Часть 12.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

273

ваемой производной функции и тех частей математического целого, которые находятся в таком отношении.

Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов исчисления, завершить посредством сведения всех их задач и решений последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение, возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов и т. д. — точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда, ближайший общий с формой ряда интерес — определить те разлагаемые функции, которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле не есть тот ряд, который требуется, то приводит к некоторой избыточности, вновь устранить которую

274

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции (функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то, о чем идет речь *.

Примечание 3 Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины

Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение бесконечно малых и их смысл

* В приведенной выше критике (Jahrb. fur wissensch. Krit., II Bd. 1827, Nr. 155, 6 и ел.) имеются интересные высказывания основательного ученого специалиста г. Шпера , взятые из его «Neue Principien des Fluentenkalkuls». Braunschweig, 1826, касающиеся именно одного из обстоятельств, в значительной мере способствующих внесению в дифференциальное исчисление неясностей и ненаучности, и согласующиеся со сказанным нами относительно того, как обстоит вообще дело с теорией этого исчисления. «Чисто арифметические исследования, — говорится там, — которые, правда, из всех подобных больше всего имеют отношение к дифференциальному исчислению, не были отделены от собственно дифференциального исчисления, и даже принимали, как, например, Лагранж, эти исследования за самое суть, в то время как на последнюю смотрели лишь как на их применения. Эти арифметические исследования включают правила дифференцирования, выведение теоремы Тейлора, и т. д. и даже различные методы интегрирования. Дело же обстоит как раз наоборот: эти случаи применения суть именно то, что составляет предмет собственно дифференциального исчисления, а все те арифметические рассуждения (Entwicklungen) и действия оно предполагает [известными] из анализа». — Мы показали, как у Лагранжа отделение так называемого применения от приема общей части, исходный пункт которого — ряды, служит именно для того, чтобы показать отличительное свойство дифференциального исчисления, взятого само по себе. Но ввиду интересного взгляда автора, что именно так называемые применения и составляют предмет собственно дифференциального исчисления, следует удивляться, каким образом он пускается в (приведенную там же) формальную метафизику непрерывной величины, становления, течения и т. д. и даже умножает этот балласт; эти определения формальны потому, что они не более как общие категории, не указывающие именно специфики дела, которое следовало познать и' абстрагировать из конкретных учений, из видов применения.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

275

в этом применении, следовало бы еще рассмотреть в настоящем примечании.

Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить, что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного различия между собой. Но в применении к пространственным предметам аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от прямолинейных — к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, — плоскость, значит, как множество линий, линия — как множество точек и т. д. Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д., чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует вывести функцию и уравнение для конкретного — для непрерывной величины. Для решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом, требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того, как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того определения, которое он должен иметь в Дифференциальном исчислении. — Если для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в дальнейшем они

276

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

должны быть соединены, должны служить главным образом элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии, никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала принимаются за линейные, равно как линии — за плоскостные. Однако, так как вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют как бесконечно малые. Дискретное способно лишь к внешнему соединению, в котором моменты сохраняют смысл дискретных «одних»; аналитический переход от последних совершается лишь к их сумме, он не есть в то же время геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д. Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как сумма малых плоскостей — плоскостью.

Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам, а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим пространственным определениям линии, есть в то же время продуцирование плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12 линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12 плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных величинах единица — одна и та же. Умно-жение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно одно-родны с тем, во что они переходят, — с произведением, и изменяют лишь величину. Напротив, то, что называлось бы умножением линии, как таковой, на линию — это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum, оно есть также ductus puncti in lineam, — есть не просто изменение величины, но изменение ее как качественного определения пространственности, как измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне себя, равно как выход точки вовне себя есть

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

277

линия, выход плоскости вовне себя — некоторое целое пространство То же самое получается, когда представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны брать ту определенность понятия, которую мы сформулировали как выход вовне себя — качественное изменение — и которая арифметически есть умножение единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). — К этому можно еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что представлялось бы умножением площади на площадь, возникает видимость различия между арифметическим и геометрическим продуцированием таким образом, что выход плоскости вовне себя как ductus plani in planum давал бы арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе, следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование настолько же формально; 3*3, взятое как числовое определение, помноженное само на себя, есть 3 • 3 • 3 • 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное определение, удерживается на З*З*З, так как пространство, представляемое как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера — s3 : t2), а другая, временная — арифметически.

В чем состоит отличие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это качественное, равно как и бесконечно малое, дано лишь как множитель (в арифметике) относительно произведения, как точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Необходимый качественный переход от дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина, к непрерывному осуществляется как суммирование.

Но что мнимое простое суммирование на самом деле содержит в себе умножение, следовательно, переход от линейного к плоскостному определению, это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают, что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на половину высоты. Эта высота представляется лишь как численность некоторого множества дискретных величин, которые дол-

278

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

жны быть суммированы. Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими [трапецию] параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять плоскость, но они линии, которые, следовательно, для того чтобы быть чем-то плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избежать трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать [в результате] плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости, но равным образом за бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейности параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же, но не обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть указанные две параллельные линии; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных линий на половинную численность членов. Это последнее определенное количество называется численностью только лишь в сравнении с представлением о бесконечно многих линиях; оно вообще есть определенность величины чего-то непрерывного — высоты. Ясно, что то, что называется суммой, есть также ductus lineae in lineam, умножение линейного на линейное, согласно вышеуказанному определению — возникновение плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике, каждый из множителей ab есть простая величина; но уже в, другом, даже элементарном примере трапеции лишь один множитель есть простая величина половины высоты, другой же определяется через прогрессию; он также есть некоторое линейное, но такое линейное, определенность величины которого оказывается более запутанной; поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда, ее аналитический, т. е. арифметический, интерес состоит в ее суммировании; геометрический же момент здесь — умножение, качественная сторона перехода от линейного измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный лишь в целях арифметического определения другого, а сам по себе он подобно последнему есть линейная величина.

Способ, при котором представляют плоскость как сумму линий, применяется, однако, часто и тогда, когда для достижения результата не производят умножения, как такового. Так поступают, когда важно указать величину как определенное количество не в уравнении, а в пропорции. Что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга как малая ось к большой, из чего заключают, что так же относятся между собой и суммы ординат, т. е. площади.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

279

Те, кто при этом хочет избежать представления о плоскости как сумме линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего вспомогательного приема ординаты в трапеции бесконечно малой ширины; так как [здесь] уравнение есть лишь пропорция, то [при этом ] сравнивается лишь один из двух линейных элементов площади. Другой элемент площади — ось абсцисс — принимается в эллипсе и круге за равный, как множитель арифметического определения величины, следовательно, как равный 1, и поэтому пропорция оказывается всецело зависящей только от отношения одного определяющего момента. Чтобы пред-ставить плоскость, требуются два измерения; но определение величины, как оно должно быть дано в этой пропорции, касается только одного момента; поэтому уступка или помощь представлению тем, что к этому одному моменту присоединяют представление суммы, есть, собственно говоря, непонимание того, что здесь необходимо для математической определенности.

Данные здесь пояснения служат также критерием упомянутого выше метода неделимых, предложенного Кавальери; метод этот также оправдан этими пояснениями, и ему нет надобности прибегать к помощи бесконечно малых. Эти неделимые суть для Ка-вальери линии, когда он рассматривает площади или квадраты, площади кругов, когда он рассматривает пирамиду или конус, и т. д.; основную линию или основную площадь, принимаемую за определенную, он называет правилом. Это константа, а по своему отношению к ряду это его первый или последний член; неделимые рассматриваются как параллельные ей, следовательно, по отношению к фигуре определяются одинаково. Общее основоположение Кавальери гласит (Exerc. geometr. VI — позднейшее сочинение Ехегс. I, р. 6), что «все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются122 между собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в отдельности». — Для этой цели он сравнивает в фигурах, имеющих одинаковые основание и высоту, пропорции между линиями, проведенными параллельно основанию и на равном расстоянии от него; все такие линии некоторой фигуры имеют одинаковое определение и составляют всю ее площадь. Так Кавальери доказывает, например, и ту элементарную теорему, что параллелограммы, имеющие одинаковую высоту, относятся между собой, как их основания; каждые две линии, проведенные в обеих фигурах на одинаковом расстоянии от основания и параллельные ему, относятся между собой, как основания этих фигур; следовательно, так же относятся между собой и целые фигуры. В действительности линии не составляют площади фигуры как непрерывной, а составляют эту площадь, поскольку она должна быть определена арифметически; линейное —это тот ее элемент, единственно лишь посредством которого должна быть постигнута ее определенность.

280

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

Это заставляет нас поразмыслить о различии [в мнениях] относительно того, в чем состоит определенность какой-нибудь фигуры, а именно эта определенность или такова, какова в данном случае высота фигуры, или она внешняя граница. Поскольку она дана как внешняя граница, допускают, что непрерывность фигуры, так сказать, следует равенству или отношению границы; например, равенство совпадающих фигур основывается на совпадении ограничивающих их линий. Но в параллелограммах с одинаковой высотой и основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница. Высота, а не вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур, их отношение, прибавляет к внешней границе второй принцип определения. Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковую высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве пропорциональности параллелограммов, граница есть вообще определенность величины, как таковая, обнаруживающаяся в любой паре линий, проведенных в обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Эти равные или находящиеся в равном отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в равном отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности фигуры; но рассмотрение линий полностью исчерпывает ту определенность, о которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, будто представление о неделимых приводит к тому, что должны быть сравнимы между собой бесконечные по численности линии или поверхности (Geom., lib. II, prop. I, schol.); он проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает между собой не их численность, которую мы не знаем, правильнее сказать, не их численность, которая, как мы отметили выше, есть пустое вспомогательное представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность, как таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые; если бы оно было нечто находящееся вне их, то оно было бы несравнимо; но было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собой.

Как видим, Кавальери хочет провести различие между тем, что принадлежит к внешнему существованию непрерывного, и тем, в чем состоит его определенность и что единственно и следует выделять для сравнения и в целях получения теорем о нем. Категорий, которыми он пользуется при этом, говоря, что непрерывное сложено из неделимых или состоит из них и т. п., конечно, недостаточно, так как при этом прибегают также к созерцанию непрерывного или, как мы сказали выше, к его внешнему существованию; вместо того чтобы сказать, что «не-

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

281

прерывное есть не что иное, как сами неделимые», было бы правильнее и, стало быть, само собой ясно сказать, что определенность величины непрерывного есть не что иное, как определенность величины самих неделимых. — Кавальери не придает никакого значения сомнительному выводу, что существуют-де большие и меньшие бесконечные, выводу, делаемому схоластикой из представления, что неделимые составляют непрерывное, и он определенно выражает далее (Geom., lib. VII, praef.) уверенность в том, что его способ доказательства вовсе не заставляет иметь представление о непрерывном как о сложенном из неделимых; непрерывные лишь следуют пропорции неделимых. — Кавальери говорит, что он берет агрегаты неделимых не с той стороны, с какой они кажутся подпадающими под определение бесконечности из-за бесконечного множества линий или плоскостей, а поскольку они имеют в самих себе некоторый определенный характер и природу ограниченности. Но чтобы устранить и этот камень преткновения, он в специально для этого добавленной седьмой книге не жалеет труда доказать основные теоремы своей геометрии таким способом, который остается свободным от примеси бесконечности. — Этот способ сводит доказательства к упомянутой выше обычной форме наложения фигур, т. е., как мы уже отметили, к представлению об определенности как о внешней пространственной границе.

Относительно этой формы наложения можно прежде всего сделать еще и то замечание, что она вообще есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей те или иные три принимаются равными по величине соответствующим трем частям другого треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собой, т. е. что каждый из них имеет и остальные три части равными по величине частям другого, так как они ввиду равенства трех первых частей совпадают друг с другом. Формулируя это более абстрактно, можно сказать, что именно в силу равенства каждой пары соответствующих друг другу частей обоих треугольников имеется только один треугольник; в последнем три части принимаются за уже определенные, из чего следует определенность также и трех остальных частей. Таким образом, показывается, что в трех частях определенность завершена; стало быть, для определенности, как таковой, три остальные части оказываются излишеством — излишеством чувственного существования, т. е. созерцания непрерывности. Высказанная в такой форме качественная определенность выступает здесь в [своем] отличии от того, что предлежит в созерцании, от целого как некоторого непрерывного внутри себя; совпадение мешает осознать это различие.

Вместе с параллельными линиями и в параллелограммах появляется, как мы отметили, новое обстоятельство: отчасти равенство

282

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

одних только углов, отчасти же высота фигур, от которой отличны внешние границы последних, стороны параллелограммов. При этом возникает сомнение, следует ли в этих фигурах — кроме определенности одной стороны, основания, которое дано как внешняя граница, — принимать в качестве другой определенности другую внешнюю границу (а именно другую сторону параллелограмма) или высоту? Если даны две такие фигуры, имеющие одинаковое основание и высоту, причем одна из них прямоугольная, а другая с очень острыми углами (и, стало быть, с очень тупыми противолежащими углами), то последняя фигура легко может показаться созерцанию большей, чем первая, поскольку созерцание берет предлежащую большую сторону ее как определяющую и поскольку оно по способу представления Кавальери сравнивает площади по тому или иному множеству параллельных линий, которыми они могут быть пересечены; [согласно этому способу представления], большую сторону [остроугольного параллелограмма] можно было бы рассматривать как возможность большего количества линий, чем у вертикальной стороны прямоугольника. Однако такое представление не служит возражением против метода Кавальери; ибо множество параллельных линий, представляемое в этих двух параллелограммах для сравнения, предполагает в то же время одинаковость их расстояний друг от друга или от основания, из чего следует, что другим определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограмма. Но далее это меняется, когда мы сравниваем между собой два параллелограмма, имеющие одинаковые основание и высоту, но лежащие не в одной плоскости и образующие с третьей плоскостью разные углы; здесь параллельные сечения, возникающие, когда представляют себе их пересеченными третьей плоскостью, движущейся параллельно себе самой, уже не одинаково удалены одно от другого, и эти две плоскости неравны между собой. Кавальери обращает особое внимание на это различие, которое он определяет как различие между transitus rectus и transitus obliquus 123 неделимых (как в Exercit. I n. XII ел., так уже в Geometr. I, II), и этим он устраняет поверхностное недоразумение, могущее возникнуть с этой стороны. Я припоминаю, что Барроу в своем упомянутом выше сочинении (Lect. geom., II, p. 21), хотя также пользуется методом неделимых, но, нарушая его чистоту, соединяет его с перешедшим от него к его ученику Ньютону и к другим современным ему математикам, в том числе и к Лейбницу, признанием возможности приравнять криволинейный треугольник, как, например, так называемый характеристический, прямолинейному, поскольку оба бесконечно, т. е. очень малы, — я припоминаю, что Барроу приводит подобное возражение Такэ 12 , остроумного геометра того времени, также пользовавшегося новыми методами. Имеющееся у последнего сомнение касается также вопроса о том, какую линию — а именно

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

283

при вычислении конических и сферических поверхностей — следует принимать за основной момент определения для рассуждения, основанного на применении дискретного. Такэ возражает против метода неделимых, утверждая, что при вычислении поверхности прямоугольного конуса по этому атомистическому методу треугольник, [получаемый при продольном рассечении] конуса, изображается составленным из прямых, параллельных основанию линий, перпендикулярных к оси и представляющих собой в то же время радиусы тех кругов, из которых состоит поверхность конуса. Если же эта поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется из численности их радиусов, т. е. из длины оси конуса, из его высоты, то получаемый результат противоречит сформулированной и доказанной еще Архимедом истине. В ответ на это возражение Барроу показывает, что для определения поверхности конуса не его ось, а сторона треугольника, [получаемого при продольном рассечении] конуса, должна быть принята за ту линию, вращение которой образует эту поверхность и которая, а не ось, должна поэтому считаться определенностью величины для множества окружностей.

Подобного рода возражения или сомнения имеют своим источником единственно лишь обыденное неопределенное представление, согласно которому линия состоит из бесконечного множества точек, плоскость — из бесконечного множества линий, и т. д.; этим представлением затушевывается сущностная определенность величины линий или плоскостей. — Целью настоящих примечаний было раскрыть те утвердительные определения, которые при различном применении бесконечно малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их от того тумана, в который их закутывает эта считающаяся чисто отрицательной категория. В бесконечном ряде, как, например, в Архимедовом измерении круга, «бесконечность» означает только то, что закон дальнейшего определения известен, но так называемое конечное, т. е.. арифметическое выражение, не дано, сведение дуги к прямой линии не осуществимо; эта несоизмеримость есть их каче-ственное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще содержит также и отрицательное определение, ввиду которого они выступают как несоизмеримые и которое влечет за собой бесконечное в том смысле, что непрерывное, долженствующее быть принятым за дискретное, по своей непрерывной определенности не должно уже иметь определенное количество. Непрерывное, которое арифметически должно быть принято за произведение, тем самым полагается в самом себе дискретным, а именно разлагается на те элементы, которые составляют его множители; в этих множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они суть эти множители или элементы, они имеют низшее измерение, а поскольку появляется степенная определенность, имеют более низкую степень, чем та

284

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

величина, элементами и множителями которой они служат. Арифметически это различие обнаруживается как чисто количественное различие, как различие корня и степени или какой-нибудь другой степенной определенности. Но если это выражение имеет в виду лишь количественное, как таковое, например, а : а2 или d*a2 = 2а :а2 = 2 : а, или для закона падения тел t: at2, то оно дает лишь ничего не говорящие отношения 1:а,2:а,1:а1;в противоположность своему чисто количественному определению члены отношения должны были быть удержаны врозь своим различным качественным значением, как, например, s : at2, где величина выражена как некоторое качество, как функция величины некоторого другого качества. При этом сознание имеет перед собой лишь количественную определенность, над которой легко производятся подобающие действия, и можно спокойно умножать величину одной линии на величину другой; но в результате умножения этих самых величин получается также качественное изменение — переход линии в плоскость, поскольку появляется некоторое отрицательное определение; оно и вызывает ту трудность, которую можно устранить, если уразуметь особенность этого определения и простую суть дела; но введением бесконечного, от которого ожидается ее устранение, эта трудность скорее только запутывается еще больше и оставляется совершенно непреодоленной.

Глава треть

КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS QUANTITATIVE VERHALTNIS)

Бесконечность определенного количества была определена выше так, что она есть его отрицательное потустороннее, которое, однако, оно имеет в самом себе. Это потустороннее есть качественное вообще. Бесконечное определенное количество как единство обоих моментов — количественной и качественной опре-деленностей — есть прежде всего отношение.

В отношении определенное количество уже не обладает лишь безразличной определенностью, а качественно определено как всецело соотнесенное со своим потусторонним. Оно продолжает себя, переходя в свое потустороннее; последнее есть прежде всего некоторое другое определенное количество вообще. Но по своему существу они не соотнесены друг с другом как внешние определенные количества, а каждое имеет свою определенность в этом соотношении с иным. Они, таким образом, в этом своем инобытии возвращены в себя; то, что каждое из них есть, оно есть в ином; иное составляет определенность каждого из них. — Смысл выхож-дения определенного количества за свои пределы состоит теперь, стало быть, не в том, что оно изменяется лишь в некоторое иное

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

285

или в свое абстрактное иное, в свое отрицательное потустороннее, а в том, что в этом ином оно достигает своей определенности; оно находит само себя в своем потустороннем, которое есть некое другое определенное количество. Качество определенного количества, определенность его понятия — это его внешность вообще, в отношении же оно положено так, что оно имеет свою определенность в своей внешности, в некоем другом определенном количестве, есть в своем потустороннем то, что оно есть.

Именно определенные количества обладают тем соотношением между собой, которое здесь получилось. Само это соотношение также есть некоторая величина. Определенное количество не только находится в отношении, но оно само положено как отношение; оно некоторое определенное количество вообще, имеющее указанную качественную определенность внутри себя. Таким образом, как отношение оно выражает себя как замкнутую в себе тотальность и свое безразличие к границе выражает тем, что внешность своей определенности оно имеет внутри самого себя и в этой внешности соотнесено лишь с собой и, следовательно, бесконечно в самом себе.

Отношение вообще есть

1) прямое отношение. В нем качественное еще не выступает наружу, как таковое, само по себе. Оно положено здесь пока что только в виде (Weise) определенного количества, положено имеющим свою определенность в самой своей внешности. — Количественное отношение есть в себе противоречие между внешностью и соотношением с самим собой, между устойчивым существованием определенных количеств и отрицанием их. Это противоречие снимает себя, поскольку прежде всего

2) в непрямом отношении полагается отрицание одного определенного количества, как таковое, также при изменении другого и изменчивость самого прямого отношения;

3) в степенном же отношении соотносящаяся в своем различии с самой собой единица выступает как простое самопродуцирование определенного количества. И, наконец, само это качественное, положенное в простом определении и как тождественное с определенным количеством, становится мерой.

О природе излагаемых ниже отношений многое уже было сказано в предыдущих примечаниях, касающихся бесконечного в количестве, т. е. качественного момента в последнем; остается поэтому лишь разъяснить абстрактное понятие этих отношений.

А. ПРЯМОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS DIREKTE VERHALTHIS)

1. В отношении, которое как непосредственное есть прямое отношение, определенность одного определенного количества заключается в определенности другого определенного количества и

286

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

наоборот. Имеется лишь одна определенность или граница обоих, которая сама есть определенное количество, — показатель (Exponent) отношения.

2. Показатель есть некоторое определенное количество. Но в своей внешности он соотносящий с собой в самом себе качественно определенный квант лишь постольку, поскольку он в самом себе имеет отличие от себя, свое потустороннее и инобытие. Но это различие определенного количества в самом себе есть различие единицы и численности; единица есть самостоятельная определенность (Fur sich Bestimmtsein), численность же — безразличное движение по отношению к определенности, внешнее безразличие определенного количества. Единица и численность были сначала моментами определенного количества; теперь в отношении, поскольку оно реализованное определенное количество, каждый из его моментов выступает как собственное определеннное количество, и оба — как определения его наличного бытия, как ограниченная по отношению к определенности величины, которая помимо этого есть лишь внешняя, безразличная определенность.

Показатель есть это различие как простая определенность, т. е. он имеет непосредственно в самом себе значение обоих определений. Он есть, во-первых, определенное количество; в этом смысле он численность; если один из членов отношения, принимаемый за единицу, выражен численной единицей — а ведь он считается лишь таковой единицей, — то другой член, численность, есть определенное количество самого показателя. Во-вторых, показатель есть простая определенность как качественное в членах отношения; если определенное количество одного из членов определено, то и другое определенное количество определено показателем, и совершенно безразлично, как определяется первое; оно как определенный сам по себе квант не имеет уже никакого значения и может с таким же успехом быть также любым другим определенным количеством, не изменяя этим определенности отношения, которая зависит только от показателя. Одно определенное количество, принимаемое за единицу, как бы велико оно ни стало, всегда остается единицей, а другое определенное количество, как бы велико оно при этом ни стало, непременно должно оставаться одной и той же численностью указанной единицы.

3. Согласно этому, оба они составляют, собственно говоря, лишь одно определенное количество; одно определенное количество имеет по отношению к другому лишь значение единицы, а не численности; другое имеет лишь значение численности; стало быть, по определенности своего понятия они сами не полные определенные количества. Но эта неполнота есть отрицание в них и притом отрицание не со стороны их изменчивости вообще,, сообразно которой одно (а каждое из них есть одно из двух) может принимать всевозможные величины, а со стороны того определения, что если одно изменяется, то и другое настолько

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

287

же увеличивается или уменьшается; это, как мы показали, означает: лишь одно, единица, изменяется как определенное количество, другой же член, численность, остается тем же определенным количеством единиц, но и первый член сохраняет значение лишь единицы, как бы он ни изменялся как определенное количество. Каждый член есть, таким образом, лишь один из этих двух моментов определенного количества, и самостоятельность, относящаяся к его отличительным свойствам, подверглась в себе отрицанию; в этой качественной связи они должны быть поло-жены один по отношению к другому как отрицательные.

Показатель, согласно сказанному выше, есть полное определенное количество, так как в нем сходятся определения обоих членов [отношения ]; но на самом деле он как частное сам имеет лишь значение либо численности, либо единицы. Нет ничего, что определяло бы, какой из членов отношения должен быть принят за единицу и какой — за численность; если один из них, определенное количество В, измеряется определенным количеством А как единицей, то частное С есть численность таких единиц; но если взять само А как численность, то частное С есть единица, требуемая при численности А для определенного количества В; тем самым это частное как показатель положено не как то, чем оно должно быть, — не как то, что определяет отношение, или как его качественная единица. Как последняя оно положено лишь постольку, поскольку оно имеет значение единства обоих моментов, единицы и численности. Так как эти члены [отношения], хотя они и даны как определенные количества такими, какими они должны быть в развернутом определенном количестве, в отношении, все же при этом даны лишь в том значении, которое они должны иметь как его члены, [т. е. ] суть неполные определенные количества и считаются лишь одним из указанных качественных моментов, то они должны быть положены с этим их отрицанием; благодаря этому возникает более реальное, в большей мере соответствующее его определению отношение, в котором показатель имеет значение произведения членов отношения; по этой определенности оно есть обратное отношение.

В. ОБРАТНОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS UMGEKEHRTE VERHALTNIS)

1. Отношение, как оно получилось теперь, есть снятое прямое отношение; оно было непосредственным и, стало быть, еще не истинно определенным; теперь же определенность прибавилась к нему так, что показатель считается произведением, единством единицы и численности. Со стороны его непосредственности его можно было (как было показано выше) брать безразлично — и как единицу, и как численность, вследствие чего он и был дан

288

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

лишь как определенное количество вообще и, стало быть, преимущественно как численность; одна сторона была единицей, и ее следовало брать как одно, а другая сторона — ее неизменной численностью, которая в то же время есть и показатель; качество последнего состояло, следовательно, лишь в том, что это определенное количество брали как неизменное или, вернее, неизменное имело лишь смысл определенного количества.

В обратном же отношении показатель и как определенное количество есть нечто непосредственное и принимаемое за неизменное. Но это определенное количество не есть неизменная численность для единицы другого определенного количества в отношении; это ранее неизменное отношение теперь скорее положено как изменчивое; когда в качестве «одного» какого-то из членов [обратного отношения ] берут другое определенное количество, тогда другой член [отношения] уже не остается той же самой численностью единиц первого члена. В прямом отношении эта единица есть лишь то, что обще обоим членам (nur das Gemeinschaftliche beider Seiten); как таковая, она переходит в другой член, в численность; сама численность, взятая особо, или, иначе говоря, показатель, безразлична к единице.

Но при той определенности отношения, какую мы имеем теперь, численность, как таковая, изменяется по отношению к единице, для которой она другой член отношения; если мы берем в качестве единицы какое-нибудь определенное количество, то численность становится другой. Поэтому, хотя показатель и есть лишь непосредственное определенное количество, лишь произвольно принимаемое за неизменное, но он не сохраняется, как таковое, в стороне отношения, и эта сторона, а тем самым и прямое отношение сторон изменчивы. Поэтому в рассматриваемом теперь отношении показатель, как определяющее определенное количество, положен отрицательно по отношению к себе как к определенному количеству отношения, положен тем самым как качественный, как граница, так что качественное выступает особо, отличным от количественного. — В прямом отношении изменение обоих членов есть лишь одно изменение определенного количества, каковым берется единица, которая есть то, что обще [обеим сторонам отношения], и, следовательно, во сколько раз одна сторона увеличивается или уменьшается, во столько же раз увеличивается или уменьшается также и другая; само отношение безразлично к этому изменению; последнее внешне ему. В обратном же отношении изменение, хотя оно в соответствии с безразличным количественным моментом также произвольно, удерживается внутри отношения, и это произвольное количественное выхож-дение также подвергается ограничению отрицательной определенностью показателя как некоторой границей.

2. Следует рассмотреть эту качественную природу обратного отношения еще подробнее, а именно в ее реализации, и разъяснить

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

289

содержащуюся в ней переплетенность утвердительного с отрицательным. — Определенное количество положено [здесь ] как то, что качественно определяет определенное количество, т. е. само себя, как представляющее себя в самом себе своей границей. Тем самым оно, во-первых, непосредственная величина как простая определенность, целое как сущее, аффирмативное определенное количество. Но, во-вторых, эта непосредственная определенность есть также граница; поэтому различают в нем два определенных количества, которые прежде всего суть другие относительно друг друга; но как их качественная определенность, а именно как полная, оно единство единицы и численности, произведение, множителями которого они служат. Таким образом, показатель их отношения, с одной стороны, тождествен в них с собой и есть то их утвердительное, на основании которого они определенные количества; с другой стороны, он, как положенное в них отрицание, есть в них то единство, на основании которого каждое, будучи прежде всего непосредственным, ограниченным определенным количеством вообще, в то же время так ограничено, что оно только в себе тождественно со своим иным. В-третьих, как простая определенность он отрицательное единство этого своего разделения на два определенных количества и граница их взаимного ограничения.

Согласно этим определениям, оба момента ограничивают друг друга внутри показателя, и один момент есть отрицательное другого, так как показатель есть их определенное единство; один момент становится во столько раз меньше, во сколько другой становится больше; каждый имеет свою величину постольку, поскольку он заключает в себе величину другого, поскольку она недостает другому. Каждая величина продолжает себя, таким образом, отрицательно, переходя в другую; сколько численности есть в ней, столько она снимает в другой как численности, и она есть то, что она есть, только через отрицание или границу, которая полагается в ней другою. Таким образом, каждая со-держит и другую и измеряется ею, ибо каждая должна быть только тем определенным количеством, которым не является другая; для значения каждой из них величина другой необходима и, стало быть, от нее неотделима.

Этот переход каждой величины в другую составляет момент единства, благодаря которому они находятся в отношении — момент одной определенности, простой границы, которая есть показатель. Это единство, целое, образует в-себе-бытие каждой из величин; от этого в-себе-бытия отлична ее наличная величина, по которой каждый момент есть лишь постольку, поскольку она отнимает у другой часть их общего в-себе-бытия — целого. Но она может отнять у другой лишь столько, сколько нужно для того, чтобы сделать [себя ] равной этому в-себе-бытию. Она имеет свой максимум в показателе, который по указанному выше вто-

290

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

рому определению есть граница их взаимного ограничения. А так как каждая есть момент отношения лишь постольку, поскольку она ограничивает другую и тем самым ограничивается другой, то, делаясь равной своему в-себе-бытию, она утрачивает это свое определение; при этом не только другая величина становится нулем 125, но и она сама исчезает, так как она, согласно предположению, есть не просто определенное количество, а должна быть тем, что она, как таковое, есть лишь как такого рода момент отношения. Таким образом, каждая сторона [отношения] есть противоречие между определением [ее] как ее в-себе-бытия, т. е. единства того целого, которым служит показатель, и определением [ее] как момента отношения; это противоречие есть в свою очередь бесконечность в новой, особой форме.

Показатель — это граница членов его отношения, внутри которой они друг друга увеличивают и уменьшают, при этом они не могут стать равными показателю по той утвердительной определенности, которая свойственна ему как определенному количеству. Таким образом как граница их взаимного ограничения он есть а) их потустороннее, к которому они могут бесконечно приближаться, но которого они не могут достигнуть. Эта бесконечность, в которой они к нему приближаются, есть дурная бесконечность бесконечного прогресса; она сама конечна, имеет свой предел в своей противоположности, в конечности каждого члена и самого показателя, и есть поэтому лишь приближение. Но /3) дурная бесконечность в то же время положена здесь как то, что она есть поистине, а именно лишь как отрицательный момент вообще, в соответствии с которым показатель есть относительно различенных определенных количеств отношения простая граница как в-себе-бытие, с которым соотносят их конечность как то, что совершенно изменчиво, но которое остается совершенно отличным от них как их отрицание. Это бесконечное, к которому они могут лишь приближаться, в таком случае наличествует также и как утвердительное посюстороннее; оно простое определенное количество показателя. В показателе достигнуто то потустороннее, которым обременены стороны отношения; он есть в себе единство обеих или тем самым он есть в себе другая сторона каждой из них; ибо каждая имеет лишь столько значения (Wert), сколько ее не имеет другая, вся ее определенность находится, таким образом, в другой, и это ее в-себе-бытие есть как утвердительная бесконечность просто показатель.

3. Но тем самым получился переход обратного отношения в другое определение, чем то, которое оно имело первоначально. Последнее состояло в том, что некоторое определенное количество как непосредственное имеет в то же время такое соотношение с другим, что оно становится тем больше, чем меньше становится другое и [лишь] через отрицательное отношение к другому оно есть то, что оно есть; и равным образом некоторая третья величина

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

291

есть общий [для них ] предел этого их увеличения. Это изменение, в противоположность качественному как неизменной границе, составляет здесь их отличительную черту; они имеют определение переменных величин, для которых то неизменное есть некое бесконечное потустороннее.

Но определения, которые обнаружились и которые мы должны свести воедино, заключаются не только в том, что это бесконечное потустороннее есть также имеющееся налицо и какое-то конечное определенное количество, но и в том, что его неизменность — в силу которой оно есть такое бесконечное потустороннее по отношению к количественному и которая есть качественная сторона бытия лишь как абстрактное соотношение с самой собой, — развилась в опосредствование себя с собой в своем ином, в конечности отношения. Всеобщее этих определений заключается в том, что вообще целое как показатель есть граница взаимного ограничения обоих членов и, стало быть, положено отрицание отрицания, а тем самым бесконечность, утвердительное отношение к самому себе. Более определенно то, что в себе показатель уже как произведение есть единство единицы и численности, но каждый из обоих членов [отношения] есть лишь один из этих двух моментов, благодаря чему показатель, следовательно, включает их в себя и в себе соотносится в них с собой. В обратном же отношении различие развилось во внешность количественного бытия и качественное дано не только как неизменное и не только как лишь непосредственно включающее в себя моменты, но и как смыкающееся с собой в вовне-себя-сущем инобытии. Это определение и выделяется как результат в обнаружившихся [до сих пор] моментах. А именно, показатель оказывается в-себе-бытием, моменты которого реализованы в определенных количествах и в их изменчивости вообще. Безразличие их величин в их изменении предстает в виде бесконечного прогресса; в основе этого лежит то, что в их безразличии их определенность состоит в том, чтобы иметь свое [численное ] значение в значении другого и, стало быть, а) в соответствии с утвердительной стороной их определенного количества быть в себе всем показателем в целом. И точно так же они имеют B) своим отрицательным моментом, своим взаимным ограничиванием величину показателя; их граница есть его граница. То обстоятельство, что они уже не имеют никакой другой имманентной границы, никакой 126 твердой непосредственности, положено в бесконечном прогрессе их наличного бытия и их ограничения, в отрицании всякого частного [численного] значения. Такое отрицание есть, согласно этому, отрицание вовне-себя-бытия показателя, которое представлено ими, и он, т. е. сам будучи и определенным количеством вообще, и выраженным в определенных количествах, тем самым положен как сохраняющийся, сливающийся с собой в отрицании их без-

292

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

различного существования, положен, таким образом, как определяющий это выхождение за свои пределы.

Отношение определилось тем самым как степенное отношение.

С. СТЕПЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ (POTENZENVERHALTNIS)

1. Определенное количество, полагающее себя в своем инобытии тождественным с собой, определяющее свое выхождение за свои пределы, достигло для-себя-бытия. Таким образом, оно качественная тотальность, которая, полагая себя как развернутую, имеет своим моментами понятийные определения числа — единицу и численность; в обратном отношении численность — это множество, которое еще не определено самой единицей, как таковой, а определено откуда-то извне, некоторым третьим; теперь же численность положена как определенное лишь ею. Это происходит в степеннбм отношении, где единица, которая в самом себе есть численность, есть в то же время численность по отношению к себе как единице. Инобытие — численность единиц — есть сама единица. Степень — это множество единиц, каждая из которых есть само это множество. Определенное количество как безразличная определенность изменяется; но поскольку это изменение есть возведение в степень, это его инобытие ограничено исключительно самим собой. — Таким образом, определенное количество положено в степени как возвратившееся в само себя; оно непосредственно есть оно само, а также свое инобытие.

Показатель этого отношения уже не есть непосредственное определенное количество, в отличие от прямого, а также от обратного решения. В степенном отношении он имеет чисто качественную природу, есть простая определенность, согласно которой численность есть сама же единица и определенное количество тождественно в своем инобытии с самим собой. В этом заключается также та сторона его количественной природы, что граница, или отрицание, не положена как непосредственно сущее, а наличное бытие положено как продолжающееся в своем инобытии; ибо истина качества именно в том, что оно количество, непосредственная определенность как снятая.

2. Степенное отношение представляется сначала внешним изменением, которому подвергают определенное количество; но оно имеет более тесную связь с понятием определенного количества: последнее в наличном бытии, до которого оно развилось в указанном отношении, достигло этого понятия, полностью реализовало его; это отношение есть изображение того, что определенное количество есть в себе, и выражает его определенность, или качество, которым оно отличается от другого. Определенное количество есть безразличная определенность, положенная как снятая,

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

293

т. е. определенность как граница, которая также и не есть граница, продолжается в своем инобытии, остается, следовательно, в нем тождественной с самой собой; таким оно положено в степенном отношении; его инобытие, выхождение за свои пределы в другое определенное количество, определено им же самим.

Сравнивая между собой процесс этой реализации в рассмотренных до сих пор отношениях, мы видим, что качество определенного количества как собственное положение в отличии от самого себя состоит вообще в том, чтобы быть отношением. Как прямое отношение оно дано как такое положенное различие только вообще или непосредственно, так что его соотношение с самим собой, которое оно как показатель имеет относительно своих различий, признается лишь неизменностью некоторой численности единиц. В обратном отношении определенное количество есть в отрицательном определении отношение к себе самому, к себе как к своему отрицанию, в котором оно, однако, имеет свое [численное] значение; как утвердительное соотношение с собой, оно такой показатель, который, будучи определенным количеством, определяет свои моменты лишь в себе. В степенном же отношении оно наличествует в различии как отличии себя от самого себя. Внешность определенности есть качество определенного количества; таким образом, эта внешность положена теперь соответственно его понятию как его собственный процесс определения, как его соотношение с самим собой, его качество.

3. Но тем, что определенное количество положено так, как оно соответствует своему понятию, оно перешло в другое определение или, как это можно еще выразить, его определение теперь дано и как определенность, [его ] в-себе-бытие дано и как наличное бытие. Оно дано как определенное количество, поскольку внешность или безразличие к тому, как оно определено (что оно есть то, что, как говорится, может быть увеличено или уменьшено) , значимо и положено лишь просто, или непосредственно; оно стало своим иным, т. е. качеством, поскольку указанная внешность теперь положена как опосредствованная через него самого, положена как момент таким образом, что оно именно в ней соотносится с самим собой, есть бытие как качество.

Итак, сначала количество, как таковое, выступает как нечто противостоящее качеству. Но само количество есть некоторое качество, соотносящаяся с собой определенность вообще, отличенная от другой для нее определенности, от качества, как такового. Однако оно не только некоторое качество, а истина самого качества есть количество; качество явило себя переходящим в количество. Количество, наоборот, есть в своей истине возвратившаяся в самое себя, небезразличная внешность. Таким образом, оно есть само качество, так что качество, как таковое, не есть еще что-то помимо этого определения. — Для того чтобы была тотальность, требуется двойной переход, не только

294

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

переход одной определенности в свою другую, но и переход этой другой, возвращение ее в первую. Благодаря первому переходу тождество этих двух определенностей имеется только в себе; качество содержится в количестве, которое, однако, тем самым есть пока еще односторонняя определенность. Что последняя, наоборот, точно так же содержится в первой, что она точно так же дана лишь как снятая, это видно из второго перехода — из ее возвращения в первую. Это замечание о необходимости двойного перехода очень важно для всего научного метода.

Определенное количество теперь уже не как безразличное или внешнее определение, а так, что оно как такое определение снято и есть качество и то, благодаря чему нечто есть то, что оно есть, — это истина определенного количества, мера