Часть 10.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)_________ 229

например, в функции y/x = p; здесь, правда, х и у имеют [и тот]

смысл, что могут быть определенными количествами; но определенное частное имеют не х и у, а лишь х и у2. Поэтому указанные стороны отношения х и у, во-первых, не только не определенные количества, но и, во-вторых, их отношение не постоянное определенное количество (а также не имеется в виду такое определенное количество, как это, например, имеет место при а и b), не постоянное частное, а это частное как определенное количество совершенно переменно. Но это следует только из того, что х находится в отношении не к у, а к квадрату у. Отношение величины к степени есть не определенное количество, а качественное по своему существу отношение. Степенное отношение есть то обстоятельство, которое должно рассматриваться как основное определение. — В функции же прямой линии у = ах

y/x = а есть обычная дробь и частное; эта функция есть поэтому лишь формально функция переменных величин или, иначе говоря, х и у здесь то же самое, что а и b в a/b, они не имеют того определения, сообразно с которым их рассматривает дифференциальное и интегральное исчисление. — Ввиду особенной природы переменных величин в этом способе рассмотрения было бы целесообразно ввести для них и особое название, и обозначения, отличные от обычных обозначений неизвестных величин в каждом конечном, определенном или неопределенном уравнении, — по причине их существенного отличия от таких просто неизвестных величин, которые в себе суть вполне определенные количества или определенная совокупность определенных квантов. — И в самом деле, лишь отсутствие сознания особенности того, что составляет интерес высшего анализа и чем вызваны потребность в дифференциальном исчислении и изобретение его, само по себе привело к включению функций первой степени, каково уравнение прямой линии, в состав этого исчисления; вызван такой формализм ошибочным мнением, будто правильное в себе требование обобщения какого-нибудь метода можно выполнить, опуская ту специфическую определенность, на которую опирается потребность в этом методе, так что считается, будто в рассматриваемой нами области дело идет только о переменных величинах вообще. От значительной доли формализма в рассмотрении этих предметов и в их трактовке можно было бы, конечно, избавиться, если бы поняли, что дифференциальное исчисление

касается не переменных величин, как таковых, а степенных определений.

Но имеется еще дальнейшая ступень, на которой математическое бесконечное обнаруживает свою специфику. В уравнении,

230______________КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ_____________

в котором х и у положены прежде всего как определенные некоторым степенным отношением, х и у, как таковые, должны еще означать определенные количества; и вот это значение совершенно утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях, dx, dy уже не определенные количества и не должны иметь значение таковых, а имеют значение лишь в своем соотношении, имеют смысл только как моменты. Они уже не нечто, если принимать нечто за определенное количество, они не конечные разности; но они и не ничто, не нуль, лишенный определения. Вне своего отношения они чистые нули, но их следует брать только как моменты отношения, как определени

дифференциального коэффициента —г.

В этом понятии бесконечного определенное количество поистине завершено в некоторое качественное наличное бытие; оно положено как действительно бесконечное; оно снято не только как то или иное определенное количество, а как определенное количество вообще. Но [при этом ] сохраняется количественная определенность как элемент определенных количеств, как принцип или, как еще говорили, она сохраняется в своем первом понятии.

Против этого понятия и направлены все те нападки, которым подверглось основное данное математикой определение этого бесконечного — дифференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления самих математиков привели к непризнанию этого понятия; но виновна в этих нападках главным образом неспособность обосновать этот предмет как понятие. Однако понятие, как было указано выше, математика не может здесь обойти, ибо как математика бесконечного она не ограничивается рассмотрением конечной определенности своих предметов (как, например, в чистой математике пространство и число и их определения рассматриваются и соотносятся друг с другом лишь со стороны их конечности), а приводит заимствованное оттуда и трактуемое ею определение в тождество с его противоположностью, превращая, например, кривую линию в прямую, круг — в многоугольник и т. д. Поэтому действия, к которым она позволяет себе прибегать в дифференциальном и интегральном исчислении, находятся в полном противоречии с природой чисто конечных определений и их соотношений и, стало быть, могли бы найти свое обоснование только в понятии.

Если математика бесконечного настаивала на том, что эти количественные определения суть исчезающие величины, т. е. такие, которые уже не определенные количества, но и не ничто, а сохраняют еще некоторую определенность относительно другого, то [нападавшим на нее] казалось совершенно ясным, что нет, как они выражались, никакого среднего состояния между

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)__________231

бытием и ничто. — Каково значение этого возражения и так называемого среднего состояния, это уже было показано выше при рассмотрении категории становления (примечание 4). Конечно, единство бытия и ничто не есть состояние; состояние было 'бы таким определением бытия и ничто, в которое эти моменты, так сказать, попали только случайно, как бы впав в болезнь или подвергшись внешнему воздействию со стороны ошибочного мышления; скорее лишь эта средина и это единство, исчезание, или, что то же, становление, и есть их истина.

То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или меньшее; поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по разрядам или рангам бесконечного, а между тем такие различия бесконечных разностей встречаются в науке, трактующей о них. — Это уже упомянутое выше возражение все еще исходит из представления, будто здесь идет речь об определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что определения, которые уже не определенные количества, не имеют больше никакого отношения друг к другу. В действительности же дело обстоит наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне своего отношения должно иметь совершенно безразличное [к другим] наличное бытие и которому должно быть безразлично его отличие от иного, между тем как качественное есть лишь то, что оно есть в своем отличии от иного. Поэтому указанные бесконечные величины не только сравнимы, но существуют лишь как моменты сравнения, отношения.

Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике относительно этого бесконечного; тогда станет ясно, что они исходят из мысли о самом предмете, согласующейся с развитым здесь понятием, но что их авторы не исследовали этой мысли как понятие, и в применении они вынуждены были прибегать к уловкам, противоречащим тому, чего они хотели добиться.

Эту мысль нельзя определить более правильно, чем это сделал Ньютон. Я оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению о движении и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название флюксий), так как в них мысль выступает не в надлежащей абстрактности, а конкретно, смешанно с несущественными формами. Эти флюксии объясняются Ньютоном таким образом (Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. ochol.) ,что он понимает под ними не неделимые — форма, которой пользовались до него математики Кавальери 105 и другие и которая содержит понятие определенного в себе кванта, — а исчезающие делимые. Он понимает под ними, кроме того, не суммы и отношения определенных частей, а пределы (limites) сумм и отношений. Против этого, говорит Ньютон, выдвигают возражение, что у исчезающих величин не может быть никакого

232 КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

последнего отношения, так как прежде чем они исчезли, оно не последнее, а когда они исчезли, нет уже никакого отношения. Но под отношением исчезающих величин следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после их исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum evanescunt). Точно так же и первое отношение возникающих величин есть отношение, вместе с которым они возникают.

В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то. Но объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то, есть, собственно говоря, лишь субъективное предложение или же историческое требование, причем не показывают, что такое понятие в себе и для себя необходимо и обладает внутренней истинностью. Но из сказанного видно, что выставленное Ньютоном понятие соответствует тому, чем оказалась в приведенном выше изложении бесконечная величина на основании рефлексии определенного количества внутрь себя. [Под флюксиями Ньютон] понимает величины в их исчезновении, т. е. величины, которые уже не определенные количества; он понимает под ними, кроме того, не отношения определенных частей, а пределы отношения. Следовательно, исчезают, согласно этому пониманию, и определенные количества сами по себе, члены отношения, и само отношение, поскольку оно было определенным количеством; предел отношения величин — это то, в чем оно есть и не есть; это означает, точнее, что он есть то, в чем определенное количество исчезло, и тем самым сохранились отношение только как качественное отношение количества и его члены — также как качественные моменты количества. — Ньютон к этому прибавляет, что из того обстоятельства, что имеются последние отношения исчезающих величин, не следует заключать, что имеются последние величины, неделимые. Это было бы опять-таки отходом от абстрактного отношения к таким его членам, которые должны были бы сами по себе, вне своего соотношения, иметь значение как неделимые, как нечто, чтo было бы «одним», безотносительным.

Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того, напоминает, что последние отношения — это не отношения последних величин, а только пределы, к которым отношения беспредельно убывающих величин ближе, чем всякое данное, т. е. конечное различие, за которые, однако, они не выходят, чтобы не стать ничем. — Под последними величинами можно было бы, как сказано, понимать именно неделимые, или «одни». Но из определения последнего отношения устранено представление и о безразличном, безотносительном «одном», и о конечном определенном количестве. — Но не нужно было бы ни беспредельного убывания, которое Ньютон приписывает определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного прогресса, ни определения делимости, которое уже не имеет здесь никакого

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)__________233

прямого значения, если бы требуемое определение было развито понятие такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент отношения.

Что касается сохранения отношения при исчезновении определенных количеств, то мы встречаем (у других авторов, например У Карно 106, Reflexions sur la metaphysique du calcul infini-tdsimal) выражение, что в силу закона непрерывности исчезающие величины, прежде чем исчезнуть, еще сохраняют то отношение, из которого они происходят. — Это представление выражает истинную природу вещей, поскольку здесь подразумевается не непрерывность определенного количества, которой оно обладает в бесконечном прогрессе, непрерывность, выражающаяся в том, что определенное количество так продолжает себя в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает лишь конечное определенное количество, новый член ряда. Однако непрерывное движение вперед всегда представляют так, что проходят имеющие еще значение конечные определенные количества. В совершающемся же переходе в истинное бесконечное непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и сохраняется, что переход состоит скорее лишь в том, что он выделяет отношение в чистом виде и приводит к исчезновению безотносительного определения, т. е. что определенное количество, будучи стороной отношения, есть определенное количество еще и тогда, когда оно положено вне этого соотношения. — Такое очищение количественного отношения есть в этом смысле не что иное, как постижение эмпирического наличного бытия через понятие (begriffen wird). Этим эмпирическое наличное бытие настолько возвышается над собой, что его понятие содержит те же определения, что оно само, но схваченные в их сущности и выраженные в единстве понятия, в котором они лишились своего безразличного, чуждого понятия существования (Bestehen).

Столь же интересна и другая форма, в какой Ньютон трактует разбираемые нами величины, а именно трактовка их как производящих величин или начал. Произведенная величина (genita) — это произведение или частное, корни, прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов, вообще конечная величина. — «Рассматривая ее как переменную, как она возрастает или убывает в постоянном движении и течении, я понимаю под названием моментов ее мгновенные приращения или убывания. Но не следует принимать эти моменты за частицы, имеющие определенную величину (particulae finitae). Такие частицы суть не самые моменты, а величины, произведенные из моментов; од последними следует понимать скорее находящиеся в становлении принципы, или начала, конечных величин» 107. — Ньютон рассматривает здесь определенное количество от него же, каково оно как продукт или налично сущее и каково оно своем становлении, в своем начале и принципе, т. е. каково оно

234 КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

в своем понятии или — здесь это то же самое — в своем качественном определении; в качественном определении количественные различия, бесконечные приращения или убывания суть лишь моменты; только ставшее есть то, что перешло в безразличие наличного бытия и во внешность, — определенное количество. — Но если философия истинного понятия [бесконечного] должна признать эти определения бесконечного, приведенные относительно приращений или убываний, то сразу же следует заметить, что самые формы приращения и т. д. находятся внутри категории непосредственного определенного количества и указанного выше непрерывного движения вперед и что представления о приращении, приросте, умножении х на dx или i и т. д. должны рассматриваться скорее как основное зло этих методов, как постоянное препятствие к возвышению от представления об обычном определенном количестве к чистому определению качественного момента количества.

Против указанных определений очень отстало представление о бесконечно малых величинах, связанное с [представлением о] самом приращении или убывании. Согласно этому представлению, бесконечно малые величины таковы, что можно пренебрегать не только ими самими при сравнении с конечными величинами, но также их высшими разрядами при сравнении с низшими, а равно и произведениями нескольких таких величин при сравнении с одной. — У Лейбница особенно подчеркивается требование такого пренебрежения, которому отдали дань и предшествующие изобретатели методов, касавшихся этих величин. Прежде всего именно это пренебрежение придает указанному исчислению, несмотря на то, что оно удобно, видимость неточности и явной неправильности способа его действий. — Вольф старался объяснить это пренебрежение [величинами], следуя своей манере делать общедоступными рассматриваемые им вопросы, т. е. лишать понятие чистоты и подменять его неправильными чувственными представлениями. А именно он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших разрядов относительно низших с образом действия геометра, при котором измерение высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер сдунет песчинку с ее вершины или если не будет принята во внимание высота домов и башен при вычислении лунных затмений (Element. mathes. univ. Tom I. El. analys. math. P. II. C. I. S. schol.).

Если снисходительность здравого смысла дозволяет такую неточность, то все геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собой напрашивается мысль, что в математической науке идет речь вовсе не о такой эмпирической точности и что математическое измерение посредством ли вычислений или посредством геометрических построений и доказательств совершенно отлично от измерения земли, от измерения эмпирических линий, фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше,

235

аналитики, сравнивая результаты, получаемые строго геометрическим путем, с результатами, получаемыми методом бесконечно малых разностей, доказывают, что они одинаковы и что большая или меньшая точность [здесь] вовсе не имеет места. А ведь само собой разумеется, что абсолютно точный результат не мог бы получиться при неточном способе действия. Однако, с другой стороны, сам способ действия, несмотря на протесты против приведенных в оправдание доводов, не может обойтись без пренебрежения [величиной ] на том основании, что она незначительна. И в этом состоит трудность, побуждающая аналитиков объяснить заключающуюся здесь бессмыслицу и устранить ее.

По этому вопросу следует прежде всего привести мнение Эйлера 108. Исходя из общего определения Ньютона, он твердо убежден, что дифференциальное исчисление рассматривает отношения приращений величины, но что бесконечно малую разность, как таковую, следует рассматривать как нуль (Institut. calc. different., p. I. c. III). — Как это надо понимать, видно из изложенного выше; бесконечно малая разность есть нуль лишь как определенное количество, а не качественный нуль; а как нуль по количеству она скорее чистый момент лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому, с одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми величинами, также и приращениями или убываниями и разностями. Это определение исходит из того, что к имеющейся сначала конечной величине что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Но что касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу, то по нему видно, что он совершенно другого характера, а именно, как уже было разъяснено, он должен рассматриваться как сведение конечной функции к качественному отношению ее количественных определений. — С другой стороны, сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто приращения сами по себе — это нули и будто рассматриваются только их отношения; ведь нуль вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть, хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее положительном значении качественных определений количества, которые, если хотят вырвать их из отношени

орать их как определенные количества, окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.) замечает относительно представления о пределах или последних отношениях, что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин пока они остаются конечными, это только не дает рассудку ясного и определенного понятия, как о его члены становятся одновременно нулями. — И в самом

236 КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули, и понять их положительно как качественные моменты. — А то, что Эйлер (в указанном месте § 84 и сл.) прибавляет еще относительно данного [им ] определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые величины, которые якобы не что иное, как нули, тем не менее находятся в отношении друг к другу, и потому для их обозначения пользуются не знаком нуля, а другими знаками, — нельзя признать удовлетворительным. Он хочет это обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в первом мы обращаем внимание на разность, во втором — на частное, и, хотя арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если 2:1=0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго, третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.— Также и по обычной арифметике п X 0 = 0; следовательно, п : 1 "= 0 : 0. — Однако именно потому, что 2 : 1 или п : 1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.

Я не буду приводить мнения еще других [математиков], так как рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды] переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества, и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом. Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны, низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения или разности, а с другой — пренебрегает ими как определенными количествами после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных величин.

Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти затруднения.

Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно геометрического метода

237

и с помощью этого метода достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, например естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия (Begreifen). Поэтому нам придется говорить лишь о стараниях достигнуть строгости доказательств древних.

Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. — Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом 110, и говорит об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а именно простота метода и легкость действий. — Это способ, в котором заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а именно отношения производной функции к первоначальной.

Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма, Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики, равно как и Зилер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени, только на том основании, что они относительно, о сравнению с низшими разрядами, исчезают. Единственно на этом Соображении покоится у них основное положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения или к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть отчасти механизм действий, отчасти же применение, однако, как мы покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать, единственный интерес. —

238

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести лишь самое простое соображение: исходя из того же довода относительно незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и потому одно из приращений — как доходящее до касательной. Эти допущения возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать, ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при таком способе действия во всей своей силе.

Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. math. phil. nat. Lib. II. Lemma II, после propos. VII) —на изобретенную им остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его бесконечной разности,

переходит в ху - xdy/2-xdx/2+dxdy/4; а если увеличить х и у

xdy/2+. ровно настолько же, то произведение переходит в ху+xdy/2+

ydx/2+dxdy/4.

то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения; следовательно, это и есть дифференциал ху. — Как видим, при этом способе сам собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, — произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно; неправильно, что

Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя подобным способом доказательства.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

239

Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении дифференциала, связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их степеней. — Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть лишь приближение; и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом основании, что они малы; см. Lagrange. Equations numeriques, p. 125.

Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее (Thdorie des fonct. analyt. 3me p. Ch. III), доказывает, что пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов [ряда ] ввиду их относительной малости. — А именно известно, что в механике членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с моментом скорости, вторая — с силой ускорения, а третья — с сопротивлением сил. Поэтому члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого. Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на основании их относительной малости *. Решение задачи, данное Ньютоном, оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда лишь как части некоторой

Точки весьма просто сопоставлены у Лагранжа при применении

теории функции к механике в главе о прямолинейном движении (Theorie des

Функция P., I, art. IV). Пройденное пространство, рассматриваемое как

я протекшего времени, дает уравнение х- ft, которое, разложенное как

. дает ft + uft + —.ft+ и т.д Следовательно, пространство, пройденное данное время, изображается формулой uft + v^2/2 и т. д. Следо-

240

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий качественное определение, которое здесь важнее всего. В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е. ] в отличии вообще функции от ее изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое приращение, — если бы вместо этого формализма было указано качественное значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого качественного значения. В этом смысле дифференциал от х° полностью исчерпан первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dx)a. Таким образом, остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, — взгляд, исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об отношении, то дифференциал полностью находят посредством первого члена; там же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и которое,

основательно, говорят нам (т. е. ввиду того, что аналитическое разложение в ряд дает много и притом бесконечно много членов), движение, посредством которого проходят это пространство, составлено из различных частичных движений,

пространства которых, соответствующие времени, суть vft, v^2/2

-ft и

т. д. Первое частичное движение есть в известном нам движении формально равномерное движение со скоростью, определенной через ft, второе — равномерно ускоренное, вызванное силой ускорения, пропорциональной f''t. «А так как прочие члены не относятся ни к какому простому известному движению, то нет надобности принимать их в отдельности во внимание, и мы покажем, что от них можно абстрагироваться при определении движения в начале момента времени». Это и показывается, но, конечно, только путем сравнения указанного выше ряда, члены которого все должны были служить для определения величины пространства, пройденного в данное время, с данным в § 3 для падения тел уравнением х — at + bt2 , в котором имеются только эти два члена. Но уравнение приняло эту форму благодаря тому, что предположено объяснение, даваемое членам, возникающим посредством аналитического разложения в ряд; это предположение заключается в том, что равномерно ускоренное движение составлено из формально равномерного движения, совершающегося с достигнутой в предыдущую часть времени скоростью и некоторого приращения (а [в уравнении] S= — at^2 , т. е. эмпирического коэффициента), приписываемого силе тяжести, -различию, которое вовсе не имеет существования или основания в природе вещей, а есть лишь ошибочно составленное в духе физики выражение того, что получается, когда пользуются общепринятым аналитическим способом рассмотрения.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

241

стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.

Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, — это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными, и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких, в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для упрощения и сокращения исчисления.

Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы должны отметить — поскольку это касается нашей темы — лишь то, что оно исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму всех следующих за ним членов. — При этом методе также начинают с категорий приращения и разности функции, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание, почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в которых, как мы упомянули раньше, члены Ряда должны иметь определенное качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем примечании.

Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь Доказали относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется бесконечно малым, обнаруживаетс

242

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

непосредственнее всего в категории предела отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и содержится указанная выше истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx и dy, должны быть взяты

dy dx

здесь просто лишь как моменты -f- и само -т- следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента обособляются друг от друга, — это следует здесь оставить без внимания. Этот предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое, встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, неданной величины, как это имеет место, [например ], когда говорят: «бесконечное множество», «и т. д. до бесконечности» и т. п., а определенный смысл качественной определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции, еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное оперирование им.

Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция другой; приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других методах. Этот путь именно таков. Если у = fx, то при переходе у в у + kfx должно пере-

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

243

ходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + ah2 и и K/p = р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух приращений. Отсюда видно, что h как определенное

количество полагается = 0, но что вследствие этого k/h в то же врем

еще не равно 0/0, а остается некоторым отношением. И вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же

время быть не действительным отношением, которое было бы = 0/0,

а лишь тем определенным значением, к которому отношение может приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже. — Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может быть очевидным в математике;

но этим мы не пошли дальше dy/dx = 0. Если же dy/dx = р, т. е.

принимается за определенное количественное отношение, как это и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения, что h = О, предположения — единственно в основании которого и получается k/h = р. Если же согласиться, что k/h = 0 и в

самом деле, раз h = О, то само собой k также становится = 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при условии, что приращение составляет h, — то надо было бы спросить, что же такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение. На этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, — некоторым определенным образом выведенная первая производная функция первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы

244

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

также и от всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь столь же пустых категорий непрерывной величины * и всех еще других, которые считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного, что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. — Здесь же мы прежде всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде всего шла речь.

Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собой исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит вся суть дела. — Так, например, в последнем отношении исчезают определенные количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем существе: один — элементом ординаты, а другой — элементом абсциссы. Так как [здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую ординату, а ранее

Категория непрерывной или текучей величины появляется имеете с рассмотрением внешнего и эмпирического изменения величин, приведенных некоторым уравнением в такую связь, что одна есть функция другой; но так как научным предметом дифференциального исчисления служит некоторое (обычно выражаемое через дифференциальный коэффициент) отношение, определенность которого можно назвать также законом, то для этой специфической определенности простая непрерывность есть отчасти нечто чужеродное, отчасти же во всяком случае абстрактная, а здесь — пустая категория, так как ею ничего не выражено относительно закона непрерывности. — До каких формальных дефиниций при этом додумываются, показывает остроумное общее изложение моим уважаемым коллегой проф. Дирксеном основных определений, которыми пользуются для выведения дифференциального исчисления, изложение, данное им в связи с критикой некоторых новых сочинений по этой науке и помещенное в Jahrb. f. wissensch. Kritik. 1827, № 153 и ел. Там, на стр. 1251, дается даже такая дефиниция: «Непрерывная величина, континуум, есть всякая величина, которая мыслится нами находящейся в таком состоянии становления, при котором это становление совершается не скачкообразно, а непрерывным движением вперед- но ведь это тавтология, повторение того, что есть само definitum.

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

245

различенная абсцисса — в другую абсциссу; но по сути дела ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса — в ординату. Ограничиваясь этим примером переменных величин, следует сказать что элемент ординаты необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как отличие или качественное определение величины относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения сравнительно с другим.

Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел, следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и [ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу определение отношения не к х, а к dy, отступает в представлении на задний план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие. Но помимо всего прочего приближение есть само по себе категория, ничего не говорящая и ничего не делающая понятным; уже dx оставило приближение позади себя, оно не близко и не есть нечто более близкое, и бесконечная близость сама есть лишь отрицание близости и приближения.

Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно малые разности рассматривались лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его предел, их понимают как безотносительные моменты. Из этого втекало бы неприемлемое представление, будто в последнем отношении допустимо приравнивать друг к другу, например, абсциссу и ординату, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus что угодно еще. — Может казаться, что такое представление еет место тогда, когда дуга рассматривается как касательная;

246

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, нежели элемент прямой линии. Может показаться еще более бессмысленным и недопустимым, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus косинуса и т. д., принимать quadrata rotundis, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно малую, за долю касательной и тем самым рассматривать ее как прямую линию. — Однако такое рассмотрение следует по существу отличать от вызывающего порицание смешения; оно имеет свое оправдание в том, что в треугольнике, имеющем своими сторонами элемент некоторой дуги и элементы ее абсциссы и ординаты, отношение остается, тем же, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, составляющие сущностное отношение, т. е. отношение, которое сохраняется в этих элементах, когда абстрагируются от присущих им конечных величин, суть те же. — Можно это выразить и так, что прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между ними при их бесконечности есть отношение между кривыми. Так как прямая линия, согласно дефиниции, есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, что, стало быть, есть определение определенного количества. Но это определение в ней исчезает, когда мы принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; тем самым исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное единственно лишь на различии определенного количества. — Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и потому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую.

Родственным и тем не менее отличным от приравнивания разнородных определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно безразличное утверждение, что бесконечно малые части одного и того же целого равны между собой. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету, т. е. к предмету, который обременен сущностной неравномерностью определения величин, это утверждение приводит к содержащемуся в теореме высшей механики своеобразно превратному положению, что в равные и притом бесконечно малые промежутки временя проходят бесконечно малые части кривой в равномерном движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т. е. существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения, которое как существующее неравномерно и признается таковым. Это положение есть сло-веское выражение того, что должен означать собой аналитический

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)

247

лен получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но, впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными предметами, в словах и положениях и изобразить их геометрически, главным образом для того, чтобы применять их для доказательства теорем по обычному способу. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину предмета, например движения, получали, таким образом, предметное значение, например значение скорости, ускоряющей силы и т. п. Они должны были, согласно такому значению, доставлять правильные положения, физические законы, и сообразно их аналитической связи должны были определяться и их объективные связи и отношения, как, например, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие положения приводятся в новейшей, получившей аналитическую форму механике исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том, имеют ли они для себя и в самом себе реальный смысл, т. е. такой, которому соответствует существование, не заботится и о том, чтобы это доказать. Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в явно реальном смысле, например объяснить переход от просто равномерной (schlechtgleichformigen) скорости к равномерному ускорению, считается совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором указанная связь есть простое следствие прочного отныне авторитета действий исчисления. Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем вычисления, выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления бесконечно малых математики всячески старались указать и разъяснить самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических построениях определений и положений и применять их в таком смысле для доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat. philisophiae naturalis, lib. I, sect. II, prop. I, с «Астрономией» III, § 20), в которых признается, что дело обстоит совсем так, т. е. что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело обстоит не так, как это принимает Ньютон). из- отрицать, что в этой области многое, главным образом

из-за туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве доказательства только на том основании, что то, что получалось таким образом где было заранее известно, и доказательство, построенное образом, что получалось это заранее известное, создавало по

248 КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

крайней мере видимость остова доказательства, которую все еще предпочитали одной лишь вере или одному лишь опытному знанию. Но я не колеблясь скажу, что рассматриваю эту манеру просто как фокусничество и жонглирование доказательствами и причисляю к такого рода фокусничанию даже Ньютоновы доказательства, в особенности принадлежащие к только что приведенным, за которые превозносили Ньютона до небес и ставили его выше Кеплера, утверждая, что первый математически доказал то, что второй нашел лишь опытным путем.

Пустой остов таких доказательств был воздвигнут, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать определения величины в физике, поскольку эти определения суть законы, имеющие своей основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать по той простой причине, что она не философия, не исходит из понятия, и поэтому качественное, поскольку оно не почерпается с помощью лемм из опыта, находится вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том, что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны, заставляло ее часто забывать свои границы. Так, казалось противным ее достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством встречающихся в ней опытных положений. Позднее сознание этого стало более развитым, но до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, что может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь из другого источника, равно как и различие между тем, что составляет лишь член аналитического разложения, и тем, что представляет собой физическое существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгости и чистоты. — А что касается указанного остова Ньютоновых доказательств, то его без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое неосновательное искусственное построение Ньютона, опирающееся на оптические эксперименты и связанные с ними умозаключения. Прикладная математика еще полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому как уже с довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть ньютоновской оптики за другой, с той, однако, непоследовательностью, что еще сохраняются, хотя и в противоречии с этим, прочие части ее, точно так же является фактом, что часть упомянутых мнимых доказательств уже сама собой предана забвению или заменена другими доказательствами.

Примечание 2 Цель дифференциального исчисления, вытекающая из его применени

В предшествующем примечании мы рассмотрели, с одной; стороны, определенность понятия бесконечно малого, которым

РАЗДЕЛ 2. ВЕЛИЧИНА (КОЛИЧЕСТВО)__________249

пользуются в дифференциальном исчислении, с другой - основание ее введения в это исчисление. И то и другое — абстрактные и потому сами по себе также и легкие определения. Так называемое применение представляет больше трудностей, равно как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят предмет настоящего примечания. — Весь метод дифференциального исчисления дан в положении, что dx° + nx^n-1*dx или

f(x=i)-fx/i= Р, т. е. равняется коэффициенту первого члена

двучлена (x + dx)" или (х + i)л114, разложенного по степеням dx или i. Дальше нечему учиться; выведение ближайших форм, дифференциала произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса — с нахождением дифференциалов дано также и обратное: нахождение первоначальной функции на основании дифференциалов, интегрирование — можно овладеть всей теорией. Задерживает на ней дольше лишь старание усмотреть, сделать [для себя] понятным, каким образом после того, как одна сторона (Umstand) задачи, нахождение этого коэффициента, решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции переменной величины, приобретшей через приращение форму двучлена, оказывается правильной также и другая сторона, а именно отбрасывание всех членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы было так, что единственно лишь этот коэффициент и нужен, то после его нахождения (Bestimmung) было бы, как мы сказали, менее чем за полчаса покончено со всем, что касается теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы столь мало затруднений, что скорее о них как о членах ряда (как второй, третьей и т. д. [производной] функции их определение равным образом уже закончено с определением первого члена) вовсе и не было бы речи, так как в них совершенно нет надобности.

Можно здесь предпослать замечание, что по методу дифференциального исчисления сразу видно, что он изобретен и установлен не как нечто самодовлеющее; он не только не обоснован м по себе, как особый способ аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения функции,

относ на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу — ибо дело именно и усматривается в отличии придана разложенной функции переменной величины (после того как ей совершенно форма двучлена) от первоначальной функции, - скорее потребность противоречит всем математическим принципам. И его оправдания в таком образе действий, и отсутствие внутреннего оправдания сразу же указывают на то, что его источник и

250

КНИГА I. УЧЕНИЕ О БЫТИИ

основание находятся где-то вне его. Это не единственный случай в науке, когда то, что ставится вначале как элементарное и из чего, как предполагают, должны быть выведены положения данной науки, оказывается неочевидным и имеющим свою причину и обоснование скорее в последующем. История возникновения дифференциального исчисления показывает, что оно имело свое начало главным образом как бы в кунштюках — в различных так называемых методах касательных; после того как образ действия был распространен и на другие предметы, он был осознан позднее и выражен в абстрактных формулах, которые теперь старались также возвысить до принципов.

Выше мы показали, что определенность понятия так называемых бесконечно малых есть качественная определенность таких количеств, которые прежде всего как определеннные количества положены находящимися в отношении друг к другу, а затем в связи с этим присоединялось эмпирическое исследование, ставившее себе целью обнаружить эту определенность понятия в имеющихся описаниях или дефинициях бесконечно малого, которые берут его как бесконечно малую разность и тому подобное. — Мы это сделали лишь для того, чтобы достигнуть абстрактной определенности понятия, как таковой. Дальше возникает вопрос: каков переход от нее к математической форме и ее применению. Для этой цели прежде всего нужно развить дальше теоретическую сторону, определенность понятия, которая окажется в самой себе не совсем бесплодной; затем следует рассмотреть отношение ее к применению и доказать относительно их обоих, насколько это здесь уместно, что [получающиеся] общие выводы в то же время соответствуют тому, что принадлежит к сущности дифференциального исчисления, и тому способу, каким оно достигает своей цели.

Прежде всего следует напомнить, что мы уже объяснили мимоходом ту форму, которую имеет в области математики рассматриваемая нами теперь определенность понятия. Мы показали качественную определенность количественного сначала в количественном отношении вообще; но уже при разъяснении различных так называемых видов счета (см. относящееся к этому примечание) мы, забегая вперед, указали, что именно в степенном отношении, которое нам предстоит еще рассмотреть в своем месте, число через приравнение моментов его понятия, единицы и численности, положено как возратившееся к самому себе, и тем самым оно приобретает в себе момент бесконечности, для-себя-бытия, т. е. определяется самим собой. Ясно выраженная качественная определенность величин принадлежит, таким образом (это также было упомянуто выше), по своему существу к степенным определениям, а так как специфика дифференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует качественными формами величин, то свойственным ему математическим