Часть 14.

На второй ступени, не ставя под вопрос общую возможность выведения будущего из настоящего, мы сознаем, что такие выводы должны подчиняться определенным гарантиям, таким, например, как гарантии четырех методов Милля. Мы сознаем, также, что индукции, даже когда они осуществляются в соответствии с наилучшими правилами, не всегда подтверждаются. Но я думаю, что наши действия все же могут быть включены в сферу теории конечной частоты. Мы осуществили в прошлом какое-то количество индукций, одних более, других менее тщательно. Из осуществленных в соответствии с определенной процедурой пропорция P до сих пор подтверждалась; следовательно, эта процедура до сего времени сообщала вероятность p тем индукциям, которые ома санкционировала. Научный метод в значительной мере состоит из правил, посредством которых p (испытанное прошлыми результатами прошлых индукций) может быть больше приближено к 1. Все это находится все еще в пределах теории конечной частоты, но теперь уже только индукции являются единственными членами в нашей оценке частоты.

Это значит, что мы имеет два класса A и B, из которых A состоит из индукций, которые были осуществлены в соответствии с определенными правилами, а В состоит из индукций, которые до сего времени подтверждались опытом. Если n есть число членов A, а m есть число членов, общих для A и B, тогда m/n есть шанс, что индукция, осуществленная в соответствии с вышеупомянутыми правилами, приведет в настоящее время к результатам, которые оказались бы истинными, если бы могли быть проверены.

Говоря это, мы не пользуемся индукцией; мы просто описываем черты естественного порядка вещей, поскольку его наблюдали. Мы, однако, нашли критерий высокого качества (до сего времени) всякого предлагаемого правила научной процедуры и нашли его в пределах конечной частоты. Единственно новое есть то, что наши единицы теперь являются не единичными событиями, а индукциями. Индукции трактуются как события, и только те из них, которые действительно имели место, должны рассматриваться, как члены нашего класса.

Но как только мы начинаем доказывать или то, что какая-либо отдельная индукция, которая к настоящему времени подтвердилась, будет или вероятно будет подтверждена в будущем, или то, что правила процедуры, дававшие до сих пор большую пропорцию индукций, которые к настоящему времени были подтверждены, способны давать большую пропорцию подтвержденных индукций в будущем, мы выходим за пределы теории конечной частоты, поскольку мы здесь имеем дело с классами, члены которых неизвестны. Математическая теория вероятности, как и вся чистая математика, хотя и дает знание, не даст (по крайней мере в одном весьма важном смысле) чего-либо нового; индукция же, напротив, определенно дает что-то новое, и сомнение касается только того, является ли то, что она дает, знанием.

Я пока не хочу исследовать индукцию критически, я хочу только выяснить, что она не может быть введена в сферу теории конечной частоты, даже если мы будем рассматривать отдельную индукцию как одну из класса индукций, поскольку проверенные индукции могут давать только индуктивное свидетельство в пользу еще не проверенной индукции. Если затем мы скажем, что принцип, оправдывающий индукцию, является "вероятным", то мы должны употреблять слово "вероятный" в ином смысле, чем оно употребляется в теории конечной частоты; этот смысл должен - как я сказал бы - быть тем, что мы называли "степенью правдоподобия".

Я склонен думать, что если признать индукцию или любой другой постулат, который мы решим поставить вместо нее, то все точные и измеримые вероятности могут быть интерпретированы как конечные частоты. Допустим, что я, например, говорю, что "имеется высокая степень вероятности, что Зороастр существовал". Чтобы обосновать это утверждение, я должен буду рассмотреть сначала, каковы относящиеся к этому вопросу свидетельства, а затем поискать подобные свидетельства, о которых известно, что они правдивы или неверны. Класс, от которого зависит вероятность, не является классом пророков существующих и несуществующих, ибо, включая несуществующих, мы делаем этот класс до некоторой степени неопределенным; не может этот класс быть также классом только существующих пророков, поскольку исходным вопросом как раз и является вопрос, принадлежит ли Зороастр к этому классу. Мы должны будем рассуждать следующим образом: в случае вопроса о Зороастре имеется свидетельство, принадлежащее к определенному классу А; мы находим что из всех свидетельств, которые принадлежат к этому классу и которые могут быть проверены, отношение p оказывается правдивым свидетельством; мы, следовательно, может сделать индуктивный вывод, что есть вероятность p в пользу подобных свидетельств в случае Зороастра. Таким образом, частота плюс индукция оказываются достаточными для этого использования вероятности.

Или допустим, что, подобно епископу Батлеру, мы говорим:

"Вероятно, что вселенная является результатом замысла Создателя" Здесь мы начинаем с таких вспомогательных аргументов, как аргумент, что создание часов предполагает часового мастера. Имеется множество образцов часов, о которых известно, что они сделаны часовыми мастерами, и нет ни одних часов, о которых было бы известно, что они сделаны не часовым мастером. В Китае существует вид мрамора, который иногда чисто случайно производит впечатление картины, созданной художником; я видел поразительные примеры этого.

Но это бывает так редко, что, когда мы видим картину, мы бываем правы (допуская индукцию), делая с очень высокой степенью вероятности вывод о создавшем ее художнике. Епископу-логику остается - как он и подчеркивает это заглавием своей книги - доказать эту аналогию. Это может считаться сомнительным делом, но, конечно, не может быть подведено под математическую вероятность.

Пока, следовательно, может казаться, что сомнительность и математическая вероятность - последняя в смысле конечной частоты - являются единственными понятиями, необходимыми в добавление к законам природы и правилам логики. Это заключение, однако, является только предварительным. Нельзя сказать ничего окончательного, пока мы не рассмотрим некоторые другие предложенные определения "вероятности".

ГЛАВА 4.

ТЕОРИЯ ЧАСТОТЫ МИЗЕСА-РЕЙХЕНБАХА.

Частотная интерпретация вероятности в форме, отличающейся от интерпретации, данной в предшествующей главе, была развита в двух имеющих большое значение книгах германских профессоров, которые жили тогда в Константинополе.

Труд Рейхенбаха является развитием труда Мизеса и в различных отношениях лучшей формулировкой той же самой теории. Я поэтому ограничусь рассмотрением теории Рейхенбаха.

Изложив аксиомы исчисления вероятности, Рейхенбах предлагает далее интерпретацию, которая, по-видимому, внушена статистическими корреляциями. Он исходит из допущения двух последовательностей (x1, х2, ... , xn...), (y1, y2, .... Уn...) и двух классов О и p. Некоторые или все х принадлежат к классу O; его интересует вопрос: как часто соответствующие у принадлежат к классу P?

Допустим, например, что вы исследуете вопрос, предрасположен ли мужчина к самоубийству вследствие того, что он имеет сварливую жену. В этом случае x обозначает жен, а у - мужей, класс О состоит из сварливых женщин, а класс p - из самоубийц. Тогда при том, что жена принадлежит к классу О, наш вопрос заключается в следующем: как часто ее муж принадлежит к классу p?

Рассмотрим отрезки двух последовательностей, состоящие из первых n членов каждой последовательности. Допустим, что среди первых n членов х имеется a членов, принадлежащих к классу О, и допустим, что из них имеется b членов, таких, что соответствуют у и принадлежат к классу p; соответствующий у есть член с тем же самым индексом. Тогда мы говорим, что во всем отрезке от х1 до Xn "относительная частота" О и P есть b/а. Если все х принадлежат к классу О, то а=n и относительная частота есть b/n. Обозначим эту относительную частоту выражением "Hn (О, p)".

Теперь перейдем к определению "вероятности p при данном О", которую мы обозначим как "W(0, p)". Определение следующее: W (О, p) есть предел Нn(0, p), по мере того как n неограниченно увеличивается.

Это определение может быть значительно упрощено с помощью небольшого использования математической логики. Во-первых, нет необходимости иметь две последовательности, так как предполагается, что обе являются рядами (progressions) и имеется, следовательно, взаимно-однозначное соответствие их членов. Если это соответствие есть S, то сказать, что определенный член у принадлежит к классу p, равнозначно тому, что сказать, что соответствующий х принадлежит к классу членов, имеющих отношение S к тому или другому из членов P. Например, пусть S есть отношение жены к мужу, тогда если у есть женатый мужчина, ax - его жена, то утверждение, что у есть правительственный чиновник, является истинным, и только в том случае, если х есть жена правительственного чиновника.

Во-вторых, нет никакого преимущества в принятии случая, в котором не все х принадлежат к классу О. Определение применимо только в том случае, если бесконечное число членов х принадлежит к классу О, в этом случае те х, которые принадлежат к О, образуют ряд, а остальные могут быть отброшены. Таким образом, мы удержим все существенное в определении Рейхенбаха, если подставим следующее.

Пусть О будет рядом, а a каким-либо классом, из числа членов которого в важных случаях имеются члены, которые в последовательности О являются последующими за любым данным членом. Пусть m будет число членов а среди первых n членов О. Тогда W(О, а) определяется как предел m/n, когда n неограниченно возрастает.

Возможно, по недосмотру Рейхенбах говорит, как если бы понятие вероятности было применимо только к бесконечным рядам и не было применимо к конечным класса. Я не могу думать, что он имел это в виду. Человеческая раса, например, есть конечный класс, и мы хотим применить вероятность к статистике жизни, что было бы невозможно согласно букве определения. Психологически, когда Рейхенбах говорит о пределе для n-бесконечности, он думает о предел как некотором числе, к которому легко приблизиться всякий раз, когда n с эмпирической точки зрения является большим, то есть когда оно недалеко от того максимума, который наши средства наблюдения позволяют нам достичь. У него есть аксиома или постулат о том, что, когда есть такое число для каждого большого доступного наблюдению n, оно приблизительно равно пределу для n-бесконечности. Это нелепая аксиома не только потому, что она произвольна, но и потому, что большинство рядов, с которыми нам приходится иметь дело вне чистой математики не являются бесконечными; в самом деле, можно сомневаться, являются ли таковыми какие-либо из них. Мы привыкли считать пространство-время непрерывным, что предполагает существование бесконечных рядов; но это предположение не имеет иного основания, кроме математического удобства.

Для того чтобы сделать теорию Рейхенбаха насколько возможно более адекватной, я буду исходить из того, что там, где речь идет о конечных классах, должно быть сохранено определение, данное в предшествующей главе, и что новое определение имеет целью только расширение, позволяющее нам применять вероятность к бесконечным классам. Таким образом, его Нn(0, p) будет вероятностью, но приложимой только к первым n членам ряда.

То, что Рейхенбах постулирует в качестве своей формы индукции, есть нечто вроде следующего. Допустим, что мы сделали N наблюдений в отношении корреляции О и p, так что мы в состоянии вычислить Нn (О, p) для всех значений n до n=N, и допустим, что во всей последней половине значений n вероятность Hn(О, p) всегда отличается от определенной дроби p меньше, чем на е, где e - мало. Тогда мы утверждаем, что, сколько бы мы ни увеличивали n, вероятность Нn(0, p) будет все-таки находиться в этих узких границах, и, следовательно, W (О, p), являющееся пределом для n-бесконечности, будет также лежать в этих границах. Без этого допущения мы не можем иметь эмпирического свидетельства в отношении предела для n-бесконечности, и вероятности, для которых, определение специально предназначено, должны оставаться неизвестными.

В защиту теории Рейхенбаха перед лицом вышеупомянутых затруднений можно высказать два соображения. Во-первых, он может утверждать, что нет необходимости предполагать, что n беспредельно стремится к бесконечности; для всех практических целей достаточно, если n будет очень большим. Допустим, например, что мы занимаемся статистикой жизни. Для страховой компании не имеет значения, что произойдет со статистикой, если она будет продолжена на следующие десять тысяч лет; ее могут касаться самое большее следующие сто лет. Если, собрав статистические данные, мы предполагаем, что частоты останутся приблизительно теми же самыми даже тогда, когда мы соберем в десять раз больше данных, чем мы собрали, то этого будет достаточно почти для всех практических целей. Рейхенбах может сказать, что, когда он говорит о бесконечности, он пользуется удобной математической стенографией, имея в виду только "гораздо больше, чем мы до сих пор исследовали". Он может сказать, что этот случай совершенно аналогичен случаю эмпирического определения скорости. Теоретически скорость может быть определена только, если нет предела малости измеряемых отрезков пространства и времени; в практике, поскольку такой предел имеется, мгновенная скорость никогда не может быть известна даже приблизительно. Правда, мы можем узнать с достаточно большой точностью среднюю скорость на протяжении короткого промежутка времени. Но даже если мы предположим постулат непрерывности, средняя скорость на протяжении, скажем, секунды не дает абсолютно никакого указания на мгновенную скорость в данный момент в интервале этой секунды. Все движение может состоять из периодов покоя, разделенных моментами бесконечно большой скорости. Но даже и помимо этой крайней гипотезы и даже если мы допустим непрерывность в математическом смысле, любая конечная мгновенная скорость несовместима с какой-либо конечной средней скоростью на протяжении конечного интервала времени - как бы он короток ни был, - содержащего этот момент. Для практических целей, однако, это не имеет значения. За исключением таких немногих явлений, как взрывы, если мы принимаем мгновенную скорость в любой момент на протяжении очень короткого измеримого интервала времени как приблизительно среднюю скорость в течение этого интервала, то законы физики оправдываются. "Мгновенная скорость" поэтому может рассматриваться не иначе, как удобная математическая фикция.

Подобным же образом Рейхенбах может сказать, когда он говорит о пределе частоты, когда n бесконечно, что он имеет в виду только актуальную частоту для очень больших чисел, или, скорее, эту частоту с небольшим запасом ошибки. Бесконечное и бесконечно малое одинаково ненаблюдаем и, следовательно (как он может сказать), одинаково не имеют значения для эмпирического знания.

Я склонен признать справедливость этого ответа. Я только сожалею, что это не выражено явно в книге Рейхенбаха; я думаю тем не менее, что он должен был это иметь в виду.

Второе соображение в пользу его теории - то, что она применима как раз к тем случаям, в которых мы хотим воспользоваться аргументами вероятности. Мы испытываем желание воспользоваться этими аргументами, когда имеем некоторые данные, касающиеся определенного будущего события, но которых недостаточно, чтобы определить его характер в некотором интересующем нас отношении. Моя смерть, например, является событием будущего, и если я страхую свою жизнь, то я могу испытывать желание узнать, какое существует свидетельство, касающееся вероятности его осуществления в том или ином данном году. В таком случае мы всегда имеем некоторое число индивидуальных фактов, записанных в виде последовательности, и предполагаем, что частоты, обнаруженные до сих пор, будут более или менее продолжать оставаться такими же. Или возьмем азартную игру, в которой и возник весь этот вопрос. Мы не интересуемся тем простым фактом, что имеется 36 возможных результатов бросаний с двумя костями. Мы интересуемся тем фактом (если это факт), что на протяжении длинной последовательности бросаний каждая из 36 возможностей будет осуществляться приблизительно одинаковое число раз. Этот факт не вытекает из одного лишь существования 36 возможностей. Когда вы встречаете незнакомого человека, есть только две возможности: одна та, что его зовут Эбинизер Уилкс Смит, другая - что его зовут не так. Но на протяжении долгой жизни, в течение которой я встретил множество незнакомых людей, я только один раз столкнулся с реализацией первой возможности. Чисто математическая теория, которая только перечисляет возможные случаи, лишена практического интереса, если мы не знаем, что каждый возможный случай осуществляется приблизительно с одинаковой или с какой-то известной частотой. А это, если мы рассматриваем не логическую схему, а события, может быть известным только через действительную статистику, использование которой - как я сказал бы - должно идти более или менее в соответствии с теорией Рейхенбаха.

И этот аргумент я принимаю предварительно; он будет исследован заново, когда мы придем к рассмотрению индукции.

Есть совершенно другого рода возражение против теории Рейхенбаха в его собственной формулировке, и это возражение относится к ее введению последовательностей там, где, по-видимому, только классы логически значимы. Возьмем пример: каков шанс, что выбранное наудачу целое число окажется простым? Если мы возьмем целые числа в порядке их следования в натуральном ряде, то шанс, в соответствии с его определением, равен нулю; так как если n есть целое число, то число простых чисел, меньших или равных n, есть приблизительно n /(In n), если n - большое, так что шанс, что целое число, меньшее, чем n, будет простым числом, стремится к n /(In n), а предел 1/(1п n), поскольку n безгранично увеличивается, равен нулю. Но теперь допустим, что мы расставим целые числа в следующем порядке: поставим сначала первые 9 простых чисел, затем первое число, не являющееся простым, затем 9 простых, а затем второе число, не являющееся простым, и так далее до бесконечности. Когда целые числа расставлены в этом порядке, определение Рейхенбаха показывает, что шанс того, что выбранное наудачу число будет простым, равен 9/10. Мы могли бы даже расставить целые числа так, чтобы шанс того, что выбранное число не будет простым, стал равен нулю. Чтобы получить этот результат, начнем с первого непростого числа, то есть с 4, и поставим после n-го числа, не являющегося простым, n простых чисел, следующих после уже поставленных; эта последовательность начинается следующим образом: 4, 1, 6, 2, 3, 8, 5, 7, 11, 9, 13, 17, 19, 23, 10, 29, 31, 37, 41, 43, 12... В этой расстановке перед (n +1)-м непростым будет n непростых и 1/2n (n +1) простых; таким образом, по мере того как n возрастает, отношение числа непростых к числу простых приближается к 0 как пределу.

Из этого примера ясно, что если принять определение Рейхенбаха, то при данном любом классе А, имеющем столько же членов, сколько есть натуральных чисел, и при данном любом бесконечном подклассе В шанс, что выбранное наудачу А будет В, равен любому числу между 0 и 1 (включая и то и другое) в соответствии со способом, который мы избираем для распределения членов В среди А.

Из этого следует, что если вероятность должна применяться к бесконечным совокупностям, она должна применяться не к классам, а к последовательностям. Это кажется странным.

Правда, там, где в деле участвуют эмпирические данные, они все даются во временном порядке и, следовательно, в виде последовательности. Если мы избираем предположение о возможности бесконечного числа событий исследуемого нами вида, тогда мы можем также заключить, что наше определение вероятности является применимым только до тех пор, пока события располагаются во временной последовательности. Но вне чистой математики ни одна последовательность нам неизвестна как бесконечная, а большинство, насколько мы можем судить, является конечными. Каков шанс, что человек шестидесятилетнего возраста умрет от рака? Конечно, мы можем определить этот шанс и без допущения, что число людей, которые до конца мира умрут от рака, бесконечно. Но, согласно букве определения Рейхенбаха, определить это было бы невозможно.

Если вероятности зависят от того, что события берутся в их временном, а не в каком-либо другом порядке, в каком их можно расположить, то вероятность не может быть ветвью логики, а должна быть частью изучения природы. Взгляд Рейхенбаха не таков; он считает, напротив, что всякая истинная логика есть логика вероятности и что классическая логика ошибочна, потому что она делит предложения по признаку их истинности или ложности, а не по признаку обладания той или иной степенью вероятности. Он должен был бы поэтому сформулировать основные положения теории вероятности в абстрактных логических терминах, не вводя в них такие случайные признаки действительного мира, как время.

Имеется очень большая трудность в соединении статистического взгляда на вероятность со взглядом, которого также придерживается Рейхенбах и который состоит в том, что все предложения обладают только различными степенями вероятности, не достигающими достоверности. Трудность заключается в том, что тем самым мы, по-видимому, осуждены на бесконечный регресс. Допустим, что мы говорим о вероятности того, что человек, заболевший чумой, умрет от нее. Это значит, что если бы мы могли составить полную последовательность людей, которые с древнейших времен и до исчезновения человеческой расы болели и будут болеть чумой, то мы установили бы, что больше половины из них умерли и умрут от нее. Поскольку в отношении будущего и значительной части прошедшего регистрации нет, постольку мы считаем, что зарегистрированные случаи служат хорошим образчиком. Но теперь мы должны вспомнить, что все наше знание только вероятно; следовательно, если, собрав наши статистические данные, мы найдем, что А болел чумой и умер от нее, то мы должны рассматривать этот случай не как достоверный, а только как вероятный. Чтобы узнать, насколько он вероятен, мы должны включить его в последовательность, скажем, официальную регистрацию смертей, и должны найти какой-либо способ удостовериться, какое отношение регистрации смертей является правильным. При этом какой-нибудь отдельный пункт в нашей статистике окажется, например, следующим: "Было официально удостоверено, что мистер Браун умер, но потом оказалось, что он все же живой". Но и этот пункт в свою очередь должен быть только вероятным и должен, следовательно, входить в последовательность зарегистрированных официальных ошибок, некоторые из которых окажутся не ошибками. Это значит, что мы должны собрать случаи, когда мы ошибочно верили, что лицо, зарегистрированное как умершее, оказалось все-таки живым. Этому процессу не может быть конца, если все наше знание только вероятно, а вероятность имеет только статистический характер. Если мы хотим избежать бесконечного регресса, а все наше знание является только вероятным, то "вероятность" должна интерпретироваться как "степень правдоподобия" и должна определяться не статистически, а как-либо иначе. Статистическая вероятность может определяться только на основе действительной или постулируемой достоверности.

Я вернусь в Рейхенбаху в связи с индукцией. А сейчас я хочу разъяснить мой собственный взгляд в отношении связи математической вероятности с естественным ходом вещей в природе. Возьмем в качестве примера закон больших чисел Бернулли, выбрав самый простой из возможных случаев. Мы видели, что если мы соберем все возможные целые числа, состоящие из n знаков, каждое из которых будет или 1, или 2, то, если n является большим - скажем, не меньшим, чем 1000,- огромное большинство возможных целых чисел будет иметь приблизительно одинаковое число единиц и двоек. Это есть только применение того факта, что при разложении бинома (х + у)n, когда n - большое, сумма биноминальных коэффициентов около середины будет мало отличаться от суммы всех коэффициентов, каковая равна 2n. Но какое это имеет отношение к утверждению, что если я буду достаточно много раз бросать монету, то я, вероятно, получу приблизительно одинаковое число выпадений лицевой и оборотной сторон? Первое есть логический факт, второе, очевидно, является эмпирическим фактом; какова же связь между ними?

При некоторых интерпретациях "вероятности" утверждение, содержащее слово "вероятный", никогда не может быть эмпирическим утверждением. Признается, что то, что не является вероятным, может произойти, а то, что считается вероятным, может не произойти. Из этого следует, что то, что на самом деле происходит, не показывает, что прежнее суждение о вероятности было или правильным, или ложным; любой воображаемый ход событий логически совместим с любой предшествующей оценкой вероятности, какую только можно вообразить. Это можно отрицать только в том случае, если мы будем считать, что то, что в высокой степени невероятно, не происходит, чего мы не имеем права думать. В частности, если индукция утверждает только вероятности, тогда все то, что может произойти, логически совместимо как с истинностью, так и с ложностью индукции. Следовательно, индуктивный принцип не имеет эмпирического содержания. Это есть reductio ad absurdum и показывает, что мы должны связывать вероятное с действительным теснее, чем это иногда делается.

Если мы согласимся с теорией конечной частоты - а я пока не вижу оснований не соглашаться с ней,- то скажем, что, утверждая вероятность суждения "о есть А "при том, что "а есть B", мы имеем в виду, что действительно большинство членов B является членами А Это есть утверждение факта, а не утверждение об a. И если я скажу, что индуктивный аргумент (соответствующим образом сформулированный и ограниченный) делает заключение из него вероятным, то я имею в виду, что он является одним из класса аргументов, из большинства которых вытекают истинные заключения.

Что теперь могу я иметь в виду, когда говорю, что шанс выпадения лицевой стороны монеты равен половине? Начнем с того, что это, если оно истинно, является эмпирическим фактом; это не следует из того факта, что в бросании монеты есть только две возможности: выпадение лицевой и оборотной сторон. Если бы это следовало из него, мы могли бы сделать вывод, что шанс того, что какой-либо незнакомец называется Эбинизер Уилкс Смит, равен половине, поскольку здесь есть только две возможности, именно что он или называется, или не называется так. В некоторых монетах лицевая сторона выпадает чаще, чем оборотная; в других оборотная чаще, чем лицевая. Когда я говорю, не конкретизируя монету, что шанс выпадения лицевой стороны равен половине, то что я имею в виду?

Мое утверждение, как и все другие эмпирические утверждения, претендующие на численную точность, будет только приблизительным. Когда я говорю, что рост человека равен 6 футам 1 дюйму, мне разрешается до определенных пределов допускать ошибку; даже если бы я поклялся, что у меня нет ошибки, то все равно меня нельзя было бы обвинить в том, что я клятвопреступник, если даже окажется, что я ошибаюсь на одну сотую дюйма. Точно так же нельзя считать, что я высказал ложное утверждение о моменте, если окажется, что 0,500001 будет более точной оценкой, чем 0,5. Однако сомнительно, сможет ли какое бы то ни было свидетельство заставить меня думать, что 0,500001 является лучшей оценкой, чем 0,5. В теории вероятности, как и всюду, мы берем наиболее простое предположение, приблизительно соответствующее фактам. Возьмем, скажем, закон падения тел. Галилей сделал некоторое количество наблюдений, которые более или менее соответствовали формуле s = 1/2 gt2. Без сомнения, он мог бы найти такую функцию f(t), что s = f(t) соответствовала бы его наблюдениям более точно, но он предпочел простую формулу с достаточно хорошим соответствием. Точно так же, если я бросил монету 2000 раз и получил 999 выпадений лицевой стороны и 1001 оборотной стороны, я должен считать шанс выпадения лицевой стороны равным половине. Но что именно должен я иметь в виду, утверждая это?

Этот вопрос показывает силу определения Рейхенбаха. Согласно ему, я имею в виду, что если я буду продолжать бросать достаточно долго, то пропорция выпадений лицевой стороны со временем будет постоянно очень близкой к 1/2; действительно, она будет отличаться от 1/2 на величину, меньшую, чем сколь угодно малая дробь. Это предсказание; если оно правильно, то моя оценка вероятности верна, если же неправильно, то она будет неверной. Что может теория конечной частоты противопоставить этому?

Мы должны различать между тем, что есть вероятность, и тем, что она вероятно есть. Что касается того, что вероятность есть, то это зависит от класса рассматриваемых нами бросаний. Если мы рассматриваем бросание с данной монетой, тогда, если за все время своего существования эта монета даст m выпадений лицевой стороны из общего числа A бросаний, вероятность выпадения лицевой стороны у этой монеты будет m/n. Если же мы рассматриваем монеты вообще, то n должно быть общим числом бросаний всех монет, какие только существовали и будут существовать на протяжении всей прошедшей и будущей истории мира, а m - числом всех выпадений лицевой стороны. Чтобы сделать вопрос менее обширным, мы можем ограничиться бросаниями, имевшими место в этом году в Англии, или бросаниями, попавшими в таблицы исследований вероятности. Во всех этих случаях m и n - конечные числа, а m/n есть вероятность выпадении лицевой стороны при данных условиях.

Но ни одна из приведенных выше вероятностей не известна. Мы поэтому вынуждены оценить их, то есть найти какой-либо способ решить, что они вероятно представляют собой. Если мы присоединяемся к теории конечной частоты, то это значит, что наша последовательность выпадений лицевой и оборотной сторон должна быть членом какого-то ограниченного класса последовательности и что мы должны иметь какое-то относящееся к делу знание обо всем этом классе. Предположим, что мы наблюдали, что в каждой последовательности из 10000 или более бросаний данной монеты отношение выпадений лицевой стороны после 5000-го бросания никогда не изменялось более чем на 2е, где е - очень мало. Мы можем тогда сказать: в каждом наблюдаемом случае отношение выпадений лицевой стороны после 5000 бросков данной монеты всегда оставалось между p - е и p + s, где p есть постоянная, зависящая от монеты. Аргументировать, исходя из этого, к случаю, еще не наблюденному, есть дело индукции. Для того чтобы это заключение было действительным, мы нуждаемся в аксиоме о том, что (при определенных обстоятельствах) признак, присутствующий во всех наблюденных случаях, присутствует в большом отношении всех случаев;

или во всяком случае нам нужна какая-либо аксиома, из которой вытекала бы эта. Тогда мы сможем выводить из наблюденных частот вероятную вероятность, интерпретируя вероятность в согласии с теорией конечной частоты.

Вышеизложенное является только набросками теории. Главное, что я хочу подчеркнуть, есть то, что по теории, которую я защищаю, всякое утверждение вероятности (в противоположность только сомнительному утверждению) есть утверждение факта, касающегося какого-либо отношения в последовательности. В частности, индуктивный принцип - все равно, истинный или ложный - должен утверждать, что как факт большинство последовательностей определенного вида имеет повсюду любой признак определенного рода, который имеется у большого числа следующих друг за другом членов последовательностей. Если это факт, то индуктивные аргументы могут давать вероятность; если же это не так, то не могут. Сейчас я не исследую, каким образом, мы можем знать, является ли это фактом или нет; эту проблему я не буду рассматривать до последней части нашего исследования.

Из сказанного можно видеть, что в результате вышеприведенного обсуждения мы пришли к согласию с Рейхенбахом по многим пунктам, хотя определенно не согласны с ним в отношении определения вероятности. Главное мое возражение против его определения -то, что частота, от которой оно зависит, гипотетична и не поддается удостоверению. Я не согласен с ним также и а том, что более резко по сравнению с ним различаю вероятность и сомнительность, и в том, что считаю, что логика вероятности с логической точки зрения не является основной в противоположность логике достоверности.

ГЛАВА 5.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ КЕЙНСА.

Сочинение Кейнса "Трактат о вероятности" (Treatise on Probability, 1921) выдвигает теорию, которая в некотором смысле является антитезой теории частоты. Он считает, что отношение, применяемое в дедукции, именно "p имплицирует q", есть крайняя форма отношения, которое может быть названо "p более или менее имплицирует q". "Если знание h,- говорит он,- оправдывает рациональную веру в а степени а, то мы говорим, что имеется отношение вероятности степени а между о и h". Мы записываем это: "a/h=а". "Между двумя рядами предложений существует отношение, в силу которого, если мы знаем первый, мы можем приписать второму некоторую степень рациональной веры". Вероятность, по существу, есть отношение: "Так же бесполезно говорить "b вероятно", как и "b равно "или "b больше, чем". Из "a "и "a имплицирует b" мы можем вывести "b"; это значит, что мы можем опустить всякое упоминание посылки и просто утверждать заключение. Но если а так относится к b, что зияние a превращает вероятную веру в b в рациональную, то мы не можем вообще ничего заключить о b, которое не имеет отношения к а; нет ничего соответствующего опусканию истинной посылки в доказательном выводе.

Вероятность, согласно Кейнсу, есть логическое отношение, которое не может быть определено иначе, кроме как, возможно, в терминах степеней рациональной веры. Но в целом кажется, что Кейнс скорее склоняется к определению "степеней рациональной веры" в терминах отношения вероятности. Рациональная вера, говорит он, есть нечто производное от знания: когда мы имеем степень рациональной веры в p, это происходит потому, что мы знаем какое-либо предложение h, а также знаем, что p/h = а. Из этого следует, что среди наших посылок должны быть некоторые предложения формы "p/h = а". Наше знание бывает отчасти непосредственным, а отчасти приобретается через умозаключение; наше знание, приобретаемое через умозаключение, осуществляется благодаря непосредственному знанию предложений формы "p имплицирует q", или "q/p = а ". Во всяком умозаключении, если его полностью проанализировать, мы должны иметь непосредственное знание отношения посылок к заключению, будь это отношение импликацией или отношением вероятности в какой-либо степени. Знание h и того, что p/h=а, ведет к "рациональной вере соответствующей степени" в p. Кейнс открыто признает, что все непосредственное знание достоверно и что рациональная вера, которой недостает достоверности, может возникнуть только через восприятие отношения вероятности.

Вероятности вообще, согласно Кейнсу, не поддаются числовому измерению; те же вероятности, которые поддаются ему, образуют весьма частный класс вероятностей. Он считает, что одна вероятность не может сравниться с другой, то есть не может быть ни большей, ни меньшей, чем другая, ни быть даже равной ей. Он считает даже, что иногда невозможно сравнивать вероятности p и не-p на основе данного свидетельства. Он не имеет при этом в виду, что мы недостаточно знаем, чтобы делать это; он думает, что действительно нет отношения равенства или неравенства. Он думает о вероятностях согласно следующей геометрической схеме: возьмем две точки, представляющие собой 0 невозможности и 1 достоверности; тогда численно измеримые вероятности могут быть изображены лежащими на прямой линии между 0 и 1, тогда как другие лежат на различных кривых, идущих от 0 к 1. Мы можем сказать, что из двух вероятностей, находящихся на одной и той же линии, та, которая находится ближе к 1, является большей, но мы не можем сравнивать вероятности, находящиеся на разных линиях, за исключением тех случаев, когда две линии перекрещиваются, что может случиться.

Кейнсу, как мы видели, нужно непосредственное знание предложений вероятности. Для того чтобы положить начало получению такого знания, он исследует и исправляет то, что называется "принципом недостаточного основания", или, как он предпочитает называть его, "принципом индифферентности".

В своей грубой форме этот принцип утверждает, что если нет известного основания в пользу какой-либо одной из нескольких возможностей, то все эти возможности равно вероятны. В этой форме, как указывает Кейнс, этот принцип ведет к противоречиям. Допустим, например, что вы ничего не знаете о цвете какой-либо определенной книги; тогда шансы, что она синяя или не синяя, одинаковым и, следовательно, каждый равен 1/2. Точно так же шанс, что она черная, равен тоже 1/2. Следовательно, шанс того, что она синяя или черная, равен 1. Из этого следует, что все книги или синие, или черные, что абсурдно. Или предположим, что мы знаем, что некий определенный человек живет или же в Великобритании, или в Ирландии; возьмем ли мы в качестве наших возможностей эти страны, или возьмем Англию, Шотландию и Ирландию, или возьмем каждое графство как одинаково вероятное? Или если мы знаем, что удельный вес определенного вещества находится между 1 и 3, то будем ли мы рассматривать интервалы от 1 до 2 и от 2 до 3 как равно вероятные? Но если мы примем во внимание относительный объем, то естественно выбрать интервалы от 1 до 2/3 и от 2/3 до 1/3 что создает одинаковые шансы для того, чтобы удельный вес был или между 1 и 3/2 или между 3/2 и 3. Такие парадоксы можно увеличивать бесконечно.

Из-за этого Кейнс не расстается полностью с принципом индифферентности; он думает, что этот принцип может быть так сформулирован, что можно будет избежать вышеупомянутых затруднений и что он будет все еще полезен. Для этой цели он сначала определяет то, что является "не относящимся к делу".

Грубо говоря, добавленная посылка является "не относящейся к делу", если она не изменяет вероятности, то есть h1 не связано с отношением к x и h, если x/h1h = x/h. Таким образом, например, тот факт, что фамилия человека начинается с буквы M, не имеет отношения к оценке шансов его смети. Вышеприведенное определение является, однако, до некоторой степени слишком простым, потому что h\ может состоять из двух частей, из которых одна может повышать вероятность х, тогда как другая - понижать ее. Например: шансы жизни белого человека понижаются при жизни его в тропиках, но повышаются (или так по крайней мере говорят), если он ведет трезвый образ жизни. Может быть, смертность среди белых трезвенников в тропиках та же, что и вообще у белых людей, но мы не можем сказать, что трезвый образ жизни человека, живущего в тропиках, не имеет отношения к этому вопросу. Поэтому мы говорим, что h1 не имеет отношения к x/h, если нет никакой части h1, которая изменяет вероятность x.

Кейнс теперь формулирует принцип индифферентности в следующей форме: вероятности событий а и b в отношении к данному свидетельству одинаковы, если нет относящегося к событию a свидетельства без соответствующего свидетельства, относящегося к событию b; это значит, что вероятности событий а и b в отношении свидетельства равны, если это свидетельство симметрично по отношению к о и b.

Здесь, однако, все же добавляется довольно трудное условие. "Мы должны исключить те случаи, в которых одна из относящихся к делу альтернатив сама является дизъюнкцией подчиненных альтернатив той же самой формы". Когда это условие выполняется, альтернативы называются неделимыми по отношению к свидетельству. Кейнс дает следующее формальное определение "делимых" альтернатив: альтернатива f (a) делима по отношению к свидетельству h, если, при данном h, "f(a) эквивалентно f(b)" или "f(с)", где f(b) и f(с) несовместимы, но каждое возможно, когда b истинно. Здесь существенно, что f(a), f(b) и f(с) все суть значения одной и той же пропорциональной функции.

Кейнс, таким образом, в конце концов признает в качестве аксиомы тот принцип, что, при данном свидетельстве, f(a) и f(a) равно вероятны, если (1) свидетельство симметрично по отношению к a и b (2) в отношении свидетельства f(a) и f(b) неделимы.

По отношению к вышеприведенной теории эмпиристы могут выдвинуть общее возражение. Они могут сказать, что непосредственное знание отношений вероятности, которого она требует, явно невозможно. Дедуктивная доказательная логика - как этот аргумент можно было выразить - возможна потому, что она состоит из тавтологий, потому, что она просто переформирует наш запас исходных предложений другими словами. Когда она делает больше этого - когда, например, она выводит предложение "Сократ смертен" из предложения "Все люди смертны",- она зависит от опыта, связанного со значением слова "Сократ". Ничто, кроме тавтологий, не может быть познано независимо от опыта, а Кейнс не утверждает, что его отношения вероятности являются тавтологиями. Как же в таком случае они могут быть познаны? Ибо ясно, что они не познаются из опыта в том смысле, в котором мы можем говорить это о суждениях восприятия; вместе с тем признается, что некоторые из них не выводятся. Они поэтому составили бы - если их признать - такой род знания, который эмпиризм считает невозможным.

Я очень сочувствую этому возражению, но не думаю, что его можно рассматривать как решающее. Когда мы подойдем к обсуждению принципов научного вывода, мы увидим, что наука невозможна без некоторого знания, которого мы не могли бы иметь, если бы эмпиризм в его строгой форме был прав. Во всяком случае, мы не должны догматически считать, что эмпиризм прав, хотя и имеется оправдание нашим попыткам найти совместимые с эмпиризмом решения наших проблем. Вышеприведенное возражение поэтому, хотя и может служить причиной известного нерасположения к принятию теории Кейнса, не должно, однако же, заставлять нас отвергать ее совершенно.

Имеется трудность в вопросе, который Кейнс, по-видимому, адекватно не рассмотрел, а именно: сообщает ли вероятность, относящаяся к посылкам, рациональное правдоподобие предложению, которое превращается в вероятное, и если да, то при каких обстоятельствах? Кейнс говорит, что так же бессмысленно говорить, что "p вероятно", как и говорить, что "p равно "или "p больше, чем". Согласно ему, здесь нет ничего аналогичного опущению истинной посылки в дедуктивном выводе. Тем не менее, он говорит, что если мы знаем h и знаем также, что p/h = а, то мы вправе придавать p "рациональную веру в соответствующей степени". Но когда мы поступаем так, мы больше не выражаем отношение p к h, мы пользуемся этим отношением для того, чтобы что-либо вывести относительно p. Это "что-либо" мы можем назвать "рациональным правдоподобием" и можем сказать, что "p рационально правдоподобно в степени а". Но если это должно быть истинным утверждением p, не предполагающим упоминания о h, тогда b не может быть произвольным. Ибо предположим, что P/h = a, а p/h' = a; должны ли мы при допущении, что h и h' известны, придавать p степень а или а' рационального правдоподобия? Невозможно, чтобы оба ответа были правильны при любом данном состоянии нашего знания.

Если верно, что "вероятность есть руководитель жизни", тогда при любом данном состоянии нашего знания должна быть одна вероятность, которая относится к p более существенным образом, чем любая другая, и эта вероятность не может быть относительной по отношению к произвольным посылкам. Мы должны сказать, что это есть вероятность, которая получается, когда h рассматривается как все наше относящееся к делу знание. Мы можем сказать: при любой данной совокупности предложений, составляющих определенное знание какого-либо лица, при том, что связь этой совокупности предложений называется n, имеется некоторое число предложений, не являющихся членами этой совокупности, которые имеют к ней отношения вероятности. Если p есть также предложение, a p/h = а, тогда для этого лица а есть степень рационального правдоподобия, принадлежащего p. Мы не должны говорить, что если h' есть некое истинное предложение, несколько отличающееся от h, которое известно лицу, о котором идет речь, и если p/h' = а', тогда для этого лица p имеет степень правдоподобия а'; оно будет иметь только эту степень правдоподобия для лица, знание которого, относящееся к делу, суммируется через h'. Со всем этим, однако, Кейнс, безусловно, согласится. Возражение на самом деле относится только к некоторой рыхлости формулировки, а не к чему-либо существенному в этой теории.

Более существенное возражение касается наших средств познания предложений, вроде таких, как p/h = а. Я сейчас не утверждаю априори, что мы не можем их знать; я интересуюсь только вопросом, как мы можем их знать. Нетрудно заметить, что если "вероятность" не может быть определена, то должны быть такие предложения вероятности, которые не могут быть доказаны и которые, следовательно, если принять их, должны быть среди посылок нашего познания. Это является общей чертой всех логически расчлененных систем. Каждая такая система по необходимости начинает с исходного аппарата не получивших определения терминов и недоказанных предложений. Ясно, что не получивший определения термин не может появиться в выводном предложении, если он не появился по крайней мере в одном из недоказанных предложений, тогда как нет необходимости в том, чтобы получивший определение термин появлялся в каком-либо недоказанном предложении. Например, пока считалось, что в арифметике участвуют термины, не получившие определения, приходилось считать, что в ней не должны быть также и недоказанные аксиомы: Пеано имел дело с тремя неопределенными терминами и пятью аксиомами. Но когда числа и сложение определяются логически, арифметика не нуждается в каких-либо недоказанных предложениях, кроме предложений логики.

Итак, в нашем случае если "вероятность" может быть определена, то возможно, что могут быть выведены все предложения, в которых это слово встречается; но если она не может быть определена, то должны быть - если мы в состоянии что-либо знать об этом - содержащие это слово предложения, которые мы знаем без свидетельства со стороны.

Не совсем ясно, какого рода предложения Кейнс склонен признавать в качестве посылок в нашем познании вероятности. Познаем ли мы непосредственно предложения формы "p/h = a"? И что представляет собой а, когда вероятность численно не измеряется? Или мы знаем только равенства и неравенства, то есть что p/h < q/h или p/h = q/h7 Я склонен думать, что Кейнс придерживается последнего взгляда. Но если так, то основными в этом вопросе являются отношения трех предложений, а не двух-, мы должны начинать с тернарного отношения

p(p, q, h),

что значит: при данном h, p является менее вероятным, чем q. Мы могли бы в таком случае сказать, что "p/h = q/h", значит, "ни p(p, q, h), ни P(q, p, h)". Мы должны были бы допустить, что p является асимметричным и транзитивным по отношению к p и q, когда h постоянно. Принцип индифферентности Кейнса, если его принять, тогда позволит нам при определенных обстоятельствах доказать, что p/h = q/h. A на этом основании исчисление вероятностей - насколько Кейнс считает его действительным - может быть построено.

Вышеприведенное определение равенства может быть принято только, если p/h и q/h являются сравнимыми; если (как Кейнс считает возможным) ни одно из них не больше другого и все же они не равны, то от этого определения следует отказаться. Мы могли бы преодолеть это затруднение с помощью аксиом, касающихся обстоятельств, при которых вероятности должны быть сравнимыми. Когда они сравнимы, они лежат на одной линии между 0 и 1. В правой части вышеприведенного определения "p/h = q/h" мы должны тогда добавить, что P/h и q /h являются "сравнимыми".

Переформулируем теперь принцип индифферентности Кейнса. Он хочет установить обстоятельства, при которых p/h = q/h. Это будет иметь место, говорит он, если выполняются два условия (достаточные, но не необходимые). Пусть p будет f(a) и q будет f(b), тогда h должно быть симметричным по отношению к a и b, а f(a) и f(b) должны быть "неделимыми".

Когда мы говорим, что h является симметричным по отношению к а и b, мы имеем в виду предварительно, что если h имеет форму f(a, b), тогда f(a, b) = f(b, а). Это будет иметь место, в частности, если f(a, b) имеет форму g(a) • g(b), что является случаем, когда информация, которую h дает об a и b, состоит из отдельных предложении, одного об a и другого об b, и когда оба предложения являются значениями одной пропозициональной функции.

Мы теперь положили p = f(a), q = f(b) и h = f(o, b). Наша аксиома должны быть о том, что, с соответствующей оговоркой, взаимозамена f(a) и f(b) и не может вызвать какую-либо разницу. Это предполагает, что

f(a)/f(a, b) = f(b)/f(a, b),

если только f(a) и (b) сравнимы по отношению к f(a, b). Это следует, если в качестве общего принципа

fa/ya = fb/b,

то есть если вероятность зависит не от частного субъекта, а от пропозициональных функций. Здесь есть, по-видимому, надежда прийти в этом направлении к такой форме принципа индифферентности, которая может быть более самоочевидной, чем форма Кейнса.

Исследуем для этой цели его условия неделимости. Кейнс определяет "f(a) делимо", как значение, что имеются такие два аргумента b и с, что 'fa " эквивалентно "fb или fc", а fb и yc не могут быть оба истинными, тогда как fb и fc оба возможны при данном h. Я не думаю, что это есть именно то, что он на самом деле хочет сказать. Я думаю, что мы подойдем ближе к тому, чего он хочет, если предположим, что о, b и с суть классы, для которых a есть сумма b и с. В этом случае f должно быть функцией, которая берет классы в качестве аргументов. Например, пусть o будет областью на мишени, разделенной на две части, b и c. Пусть "fa" будет значить, что "некоторая точка в а поражена", а fa" будет значить, что "некоторая точка в а взята на прицел". Тогда fa является делимым в вышеуказанном смысле, и мы не получаем

fa/ya = fb/\yb,

так как очевидно, что fa/ya больше, чем fb/yb.

Но остается неясным, что наше прежнее условие, именно, что h должно быть симметричным по отношению к а и b, оказывается недостаточным. Ибо теперь h содержит предложение "b есть часть а", которое не является симметричным.

Кейнс обсуждает условия для fa/ya = fb/yb и дает как пример неудачи случай, где fx = x есть Сократ. В этом случае, каково бы ни было значение fx,

f (Сократ) / y(Сократ) = 1,

тогда как если b не есть Сократ, то fb/yb =0. Чтобы исключить этот случай, я сделал бы оговорку, что "fx" не должно содержать "a". Беря аналогичный случай, допустим, что fx = x значит "убивает а" и что fx = x значит "живет в Англии". Тогда fa/ya есть вероятность, что a совершает самоубийство в Англии, тогда как fx/yx вообще есть вероятность, что a будет убит каким-то англичанином по фамилии x. Ясно, что в большинстве случаев fa/ya больше, чем fb/yb, потому что вероятнее, что человек совершит самоубийство, чем убьет другого, выбранного наудачу.

Таким образом, существенным условием, по-видимому, является то, что "fx" не должно содержать "a" или "b". Если это условие выполнено, то я не вижу, почему мы не можем получить

fa/ya = fb/yb.

Я заключаю, что принцип индифферентности на деле утверждает то, что вероятность есть отношение между пропозициональными функциями, а не между предложениями. Это и есть то, что имеется в виду под такой фразой, как "выбор наудачу". Эта фраза значит, что мы должны рассматривать какой-либо термин только как термин, удовлетворяющий определенной пропозициональной функции; тогда то, что сказано, в действительности относится к пропозициональной функции, а не к тому или иному ее значению.

Тем не менее остается кое-что существенное, являющееся тем, что действительно касается нас. Если дано отношение вероятности между двумя пропозициональными функциями fx и yx, то мы можем рассматривать его как отношение между fa и ya, если только "fx" и "yx" не содержит "a". Это необходимая аксиома во всех применениях вероятности к практике, так как именно частные случаи интересуют нас.

Я прихожу к выводу, что главный формальный недостаток теории вероятности Кейнса состоит в том, что он рассматривает вероятность скорее как отношение между предложениями, чем как отношение между пропозициональными функциями. Я сказал бы, что применение ее к предложениям относится к приложению теории, а не к самой теории.

ГЛАВА 6.

СТЕПЕНИ ПРАВДОПОДОБИЯ.

А. Общие соображения.

То, что все человеческое знание в большей или меньшей степени сомнительно, является доктриной, пришедшей к нам из древности; она провозглашалась скептиками и Академией в ее скептический период. В современном мире она подкрепляется прогрессом науки. Шекспир изображая смехотворность самого крайнего скептицизма, говорит:

Сомневаюсь, что звезды - огонь,

Сомневаюсь, что солнце действительно движется.

Когда он писал это, последнее уже было поставлено под сомнение Коперником, а вслед за ним под еще более решительное сомнение Кеплером и Галилеем. Первое - ложно, если слово "огонь" употреблено в его химическом смысле. Многое, казавшееся несомненным, оказалось по всей вероятности неверным. Сами научные теории время от времени изменяются по мере того, как накапливаются новые данные; ни один разумный ученый не чувствует той уверенности в истинности какой-нибудь новой научной теории, какую чувствовали по отношению к теории Птолемея на протяжении всех средних веков.

Но хотя любая часть того, что мы хотели бы рассматривать как "знание", может быть в некоторой степени сомнительной, ясно, что кое-что почти достоверно, в то время как кое-что иное является продуктом рискованных предположений. Для разумного человека существует шкала сомнительности от простых логических и арифметических предложений и суждений восприятия нас одном конце до таких вопросов, как вопрос о том, на каком языке говорили микенцы или "какую песню пели сирены", на другом конце. Можно ли допускать какую-либо степень сомнительности к наименее сомнительным из наших верований, является вопросом, по поводу которого сейчас нам нет нужды беспокоиться; достаточно того, что любое предложение, в отношении которого у нас есть разумные основания для какой-то степени веры или неверия, может теоретически быть помещено на шкале между достоверной истиной и достоверной ложью. Включаются ли в эту шкалу сами эти границы, является вопросом, который мы можем оставить открытым.

Существует определенная связь между математической вероятностью и степенями правдоподобности. Связь эта следующая: когда в отношении всех доступных нам свидетельств какое-либо предложение имеет определенную математическую вероятность, тогда это определяет и степень его правдоподобия. Например, если вы собираетесь бросить кости, то предложение "выпадет двойная шестерка" имеет только одну тридцать пятую правдоподобия, приписываемого предложению "двойная шестерка не выпадет". Таким образом, разумный человек, приписывающий каждому предложению правильную степень правдоподобия, будет руководствоваться математической теорией вероятности в тех случаях, когда она применима.

Понятие "степень правдоподобия", однако, применяется гораздо более широко, чем понятие математической вероятности; я считаю, что оно применимо к каждому предложению, за исключением тех, которые не являются ни опытными данными, ни относящимися к данным каким-либо способом, благоприятным или неблагоприятным для их признания. Я считаю, в частности, что оно применимо к предложениям, которые настолько близко, насколько это возможно, приближаются к простому выражению опытных данных. Если этот взгляд с логической точки зрения приемлем, то мы должны считать, что степень правдоподобия, приписываемая предложению, иногда сама является неким данным. Я думаю, что мы должны также считать, что степень правдоподобия, приписываемая какому-либо данному, иногда представляет собой данное и иногда (возможно, всегда) не достигает достоверности. В таком случае мы или можем считать, что есть только одно данное, именно предложение с приписываемой ему степенью правдоподобия, или же можем считать, что это данное и его степень правдоподобия являются двумя отдельными данными. Я не буду обсуждать, какой из этих двух взглядов должен быть принят.

Предложение, которое не является чем-то данным, может получить правдоподобие из многих различных источников;

человек, который хочет доказать свою невиновность в преступлении, может аргументировать и исходя из алиби и из своего прежнего хорошего поведения. Основания в пользу научной гипотезы практически всегда являются сложными. Если признается, что какое-то данное может не быть достоверным, степень его правдоподобия может быть повышена каким-либо аргументом или, напротив, может быть весьма снижена каким-либо контраргументом.

Степень правдоподобия, сообщаемая доказательством не поддается простой оценке. Возьмем сначала простейший из возможных случаев, именно тот, когда посылки достоверны и рассуждение, если оно правильно, является доказательным. На каждой ступени рассуждения мы должны "видеть", что заключение этой ступени вытекает из ее посылок. Иногда это легко сделать, например, если доказательство представляет собой силлогизм модуса Barbara. В таком случае степень правдоподобия, приписываемая связи посылок и заключению, является почти достоверностью и заключение имеет почти такую же степень правдоподобия, как и посылки. Но в случае трудного математического доказательства шанс ошибки в рассуждении будет гораздо большим. Логическая связь может быть совершенно ясной для хорошего математика, тогда как для ученика она является едва заметной и то только моментами. У ученика основания для веры в правильность данной ступени рассуждения не являются чисто логическими; отчасти они являются у него аргументами от авторитета. Эти рассуждения никоим образом не являются доказательными, так как даже наилучшие математики иногда делают ошибки. При таких основаниях, как указывает Юм, заключение длинного доказательства менее достоверно, чем заключение короткого, ибо на каждой ступени имеется некоторый риска, что будет допущена ошибка.

Посредством определенного упрощающего предположения этот источник недостоверности может быть включен в сферу математической теории вероятности. Допустим, что она установила, что в определенной ветви математики хорошие математики рассуждают правильно на какой-то ступени их доказательств в отношении x от всех случаев; тогда шанс того, что они рассуждают правильно на протяжении всего хода доказательства, состоящего из n ступеней, равен х". Отсюда следует, что длинное доказательство, не проверенное повторением, содержит заметный риск ошибки, даже если x почти равен 1. Но повторение может понизить риск до очень малой величины. Все это находится в пределах математической теории.

В пределы этой теории, однако, не включается частное убеждение индивидуального математика, когда он строит рассуждение на каждой ступени. Это убеждение будет изменяться в зависимости от трудности и сложности ступени; но вопреки этой изменчивости оно должно быть таким же прямым и непосредственным, как и наша уверенность в объектах восприятия. Для того чтобы доказать, что определенная посылка имплицирует определенное заключение, мы должны "видеть" каждую ступень в рассуждении; мы не можем доказать правильность ступени иначе, как только посредством разложения ее на более мелкие ступени, каждая из которых тогда должна стать "видимой". Если не признать этого, все доказательство потеряется в бесконечном регрессе.

До сих пор я говорил о доказательном выводе, но в отношении нашего настоящего вопроса недоказательный вывод не представляет никакой новой проблемы, так как, как мы видели, даже доказательный вывод, совершаемый людьми, сообщает заключению только вероятность. Нельзя сказать даже того, что рассуждение, претендующее на доказательность, всегда придает заключению более высокую степень вероятности, чем рассуждение, которое открыто является только вероятным; в традиционной метафизике имеется много примеров этого.

Если - как я полагаю и как я буду доказывать, когда это понадобиться,- данные так же, как и результата вывода, лишаются самой высокой степени правдоподобия, какая только может быть достигнута, тогда эпистемологическое отношение между данными и выводными предложениями становится до некоторой степени сложным. Я могу, например, думать; что я что-то вспоминаю, но нахожу основание верить, что то, что мне показалось воспоминанием, никогда не происходило; в этом случае доказательство может заставить меня отбросить данное. И наоборот, когда данное само по себе имеет не очень высокую степень правдоподобия, оно может быть подтверждено внешним свидетельством; например, я могу иметь лишь слабое воспоминание об обеде с г-ном имярек, который имел место когда-то в прошлом году, и могу обнаружить, что мой дневник за прошедший год содержит запись, подтверждающую мое воспоминание. Из этого следует, что каждое из моих верований может быть усилено или ослаблено приведением его в отношение с другими верованиями.

Отношение между данными и выводами сохраняет, однако, большое значение, поскольку основание для веры непременно должно обнаруживаться после достаточного анализа в данных и только в данных. (Я здесь включаю в число данных и принципы, используемые во всяких выводах, какие могут встретиться.) Из этого следует, что данные, относящиеся к какой-либо отдельной вере, могут быть гораздо более многочисленными, чем это кажется с первого взгляда. Возьмем опять случай с воспоминанием. Тот факт, что я вспоминаю какое-либо происшествие, является свидетельством, хотя и не решающим, того, что происшествие имело место. Если я нахожу современную происшествию запись о нем, то это - подтверждающее свидетельство. Если я нахожу много таких записей, то подтверждающее свидетельство усиливается. Если происшествие является таким, которое, подобно прохождению Венеры перед солнечным диском, делается почти достоверным хорошо установленной научной теорией, то этот факт должен быть прибавлен к записям как добавочное основание уверенности. Таким образом, в то время, как имеются верования, которые являются только заключениями доказательств, отсутствуют такие, которые в рациональной разработке знания являлись бы только посылками. Говоря это, я выражаюсь в терминах эпистемологии, а не логики.

Таким образом, эпистемологическая предпосылка может быть определена как предложение, которое имеет какую-то степень рационального правдоподобия благодаря самой себе, независимо от ее отношений к другим предложениям. Каждое такое предложение может быть использовано для сообщения некоторой степени правдоподобия предложениям, которые или следуют из него, или находятся к нему в отношении вероятности. Но на каждой стадии происходит некоторое уменьшение первоначального запаса правдоподобия; это аналогично тому, как состояние уменьшается налогами на наследство каждый раз, когда оно наследуется. Проводя аналогию несколько дальше, мы можем сказать, что внутреннее правдоподобие похоже на состояние, приобретаемое в результате собственных усилий человека, тогда как правдоподобие, получающееся в результате доказательства, подобно наследству. Эта аналогия ограничивается тем, что человек, который составил состояние, может также и наследовать состояние, тогда как каждое состояние должно быть обязанным своим происхождением не наследованию, а чему-либо другому.

В этой главе я намереваюсь обсудить правдоподобие, во-первых, в отношении к математической вероятности, затем в отношении данных, затем в отношении субъективной уверенности и, наконец, в отношении к рациональному поведению.