Часть 2.

тического мира, необычайное богатство этой структуры. В нем постепенно развивается чувствительность к понятию простоты, которое дает ему возможность проникать во все новые области математического ландшафта.

Ж.-П. Ш.: То есть твоим главным аргументом является простота. А нельзя ли точно так же сказать, что, к примеру, тема Седьмой симфонии Бетховена тоже чрезвычайно проста?

А. К.: Да, но она не настолько необходима. В этом разница.

Ж.-П. Ш.: Но ведь эту необходимость создает твой собственный мозг. Эту простоту порождаешь ты сам, сравнивая свои мысленные представления друг с другом или с природными объектами, констатируя их адекватность или неадекватность с помощью упомянутого тобой чувства, которое, как мне кажется, является продуктом соответствующей способности нашего мозга. Еще раз спрошу, не доказывает ли это, что такая простота имеет нематериальное происхождение?

А. К.: Разница с симфонией Бетховена заключается в следующем: в математике мы можем раз и навсегда доказать, действительно доказать, поставленную перед нами задачу - возьмем для примера все те же конечные группы, полным списком которых для исследуемых объектов мы располагаем. Однако нет ни одной теоремы, которая позволила бы нам вывести из первой темы всю остальную симфонию Бетховена.

Ж.-П. Ш.: Важное различие. Однако это «генеративное» свойство математики мы обнаруживаем и в другой форме - в записи музыки, в частности, у Баха, Булеза, современных композиторов. Что составляет одну из черт, характерных для человеческого языка, самым простым способом выражения которого является синтаксис. Определенной генеративностью могут при этом обладать сами понятия. Рассмотрим, к примеру, понятие свободы. Несмотря на то, что это понятие не является математическим, оно обрело во времена Французской Революции немалые генеративные способности, которые сохраняет и в наши дни. Сколько новых понятий, сколько законов основываются на определении свободы! В нем - источник целого ряда социальных реорганизаций, новых прав человека и прочих потрясений государственных структур (см. рис. 6). Тем не менее, никто же не говорит, что свобода существует в природе независимо от человека. Естественно, предложенное тобой математическое доказательство имеет вид намного более строгий, завершенный, полный, связный и прочая и прочая,

38

чем то, что история смогла вывести из понятия «свобода». Однако не сравнимо ли в этом смысле такое абстрактное понятие, как свобода, с понятием целого числа - если, разумеется, не принимать в расчет смысловой нагрузки каждом из этих понятий? Почему различие в их природе представляется нам столь глубоким?

А. К.: Не будем путать инструмент и исследуемую реальность. Понятие свободы было выработано человеческим разумом постепенно с тем, чтобы объяснить те или иные поступки живых существ. В их реальности я ничуть не сомневаюсь! Так же и математик разрабатывает те инструменты (например, аксиоматический метод) или понятия (например, понятие общей топология или вероятности), которые позволили бы ему лучше понять, скажем, последовательность простых чисел. Однако то, что с течением времени разрабатываются различные понятия и методы исследования, вовсе не искажает реальность этой последовательности. Это лишь позволяет лучше ее понять. Твой отказ допустить существование математической реальности происходит, с одной стороны, из смешения понятийного аппарата с реальностью, а с другой - из того, что существующая физическая иллюстрация математики весьма неполна.

Ж.-П.Ш.: Я ни в коем случае не смешиваю понятийный аппарат и реальность в том смысле, в котором я употребляю это слово. Поскольку для меня этот «аппарат» служит для изучения свойств объектов, производимых мозгом математика и имеющих аутентичную физическую реальность. И наоборот, я не считаю, что аксиоматический метод является понятием. Это церебральная процедура. Тогда как целое число - это понятие, упрощенное «мысленное представление», изначальные свойства которого легко определить. По-моему, «свобода» представляет собой аутентичное понятие, и ее никоим образом нельзя сравнивать с аксиоматическим методом.

2. Математический психоанализ

А. К.: Одна из важных черт работы математика - это способность распознавать внутреннюю связь и свойственный некоторым понятиям генеративный характер. Некоторые весьма простые понятия могут порождать другие идеи или модели самого разного рода. Постепенно начинаешь испытывать ощущение, будто иссле-

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПСИХОАНАЛИЗ

39

Рис. 6. Статуя Свободы, площадь Тяньаньмень, Пекин, 29-30 мая 1989 года. (© Agence Vu: Manuel Vimenet)

40

дуешь новый мир... и достигаешь той связности, которая ясно показывает тебе, что вот еще одна из областей этого мира исследована полностью. Ты чувствуешь, что этот мир существует и существует независимо от тебя.

Ж.-П. LLL: Ты говоришь «чувствуешь»? Означает ли это, что твое отношение к математике является скорее чувственным, чем аналитическим ?

А. К.: Скорее, здесь можно говорить об интуиции - об интуиции, выработанной кропотливым трудом. Моя позиция основывается, с одной стороны, на фрустрации, которую я часто испытываю от неполного или противоречивого решения задачи, а с другой стороны - на прямом контакте с математическими объектами, контакте, который и порождает интуицию, естественно отличную от интуиции, порождаемой природными явлениями. Реализм и материализм вовсе не кажутся мне несовместимыми. Чем приходится поступиться ради того, чтобы принять в качестве рабочей гипотезы независимость существования математической реальности? Мне кажется ничем. Напротив, такая гипотеза дает нам уверенность в том, что мы всегда сможем отыскать способ сообщения этих понятий от одной цивилизации к другой.

Ж.-П. Ш.: Поступаться ничем не нужно, нужно лишь понять, как наш «аппарат познания» производит такого рода объекты! И мне чрезвычайно интересно, не является ли независимость, о которой ты говоришь, в какой-то степени следствием того простого факта, что существуют некие особые культурные объекты, которые можно передавать от индивида к индивиду независимо от культурной принадлежности последних - своего рода ограниченная универсальная семантика человеческой вселенной, имеющая хождение до получения более полной информации во всей ее объективности. То, что эти объекты могут существовать и в письменном виде, будучи, например, начертанными на песке, как делали древние греки, или записанными на компьютерных магнитных носителях, позволяет сделать вывод, что объекты эти независимы от человеческого мозга. Однако это совершенно не так. Здесь речь идет, скорее, о «культурных репрезентациях», способных размножаться, процветать и распространяться, передаваясь из мозга в мозг. Они обладают специфическими свойствами - например, для них характерна та самая взаимосвязанность, та «внутренняя необходимость», которую тебе так нравится подчеркивать и которая придает им «видимость» автономии. И эта «видимость» те-

41

бя зачаровывает, т. е. здесь имеет место та же фасцинация, что возникает - постфактум - у творца при взгляде на созданный им объект. Ее можно объяснить как самой научной практикой, так и неразрывно связанной с этой практикой субъективностью. Можно ли утверждать, что человек, проходящий курс психоанализа, продвигается в понимании глубинной природы своего собственного мозга с помощью приобретаемых опытным путем сведений о себе или о людях, с которыми он поддерживает отношения? К сожалению, нет. Психоанализ не приводит к сколько-нибудь значимому прогрессу в познании мозга, его строения, его физико-химической природы. Я боюсь, что возникающее у тебя «чувство открытия» этой совершенно платоновской «реальности» есть результат исключительно интроспективного - а потому субъективного - видения проблемы. Тем не менее, я допускаю, что математика представляет некий особого рода продукт деятельности мозга. И я думаю, мы могли бы сойтись на таком определении. Математические объекты - это столь же абстрактные понятия, как и понятие свободы. Они обладают специфическими свойствами. Но это ни в коем случае не доказывает их нематериальности - не более, чем реализм Платона.

А. К.: Наша дискуссия вращается вокруг определения слова «реальность». Я считаю, что реальность определяется одновременностью и перманентностью восприятий либо одного и того же индивида, либо нескольких индивидов внутри группы.

Ж.-П. Ш.: Это коллективное восприятие необходимо. Но не достаточно. Оно подвержено самым разным оптическим иллюзиям, доходящим порой до коллективных галлюцинаций... Во время ежегодного паломничества индейцы уичоль употребляют в пищу галлюциногенные грибы, и у них у всех возникает вполне реальное ощущение того, что они побывали в раю. Таким образом, «одновременности восприятий» не достаточно для того, чтобы определить объективную реальность!

3. Являются ли математические объекты типичными культурными репрезентациями?

Ж.-П. Ш.: А что же мешает нам утверждать, что мысленный объект определяется своей внутренней взаимосвязанностью, некоторым набором свойств, характерных исключительно для этого

42

объекта, и тем фактом, что несколько индивидов внутри некоторой отдельно взятой группы способны, к их великой радости, воспринимать его одновременно? В этом нет ничего необычного. У них у всех одинаковые или почти одинаковые мозги! С другой стороны, как я уже подчеркивал, у математики есть история. Если бы математические объекты существовали во вселенной вне времени, как это себе представляли Пифагор и Платон, то на эти объекты можно было бы натолкнуться в любой момент. Однако математика эволюционирует, как в содержательном плане, так и в смысле нотации и символики. Почему происходит это постоянное обновление, о котором ты упоминал? Сложно представить себе, что математические объекты, принадлежащие mathesis universalis1, может поколебать какая-то новая теория. Если они такие всеобщие и независимые от человеческого мозга, то почему же они эволюционируют? История математики отнюдь не линейна. Она слагается из противоречий, споров, разногласий, бесконечных реконструкций и возвратов назад... Короче говоря, создается впечатление, что в данном случае мы имеем дело именно с культурными объектами, производимыми и используемыми на каждой стадии развития нашей цивилизации и улучшающимися по мере эволюции других культурных объектов, причем не обязательно математических. А. К.: Математическим познаниям естественно свойственен исторический характер, как и исследованию континента. Разве перечень имен математиков, которые ценой героических усилий открыли простые конечные спорадические группы, не вызывает у непосвященного то же впечатление, что и перечень имен знаменитых путешественников? Возвращаясь к моему примеру: доказательство классификации конечных групп на данный момент оказывается слишком громоздким, чтобы неспециалист мог самостоятельно проверить его полностью и с окончательной достоверностью. Таким образом, эта область входит в то поле математических результатов, которые еще не совсем стабилизировались. Напротив, перечень конечных полей относительно прост для понимания, и доказать, что он полон, тоже не сложно. Эта область математической реальности изучена полностью, нерешенных задач в ней почти нет. Естественно, что в области актуальных исследований социо-культурные процессы способствуют определению

^т греч. ??????? «учение, знание» и лат. universalis «всеобщий» (см. также прим. к с. 20). - Прим. перев.

43

направлений, в которых нужно двигаться. Снова обращусь к своему сравнению: разумеется, покорение Северного полюса происходило в течение какого-то времени под влиянием подобного рода мотиваций, связанных с социо-культурным контекстом. Однако как только открытие совершено, значимость социо-культурных процессов стирается, остается лишь вполне устойчивая совокупность явлений, которая как нельзя более плотно примыкает к математической реальности; именно на эту совокупность явлений мы и опираемся при обучении последующих поколений. Этот взгляд слегка упрощен, однако он позволяет легко отличить установившуюся математическую реальность от инструмента исследования.

Ж.-П. Ш.: Ты говоришь о приобретении знаний. Знания о вселенной, которыми мы располагаем, имеют, в общем, одну природу. Никто не станет оспаривать тот факт, что Земля вращается вокруг Солнца.

А. К.: Однажды доказанную математическую теорему - такую, например, как теорема Евклида о простых числах, также никто не станет оспаривать.

Ж.-П. Ш.: Я в этом и не сомневался. Думаю, что в этом вопросе мы друг с другом согласны. Меня здесь главным образом удивляет то, как ты употребляешь понятие «поле», а точнее «поле нестабилизированных математических результатов». В самом начале было создано небольшое количество относительно простых математических объектов. С течением времени их поле расширилось. «Стабилизация», о которой ты говоришь, связана, как мне кажется, с культурным окружением. Именно по этой причине я и называю математические объекты объектами культурными. В ходе исторического развития лишь часть математических объектов, произведенных мозгом творческих людей, была принята во внимание, отобрана, отложена в мозгу их коллег, а потом и в написанных ими текстах. Некоторые авторы утверждают даже, что математика появилась на свет в тот день, когда греческие философы начали рисовать на песке фигуры, т. е. научились использовать другой тип памяти, нежели память краткосрочная, которая не позволяет уместить в себя все эти объекты. Таким образом, культурное наследие с течением времени смогло приобрести форму и было сведено к минимальной связной структуре, образовав в конечном итоге то, что ты называешь совокупностью явлений. Эта совокупность обязана своим существованием и церебральным способностям человека, которые позволяют ему устраивать своего

44

рода диалог между кратковременной, или оперативной, памятью, работающей с математическими объектами, и внешней, внецере-бральной памятью, которая эти объекты накапливает с тем, чтобы сделать их затем достоянием общественности. Таким лее образом человек способен воспользоваться внешними по отношению к своему собственному мозгу математическими объектами с тем, чтобы создать новые математические объекты, сравнить их с предыдущими, тщательно изучить и разместить их в общем хранилище, предварительно убедившись в том, что для них там имеется подходящее место. Возможная эволюция, которая, как мне кажется, определяет математическое поле извне, могла бы привести нас, таким образом, к определению математических объектов как объектов культурных, социальных репрезентаций мысленных объектов особого рода, возникающих в мозгу математика и передающихся от одного мозга к другому,... добираясь порой и до мозга биолога.

4. Математические объекты и дарвинизм

А. К.: Исследование математической реальности определенно подвергается культурному воздействию. Тем не менее, этого недостаточно, чтобы назвать математические объекты культурными. Мне кажется, что основная трудность заключается в различии между «сырой» математической реальностью и мыслительными средствами, разработанными математиками с целью ее постижения. Эти средства действительно являются частью нашего культурного наследия. Возьмем для примера так называемое «исследование асимптотического поведения». Возможно, математическая реальность слишком сложна для того, чтобы быть легко доступной нашему восприятию. К примеру, не существует ни одной простой формулы для получения ?-го простого числа. Асимптотическая задача заключается в отыскании формулы, которая даст приблизительно порядок величины ?-го простого числа. Таким образом, мы получим доказательство того, что количество простых чисел, меньших, чем целое число п, равно частному от деления числа n на его логарифм. Таким образсм мы откроем некий аспект математической реальности. Но - и на этом я настаиваю - необходимо различать мысленное средство и исследуемую с его помощью математическую реальность. Математик вполне в состоянии изобрести новое мысленное средство. До тех пор, пока математику не

45

удастся с его помощью открыть новую область математической реальности, еще не известную его современникам, те будут вправе относиться к созданному им средству с определенной долей недоверия. Для того, чтобы достичь успеха в математике, недостаточно просто обладать воображением!

Ж.-П. III.: Вот мы и добрались в нашей дискуссии до одного очень интересного момента. Ты сам заговорил об эволюции математических знаний. Я возвращаюсь к этой мысли, поскольку она примыкает к идее общей эволюции знания, эволюции культурных объектов во всем разнообразии их форм. Надо думать, ты согласишься с тем, что математические объекты, как и любые другие объекты познания, возникают в результате некоей «мысленной мутации», обусловленной случайностью церебрального опыта математиков. В дальнейшем эти объекты используются, изучаются, измельчаются, если можно так выразиться, посредством рассуждения. Затем откладывается селекционный «осадок» - дарвиновский термин я использую намеренно (см. [9, 31]), - обусловленный соображениями адекватности уже существующему целому и взаимосвязанности. Результатом этого процесса является структуризация. И вот отсюда наши с тобой пути расходятся. Упомянутые взаимосвязанность и структурность представляются мне результатом эволюции a posteriori1. Позволь мне сравнить эволюцию математических объектов с эволюцией биологической. Даже несмотря на наличие очевидно непрерывного «прогресса» в эволюции позвоночных (от рыб к земноводным, от рептилий к млекопитающим и далее от обезьяны к человеку, см. рис. 7), никто, кроме людей глубоко религиозных - таких, например, как Тейяр де Шарден, - не станет сегодня утверждать, что целью эволюции является «выведение» совершенного человека. Я не собираюсь сравнивать твое мировоззрение с мировоззрением Тейяра де Шардена, но когда ты говоришь о математике, который шаг за шагом «открывает» математический и структурированный мир, боюсь, что я вижу в этом своего рода финализм, понятный с позиции практика, но неожиданный для теоретика.

Исследуя в лаборатории какую-либо биологическую молекулу, мы стремимся выяснить, например, обладает ли она ферментной активностью, является ли носителем наследственности... Мы за-

«из последующего» (лат.), т.е. на основании опыта, имеющихся данных. - Прим. перев.

46

МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

.?

14 14 ^,14

с m F

?11

m10 E10 F10

________??'??___

?*'··?/

____,___________________ U< V__

/' "' « _^

? ? CD E : Б

\ \ /

/ /

\ \ /

Рис. 7. Собственноручный рисунок Дарвина из «Происхождения видов», иллюстрирующий, по его словам, «возможный результат действия естественного отбора, обусловленного расхождением признаков и вымиранием, на потомков одного предка». (Иллюстрация и цитата взяты из шестого английского издания)

l

5. ВЕРА в МАТЕМАТИКУ 47

даемся вопросом о «ближайшей причине», как ее определяет биолог-эволюционист Эрнст Майр [78]. Мы спрашиваем у себя: «А зачем такая молекула нужна?». Это вовсе не означает ни того, что упомянутая молекула была придумана неким Всемогущим Существом с той или иной целью, ни того, что она идеально вписывается в рациональную вселенную, созданную, скажем, Бесконечным Разумом. Эти метафоры, предложенные еще Аристотелем, нередко можно услышать в наших лабораториях. Я полагаю, что и математики - равно как и другие ученые - используют их в своей практике. Однако всерьез финалистские тезисы никто не воспринимает, по крайней мере, среди биологов. Еще Спиноза во всей строгости своего философского метода предостерегал против опасной тенденции использования в рассуждениях людей аргументации финалистского толка. И вот мне интересно: в какой степени эти твои взаимосвязанность и структурность отличны от взаимосвязанности органов млекопитающих и структурности их скелета? Учти еще, что долгое время считалось, что и вся вселенная, и, в частности, живые существа суть божественные творения, которые натуралист в ходе своей деятельности «открывает», постигая при этом некую предопределенную гармонию мира!

А. К.: Давай договоримся о смысле термина «эволюция». В математике, как и в любой другой дисциплине, знания эволюционируют. Однако реальность, к которой все они так или иначе относятся, ничуть при этом не изменяется. Например, однажды установленный и подтвержденный соответствующими доказательствами перечень простых конечных групп никогда не изменится. Он действительно представляет собой продукт открытия.

И причем здесь, собственно, финализм? Я не думаю, что утверждение существования математической реальности, независимой от ее восприятия, является финалистским тезисом. Никогда не решусь я утверждать, что тот или иной математический объект подчинен какой бы то ни было финальности. Аргументы такого рода для математика совершенно неприемлемы!

5. Вера в математику

А. К.: Словом, я никоим образом не финалист. И не думаю, что смогу когда-нибудь изменить свою позицию... Ж.-П. Ш.: А почему бы и нет?

48 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

А. К.: Нет, нет...

Ж.-П.Ш.: Но, может быть, ты начал разговор, уже имея некое сложившееся мнение...

А. К.: Я верю, что...

Ж.-П.Ш.: Осторожно, ты сказал «верю»!

А. К.: Верно, сказал. Но ведь наша дискуссия носит отчасти метафизический характер...

Ж.-П.Ш.: Причем эту самую часть я считаю основной.

А. К.: Разумеется, если она приведет нас к уточнению понятия реальности. Я смиренно признаю, что математический мир существует независимо от нашего способа его восприятия и не локализован во времени и пространстве. Однако способы, посредством которых мы этот мир постигаем, подчиняются законам, очень близким к законам биологии. Эволюция восприятия математической реальности развивает в нас новое чувство, позволяющее получить доступ к некоей реальности, которая имеет не визуальную и не слуховую, а какую-то другую природу.

Ж.-П.Ш.: В этом отношении мы, быть может, вновь сойдемся. Говоря о развитии мозгом нового чувства, ты отчасти становишься на позиции конструктивистов. Будучи нейробиологом, я вовсе не исключаю, что наш мозговой аппарат обладает такими гибкостью и способностью к реорганизации, какие позволяют ему воспринимать объекты новой формы, которых он до сих пор не имел возможности встречать в том окружении, в котором он, собственно, и сформировался среди равнин Центральной Африки несколько миллионов лет назад. Благодаря упомянутым качествам мозг и в самом деле мог выработать или «ухватить» некое «новое чувство». Причем отсюда вовсе не следует, что в природе непременно существует целиком и полностью сформированная математическая система, которую мы постепенно открываем. Мне кажется, твоя позиция содержит в себе некое противоречие: с одной стороны, ты допускаешь, что математика эволюционирует по модели, сходной с той, что предлагают биологи, с другой же стороны - считаешь, что совокупность математических явлений образует mathesis universalis, взаимосвязанное и устойчивое бесконечное множество, из которого нам до сих пор удалось постичь лишь самые начала. Этот спор вновь напомнил мне размышления Эрнста Мейра относительно причинности наук о жизни. Он противопоставляет «ближайшую причину» - «как?» - биолога или физиолога, «отдаленной причине», «почему?» метафизика. И его

5. ВЕРА в МАТЕМАТИКУ 49

ответ ясен. Наука от «почему» не есть Богг это всего лишь эволюционная биология. «Почему» математической экзистенции есть эволюция как нашего аппарата познания, так и самих математических объектов. Если ты представляешь себе этот процесс как формирование нового чувства, позволяющего получить доступ к культурным объектам, которые и сами эволюционируют, то, я думаю мы можем таким образом прийти к согласию.

Природа, одетая по мерке

1. Конструктивистская математика

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Спор между математиками-креационистами, такими, как ты, и биологами-эволюционистами, такими, как я, приобретает несколько более радикальный характер. Тем не менее, нам удалось прийти к общему мнению по некоторым вопросам - например, об определении математических объектов как культурных репрезентаций особого типа, или об эволюционном развитии математического знания. На данный момент мы расходимся в отношении существования математической реальности, причем существования ее во вселенной вне и прежде мозга математика - возможно, в ходе наших встреч мы с тобой тоже эволюционируем и достигнем, наконец, согласия. По твоему мнению, математик лишь открывает, шаг за шагом, ту самую mathesis universalis, в которую ты веришь, - этот термин я употребляю здесь вполне намеренно. Однако твое отношение к этой проблеме не совсем согласуется с отношением к ней математиков вообще. Еще в XVIII веке Иммануил Кант утверждал, что «окончательная истина математики в том, что человеческий разум способен создавать на ее основе новые понятия». Многие из математиков, которых называют конструктивистами, полагают, что математический объект существует лишь в той мере, в какой его можно создать. Мне, впрочем, кажется, что спор между формалистами и конструктивистами ничуть не менее горяч, чем спор между мной и тобой [67]. Один из последних, Аллан Колдер, писал однажды, что «критерии приемлемости в конструктивной математике гораздо более строги, нежели в математике неконструктивной» [6], а если рассматривать задачу под углом конструктивизации, то можно добиться «более эффективного анализа и более результативных теорем» [6, с. 210]. Замечательно все же то, что некоторые математики защищают положения, отличные от твоих и близкие к тем, что доказывают нейробиологи вроде меня. Аллан Колдер высказывается еще более прямо, чем я (когда я напоминал тебе о твоем

1. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 51

опыте математика-создателя и говорил о субъективности твоего отношения). Он пишет: «Большинство современных математиков, воспитываемых в течение нескольких поколений на идеалах формализма, оказались в ситуации ментальной блокировки, из-за которой им с трудом удается взглянуть на математику объективно - до такой степени с трудом, что некоторые считают далее, что конструктивизм разрушает математику, подобно раковой опухоли» [6, с. 211]. Вот до какого накала, порой совершенно иррационального, доходят в спорах между собой математики. До того, что Колдер заканчивает свою статью на той же ноте, на какой закончилась наша последняя беседа: «Утверждение существования математической истины за пределами человеческого разума требует от математика веры, которую мало кто из них осознает» [6, с. 211]. Таким образом, мы оказываемся весьма далеко от столь милого сердцу Спинозы emendatio intellectus1 !

АЛЕН Конн: Различие между конструктивизмом и формализмом носит, прежде всего, методологический характер. Конструктивиста можно сравнить с альпинистом, который идет на приступ горы с голыми руками, формалист же в подобной ситуации садится в вертолет и приземляется прямо на горной вершине. Оба подхода имеют свои плюсы, которые зависят от поставленных задач. И в современной математике порой возникает необходимость пусть и не перейти окончательно к конструктивизму, но несколько смягчить влияние установившейся аксиоматики, в частности, несчетной аксиомы выбора. Обратимся к конкретной проблеме, с которой я однажды столкнулся и по поводу которой эти две точки зрения различаются. Речь идет об очень старом споре, касающемся вопроса об измеримости в смысле Лебега вещественных функций. Доказано, что если использовать только счетную аксиому выбора, то неизмеряемые функции построить невозможно. Из этого следует, что при математическом доказательстве с использованием только счетной аксиомы выбора никогда не возникнет проблемы неизмеримости. В конструктивистской теории аксиома выбора никогда не используется, и, таким образом, проблемы неизмеримости не возникает. Посмотрим теперь на точку зрения формалистов. Когда создается теория множеств, основанная на несчетной аксиоме выбора, любое множество может быть вполне упорядочено. Однако полный порядок на действительной прямой

Усовершенствование разума (лат.) - Прим. перев.

52 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

неизмерим по своей природе и, естественно, недостижим. Несчетная аксиома выбора значительно упрощает теорию кардинальных чисел и дает, таким образом, некоторое - весьма, на мой взгляд, приблизительное - представление об определенной области математической реальности. В частности, изоморфными (т. е. одинаковой мощности) считаются множества, для которых нельзя эффективно построить биективное отображение одного на другое. Например, множество квазикристаллов Пенроуза обладает, с несчетной аксиомой выбора, мощностью континуума, в то время как невозможно построить эффективную биекцию между этим множеством и континуумом. Обратимся снова к сравнению - несчетная аксиома выбора дает нам, так сказать, «вид с высоты птичьего полета», т.е. упрощенную картину математической реальности. Действительно, большинство математиков выросло на модели той теории множеств, которая предполагает несчетную аксиому выбора, и они не отдают себе отчета в ее упрощающем действии. Однако эта упрощенность никого, кроме небольшой горстки современных математиков, не волнует и, по большей части, даже приветствуется. Таким образом, мы видим, что различные точки зрения раскрывают разные аспекты математической реальности, и при этом не возникает никаких противоречий. Конструктивизм не ставит под сомнение существование независимого математического мира...

Ж.-П. Ш.: Во всяком случае, так говорят его защитники. Мы не можем обвинять их в обскурантизме. Они все же знакомы с математической вселенной. Но для них она существует только в той степени, в какой они могут ее шаг за шагом выстраивать.

А. К.: Думаю, тебе не удастся найти конструктивиста, который не принял бы тот перечень простых конечных групп, что я привел выше. Следует понимать, что большинство фундаментальных математических объектов можно так или иначе сконструировать. Этим и объясняется то, что конструктивисты не ставят их существование под сомнение. Напротив, в методах разница может оказаться существенной. Возьмем для примера очень полезное средство доказательства, называемое ультрапроизведения. Если ультрапроизведения никак не участвуют в формулировке результата, который требуется доказать, то этот результат, очевидно, можно получить с помощью одной лишь математической логики, не привлекая к доказательству эти самые ультрапроизведения. Это ничуть не противоречит тому, что в общем случае для некоторых задач гораздо

1. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 53

проще найти доказательство с использованием ультрапроизведений. К примеру, можно показать, что поля, полученные ультрапроизведением р-адических полей, ничем не отличаются от полей, полученных ультрапроизведением полей формальных степенных рядов на конечные поля Fp. Это обстоятельство может оказаться весьма полезным для решения некоторых уравнений. Хорошо видно, что в данном конкретном случае конструктивистский подход, запрещающий использование ультрапроизведений, проявляет себя как консервативный и ограничивающий.

Однако, как бы то ни было, я не думаю, что этим ставится под сомнение существование математического мира, независимого от человека и не воспринимаемого его органами чувств.

Ж.-П. Ш.: Это то, во что веришь ты. Граница между конструктивизмом и интуиционизмом является, по твоему мнению, скорее методологической, нежели онтологической. Конструктивисты же думают иначе... Они как раз желают «поставить под сомнение». Но, в конечном счете, твой субъективный опыт математика и твоя вера (весьма горячая, раз уж ты допускаешь, что она у тебя есть) свидетельствуют, возможно, о том, что существует некая более глубокая истина, - не прибегая при этом, впрочем, ни к чему нематериальному. Это истина, которую ты чувствуешь, которую ты воспринимаешь, которую ты представляешь себе, но относительно которой мы никак не можем прийти к согласию - возможно, вследствие отсутствия общей концепции, которая могла бы нас объединить.

Основным пунктом нашего разногласия является вопрос о существовании математического мира. Вступая в твою игру, я попытался представить, где этот мир мог бы находиться, какой он оставил бы след в природе. Если ты выдвигаешь гипотезу о том, что этот математический мир существует вне нас, и при этом продолжаешь считать себя материалистом, то ты вынужден будешь подвести под нее какую-либо материальную базу. Я не вижу, в какой иной форме самой организации материи этот математический мир может быть представлен в природе - за исключением, естественно, того, что собрано в математических трудах и в памяти математиков. Бесспорно, в окружающей нас природе существуют различные закономерности: движение планет (см. рис. 8), организация атомов в кристалле каменной соли или, например, двойная спиральная структура дезоксирибонуклеиновой кислоты. Веришь ли ты, что эти закономерности являются выражением универсаль-

54

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

У G l KiC^L Af «4/Mori

l. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 55

ной математики, формирующей в какой-то степени «идеальный скелет» материи, вокруг которого эта самая материя и организуется? Или ты (вместе со мной) полагаешь, что эти закономерности представляют собой лишь присущие материи свойства, вовсе не обязательно являющиеся выражением некоего первичного математического закона? Если дело обстоит именно так, то задача ученого-«натуралиста» сводится к тому, чтобы постичь эти закономерности, разработать необходимые инструменты и создать язык и понятия, позволяющие, в общем случае, все это математически описать. Для того, чтобы сделать выбор между двумя этими точками зрения, необходимо сопоставить упомянутые внешние закономерности с математическими объектами. Если математика является организующим принципом материи, то рано или поздно непременно будет найдено совершенное соответствие между регулярностью материальных объектов и регулярностью объектов математических. В противном случае математика, продукт человеческого мозга, представляет собой всего-навсего приблизительный язык, служащий для описания материи, которая по большей части нашему восприятию недоступна.

Биологи - как, впрочем, и физики - в рамках своего гипотетически-дедуктивного подхода создают мысленные объекты или модели, сопоставляемые затем с физической реальностью, которая является по отношению к ним чем-то внешним. Эти модели суть упрощенные представления об объекте или процессе, когерентные, непротиворечивые, минимальные и подтвержденные опытом. Хорошая модель является прогнозирующей в том смысле, что с ее помощью мы можем разработать эксперименты, которые обогатят наши познания. Моделям также присущ генеративный характер, поскольку на их основе можно создавать другие теоре-

Рис. 8. Армиллярные сферы - металлические или деревянные объекты, состоящие из вставленных друг в друга обручей, скрепленных шарнирами. Предполагается, что они воспроизводят движение планет и небесной сферы вокруг Земли (обозначена буквой Т) в зависимости от месяца. Эти устройства появились в XVIII веке и представляют собой, в какой-то степени, первые механические модели вселенной. Представленное здесь изображение армиллярной сферы взято из рукописной учебной тетради некоего студента с инициалами G.L., датируемой 1713 годом (из частной коллекции).

56 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

тические модели и тем самым совершенствовать теорию. Наконец, в отличие от «верований», характеризующих определенную культурную традицию, модели поддаются пересмотру, В самом деле, необходимо, как мне кажется, признать, что большинство моделей, производимых наукой, действительны лишь на определенном этапе ее истории и что, как минимум, некоторое число таких проектов может быть пересмотрено и улучшено. Все это естественным образом обеспечивает кумулятивный прогресс познания. Мы пользуемся мысленными объектами, чтобы понять закономерности физического мира, чтобы описать их в математической форме, «выбрав» для этого модель, которая представляется нам наиболее адекватной. При таком подходе мы постигаем природные закономерности косвенным образом. Мы пытаемся, если можно так выразиться, примерить на них некоторое количество мысленных объектов, среди которых есть и объекты математические. Однако это не предполагает обязательного отождествления природных объектов с используемыми нами для их описания математическими объектами.

2. Поразительная эффективность математики

А. К.: Я далек от мысли, что математическая реальность располагается в физическом мире. И я совсем не пытаюсь отождествлять природные объекты с объектами математическими. Проведя границу между математической реальностью и реальностью физической, мы сталкиваемся с проблемой их отношений между собой. Приведу для начала пример того, что Юджин Вигнер называет «непостижимой эффективностью математики», которая, в общем случае, не сводится только лишь к попыткам адекватно «оформить» природные закономерности. Я говорю о теории узлов [3] (см. рис. 9 и 10). Когда берешь веревку и завязываешь сложный узел, то всегда встает вопрос о том, сможешь ли ты потом его распутать, не прибегая к методу гордиева узла. Так вот, существует одна замечательная теория, которая позволяет в большинстве случаев эту проблему разрешить: называется она теорией узлов. Эта теория не так давно весьма серьезно продвинулась вперед, хотя изначальные устремления ответственного за этот прогресс математика не имели к узлам никакого отношения. Мы с новозеландцем В. Джонсом начинали работу над совсем другой проблемой.

2. ПОРАЗИТЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ

57

Рис. 9. Лестница Иакова. Этот узел знаком многим детям, его завязывают, пропуская между четырех пальцев веревочную петлю и продевая затем свободные концы между другими пальцами. Эта лестница Иакова, очевидно, эквивалентна самому обычному узлу на петле. Эскимосы и североамериканские индейцы обожают такие игры с веревкой, демонстрирующие бесконечные возможности реализации геометрических мотивов при помощи петли, простейшего из узлов. (Теория узлов)

58

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

Коса

Соответствующий узел

Узел "клеверный лист" Его отображение

Рис. 10

2. ПОРАЗИТЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ 59

Потом он заинтересовался одной деликатной проблемой анализа в бесконечномерном пространстве. Речь шла о том, чтобы классифицировать подмножители одного данного множителя - куда уж, казалось бы, дальше от теории узлов. Долгое время он работал один, и никто не верил, что то, над чем он работает, может представлять какой бы то ни было интерес. Все полагали, что он лишь зря теряет время. Спустя несколько лет ему удалось доказать, что индекс подмножителя принимает дискретные значения или имеет непрерывный спектр. Джонс обнаружил, что в процессе доказательства возникала группа, известная как «группа кос», о которой у нас имеется вполне конкретное представление, в основе которого лежат самые обычные косы, получаемые переплетением нескольких нитей. Сначала это была всего лишь простая картинка. Выступая на конференциях, он иллюстрировал свое представление об этой группе, рисуя косы. Наконец, в Нью-Йорке он встретился с топологом по фамилии Бирман и, беседуя с ней, заметил, что его построение, след на алгебре группы кос, дает, по сути, новый инвариант для узлов. Он вычислил этот инвариант на узлах самого простого типа, названных им «клеверными листами», и обратил внимание на тот факт, что если отразить такой узел в зеркале, то его инвариант уже не будет тем же, что прежде. Джонса это удивило, поскольку классические инварианты являются инвариантами и при отражении. Впоследствии на примере большого количества узлов он испробовал всевозможные новые способы вычисления своего инварианта, который, вообще говоря, вычисляется весьма просто, а вот о чисто геометрической его интерпретации нам до сих пор ничего не известно. Этот инвариант чрезвычайно мощен и позволяет различить узлы, которые мы прежде не различали. Он позволяет, например, определять так называемое гордиево число - смысл этого термина думаю, вполне, прозрачен. Развязывая узел, мы обычно вытягиваем концы нити из-под других ее участков до тех пор, пока узел не развяжется; количество нитей, которые необходимо миновать для того, чтобы развязать узел и называется гордиевым числом. С помощью упомянутого инварианта можно определить гордиево число, не развязывая узла! И это очень необычно, так как Джонс начинал работу с чисто математической задачи - с территории, затерянной в одном из самых отдаленных уголков математической географической карты, в одной из самых пустынных ее областей. Однако решение этой задачи привело его прямо к узлам, которые, как тебе известно,

60 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

находят применение и в биологии, поскольку они участвуют во всякого рода задачах по кодировке очень сложных молекул - таких, например, как полимеры. Теперь, впрочем, он активно исследует возможности практического применения своих результатов к вполне конкретным задачам. Вот отличная иллюстрация труднопостижимой мощи математики ради математики, если подходить к этой самой математике без предвзятых идей о возможных дальнейших применениях тех или иных открытий.

Ж.-П. Ш.: Рассказанная тобой история все же подразумевает некое познание на основе опыта.

А. К.: Опыт здесь ни при чем. Здесь, скорее, совпадение.

Ж.-П.Ш.: Да, в конечном счете, .. . когда он встретил ту то-пологиню и в результате этой встречи пришел к тому, чтобы соотнести некоторые виды математических инструментов с вполне конкретной задачей. Узлы могут существовать в природе, а также являются результатом (по большей части) творческой деятельности человека. Однако я так и не могу представить себе, что теория узлов существовала в природе до того, как у нас скопился целый набор всевозможных видов узлов. Этому замечательному математику просто удалось создать мысленный инструмент, который ты называешь инвариантом, и им воспользоваться... Он разработал инструмент, как и человек, который придумал колесо для того, чтобы быстрее передвигаться по земле. Вместо того, чтобы переходить от одного рассуждения к другому, Джонс создал «уплотнение мысли», позволившее ему мгновенно решить задачу.

А. К.: Что меня больше всего поражает, так это то, что его исследование и его открытие не были изначально мотивированы проблемой узлов. Очень интересный пример открытия, мотивированного глубинными проблемами чистой математики. Исследование множителей привело Джонса к открытию центральной функции на группе кос. Поскольку эта функция была нужна ему только для решения задачи по классификации подмножеств, он не усмотрел в ней никаких очевидных связей с узлами. Что называется, грех по неведению. После встречи с Бирман, Джонс выяснил, что в теории узлов тоже используются группы кос и что там требуется, по теореме Маркова, некая функция на группе кос с такими-то и такими-то свойствами. И он воскликнул: «Но у меня есть такая функция, она у меня в кармане».

Ж.-П.Ш.: Я понимаю, что ты хочешь сказать. Два изначально совершенно независимых друг от друга подхода, сошлись в одной

3. ЭЙНШТЕЙН И МАТЕМАТИКА

61

точке. Математический объект, созданный одним, открыл замок, не поддававшийся всем усилиям других. Это, впрочем, не означает, что ключ и замок, открываемый этим ключом, существовали и раньше!

А. К.: Не знаю.

Ж.-П. Ш.: Мы затрагиваем здесь глубинную проблему познания - отыскание причин того, что отдельные математические инструменты, созданные независимо от каких бы то ни было исследований всевозможных частиц, узлов, и прочих природных объектов, оказываются настолько адекватными...

А. К.: Совершенно верно. Это и называется непостижимой эффективностью математики.

Ж.-П. Ш.: Я все же хотел бы, чтобы ты разъяснил мне, до каких пределов простирается эта самая эффективность и какова степень ее универсальности? Я отмечаю среди физиков и некоторых математиков определенную тенденцию к увлечению различными модными математическими моделями. Предполагается, что эти модели применимы к чему угодно, и с их помощью можно с равным успехом описывать поведение совокупностей атомов, нейронов, муравьев, людей. Ты не понаслышке знаком с отношениями между математикой и физикой. Что ты обо всем этом думаешь?

3. Эйнштейн и математика

А. К.: В первую очередь, как в физике, так и в любой другой дисциплине, всякая модель поддается пересмотру и зависит от времени. Мы хорошо усвоили урок - не приходится сомневаться в том, что существующая модель физической реальности рано или поздно будет вытеснена другой моделью. Это та сторона восприятия нами мира, которая поддается пересмотру. Можно пойти еще дальше и спросить себя, в какой степени физическая истина зависит от вопросов, которые мы задаем природе посредством проводимых нами опытов. Однако я глубоко убежден в том, что как только физическая модель разработана достаточно полно, в игру вступает генеративность математики: может даже создаться такое впечатление, что мы, изучая модель с точки зрения строго математической, становимся, тем не менее, немного физиками. Показательна, в этом смысле, эволюция убеждений Эйнштейна. Сложности математического происхождения, с которыми он столкнулся,

62

пытаясь сформулировать общий принцип относительности, изменили его позицию: он перестал быть чистым физиком, каковым, несомненно, являлся в 1905 году, и стал математиком. Большую часть своей жизни в науке Эйнштейн провел в попытках разработать теорию, которая объединила бы в себе электромагнетизм и гравитацию. Успех математической модели общей теории относительности был настолько велик, что Эйнштейн пришел к мысли, что решение его проблемы лежит в области математики. В 1921 году он писал о теории относительности: «Я хотел бы, чтобы вы поняли - эта теория изначально не была спекулятивной, она целиком и полностью обязана своим появлением желанию выработать физическую теорию, способную как можно лучше объяснить наблюдаемые факты. Это не революционный акт: отказ от некоторых типов понятий должен рассматриваться не как произвол, а как прямое следствие наблюдения за фактами». Но в 1933 году он пишет обратное: «Если правда то, что аксиоматическая база теоретической физики не может происходить из опыта, а должна быть выдумана, то можем ли мы тогда рассчитывать на то, что найдем однажды правильный метод? Я убежден, что если подходить к делу со стороны чистых математических конструкций, то возможно отыскать концепции и законы, объединяющие одни такие конструкции с другими, - концепции и законы, которые должны дать нам ключ к пониманию природных явлений... Созидательный принцип следует искать в математике.» [90].

В настоящее время мы являемся свидетелями очень похожего явления в теоретической физике: исчерпав все возможности, физик-теоретик приходит, за неимением лучшего выбора, к необходимости переквалифицироваться в математики. Я говорю о теории струн. В конце шестидесятых годов физики пытались отыскать непосредственно, без исследования локальных механизмов сильных взаимодействий, математическую форму так называемой 5-матрицы, которая определяет вероятность того, что в результате сильного взаимодействия двух произвольных частиц с импульсами pi и р2 образуются две частицы рз и р4- Речь идет о том, чтобы найти функцию четырех переменных pi, p2, рз и р^. Относительная инвариантность позволяет ^свести ее к функции двух переменных. Выдвигая упрощающую гипотезу, мы приходим к тому, чтобы решить ее и указать решение в форме интеграла даже для процессов, включающих более четырех частиц. Эта гипотеза называется моделью Венециано. Далее физики-теоретики доказали - отсю-

63

да и берет начало большая часть расхождений во мнениях, - что в действительности эта модель описывает взаимодействие не точечных частиц, но малых струн (см. рис. 11?).

Интерес к этой теории сильных взаимодействий был, однако, недолговечен - после доказательства т'Хоофтом возможности перенормировки теорий калибровочных функций, открытия асимптотической свободы и т.д. ее вытеснила хромодинамика. Наконец, к 1980 году, теория струн пережила свое второе рождение, но уже не в качестве модели сильных взаимодействий, а как модель квантовой гравитации.