Часть 6.

Существуют также сведения о том, что он действительно выполнил подобную проверку в земном масштабе посредством триангуляции трех горных вершин в Германии. Он был профессором в Геттингене, поэтому, говорят, выбрал гору вблизи города и две горные вершины, которые видны с этой горы. До этого он уже сделал важную работу по применению теории вероятности к ошибкам измерений, которую было удобно применить к таким процедурам. Первый шаг должен был состоять в том, чтобы оптически измерить углы из каждой вершины, повторив измерение несколько раз. Взяв средний результат при некоторых ограничениях, Гаусс мог определить наиболее вероятную величину каждого угла и, следовательно, наиболее вероятную величину их суммы. Из дисперсии этих результатов он мог потом вычислить вероятную ошибку, то есть некоторый интервал вокруг среднего значения, такой, что вероятность обнаружения истинного значения внутри этого интервала равна вероятности его обнаружения вне интервала.

Говорят, что Гаусс сделал это и обнаружил, что сумма углов треугольника в точности не равна 180°, но отличается на такую малую величину, которая лежит в интервале вероятной ошибки. Такой результат будет указывать на то, что пространство является евклидовым или же, если оно неевклидово, то отклонение от него крайне мало — меньше, чем вероятная ошибка измерения.

Даже если Гаусс в действительности не делал такой проверки, как указывают современные ученые, то сама легенда представляет краеугольный камень в истории научной методологии. Гаусс, конечно, первый задался революционным вопросом: что мы обнаружим, если осуществим эмпирическое исследование геометрической структуры пространства? Никто до него не думал о таких исследованиях 1. Действительно, это казалось таким же нелепым, как и попытка найти эмпирическим способом произведение 7 и 8. Предположим, что мы имеем семь сеток, каждая из которых содержит восемь шаров. Мы пересчитываем шары несколько раз и в большинстве случаев получаем 56, но случайно мы можем получить

1. Как мы уже отмечали, идею о необходимости опытной проверки геометрии высказывал и Н. И. Лобачевский. — Прим. перев.

194

57 или 55. Мы берем средний из этих результатов, чтобы найти истинное значение семи, умноженных на восемь. Французский математик П. Е. Б. Журдэн однажды шутливо заметил, что наилучший способ для этого состоит в том, чтобы не считать самим, потому что мы не специалисты в счете. Такими специалистами являются официанты, которые постоянно прибавляют и умножают числа. Если собрать вместе наиболее опытных официантов и спросить, сколько будет семь раз восемь, то нельзя ожидать большого отклонения в их ответах. Но если вы предложите им умножить большие числа, скажем, 23 на 27, то тогда будет некоторая дисперсия в их ответах. Мы возьмем средний из этих ответов, «взвешенный» согласно числу официантов, давших ответ, и на этой основе получим научную оценку произведения 23 на 27.

Любая попытка эмпирически исследовать геометрические теоремы казалась абсурдной современникам Гаусса. Они рассматривали геометрию точно таким же образом, как и арифметику. Вместе с Кантом они верили, что наша интуиция не делает геометрических ошибок. Когда мы нечто «видим» в нашем воображении, оно не может быть иным. И то обстоятельство, что кто-то должен измерить углы треугольника — не только ради шутки или проверки качества оптического инструмента, а чтобы найти истинное значение их суммы, — кажется совершенно абсурдным. После некоторого знакомства с евклидовой геометрией каждый может увидеть, что эта сумма должна быть равна 180°. По этой причине Гаусс, говорят, не опубликовал результаты своих экспериментов и даже не отмечал ценности таких экспериментов вообще. Тем не менее в результате непрекращающихся размышлений о неевклидовых геометриях многие математики начали сознавать, что эти новые, странные геометрии ставят подлинно эмпирическую проблему. Сам Гаусс не нашел окончательного ответа, но он во многом содействовал антикантианскому рассмотрению всей проблемы структуры пространства в природе.

Чтобы более ясно увидеть, как разные неевклидовы геометрии отличаются друг от друга, рассмотрим снова поверхность сферы. Как мы видели, это удобная модель, которая помогает нам интуитивно понять геометрическую структуру плоскости в римановом пространстве.

195

(Риманово пространство здесь означает то, что называют эллиптическим пространством. Термин «риманово пространство» имеет также более общее значение, которое будет разъяснено позже.)

Мы должны позаботиться о том, чтобы не преувеличить аналогию между римановой плоскостью и поверхностью сферы, потому что любые две прямые линии на плоскости в римановом пространстве имеют только одну общую точку, в то время как линии на сфере, которые соответствуют прямым линиям — большие круги, — всегда пересекаются в двух точках. Рассмотрим, например, два меридиана. Они пересекаются на Северном и Южном полюсе. Строго говоря, наша модель будет соответствовать римановой плоскости только тогда, когда мы

Рис. 14-3.

ограничимся частью поверхности сферы, которая не содержит точек, подобных Северному и Южному полюсу. Если нашей моделью будет вся сферическая поверхность, тогда мы должны допустить, что каждая точка римановой плоскости на сфере представляется парой противоположных точек. Передвижению от Северного полюса к Южному на Земле будет соответствовать передвижение по прямой от одной точки римановой плоскости и возвращение в ту же самую точку. Все геодезические линии в римановом пространстве имеют ту же самую конечную длину и являются замкнутыми подобно окружности круга. Вероятно, именно непривычность этого факта для нашей интуиции послужила причиной того, что геометрия такого рода была открыта позже, чем геометрия Лобачевского.

С помощью нашей сферической модели мы легко увидим, что в римановом пространстве отношение окружности круга к его диаметру всегда меньше я. На рис. 14-3 показан круг на земле, центром которого служит

196

Северный полюс. Он соответствует кругу в римановой плоскости.

Радиус такого круга не есть отрезок СВ, потому что он не лежит на сферической поверхности, которая является нашей моделью. Таким радиусом служит дуга NB, а диаметром дуга ANB. Мы знаем, что окружность этого круга имеет отношение я к длине отрезка АС В. Поскольку дуга AN В длиннее, чем отрезок АСВ, то ясно, что отношение периметра круга к AN В (диаметру круга в римановой плоскости) должно быть меньше я.

Не так легко усмотреть, что в пространстве Лобачевского отношение окружности круга к его диаметру должно быть больше п. Вероятно, визуально это можно представить с помощью другой модели. Эта модель (показанная на рис. 14-4) не может быть использована дл

всей плоскости Лобачевского — и, конечно, для трехмерного пространства Лобачевского, — но она может быть применена для ограниченной части плоскости Лобачевского.

Эта модель является седловидной поверхностью, напоминающей переход между двумя горными вершинами. Попытаемся отчетливо представить себе эту поверхность. Существует кривая, возможно тропинка, проходящая через точку F на дальней стороне перехода, поднимающаяся к переходу через точку С, затем опускающаяся вниз на ближней стороне перехода через точку D, Седловидная часть этой поверхности, включающая точки С, D, Е, F, G, может рассматриваться как модель структуры плоскости Лобачевского.

Как образуется круг на этой модели? Предположим, что центр этого круга есть С. Если вы встанете у точки D, то вы очутитесь ниже центра круга. Если вы пройдете

197

вдоль круга к Е, то очутитесь выше центра. Нетрудно видеть, что волнистая линия, которая соответствует кругу в плоскости Лобачевского, должна быть длиннее, чем обычная окружность в евклидовой плоскости, которая имеет CD своим радиусом. Поскольку она длиннее, то отношение окружности этого круга к его диаметру (дуге FCD или дуге GCE) должно быть больше я. Более правильная модель, точно соответствующая всем измерениям части плоскости Лобачевского, может быть построена с помощью некоторой кривой, называемой трактрисой (дуга АВ на рис. 14-5) и вращаемой вокруг оси CD. Поверхность, образуемую путем такого вращения, называют псевдосферой. Возможно, вы видели гипсовую модель этой поверхности. Если вы исследуете такую модель, то увидите, что треугольники на его поверхности

Рис. 14-5.

имеют сумму углов, меньшую 180°, а отношение окружности круга к диаметру будет превосходить я. Чем больше круг на такой поверхности, тем больше это отношение будет отклоняться от я. Мы не должны отсюда заключать, что я не является постоянным, я представляет отношение окружности круга к диаметру в евклидовой плоскости. Этот факт не меняется из-за существования неевклидовых геометрий, в которых отношение окружности круга к диаметру является переменной величиной, которая может быть больше или меньше я. Все поверхности, как евклидовы, так и неевклидовы, имеют в любой их точке меру, называемую «мерой кривизны» этой поверхности в данной точке. Геометрия Лобачевского характеризуется тем, что в любой точке плоскости мера кривизны плоскости отрицательна и постоянна. Существует бесчисленное множество различных геометрий Лобачевского, каждая из которых характеризуется некоторым фиксированным параметром — отрицательным числом, — то есть мерой кривизны плоскости в этой геометрии.

198

Вы можете возразить, заявив, что плоскость не может иметь кривизны. Но «кривизна» здесь является специальным термином и не должна пониматься в обычном смысле. В евклидовой геометрии мы измеряем кривизну линии в любой точке, взяв обратную ей величину — «радиус кривизны». «Радиус кривизны» означает здесь радиус некоторого круга, который совпадает, так сказать, с бесконечно малой частью линии в рассматриваемой точке. Если кривая линия почти совпадает с прямой, то радиус ее кривизны весьма велик. Если линия сильно искривлена, то радиус ее очень короткий.

Как мы измеряем кривизну поверхности в данной точке? Сначала мы измеряем кривизну двух геодезических линий, которые пересекаются в этой точке, и продолжаем их в двух направлениях, которые называем «главными направлениями» поверхности в данной точке. Одно направление дает максимальную кривизну геодезической линии в этой точке, другое — минимальную кривизну. Затем мы определяем кривизну поверхности в данной точке как произведение обратных величин двух радиусов кривизны геодезических линий. Рассмотрим, например, горный переход, показанный на рис. 14-4. Как мы измеряем кривизну этой поверхности в точке С? Мы видим, что одна из геодезических линий, дуга GCE, искривляется в виде впадины (если смотреть на поверхность сверху), в то время как геодезическая линия в правом углу, дуга FCD, искривляется в виде выпуклости. Эти две геодезические линии дают максимум и минимум кривизны поверхности в точке С. Конечно, если мы посмотрим на эту поверхность снизу, то дуга GCE покажется выпуклой, а дуга FCD — вогнутой. Вообще говоря, не имеет значения, с какой стороны мы смотрим на поверхность, какую кривую мы хотим рассматривать как выпуклую и какую как вогнутую. По соглашению мы назовем одну сторону положительной, а другую — отрицательной. Произведение обратных значений этих двух радиусов, 1/(R1*R2), дает нам меру кривизны седловидной поверхности в точке С. В любой точке седловидной поверхности один радиус кривизны будет положительным, другой — отрицательным и соответственно мера кривизны поверхности должна всегда оставаться отрицательной.

Это не относится к поверхности, которая полностью,

198

выпукла, как сфера или яйцо. На таких поверхностях две геодезические линии в двух главных направлениях искривляются одинаковым образом. Одна геодезическая линия может искривляться сильнее, чем другая, но обе искривляются одним и тем же способом.

Снова здесь не имеет значения тот факт, смотрим ли мы на такую поверхность с одной стороны и называем два радиуса кривизны положительными или же смотрим с другой стороны и называем эти радиусы отрицательными. Произведение их обратных значений будет всегда положительным. Таким образом, на любой выпуклой поверхности, такой, как сфера, мера кривизны в любой точке будет положительной.

Геометрия Лобачевского, модель которой представлена седловидной поверхностью, может быть охарактеризована следующим образом: для любого пространства Лобачевского имеется некоторое отрицательное значение, являющееся мерой кривизны в любой точке плоскости такого пространства. Геометрия Римана, представленная сферической поверхностью, может быть охарактеризована сходным путем: для'любого риманова пространства имеется некоторое положительное значение, являющееся мерой кривизны для любой точки плоскости такого пространства. 06.3 пространства являются пространствами постоянной кривизны. Это значит, что для любого такого пространства мера кривизны в любой точке плоскости остается той же самой.

Пусть k будет мерой кривизны. В евклидовом пространстве, которое также имеет постоянную кривизну, k = 0. В пространстве Лобачевского k < 0, в римановом пространстве k > 0. Эти численные значения не определяются аксиомами геометрии. Разнообразные римановы пространства получаются путем выбора различных положительных значений для k, а пространства Лобачевского — соответственно путем выбора различных отрицательных значений для k. Кроме значений параметра k, все теоремы в различных пространствах Лобачевского, с одной стороны, и пространствах Римана, с другой, являются совершенно одинаковыми. Конечно, теоремы каждой геометрии весьма отличны друг от друга 1.

1. Речь здесь идет об отличии теорем различных геометрий, например Лобачевского и Римана или Лобачевского и Евклида. — Прим. перев.

200

Важно осознать, что термин «кривизна» в его первоначальном и буквальном смысле применяется только к поверхностям евклидовой модели неевклидовой плоскости. Сфера и псевдосфера являются искривленными поверхностями именно в этом смысле. Но термин «мера кривизны», который применяется к неевклидовым плоскостям, не означает, что эти две плоскости «искривлены» в точном смысле. Обобщение термина «кривизна» таким образом, чтобы его можно было бы применить и к неевклидовым плоскостям, является обоснованным, потому что внутренняя геометрическая структура римановой плоскости та же самая, что и структура поверхности евклидовой сферы. То же самое верно относительно структуры плоскости в пространстве Лобачевского и поверхности евклидовой псевдосферы. Ученые часто берут старые термины и придают им более общее значение. Это не вызывало никаких трудностей на протяжении девятнадцатого столетия, потому что неевклидовы геометрии изучались тогда только математиками. Тревога возникла тогда, когда Эйнштейн использовал неевклидовы геометрии в своей общей теории относительности. В результате этого они перестали быть только объектом чистой математики и вошли в область физики, где стали использоваться для описания действительного мира. Люди хотели понять, что сделал Эйнштейн, поэтому появились книги, в которых эти вещи объяснялись неспециалистам. В этих книгах авторы иногда обсуждали «искривленные плоскости» и «искривленные пространства». Это был крайне неудачный и вводящий в заблуждение способ выражения. Авторы должны были сказать: «Существует некоторая мера k — математики называют ее «мерой кривизны», но не обращайте никакого внимания на эту фразу — и это k положительно внутри Солнца, но отрицательно в солнечном гравитационном поле. По мере того как мы удаляемся от Солнца, отрицательное значение k стремится к нулю».

Вместо этого авторы популярных книг говорили о том, что будто бы Эйнштейн открыл, что плоскости в нашем пространстве являются искривленными. Это могло только сбить с толку неспециалиста. Читатели спрашивали, что имеется в виду, когда говорят, что плоскости искривлены. Если они искривлены, думали они, тогда они не должны называться плоскостями! Такие раз-

201

говоры об искривленном пространстве склоняли людей к вере, что все в пространстве является искривленным или изогнутым. Иногда авторы книг по теории относительности говорили даже о том, как силы гравитации изгибают плоскости. Они описывали это с таким же реальным ощущением, как если бы это было аналогично тому, как кто-то изгибает металлический лист. Такой способ мышления приводит к странным последствиям, и некоторые авторы возражают против теории Эйнштейна именно на этом основании. Всего этого можно было бы избежать, если бы можно было избежать термина «кривизна».

С другой стороны, не так легко ввести новый термин, совершенно отличный от того, который обычно уже употребляется в математике. Наилучший выход состоит, таким образом, в том, чтобы сохранить термин «кривизна» в качестве специального термина, но ясно отдавать себе отчет в том, что он не должен связываться со старыми ассоциациями. Нельзя думать о неевклидовой плоскости как «изогнутой» в форму, которая больше уже не является плоскостью. Она не имеет внутренней структуры евклидовой плоскости, но представляет плоскость в том смысле, что структура одной ее стороны точно похожа на структуру другой стороны. Здесь представляется опасным говорить об евклидовой сфере как модели римановой плоскости, потому что если вы думаете о сфере, то представляете ее внутреннюю поверхность совершенно отличной от внешней. Изнутри ее поверхность выглядит вогнутой, извне — выпуклой. Это неверно по отношению к плоскости в пространстве Лобачевского и Римана. В обоих пространствах обе стороны плоскости являются совершенно одинаковыми. Если мы будем оставаться на одной стороне плоскости, то не заметим ничего отличного от того, что наблюдали на другой ее сто-. роне. Но внутренняя структура плоскости такова, что мы можем с помощью параметра k измерить степень ее «кривизны». Мы должны помнить, что эта кривизна берется в специальном смысле, а это совсем не то же самое, как наше интуитивное понятие кривизны в евклидовом пространстве.

Другое терминологическое смешение, легко устранимое, касается двух значений (мы упоминали о них в начале главы) «римановой геометрии». Когда Риман

202

сначала построил свою геометрию постоянной положительной кривизны, она была названа римановой, чтобы отличить ее от ранее введенного пространства Лобачевского, в котором постоянная кривизна отрицательна. Позднее Риман разработал обобщенную теорию пространств с изменяющейся кривизной — пространств, которые не рассматривались аксиоматически. (Аксиоматические формы неевклидовой геометрии, сохранявшей все евклидовы аксиомы, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменялась новой аксиомой, ограничиваются пространствами постоянной кривизны.) В общей римановой теории может рассматриваться любое число измерений, и во всех случаях кривизна может меняться от точки к точке.

Когда физики говорят о «римановой геометрии», то они имеют в виду обобщенную геометрию, в которой прежние геометрии Римана и Лобачевского, называемые сейчас эллиптической и гиперболической геометриями, вместе с геометрией Евклида представляют простейшие частные случаи. Дополнительно к этим специальным случаям обобщенная риманова геометрия содержит огромное многообразие пространств с изменяющейся кривизной. Среди этих пространств находится и пространство Эйнштейна, принимаемое в его общей теории относительности.

Глава 15

ПУАНКАРЕ ПРОТИВ ЭЙНШТЕЙНА

Анри Пуанкаре, известный французский математик и физик, автор многих книг по философии науки, большинство которых было опубликовано до эпохи Эйнштейна, уделял много внимания проблеме геометрической структуры пространства. Одна из важных его идей настолько существенна для понимания современной физики, что будет небесполезно обсудить ее подробнее 1.

Предположим, писал Пуанкаре, что физики обнару-

1. Наиболее ясно взгляд Пуанкаре на это изложен в его книге «Наука и гипотеза» («Science and Hypothesis», London, 1905; New York, Dover, 1952). (Русск. перев. с франц.: А. Пуанкаре, Наука и шпотеза, Спб., 1906. -Прим. перев.)

203

жат, что структура действительного пространства отклоняется от евклидовой геометрии. Тогда они могут выбирать между двумя возможностями. Они могут для описания физического пространства либо принять неевклидову геометрию, либо сохранить евклидову геометрию посредством добавления новых законов, устанавливающих, что все твердые тела подвергаются некоторым сокращениям и расширениям. Как мы видели в предыдущих главах, для производства точных измерений с помрщью стального стержня мы должны вносить поправки, которые вызываются тепловым расширением или сжатием стержня. Подобным же образом, говорит Пуанкаре, если наблюдения свидетельствуют о том, что пространство является неевклидовым, физики могут сохранить евклидово пространство посредством введения в свои теории новых сил — сил, которые будут при специфических условиях растягивать или сжимать твердые тела.

Новые законы должны быть введены также в область оптики, потому что мы можем также изучать физическую геометрию посредством световых лучей. Такие лучи, по предположению, будут прямыми линиями. Читатель помнит, что три стороны гауссовского треугольника, образованного тремя горными вершинами, состоят не из твердых тел, ибо расстояния там были слишком велики, а из световых лучей. Предположим, говорит Пуанкаре, что мы обнаружили, что сумма углов такого большого треугольника отклоняется от 180°. Вместо того чтобы отказаться от евклидовой геометрии, мы можем сказать, что это отклонение вызвано искривлением световых лучей. Если мы введем новый закон для искривления световых лучей, мы можем всегда это сделать так, чтобы сохранить евклидову геометрию.

Это была крайне важная идея. Позже я попытаюсь объяснить, что именно Пуанкаре имел здесь в виду и как это может быть обосновано. Вдобавок к этой далеко идущей мысли Пуанкаре предсказывал, что физики всегда предпочтут второй путь. Они предпочтут, говорил он, сохранить евклидову геометрию, потому что она значительно проще неевклидовой. Он не знал, конечно, о сложном неевклидовом пространстве, которое вскоре предложил Эйнштейн. Вероятно, он думал только о более

204

простых неевклидовых пространствах с постоянной кривизной. Иначе он, несомненно, счел бы мысль о сохранении физиками евклидовой геометрии менее вероятной. Пуанкаре казалось более обоснованным сделать некоторые изменения в законах, относящихся к твердым телам и световым лучам, с тем чтобы сохранить более простую систему Евклида. Ирония судьбы состояла в том, что именно несколько лет спустя, в 1915 году, Эйнштейн разработал свою общую теорию относительности, в которой была принята неевклидова геометрия.

Важно понять точку зрения Пуанкаре, ибо это поможет нам осознать причины, побудившие Эйнштейна отказаться от нее. Мы попытаемся разъяснить ее скорее интуитивным образом, чем с помощью вычислений и формул, так, чтобы мы могли отчетливо представить ее. Чтобы сделать это, мы используем схему, примененную великим немецким физи-ком Германом Гельмголыдем за несколько десятилетий до того времени, когда Пуанкаре выступил в печати по этому вопросу. Гельмгольц хотел показать, что Гаусс был прав, рассматривая геометрическую структуру пространства как эмпирическую проблему. Вообразим себе, говорит он, двухмерный мир, в котором двигаются двухмерные существа и всюду сталкиваются с предметами. Эти существа и все предметы в их мире будут совершенно плоскими, подобно двухмерным созданиям в изумительной фантазии Эдвина А. Аббота «Плоская страна» Они живут не на плоскости, а на поверхности сферы. Эта сфера имеет гигантские размеры в сравнении с собственными размерами плоских существ. По размерам они равны муравьям, а сфера огромна, как Земля. Она такая большая, что они никогда не могут обойти ее всю. Другими словами, их передвижения ограничиваются весьма небольшой областью поверхности сферы. Возникает вопрос: могут ли эти создания с помощью внутренних измерений их двухмерной поверхности обнаружить, находятся ли они на плоскости, или сфере, или некоторой другой поверхности?

Гельмгочьц отвечает, что могут. Они могут сделать очень большой треугольник и измерить его углы. Если сумма его углов будет больше 180°, тогда они могут узнать, что находятся на поверхности с положительной кривизной. Если они обнаружат ту же самую кривизну

205

в каждой точке их континента, тогда они будут знать, что находятся на поверхности сферы или части сферы. (Является ли эта сфера полной — это другой вопрос.) Гипотеза о том, что весь их мир является сферической поверхностью, будет разумной. Мы, конечно, можем взглянуть на такую поверхность, потому что мы являемся трехмерными существами, находящимися вне их мира. Но Гельмгольц ясно показал, что сами двухмерные существа путем измерения углов треугольника или отношения окружности к ее диаметру (или разных других количеств) могут измерить кривизну в каждой точке их поверхности. Гаусс, таким образом, был прав, считая, что он с помощью измерений может определить, имеет ли наше трехмерное пространство положительную или отрицательную кривизну. Если мы вообразим наше пространство включенным в универсум более высокого измерения, то мы можем говорить о реальном искривлении или кривизне нашего пространства, ибо оно будет казаться искривленным для четырехмерных существ.

Мы должны исследовать этот вопрос несколько подробней. Предположим, что двухмерные существа обнаружат, что когда они измеряют треугольники своими линейками, то в каждой точке их континента существует та же самая положительная кривизна для треугольников одинакового размера. Среди этих существ имеются два физика, P1 и P2. Физик Р1 принимает теорию T1, которая говорит, что область, в которой живут он и его ближние, представляет часть сферической поверхности S1. Его коллега, физик Р2, придерживается теории T2, которая утверждает, что область является плоской поверхностью. На рис. 15-1 эти поверхности показаны в профиль. Предположим, что в S1 имеются двухмерные твердые тела, такие, как сами существа, и измерительные линейки, которые можно передвигать без изменения размеров или формы. Для каждого тела в S1 имеется соответствующее плоское тело в S2, которое является его проекцией — проекцией, выполненной, скажем, параллельными линиями, перпендикулярными к плоскости S2 (на рис. 15-1 эти параллельные линии изображены штрихами). Если в Si тело двигается от положения А1 к А'1, то его отображение в S2 двигается от А2 к А'2. Мы предполагаем, что тела в Si являются твердыми. Таким образом, длина А1

206

равна длине А'1, но это значит, что длина А'2 должна быть короче A2.

Гельмгольц указывал, что когда мы измеряем что-либо линейкой, то фактически наблюдаем не что иное, как серию совпадений точек. Это легко можно усмотреть из прежнего описания измерения края ограды в начале главы 9.

Взглянем еще раз на рис. 15-1. Проекция Si на S2 называется одно-однозначным отображением. (Этого нельзя было бы сделать, если бы Si была полной сферой, но мы предполагаем, что она представляет только ограниченную область сферы.) Для каждой точки на Si имеется точно одна соответствующая точка на S2. Таким

Рис. 15-1.

образом, когда существа будут двигаться по Si, наблюдая точки совпадения между их линейками и тем, что они измеряют, отображения этих существ на S2 сделают те же самые наблюдения на соответствующих отображаемых телах. Поскольку тела на Si предполагаются твердыми, то соответствующие тела на S2 не могут быть твердыми. Они должны подвергнуться некоторым сокращениям и расширениям так, как мы показывали в иллюстрации.

Вернемся к двум физикам — P1 и Р2, которые придерживаются различных теорий о природе их плоского мира. P1 утверждает, что этот мир должен быть частью сферы. P2 настаивает, что он является плоскостью, но тела будут расширяться и сжиматься некоторым предписанным способом, когда они будут двигаться. Например, они станут длиннее, когда будут двигаться к центральной части S2, и короче, когда будут двигаться от центра к периферии. P1 утверждает, что световые лучи представляют геодезические линии на искривленной по-

207

верхности S1, то есть они будут распространяться по дугам больших кругов. Эти дуги будут проектироваться на S2 в виде дуг эллипса. Р2, чтобы защитить свою теорию, что его мир является плоским, должен, таким образом, построить оптическую теорию, в которой световые лучи двигаются по эллиптической траектории.

Как могут два физика решить, кто из них прав? Ответ состоит в том, что не существует никакого способа для решения этого вопроса. Физик P1 настаивает, что его мир представляет часть поверхности сферы и тела в нем не будут подвергаться сжатию и расширению, кроме, разумеется, таких знакомых явлений (или, скорее, двухмерных аналогов таких явлений), как тепловое расширение, упругое натяжение и т. п. Физик Р2 описывает тот же самый мир совершенно другим образом. Он считает его плоскостью, но тела на нем будут расширяться и сжиматься, когда будут двигаться по его поверхности. Мы, живущие в трехмерном пространстве, можем наблюдать этот двухмерный мир и увидеть, является ли он сферическим или плоским, но два упомянутых физика ограничены своим миром. Они в принципе не могут решить, какая теория будет точной. По этой причине, говорит Пуанкаре, мы не должны даже задавать вопрос, кто из них прав. Эти- две теории представляют два различных метода описания того же самого мира.

Существует бесчисленное множество различных способов, с помощью которых физики на сфере могут описать мир, и, согласно Пуанкаре, вопрос целиком касается соглашения, какой из этих способов они выберут. Третий физик может придерживаться фантастической теории, что мир имеет следующую форму:

Он может защищать такую теорию путем введения еще более сложных законов механики и оптики, законов, которые сделают все наблюдения совместимыми с теорией. По практическим соображениям ни один физик на сфере не предложит такую теорию. Пуанкаре, однако, настаивал, что не существует никакого логического основания, чтобы не делать этого.

207

Мы можем вообразить двухмерный аналог утверждению Пуанкаре о спорящих физиках: «Не существует никакой необходимости в споре. Вы просто даете различные описания той же самой совокупности фактов». Как помнит читатель, еще ранее Лейбниц защищал сходную точку зрения. Если в принципе не существует никакого способа для решения того, какое из двух утверждений является правильным, то Лейбниц заявлял, что мы не должны говорить, что они имеют различные значения. Если бы все тела в мире в течение ночи удвоили свои размеры, то показался ли бы нам этот мир незнакомым на следующее утро? Лейбниц отвечает — нет. Размеры нашего собственного тела удвоились бы, поэтому не имелось бы никакого средства, с помощью которого мы могли бы обнаружить такие изменения. Подобно этому, если весь мир передвинется в сторону на десять миль, мы не сможем обнаружить это. Таким образом, утверждения о том, что такие изменения будут иметь место, оказываются бессмысленными. Пуанкаре воспринял этот взгляд Лейбница и применил его к геометрической структуре пространства. Мы можем найти экспериментальные свидетельства, подтверждающие неевклидову структуру физического пространства, но мы можем всегда сохранить более простое евклидово пространство, если заплатим за это соответствующую цену. Пуанкаре считал, что эта цена не будет слишком высокой.

В наших рассуждениях о плоском мире имеются два основных пункта, которые мы намеревались сделать ясными и которые мы применим к нашему реальному миру.

Прежде всего, используя обычные процедуры измерения, к которым мы привыкли, мы можем прийти к тому результату, что пространство имеет неевклидову структуру. Некоторые современные философы (как, например, Гуго Динглер) не были в состоянии понять это. рни считали, что при наших процедурах измерения мы применяем инструменты, которые были созданы при предположении, что геометрия является евклидовой. Поэтому эти инструменты не дают нам возможности получить что-либо, кроме евклидовых результатов. Такоз утверждение, конечно, ошибочно. Наши инструменты занимают такую незначительную часть пространства,

208

что вопрос об отклонении пространства от евклидовой геометрии не учитывается при их конструировании.

Рассмотрим, например, геодезический инструмент для измерения углов. Он содержит круг, разделенный на 360 равных частей, но этот круг так мал, что даже, если пространство отличается от евклидового в такой степени, которую Гаусс надеялся измерить (в значительно большей степени, чем в теории относительности), то и тогда это не повлияет на конструкцию круга. К небольшим областям пространства евклидова геометрия все еще будет подходить с очень высокой степенью приближения. Это обстоятельство иногда выражают путем утверждения, что неевклидово пространство имеет евклидову структуру в малых окрестностях. Со строго математической точки зрения здесь мы имеем дело с пределом. Чем меньше будет область пространства, тем ближе его структура приближается к евклидовой. Но наши лабораторные инструменты занимают такую незначительную часть пространства, что мы можем совершенно не рассматривать какое-либо влияние неевклидова пространства на конструкцию измерительных инструментов.

Даже если отклонение от евклидовой геометрии было бы так сильно, что сумма углов небольшого треугольника (скажем, начерченного на чертежной доске) значительно отличалась от 180°, то этот факт мог бы, конечно, быть установлен с помощью инструментов, изготовленных обычным способом. Предположим, что существа на сферической поверхности S1 (см. рис. 15-1) построили угломер из круглого диска, окружность которого разделена на 360 равных частей. Если этот угломер был бы использован для измерения углов треугольника, образованного (как в нашем прежнем примере) двумя половинами меридианов и четвертью экватора, то он бы показал, что каждый угол равен 90° и, следовательно, сумма трех углов составила бы 270°.

Вторая основная идея, которая вытекает из наших рассуждений о двухмерном мире, состоит в том, что если мы найдем эмпирические свидетельства в пользу неевклидовой структуры пространства, то мы можем сохранить евклидову геометрию при условии, что мы введем усложнения в законы, управляющие движением твердых тел и световых лучей. Когда мы смотрим на

210

поверхности внутри нашего пространства, такие, как поверхности, по которым ползают муравьи, имеет смысл спросить, является ли поверхность плоскостью, или частью сферы, или поверхностью другого рода. С другой стороны, если мы имеем дело с пространством нашего мира, то это пространство мы не можем наблюдать как нечто включенное в пространство более высокого измерения, поэтому бессмысленно спрашивать, является ли пространство неевклидовым или должны ли быть наши законы изменены, чтобы сохранить евклидову геометрию. Две теории являются просто двумя описаниями тех же самых фактов. Мы можем назвать их эквивалентными описаниями, потому что делаем те же самые предсказания о наблюдаемых событиях в обеих теориях. Возможно, выражение «эквивалентны с точки зрения наблюдения» было бы более подходящей фразой. Теории могут значительно отличаться по их логической структуре, но, если их формулы и законы всегда приводят к одним и тем же предсказаниям наблюдаемых событий, тогда мы можем сказать, что они являются эквивалентными теориями.

В этом пункте мы должны ясно различать то, что мы здесь понимаем под эквивалентными теориями и что иногда понимают под этой фразой. Может случиться, что два физика предложат две различные теории для объяснения той же самой совокупности фактов.

Обе теории могут успешно объяснить эту совокупность фактов, но они могут быть неодинаковыми относительно наблюдений, которые еще не сделаны. Иначе говоря, они могут содержать различные предсказания о том, что может наблюдаться в какое-то будущее время. Даже и в том случае, когда две такие теории считаются всецело равнозначными для известных наблюдений, они должны рассматриваться как существенно отличные физические теории.

Иногда не так легко осуществить эксперимент, который бы показал, что две конкурирующие теории являются неравнозначными. Классическим примером являются теории тяготения Ньютона и Эйнштейна. Различия в предсказаниях этих двух теорий настолько малы, что, прежде чем решить, какая теория обеспечивает наилучшие предсказания, должен быть проведен искусный эксперимент и сделаны тщательные измерения. Когда

211

Эйнштейн позже предложил свою единую теорию поля, то заявил, что он не в состоянии придумать какой-либо решающий эксперимент в пользу этой или других теорий. Он объяснил, что его теория не эквивалентна какой-либо предшествующей теории, но она так абстрактна, что он не был в состоянии вывести какие-либо следствия, которые можно было наблюдать при нынешней точности наилучших наших инструментов. Он верил, что, если его обобщенная теория поля будет разрабатываться дальше или если наши инструменты будут достаточно усовершенствованы, тогда будет возможным сделать решающее наблюдение. Очень важно понять, что выражение «эквивалентные теории», как оно используется здесь, означает более сильное утверждение, чем констатация факта, что две теории объясняют все известные наблюдения. Эквивалентность здесь означает, что две теории во всех случаях приводят в точности к тем же самым предсказаниям, подобно теориям двух физиков в нашем примере с плоским миром.

В следующих двух главах мы подробнее покажем, как идея Пуанкаре об эквивалентности евклидовой и неевклидовой теорий пространства с точки зрения наблюдения ведет к более глубокому пониманию структуры пространства в теории относительности.

Глава 16

ПРОСТРАНСТВО В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Согласно теории относительности, которая обсуждалась в предыдущих главах, пространство имеет структуру, которая в гравитационных полях отклоняется от евклидовой структуры. Если гравитационное поле не очень сильно, то это отклонение трудно заметить. Например, гравитационное поле земли так слабо, что даже с наилучшими инструментами невозможно обнаружить какое-либо отклонение пространства в ее окрестности от евклидовой структуры. Но когда рассматриваются более сильные гравитационные поля, такие, как поля, окружающие Солнце или звезды с гораздо большими массами, чем Солнце, тогда отклонение от евклидовой геометрии Доступно экспериментальной проверке.

212

В популярных книгах, написанных о теории относительности, а также в других книгах, где обсуждается этот предмет, иногда встречаются утверждения, вводящие читателя в заблуждение. На одной странице может говориться о том, что теория Эйнштейна утверждает, что структура пространства в гравитационном поле является неевклидовой. А на другой странице или, возможно, даже на той же самой странице утверждается, что в гравитационном поле, согласно теории относительности, стержни сокращаются. (Имеется в виду не тот вид сокращения, иногда называемый сокращением Лоренца, которое связано с движущимися стержнями, но сокращение покоящихся стержней в гравитационном поле.)

Следует совершенно четко уяснить, что два этих утверждения не соответствуют друг другу. Нельзя сказать, что одно из них ложно. Автор может быть прав как на одной странице, так и на другой. Но эти утверждения не должны встречаться на двух страницах той же самой главы. Они принадлежат к различным языкам, и автор должен решить, хочет ли он говорить о теории относительности на том или другом языке. Если он хочет использовать евклидов язык, то будет совершенно правильным говорить о сокращении стержня в гравитационном поле. Но тогда он не может говорить о неевклидовой структуре пространства. С другой стороны, он может выбрать неевклидов язык, но тогда не может говорить о сокращениях тел. Чтобы говорить о гравитационном поле, законно использовать каждый из этих языков, но смешение языков в той же самой главе крайне запутывает читателя.

Следует напомнить, что в наших предыдущих рассуждениях о плоском мире мы представляли двух физиков, которые придерживались двух различных теорий о природе их мира. Впоследствии оказалось, что эти две теории в действительности были эквивалентными, отличающимися только тем, что они были двумя различными способами описания той же самой совокупности фактов. Таково же положение с теорией относительности. Одно описание, которое мы назовем Т1, является неевклидовым, другое, Т2, — евклидовым.

Если выбран неевклидов язык Т1, тогда законы-механики и оптики остаются теми лее самыми, как и в доэйн-

213

штейновской физике. Твердые тела остаются неизменными, исключая случаи некоторых деформаций, таких, как упругие растяжения и сжатия (когда внешние силы растягивают или сжимают их), тепловые расширения, изменения, вызванные намагничиванием, и т. п. Эти деформации знакомы из классической физики и должны учитываться при определении длины путем введения поправочных коэффициентов. Например, мы можем решить использовать некоторый стержень в качестве единицы длины. Поскольку известно, что стержень расширяется, когда он нагревается, то стандартной единицей длины он будет считаться только при некоторой «нормальной» температуре Т0. Конечно, в любое данное время стержень может иметь другую температуру Т, которая отличается от T0. Следовательно, чтобы определить длину стандартного стержня при температуре Т, нормальная длина стержня l0 должна быть умножена на поправочный множитель, как объяснено в главе 9. В указанной главе этот множитель был представлен в виде:

1+(T-T0),

где значение зависит от вещества стержня. Таким образом, определяемая длина l равна:

l=l0[1+(T-T0)].

Подобным же образом может учитываться влияние на длину стержня других сил, но гравитации не будет среди них. Относительно света язык T1 утверждает, что световые лучи в вакууме всегда представляют прямые линии. Они не искривляются или не отклоняются каким-либо образом в гравитационном поле. Другое возможное описание T2 сохраняет евклидову геометрию. Наблюдения, которые свидетельствуют о неевклидовом характере пространства, объясняются посредством преобразований классических законов оптики и механики.

Чтобы увидеть, как эти два описания могут быть применены к структуре плоскости в физическом пространстве, когда предполагается теория относительности Эйнштейна, рассмотрим плоскость S, проходящую через Центр Солнца. Согласно теории относительности, проверка с помощью наблюдения (если она возможна) покажет, что треугольник на этой плоскости, находящийся вне области Солнца, будет иметь сумму углов меньшую,

214

чем 180°. Подобно этому отношение окружности к диаметру на такой плоскости будет меньше я. Измерения, проведенные внутри Солнца, выявили бы отклонение в противоположном направлении.

Чтобы представить структуру этой плоскости интуитивно яснее и увидеть, как эта структура может быть описана с помощью конкурирующих языков Т1 и Т2, мы используем модель в евклидовом пространстве, которая может быть приведена в одно-однозначное соответствие со структурой только что описанной неевклидовой плоскости. Эта модель представляет некоторую искривленную поверхность S', построение которой описывается здесь 1.

В координатной системе R — Z (рис. 16-1) кривая DBC является дугой параболы, которая имеет Z в качестве директрисы (кривая образуется точкой, движущейся так, что перпендикулярное расстояние от директрисы равно расстоянию от точки F, фокуса параболы).

V является вершиной параболы, а расстояние а пропорционально массе Солнца. Дуга АВ есть дуга круга. Его центр Е находится на оси Z и расположен так, что дуга плавно переходит в параболу. Это означает, что

1. Об этом построении см.: L. F1amm, Phisikalische Zeitschrift (Leipzig), 17 (1916), S. 448—454; основывается на работе: Karl Schwarzschild, Sitzungberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin, 1916), S. 189—196, 424—434.

215

касательная к окружности в точке В и касательная к параболе в той же самой точке совпадают (точка В называется точкой перегиба кривой ABC). Предположим, что эта плавная кривая ABC вращается вокруг оси Z, образуя поверхность, подобную поверхности холма. Это будет поверхность S', которая служит в качестве евклидовой модели неевклидовой плоскости, проходящей через центр Солнца.

Часть поверхности вблизи вершины холма В'АВ является сферической и выпуклой. Она соответствует части плоскости внутри Солнца. Здесь кривизна постоянна, и положительна. Этот пункт редко освещается в книгах по теории относительности, потому что не многие физики рассматривают геометрическую структуру пространства внутри тяжелых масс, подобных Солнцу. Но это важно с теоретической точки зрения и будет рассмотрено позже, когда будет анализироваться треугольник, образованный световыми лучами вне Солнца. За границами вершины этой сферической возвышенности поверхность является вогнутой, подобно поверхности седла. Эта кривизна является, конечно, отрицательной, но в отличие от геометрии Лобачевского она не постоянна. Чем дальше мы будем удаляться от вершины горы, тем больше и больше парабола будет походить на прямую линию. Кривизна заметно отличается от нуля только в точках, близких к сферической поверхности. Эта отрицательно искривленная часть поверхности соответствует части плоскости, находящейся вне пределов Солнца. В непосредственной близости от центра ее отрицательная кривизна максимально отлична от нуля. Чем дальше и дальше мы будем удаляться от Солнца, тем больше эта кривизна будет приближаться к нулю. Она никогда не достигнет нуля, но в достаточно удаленных точках практически может быть приравнена нулю. На чертеже величина кривизны значительно увеличена. Если бы масштаб фигуры был более точным, тогда кривая совпала бы с прямой и кривизна не могла бы быть обнаружена. Позже будет дана количественная оценка.

Теории Т1 и Т2, неевклидову и евклидову, можно теперь сравнить, когда они применяются к структуре плоскости, проходящей через центр Солнца. Это может быть сделано так же, как сделал Гельмгольц — с помощью модели искривленной поверхности, похожей на

216

поверхность возвышенности. До этого о ней говорилось как о евклидовой поверхности. Теперь же она будет использована в качестве модели неевклидовой плоскости. Ее профиль изображен в виде линии S1 на рис. 16-2.

Рис. 16-2.

Прямая линия S2 внизу представляет знакомую нам евклидову плоскость. Как и прежде, все точки на Si с помощью параллельных линий, показанных пунктиром, проектируются на S2. Заметьте, что, если стержень движется от положения Р1 к положению Р'1, то есть от положения, удаленного от Солнца, к положению, отстоящему от него достаточно близко, стержень не будет сокращаться, потому что события описываются здесь на языке неевклидовой геометрии. Но если мы используем евклидов язык теории Т2, связанной с плоскостью S2, тогда мы должны сказать, что стержень сокращается, когда передвигается от Р2 к Р2. Поэтому здесь должны быть добавлены новые законы, устанавливающие, что все стержни, когда они оказываются вблизи Солнца,

Рис. 16-3.

подвергаются некоторому сокращению в радиальном направлении— направлении к центру Солнца. Рис. 16-3 показывает ситуацию так, как мы видим ее сверху, а не в поперечном сечении.

Круг с центром в точке А изображает Солнце. Стержель находится в положении Р. Пусть ц будет угол

217

между стержнем и радиальным направлением. Сокращение стержня в терминах теории Т2 зависит от этого угла и может быть выражено общим законом. Этот закон устанавливает, что, когда стержень длины l0 передвигается в каком-либо гравитационном поле (температура и другие условия остаются неизменными) в положение Р на расстояние г от тела В, с массой m, под углом ц к радиальному направлению, то длина стержня уменьшится до величины, равной

,

где с есть некоторая постоянная. Поскольку это общий закон, как и закон теплового расширения, то следует учитывать вышеуказанное обстоятельство при использовании стержня в качестве стандартной единицы длины. Следовательно, в первоначальное уравнение для определения длины должен быть добавлен поправочный член. И тогда уравнение будет иметь следующую форму:

.

Сохраним расстояние r постоянным, но будем изменять угол . Если стержень расположен в радиальном направлении так, что = 0, тогда косинус угла будет равен 1 и cos2 можно будет опустить. В таком случае сокращение длины стержня достигнет максимального значения. Если составит прямой угол, тогда косинус будет равен нулю и весь поправочный член исчезнет. Иными словами, никакого сокращения стержня не происходит, когда стержень располагается перпендикулярно к радиальному направлению. Во всех других положениях величина сокращения изменяется от нуля до максимального значения.

Значение постоянной С очень мало. Если все величины будут измеряться в системе CGS (сантиметр, грамм, секунда), тогда значение С будет равно: 3,7 * 1029. Это значит, что за запятой имеется 28 нулей, за которыми следует 37. Очевидно, что это крайне малая величина. Даже в случае такой большой массы, как масса Солнца (1,98 * 1033 г), и при условии, что г становится так мало, как возможно, приближаясь к поверхности Солнца так близко, что г равно радиусу АВ Солнца (6,95 * 1010 см),

218

эффект сокращения стержня будет весьма мал. Фактически относительное сокращение стержня вблизи поверхности Солнца в радиальном направлении будет равно

= 0,0000011.

Тогда очевидно, что линии на рис. 16-1 и 16-2 даны в значительно увеличенном размере. Структура плоскости, проходящей через центр Солнца, практически одинакова

со структурой евклидовой плоскости. Однако здесь имеются небольшие отклонения и, как будет показано дальше, существуют экспериментальные процедуры для наблюдения этих отклонений.

Здесь следует уяснить важный пункт — и этот пункт был подчеркнут Пуанкаре. Он состоит в том, что поведение стержня в гравитационных полях может быть описано двумя существенно различными способами. Евклидова геометрия может быть сохранена, если мы введем новые физические законы, или же может быть сохранена неизменность твердых тел, если мы примем неевклидову геометрию. Мы свободны в выборе геометрии для физического пространства, но при этом должны внести необходимые изменения в физические за-

219

коны. Эти положения относятся не только к законам о физических телах, но также и к законам оптики.

Необходимость изменения оптических законов может быть легко понята из рассмотрения пути светового луча, идущего от постоянной звезды к Земле и проходящего вблизи от Солнца. На рис. 16-4 в центре изображен солнечный диск, налево — Земля. Когда Солнце находится в положении другом, чем это показано на рисунке, свет, идущий от звезды S (звезда находится вне пределов рисунка вправо), будет обычно достигать Земли по прямой линии L1. Но когда Солнце расположено так, как это показано на рисунке, то свет от звезды в точке С отклоняется так, что он пойдет по линии L2. Звезда S расположена так далеко, что линии L1 и L2 (часть, находящаяся вправо от С) могут рассматриваться как параллельные. Но если астроном измерит угол а2 между звездой S и другой звездой S', то он обнаружит, что этот угол будет немного меньше угла ось с которым он встретится в другом сезоне, когда Солнце не появится вблизи звезды S. Следовательно, положение звезды S, как оно кажется с Земли, должно слегка измениться по отношению к звезде S'. Это, конечно, эмпирическое наблюдение, которое фактически является одним из основных эмпирических подтверждений теории Эйнштейна.

Свет от Солнца так силен, что звезду, находящуюся недалеко от его края, можно видеть или сфотографировать только во время солнечного затмения. Часть такой фотографии напоминает нечто подобное тому, что изображено на рис. 16-5. Положение звезды S показано точкой. Другие звезды, включая звезду S', изображены с помощью других точек. Угол между световыми лучами, идущими от S и S', определяется путем измерения расстояния между S и S' на фотопластинке. Затем его расстояние сравнивается с расстоянием между этими звездами, снятыми в другое время, когда Солнце находится в некотором другом положении. Исторически первая проверка такого рода была осуществлена в 1919 году и впоследствии много раз повторялась во время позднейших солнечных затмений, когда наблюдались очень небольшие изменения в положениях звезд, близких к солнечному диску. Эти перемещения подтвердили предсказание Эйнштейна о том, что световые лучи, проходящие

220

близко от Солнца, будут «изгибаться» мощным солнечным гравитационным полем.

Первые измерения этих перемещений были сделаны Финдлеем Фрейндлихом в эйнштейновской башне в Потсдаме, недалеко от Берлина. В то время я жил в Вене, и я вспоминаю свой визит к Гансу Рейхенбаху в Берлине. Мы оба пошли навестить Фрейндлиха в подвале башни, где он работал. Он потратил много дней, чтобы сделать тщательные измерения всех положений звезд на фотопластинке размером десять квадратных дюймов. С помощью микроскопа он мог делать повторные

Рис. 16-5.

измерения координат каждой звезды, чтобы получить наиболее точную возможную оценку положения звезды. Он не разрешал делать какие-либо измерения своим ассистентам и все делал сам, потому что сознавал огромное историческое значение этой проверки. Оказалось, что изменение, хотя и очень небольшое, может быть обнаружено, и проверка явилась драматическим подтверждением теории Эйнштейна.

Ситуация относительно искривления световых лучей гравитационным полем похожа на ситуацию с кажущимся сокращением физических тел. Здесь опять мы должны сделать выбор между двумя теориями, чтобы объяснить эмпирические результаты. В теории T2 мы придерживаемся евклидовой геометрии, но тогда мы должны ввести новые оптические законы, которые будут описывать искривление светового луча в гравитационных полях.

221

С другой стороны, в теории T1 мы принимаем неевклидову геометрию и сохраняем классическую гипотезу, что в пустом пространстве свет не искривляется гравитационными полями. Это будет объяснено в следующей главе. Важно до конца понять природу этого выбора, прежде чем задать вопрос о геометрической структуре пространства. Я считаю, что неясность этого вопроса и эллиптические формы выражения различных ответов, данных Пуанкаре и другими учеными, приводят к ошибочному истолкованию их позиции (например, Рейхенба-хом). Пуанкаре говорит, что физик может свободно выбирать между евклидовой геометрией и любой формой неевклидовой геометрии. Поскольку Пуанкаре утверждает, что выбор есть дело соглашения, конвенции, то его взгляд стал известен как конвенционалистский взгляд. По моему мнению, Пуанкаре имеет здесь в виду выбор, который делает физик, прежде чем он решит, какой метод использовать для измерения длины. После того, как выбор будет сделан, он может приспособить свой метод измерения таким образом, чтобы он привел к выбранному типу геометрии. Как только метод измерения будет принят, вопрос о структуре геометрии становится эмпирическим вопросом, который должен быть решен с помощью наблюдений. Хотя Пуанкаре не всегда явно говорит об этом, но его фразы, взятые в контексте, показывают, что именно это он имеет в виду. По моему мнению, между Рейхепбахом и Пуанкаре по этому вопросу не существует разногласий. Верно, что Рейхенбах критиковал Пуанкаре за его конвенционалистский подход, не учитывающий эмпирической стороны вопроса о геометрической структуре пространства, но Пуанкаре выражается здесь эллиптически. Он касается только вопроса о первоначальном выборе геометрии физиком. Но оба они ясно видят, что, как только подходящий метод измерения будет принят, вопрос о геометрической структуре пространства превращается в эмпирическую проблему, которая может быть решена посредством наблюдений.

Эмпирический аспект этой проблемы ясно выступает благодаря интересному вопросу, который редко задают сегодня, но который много обсуждался в ранние годы развития теории относительности. Является ли мировое пространство конечным или бесконечным? Как отмечалось раньше, Эйнштейн однажды предложил модель

222