 270°.

Мы знаем, что Гаусс намеревался осуществить проверку суммы углов огромного звездного треугольника.

1. Идею об эмпирической проверке существующих геометрических систем еще до Гаусса выдвигал Н. И. Лобачевский. В своей работе «Пангеометрия» он писал: «Принятое в обыкновенной геометрии явно или скрытно предположение, что сумма трех углов всякого прямолинейного треугольника постоянна, не есть необходимое следствие наших понятий о пространстве. Один опыт только может подтвердить истину этого предположения, например, измерение на самом деле трех углов прямолинейного треугольника...» — Прим. перев.

193