Часть 1.

Шанжё Ж-П. и Конн А.

Материя и мышление.1990.

Материя и мышление. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, 216 с.

Перевод с французского Т. Б. Ворожцовой, А. Р. Логунова

JEAN-PIERRE CHANGEUX ET ALAIN CONNES

MATIERE A PENSEE

• физика

• математика

• биология

• нефтегазовые технологии

Настоящая книга представляет собой фундаментальный труд по основам нелинейной динамики хаотических и стохастических систем. Книга содержит исчерпывающее введение в теорию динамических и стохастических систем и детальный анализ современных результатов, полученных, в основном, авторами. Каждая из глав книги построена таким образом, что может изучаться независимо от других. В частности, каждая глава имеет свой собственный список литературы.

Все это позволяет использовать предлагаемую книгу в качестве учебника для студентов и аспирантов физико-математических специальностей (глава 1), а также специалистам в области нелинейной динамики детерминированных (глава 2) и стохастических (глава 3) систем.

Оглавление

Предисловие ............................. 7

Математика и мозг......................-. . . . 10

1. Введение...................... ....... 10

2. Пересмотр иерархии наук .................. 13

3. Изобретение или открытие?................. 17

4. Об историческом аспекте математики........... 26

5. Не является ли математика просто языком?....... 30

Материалист ли Платон?...................... 33

1. Интеллектуальная аскеза материалиста.......... 33

2. Математический психоанализ................ 38

3. Являются ли математические объекты типичными культурными репрезентациями? ................. 41

4. Математические объекты и дарвинизм .......... 44

5. Вера в математику....................... 47

Природа, одетая по мерке..................... 50

1. Конструктивистская математика .............. 50

2. Поразительная эффективность математики........ 56

3. Эйнштейн и математика.................... 61

4. Польза от математических моделей в биологии..... 67

5. Квантовая механика: первичный осмотр ......... 74

Нейронный математик....................... 85

1. Озарение............................. 85

2. Мозг и многочисленные уровни его организации .... 92

3. Клеточный уровень....................... 99

4. От элементарных систем к мысленным объектам .... 106

5. Нейропсихология математики................ ИЗ

6. Переход с уровня на уровень посредством вариации-селекции ............................. 116

7. Ментальный дарвинизм и математическое творчество . 124

6 ОГЛАВЛЕНИЕ

Дарвин и математики........................ 130

1. Полезность дарвиновской схемы.............. 130

2. Кодирование устойчивых форм............... 134

3. Организация долговременной памяти........... 146

4. Рассуждение по аналогии................... 149

5. Последовательность репрезентаций и рамки мышления 151

6. Естественный отбор среди математических объектов . 154

Мыслящие машины.........................160

1. Разумные машины?.......................160

2. Теорема Гёделя.........................161

3. Мыслящая машина Тьюринга................168

4. Теория 5-матрицы в физике - функционализм в психологии? ..............................171

5. Мозг человека как компьютер................174

6. Машина - страдающая и способная на самооценку . . 177

Вопросы этики............................185

1. В поисках природных обоснований этики.........185

2. Общественная жизнь и лобная доля............190

3. Просоциалъное поведение ребенка и культурный отпечаток ..............................194

4. Функции морали ........................196

5. О морали естественной, рациональной и изменяемой . 198

6. «Распространение сопереживания» и эстетическая функция .................................200

7. Этика и математика ......................207

Литература..............................209

Предисловие

Математики, в общем, неплохо ладят с биологами. Но они мало говорят друг с другом. Их знания и устремления настолько далеки, что диалог кажется невозможным. И все же игра стоит свеч. Никто не станет отрицать, что математика - продукт мозговой деятельности человека. Однако ни одна из машин, созданных человеком, еще не смогла воспроизвести мыслительные и изобретательные способности нашего мозгового аппарата. Случится ли это когда-нибудь? Возможно ли материальное воплощение искусственного интеллекта? Таков центральный вопрос, поднимаемый в книге.

Прежде чем ответить на этот вопрос, необходимо дать определение математики. Какова природа математических объектов? Существуют ли они независимо от человеческого мозга, который их просто открывает? Или, наоборот, они являются всего лишь продуктом мозговой деятельности и вне мозга не существуют? Благодаря последним достижениям нейронаук - или наук о нервной системе, - заложенные еще «Диалогами» Платона основы пополняются новыми данными.

Математика одинакова и в Париже, и в Москве, и в Сан-Франциско. Однако может ли она стать тем универсальным инструментом, который позволит нам общаться с гипотетическими обитателями других планет?.. Конечно, эффективность, с которой математика описывает окружающий нас мир, такова, что эффективность эту называют порой непостижимой. Но, может быть, это лишь результат эффекта фасцинации1, который производит на своего создателя - постфактум - созданный им объект? Математик в роли Пигмалиона?

Ответы на эти вопросы большей частью нужно искать в исследованиях организации мозга и его функционирования. Представляя собой, вне всякого сомнения, систему нейронов необычайной сложности, своими исключительными свойствами мозг обязан

^асцинация (психол.) - очарование, привлекательность, притягательность. - Прим. перев.

8

принципам своего строения и элементарным функциям, которые сейчас активно пытаются анализировать анатомы и физиологи, результаты же этого анализа, в свою очередь, призваны вдохновить инженеров на создание в недалеком будущем подобных мозгу машин. Но упомянутые свойства мозга обусловлены также и тем, что мозг по своей природе является эволюционирующей системой. Каждый знаком с теорией Дарвина об эволюции живых видов. Гораздо менее распространена идея о том, что формирование мозга в период внутриутробного развития и после рождения представляет собой все тот же эволюционный процесс, во время которого происходит естественный отбор среди соединений нервных клеток. И этот отбор продолжается при посредстве других эволюционных процессов на более высоких уровнях организации - процессов, которые могли бы объяснить, как развивается мысль или математическое рассуждение, а может быть, и саму работу воображения...

Наконец, развитие как математики, так и нейронаук приводит к тому, что их результаты приобретают с каждым днем все большее социальное значение. Возникают этические проблемы. Не выяснить ли нам прежде, что же это вообще такое - этика? Может ли мораль базироваться на природных основаниях, которые следует искать в функционировании человеческого мозга в социуме? Может ли этика опираться на универсальные принципы, подобные математическим ?

Книга построена в форме диалога. Поставив перед собой все вышеперечисленные вопросы, мы поняли, что ни один из нас не располагает достаточными познаниями в области специализации собеседника, - по крайней мере, достаточными для того, чтобы самостоятельно предлагать какие-то решения. Однако главная причина заключается в том, что диалог позволил каждому из нас яснее изложить свою точку зрения. По некоторым вопросам наши позиции сходятся, по другим - и довольно существенным - вопросам мы не можем прийти к согласию. Вопросы при этом остаются открытыми, что позволяет третьему лицу, читателю, быть свободным в выборе собственной позиции и следить за мыслью, соглашаясь - или не соглашаясь - с любом из собеседников.

Вопросы этики, которыми заканчивается данная работа, представлены в иной форме, нежели первоначальный диалог. Оказалась, что для их рассмотрения необходима некая отстраненность, присущая письменному тексту. Каждый из нас пожелал изложить

9

свои краткие размышления в письменном виде, что, возможно, составит прелюдию к будущей работе.

Мы благодарим Кристофа Гиа за предельную тщательность в расшифровке магнитофонных записей и Жана-Люка Фиделя за редактирование окончательного варианта текста. Наконец, мы глубоко признательны Одиль Жакоб за тот интерес, который она с самого начала проявила к такому обмену идеями, и за те условия и удобства, которые она нам создала.

Жан-Пьер Шанжё, Ален Конн

Математика и мозг

1. Введение

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Прежде чем мы приступим к обсуждению нашего первого важного вопроса о природе математических объектов, я хотел бы попытаться объяснить, что же заставило нас обратиться друг к другу.

Мне видится много точек пересечения биологии и математики. Мои первые встречи с математикой - в лицее и на подготовительных курсах в высшую школу - не были легкими. Биологию же преподаватели систематически обесценивали, подобное отношение мы находим и в работах именитых математиков. Например, Рене Том однажды писал: «развитие биологии не привнесло каких-либо радикальных изменений в то, что касается здоровья и продолжительности жизни» [100, с. 50] и «биологи не нуждаются в теории» [там же, с. 46]. В этом я вижу желание принизить значение биологии, каковое желание можно объяснить естественной склонностью математиков отдавать приоритет быстрому пониманию в ущерб неторопливому размышлению - более обобщающему, более изобретательному, а порой и более глубокому. Моя первая реакция на это была довольно враждебной. Но за ней, несомненно, скрывалось желание внести свой вклад в математику и принять более активное участие в математической жизни.

И только начав исследовательскую работу в области молекулярной биологии, а затем и в нейробиологии, я пришел к достаточно конкретному использованию математического инструментария. В этом отношении потрясающим учителем для меня был Жак Моно. Вместе с ним я смог разработать несколько моделей в молекулярной биологии, связанных, в„ частности, с аллостерическими протеинами [82, с. 88-118], молекулами, отвечающими за регуляцию. В данном конкретном случае математика помогла нам оформить наши идеи и сформулировать количественные предсказания. Сегодня в моей работе нейробиолога математический инструмен-

11

тарий представляется мне необходимым при построении рациональных моделей функций мозга. Впрочем, сейчас на пересечении науки о нервной системе, психологии и математики начинает развиваться новая область исследований - когнитивные науки или науки о мышлении. Теперь дальнейший прогресс будет зависеть от тесного сотрудничества теоретиков и практиков.

Говоря в общем, интерес к математике пробудила во мне необходимость понять процессы формирования мозга и способы использования им математических объектов, т.е. разобраться в отношениях между математикой и мозгом. Один только этот вопрос служит достаточным обоснованием нашей встречи.

Однако математика играет центральную роль в жизни социума. Для западной культуры характерно в некотором роде мифическое представление о математике: практически трансцендентная вера в ее объяснительную силу, восходящая, возможно, еще к Пифагору. Для многих вполне достаточным «объяснением» может служить описанная в математических терминах синтаксическая структура или отношения родства. Все чаще на практике компьютеры и их приложения отдают математике единую все возрастающую власть. А не вызван ли недавний крах на Уолл-стрит «запрограммированным поведением» компьютеров, которые действовали в интересах по возможности наибольшей «прибыли» своих клиентов? Похоже, компьютер норовит заменить мозг... не обладая при этом его качествами! Эта проблема, второстепенная по отношению к нашей научной деятельности, должна заставить нас задуматься над отношениями математики и этики, задав себе вопрос, возможно ли создать такую универсальную этику человеческих обществ, которая опиралась бы на строгие математические основы. Дополняет ли этот подход исследования нейронных основ этики или кардинально противоположен им? Таковы мои мотивы как биолога. Что скажешь ты?

АЛЕН Конн: Скажу, что к вопросу об отношениях между математикой и мозгом и о природе математических объектов я отношусь с большим энтузиазмом.

Говоря об извечной оппозиции математики и биологии, ты процитировал Рене Тома. Несомненно, это оригинальный ученый. Но, мне кажется, не следует относиться к нему как к выразителю общего мнения всех математиков. Вспомним лучше об Израиле Гельфанде. Его влияние на математику очень велико. А ведь большая часть его научной деятельности связана с биологией.

12

Больше половины его статей посвящены этой дисциплине, кроме того, он ведет два семинара, один по математике, другой по биологии.

Что же касгштся меня, то, прочтя твою книгу «Нейронный человек», я понял, что сегодня ученые располагают весьма точными сведениями о функционировании мозга. Особенно меня поразили перцептивные карты, которых у человека гораздо больше, чем у других животных. Эти карты устанавливают связь между сетчаткой и отделами мозга, заведующими разными функциями. Также на меня произвели огромное впечатление опыты Шепарда [93, с. 701-703]. Если попросить испытуемого определить, переходит ли один объект в другой путем вращения в трехмерном пространстве, то время ответа, как показывает эксперимент, пропорционально величине угла необходимого поворота. То есть функционирование мозга подчиняется и законам физики. Однако более важным мне кажется то, что для изучения мозга необходимо выйти за рамки непосредственно биологии. И математика предоставляет для этого самую благоприятную почву из всех возможных. Потому что она абсолютна, универсальна, а значит независима от всяческих культурных влияний.

Ж.-П. Ш.: То есть ты принимаешь точку зрения...

А. К.: Мне кажется, что способ выражения того или иного понятия на разных языках зависит от весьма неопределенных параметров, поскольку они находятся под влиянием культуры. И напротив, математические объекты - что я и хотел подчеркнуть - обладают гораздо большей определенностью. Они очищены от этой культурной оболочки и должны, таким образом, оказаться более подходящими в смысле понимания функционирования мозга.

Впрочем, мой подход, естественно, небескорыстен. Мне бы хотелось побольше узнать о биологии, чтобы сделать из этого некоторые выводы. Твоя книга заставила меня задуматься о том, каким образом мозг принимает новую теорию или осваивает новый род деятельности, - например, игру в шахматы или на фортепиано. Мне пришлось пересмотреть некоторые из своих вполне оформленных идей об обучении и исправить некоторые неточности. Например, когда математик работает в области, которая не является ни сложной, ни обширной, он вполне может попутно освоить соответствующую технику. Математика очень абстрактна. Математик может решить, что нужную ему технику он уже освоил раз и навсегда, может в любой момент ей воспользоваться, поэтому рабо-

13

тать больше не обязательно. Твоя же книга помогла мне понять, что умения могут локализоваться в каких-то определенных зонах мозга: если система нейронов время от времени не возбуждается употреблением соответствующей техники, она отмирает.

Ж.-П.Ш.: То есть существуют некие материальные следы, образуемые прежним математическим опытом.

А. К.: Точно так. Необходимо время от времени открывать ящички, закрытые давным-давно. Иначе явная бесполезность их содержимого приведет к постепенному разрушению этого самого содержимого.

2. Пересмотр иерархии наук

Ж.-П.Ш.: Я бы хотел, чтобы в нашей дискуссии мы затронули три темы: прежде всего отношения математики с другими науками, далее вопрос о реализме и конструктивизме и, наконец, отношение чисел и опыта.

Что касается статуса математики по отношению к другим наукам, то здесь противопоставляются два положения: Декарта-Лейбница и Дидро. Для первых математика представляет мир в истинном свете и позволяет объединить между собой все науки. Каким бы ни был изучаемый объект, он всегда приведет к математике! Дидро же, несмотря на то, что был близок к таким выдающимся математикам, как д'Аламбер, отвергает это положение. Он утверждает, что математика не дополняет опыт, она лишь «создает завесу между природой и людьми»! Фрэнсис Бэкон еще в 1623 году писал: «... я не знаю, как получается так, что логика и математика, которые должны быть не более чем служанками физики, пусть и гордыми порой своею точностью, непременно желают физикой управлять» [1, с. 103].

А. К.: Многие сейчас склонны - и не без оснований - воспринимать математику как некий язык, необходимый для формализации практически всех остальных наук. Неважно, количественная это формализация или качественная, она всегда должна происходить при помощи математики.

Ж.-П. ILL: Примерно об этом и говорят Декарт и Лейбниц.

А. К.: Да, но они добавляют, что все, в конце концов, приходит к математике. Есть одна история, которую очень хорошо знают физики и которая заставляет задуматься об обратном. У од-

14

ного физика, приехавшего на конференцию, за неделю накопилось много грязного белья. Он отправился на поиски прачечной. В конце концов, прогуливаясь по центральной улице города, он заметил лавку, на вывеске которой было написано «Бакалея - Булочная - Прачечная». Неся в руке пакет с грязным бельем, физик зашел в лавку и спросил, к какому сроку они смогут выстирать его белье. Хозяин лавки, математик, ответил ему: «Мне очень жаль, но мы не стираем белье». «Как же так, удивился физик, на вашей вывеске написано "прачечная"!» Математик ответил ему: «Мы не стираем... мы вывески продаем!» Физик ушел и выстирал свое белье сам. Как показывает эта история, слова - это еще не все! Физики используют математику как язык, но фактическое содержание их науки не ограничивается одной лишь математикой.

Ж.-П. Ш.: Математика - это язык. Очень строгий, но все же язык, ни больше, ни меньше.

А. К.: Однако физические статьи не ограничиваются одними лишь математическими выражениями. Физические гипотезы часто не имеют четкой формулировки и происходят от так называемой «физической интуиции». Такие гипотезы позволяют физикам, в частности, не учитывать некоторые величины или делать приближения, о которых математику сложно было бы догадаться. К примеру, понадобилось всего лишь двадцать лет (1930-1950), чтобы физики смогли разработать метод перенормировки в теории поля. Суть его заключается в вычислении возмущения, все члены которого, начиная со второго порядка, дают расходящиеся интегралы. Физики [4, с. 339], вдохновленные необычайной точностью экспериментальных результатов, полученных в спектроскопии в конце 40-х годов (тонкая структура спектра испускания атомов) [69, с. 241], безуспешно пытались получить из этих расходящихся интегралов осмысленный конечный результат. Для этого они свели область интегрирования к энергиям порядка гас2, где га - масса электрона, а с - скорость света. Благодаря такому ничем не обоснованному усечению, они получили окончательный результат, очень близкий к результатам эксперимента. Эта методика была постепенно усовершенствована· Томонагой, Швингером, Фейнма-ном и Дайсоном вплоть до достижения практически полного согласия с экспериментальными результатами - соответствующую погрешность можно получить, измерив расстояние между Парижем и Нью-Йорком с точностью до толщины человеческого воло-

15

са. Какова же в этом умозаключении роль физической интуиции? Суть механизма перенормировки заключается в том, что в процессе вычислений масса электрона заменяется величиной, которая зависит от значений рассматриваемых энергий, причем расходится, когда эти значения стремятся к бесконечности. Для сравнения возьмем очень простой пример. Вычисление по закону Архимеда ускорения заполненного гелием шара, отрывающегося от земли в момент Т = О, не даст тех результатов, что мы наблюдаем в действительности. На практике присутствие поля окружающего шар воздуха требует при вычислении замены реальной массы шара его эффективной массой, которая значительно больше. Исходя из этого примера, можно предположить, что помещенный в электромагнитное поле электрон обладает эффективной массой, которая существенно отличается от его «реальной» массы - той, что входит в математические уравнения. На основании этого интуитивного предположения физикам удалось разработать метод перенормировки, который, разумеется, получил впоследствии строгую математическую формулировку. Столкнись с той же самой проблемой математики, вряд ли они пришли бы к такому решению. Физическая интуиция позволяет ученым достаточно свободно обращаться с требованиями математической строгости. К примеру, интеграл Фейнмана на данный момент не соответствует никакому математическому объекту, что ничуть не мешает ему являться хлебом насущным для физиков-теоретиков.

И все же было бы неверно думать, что по отношению к физике математика играет лишь роль средства выражения результата. Когда теория находится в стадии разработки, на зачаточном уровне, математика действительно выполняет эту функцию. Но на более поздних этапах, как в случае квантовой механики, решающую роль начинает играть генеративный характер математики. Разве не замечательно, что периодическую таблицу химических элементов Менделеева можно восстановить при помощи уравнения Шредингера и принципа исключения Паули? Вот почему математик думает, что физику можно свести к определенному количеству уравнений. Однако очень часто прийти к этим уравнениям помогает именно интуиция физика.

Ж.-П. Ш.: Ты хочешь сказать, что экспериментальный контекст в физике позволяет создавать математические объекты. Ведь уравнения не падают с ясного неба. Уравнение изначально присутствует в истории отношений физика с объектом исследования.

16

По мере продвижения физик постепенно разрабатывает математический инструментарий, адаптированный к поставленной задаче.

А. К.: Это еще не все. Математик может преуспеть и в манипуляции объектами, имеющими тот или иной физический смысл. Но если математик не отдает себе полного отчета в том, откуда и как эти объекты взялись, то он может с большой легкостью наделать ошибок, которых физик никогда не совершит. Утверждение о том, что математика предлагает язык, который способен точно описать то, что открывают физики, представляет собой проявление этакого непомерного авторитаризма. Физики неохотно формулируют свои предположения в манере, достаточно точной с математической точки зрения, опасаясь их обеднить. И наоборот, некоторые последние успехи [87] в интерпретации квантовой механики показывают, что попытка математической формализации может помочь избежать парадоксов, часто возникающих вследствие неадекватности используемого физиками языка или недостаточного внимания к собственно логике.

Ж.-П. Ш.: То есть язык математики - язык аутентичный. Но является ли он при этом и единственным?

А. К.: Это единственный универсальный язык. Вне всякого сомнения. Чтобы понять это, вообразим, что нам предстоит вступить в контакт с какой-либо иной разумной формой жизни, обитающей на другой планете и вообще в другой солнечной системе... Что мы должны предпринять? Естественно, те «люди» не говорят ни на одном известном нам языке и, возможно, даже не обитают в кислородно-азотной атмосфере, проводящей звуки нашей речи.

Ж.-П. Ш.: Однако для того, чтобы вступить в общение с ними, необходимо, чтобы их математика была такой же, как наша.

А. К.: В этом я убежден... Я даже думаю, что именно математика и будет в данном случае лучшим средством коммуникации. Мы передадим им последовательность целых чисел, например, от 1 до 1000. Передачу построим следующим образом: сигнал, затем длинная пауза, за ней два сигнала и длинная пауза, потом три сигнала и длинная пауза и т. д. Далее сообщим им правила сложения. Модулировать при этом мы можем только количество сигналов и разделяющий их временной интервал. Например, чтобы передать 3-1-2 = 5, мы должны составить следующее послание: три последовательных сигнала, пауза, два последовательных сигнала, двойная пауза, пять сигналов. Разумеется, очень важно добиться того, чтобы послание не было двусмысленным. Так можно будет

17

сообщить им таблицу сложения и таблицу умножения в каких-то разумных пределах. Главная сложность заключается в том, чтобы убедиться, что они поняли смысл послания. Для этого можно отправить им, скажем, незаконченный пример на сложение. Вполне может быть, что ответа придется ждать тысячелетиями. И тем не менее, положительный ответ станет неоспоримым доказательством существования иного разума за пределами нашей солнечной системы. Доказательством более основательным, нежели идущие из межзвездного пространства периодические сигналы, - наподобие тех, что очень изумили астрономов, открывших первые пульсары. На более высоком уровне мы могли бы сообщить им начало последовательности, например от 1 до 1000, и попросить их продолжить ряд.

Ж.-П. Ш.: Здесь есть риск очень долго прождать результата. И даже если такая коммуникация состоится, то что это докажет? Ты утверждаешь, что эти «люди» «не говорят ни на одном известном нам языке», и в то же время пользуются той же математикой, что и мы. Боюсь, что с этим я согласиться не могу. По всей видимости, многие фундаментальные процессы в мозге человека не зависят от того, на каком языке он говорит, включая и язык математики. Если наши инопланетяне пользуются «человеческой математикой», то у них должны быть схожие с человеческими мозг и нервная система!

3. Изобретение или открытие?

Ж.-П. Ш.: Вернемся к разговору о природе математических объектов. Существуют две диаметрально противоположные позиции: «реализм» и «конструктивизм». Для «реалиста», мировоззрение которого восходит непосредственно к Платону, мир наполнен Идеями, реальность которых отлична от реальности осязаемой (см. рис. 1). Многие из современных математиков считают себя «реалистами». Дьедонне, например, пишет в своей книге: «Довольно сложно описывать взгляды этих математиков, особенно если учесть, что взгляды эти от работы к работе меняются. «Реалисты» полагают, что математические объекты обладают некоей собственной «реальностью», отличной от реальности осязаемой (быть может, похожей на ту, которой Платон наделял свои «Идеи»?)». Один математик, не менее известный, чем Кантор, как-то писал:

Гравюра XVII века, иллюстрирующая на аллегории Пещеры знаменитый пассаж Платона о Республике. Сократ и Глаукон беседуют о «реальности» отбрасываемых на стену пещеры теней по отношению к реаль-

ности объектов, эти тени отбрасывающих. Для Платона видимое есть лишь тень реальности, идеи же обладают независимой от остального мира экзистенцией. (Французская национальная библиотека.)

20

«Возможность сотворения бесконечного множества есть проявление наивысшего совершенства Господа, исток же этого совершенства в Его безграничной благости». И тут мы глубоко погружаемся в mathesis divina1 - иначе говоря, в совершенную метафизику! Чем и поражают работы серьезных ученых. Еще Декарт обращался к метафизике, размышляя о геометрии: «... когда я представляю себе треугольник, - писал он, - подобной фигуры, быть может, не существует более нигде в мире вне моей мысли, быть может, ее и вовсе никогда не существовало, что не мешает ей, тем не менее, обладать некоей определенной природой, формой, или сущностью, которая неизменна и вечна, которую я отнюдь не выдумал, которая никоим образом не зависит от моего разума» [25, с. 311]. Для «конструктивистов» математические объекты - это объекты разума, существующие исключительно в разуме математика. Не в платоновском мире, независимом от материи, а только в нейронах и синапсах математиков, эти объекты порождающих, равно как и тех, кто упомянутые объекты воспринимает и использует. Ту же точку зрения - естественно, доведенную до крайности - мы находим у философов-эмпириков, таких, как Локк или Юм. Последний писал, к примеру, что «все наши идеи суть оттиски наших впечатлений». Он полагал, что все геометрические объекты происходят исключительно из опыта. К какой из этих двух противоположных точек зрения ты бы отнес себя?

А. К.: Мне кажется достаточно близкой позиция реалистов. Последовательность простых чисел, например, обладает для меня куда более прочной реальностью, нежели окружающая нас реальность материального мира. Математика можно сравнить с путешественником, открывающим мир. В процессе практической деятельности он обнаруживает всевозможные «сырые» факты. Например, производя элементарные вычисления, математик замечает, что последовательность простых чисел, судя по всему, не имеет конца. Далее ему необходимо доказать, что ряд простых чисел действительно бесконечен. Этот результат был получен еще Евклидом в глубокой древности. Если же кто-то возьмется утверждать обратное, представив якобы самое большое простое число, то будет очень легко доказать, что он не прав. Таким образом, нам

1От греч. ??????? «учение, знание» и лат. divinum «божественное». - Прим. перев.

21

открывается реальность столь же несомненная, как и реальность материального мира.

В поисках математической реальности математик создает «мысленный инструментарий». Этот инструментарий не следует путать с самой математической реальностью. Например, десятичная система - привычный нам инструмент мысли, но было бы ошибочно приписывать какой-то иной смысл десятичным цифрам, составляющим какое-либо число. Скоро мы будем праздновать наступление 2000 года. Значимость этого числа - сугубо культурный феномен. Для математика число 2000 не представляет никакого интереса. Из всех методов, которыми располагает математик для изучения математической реальности, я бы выделил аксиоматику. С ее помощью можно ставить задачи по классификации математических объектов, определяемых некоторыми простыми условиями. Мы можем, например, точно определить количество конечных тел. Конечное тело есть конечное множество, в котором выполняются законы сложения и умножения, в соответствии с которым у каждого ненулевого числа имеется число обратное. Правила, удовлетворяющие закону сложения и умножения, совпадают в данном случае с знакомыми нам правилами для сложения и умножения целых чисел. Можно доказать, что для каждого простого числа p и каждого целого числа n существует некоторое конечное тело, причем одно-единственное, содержащее рп элементов. Раз у нас есть такие теоремы, это означает, что хотя бы одна область математики уже исследована во всех даже самых дальних ее закоулках - по крайней мере, в том, что касается перечня возможных объектов. И все это без опоры на материю.

Ж.-П.Ш.: А мне, напротив, кажется, что математические объекты существуют в твоем мозгу физически. Ты внутренне исследуешь их в процессе осознания, в физиологическом смысле этого слова. Если ты можешь изучать их свойства, то только потому, что объекты эти обладают физической реальностью. Ты упоминал об эксперименте с мысленным вращением объектов [93, с. 18], которое обрабатывается мозгом физически. Наш мозг - это сложный физический объект. В этом качестве он создает «представления», отождествляемые с физическим состоянием. Математические же объекты могут стать в голове математика объектами материальными - иначе говоря, «мысленными объектами» [9] со свойствами, которые можно анализировать посредством мыслительного процесса (рефлексии). С помощью этого процесса можно вызывать

22

и другие, более обыденные, математические объекты, которые ты называешь инструментами. Не думаю, что они имеют совершенно разную природу, несмотря на разный уровень их сложности и абстрактности. Наконец, работа математика требует от мозга способности к рассуждению, к осуществлению логических построений, что, на мой взгляд, непосредственно связано с организацией нашего мозга, и эта способность уже должна была существовать, по крайней мере, частично, в те времена, когда Homo erectus развивал стратегии обработки каменных орудий (см. рис. 2). Упомянутые «математические объекты» отождествляются с физическими состояниями нашего мозга таким образом, что мы, в принципе, можем наблюдать за ними извне, благодаря методам визуализации работы живого мозга. На данном этапе разрешающая способность этих методов еще недостаточна, чтобы использовать их максимально эффективно, однако сама идея, несомненно, заслуживает внимания.

А. К.: Если мы признаем существование некоей математической реальности, независимой от человека, то необходимо четко отделить эту реальность от способа ее постижения. Ясно, что для восприятия этой реальности наш мозг использует собственную физическую систему визуализации - по крайней мере, для восприятия обычной геометрии, в основе которой лежат действительные числа и евклидово пространство. Тем не менее, вооружившись аксиоматическим методом, не говоря уже о других, математик может решиться выйти за пределы этой всем известной области. Как же функционирует в тех неизведанных краях система мысленной визуализации? Рассмотрим один пример. К настоящему моменту уже создана полная классификация локально компактных полей. Такие поля мы умеем точно определять - иначе говоря, мы способны определять математические объекты, в пределах которых действуют законы сложения и умножения, а каждое ненулевое число имеет обратную величину, причем объекты эти локально компактны. Нам известна действительная прямая, на которую опирается вся физика. Однако имеются еще и такие весьма странные поля, которые мы называем р-адическими (см. рис. 3). До сих пор они еще ни разу не помогли решить ни одну физическую задачу. Однако они существуют и параметризуются простыми числами таким образом, что каждому простому числу соответствует некоторое р-адическое число. Нам известны также малые вариации этих полей, называемые алгебраически-

23

Рис. 2. Предки Homo sapiens разрабатывают способы обтесывания каменных орудий труда, требующие одновременно известной точности движений и высокой степени предвидения в ходе ручной работы. Способности к логическому представлению и рассуждению были уже очень развиты у того Homo erectus, который изготовил эти орудия и приручил около 400000 лет назад огонь... Судя по легкой асимметрии между отпечатками правого и левого полушарий на костях черепа, Homo erectus уже пользовался речью [70].

24

ми расширениями: поле комплексных чисел, другие алгебраические расширения ?-адических полей и, наконец, поля формальных степенных рядов над конечными полями. Физическое применение находит только одно, или, скорее, два из всех этих полей: действительное и комплексное. С такими числами, как р-адиче-ские, можно производить вычисления. Однако выглядит все это так, словно вместо того, чтобы считать слева направо, мы считаем справа налево. Понятия разрядности и значения числа здесь не соответствуют нашему привычному представлению об этих понятиях. Такие вычисления может с одинаковым успехом производить как компьютер, так и человеческий мозг. Вот только сложно найти достаточно простую физическую модель, способную выступить в качестве основы для мысленной визуализации этих вычислений. Мне, впрочем, думается, что мозг с его способностью к адаптации вполне может сформировать интуитивное представление, не имеющее никакой связи с физической реальностью, но адекватное для решения поставленных математических задач.

Ж.-П.Ш.: Мне кажется, ты не проводишь достаточно четкой грани между собственно математическими объектами и их свойствами. Эти объекты представляют собой «новые конструкции», представление о которых математик вырабатывает еще до того, как он изучит все их свойства. Поначалу математик располагает лишь «предположениями», или «постулатами», которые затем он может доказать или опровергнуть. Именно в предположениях, в изначально постулируемых конструкциях, мы прикасаемся к природе математических объектов. Еще Джон Стюарт Милль предлагал говорить, что «факт, получивший численное определение, есть факт материальный» [79]. Нет ничего удивительного в том, что целые числа обладают теми или иными свойствами. Эти свойства содержатся в том самом определении, которое предлагает математик на основании своего первоначального интуитивного предположения. Однако для изучения этих свойств требуется время. Аксиоматика, логика и все соответствующие им функции мозга играют, таким образом, решающую роль в анализе и дедукции, т. е. выступают в роли логического аппарата. Одной из наиболее поразительных качеств человеческой мыслительной машины является ее способность не только создавать новые мысленные объекты, но и анализировать их свойства, которые зачастую, но уже a posteriori, кажутся крайне простыми.

25

Действительное число

в диадическом представлении

Сложение двух действительных чисел

10,010110100010...

10,0101101000100..

4- 1,1001001100110.,

- 11,1110110101010.

..0010001011010,01

,.0010001011010,01 ..0110011001001,1 4

,.1000100100011,11

р-адическое число, p - 2

Сложение двух р-адических чисел

Рис. 3. Пример сравнения сложения двух действительных чисел в диадическом представлении и сложения двух чисел в р-адическом представлении при p - 2. Соотношение действительных чисел определяется тождеством следующего вида: 0,00111111 ... = 0,0100000 ...

А. К.: В начальной школе детей учат сложению и делению простых чисел. Было бы значительно сложнее научить их манипулировать р-адическими числами. Почему? Да потому что в этом случае они пропустили бы очень важный для математической практики этап - контакт с реальностью. За пределами реальности мы теряем непосредственное ощущение величины и вынуждены заниматься чистыми вычислениями. Реальность, с которой мы имеем дело здесь, уже не является той осязаемой реальностью, которой обладают равнобедренные и какие угодно еще треугольники. Она гораздо шире. Когда мы производим вычисление двумя разными способами и не приходим к одному результату, мы испытываем настоящую фрустрацию. Такова математическая реальность для меня. Существует некая взаимосвязь, до сих пор не объясненная

26

и никак не зависящая от используемого нами набора методов рассуждения, которая гарантирует, что если все делать правильно, то ошибка обязательно отыщется. А здесь обнаруживается новая взаимосвязь, выходящая за пределы той взаимосвязи, что является продуктом чувственной интуиции, непосредственного восприятия феноменов.

Ж.-П.Ш.: То, что эта взаимосвязь пока не объяснена, еще не означает, что ее нельзя объяснить. Тем более если она, как ты утверждаешь, независима от используемого нами набора методов рассуждения.

4. Об историческом аспекте математики

Ж.-П.Ш.: У меня все же остаются сомнения относительно той точки зрения, которая утверждает, что математические объекты существуют где-то «во вселенной», независимо от каких-либо материальных и «внутримозговых» опор. Мне кажется полезным несколько дистанцироваться от работы математика и, в частности, от объектов, которые он создает. Математический объект следует помещать в тот исторический контекст, в котором он первоначально возник. Математику преподают как связную систему предположений, теорем и аксиом. При этом забывают, что все они появлялись постепенно, в процессе исторического развития математики и человеческих обществ - короче говоря, речь идет уже об объектах культурных, подверженных действию процессов эволюции. Помещение же математических объектов в историческую перспективу позволит их «секуляризировать», сделать не столь возвышенными, какими они порой представляются. Теория сменяет теорию, а некоторые теории, не опровергая предшествующие, привносят новый угол зрения. Так случилось, к примеру, с неевклидовой геометрией. Аксиомы неевклидовой геометрии образуют связное целое, т. е. здесь перед нами та самая взаимосвязь, которая так тебя удивляет и которая представляет собой, пусть только внешне, целостную систему, совершенно свободную от какой бы то ни было, как ты говоришь,* опоры на материю. И все же в XIX веке неевклидовы геометрии перевернули всю математику с ног на голову.

А. К.: Но ни в коей мере не нарушили целостности геометрии евклидовой! Более того, воспользовавшись этим примером,

4. ОБ ИСТОРИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ МАТЕМАТИКИ 27

можно продемонстрировать возможности и продуктивность аксиоматического инструментария. Поначалу геометрия Евклида воспринималась через посредство одного лишь физического опыта. Евклид попытался предложить несколько аксиом, позволяющих осуществлять так называемые доказательства. Одна из этих аксиом представлялась совершенно избыточной: аксиома о единственности параллельной прямой, которую можно провести через одну данную точку. Казалось, можно доказать, что эту аксиому нет необходимости выделять, что она следует из других аксиом. Именно благодаря попыткам доказать ее право на существование в виде аксиомы были открыты все неевклидовы геометрии. На протяжении значительной части XIX века эти геометрии воспринимались математиками как нечто крайне эзотерическое. Гаусс даже не решался публиковать полученные им результаты, опасаясь, что ему просто-напросто не поверят. Затем в один прекрасный день Пуанкаре обратил внимание на то, что геометрия поверхности с кривизной - 1 предоставляет удобный, хотя и необычный, способ решения задач теории чисел, которыми он в то время занимался вне связи с геометрией. Из этого наблюдения родилась его теория автоморфных функций. А что вообще привело нас к мысли о возможности существовании неевклидовых геометрий? Может быть, мы убедились посредством наблюдений, что окружающее нас пространство евклидовой геометрией не описывается? Нет, мы просто решали некую аксиоматическую задачу, пытаясь объяснить геометрию через по возможности наименьшее количество свойств.

Ж.-П. Ш.: Это опять же не доказывает, что математические объекты нематериальны! На мой взгляд, аксиоматический метод есть представление, формируемое теми или иными способностями мозга - например, когнитивными способностями, связанными у человека с использованием языка. А определяющим свойством языка как раз и является его генеративный характер.

А. К.: Здесь уместно упомянуть об одной присущей математике характерной особенности, которую очень сложно объяснить. Предположим, мы решили составить полный список математических объектов, определяемых некоторыми очень простыми условиями, и ценой значительных усилий нам это удалось. Интуитивно мы полагаем, что наш список полон и исчерпывающ, и, как правило, стараемся отыскать способ это доказать. Однако часто бывает так, что в процессе этого самого доказательства мы обна-

28 МАТЕМАТИКА и мозг

руживаем какие-то другие объекты. Возьмем, например, теорию конечных групп. Понятие это весьма элементарно - того же порядка, что и понятие целого числа. Конечная группа - это группа симметрии конечного объекта. Были предприняты попытки классифицировать так называемые простые конечные группы, т. е. такие группы, которые, подобно простым числам, нельзя разложить на более мелкие группы. Задача эта крайне сложна. Галуа показал, что при n ^ 5 группа парных перестановок множества из n элементов является простой. А француз Клод Шевалле построил ряды простых конечных групп, напоминающие так называемые ряды групп Ли. Можно было бы решить, что помимо этих групп и тех, что открыл в прошлом веке Матье, никаких других групп не существует. Однако когда попытались это доказать, было обнаружено еще 20 групп, которые в перечень Шевалле не попали: речь идет о так называемых спорадических группах. Около 15 лет назад отыскали последнюю простую конечную группу, удостоенную эпитета «чудовищная». Эта открытая путем чисто математического рассуждения конечная группа содержит весьма впечатляющее количество элементов:

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

На сегодняшний день специалистам удалось ценой героических усилий доказать, что список из 26 простых конечных спорадических групп наконец-то полон (см. рис. 4).

Ж.-П. Ш.: Я не понимаю, каким образом возможность исчерпать все возможные варианты доказывает, что рассматриваемый объект есть некая «идеальность», существующая вне зависимости от человека. Возьмем, например, какой-нибудь правильный объект, куб или пирамиду из каменной соли. Ясно, что их свойства можно перечислить очень быстро. Это, однако, не доказывает, даже если так думает сам Декарт, что эти свойства можно классифицировать, как «вечные и неизменные» и никоим образом не зависящие от нашего мозга. Когда математик вырабатывает те или иные правила логической взаимосвязи (правила исключения, формализм), он строит некий универсальный язык, который позволяет ему исследовать свойства объекта, который он сам предварительно создал. В итоге математическое «открытие» представляет собой не более чем вывод из того, что сам же математик и придумал! Математик вскрывает лишь то, что Гранже называет «формальным

4. ОБ ИСТОРИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ МАТЕМАТИКИ 29 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ________________________________________________

Определение

Конечная группа G задается конечным множеством G и законом композиции, т.е. представляет собой такое отображение G ? G на G (обозначаемое (gr1, д2) -> 9\9?,}< что:

1) 9? (92 9з} = (9? 02 ) 9з АЛ* всех 9г ? G<

2) существует такое е ? G, что eg - де = g; V g G G;

3) для всех g G G существует такое ^_г G G, что ##__! - g^1g = e.

Гомоморфизм группы G! на группу G2 есть такое отображение / множества GJ на множество G2, что 1(д1д2) = 1(дг 1(д2))> V 9? 92 ^ G-

Конечная группа G является простой тогда и только тогда, когда любой гомоморфизм G на G' является либо постоянным, либо инъективным.

Теорема классификации простых конечных групп Простыми конечными группами являются следуюище:

- циклические группы первого порядка;

- чередующиеся группы пятого или менее порядка;

- группы Шевалле и группа Титса;

- 26 спорадических групп.

Спорадические группы:

ГРУППА ПОРЯДОК ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

МГ1 24.32.5. 11 Матье

М12 26.33.5. 11 Матье

М22 27.33.5.7. 11 Матье

М23 27.32.5. 7. 11.23 Матье

М24 210.33.5.7. 11.23 Матье

J2 27.33.52.7 Холл, Янко

Suz 213.37.52. 7. 11. 13 Судзуки

H S 29. З2. 53. 7. 11 Хигмен, Симе

McL 27. З6. 53. 7. 11 Маклафлин

Со3 21?.37. 53.7. 11.23 Конуэй

Go2 218.36. 53.7. 11.23 Конуэй

Col 221.39. 54. 72. 11. 13. 23 Конуэй, Лич

Не 210.33. 52.73. 17 Хелд/Хигмен, Маккей

Fг22 217.39. 52. 7. 11. 13 Фишер

Fi23 218.313.52.7. 11. 13. 17.23 Фишер

Рг24 221, З16. 52. 73. 11. 13. 17. 23. 29 Фишер

HN 214.36.56.73. 11. 19 Харада, Нортон/Смит

Т h 215.310.53.72. 13. 19.31 Харада, Томпсон/Смит

В 241.313.56.72. 11. 13. 17. 19.23.31.47 Фишер/Симе, Леон

M 246. З20. 59. 76. 112. 132. 17. 19. 23. 29. 31. Фишер, Грисс

41.47.59.71

J1 23.3.5.7. 11.19 Янко

O'N 29.34. 73.5. 11. 19.31 О'Нан/Симс

J3 27.35.5. 17. 19 Янко/Хигмен, Маккей

Ly 28.37.56. 7. 11.31.37.67 Лайонс/Симс

Ru 214.33.53.7. 13.29 Рудвалис/Конуэй, Уэйлс

J4 221. З3. 5. 7. II3. 23. 29. 31. 37. 43 Янко/Нортон, Паркер, Бенсон,

Конуэй, Тэкрей

Рис. 4

30

содержанием» [43, с. 474-498]. Вряд ли сегодня кто-нибудь (за исключением, пожалуй, людей верующих, да и то не всех) станет утверждать, что Слово было прежде Материи!

5. Не является ли математика просто языком?

Ж.-П. Ш.: Когда мы говорим, мы манипулируем понятиями. Ты описываешь ряд рассуждений, т. е. мысленных или внутримоз-говых процедур, оперирующих конкретными объектами, которые ты себе представляешь. Можно вообразить себе, например, греческого геометра, рисующего на песке простые фигуры и изучающего их свойства. Ничего из того, что ты говоришь, не убеждает меня в том, что объекты обладают реальностью вне нашего мозга. Даже если ты можешь точно определить их количество и природу в самом связном и организованном виде. Более того, из твоих рассуждений следует, что математические объекты лишены какой бы то ни было «реальности» в платоновском смысле этого слова. Ты согласен с тем, что математика представляет собой язык, кроме того, известно, что существует некоторое количество языков элементарных... Возможно, математика представляет собой некий усовершенствованный продукт синтеза всех этих языков, нечто вроде универсального языка... Но ведь никому не приходит в голову, что китайский, например, или русский языки существовали в мире до появления человека. Так откуда лее возникает подобная гипотеза относительно математики?

А. К.: Ничто не доказывает, говоришь ты, реальности этих объектов вне нашего мозга. Давай сравним математическую реальность с окружающим нас материальным миром. Что еще доказывает реальность этого материального мира, кроме восприятия его нашим мозгом? Главным образом взаимосвязанность наших восприятий и их постоянство. Говоря точнее, взаимосвязанность осязания и зрительного восприятия у одного и того же индивида. И согласованность между восприятиями разных индивидов. Ту же природу имеет и реальность математическая. Вычисление, выполненное разными способами, дает один и тот же результат, независимо от того, выполнено оно одним индивидом или несколькими. Истинность теоремы Евклида о простых числах не зависит от того или иного способа ее восприятия. Верно и то, что математика используется в качестве языка другими на-

31

уками. Впрочем, сводя математику к одной лишь этой функции, можно совершить серьезную ошибку. Именно поэтому сравнение с китайским языком кажется мне не вполне оправданным. Математическую реальность начали изучать в тех ее зонах, где связываемые с реальным миром мысленные образы оказываются очень простыми. Такова, например, евклидова геометрия. В дальнейшем же, благодаря аксиоматическим процедурам или некоторым возникающим в теории чисел задачам, стало возможным достичь областей, куда более отдаленных, нежели реальность материальная. Тем не менее, реальность, с которой мы имеем дело в этом случае, столь же прочна, как и реальность нашего обыденного привычного окружения. Растерянность, испытываемая математиком, который не может понять, что же происходит в этой самой реальности, вполне можно сравнить с растерянностью слепого, который ищет дорогу. Это наводит меня на следующую аллегорию: представь, что я живу в деревне, из которой не могу уехать, и что за десяток километров от нее возвышается огромная башня. Если бы я был единственным слепым в деревне, мои соседи потратили бы уйму времени, описывая мне эту башню, существование которой не вызывает у них никакого сомнения, в то время как я не жалея сил уверял бы их в том, что эта башня есть всего лишь мысленная конструкция, обусловленная какими-то визуальными феноменами, о природе которых можно только догадываться. Так же, к сожалению, обстоит дело и с математической реальностью, существование которой можно спокойно отрицать, до тех пока не столкнешься с ней лицом к лицу.

Ж.-П. ILL: Эта «взаимосвязанность восприятия» внешнего мира производится твоим мозговым аппаратом, но на уровне абстракции, подчиненном уровню математических объектов. То, что в математических объектах можно обнаружить универсальные свойства, не доказывает, что они более независимы от человеческого мозга, чем слово «государство» или, скажем, «счастье». Разница лишь в том, что математические концепции допускают более точное и ограниченное определение и обладают, таким образом, более определенными, более «универсальными» свойствами.

С другой стороны, мне кажется, ты злоупотребляешь метафорой. Ты сравниваешь математическое исследование с исследованием континента или деревни со всеми ее улицами и башнями. Однако эта метафора переводит нашу дискуссию с абстрактного

32

математического уровня на уровень более низкий, конкретный, образный, который ни в коем случае не следует выдвигать на первый план. Метафора не может иметь доказательной силы. Еще хуже то, что ты играешь с различными и даже противоречивыми значениями слов «реальность» и «реализм». «Реализм» - это, прежде всего, платоновская доктрина, следуя которой Идеи составляют часть некоего мира, отличного от мира материального, и обладают реальной экзистенцией на более высоком уровне, чем существа индивидуальные и чувственные, являющиеся лишь отражением и изображением идей (см. рис. 1). Но это также доктрина, согласно которой бытие не зависит от актуального знания о нем тех или иных обладающих сознанием субъектов. И, наконец, «реалистом» является тот, кто постулирует разницу между природой бытия и природой мысли: бытие не выводится из мысли и не может быть адекватно и исчерпывающе выражено в логических терминах. К сожалению, твои метафоры уводят тебя от первого значения к третьему, в то время как сами эти значения противоречат друг другу! Что касается меня, то я употребляю слово «реализм» или термин «реальность», главным образом, в неплатоновском смысле, который представляет собой своего рода компромисс между другими двумя определениями. Я полагаю, что материя в разных своих состояниях, живые существа и собственно люди существуют независимо от человеческого мышления и актуальных знаний о них, которыми располагают существа, обладающие сознанием. Человеческая же мысль, сама являющаяся выражением некоего особого состояния материи, пытается описать эту «самость», эту ultima actualitas1. Основываясь на опыте, мысль пытается дать ей какое-нибудь последовательное определение, причем оно не обязательно должно быть исчерпывающим. Таким образом, я четко различаю реальность материальную и то, что ты называешь «реальностью математической». Существование этой последней, как мне представляется, связано с мышлением человека, которое, в свою очередь, является продуктом эволюции живых организмов.

Окончательная реальность (лат.) - Прим. перев.

Материалист ли Платон?

1. Интеллектуальная аскеза материалиста

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Твои тезисы о природе математических объектов кажутся несколько парадоксальными: ты защищаешь точку зрения платониста, убеждая меня в то же время в наличии у твоих воззрений материалистического фундамента. Может быть, нам прежде следует отказаться от всего того, что можно назвать материализмом или, скорее, материалистическим методом, материалистической, иначе говоря, программой? Речь идет, как показывает Ж. Т.Дезанти в своей «Безмолвной философии» [24], о попытке объяснения, требующей минимального количества материала и ограничивающейся, по возможности, законами физики и химии. Таким образом, материализм предполагает, употребляя термин Спинозы, emendatio intellectus, усовершенствование разума, в форме интеллектуальной «аскезы», с помощью которой мы пытаемся избавиться от преследующих нас мифических пережитков, в частности, от платонизма. Материалистическое объяснение способствует реинтеграции человека с природой. В упомянутой работе, которую я нахожу превосходной, Дезанти показывает, что эта задача предполагает построение моделей реальности, которые всегда содержат в себе, следуя его терминам, «субмодель», к построению которой мы подходим с особой тщательностью. Он полагает, что «знание производится именно моделью множества процессов, и ее важно построить так, чтобы 1) она была соотносима с моделью реальности, и 2) из нее была бы явно устранена любая апелляция к трансцендентности в какой угодно форме. Чтобы закрепить предложенные идеи, назовем такую субмодель аппаратом познания, потребовав тем самым его создания» [24, с. 139]. Для нейробиолога таким аппаратом познания, который позволяет охватить реальность и построить ее модели, является, естественно, мозг. Дезанти, философ математики, четко формулирует проблему природы математики в нейробиологических терминах, однако счи-

34

тает, что разрешить эту проблему невозможно. Он далее писал однажды, что «построение адекватной модели аппарата познания может быть только химерическим ... остается, следовательно, полагаться лишь на слабую материалистическую эпистемологию» [24, с. 145]. Такое мнение философа является следствием недостаточного развития нейронаук - что, увы, не редкость; следует, кроме того, отметить, что в то время недостаточно развиты были не только нейронауки, но и когнитивные науки вообще.

Я, напротив, являюсь сторонником сильной материалистической эпистемологии, она одна кажется мне приемлемой для опытного ученого, который честен сам с собой. Эта точка зрения не нова. Она была сформулирована еще Демокритом, философом-досократиком, который, если верить легенде, всегда улыбался (см. рис. 5). Вообще, история помнит многих ученых, имевших мужество придерживаться именно такого взгляда на мир, невзирая на преследования: Ванини, сожженный инквизицией в Тулузе в 1619 году, анатом Везалий и, конечно же, Галилей - это лишь некоторые из жертв нетерпимости, все еще встречающейся даже в наши дни.

Итак, необходимо определить составляющие того, что Дезан-ти называет аппаратом познания, и попытаться описать результаты работы этого аппарата, в частности, в области математики. Аппарат познания есть «механизм абстракции или конструкции, производящий типы и классы объектов, исходя из осязаемой материи, которую в оригинальном виде поставляет разуму окружающий мир». Это отличное определение функционирования мозга. Задача нейробиолога, желающего реализовать сильную материалистическую эпистемологию, состоит, таким образом, в том, чтобы описать, в частности, то, как человеческий мозг порождает объекты, включая, помимо прочего, и математические объекты. На какие мысли наводит тебя такой материалистический подход?

АЛЕН Конн: С одной стороны - независимо от человека существует математическая реальность, необработанная и незыблемая; с другой стороны - мы воспринимаем ее посредством нашего мозга, расплачиваясь, как говорил Валери, редким слиянием сосредоточенности и желания. Что до меня, то я провожу различие между математической реальностью и инструментами, с помощью которых мы ее изучаем, и допускаю, что мозг - это материальный инструмент исследования, не содержащий ничего божественного и не имеющий ничего общего с трансцендентностью в какой

35

Рис. 5. Портрет Демокрита кисти Антуана Койпеля (1692). Демокрит родился где-то между 500 и 457 г. до н. э. в Абдере, одной из ионийских колоний, где соприкасались греческая и восточная культуры. Демокрит прожил очень долгую жизнь - по разным источникам, от 100 до 109 лет. Он был современником Сократа и, считается, вместе с Левкиппом, основателем философии атомизма; по утверждению Ницше, Демокрит стал первым мыслителем-рационалистом, исключившим из процесса мышления какие бы то ни было мифические элементы. Демокрита традиционно изображают улыбающимся, что как бы символизирует его триумфальную победу над иррациональными страхами и предрассудками. (Лувр)

36

угодно форме. Чем лучше мы поймем, как он функционирует, тем лучше мы сможем его использовать. Однако математическая реальность от этого все равно не изменится. Она просто не может измениться - не более, чем может измениться последовательность простых чисел. Изменится лишь сумма наших познаний. Если бы я был лишен ощущений, с материалистической точки зрения, то я вполне мог бы утверждать, что «человеческий разум» только тем и занят, что совершенствует свои познания о физическом и биологическом функционировании мозга. Я далек от этой мысли. Следовательно, моя позиция разумна.

Ж.-П. Ш.: «Независимость» нуждается в определении. В рамках платоновского реализма она означает «нематериальность». Однако мне очень хотелось бы узнать о физических носителях математических объектов, независимое существование от человеческого мозга которых ты постулируешь, провозглашая себя при этом материалистом. С трудом могу представить себе существование в природе, скажем, целых чисел. Было бы весьма занимательно наблюдать число ? = 3,1416, начертанное золотом в небесах, или же постоянную 6,02 ? ??23 в бликах хрустального шара! Атомы в природе существуют. Безусловно. А атом Бора? Его нигде нет. Курица может, в случае необходимости, определить на глаз количество снесенных ею яиц, в лучшем случае, отдать себе отчет в том, какое пространство яйца занимают в гнезде. Но она наверняка не сможет ни сосчитать до десяти, ни определить те или иные свойства целых чисел. Мне кажется, что математика представляет собой, скорее, некий формальный язык, максимально упрощенный и свойственный лишь человеческому роду.

А. К.: Я полагаю, не следует смешивать математическую реальность с ее возможным воплощением в природных феноменах. Когда я говорю о независимом существовании математической реальности, я вовсе не локализую ее в реальности физической. Некоторые из физических моделей действительно используют математику для описания природных явлений, но мы совершили бы серьезную ошибку, сведя всю математику к этим явлениям. Я думаю, что математик раскрывает «смысл», несводимый к зрению, слуху, осязанию, - смысл, позволяющий ему воспринимать реальность, столь же ограниченную, как и физическая реальность, но намного более стабильную, поскольку она не локализована в пространстве и времени. Когда исследователь постигает географию математики, он постепенно начинает чувствовать контуры и структуру матема-

37