Часть 14.

(184) Всякое предложение в обычной речи сводится и тому, что говорится, какой термин в каком содержится, а также рассматривается количество * содержащего термина или абсолютно, или с добавлением и говорится, что содержит абсолютное содержание.

(185) «Не всякий», «не некоторый», собственно, не должны встречаться в предложении, ибо они только отрицают предложения, отмеченные знаком «всякий» или «некоторый», и не создают новый знак «не- всякий», «ненекоторый». Так, если я предпосылаю «нет» .тому, что «Некоторый человек есть животное», это будет тождественным тому, что ложно, что «Некоторый человек есть животное».

(186) «Некоторый человек не есть камень» означает: «Некоторый человек есть не- камень». Аналогично «Всякий человек не есть камень», по-видимому, означает «Всякий человек есть не- камень». Таким образом, вообще мы будем трактовать не перед есть как отрицательный предикат. Но если то не ставится перед знаком количества, мы будем понимать, что отрицается предложение.

(187) Выше я уже указывал, что все касающееся предложения может рассматриваться именно так и как бы сводиться к числам, так что мы можем мыслить термин, т. е. понятие, в виде дроби , например ab v.e-1 не-т = Н, что означает, что Н содержит а и Ъ, но то же Н содержит не-/ и не-та. При этом должно соблюдаться правило, чтобы аа было тем же, что и а, и не- д не-я — тем же, что не- а; чтобы не- не- д было тем же, что а, и чтобы один и тот же термин никогда не содержал в одно и то же время а и не- д т. е. чтобы о термине, который содержит а, не говорилось, что он содержит не- д, или наоборот; наконец, чтобы тот, который содержит ab, содержал также о и тот, который содержит не- а, содержал также не- аг.

(188) 42 ..........

(189) Таким образом, принципы будут следующие.

Во-первых: аа = а (откуда ясно, что и не- Ь = не- Ь, если принять, что не- Ь = а).

Во-вторых: не- не- а = а.

В-третьих: один и тот же термин не содержит а и не- а, т. е., если одно истинно, другое — ложно, либо, по крайней мере, сам такой термин называется не истинным, а ложным.

В-четвертых: «Л содержит I» есть то же, «Л есть (=) х1».

==613

В-пятых, не- о содержит не- аЬ, т. е., если I содержит а, не-д будет содержать не-/.

В-шестых: все, что говорится о термине, содержащем термин, может быть сказано о предложении, из которого следует другое предложение.

В-седьмых: все, что не может быть доказано из этих принципов, не следует в силу формы.

(190) Общеутвердительное: «Всякое А есть L» есть то же, что «А содержит L», т. е. А = XL.

Частноутвердительное: «Некоторое А есть L» есть (to же, что «А, взятое с каким-нибудь добавлением, содержит L». Например, А В содержит L при допущении, что В = LX, или AN содержит L при допущении, что L = MN и А = ВМ, ибо тогда получится AN =я = BMN а= 2?Л/. Отсюда также «Некоторое Л есть L» есть то же, что «А содержит L», т. е. AL =AL, разумеется, при допущении, что AL есть вещь, т. е. истинный термин, который не включает противоположности, такие, как Х и не-Х.

Общеотрицапгелъме: «Всякое А есть не- Д», т. е. А содержит не-5, т. е. А = Х не- В, Частноотрицательное: «Некоторое А есть bg-l», т. е. АХ содержит не- L, т. е. АХ = Z нe- L, т. е. а А не- L содержит не-L, т. е. А не- L = А не- L, полагая, что А не- L есть истинный термин, который не включает противоположности.

(191) Если истинно общеутвердительное, истинно и Частноутвердительное, т. е., если А содержит В, так же и некоторое А содержит В, Ибо А = ХВ, по 4-му принципу. Следовательно, ZA sss ZXB (по природе совпадающих). И пусть ZX = V (произвольно), тогда ZA =я = VB.

(192) В случае истинных терминов общеутвердительное предложение и частноотрицательное не могут быть одновременно истинными. Ибо пусть А = XL и VA = Z не- L, тогда будем иметь AVA, т. е. VA = AZ не- L = XLZ se-L, а этот термин ложный.

(193) Эти же предложения не могут быть одновременно ложными. Пусть А не = AL и А не- L не = А не- L, тогда A eb-l — ложный термин, следовательно, А =а ^AL.

(194) Ложный термин — это тот, который содержит противоположные термины А не-4. Истинный термин не ложен.

==614

(195) Предложение есть то, что утверждает, какой термин содержится или не содержится в другом. Отсюда предложение может также утверждать, что некоторый термин ложный, если говорит, что в нем содержится Y нe-Y, и истинный, если отрицает это. Предложение есть также и то, что говорит, совпадает ли что-то с чем-то или не совпадает, так как то, что совпадает, взаимно содержится одно в другом.

(196) Предложение, которое содержит противоположности, как * и не- *, ложно.

(197) Само предложение может мыслиться как термин. Так, «Некоторое А есть В», т. е. «АВ есть истинный термин», есть термин, а именно «АВ истинно». Так же «Всякое А есть В», т. е. «А не- В есть ложно», т. е. ««Л не- В ложно» есть истинный термин». Так же «Ни одно А не есть В», т. е. «АВ есть ложно», т. е. ««АВ ложно» есть истинный термин» 48.

(198) Принципы, 1-й: совпадающие могут быть подставлены друг вместо друга, 2-й: АА = А. 3-й: не- не- Л =э = А. 4-й: термин, содержащий А не-Л, ложен, т. е. неистинен; тот истинен, который не содержит этого, 5-й: предложение есть то, что добавляет к термину, что он истинен или ложен, например если А — термин и ему приписывается, что А истинно или А неистинно, то обычно говорится просто «Л существует», «Л не существует», 6-й: добавление «истинно», т. е. «то 5 существует», оставляет все таким, как оно есть, добавление «ложно», т. е. «то 5 не существует», превращает в противоположное. Таким образом, если говорится, что нечто истинное либо ложное есть истинное, оно остается истинным либо ложным; если же говорится, что нечто истинное либо ложное есть ложное, оно из истинного становится ложным, из ложного — истинным. 7-й: предложение само становится термином, если к термину добавить «истинное» либо «ложное». Например, пусть А — термин и «Л существует» или «Л есть истинное» — предложение; тогда «А истинное», т. е. «то истинное А», т. е. «то существующее А», будет новый термин, из которого в свою очередь может возникнуть предложение, 8-й: предложение, следующее из предложения, есть не что иное, как консеквент, содержащийся в антецеденте, как термин в термине, и таким методом мы сводим выводы к предложениям и предложения к терминам, 9-й: «Л содержит Ь) есть то же, что А =а =- х144.

==615

(199) Частноутвердительное предложение: «АВ существует». Частноотрицательное: «А не- В существует». Общеутвердительное: «А не- В не существует» при допущении, что А и В существуют. Общеотрицательное; «Л В не существует». Отсюда сразу же ясно, что их не бывает больше и что есть их противоположности и обращения. Ибо противополагаются Частноутвердительное и общеотрицательное, а также частноотрицательное и общеутвердительное. Ясно также, что в предложении «А В существует» или «А В не существует» оба термина ведут себя одинаково и поэтому имеет место простое обращение. Можно было бы добавить «не- Л не- В существует» или «не- Л не-2? не существует», но это ничем не отличается от «LM существует» или «LM не существует», если принять, что не- Л есть L и не- В есть М. Общеутвердительное, т. е. «А не- В не существует», есть то же, что л «А содержит В». Ибо то, что «Л не содержит В», есть то же, что «А не- В истинно». Следовательно, «А содержит В» ость то же, что «Л не- В неистинно».

(200)40 Если я скажу: «4В не существует», — это то же, как если бы я сказал: «А содержит не- В» либо «В содержит не- Л», т. е. А и В суть несовместимые. Аналогично, если я скажу: «А не- В не существует», — это то же, как если бы я сказал: «А содержит не- не- В», т. е. «Л содержит В», и аналогично «не- В содержит не- Л». Следовательно, в этих немногих предложениях содержатся основания формы.

==616

00.htm - glava48

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

(1) «Л оо В» есть то же, что «^ оо В истинно»

(2) «Л не оо Z?» есть то же, что «Л оо В ложно»

(3) Л оо Л.

(4) Л не оо В (не- Л).

(5) Л оо (не-(не- Л)).

(6) ЛЛ оо Л.

(7) ЛВ оо ВЛ.

(8) Одно и то же: «Л оо В», «не- Л оо не- В», « не оо В».

(9) Если Л оо В, следовательно, Л не оо не- В- это я доказываю следующим образом. Если оно не Л то пусть Л не- В (по допущению противоположного. Следовательно (по предположению), В оо не- В, что абсурдно. То же самое доказывается и так: В не оо нс" (по п. 4), следовательно, и Л не оо не- В.

(10) Если Л оо ЛВ, можно принять У таким, что Л оо YB. Это постулат, но он может быть и доказан ибо само Л во всяком случае может быть обозначено через Y.

(11) Если Л оо В, то Л С оо ВС. Но Л оо В, что следует из АС оо ВС. Ведь если бы имелось Л оо ВС, то получилось бы АС оо ВС, по п. ю и 6.

(12) Совпадают: «Л оо ЛВ» и «не- В оо не- В не-А»-

(13) Если Л оо YB, то следует, что А оо АВ. Это я доказываю так: Л оо YB (по предположению). Следовательно, ЛВ оо УВВ (по п. 10) оо YB (по п. 6) оо ^ (1Ю предположению)-

Общеутвердительное может быть выражено так /4 ос оо АВ или Л оо YB.

Частноутвердительное так: уА оо YAB, или Y^ 00 оо ZB, или даже АВ оо ЛВ, т. е. ЛВ есть сущее, 0ЛИ А не оо Л не- В.

Общеотрицательное, «Ни одно Л не есть 2 так Л оо Y не- В. т. е. Л оо Л не- б, т. е. АВ есть не-сУ"^-

Частноотрицательное, «Некоторое Л не есть B^i так Л не оо .-1В, или Л не- В есть сущее.

Но досмотрим, достаточно ли одного этого;

==617

Общ. утв. А оо АВ, части, отр. А не оо АВ, общ. отр А оо А не- В, части, утв. /I не оо А не- В.

Если А оо АВ, следовательно, А не с» А не- В. Т е. из общ. утв. следует частн. утв.

Доказательство, пусть будет А оо А не- В (по допущению противоположного). Поскольку же А оо АВ (по предположению), получится А не- В оо АВ, что абсурдно, по п 4. Или короче так: А не- В не оо АВ (по п. 4), где, подставив А вместо АВ (ибо они эквивалентны, по предположению), получим А не- В не оо А. Что и требовалось доказать.

Если А оо А не- В, следовательно, А не оо АВ. Т. е. из общ. отриц. следует частн. отриц.

Доказательство: А не-В не оо АВ (по п. 4). Подставим А вместо А не- В (ибо они эквивалентны, по предположению) и получим А не оо АВ.

Равнозначны «А не оо А не- В» и «В не оо В не- А», т.е. Частноутвердительное может быть обращено просто.

Доказательство: из «А не оо А не- В» следует (по п Ч) «В не оо В не-А» Следовательно, в свою очередь обязательно и А оо А не- В совпадает с, В оо В не- А (по п 9). Следовательно, совпадают и противоречащие им. Что и требовалось доказать.

Посмотрим, нельзя ли вывести «В оо В не- А» из «А оо оо А не- В» иным путем. Если А оо А не- В, следовательно, АВ оо АВ не- В. Следовательно, АВ есть не- сущее Но если из «АВ есть не- сущее» мы выводим «А оо А не- В», то с равным правом мы можем вывести и взаимообратное тому — «В оо В не- А»

А можно и так, не прибегая к подстановке, пусть А В — сущее, следовательно, А не оо А не- В, потому что если бы было А оо А не- В, то было бы АВ оо АВ не В, и поэтому А В было бы не- сущим вопреки предположению И с равным правом В не оо В не- А. Когда говорится, что АВ есть сущее либо не- сущее, подразумевается, что А и В могут быть замещены сущими Посмотрим, нельзя ли показать обратное, если А не оо А не- В, следовательно, АВ есть сущее, разумеется, при допущении, что А и В суть сущие. Действительно, если, при допущении, что А н В суть сущие, АВ окажется не- сущим, то, следовательно, одно из них — А или В — должно содержать противоречащее тому, что содержит второе. Предположим, стало быть, что А включает С и В включает не С (откуда в свою очередь следует, что В включает D и Л

==618

включает не- Z), если предположить, что D оо не- С). Пусть, следовательно, А оо ЕС и В оо F не- С Теперь ЕС оо ЕС нe-(F (не-0), или ЕС содержит ве-(Р не- С) (т. е. все, что включает С, включает отрицание того, что отрицает С) Т е. А оо А не- В вопреки предположению. Следовательно, равнозначны, т е. взаимно следуют друг из друга «АВ есть сущее», «А не оо А не В» и «В не оо В не А» Подобным же образом равнозначны: «АВ есть несущее», «А оо А не- В», «В оо В не- А».

Таким образом мы находим ключ, позволяющий нам прибегнуть к сведению сложных к несложным.

Мы изложили этот вопрос лучше на следующем листе, от 2 августа 1690 г 2

Не-(АВ) есть в не В, т е. не- В оо не- В (не- АВ).

Если А оо ВС, является ли А : С оо В8, если иметь в виду, что С должно быть отнято от А, сведением к простым, пусть В оо СЕ, получается А оо СЕС, т. е. А оо СЕ, следовательно, А : С не всегда оо В. Таким образом это получается только в случае простых терминов.

Во всех случаях, когда есть общий [термин] ЕВ, так что Е мыслится каким угодно, может быть подставлено В, ибо, принимая Е вместо В, получим ЕВ оо ВВ оо В.

Если не- А В не оо А не- В, то не- АВ оо В не- А. И наоборот, т. е. «не- АВ не оо А не- В» и «не- АВ оо В не- А» равнозначны.

==619

00.htm - glava49

ОСНОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

то же, что «(Л оо В) есть истинное то же, что «(Л оо В) есть ложное

(1) «Л оо 5» — предложение».

(2) «Л не оо 5» приложение».

^•3) Л оо ЛЛ, т. е. умножение букв здесь не нужно.

(4) Л5 оо 5Л, т е. транспозиция нисколько не вредит

(5) «Л оо В» означает, что одно можно подставить вместо другого — В вместо Л или Л вместо В, т. е. они равнозначны .

(6) «Не», сразу же повторенное, уничтожает само себя.

(7) Таким образом: Л оо не- не- Л.

(8) Точно так же «Л оо В» и «Л не не оо В» равнозначны.

(9) То, чему присуще «Л не- Л», есть не- сущее, т. е. ло-нснъш термин, например если бы было С оо АВ не-5, то С было бы не-сущее.

(10) Равнозначны: «Л не оо В» и «В не оо Л». Это следует из п. 5

(11) Равнозначны: «Л оо В» и «не- Л оо не-5», ибо, поскольку Л может быть подставлено вместо В (по п. 5), следовательно, результатом подстановки в не- Л будет не-5, т. е. вместо не- Л можно подставить не-5. Аналогично показывается, что вместо не-5 можно подставить не- Л. Следовательно, поскольку Л и В могут быть одно вместо другого подставлены, т. е. Л оо В, то не- Л и не-5 также могут быть подставлены одно вместо другого, т е. получается" не- Л оо не-5. Таким же образом, как мы уже доказали, что из «4 оо В» получается «не- Л оо не-5», так же будет доказано, что из «не-Л оо не-5» получается «не- не- Л оо не не-5», т. е. «Л оо 5». Следовательно, эти истины взаимно доказываются одна из другой, т. е. они равнозначны.

К оглавлению

==620

(12)2 Если Л оо 5, то АС оо ВС; доказывается из п. 5.

Но не следует, что если АС оо ВС, то Л оо 5; ведь только при Л оо ВС (по п. 3) будет АС оо ВС.

(13) 5 не оо не-5; далее, в более общем виде: Л5 не оо С w-EB и таким же образом, опустив... 3

Доказательство. Пусть будет (1) Л5 оо С не- ЕВ, и (2) Л5 оо Л5Л5 (по п 3), и Л545 оо АВС не-ЕВ (по п 1 этого параграфа) Следовательно, доказывая от первого к последнему, имеем Л5 оо АВС нe-EB, что абсурдно, по п. 9, ибо Л5 был бы ложным термином, т. е. включающим противоречие.

(14) Если Л оо В, то следует, что ЕА не оо С не- FB Ибо ЕА не оо С не- ГЛ (по п 13).

Следовательно, подставляя 5 вместо последнего Л (по предположению), получаем ЕА не оо С не- FB. Не имеет значения, если какое-то предложение является отрицательным.

(15) Если Л оо FB, то следует, что ЕА не оо С не FGB.

Ибо ЕА не оо С не- СЛ (по п. 13). Следовательно, подставляя FB вместо Л, получаем ЕА не оо С не- FGB.

(16) Если Л оо Л не-5, то Л не оо Л5. Ибо Л не оо Л5 не-5 (по п. 9). Следовательно, подставляя Л не 5 вместо Л (по предположению), Л не-5 не оо Л5 не-5. Следовательно, Л не оо Л5.

(17) Не-5 оо не-5 (не-Л5). Т. е. не-5 содержит не-Л5, пли не-5 есть не-Л5. Остается доказать это в нашем исчислении.

(18) С оо С не-(Л не- С) следует из п. 17 при подстановке не- С вместо 5

(19) Равнозначны: «Л оо Л5» и «не-5 оо не-5 (не- Л)» Это обращение через контрапозицию.

Ибо если (1) Л оо Л 5, так как (2) не-5 оо не-5 (не-Л5) (по п. 17), то, подставляя в (2) Л вместо Л5 (по п. 1), получаем не-5 оо не-5 (не- Л). Опять-таки если (1) не-5 оо оо не-5 (не- Л), поскольку (по п. 17) (2) не-5 оо не-5 (не-Л5), то, соединяя 1 и 2, получаем Л оо Л5. (Правда, это несколько сомнительный вывод по схолии к п. 12, а именно: хотя получается 5 не- Л оо 5 не-Л5, по следусг ли отсюда Л оо Л 5? Конечно, если ВС oo BD, тогда действительно С оо D, если С и 5 не имеют ничего общего.)

==621

(20) Равнозначны: «не- AB не 00 У не- В» и «не- АВ оо оо Z не- Л», т.е. равнозначны: не-АВ не оо (нe-AB) не- В» и «не- АД оо (нe- AB) не- Л». Вместо не-АВ поставь с одной стороны Х *.

Ибо не-(АВ) содержат по крайней мере одно из двух не- А или не- В. Так, если оно не содержит одно, оно будет содержать другое, что, однако, не мешает возможности содержать и то и другое.

==622

00.htm - glava50

НЕКОТОРЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ТРУДНОСТИ

Среди логических трудностей, заслуживающих разрешения, встречается такая: как же происходит, что в единичном выступает противополагание «Апостол Петр есть воин» и «Апостол Петр не есть воин», в то время как в других случаях противополагаются общеутвердительное и частноотрицательное? Не говорим ли мы тем самым, что единичное равнозначно и частному и общему? Пожалуй! Поэтому-то, когда возникает затруднение касательно того, что единичное равнозначно частному, поскольку в третьей фигуре вывод должен был бы быть частным, а он может оказаться и единичным, как в случае: «Всякий пишущий есть человек», «Некто пишущий есть апостол Петр», следовательно, «Апостол Петр есть человек», я отвечаю: вывод здесь действительно будет частным, таким же, как если бы мы заключили: «Некий апостол Петр есть человек». Ведь «некий апостол Петр» и «всякий апостол Петр» совпадают, поскольку термин является единичным.

Но еще большая трудность состоит в том, что обычная операция обращения иногда по видимости приводит к ложному. Именно этот случай имеет место при обращении через ограничение общеутвердительного суждения: «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся»; ведь первое [предложение] истинно, даже если бы ни один человек [в действительности] не смеялся, а второе не истинно до тех пор, пока не найдется хотя бы один действительно смеющийся человек. Первое говорит о возможном, второе — о действительном. Но подобной трудности не возникает, если остаешься в пределах возможного, например: «Всякий человек есть животное»; следовательно, «Некоторое животное есть человек». Поэтому следует сделать вывод, что предложение «Некоторый человек есть смеющийся» будет истинным в сфере идей, т. е. если «смеющегося» принять за некоторый вид возможного сущего: как «воин» есть вид «человека» или «человек» есть вид «животного», так и некий «человек» есть «смеющийся»; и такое предложение будет

==623

истинным, даже если не будет существовать ни одного смеющегося. Пусть обращение доказывается мною посредством силлогизма третьей фигуры: «Всякий смеющийся есть смеющийся», «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся» — в том случае (я имею в виду в сфере идей), если «смеющийся» принимается за вид «человека», а не за действительно смеющегося. Этот силлогизм, по модусу Декарта, может быть доказан из первой фигуры посредством сведения, т. е. без допущения чего-либо другого, кроме законов противоположения, разумеется, поскольку допускается силлогизм по первой фигуре и принимается, что вывод ложен, а одна из посылок истинна; откуда следует, что другая посылка ложна. Но противоположное ложному выводу истинно.

А к первичным законам противоположения относятся следующие. Например, предложению «Всякий человек есть животное», утверждаю я, противополагается «Некоторый человек не есть животное». Ибо «Всякий человек есть животное» — то же самое, что «Человек А есть животное», «Человек В есть животное», «Человек С есть животное» и т д. А предложение «Некоторый человек не есть животное» не говорит ничего другого, кроме того, что В не есть животное» или что-либо в этом роде. Поэтому противополагаются предложения: «Всякий человек есть животное» и «Некоторый человек не есть животное». Так же противополагался предложения: «Ни один человек не есть камень» и «Некоторый человек есть камень». Ибо «Ни один человек не есть камень» означает: «Человек А не есть камень», «Человек В не есть камень», «Человек С не есть камень» и т. д. Следовательно, ложным предложением будет «Человек В есть камень», что не означает ничего другого, кроме того, что «Некоторый человек есть камень». А это и есть, собственно, dictum de omni et dictuin de nullo 2 — как бы фундамент всего учения силлогистики, а именно учения о противоположении и первой фигуре. К примеру, вывод: «Всякий человек есть животное», «Всякий воин есть человек», следовательно, «Всякий воин есть животное» — делается таким путем, потому что всякий человек есть животное и человек-воин есть животное в силу dictum de ошш. Раз «человек-воин» и «воин» совпадают (поскольку всякий воин есть человек), следовательно, совпадут и предложения «Человек-воин есть животное» и «Воин есть животное».

==624

Итак, обратимся вновь к указанному мной основанию редакции, с помощью которого я доказал другие законы силлогистики. Предложение «Всякий человек есть животное» я интерпретировал так: «человек-животное» и «человек» равнозначны, или же: когда говорят, что ты человек, говорят, что ты животное. Некто называл себя Grunberg; приятель ему говорит: «Достаточно было бы, если бы ты назвал себя Berg»3. «Почему же? — отвечает тот, — разве ты полагаешь, что все горы зеленые?» А приятель говорит: «В данное время так оно и есть» (поскольку ведь было лето). Таким образом, природное чувство подсказывало ему, что эти два предложения совпадают: «Всякая гора зеленая» и ««зеленая гора» и «гора» равнозначны».

Уже давно пользуюсь я такой редукцией *. Общеутвердительное: «Всякое Л есть В», т. е. «АВ и А равнозначны», или «Л не В есть не -сущее». Частноотрицательное: «Некоторое А не есть В», т. е. «АВ и А не равнозначны», или «Л не- Д есть сущее». Общеотрицательное: «Ни одно Л не есть В» будет с ав есть не- сущее». Частноутвердителъное 6: «Некоторое Л есть В» будет «АВ есть сущее». Благодаря такой интерпретации тотчас раскрываются правила противоположения (с помощью которых я доказал вторую и третью фигуры, исходя из первой) и законы обращения (с помощью которых я доказал четвертую фигуру), что очевидно из терминов. Ибо U.A. и P.N. противополагаются, так как для тех же самых терминов в одном случае эквиполентность утверждается, и в другом — отрицается. Подобным же образом противополагаются просто U.N. и Р.А., поскольку бытие, которое утверждается в одном предложении, о том же самом отрицается в другом U.N и Р.А. обращаются просто, потому что, когда я говорю «АВ есть не-сущее» или же «45 есть сущее», я не утверждаю ничего другого, кроме того, что «ВЛ есть сущее» или «ВА есть не- сущее», так как АВ и В4 равнозначны. Но U.A. и P.N. не обращаются просто, ибо такие предложения, как «АВ эквиполентно самому А» или «АВ не эквиполентно самому Л», не одинаково трактуют Л и В и отсюда не следует, что А В эквиполентно пли же не эквиполентно самому В.

Но обращение через ограничение таким образом трактуемого утвердительного предложения предполагает уже доказанным простое обращение частноутвердительного предложения. И кроме того, это обращение предполагает

==625

доказательство подчинения, т. е. доказательство частноутвердительного предложения из общеутвердительного типа: «Всякое А есть В»; следовательно, «Некоторое А есть В». Доказательство производится следующим образом: «Всякое А есть В», т. е. «АВ равнозначно самому А». Но «Л есть сущее» (по предположению). Следовательно, «АВ есть сущее», т. е. «Некоторое А есть 2?». Но поскольку с равным правом можно утверждать и что «ВА есть сущее», т. е. что «Некоторое В есть А», то отсюда получим уже обращение через ограничение, т. е. следующее заключение: «Всякое А есть В»; следовательно, «Некоторое В есть 4».

Общеотрицательное предложение также может обращаться через ограничение, но это доказывается другим способом: его нужно сначала подвергнуть простому обращению, а затем взять подчиненное обращенному предложение. Правомерность его простого обращения нами уже доказана, остается лишь показать для этого случая подчинение: «Ни одно А не есть В»; следовательно, «Некоторое А не есть В». Действительно, «Ни одно А не есть .В», т. е. «АВ есть не- сущее», а следовательно, «АВ не равнозначно самому Af> (так как А есть сущее), или же «Некоторое А не есть В». С другой стороны, поскольку «Ни одно А не есть В», т. е. поскольку «.АВ есть не- сущее» и тем самым также «ВА есть не- сущее», то и «ВА не равнозначно самому В», или «Некоторое В не есть Л». Таким образом, мы имеем здесь как подчинение, так и обращение через ограничение общеотрицательного предложения.

Кроме того, приходит на ум, что общеотрицательное и противоположное ему Частноутвердительное предложения также могут редуцироваться к эквиполентность следующим способом. Предложение «Ни одно А не есть В», т. е. «А В есть не- сущее», может быть выражено и так: «АВ и АВ- сущее не равнозначны». И подобным же образом «Некоторое А есть В», т. е. «АВ есть сущее», может быть выражено как: «АВ и Л2?- сущее равнозначны». Такой способ выражения также позволяет получать противополагание U.N. и Р.А. и их простое обращение. И так же получается из U.N. подчинение. В самом деле, пусть «Ни одно А не есть В», тогда имеем: «АВ и АВ- сущее не равнозначны». Отсюда должно получаться, что «Некоторое А не есть В», т. е. «А и АВ не равнозначны», так как А и Л- сущее равнозначны, по предположению;

==626

ведь если бы А и АВ были равнозначны, тогда были бы также равнозначны АВ и .4.8-сущее, что противоречит допущению. Таким образом, мы редуцировали все категорические предложения логики к исчислению эквиполентностей.

С другой стороны, отсюда также с большей очевидностью раскрывается источник ошибки в обращении такого типа, как: «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся», хотя ведь может случиться и могло бы быть так, что ни один человек не смеялся бы в данный момент, и даже никогда бы не смеялся, и даже так, что ни одного человека и не существовало бы. Всякий смеющийся есть человек — т. е. «смеющийся» и «смеющийся человек» равнозначны. Но смеющийся есть сущий, по предположению; следовательно, смеющийся человек есть сущий, значит, человек смеющийся есть сущий, или же «Некоторый человек есть смеющийся». Причем [термин] «сущий» в предложении «Человек смеющийся есть сущий» должен браться тем же способом, как и в предложении «Смеющийся есть сущий». Если «сущий» берется в смысле возможности, т. е. так, что смеющийся существует в сфере идей, то тогда и «Некоторый человек есть смеющийся» должно браться не иначе как и «Человек смеющийся есть сущий», а именно в смысле возможности, т. е. в сфере идей. Но если «Смеющийся есть сущий» берется в смысле реального существования, то и «Человек смеющийся есть сущий» нужно брать в том же смысле, и тогда будет истинно, что некоторый человек действительно смеется.

То же самое было бы, если бы мы воспользовались способом, посредством которого также редуцируется к эквиполентности частноутвердительное [предложение]. Пусть «Всякий смеющийся есть человек» — это есть ««Смеющийся» и «смеющийся человек» равнозначны». С другой стороны, «смеющийся» и «смеющийся сущий» равнозначны; следовательно, «человек смеющийся» и «человек смеющийся сущий» равнозначны, т. е. «Некоторый человек есть смеющийся» — разумеется, в области идей, т. е. в том смысле, что человек смеющийся есть сущий, или «человек смеющийся» и «человек смеющийся сущий» равнозначны, и не более, и «Некоторый человек есть смеющийся» не означает, что какой-либо человек действительно смеется. Таким образом, выражения языка бывают двусмысленны и наша редукция устраняет эту двусмыс-

==627

ленность. Когда вводится выражение «Некоторый человек есть смеющийся», подразумевается, что некий вид человека совпадает с термином «смеющийся», т. е. что смеющийся человек есть смеющийся, поэтому... в смеющийся камень не был бы смеющимся, ибо смеющийся камень заключает в себе противоречие.

Отсюда также явствует, что общеутвердительное предложение вместе с противоположным ему P.N. всецело отлично от общеотрицательного с его противоположностью, поскольку в последних предполагается сущее, а в первых нет. В то же время во всех случаях молчаливо предполагается, что входящий термин есть сущее.

Всякое А есть В, т. е. АВ оо А.

Некоторое А не есть В, т. е. АВ не оо А.

Ни одно А но есть В, т. е. АВ не есть сущее, или А В пе ею ЛЯ-сущему.

Некоторое А есть В, т. е. АВ есть сущее, или АВ оо оо А В -сущему.

Из этого становится ясно, что во всяком утвердительном предложении предикат будет частным, но из этого нe становится столь же ясным, будет или не будет во всяком отрицательном предложении предикат общим. Вообще же можно было бы установить, будет ли термин А или В общим, если вместо А или В можно было бы подставить YA или YB, где Y мог бы быть чем-то совместимым с В, например С, F и т. д. Но из АВ оо А нельзя заключать к AYB оо А, ведь В могло бы содержаться в А и тогда, когда YB не содержалось бы в Л. Подобным образом из АВ оо А- В- сущему не следует, что AYB оо AYB- сущему , ибо, если YB и будет сущим, по предположению, отсюда не следует, что AY есть сущее. Таким образом, из этого ясно, что предикат утвердительного предложения не является общим. Теперь покажем подобным же способом, что предикат отрицательного предложения является общим. Ведь если АВ не оо А, то и AYB не оо А» ибо, будет ли YB оо В либо AY оо А или же не будет, вывод будет справедлив, так как если YB оо В или AY оо оо А, [то они] могут быть поставлены вместо В или А. Если же они не будут эквиполентны, тем более не будут эквиполентны AYB и А. То же самое будет в случае, если АВ не оо Л.В- сущему.

Теперь остается показать, что и субъект имеет количественную определенность в предложении. В U.A. : АВ оо A, следовательно, и YAB оо YA. Но в P.N.

==628

если АВ не оо А, то отсюда еще не следует, что YAB не оо YA, так как если Y оо В, то и YAB оо YA. Напротив, в U.N. если АВ не есть сущее, то и YAB не есть сущее, или же если АВ не оо АВ- сущему, то и YAB не оо УАД- сущему. Однако в Р.А., если АВ есть сущее, не следует, что и YAB есть сущее, так как за Y может быть принято нечто несовместимое с А и В. Таким образом из нашего исчисления мы выводим все правила распределения [терминов].

Впрочем, указанное неверное заключение: «Всякий смеющийся есть человек», следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся» — может опровергаться еще и другим способом, отличным от приведенного выше доказательства логических форм. Это тот случай, когда мы

•продвигаемся не путем идеи, а путем представленных примеров. Мысль такова: «Всякий возможный смеющийся есть человек», следовательно, «Некий человек есть возможный смеющийся». Верно. Эту мысль иллюстрирует наша интерпретация, которая делает законным обращение через ограничение. «Смеющийся» оо «смеющемуся человеку», так же как «смеющийся» оо «смеющемуся сущему»; следовательно, «смеющийся человек» оо «смеющемуся сущему человеку», так как «смеющийся» оо «смеющемуся сущему».

Это заставляет меня думать, что указанная [ситуация] могла бы быть с успехом установлена посредством индуктивной интерпретации. Аристотель, кажется, сам следует путем идей, ибо он говорит, что «животное» находится в «человеке», т. е. понятие в понятии, в то время как скорее «люди» находятся в классе «животных». Посмотрим, однако, что может быть получено из рассуждеяия о классах (collectiva ratiocinatio).

Barbara: «Все люди находятся в классе животных», «Все воины находятся в классе людей»; следовательно, «Все воины находятся в классе животных». Celarent: «Все люди находятся вне класса камней», «Все воины находятся в классе людей»; следовательно, «Все воины

находятся вне класса камней». Darii: «Все люди находятся в классе животных», «Некоторые мыслящие находятся в классе людей»; следовательно, «Некоторые мыслящие находятся в классе животных», Ferio: «Все люди находятся вне класса камней», «Некоторые субстанции находятся в классе людей»; следовательно, «Некоторые субстанции находятся вне класса камней». По модусу

==629

Darapti будет так: «Всякий человек есть мыслящее», «Всякий человек есть животное»; следовательно, «Некоторое животное есть мыслящее». В интерпретации классов: «Все люди находятся в [классе] мыслящих», «Все люди находятся в [классе] животных»; следовательно, «Некоторые животные находятся в [классе] мыслящих». Вернемся теперь к тому силлогизму, посредством которого доказывается обращение через ограничение: «Всякий смеющийся есть смеющийся», «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся» 7. В интерпретации это будет так: «Все смеющиеся находятся в [классе] смеющихся», «Все смеющиеся находятся в [классе] людей»; следовательно, «Некоторые люди находятся в [классе] смеющихся». Но что было бы, если бы в действительности ни один человек не смеялся? Я утверждаю, что [в этом случае] и предложение «Все смеющиеся находятся в [классе] людей», т. е. «Все смеющиеся суть люди», будет ложным. Ведь для того чтобы это предложение было истинным, должно быть истинным также и предложение «Некоторые смеющиеся находятся в [классе] людей», или «Некоторые смеющиеся суть люди», но последнее ложно, если ни один человек не смеялся бы. Иначе обстоит дело, если сказать: «Все, если они смеются, находятся в [классе] людей», ибо из этого не следует, что «Некоторые, кто смеется, находятся в [классе] людей», но следует лишь, что «Некоторые, если они смеются, или предполагаемые смеющиеся, находятся в [классе] людей». Поэтому силлогизм будет таким: «Все предполагаемые смеющиеся суть предполагаемые смеющиеся» (ибо нельзя ведь сказать, что все предполагаемые смеющиеся суть действительно смеющиеся), «Все предполагаемые смеющиеся суть люди»; следовательно, «Некоторые люди суть предполагаемые смеющиеся». Или же в интерпретации: «Все предполагаемые смеющиеся находятся в [классе] предполагаемых смеющихся», «Все предполагаемые смеющиеся находятся в {классе] людей (разумеется, предполагаемых)»; следовательно, «Некоторые предполагаемые люди (или некоторые, кто входит в [класс] предполагаемых людей) находятся в [классе] предполагаемых смеющихся». Отсюда очевидно, что и в случае подчинения; «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый смеющийся есть человек» — возможно подобное неправильное употребление, поскольку если не будет ни одного действительно, на самом деле смеющегося, то ни

К оглавлению

==630

один смеющийся не будет человеком. А указанная данность объясняется тем, что в общем предложений подразумевается «предполагаемый смеющийся», тогда в частном — «действительно смеющийся». Поэтому говорят: «Всякий смеющийся есть человек», следовательно «Некоторый смеющийся есть человек», это нужно думать в таком смысле: «Всякий предполагаемый смеющийся есть человек», следовательно, «Некоторый предлагаемый смеющийся есть человек», откуда прав0' v, сделать вывод, что некоторый человек (конечно, предлагаемый) есть предполагаемый смеющийся. Но О^ 'д. выводится: следовательно, «Некоторый человек действительно смеющийся». Когда же вы говорите: w дц действительно, сейчас смеющийся есть человек», А вы допускаете, что и на самом деле кто-то сейчас действительно смеется и что он (сейчас смеющийся) есть человек, а потому и что какой-то человек действительно смеется. Ведь всегда должно допускаться, что термин -- э ^ тайно сущее, но «действительно, сейчас смеющиеся , не будет сущим, если ложно, что кто-то действительно смеется; это есть гипотетическая невозможное которая... 8 достаточна.

Конец

==631

00.htm - glava51

НЕ ЛИШЕННЫЙ ИЗЯЩЕСТВА ОПЫТ АБСТРАКТНЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Определение 1. Тождественные [термины] суть те, один из которых может быть подставлен вместо другого с сохранением истинности. Если имеем А и В п А входит в какое-либо истинное предложение, и если подстановкой В вместо А в каком-либо месте данного предложения будет получено новое предложение, также истинное, и если то же самое достигается, какое бы предложение мы ни взяли, то говорят, что А и В тождественны; и наоборот, если А и В тождественны, то осуществима подстановка, о которой я сказал. Тождественные [термины] называются также совпадающими; иногда же говорят как о тождественных об А и Л, тогда как А и В, если они оказываются одним и тем же, называются совпадающими.

Определение 2. Различные [термины] суть те, которые по являются тождественными, т. е. те, в которых подстановка иногда не приводит к успеху.

Королларий. Отсюда также следует: что не различно, то тождественно.

Характеристика] 1. А оо В означает, что А и В тождественны или совпадают, Характеристика] 2. А не оо и или В не оо А означает, что А и В различны.

Определение 3. Если множество [терминов], вместе взятых, совпадает с другим [термином], то говорят, что каждый [термин] из этих многих находится или содержится в этом одном; о самом же этом одном [термине] говорят, что он содержащее. И наоборот, если что-либо входит в другое, то оно окажется среди многих, которые, вместе взятые, совпадают с этим другим. Так, если А и В, вместе взятые, совпадают с термином L, то как /I, так и В могут быть названы существующим в или содержимым, а L может быть названо содержащим. Однако может случиться, что содержащее и содержимое совпадают. Так, если имеет место, что А и В оо L и А и L совпадают, то тогда В не будет содержать ничего другого, кроме А...1

Схолия. Не все «существующее в» есть часть, и не все «содержащее» есть целое. Например, вписанный квадрат

==632

и диаметр содержатся в круге; но такой квадрат есть часть круга, тогда как диаметр не есть его часть. Следовательно, для более точного уяснения понятия целого и части необходимо добавить нечто выходящее за рамки сказанною. И действительно, то, что не является частью, не только содержится, но и может быть отнято. Например, центр можно было бы отнять от круга, так что в остатке оказались бы все точки, кроме центра; ведь этот остаток будет местом всех точек внутри круга, расстояние которых от окружности меньше радиуса, различие же между этим последним местом и кругом есть точка, а именно центр. Так же получается п место всех точек, которые движутся, если сфера движется, тогда как две отдельные точки на ее диаметре неподвижны, т. е. если вы отнимете от сферы ось, или диаметр, проходящий через эти две неподвижные точки.

В силу тех же установок А и В, вместе взятые, называются составляющими, тогда как L — составным.

Характеристика} 3. А 4- В оо L означает, что А входит в данное L, или содержится в нем.

Схолия. И если даже А и В имеют что-то общее, так что, вместе взятые, они будут больше данного L, тем не менее остается в силе то, что мы уже сказали и будем говорить дальше. Будет полезно пояснить это примером. Пусть L обозначает прямую ИХ, А — ее часть, т. е. прямую RS, а В — другую ее часть, именно прямую XY. Положим, какая-нибудь из этих частей, HS или же XY, будет больше половины всей RX. Тогда при всех обстоятельствах нельзя говорить, что А-\-В равно L, или RS + XY равно RX. И__Y____S____Х Ибо на самом деле, поскольку YS есть общая часть данных RS и XY, постольку RS + XY ' будет равно RX + SY. Однако можно, истинно утверждать, что прямые RS и р ^ ^ XY одновременно совпадают с прямой RX.

Определение 4. Если некоторое М содержится в данном А, а также содержится в данном В, оно называется общим дл

них, а сами [А а В] —сообщающимися. Если же они не имеют ничего общего, как А и N (в нашем примере прямые RS и XS)t то называются несообщающимися.

==633

Определение 5. Если в данном L содержится А и производится образование некоторого N, в котором остается все, что входит в L, исключая то, что одновременно входит в А (при этом ничего из А не должно оставаться в N), тогда говорят, что А отнимается от L или удаляется из L; a N называют остатком, Характеристика] 4. Если L — А оо N, то это будет означать, что L — содержащее, причем такое, что если от него отнять А, то остатком будет N.

Определение 6. Если нечто одно полагается как совпадающее со многими вместе положенными или вместе удаленными, то эти многие называются составляющими, а это одно — составным.

Схолия. Отсюда в свою очередь следует, что все «существующее в» является составляющим, но не наоборот. Так, L — А оо N, хотя L не содержится в А.

Определение 7. Составление (т. е. полагание или удаление) бывает или неявное, или явное. N или —М есть неявное [составление] данного М, так же как А или —А, в котором содержится N. Явное [составление] данного N очевидно.

Определение 8. Компенсация бывает тогда, когда одно и то же полагается и удаляется в том же самом. Она бывает явной, когда производится в явном виде. Уничтожение бывает тогда, когда что-либо вследствие компенсации утрачивается. Так что вместо М — М с одинаковым правом можно было бы ставить «ничто» (Nihil).

Аксиома 1. Если что-либо берется вместе с самим собой, то ничего нового не составляется, т. е. А 4+ А оо А.

Схолия. Разумеется, что касается чисел, то 2 + 2 дадут 4, т. е. две монеты, прибавленные к двум, дадут четыре монеты, но в этом случае две прибавленные монеты — не те же самые, что две первые; если бы они были теми же самыми, ничего нового не получилось бы. Как если бы мы шутки ради пожелали из трех яиц сделать шесть, считая сначала, что их три, затем, съев одно, прибавили к этим трем оставшиеся два, а затем, съев еще одно, прибавили оставшееся последнее.

Аксиома 2. Если одно и то же полагается и удаляется, то, что бы ни составлялось где-либо таким образом, оно совпадает с «ничто». Т. е. А (всякий раз, когда оно полагается в чем-либо составляющим) —А (всякий раэд когда оно из этого же удаляется) оо N2.

==634

Схолия. Отсюда А — А, или (А + А) — А, или А — {А + А) и т. д. оо «ничто». Ибо^ в силу акс. 1, здесь дело всегда сводится к А — А.

Постулат 1. Множество каких-либо [терминов] может быть взято для составления одного. Так, если имеются А и В, то из них можно получить А + В^ которое может быть названо L.

Постулат 2. Удалить некоторое А из того, в чем оно содержится, т. е. из А + В, или L, если оставшееся, такое, как В, вместе с данным А составляет содержащее их L, — это то же самое, что ввести остаток L — А.

Схолия. Исходя из этого постулата, мы впоследствии дадим способ различения двух [терминов], из которых один, т. е. А, содержится в другом, т. е. L, при этом не прибегая к остатку» который вместе с одним из них составляет другой. Т. е. способ нахождения L —А, или А + В — А, когда даны только L s А, но не В.

Теорема I. Два [термина], тождественные третьему,, тождественны между собой.

Если А оо В и В оо С, то А оо С. Ибо если в предложении «.А оо В» (истинном по условию) подставить С вместо В (что можно сделать в силу опр. 1, так как В оо С, по условию), то получим: А оо С. Что и требовалось доказать.

Теорема II. Если из двух [терминов], которые тождественны между собой, один будет отличен от третьего, то и другой также будет отличен от него.

Если А оо В и В не оо С, то А не оо С. Ибо если в предложении «В не оо С» (истинном по условию) подставить А вместо В (что можно сделать в силу опр. 1, так как А оо В, по условию), то получим А не оо С. Что и требовалось доказать э.

Теорема III. Если к тождественному прибавляется совпадающее, получается совпадающее.

Если А оо В, то А + С оо В + С. Ибо если в предложении А 4- С оо А + С (которое истинно само по себе) в одном случае вместо А подставить В (что можно сделать в силу опр. 1, так как А оо В}, тогда получим: А + С оо В + С. Что и требовалось доказать.

Королларий. Если к совпадающему прибавляется совпадающее, получается совпадающее. Если А оо В и L оо My то А + L оо В + М. Ибо (в силу настоящей теоремы) если L оо М, то А + L оо А + М. И на этом основании однократной подстановкой В вместо А (так как А оо В

==635

по условию) получим: А + L оо В + М. Что и требовалось доказать.

Теорема IV. Содержимое содержимого есть содержимое содержащего. Т. е. если то, в чем содержится нечто другое, само содержится в чем-то третьем, тогда то, ччо в нем содержится, будет находиться в том же третьем, и 1и же если А есть в В, а В есть в С, то и А будет в С.

Ибо А есть в В (по условию). Значит, имеется нечто такое (обозначим его через L}, что А + L оо В (в силу опр. 3 или характ. 3). Аналогично поскольку В есть в С (по условию), то В + М оо С. Учитывая это и полагая А + L вместо В (в силу доказанного их совпадения), получим: А + L + М оо С. Далее подстановкой N вместо L + М (в силу постулата 1) получим: А + N оо С. Следовательно, А есть в С (в силу опр. 3). Что и требовалось доказать.

Теорема V. В чем содержатся [какие-либо термины по отдельности, в том содержится и то, что из них составлено, Если А есть в С и В есть в С, то и А + В (составленные из А и В, по опр. 4) будет в С. Ибо если А есть в <", то имеется некоторое М, такое, что можно получить А + М оо С (в силу опр. 3).

Подобным образом так как В есть в С, то можно получить В + N оо С. Их сочетание (в силу короллария к теор. 3) даст: A+M+B+NooC+C. Далее, С —

— С оо С (в силу аксиомы 1). Следовательно, Л + М 4-

— В + N оо С. И отсюда (в силу опр. 3), Л + В есть в С. Что и требовалось доказать 4.

Теорема VI. Составленное из содержимых содержится в составленном из содержащих, Если А есть в М и В есть в Л^, то и А + 5 будет в М — Л^. Ибо А есть в At (по условию) и М есть в М + ^ (в силу опр. 3). Следовательно, 4 есть в М + ^V" (в силу теор. IV). Подобным же образом В есть в N (по условию) и Л^ есть в М + ^ (в силу опр. 3). Следовательно, В есть в М + N (в силу теор. IV). Далее, если А есть в М -г+ ^ и В есть в М + N, то и (в силу теор. V) А + 5 будет в М + -/V. Что и требовалось доказать.

Теорема VII. Если что-либо прибавляется к тому, е чем оно уже содержится, ничего нового не составляется. Или если В есть в А, то А + В оо А.

Ибо если В есть в А, то можно полагать В + С оо А (опр. 3). Следовательно (в силу теор. III), А + В оо

==636

оо В+ С+ В оо В+ С (в силу акс. 1) оо А ^в силу сказанного выше). Что и требовалось доказать.

Обращение теоремы VII. Если прибавлением чего-либо к другому не составляется ничего нового, то оно само уже содержится в этом другом.

Если А + В оо А, то В будет в А. Ибо В есть в А + В <опр. 3), а А + В оо А (по условию). Следовательно, В есть в Л (в силу причастности к теор. II и III). Что и требовалось доказать.

Теорема VIII. Если от совпадающих терминов отнимаются совпадающие, остатком будут совпадающие 6.

Если А оо L и В оо М, то А — В оо L — М. Ибо А — В оо А — В (что само по себе истинно). Но подстановкой в одной из сторон L вместо А и М вместо В (исходя из определения совпадающих) получим: А — В оо оо L — М. Что и требовалось доказать.

Теорема IX. (1) Из явной компенсации следует уничтожение того, что компенсируется, если в уничтожаемой компенсации не будет ничего такого, что неявно входило бы в повторное составление вне компенсации; (2) так же, если, каково бы ни было это повторение, она входило бы и в полагание, и в удаление вне компенсации. (3) Если рр происходит ни того ни другого, подстановка уничтожения вместо компенсации не может осуществляться.

Случай 1. Если А + N — М — N оо А — М и А, N, М будут несообщающимися. В таком случае нет ничего v уничтожаемой компенсации -{-N — N, что было бы вне ее в А или в М; или же то, что полагается в -{-N, всякий раз здесь содержится только в -{-N, и то, что удаляется в —N, всякий раз здесь содержится только в —N. Следовательно (в силу акс. 2), вместо +N — N может подставляться «ничто».

Случай 2. Если А + В — В — G оо F n все, что имеют общего как А + В, так и G и В, есть М, то F оо А — G. Положим, кроме тою, что Е есть все, что А а G имеют общего (если они ею имеют), так что если они не имеют ничего общего, то Е будет оо «ничто». Таким образом, получим: А оо Е +

==637

Случай 3. Если А 4- В — В — D оо С и то, что есть общего у данных А и В, не совпадает с тем, что есть общего у В + D, тогда не будет иметь места, что С оо А —

— D. Пусть В оо Е + F + G, и ЛооЯ+, и О оо оо К -{- F, так что эти ингредиенты не сообщаются дальше и поэтому нет нужды в дальнейшем разложении. Тогда получится, что CooH+E+E+F+G— Е — F - -

— G — К — F, т. е. (в силу случая 1) что С оо Н — К, а оно не является оо А — D, так как А — D оо Н + Е —

— К — F, разве только полагалось бы Е оо F, т. е. общее у В и А было бы тождественным с общим у В u D, что противоречит условию. То же доказательство было бы применимо и тогда, когда А и D имели бы между собой что-то общее.

Теорема X, Отнятое и остаток суть несообщающиеся.

Если L — А оо N, я утверждаю, что А и N не имеют ничего общего. Ибо, по определению отнятого и остатка, все, что есть в L, остается в N, кроме того, что есть в А,; из которого ничего в N не остается.

Теорема XI. В двух сообщающихся [терминах] то, что в них есть общего, и две собственные [части] суть три [термина], не сообщающиеся между собой.

Пусть А и В будут сообщающимися и А оо Р -\- М„ а В оо N + М, так что все, что есть в А и В, будет в At,; но ничего из М не будет в Р и N. Тогда я утверждаю, что Р, М,- N суть несообщающиеся. Ибо как Р, так и N не сообщаются с М, поскольку то, что содержится в М,; есть одновременно в А и В и ничего такого нет в Р или N. Отсюда Р и N суть не сообщающиеся между собой,: иначе то самое, что было бы обще им самим, содержалось бы также в А и В.

Проблема. Сделать так, чтобы из добавления несовпадающих [терминов] к совпадающим составлялись опять-таки совпадающие.

Пусть А оо А; тогда я утверждаю, что могут быть найдены два [термина] В и N, такие, что В не будет оо N и тем не менее А + В будет оо А + N.

Разрешение. Пусть берется нечто такое, что входит в данное А, например М, и пусть будет В оо М + N,; где Л берется произвольно, однако так, чтобы ни М не было в Л, ни, наоборот, N в М. Тогда мы получим то, что искали. Ибо поскольку В оо М + N, по условию, и М и N не включают друг друга (по условию), то при этом А + В оо А 4- Л^ так как A-{-BooA-\-MA-N^

==638

а это (в силу теор. VI 1, поскольку М есть в Л, по условию) оо А + N.

Теорема XII. В несообщающихся [терминах], те, которые, будучи добавлены к совпадающим, дают совпадающие, сами являются совпадающими.

Т. е. если А + В оо С + D и А оо с, то и В оо D при том, что A a Bt так же как С и D^ являются несообщающимися. Ибо А + В — С оо С -}~ d -. с (в силу теор. VIII). Далее, А + В — С оо А -}~ в — А (по условию, так как А оо С} vi A -}- В — Лоод (д силу теор. IX, случая 1, поскольку А и В суть несообщающиеся) и (в силу того же) C+D—CooD, Следовательно, В оо D. Что и требовалось доказать.

Теорема XIII. В общем случае если добавлением к совпадающим [терминам] чего-то другого получаются совпадающие [термины], то добавляемые [термины] являются сообщающимися между собой.

Пусть совпадающими или тождественными будут А и А и пусть А + В оо А + N; тогда я Утверждаю, что В и N являются сообщающимися. Ибо если А и В будут несообщающимися, равно как и А и N, то В оо N (по доказанному выше). Значит, В и N будут сообщающимися. Если же A v. В будут сообщающимися, то А оо Р + М и В оо Q + М, где М полагается как то, что обще у А ц В и отсутствует в Р и Q. Следовательно (в силу акс. 1)„ A+BooP+Q+MooP+M+N. Далее, Р, Q, М суть несообщающиеся (в силу теор. XI). Следовательно, если даже N не сообщается с А, т. е. с р -}- М,- из того,, что P+Q+MooP+M+N, получим (в силу доказанного выше) Q оо N. Следовательно,: N есть в В. Отсюда N у. В являются сообщающимися. Если же при тех же посылках, а именно когда Р -)- (^ 4- М оо Р + + М + N, т. е. при А, сообщающемся с В, N также будет сообщаться с Р + М, т. е. с А, тогда либо N будет сообщаться с М и тем самым будет сообщаться также с В (в котором содержится М) и будет иметь место наложение (intentum), либо N будет сообщаться с Р, и тогда пусть мы положим Р оо G + Н ц аналогично N оо оо F + Я, так чтобы G, Н, F были несообщающимися (следствие теор. XI), и из Р + Q + М оо Р + М + N получится: G+H+Q+MooG+H+M+F+H. Следовательно (в силу доказанного в предыдущей теореме), имеем Q оо F. Значит, N (оо F ^- щ и В (оо Q + + М} имеют нечто общее. Что и требовалось доказать.

==639

Практическое приложение. Из этого доказательства мы научаемся следующему.

Если к тем же самым или совпадающим [терминам] добавляются какие-либо [другие] и получаются совпадающие [термины], то пусть даже те, которые добавляются, в обоих случаях будут не сообщающимися с теми, к которым они добавляются, сами они будут совпадать между собой (что и явствует из теор. XII). Если же один [из добавляемых] будет сообщающимся с тем тождественным, к которому добавляются тот и другой, а другой не будет, то несообщающийся будет в сообщающемся. Наконец, если они оба будут сообщающимися с тем, к которому добавляются, они будут как минимум сообщаться между собой (хотя, с другой стороны, отсюда не следует, что те [термины], которые сообщаются с одним и тем же третьим, сообщаются между собой). В обозначениях: А + В оо оо А + Л'. Если А и В — несообщающиеся, а также А и N — несообщающиеся, то В оо N. Если А и В — сообщающиеся, тогда как A u N — несообщающиеся, то N будет в В. Наконец, если В сообщается с А и N также сообщается с А, то В и. N будут как минимум сообщаться между собой.

К оглавлению

==640

00.htm - glava52

опыт АБСТРАКТНЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Определение 1. Тождественные, или совпадающие, [термины Г суть те, каждый из которых можно всюду подставить вместо другого с сохранением истинности. Например треугольник» и «трехсторонник», ибо во всех предложениях доказываемых Евклидом относительно треугольна можно с сохранением истинности вместо термина «треугольник» подставлять «трехсторонник», и обратно.

Х<-А оо В означает, что А и В тождественны. Так мы сказали бы о прямой XY и прямой УХ : YX оо XY, т. е. сказали бы, что кратчайшие пути движения от Х к Y и от Y к

Опрнеделение 2. Различные термины суть те, которые не тождественны или в которых подстановка иногда неосуществима. Таковы «круг» и «треугольник» или же квадрат с виду правильный, ибо так его всегда представляют геометры и «разносторонний четырехугольник», так как не все то, что можно сказать о ромбе, можно сказать о квадрате.

Х

А не оо В означает, что А и tf д__у__^__х

являются различными, как, например прямые XY и RS^ то и В оо А. Если что-

..Яг;^^^^^^^^ — г г06 г"

тождественно. Ибо так как А оо В (по условию), то ^с^Гонр 1 " утверждении А оо В (истинном по условию подставлять В вместо А и А вместо В. Следовательно, будем иметь в, то и В не оо А. Если ^П^Z^oA^^^^^^^^ то " - ^ будет

"Тн^че0^^'иметь: В оо Л. Следовательно (в силу док^ого^е),^-^^^^^^^^

roSU=\^^^^. тождеств ^

==641

другу. Ибо если в утверждении А оо В (истинном, по условию) С будет подставлено вместо В (в силу опр. 1, так как В оо С}, то получится истинное предложение.

Королларий. Если А оо В, и В оо С, и С оо D, то А оо D, и так далее. Ибо А оо В оо С, следовательно, А оо С (согласно доказанному предложению). И опять же А оо С оо D, а значит (согласно доказанному), А оо D.

Отсюда, если равными считать тождественные по величине, следует, что [ величины ], равные одной и той же третьей, равны между собой. Евклид при построении равностороннего треугольника берет каждую из сторон равной основанию, откуда следует, что они равны между собой. Если что-либо движется по кругу, достаточно показать, что пути, [проходимые какой-либо точкой] за два ближайших периода, или оборота, всегда совпадают, чтобы заключить о том, что совпадают пути для любых периодов.

Предложение 4. Если А оо В и В не оо С, то и А не оо С. Если из двух {терминов}, которые тождественны друг другу, один отличен от третьего, то и другой будет. отличен от него же. Ибо если в предложении В не оо С (истинном, по условию) подставить А вместо В, то будет истинным (в силу опр. 1, так как А оо В) и предложение А не оо С.

Определение 3. «А находится в L» или «Z- содержит А» есть то же самое, что «Множество вместе взятых [терминов],; среди которых есть 4, полагается совпадающим с L».

Определение 4. Все термины, в которых содержится все содержащееся в L, вместе называются компонентами данного скомпонованного, или составленного, L.

В © N оо L означает, что В есть в L, или что L содержит В, и что В и N вместе составляют, или скомпоновывают, L. Аналогично в случае многих [терминов].

Определение 5. Субальтернантами я называю те [термины], один из которых содержится в другом, такие, как А и В, если либо В содержится в А, либо А содержится в В.

Определение 6. Раздельные [термины] — те, ни один из которых не содержится в другом.

Аксиома l.B QN oo N Q B , т..e. данная транспозиция ничего не меняет.

Постулат 1. Для любого данного [термина] можно найти от него отличный и, если угодно, раздельный, т. е. такой, что один в другом не содержится.

==642

Постулат 2. Любое множество [терминов], таких, жак А, В, могут быть взяты вместе для составления одного [термина] А @ В, или L.

Аксиома 2. А © А оо А. Если ничего нового не добавляется, то ничего нового и не получается; т. е. подобнее совторение ничего не меняет. (Ибо хотя 4 монеты и другие 4 монеты дадут 8 монет, но совсем другое дело — 4 монеты и те же самые 4 монеты, пересчитанные еще раз.)

Предложение 5. Если А есть в В и А оо С, то и С есть в В. Совпадающее с содержащимся. есть содержащееся. Ибо из предложения «Л есть в В» (истинного, по условию) подстановкой С вместо А (в силу опр. 1 совпадающих, так как А оо С, по условию) получим: С есть в В.

Предложение 6. Если С есть в В и А оо В, то и С бу/дет. в А. Что содержится в одном из совпадающих, то содержится и в другом. Ибо из предложения «С есть в В» подстановкой А вместо С (так как А оо С} получим: А есть» в В (обращение предыдущего предложения) 1.

Предложение 7, А есть в А. Одно и то же содержится в себе самом. Ибо А есть в А @ А (в силу определения «содержащегося», т. е. опр. 3) и А @ А оо А (в силу акс. 2). Следовательно (в силу предл. 6), А есть в А.

Предложение 8. А есть в В, если А оо В. Одно из совпадающих содержится в другом. Это явствует из предыдущего. Ибо А есть в А (в силу доказанного выше), т. е.. (по условию) в В.

Предложение 9. Если А оо В, то А @ С оо В Q) С. Если к тождественным [терминам] добавляются совпадающие, получаются совпадающие. Ибо, если в предложении А (+) С оо А @ С (истинном само собой) вместо А в одном случае подставить В (по опр. 1), получатся; А @ С оо В <Э С.

А©С

А—треугольник 1 .В—трехсторонний f А @С —треугольник равносторонний В @С — трехсторонник

равносторонний

совпадают

совпадают

/

•^ ^— \ \ .^ "^

\

-^————)-

У^-У

==643

Схолия. Данное предложение не допускает обращения, и тем более — два нижеследующих; ниже (в проблеме, которая излагается в предл. 23) будет указан способ подтверждения этого.

Предложение 10. Если А оо L и ВссМ, то А @ В оо оо L @ М. Если к совпадающим добавляются совпадающие, получаются совпадающие. Ибо так как В оо М, то (в силу предшеств. предл.) А @ В оо А @ М, и подстановкой L вместо последнего А (поскольку А оо L, по

__ условию) получим: А@Воо ^Г©ЕГ""\ ooL@M.

\

\ /^Л

^——-^ Л——7/

У м/

/

А — треугольник и L — трехсторонник совпадают; L©M

В — правильный и М — наиболее емкий из изопериметрических, имеющих равное число сторон многосторонннков„ совпадают. Правильный треугольник и наиболее емкий из изопериметрических трехсторонников совпадают.

Схолия. Это предложение не допускает обращения. Ведь если было 6ыА@ВооЬ@МиАооЬ, отсюда еще не следовало бы, что и В оо М. Тем более не допускает обращения следующее предложение.

Предложение 11. Если А оо L, В оо М и С оо N, то А © В @ С оо L @ М @ N. И так далее. Если предполагается сколь угодно много {терминов} и столько же других [терминов}, соответственно совпадающих с ними один к одному, то составленное из первых совпадает с составленным из последних. Ибо (в силу предшеств., так как А оо L и В оо М) имеем: А @ В оо L @ М. Откуда, поскольку С оо N, получим (также в силу предшеств.): A Q) В @ С оо оо L © М @ N.

Предложение 12. Если В есть в L, то А @ В будет в А @ L. Если одно и то же добавляется к содержимому и содержащему, полученное из первого содержится в полученном из второго. Ибо пусть L оо В @ N (по определению'. «содержащегося»); тогда А @ В есть в В @ N @ А (в силу того же), т. е. в L @ А.

В — равносторонний, L — правильный, А — четырехсторонник. «Равносторонний» содержится в «правильном»,; т. е. свойствен «правильному». Следовательно, «равносторонний четырехсторонник» содержится в «правильном

==644

А©1_ А©В

\

\

\

четырехстороннике», т. е. в «совершенном квадрате». YS есть в RX. Следовательно, RT © YS, т. е. RS, есть в RT @ RX, или в RX.

Х2, "А \. В

/

Схолия. Это предложение не допускает обращения, R^— ибо, если даже А @ В есть \ в А @ L, отсюда не следует, что В есть в L.

Предложение 13. Если L @ В оо L, то В будет в L.

Если что-либо с добавлением другого не становится другим, то добавленное в нем содержится. Ибо В есть в L @ В (по определению «содержащегося») и L @ В оо L (по условию); следовательно (в силу предл. 6), В есть в L. RY@RXooRX, следовательно, RY входит в RX. . ^-— •~^'-~ -^ RY входит в RX, следова- .^ ~^\ тельно ,RY @RX оо RX. / \ Пусть L — параллело- ^______у______\

^•7 в'

/

грамм (любая сторона которого параллельна некоторой другой стороне), B©L

В — четырехсторонний. «Четырехсторонний параллелограмм» есть то же самое, что и «параллелограмм». Следовательно, «быть четырехсторонним» содержится в [понятии] «параллелограмм».

И обратно: «быть четырехсторонним» содержится в [понятии] «параллелограмм». Следовательно, «четырехсторонний параллелограмм» есть то же самое, что и «параллелограмм».

Предложение 14. Если В есть в L, то L @ В оо L. Субалътернанты ничего нового не компонуют, т. е. если что-либо содержится в другом, то, добавленное к этому другому, оно не дает ничего от него отличного. Обращение предыдущего предложения. Если В есть в L, то (по определению «содержащегося») L оо В @ Р. Следовательно (в силу предл. 9), L @ В оо В @ Р @ В, т. е. (в силу акс. 2) оо В Qj Р, что (по условию) оо L.

Предложение 15. Если А есть в В и В есть в С, то и А есть в С. Содержимое содержимого есть содержимое содержащего. Ибо А есть в В (по условию), следовательно,

==645

А © L оо В (по определению «содержащегося»). Подобным образом так как В есть в С, то В @ М оо С. Подстановкой в данном утверждении А @ L вместо В (они, как мы показали, совпадают) получим: А @ L @ М оо С. Следовательно (по определению «содержащегося»), А есть в С.

RT есть в RS, и RS - в RX, У____т————s————х следовательно, -ЙГ есть в RX. V^^/д / * Л—четырехсторонник, В— •^ -/ / параллелограмм, С—прямоугольник.

«Быть четырехсторонником» содержится в понятии параллелограмма, и «быть параллелограммом» содержится в понятии прямоугольника (т. е. фигуры, все углы которой прямые). Следовательно, «быть четырехсторонником» содержится в [понятии] «прямоугольник». Если же вместо понятий, которые рассматриваются сами по себе, мы берем индивидуумы, охватываемые данным понятием, то указанные выше [понятия] допускают инверсию, и можно считать А прямоугольником, В — параллелограммом, С — четырехсторонником 2. Ибо все прямоугольники находятся в числе параллелограммов, а все параллелограммы — в числе четырехсторонников. Следовательно, и все прямоугольники содержатся среди четырехсторонников. Таким же образом все люди содержатся в [числе] всех животных и все животные — в числе всех телесных субстанций; следовательно, и все люди содержатся в [числе] телесных субстанций. С другой стороны, наоборот, понятие телесной субстанции содержится в понятии животного и понятие животного — в понятии человека. Ведь «быть человеком» содержит в себе «быть животным».

Схолия. Указанное предложение не допускает обращения, и тем более — следующее.

Королларий. Если А @ N есть в В, то и N есть в В. Ибо N есть в А @ N (по определению «содержащегося»).

Предложение 16. Если А есть в В, и В есть в С, и С есть в D, то и А есть в D. И так далее. Содержимое содержащего, взятого из содержимого, есть содержимое содержащего. Ибо если А есть в В и В есть в С, то и А есть в С (в силу предшеств.). Откуда если С есть в D, то (опять же в силу предшеств.) и А будет в D.

Предложение 17. Если А есть в В и В есть в А, то А оо В. Те [термины]^ которые взаимно содержатся один

==646

в другом, совпадают. Ибо если А есть BB,voA@NooB (по определению «содержащегося»). Далее, В есть в А <по условию); следовательно, А @ N есть в Л (в силу предл. 5). Поэтому (в силу короллария к предл. 15) и N есть в А. Следовательно, так же (в силу предл. 14) А оо оо А а) N, или А оо В. RT, N; RS, A; SR©RT,B.

«Быть трехсторонником» содержится в [понятии] «треугольник», а «быть треугольником» содержится в [понятии] «трехсторонник». Следовательно, «треугольник» и «трехсторонник» совпадают.

Так же «быть всезнающим» совпадает с «быть всемогущим».

/ - ^ „; Y 8 Т \

v^

Предложение 18. Если А есть в L и В есть в L, то и А @ В будет в L. То, что составлено из двух [терминов]^ содержащихся в одном и том же, также содержится в нем. Ибо, так как А есть в L (по условию), можно положить А @ М оо L (по определению «содержащегося»). Подобным образом, так как В есть в L, можно положить В © @ N оо L. Объединением указанных [положений] получим (в силу предл. 10) А ф М @ В @ N оо L @ L. Следовательно (в силу акс. 2), А @ М @ В © N оо L. Поэтому (по определению «содержащегося») А @ В есть в L. RYS есть в RX. ——-—.^

YST есть в RX.

Следовательно, RT есть в RX.

А©В

А —равноугольный, В — равносторонний, А @ В — равноугольный равносторонний, или правильный, L — квадрат. «Равноугольный» содержится в «квадрате». «Равносторонний» содержится в «квадрате». Следовательно, «правильный» содержится в «квадрате».

Предложение 19. Если А есть в L, и В есть в L, и С есть в L, то А @ В @ С будет в L. И так далее. Г. е. вообще, в чем содержатся отдельные [термины], в том содержится и составленное из них. Ибо А ф В будет в L (в силу предшеств.). Кроме того, и С есть в L (по усло-

==647

вию). Следовательно (опять же в силу предшеств.), А @ © В ф С есть в L.

Схолия. Очевидно, что указанные два предложения и им подобные допускают обращение. Ибо если А @ В оо со L3, то ясно, что, по определению «содержащихся», А есть в L и В есть в L. Так же, если А @ В ^р С оо L, ясно, что А есть в L, В есть в L и С есть в L. Равным образом, что А @ В есть в L, А @ С есть в L и В Q С есть в L. II так далее.

Предложение 20. Если А есть в М и В есть в N, то Л @ В будет в М @ N. Если предшествующий [термин] содержится в последующем и другой предшествующий — а другом последующем., то составленное из двух предшествующих содержится в составленном из двух последующих. Ибо А есть в М (по условию) и М есть в М @ N (по определению «содержащегося»). Следовательно (в силу предл. 15), А есть в М @ N. Подобным образом поскольку В есть в N, а N есть в М @ N, то 5 будет в М @ N. Дачее, если А есть в М Q N и В есть в М © TV, то (в силу дредл. 18) и А Q) В будет в М (-^> N.

RT есть в RY, и ST есть

m©n в SX. Следовательно, RT (j^ @ st,t. e. HY, есть в RY © © SY, т. e. есть в RY 4.

--".

Пусть А будет четырехсторонний, В—равноугольный,, А @ В — прямоугольный. Пусть М будет параллелограммом, N — правильным, а М @ N — квадратом. Тогда «четырехсторонний» содержится в «параллелограмме», а «равноугольный» содержится в «правильном». Следовательно, «прямоугольный» (т. e. «четырехсторонний равноугольный») содержится в «правильном параллелограмме», или «квадрате».

Схолия. Это предложение не допускает обращения. II пусть даже А будет в М, а также А @ В в М © N, отсюда вовсе не следует, что В есть в N, ибо может случиться, что как А, так и В будут в М или же что нечто такое, что будет в В, будет в М, а остальное — в N. По той же причине тем более не допускает обращения следующее и подобные ему предложения.

Предложение 21. Если А есть в М^ и В есть в N, и С

==648