Часть 11.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

251

предметом необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их решения, ради которых применяется дифференциальное исчисление, показывают, что интерес в них состоит единственно лишь в рассмотрении степенных определений, как

таковых.

Как ни важна эта основа и хотя она сразу же ставит на первое место нечто определенное, а не чисто формальные категории переменных, непрерывных или бесконечных величин и т. п. или только функции вообще, она все же еще слишком обща; ведь с тем же самым имеют дело и другие действия; уже возведение в степень и извлечение корня, а затем действия над показательными величинами и логарифмами, ряды, уравнения высших степеней, имеют интерес и применение только к отношениям, основанным на степенях. Нет сомнения, что все они в своей совокупности составляют систему рассмотрения степеней; но ответ на вопрос, какие именно из этих отношений, в которые могут быть поставлены степенные определения, составляют собственный предмет и интерес дифференциального исчисления, должен быть почерпнут из него самого, т. е. из его так называемых применений. Последние и составляют самое суть, действительный способ действия в математическом решении того или иного круга проблем; этот способ действия существовал раньше теории или общей части, и применением оно было названо позднее лишь по отношению к созданной затем теории, которая ставила себе целью, с одной стороны, установить общий метод этого способа действия, с другой — дать ему принципы, т. е. обоснование. Какими тщетными для господствовавшего до сих пор понимания этого способа действия были старания найти принципы, которые действительно разрешили бы выступающее здесь противоречие, а не оправдывали бы или не прикрывали бы его ссылкой на незначительность того, что согласно математическому способу действия хотя и необходимо, но здесь должно быть отброшено, или ссылкой на сводящуюся к тому же самому возможность бесконечного или какого угодно приближения и т. п.,—это мы показали в предыдущем примечании. Если бы всеобщее этого способа действия было абстрагированное из действительной части математики, именуемой дифференциальным исчислением, иначе, чем это делалось до сих пор, то эти принципы и занятие ими оказались бы столь же излишними, сколь они в самих себе оказываются чем-то неправильным и постоянно противоречивым.

Если будем доискиваться этой специфики, просто обозревая . что имеется в этой части математики, то мы найдем в качестве

предмета а) уравнения, в которых какое угодно число величин цело можем здесь ограничиться вообще двумя) связано в одно свою определенность так, что эти величины, во-первых, имеют определенность в эмпирических величинах как твердых а затем в такой же связи и с последними, и между

252

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

собой, как это вообще имеет место в уравнениях; но так как здесь имеется лишь одно уравнение для обеих величин (если величин более двух, то и число уравнений соответственно увеличивается, но всегда оно будет меньше числа величин), то это уравнения неопределенные. Во-вторых, они связаны так, что одна из сторон [уравнения], сообщающая этим величинам их определенность, заключается в том, что они (по крайней мере одна из них) даны в уравнении в более высокой степени, чем первая степень.

Относительно этого мы прежде всего должны сделать несколько замечаний. Во-первых, величины, взятые со стороны первого из указанных выше определений, носят всецело характер лишь таких переменных величин, какие встречаются в задачах неопределенного анализа. Их значение неопределенно, но так, что если одна получает откуда-то извне совершенно определенное значение, т. е. числовое значение, то и другая становится определенной; таким образом, одна есть функция другой. Поэтому категории переменных величин, функций и тому подобное, как уже сказано выше, только формальны для специфической определенности величин, о которой здесь идет речь, так как присущая им всеобщность еще не содержит того специфического, что составляет весь интерес дифференциального исчисления и что нельзя объяснить из нее при помощи анализа; они сами по себе простые, незначительные, легкие определения, которые делаются трудными только тогда, когда вкладывают в них то, чего в них нет, для того чтобы иметь затем возможность вывести его из них, а именно вкладывают специфическое определение дифференциального исчисления. — Что касается, далее, так называемой константы, то о ней можно заметить, что она прежде всего безразличная эмпирическая величина, имеющая для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому определенному количеству, как предел их минимума и максимума; но способ соединения констант с переменными величинами сам составляет один из моментов для природы частной функции, которую образуют эти величины. Но и наоборот, сами константы также функции. Поскольку, например, прямая линия имеет значение параметра параболы, это ее значение состоит в том, что она функция y^2/x ; так же как в разложении двучлена вообще X

константа как коэффициент первого члена ряда есть сумма корней, как коэффициент второго члена — сумма их произведений по два и т. д., стало быть, эти константы суть здесь вообще функции корней. Там, где в интегральном исчислении константа определяется из данной формулы, она трактуется как ее функция Эти коэффициенты мы рассмотрим далее и в другом определени

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

253

как функции, конкретное значение которых составляет весь [их ]

интерес.

Но то характерное, которым рассмотрение переменных величин в дифференциальном исчислении отличается от их свойства в неопределенных задачах, мы должны видеть в том, что по крайней мере одна из этих величин или даже все они имеют степень выше первой, причем опять-таки безразлично, все ли они имеют одну и ту же высшую степень или они имеют неодинаковую степень; специфическая неопределенность, которую они здесь имеют, состоит единственно лишь в том, что они функции друг друга в таком степенном отношении. Благодаря этому изменение переменных величин детерминировано качественно и, стало быть, оно непрерывно, и эта непрерывность, которая сама по себе есть опять-таки лишь формальная категория некоторого тождества вообще, некоторой определенности, сохраняющейся в изменении, остающейся равной себе, имеет здесь свой детерминированный смысл, и притом единственно лишь в степенном отношении, которое не имеет своим показателем никакого определенного количества и составляет не-количественную, сохраняющуюся определенность отношения переменных величин. Поэтому следует возразить против формализма другого рода, что первая степень есть степень лишь в отношении к более высоким степеням; сам по себе х есть лишь какой-то неопределенный квант. Поэтому нет смысла дифференцировать само по себе уравнения у = ах + Ь, прямой линии, или s = ct, уравнение просто равномерной скорости. Если из у = ах или же из у = ах + b получается а = dy/dx или из s = ct получается — = с, то в такой же

мере определением тангенса будет а = y/x или определением просто

равномерной скорости s/t = с. Последняя выражается через dy/dx в

связи с тем, что выдается за разложение [в ряд] равномерно ускоренного движения. Но что в системе такого движения встречается момент простой, просто равномерной скорости, т. е. не определенной высшей степенью одного из моментов движения, — это само есть, как отмечено выше, неосновательное допущение, опирающееся единственно лишь на рутину метода. Так как метод сходит из представления о приращении, получаемом переменной величиной, то, конечно, приращение может получить и такая если переменная величина, которая есть лишь функция первой степени; и же после этого, чтобы найти дифференциал, берут отличие сразу возникшего; таким образом второго уравнения от данного, то мы уже обнаруживаеться бесполезность действия: уравнение, как уже заметили, до и после этого действия остается для так

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

254

называемых приращений тем же, что и для самих переменных величин.

(3) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие. Такое рассмотрение может нам дать лишь знакомые уже результаты, какие по своей форме имеются особенно в понимании этого предмета Лагранжем; но я придал изложению совершенно элементарный характер, чтобы устранить примешавшиеся сюда чужеродные определения. — Основой для действий над уравнением указанного вида оказывается то, что степень внутри самой себя понимается как отношение, как система определений отношения. Степень, указали мы выше, есть число, поскольку его изменение определено им же самим, его моменты, единица и численность, тождественны, — полностью, как мы выяснили ранее, прежде всего в квадрате, более формально (что не составляет здесь разницы) — в более высоких степенях. Степень, ввиду того что она как число (хотя бы и предпочитали термин величина как более всеобщее, она в себе всегда есть число) есть множество и тогда, когда она изображена как сумма, может прежде всего быть разложена внутри себя на любое множество чисел, которые и относительно друг друга, и относительно их суммы имеют только то определение, что они все вместе равны этой сумме. Но степень может быть также разложена на сумму таких различий, которые определены формой степени. Если степень принимается за сумму, то как сумму понимают и ее основное число, корень, и оно может быть как угодно разложено, но это разнообразие разложения есть безразличное эмпирически количественное (Quantitative). Сумма, каковой должен быть корень, сведенная к своей простой определенности, т. е. к своей истинной всеобщности, есть двучлен; всякое дальнейшее увеличение числа членов есть не более как повторение того же определения и потому нечто пустое *. Важна здесь, стало быть, только качественная определенность членов, которая получается посредством возведения в степень корня, принимаемого за сумму; эта определенность заключается единственно лишь в изменении — в возведении в степень. Эти члены суть, следовательно, всецело функции возведения в степень и [самой] степени. Такое изображение числа как суммы множества таких членов, которые

* Лишь формализмом той всеобщности, на которую необходимо притязает анализ, объясняется то, что для разложения в степенной ряд берется не двучлен (a + i)n, а многочлен (а + Ь + с + d ...), как это делают и во многих других случаях; эту форму следует считать, так сказать, кокетничанием видимостью всеобщности; суть дела исчерпывается двучленом; посредством его разложения в ряд мы находим закон, а истинная всеобщность и есть закон, а не внешнее, лишь пустое повторение закона, единственно которое это а + Ь + с + d... и порождает.

255

суть функции возведения в степень, а затем интерес — найти форму таких функций и, далее, эту сумму из множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от указанной формы, — все это составляет, как известно, особое учение о рядах. Но при этом нам важно выделить еще другой интерес, а именно отношение самой лежащей в основании величины (определенность которой, поскольку она некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе некоторую степень) к функциям ее возведения в степень. Это отношение, совершенно абстрагированное от названного выше интереса [нахождения ] суммы, окажется вытекающей из действительной науки позицией (Gesichtspunkt) как единственной, имеющейся в виду дифференциальным исчислением.

Однако сначала нужно прибавить к сказанному еще одно определение или, вернее, устранить из сказанного одно заключающееся в нем определение. А именно, мы сказали, что переменная величина, в определение которой входит степень, рассматривается внутри ее самой как сумма и притом как система членов, поскольку последние суть функции возведения в степень, почему и корень рассматривается как сумма, а в своей просто определенной форме — как двучлен; Xй = (у + z)" — (у + ny^n-1* z + ...). Для разложения степени в ряд, т. е. для получения функций возведения в степень, эта формула исходила из суммы, как таковой; но здесь дело не идет ни о сумме, как таковой, ни о происходящем из нее ряде, а от суммы должно брать только соотношение. Соотношение величин, как таковое, есть то, что, с одной стороны, остается после абстрагирования от plus некоторой суммы, как таковой, и что, с другой стороны, требуется для нахождения функций, получающихся в результате разложения в степенной ряд. Но такое соотношение уже определено тем, что здесь предмет есть уравнение, что у" = ах° также есть уже комплекс нескольких (переменных) величин, содержащий их степенное определение. В этом комплексе каждая из этих величин всецело положена как находящаяся в соотношении с другой со значением, можно было бы сказать, некоторого plus в ней самой — положена как функция прочих величин; их свойство быть Функциями друг друга сообщает им это определение plus, но именно этим — определение совершенно неопределенного plus, a е приращения, инкремента и т. п. Мы, однако, могли бы также оставить без внимания этот абстрактный исходный пункт; можно совершенно просто ограничиться тем, что после того как перед переменные велечены Даны в уравнении как функции друг друга, так что эта определенность заключает в себе отношение степеней, в степень сравниваются между собой также и функции возведения не чем иным каждой из них, — каковые вторые функции определены м иным, как самим возведением в степень. Можно сначала

256

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

выдавать за желание или возможность сведение степенного уравнения переменных величин к отношению функций, получающихся в результате их разложения в ряд; лишь дальнейшая цель, польза применение должны указать пригодность такого его преобразования; эта перестановка и вызвана единственно лишь ее полезностью. Если выше мы исходили из изображения этих степенных определений на примере такой величины, которая как сумма принимается за различенную внутри себя, то это, с одной стороны, служило лишь для того, чтобы указать, какого вида эти функции, с другой — в этом заключается способ их нахождения.

Мы имеем перед собой, таким образом, обычное аналитическое разложение в ряд, понимаемое для целей дифференциального исчисления так, что переменной величине дается приращение dx, i, a затем степень двучлена разлагается в соответствующий ряд. Но так называемое приращение должно быть не определенным количеством, а лишь формой, все значение которой сводится к тому, чтобы быть вспомогательным средством разложения в ряд. Стремятся же в этом случае — по признанию, определеннее всего выраженному Эйлером и Лагранжем и подразумеваемому в ранее упомянутом представлении о пределе, — лишь к получающимся при этом степенным определениям переменных величин, к так называемым коэффициентам (эти коэффициенты суть, правда, коэффициенты приращения и его степеней, которые определяют последовательность ряда и к которым относятся различенные коэффициенты). При этом можно отметить, что так как приращение, не имеющее определенного количества, принимается лишь для целей разложения в ряд, то было бы всего уместнее обозначить его цифрой 1 (единицей), потому что приращение всегда встречается в разложении только как множитель, а множитель «единица» как раз и достигает той цели, чтобы приращение не приводило к какой-либо качественной определенности и к какому-либо количественному изменению, dx же, обремененное ложным представлением о некоторой количественной разности, и другие знаки, как, например, i, обремененные бесполезной здесь видимостью всеобщности, всегда выглядят как определенное количество и его степени и притязают на то, чтобы быть таковыми; это притязание приводит к стремлению, несмотря на это, избавиться от них, отбросить их. Для сохранения формы ряда, развернутого по степеням, можно было бы с таким же успехом присоединять обозначения показателей как indices к единице. Но и помимо этого необходимо абстрагироваться от ряда и от определения коэффициентов по месту, которое они занимают в ряде: отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция — производная от первой, точно так же как первая — от первоначальной, и для той, которая по счету вторая, первая производная функция есть в свою очередь первоначальная.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

257

По существу же своему интерес составляет не ряд, а единственно шь получающееся в результате разложения в ряд степенное лишь деление в своем отношении к непосредственной для него величине. Стало быть, вместо того чтобы считать это определение Коэффициентом первого члена разложения, было бы пред-очтительнее (так как каждый член обозначается как первый относительно следующих за ним членов ряда, а такая степень в качестве степени приращения, как и сам ряд, не относится сюда) употреблять простое выражение «производная степенная функция», или, как мы сказали выше, «функция возведения величины в степень», причем предполагается, что известно, каким образом производная берется как заключенная внутри некоторой степени разложения.

Но если в этой части анализа собственно математическое начало есть не что иное, как нахождение функции, определенной через разложение в степенной ряд, то возникает еще один вопрос: что делать с полученным таким образом отношением, каково применение его и пользование им, или [вопрос]: действительно, для какой цели ищут такие функции? Дифференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес именно тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, сводимых к этим абстрактным аналитическим отношениям.

Но относительно применимости из самой природы сути вещей в силу вскрытого выше характера моментов степени само собой вытекает прежде всего следующее, еще до того, как будет сделан вывод из случаев применения. Разложение в ряд степенных величин, посредством которого получаются функции их возведения в степень, если абстрагироваться от более точного определения, отличается прежде всего вообще тем, что величина понижается на одну степень. Такое действие, следовательно, находит применение в таких предметах, в которых также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду пространственную определенность, то найдем, что она содержит те три измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты, длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно линию, поверхность и тотальное пространство; а поскольку они берутся в их простейших формах и в соотношении с самоопределением и, стало быть, с аналитическими измерениями, то мы получаем прямую линию, плоскостную поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет эмпирическое определенное количество, но с плоскостью появляется то, что обладает качеством, степенное определение; более детальные видоизменения, например то, что это рассмотрения уже и с плоскими кривыми, мы можем оставить без лишь рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего о различии переходит в общем виде- Тем самым возникает также потребность переходить от более высокого степенного определения к низшему

9 Гегель,

258

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

и наоборот, поскольку, например, линейные определения должны быть производными от данных уравнений поверхности и т. п. или наоборот. — Далее, движение, в каковом должно рассматривать количественное отношение пройденного пространства и соответствующего протекшего времени, обнаруживается в различных определениях просто равномерного, равномерно ускоренного, попеременно равномерно ускоренного и равномерно замедленного — возвращающегося в себя движения; так как эти различенные виды движения выражены через количественные отношения их моментов, пространства и времени, то для них получаются уравнения с различными степенными определениями, а поскольку может явиться потребность определить некоторый вид движения или же пространственные величины, с которыми связан данный вид [движения], посредством другого вида движения, это действие равным образом приводит к переходу от одной степенной функции к другой, высшей или низшей. — Этих двух примеров достаточно для той цели, для которой они приведены.

Видимость случайности, представляемая дифференциальным исчислением в разном его применении, упростилась бы уже пониманием природы сфер применения и специфической потребности и условия этого применения. Но в самих этих сферах важно далее знать, между какими частями предметов математической задачи имеет место такое отношение, которое специфически полагается дифференциальным исчислением. Пока что мы сразу должны заметить, что при этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения. Действие понижения степени уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине есть уже не уравнение, а отношение. Это отношение составляет предмет собственно дифференциального исчис-ления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется также отношение самого более высокого степенного определения (первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе отношение мы должны оставить пока без внимания; впоследствии оно окажется предметом, характерным для интегрального исчисления.

Рассмотрим сначала первое отношение и для определения момента, в котором заключается интерес действия (это определение должно быть заимствовано из сферы так называемого применения), возьмем простейший пример кривых, определяемых уравнением второй степени. Как известно, отношение координат в степенном определении дано непосредственно уравнением. Следствиями основного определения являются определения других связанных с координатами прямых линий: касательной, подка-сательной, нормали и т. п. Но уравнения между этими линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, в качестве частей которых определены указанные линии, — это прямоуголь-

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

259

ные треугольники, составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего степенное определение, к этим линейным уравнениям содержит указанный выше переход от первоначальной функции, т. е. от той функции, которая есть уравнение к производной функции, которая есть отношение и притом отношение между теми или иными содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.

Небезынтересно отметить относительно истории [дифференциального исчисления ], что первые открыватели умели указать найденное ими решение лишь всецело эмпирически, не будучи в состоянии объяснить само действие, оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь здесь указанием на Барроу, учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся прежде всего от того, что составляет особенность дифференциального исчисления, он излагает также свой метод определения касательных, «так как на этом настаивали его друзья» (lect. X). Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы составить надлежащее представление о том, каким образом этот метод дан как совершенно внешнее правило — в том же стиле, как в учебниках арифметики прежде излагалось тройное правило или, еще лучше, так называемая проба арифметических действий девяткой. Он чертит те маленькие линии, которые впоследствии были названы [бесконечно малыми] приращениями в характеристическом треугольнике кривой, и затем в виде простого правила предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания уравнения выступают как степени указанных приращений или как произведения (etenim isti termini nihilum valebunt) 115, а также следует отбросить те члены, которые содержат величины, определяемые лишь на основе первоначального уравнения (последующее вычитание первоначального уравнения из уравнения, составленного вместе с приращениями), и, наконец, заменить приращение ординаты самой ординатой и приращение абсциссы — подкасательной. Нельзя, если позволительно так выразиться, изложить способ более школьнопедантически; последняя подстановка — это допущение пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и подкасательной сделанное в обычном дифференциальном методе определения касательной; в правиле Барроу это выступает во всей своей наивной наготе. Был найден и способ определения подкасательной; приемы Роберваля 116 Ферма сводятся к чему-то сходному — метод нахождения наибольших и наименьших значений, из которого исходил Ферма, на тех же основаниях и на том же образе действия. называемые математической страстью того времени было находить методы, т. е. указанного рода правила, и притом

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

260

делать из них секрет, что было не только легко, но в некотором отношении даже нужно, и нужно по той же причине, почему это было легко, а именно потому, что изобретатели нашли лишь эмпирически внешнее правило, а не метод, т. е. не то, что выведено из признанных принципов. Подобные так называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также воспринял их от своего времени, а непосредственно — от своего учителя; обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но, занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ действия от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование. Анализируя метод более подробно, мы увидим, что истинный ход действия в нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет уравнения, а возникло лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой функцией другой. Вместо рх = у^2 мы имеем р : 2у или вместо 2ах — х2 - у2 имеем а — х : у, чтб впоследствии стали

обычно обозначать как отношение dy/dx . Уравнение есть уравнение

кривой, а это отношение, целиком зависящее от него и производное (выше — согласно одному лишь правилу) от него, есть, напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р : 2у или а — х : у сами суть отношения прямых линий кривой, а именно отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы хотим знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное отношение, хотим найти равенство двух отношений. — Следовательно, вопрос, во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой кривой, находятся в таком отношении? — Но это то, что уже ранее было известно, а именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение ординаты к подкасательной. Древние нашли это остроумным геометрическим способом; изобретатели же нового времени открыли лишь эмпирический способ, как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему ту линию (здесь — подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически — дифференцирование, — отчасти же были изобретены воображаемые приращения координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого дабы приращения касательной характеристический треугольник, дабы пропорциональность отношения, найденного путем понижении степени уравнения, вместе с отношением ординаты и подкаса-

261

тельной была представлена не как нечто эмпирически взятое тельной из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако это

лишь из давно явно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной выше форме правил) единственным поводом и соответственно единственным основанием для допущения характеристического треугольника и указанной пропорциональности. Лагранж отбросил это подобие доказательности (Simulation) и вступил на подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем что усмотрели, в чем дело, так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода, которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать каждую из этих сторон отдельно. Одна часть этого решения — при более подробном изложении хода действия мы продолжаем пользоваться как примером элементарной задачей нахождения подкасательной — теоретическая или общая часть, а именно нахождение первой функции из данного уравнения кривой, регулируется особо; эта часть дает некоторое линейное отношение, следовательно, отношение прямых линий, встречающихся в системе определения кривой. Другая часть решения состоит в нахождении тех линий в кривой, которые находятся в указанном отношении. Это теперь осуществляется прямым путем (Thdorie des fonct. anal., p. II, ch. II), т. е. не прибегая к характеристическому треугольнику, а именно к бесконечно малым дугам, ординатам и абсциссам, и не давая им определений dy и dx, т. е. членов указанного отношения, а также не устанавливая в то же время непосредственно значения равенства этого отношения с самими ординатой и под-касательной. Линия (равно как и точка) имеет свое определение лишь постольку, поскольку она составляет сторону некоторого треугольника, и определение точки также имеется лишь в треугольнике. Это, скажем мимоходом, основное положение аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, что то же самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не нуждающемуся в больших усилиях доказать его. — Подкасательная теперь принимается за сторону треугольника, другие стороны которого составляют ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет своим уравнением р = aq (прибавление + b бесполезно для определения и делается лишь ради излюбленной всеобщности);

определение отношения p/q есть а, коэффициент величины q,

который есть соответственная первая функция уравнения, но

который должен вообще рассматриваться лишь как а = p/q , т. е.,

сказано, как сущностное определение прямой линии, применяемой как касательная к данной кривой. Далее, поскольку

берется первая функция уравнения кривой, она также определение

262

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

некоторой прямой линии; далее, так как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой, отождествляются стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия' принимаемая как касательная, соприкасается с кривой, есть также начальная точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том, чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как y = fx и p = Fq, а теперь принимается, что у = р, стало быть, fx = Fq, то и fx = F'q. Что употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена из уравнения его первой функцией, совпадают, что вторая прямая есть, следовательно, касательная, — это показывается с помощью приращения i абсциссы и приращения ординаты, определяемого разложением функции. Здесь, стало быть, также появляется пресловутое приращение; однако способ, каким оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому приращению следует отличать от упомянутого выше пользования приращением для нахождения дифференциального уравнения и для характеристического треугольника. Способ, каким оно применяется здесь, правомерен и необходим; он входит в круг геометрии, так как геометрическое определение касательной, как таковой, требует, чтобы между ней и кривой, с которой она имеет одну общую точку, не могло быть другой прямой линии, также проходящей через эту точку. Ибо с принятием этого определения качество касательной или не-касательной сводится к различию по величине, и касательной оказывается та линия, на которую единственно с точки зрения важного здесь определения приходится большая малость. Эта на первый взгляд лишь относительная малость не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. ничего зависящего от определенного количества, как такового; она качественно положена природой формулы, если различие момента, от которого зависит сравниваемая величина, есть различие в степени; так как последнее сводится к i и i2 и так как i, которое ведь в конце концов должно означать некоторое число, следует представлять затем как дробь, то i2 само по себе меньше, чем i, так что само представление, что i можно приписывать любую величину, здесь излишне и даже неуместно. Именно поэтому доказательство большей малости не имеет ничего общего с бесконечно малым, для которого, стало быть, вообще здесь нет места.

Я хочу здесь еще сказать о Декартовом методе касательных, хотя бы только ради его красоты и ради ныне скорее забытой, но вполне заслуженной его славы; впрочем, он имеет отношение и к природе уравнений, о которой мы должны будем затем сделать еще одно замечание. Декарт излагает этот самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

263

находят из той же производной функции, в своей оказавшейся других отношениях столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl ed. Cousin, torn V, liv. II, p. 357 и cл.), развивая в ней учение о широкой основе природы уравнений и их геометрического построения, а тем самым об основе анализа, в столь значительной степени применяемого к геометрии вообще. Проблема получает V него форму задачи — провести прямые линии перпендикулярно к любому месту кривой, чем определяется подкасательная и т. д. Вполне понятно чувство удовлетворения, выражаемого им по поводу своего открытия, которое касалось предмета всеобщего научного интереса того времени и, будучи всецело геометрическим, столь возвышалось над упомянутыми выше методами его соперников, содержащими одни только правила: «J'ose dire que c'est ceci le probleme le plus utile et le plus general, non seulement que je sache, mats meme que j'aie jamais desire de savoir en geometrie»117. — При решении этой задачи он исходит из аналитического уравнения прямоугольного треугольника, образуемого ординатой той точки кривой, к которой должна быть перпендикулярна искомая прямая линия, затем ею же самой, нормалью, и, в-третьих, поднормалью, т. е. той частью оси, которая отрезается ординатой и нормалью. Из известного уравнения кривой в указанное уравнение треугольника подставляется затем значение ординаты или абсциссы; таким образом получается уравнение второй степени (и Декарт показывает, каким образом и те кривые, уравнения которых содержат более высокие степени, сводятся к уравнению второй степени), в котором встречается лишь одна из переменных величин и притом в квадрате и в первой степени, — квадратное уравнение, которое сначала предстает как так называемое нечистое уравнение. Затем Декарт рассуждает таким образом, что если мы представим себе рассматриваемую точку кривой точкой пересечения ее и круга, то этот круг пересечет кривую еще в другой точке и тогда получится для двух возникающих благодаря этому и неодинаковых х два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы или же одно уравнение с неодинаковыми значениями х. Но уравнение делается одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормалью, что представляют себе таким образом, будто обе точки пересечения кривой совпадают с кругом и, следовательно, круг соприкасается с кривой. Но тем самым устраняется также и неравенство корней х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, Держащего неизвестные в первой степени, вдвое больше одного лишь корня; это дает нам уравнение, посредством которого мы находим искомые определения. Этот способ следует признать гениальным приемом истинно аналитического ума — приемом, с которым не может сравниться принимаемая всецело ассер-

264

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

торически пропорциональность подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым так называемым приращениям абсциссы и ординаты.

Полученное этим путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то же уравнение, которое находят посредством приема, применяемого дифференциальным исчислением. Уравнение х2 — ах — b - О после его дифференцирования дает новое уравнение 2х — а = 0, а дифференцирование х3 — рх — q = 0 дает Зх2 — р = 0. Но здесь напрашивается замечание, что отнюдь не само собой разумеется, что подобное производное уравнение также и правильно. При уравнении с двумя переменными величинами, которые оттого, что они переменные, не теряют характера неизвестных величин, получается, как мы видели выше, лишь некоторое отношение, по той указанной простой причине, что подстановка функций возведения в степень вместо самих степеней изменяет значение обоих членов уравнения, и само по себе еще неизвестно, имеет ли еще место между ними уравнение при таких измененных

значениях. Уравнение dy/dx=Р выражает лишь то, что Р есть

dy/dx отношение, и не надо приписывать dy/dx никакого другого реального

смысла. Но об этом отношении = Р также еще неизвестно, какому другому отношению оно равно; лишь такое уравнение, пропорциональность, сообщает ему значение и смысл. — Так же как (что было указано выше) значение, именуемое применением, берется извне, эмпирически, так и в тех выведенных путем дифференцирования уравнениях, о которых идет речь, для того чтобы знать, верны ли еще полученные уравнения, должно быть известно из какого-то другого источника, имеют ли они одинаковые корни. Но на это обстоятельство в учебниках не дается определенных и ясных указаний; оно устраняется тем, что уравнение с одним неизвестным [х], приведенное к нулю, тотчас же приравнивается к у, благодаря чему при дифференцировании

получается, конечно, dy/dx, одно лишь отношение. Исчисление

функций, конечно, должно иметь дело с функциями возведения в степень, а дифференциальное исчисление — с дифференциалами, но из этого само по себе вовсе еще не следует, что величины, дифференциалы или функции возведения в степень которых мы берем, сами также должны быть лишь функциями других величия. И кроме того, в теоретической части, там, где указывается, как должны быть выведены дифференциалы, т. е. функции возведения в степень, еще нет и мысли о том, что величины, оперировать

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

265

с которыми, согласно такому способу их выведения, она учит, сами должны быть функциями других величин.

Относительно отбрасывания констант при дифференцировании можно еще отметить, что это отбрасывание имеет здесь тот смысл, что константа безразлична для определения корней в случае их равенства, каковое определение исчерпывается коэффициентом второго члена уравнения. Так, в приведенном Декартом примере константа есть квадрат самих корней, следовательно, корень может быть определен как из константы, так и из коэффициентов, поскольку вообще константа, как и коэффициенты, есть функция корней уравнения. В обычном изложении устранение так называемых констант (связанных с прочими членами лишь посредством знаков +- и -) достигается простым механизмом способа действия, состоящего в том, что для нахождения дифференциала сложного выражения приращение приписывается лишь переменным величинам и образованное благодаря этому выражение вычитается из первоначального. Смысл констант и их отбрасывания, вопрос, в какой мере они сами функции и служат ли они функциями по этому определению или нет, не подвергается обсуждению.

В связи с отбрасыванием констант можно сделать одно замечание относительно названий дифференцирования и интегрирования, сходное с тем, которое мы сделали раньше относительно выражений «конечное» и «бесконечное», а именно, что в их определении содержится скорее противоположное тому, что обозначает это выражение. Дифференцирование означает полагание разностей; но дифференцированием, наоборот, уменьшается число измерений уравнения и в результате отбрасывания константы устраняется один из моментов определенности; как мы уже отметили, корни переменной величины приравниваются, их разность, следовательно, снимается. Напротив, при интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. — Обычный способ выражения содействует тому, что остается в тени существенная сторона дела и все сводится к подчиненной и даже чуждой сути дела точке зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же одной лишь разности вообще между данной и производной Функцией, не обозначая их специфического, т. е. качественного, различия.

Другая главная область, в которой пользуются дифференциальным исчислением, это механика; мимоходом мы уже коснулись значения различных степенных функций, получающихся при элементарных уравнениях ее предмета, движения; здесь я УДУ говорить о них непосредственно. Уравнение, а именно ма-

266

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

тематическое выражение просто равномерного движения с = - или

s = ct, в котором пройденные пространства пропорциональны про-текшим временам по некоторой эмпирической единице с, величине скорости, не имеет смысла дифференцировать; коэффициент с уже совершенно определен и известен, и здесь не может иметь место никакое дальнейшее разложение в степенной ряд. — Как анализируется s = at2, уравнение падения тел, об этом мы уже упоминали выше; первый член анализа ds/dt = 2at понимается и

словесно, и, соответственно, реально так, что он член некоторой суммы (каковое представление мы уже давно отклонили), одна часть движения, и притом та часть его, которая приписывается силе инерции, т. е. просто равномерной скорости, таким образом, будто в бесконечно малых частях времени движение равномерное, а в конечных частях времени, т. е. в существующих на самом деле, — неравномерное. Разумеется, fs = 2at, и значение а и t, взятых сами по себе, известно, равно как известно и то, что тем самым положено определение скорости равномерного движения:

так как а = s/t^2, то вообще 2at = 2s/t'; но этим мы нисколько не

подвинулись вперед в нашем знании; лишь ошибочное предположение, будто 2at есть часть движения как некоторой суммы, дает ложную видимость положения физики. Самый множитель, а, эмпирическая единица — некоторое определенное количество, как таковое, — приписывается тяготению; если здесь применяют категорию силы тяготения, то нужно сказать, что, наоборот, как

раз целое

ds

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

267

= at2 есть действие или, лучше сказать, закон тяго-

тения. — Также верно и выведенное из ds/dt = 2at положение, что

если бы прекратилось действие силы тяжести, то тело со скоростью, достигнутой им в конце своего падения, прошло бы во время, равное времени его падения, пространство вдвое большее пройденного. — В этом положении заключается также и сама по себе превратная метафизика: конец падения или конец той части времени, в которое падало тело, всегда сам еще есть некоторая часть времени; если бы он не был частью времени, то наступил бы покой, и, следовательно, не было бы никакой скорости; скорость может быть измерена лишь по пространству, пройденному в некоторую часть времени, а не в конце ее. Если же, кроме того, и в других физических областях, где вовсе нет никакого движения, как, например, в действии света (помимо того, что называют его распространением в пространстве) и в определениях величин у цветов, применяют дифференциальное исчисление, и первая [производная] функция некоторой квадратной функции здесь

также именуется скоростью, то это следует рассматривать как еще более неуместный формализм выдумывания существования. Движение, изображаемое уравнением s = at2, говорит Лагпанж, мы находим при падении тел; простейшим следующим за ним было бы движение, уравнением которого было бы s = ct3, но такого рода движения не оказывается в природе; мы не знали бы что мог бы означать собой коэффициент с. Если это верно, то, напротив, имеется движение, уравнение которого — s3 = at2 — кеплеровский закон движения тел Солнечной системы. И выяснение того, что здесь должна означать первая производна

функция 2at/3s2 и т. д., а также дальнейшая непосредственная раз-

3s^2

работка этого уравнения путем дифференцирования, открытие законов и определений указанного абсолютного движения, отправляясь от этой исходной точки, должно бы, конечно, представлять собой интересную задачу, в решении которой анализ явил бы себя в самом надлежащем блеске.

Само по себе взятое таким образом применение дифференциального исчисления к элементарным уравнениям движения не представляет никакого реального интереса; формальный же интерес проистекает из общего механизма исчисления. Но иное значение приобретает разложение движения в отношении определения его траектории; если последняя есть кривая и ее уравнение содержит более высокие степени, то требуются переходы от прямолинейных функций как функций возведения в степень к самим степеням, а так как первые должны быть выведены из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени с элиминированием времени, то этот фактор должен быть также низведен к тем низшим функциям, которые получаются в результате разложения в ряд и из которых можно выводить указанные уравнения линейных определений. Эта сторона возбуждает интерес к другой части дифференциального исчисления.

Сказанное доселе имело своей целью выделить и установить простое специфическое определение дифференциального исчисления и показать это определение на некоторых элементарных примерах. Это определение, как оказалось, состоит в том, что из уравнения степенных функций находят коэффициент члена разложения, так называемую первую [производную] функцию, и что отношение, которое она есть, обнаруживают в моментах конкретного предмета, и посредством полученного таким образом уравнения между обоими отношениями определяются сами эти моменты. Следует немного рассмотреть и принцип интегрального исчисления и установить, что получается из его применения для специфического конкретного определения этого исчисления, снимание последнего было нами упрощено и определено более правильно уже тем, что мы его больше не принимаем за метод

268

КНИГА I. УЧЕНИЕ О'БЫТИИ

суммирования, как его назвали в противоположность дифференцированию (в котором приращение считается сущностной составной частью), вследствие чего интегрирование представлялось находящимся в сущностной связи с формой ряда. — Задача этого исчисления — прежде всего такая же теоретическая или, скорее, формальная задача, как и задача дифференциального исчисления, но, как известно, обратная последней. Здесь исходят из функции, рассматриваемой как производная, как коэффициент ближайшего члена, получающегося в результате разложения в ряд некоторого, пока еще неизвестного уравнения, а из этой производной должна быть найдена первоначальная степенная функция; та функция, которую в естественном порядке разложения в ряд следует считать первоначальной, здесь производная, а рассматривавшаяся ранее как производная есть здесь данная или вообще начальная. Но формальная сторона этого действия представляется уже выполненной дифференциальным исчислением, так как в последнем установлены вообще переход и отношение первоначальной функции к функции, получающейся в результате разложения в ряд. Если при этом отчасти уже для того, чтобы взяться за ту функцию, из которой следует исходить, отчасти же для того, чтобы осуществить переход от нее к первоначальной функции, оказывается необходимым во многих случаях прибегнуть к форме ряда, то следует прежде всего твердо помнить, что эта форма, как таковая, не имеет непосредственно ничего общего с собственным принципом интегрирования.

Но другой частью задачи этого исчисления оказывается с точки зрения формальной стороны действия его применение. А последнее само есть задача узнать, какое предметное значение в указанном выше смысле имеет первоначальная функция, [которую мы находим по] данной функции, рассматриваемой как первая [производная] функция отдельного предмета. Могло бы казаться, что это учение, взятое само по себе, нашло свое полное применение уже в дифференциальном исчислении. Однако здесь возникает еще одно обстоятельство, осложняющее все дело. А именно, так как в этом исчислении оказывается, что благодаря первой [производной ] функции уравнения кривой получилось некоторое линейное отношение, то тем самым мы также знаем, что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в виде отношения абсциссы и ординаты; другими словами, если бы было дано уравнение для поверхности, образуемой кривой, то дифференциальное исчисление должно было бы уже научить нас относительно значения первой [производной] функции такого уравнения, что эта функция представляет ординату как функцию абсциссы, стало быть, представляет уравнение кривой.

Но все дело здесь в том, какой из моментов определения предмета дан в самом уравнении; ведь лишь из данного может исходить аналитическое исследование, чтобы переходить от него

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

269

к прочим определениям предмета. Дано, например, не уравнение поверхности, образуемой кривой, и не уравнение тела, возникающего посредством ее вращения, а также не уравнение некоторой дуги этой кривой, а лишь отношение абсциссы и ординаты в уравнении самой кривой. Переходы от указанных определений к самому этому уравнению нельзя уже поэтому исследовать в самом дифференциальном исчислении; нахождение таких отношений есть дело интегрального исчисления.

Далее, однако, было показано, что дифференцирование уравнения с несколькими переменными величинами дает степенной член разложения (die Entwicklungspotenz) 11S или дифференциальный коэффициент не как уравнение, а только как отношение; задача состоит затем в том, чтобы в моментах предмета указать для этого отношения, которое есть производная функция, другое, равное ему. Предмет же интегрального исчисления — само отношение первоначальной к производной функции, которая должна быть здесь данной, и задача состоит в том, чтобы указать значение искомой первоначальной функции в предмете данной первой [производной] функции или, вернее, так как это значение, например поверхность, образуемая кривой, или подлежащая выпрямлению кривая, представляемая в виде прямой, и т. д., уже выражено как задача, то требуется показать, что подобного рода определение можно найти посредством некоторой первоначальной функции, и показать, каков момент предмета, который для этой цели должен быть принят за исходную (производную) функцию.

Обычный метод, пользующийся представлением бесконечно малой разности, облегчает себе задачу. Для квадратуры кривых линий он принимает бесконечно малый прямоугольник, произведение ординаты на элемент (т. е. на бесконечно малую часть) абсциссы, за трапецию, имеющую одной своей стороной бесконечно малую дугу, противоположную указанной бесконечно малой части абсциссы. Произведение это интегрируется в том смысле, что интеграл дает сумму бесконечно многих трапеций, ту плоскость, которую требуется определить, а именно конечную величину указанного элемента плоскости. И точно так же обычный метод образует из бесконечно малой части дуги и соответствующих ей ординаты и абсциссы прямоугольный треугольник, котором квадрат этой дуги считается равным сумме квадратов обоих других бесконечно малых, интегрирование которых и дает конечную дугу.

Этот прием опирается на то общее открытие, которое служит основной этой области анализа и которое принимает здесь форму дуга и т.д. находиться к приведенная к квадрату кривая, выпрямленная функции в отношении так называемой первоначальной функции к производной. Здесь дело идет о том, чтобы в случае, если -то часть математического предмета (например, некоторой

270

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

кривой) принимается за производную функцию, узнать, какая другая его часть выражена соответствующей первоначальной функцией. Мы знаем, что если данная уравнением кривой функция ординаты принимается за производную функцию, то соответствующая ей первоначальная функция есть выражение величины образуемой кривой поверхности, отрезанной этой ординатой, что если то или иное определение касательной рассматривается как производная функция, то ее первоначальная функция выражает величину соответствующей этому определению дуги и т. д. Однако заботу о том, чтобы узнать и доказать, что эти отношения, отношение первоначальной функции к производной и отношение величин двух частей или двух сторон (Umstande) математического предмета, образуют пропорцию, — заботу об этом снимает с себя метод, пользующийся бесконечно малым и механически оперирующий им. Характерная для остроумия заслуга — на основании результатов, уже заранее известных из других источников, открывать, что некоторые и именно такие-то стороны математического предмета находятся в отношении первоначальной и производной функции.

Из этих двух функций производная, или, как она была определена выше, функция возведения в степень, есть здесь, в интегральном исчислении, данная по отношению к первоначальной функции, которая еще должна быть найдена из нее путем интегрирования. Однако первая дана не непосредственно, равно как не дано само по себе, какую часть или какое определение математического предмета должно рассматривать как производную функцию, дабы, приводя ее к первоначальной функции, найти другую часть или другое определение [предмета], установить величину которого требует задача. Обычный метод, сразу же представляющий, как мы сказали, некоторые части предмета как бесконечно малые в форме производных функций, определимых из первоначально данного уравнения предмета вообще посредством дифференцирования (как, [например], для выпрямления кривой — бесконечно малые абсциссы и ординаты), принимает за таковые те части или определения, которые можно привести в такую связь с предметом задачи (в нашем примере с дугой), также представляемым как бесконечно малый, которая установлена элементарной математикой, благодаря чему, если известны упомянутые части, определяется и та часть, величину которой требуется найти; так, для выпрямления кривой приводятся в связь в виде уравнения прямоугольного треугольника указанные выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще принимается арифметически за произведение линий. Переход от этих так называемых элементов поверхности, дуги и т. д. к величине самих поверхностей, дуги и т. д. считается в этом случае лишь

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

271

восхождением от бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих элементов, из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.

Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что интегральное исчисление — это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и производной функции в конкретных предметах.

Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться от трудности проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе задачей как раз особо доказать, что между отдельными определениями некоторого математического целого, например некоторой кривой, имеется отношение первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения, приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение, таким образом, можно понимать лишь как середину между чем-то большим и чем-то меньшим. Благодаря этому, правда, само собой вновь появляется форма приращения с плюсом и минусом, и бодрое «d6veloppons» [«развернем в ряд»] снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили о том, что приращения имеют здесь лишь арифметическое значение, значение чего-то конечного. Из анализа (Enrwicklung) того условия, что определимая величина больше легко определяемого предела и меньше другого предела, выводится, например, что функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.

Выпрямление кривых по способу Лагранжа, который исходит при этом из архимедовского принципа, заслуживает внимания тем, что оно проливает свет на перевод архимедовского метода в принцип новейшего анализа, а это позволяет бросить взгляд на суть и истинный смысл действия, механически производимого другим путем. Способ действия по необходимости аналогичен только что указанному способу. Архимедовский принцип, согласно которому дуга кривой больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных в конечных точках дуги, поскольку эти касательные заключены между этими точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом этого архимедовского основного определения в новейшую аналитическую форму служит изобретение такого выражения, которое, взятое само по себе, есть простое основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование

272

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

продвигаться в бесконечность между слишком большим и слишком малым, которые каждый раз обретают определенность, и это продвижение опять-таки приводит лишь к новому слишком большому и к новому слишком малому, однако во все более узких границах. Посредством формализма бесконечно малых сразу же получается уравнение dz = dx2 + dy2. Лагранжево изложение исходя из названной нами основы, доказывает, напротив, что величина дуги есть первоначальная функция к некоей производной функции, характерный член которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной функции ординаты.

Так как в способе Архимеда, так же как позднее в исследовании Кеплером стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на это обстоятельство очень часто ссылались как на довод в пользу применения этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись характерные и отличительные черты. Бесконечно малое означает прежде всего отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого конечного выражения, той завершенной определенности, которой обладает определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих знаменитых методах Валериуса 119, Кавальери и других, основывающихся на рассмотрении отношений геометрических предметов, основное определение — это положение о том, что определенным, количеством как определенным количеством таких определений, которые рассматриваются прежде всего лишь как отношения, пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не познано и не выделено то утвердительное вообще, которое находится за чисто отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно, качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно, в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою очередь включает в себя множество более точно определенных отношений, как, например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате ее разложения в ряд, они должны были бы быть в свою очередь основаны на всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения задачи, и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи, которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, — это величие следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции к так назы-