Часть 3.

Инспектору Крэгу было особенно важно узнать, виновен или не виновен D,

так как D был опасным преступником. К счастью, приведенных выше фактов

достаточно, чтобы установить виновность или невиновность подозреваемого D.

Итак, виновен или не виновен D?

Б. НЕ МОГЛИ БЫ ВЫ ПОМОЧЬ?

Инспектора Крэга нередко можно видеть в зале суда, где он с неослабным

вниманием следит за всеми перипетиями судебного разбирательства. Крэг

интересуется не только теми делами, в расследовании которых он принимал

участие. Слушание любого дела служит для него своеобразным упражнением по

логике:

выслушав доводы сторон, инспектор стремится при помощи логических

рассуждений установить истину. Вот несколько любопытных казусов,

свидетелем которых ему пришлось быть в зале судебных заседаний.

77. Глупый защитник.

Одного человека судили за участие в ограблении. Обвинитель и защитник в

ходе судебного заседания заявили следующее:

Обвинитель. Если подсудимый виновен, то у него был сообщник.

Защитник. Не верно!

Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?

78.

По обвинению в ограблении перед судом предстали A, B и C.

Установлено следующее:

1) Если A не виновен или B виновен, то C виновен.

2) Если A невиновен, то C не виновен.

Можно ли на основании этих данных установить виновность каждого из трех

подсудимых?

79.

По обвинению в ограблении перед судом предстали A, B и C.

Установлено следующее:

1) По крайней мере один из трех подсудимых виновен.

2) Если A виновен и B не виновен, то C не виновен.

Этих данных недостаточно, чтобы доказать виновность каждого из трех

подсудимых в отдельности, но эти же данные позволяют отобрать двух

подсудимых, о которых известно, что один из них заведомо виновен. О каких

двух подсудимых идет речь?

80.

Этот случай более интересен, чем предыдущие. Подсудимых четверо: A, B,

C, D. Установлено следующее:

1) Если A и B оба виновны, то C был соучастником.

2) Если A виновен, то по крайней мере один из обвиняемых B, C был

соучастником.

3) Если C виновен, то D был соучастником.

4) Если A не виновен, то D виновен.

Кто из четырех подсудимых виновен вне всякого сомнения и чья вина

остается под сомнением?

81.

И в этом случае подсудимых было четверо: A, B, C, D.

Установлено следующее:

1) Если A виновен, то B был соучастником.

2) Если B виновен, то либо C был соучастником, либо A не виновен.

3) Если D не виновен, то A виновен и C не виновен.

4) Если D виновен, то A виновен. Кто из подсудимых виновен и кто не

виновен?

В. ШЕСТЬ НЕОБЫЧНЫХ СЛУЧАЕВ

82. Не лучше ли было промолчать?

На небольшом островке одного человека судили за преступление. Суду было

известно, что подсудимый родился и вырос на соседнем острове рыцарей и

лжецов. (Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.)

Подсудимому разрешалось произнести в свою защиту только одну фразу.

Поразмыслив, он заявил следующее: "Лицо, действительно совершившее

преступление, в котором меня обвиняют, лжец".

Разумно ли было с его стороны такое заявление? Помогло ли оно или

только ухудшило его положение? Может быть, оно никак не повлияло на

решение суда?

83. Загадочный обвинитель.

В другом случае на том же острове за совершение некоторого преступления

судили двух местных жителей X и Y. Дело было в высшей степени необычно,

так как об обвинителе было известно, что он либо рыцарь, либо лжец. На

суде обвинитель сделал два следующих заявления:

1) X виновен.

2) X и Y не могут быть виновны оба.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений на месте

присяжных? Можно ли утверждать что-нибудь относительно виновности X или Y?

Кто, по-вашему, обвинитель: рыцарь или лжец?

84.

Предположим, что обвинитель из предыдущей задачи сделал на суде два

следующих заявления:

1) Либо X виновен, либо Y виновен.

2) X не виновен.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений?

85.

Предположим, что обвинитель из задачи 83 сделал на суде два следующих

заявления:

1) Либо X не виновен, либо Y виновен.

2) X виновен.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений?

86.

Этот случай произошел на острове рыцарей, лжецов и нормальных людей.

Напомним, что рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а

нормальные люди иногда говорят правду, а иногда - ложь.

Трое жителей острова A, B и C предстали перед судом.

Известно, что преступление мог совершить только один из них. Известно

также, что совершивший преступление был рыцарем и что других рыцарей среди

трех подсудимых не было.

На суде A, B и C сделали следующие заявления:

A: Я не виновен.

B: Это правда.

C: B - не нормальный человек.

Кто из троих виновен в совершенном преступлении?

87.

Этот случай, самый интересный из всех, внешне напоминает предыдущие, но

в действительности в корне отличен от них.

Он также произошел на острове рыцарей, лжецов и нормальных людей.

Главными действующими лицами были подсудимый, обвинитель и защитник.

Судебный процесс проходил весьма необычно. Начать хотя бы с того, что один

из его трех главных участников был рыцарем, другой лжецом, а третий

нормальным человеком, но кто из них рыцарь, лжец или нормальный человек,

не было известно никому. Еще более странным было другое обстоятельство:

суду достоверно было известно, что если подсудимый не виновен, то виновен

либо защитник, либо обвинитель. Было известно также, что виновный не лжец.

В ходе судебного заседания подсудимый, обвинитель и защитник сделали

следующие заявления:

Подсудимый. Я невиновен.

Защитник. Мой подзащитный действительно не виновен.

Обвинитель. Не правда, подсудимый виновен.

Их заявления прозвучали вполне естественно. Присяжные удалились на

совещание, но не смогли вынести никакого решения: сведений, содержащихся в

трех заявлениях, сделанных на суде, для этого оказалось недостаточно. В те

времена, когда происходил суд, остров входил в британские владения,

поэтому правительство острова направило в Скотланд-Ярд телеграмму с

просьбой направить к ним инспектора Крэга, чтобы тот помог разрешить

возникшее затруднение.

Через несколько недель инспектор Крэг прибыл на остров, и суд

возобновил свои заседания. Крэг решил во что бы то ни стало досконально во

всем разобраться. Он вознамерился не только установить, кто виновен в

совершении преступления, но и определить, кто из трех участников процесса

рыцарь, кто лжец и кто нормальный человек. Выяснить интересующие его

сведения инспектор Крэг решил за минимальное число вопросов. Сначала он

спросил у обвинителя: "Вы, случайно, не виновны?" Обвинитель ответил.

Поразмыслив, инспектор Крэг обратился с вопросом к подсудимому: "Виновен

ли обвинитель?" Подсудимый ответил, и инспектор Крэг узнал все, что его

интересовало.

Кто виновен? Кто был нормальным человеком, кто рыцарем и кто лжецом?

РЕШЕНИЯ

71. Покажем прежде всего, что по крайней мере один из A, C виновен.

Если B не виновен, то ясно, что виновен кто-то из A, C (или оба), так как

из высказывания (1) следует, что никто, кроме A, B и C, не может быть

виновен. Если B виновен, то у него должен быть соучастник (так как B не

умеет водить машину). Следовательно, и в этом случае A или C должен быть

виновен. Таким образом, кто-то из A и C (или оба) виновен. Если C не

виновен, то A должен быть виновен.

С другой стороны, если C виновен, то в силу высказывания (2) A также

виновен. Следовательно, A виновен.

72. Этот случай еще проще. Если A не виновен, то (так как C не виновен)

виновным должен быть B - в силу высказывания (1). Если A виновен, то в

силу высказывания (2) у него должен быть соучастник. Из высказывания (3)

следует, что этим соучастником не мог быть C. Значит, им должен быть B.

Итак, и в том и в другом случае B виновен.

73. Предположим, что B не виновен. Тогда должен быть виновен один из

двух близнецов. У этого близнеца должен быть соучастник, а поскольку B не

мог быть сообщником, то им должен быть другой близнец. Но это невозможно,

так как одного из близнецов во время преступления видели в Дувре.

Следовательно, B виновен. А поскольку B всегда "ходит на дело" в

одиночку, то оба близнеца не виновны.

74. Не вызывает ни малейших сомнений виновность B. Доказать это можно

при помощи любого из следующих рассуждений.

Рассуждение первое. Предположим, что B не виновен. Тогда если бы A был

виновен, то C также был бы виновен в силу высказывания (1). Это означало

бы, что вопреки высказыванию (3) A совершил преступление вместе с C.

Следовательно, A должен быть не виновен. Но тогда вопреки высказыванию (2)

C единственный, кто виновен. Значит, B виновен.

Рассуждение второе. Оно прямее приводит к ответу на вопрос задачи.

а) Предположим, что A виновен. Тогда в силу высказывания (3) B и C не

могут быть оба не виновны, поэтому у A должен быть соучастник. Так как C в

силу высказывания (3) не мог быть соучастником A, то им должен быть B.

Следовательно, если A виновен, то B также виновен.

б) Предположим, что C виновен. Тогда в силу высказывания (2) у него

должен быть соучастник, которым в силу высказывания (3) не мог быть A.

Следовательно, им должен быть B.

в) Если ни A, ни C не виновны, то B несомненно виновен!

75. Инспектор Крэг выдвинул против мистера Макгрегора обвинение в

попытке ввести полицию в заблуждение: никакого ограбления в

действительности не было. Вот как рассуждал инспектор Крэг.

Первый шаг. Предположим, что A был бы виновен. Тогда в силу

высказывания (2) у него был бы ровно один соучастник - не больше, не

меньше. Следовательно, кто-то один из B, C виновен, а другой не виновен.

Но это противоречит высказываниям (3) и (5), из которых, если взять их

вместе, следует, что B, C либо оба виновны, либо оба не виновны.

Значит, A должен быть не виновен.

Второй шаг. Из высказываний (3) и (5) следует, что B и C либо оба

виновны, либо оба не виновны. Если бы они были оба виновны, то других

виновных не было бы (так как A не виновен). Следовательно, виновных в этом

случае было бы ровно двое. В силу высказывания (4) это означало бы, что A

виновен. Тем самым мы пришли бы к противоречию, так как A не виновен.

Следовательно, B и C оба не виновны.

Третий шаг. Итак, установлено, что A, B, C не виновны. Но, как следует

из высказывания (1), в день ограбления никто, кроме A, B и C, в лавку не

заходил и не мог совершить ограбления. Значит, никакого ограбления не

было, и Макгрегор лгал.

Эпилог. Не устояв перед неопровержимыми доводами инспектора Крэга,

Макгрегор признался в том, что он солгал в надежде получить страховку.

76. Если B виновен, то в силу высказывания (2) в преступлении замешаны

ровно двое подсудимых. Если же виновен C, то в силу высказывания (3) в

преступлении замешаны трое подсудимых. Поскольку ни того, ни другого быть

не может, то по крайней мере один из B и C не виновен.

Подсудимый A также не виновен, поэтому виновных не может быть больше

двух. Следовательно, у C не было ровно двух соучастников, и в силу

высказывания (3) подсудимый C должен быть не виновен. Если B виновен, то у

него был ровно один соучастник. Им должен быть D (так как A и B оба не

виновны). Если B не виновен, то A, B и C не виновны. Тогда D должен быть

виновен. Итак, независимо от того, виновен или не виновен B, подсудимый D

должен быть виновен.

Следовательно, D виновен.

77. В действительности обвинитель сказал, что подсудимый не совершал

преступления в одиночку. Защитник, отрицая высказывание обвинителя, тем

самым утверждал, что подсудимый совершил преступление в одиночку.

78. Можно, причем очень просто. В силу высказывания (1)

если A не виновен, то C виновен (поскольку если A не виновен, то

дизъюнкция "либо A не виновен, либо B виновен" - истина). В силу

высказывания (2), если A не виновен, то C не виновен. Следовательно, если

A не виновен, то C одновременно виновен и не виновен, что невозможно.

Значит, A должен быть виновен.

79. Двое подсудимых, один из которых должен быть виновен, это B и C.

Действительно, предположим, что A не виновен.

Тогда в силу высказывания (1) B или, C должен быть виновен.

С другой стороны, предположим, что A виновен. Если B виновен, то по

крайней мере кто-то один из B и C заведомо виновен. Но предположим, что B

не виновен. Тогда A виновен, а B не виновен. Следовательно, в силу

высказывания (2) C должен быть виновен, то есть и в этом случае либо B,

либо C виновен.

80. Прежде всего докажем, что если A виновен, то C виновен.

Предположим, что A виновен. Тогда в силу высказывания (2)

либо B, либо C виновен. Если B не виновен, то виновен должен быть C. Но

предположим, что B виновен. Тогда A и B оба виновны. Следовательно, в силу

высказывания (1) C также виновен. Это доказывает, что если A виновен, то C

виновен. Кроме того, в силу высказывания (3), если C виновен, то D

виновен. Сопоставляя эти два факта, мы заключаем, что если A виновен, то D

виновен. Но в силу высказывания (4), если A не виновен, то D виновен.

Следовательно, независимо от того, виновен или не виновен A, подсудимый

D должен быть виновен. Таким образом, виновность D не вызывает сомнений.

Виновность всех остальных подсудимых остается под сомнением.

81. Все подсудимые виновны. Действительно, в силу высказывания (3) если

D не виновен, то A виновен. В силу высказывания (4) если D виновен, то A

виновен.

Следовательно, независимо от того, виновен или не виновен D, подсудимый

A должен быть виновен. Тогда в силу высказывания (1) B также виновен. Из

высказывания (2) мы заключаем, что либо C виновен, либо A не виновен.

Поскольку уже известно, что A не невиновен, то C должен быть виновен.

Наконец, из высказывания (3) следует, что если D не виновен, то C не

виновен. Но мы уже доказали, что C не невиновен, поэтому D должен быть

виновен. Итак, все подсудимые виновны.

82. Вполне разумно: оно помогло подсудимому снять с себя все

подозрения! Действительно, предположим, что подсудимый - рыцарь. Тогда

его высказывание истинно, и виновный - лжец. Следовательно, подсудимый

должен быть не виновен. С другой стороны, предположим, что подсудимый -

лжец. Тогда его высказывание ложно, поэтому тот, кто совершил

преступление, - рыцарь. Следовательно, и в этом случае подсудимый не

виновен.

83. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывания (1) и

(2) были бы ложными. Но если высказывание (1) ложно, то X не виновен, а

если ложно высказывание (2), то X и Y оба виновны. Итак, X должен был быть

виновным и не виновным одновременно, что невозможно.

Следовательно, обвинитель должен быть рыцарем. Значит, X в

действительности виновен, а поскольку X и Y не могут быть виновными

одновременно, то Y должен быть не виновен.

Следовательно, X виновен, Y не виновен, и обвинитель - рыцарь.

84. Если бы обвинитель был лжецом, то тогда

1) X и Y оба были бы виновны;

2) X был бы виновен.

И в этом случае мы бы опять пришли к противоречию.

Следовательно, обвинитель - рыцарь, X не виновен, а Y виновен.

85. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывание (1)

ложно, поэтому X виновен и Y не виновен.

Следовательно, X виновен. Но высказывание (2) также ложно, поэтому X не

виновен, и мы приходим к противоречию. Значит, в этой задаче, так же как и

в предыдущей, обвинитель - рыцарь. Тогда в силу высказывания (2) X

виновен. Из высказывания (1) (так как X не невиновен) мы заключаем, что Y

виновен. Следовательно, в этом случае X и Y оба виновны.

86. Подсудимый A не может быть рыцарем, так как если бы он был рыцарем,

то был бы виновен и не лгал бы, утверждая, что не виновен. Подсудимый A не

может быть и лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание

было бы ложным, и он был бы виновен и, следовательно, был бы рыцарем.

Значит, A - нормальный человек и не виновен. Поскольку A не виновен,

то высказывание островитянина B истинно.

Следовательно, B не лжец: он либо рыцарь, либо нормальный человек.

Предположим, что B был бы нормальным человеком.

Тогда высказывание островитянина C было бы ложным, и C был бы либо

лжецом, либо нормальным человеком. Это означало бы, что среди трех

островитян A, B, C нет ни одного рыцаря.

Следовательно, вопреки условиям задачи ни один из них не виновен.

Отсюда мы заключаем, что B не может быть нормальным человеком. Он должен

быть рыцарем и, следовательно, виновен.

87. Пока Крэг не прибыл /* Обозначим подсудимого A, защитника B и

обвинителя C.*/. Прежде всего заметим, что A не может быть лжецом, так как

если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложно и, следовательно,

он был бы виновен. Мы пришли бы к противоречию с тем условием задачи, в

котором говорится, что лжец не виновен. Значит, A - либо рыцарь, либо

нормальный человек.

Первый случай: A - рыцарь. Поскольку его высказывание истинно, то он

не виновен. Тогда высказывание защитника B также истинно. Следовательно, B

- либо рыцарь, либо нормальный человек. Но A - рыцарь; поэтому B -

нормальный человек. Значит, C может быть только лжецом. А поскольку

известно, что лжец не виновен, то B виновен.

Второй случай: A - нормальный человек и не виновен.

Высказывание защитника B истинно и в этом случае, поэтому B - рыцарь

(поскольку A - нормальный человек). Так как A не виновен и C, будучи

лжецом, не виновен, то виновен B.

Третий случай: A - нормальный человек и виновен. В этом случае

высказывание обвинителя истинно, поэтому обвинитель должен быть рыцарем

(он не может быть нормальным человеком, так как "вакансия" нормального

человека занята A).

Следовательно, B может быть только лжецом.

Итак, вот что мы выяснили, рассматривая три возможных случая:

Подсудимый Не виновен Не виновен Виновен Рыцарь Нормальный Нормальный

человек человек

Защитник Виновен Виновен Не виновен Нормальный Рыцарь Лжец человек

Обвинитель Не виновен Не виновен Не виновен Лжец Лжец Рыцарь

Все три случая согласуются с заявлениями, сделанными тремя главными

участниками судебного процесса до прибытия Крэга.

После прибытия Крэга. Крэг спросил у обвинителя, виновен ли тот.

Задавая свой вопрос, инспектор Крэг уже знал, что обвинитель не виновен

(так как во всех трех случаях обвинитель не виновен), поэтому ответ

обвинителя был нужен Крэгу лишь для того, чтобы установить, кто такой

обвинитель: рыцарь или лжец. Если бы обвинитель правдиво ответил "нет", то

инспектор Крэг понял бы, что случаи (1)

и (2) можно исключить, и не стал бы задавать новых вопросов. Но

инспектору Крэгу после того, как обвинитель ответил, понадобилось задать

еще несколько вопросов.

Следовательно, обвинитель должен быть лжецом и на вопрос инспектора

ответить "да". Такой ответ заставил инспектора Крэга (а вместе с ним и

читателя) исключить из рассмотрения случай (3) и в дальнейшем

рассматривать только случаи (1) и (2). Это означает, что в

действительности виновен защитник, но относительно подсудимого и защитника

не известно, кто из них рыцарь и кто нормальный человек. Затем Крэг

спросил у подсудимого, виновен ли обвинитель и, получив ответ, смог до

конца разобраться в ситуации. На вопрос Крэга рыцарь ответил бы "нет", в

то время как нормальный человек ответил бы либо "да", либо "нет".

Получив ответ "нет", Крэг не смог бы определить, был ли подсудимый

рыцарем или нормальным человеком. Но поскольку для Крэга после ответа все

стало ясно, то подсудимый должен был ответить "да". Следовательно,

подсудимый - нормальный человек, а защитник - рыцарь (хотя он и

виновен).

VII. Как избежать оборотней и другие полезные практические советы

Эта глава посвящена не столько занимательным аспектам логики, сколько

ее практическим приложениям. Во многих житейских ситуациях полезный совет

был бы как нельзя кстати. Учитывая это, я обстоятельно, шаг за шагом научу

вас: A) как избежать оборотней в лесу; Б) как выбрать невесту; B) как

защищать себя на суде; Г) как жениться на дочери короля.

Разумеется, я не могу поручиться, что вам непременно представится

случай убедиться, насколько полезны мои советы, но как мудро объяснил

Алисе Белый Рыцарь, нужно быть готовым ко всему!

А. КАК ВЕСТИ СЕБЯ B ЛЕСУ, ГДЕ ВОДЯТСЯ ОБОРОТНИ

Предположим, что вы находитесь в лесу, каждый обитатель которого либо

рыцарь, либо лжец. (Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы

всегда лгут.) Кроме того, в лесу водятся оборотни, имеющие на редкость

неприятную привычку иногда превращаться в волков и пожирать людей.

Оборотень может быть либо рыцарем, либо лжецом.

88.

Вы берете интервью у трех обитателей леса A, B, C.

Известно, что ровно один из них оборотень. В беседе с вами они заявляют:

A: C - оборотень.

B: Я не оборотень.

C: По крайней мере двое из нас лжецы.

Наша задача состоит из двух частей.

а) Кто оборотень: рыцарь или лжец?

б) Если бы вам предстояло выбрать одного из трех обитателей леса в

попутчики и вопрос о том, не окажется ли ваш избранник оборотнем, волновал

бы вас сильнее, чем вопрос, не окажется ли он лжецом, то на ком из трех вы

бы остановили свой выбор?

89.

Вы снова берете интервью у трех обитателей леса A, B и C.

Известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец и среди них имеется

ровно один оборотень. В беседе с вами они заявляют:

A: Я оборотень.

B: Я оборотень.

C: Не более чем один из нас рыцарь.

Проведите полную классификацию A, B и C.

90.

В этой и в двух следующих задачах мы снова встречаем трех обитателей

леса A, B, C, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Заявления делают

только двое из них: A и B. В их высказываниях слово "нас" относится ко

всем трем героям (к A, B и C), а не только к A и B.

Предположим, что A и B заявили следующее:

A: По крайней мере один из нас рыцарь.

B: По крайней мере один из нас лжец.

Известно, что по крайней мере один из них оборотень и ни один не

является одновременно рыцарем и оборотнем. Кто оборотень?

91.

На этот раз A и B сделали следующие заявления:

A: По крайней мере один из нас лжец.

B: C - рыцарь.

Известно, что ровно один из них оборотень и что он рыцарь.

Кто оборотень?

92.

В этой задаче A и B заявили следующее:

A: По крайней мере один из нас лжец.

B: C - оборотень.

И в этой задаче известно, что ровно один из них оборотень и что он

рыцарь. Кто оборотень?

93.

В этой задаче известно, что из трех обитателей леса ровно один

оборотень, что он рыцарь, а два остальных - лжецы.

Заявление сделал только B: "С - оборотень".

Кто оборотень?

94.

В этой задаче, отличающейся изящной простотой, лишь два действующих

лица: A и B. Лишь одно из них оборотень. A и B заявили следующее:

A: Оборотень - рыцарь.

B: Оборотень - лжец.

Кого из них вы выбрали бы себе в попутчики?

Б. КАК ВЫБРАТЬ ИЛИ ЗАВОЕВАТЬ НЕВЕСТУ

95. Как ее убедить?

Предположим, что вы один из жителей острова рыцарей и лжецов. Вы

полюбили девушку и хотите жениться на ней. Но у вашей избранницы странные

вкусы: по каким-то непонятным причинам она не желает выходить замуж за

рыцаря и прочит себя в жены только лжецу. При этом ей подавай не бедного,

а непременно богатого лжеца (для удобства мы будем предполагать, что все

лжецы на острове делятся либо на богатых, либо на бедных). Предположим,

что вы богатый лжец. Вам разрешается сказать избраннице лишь одну фразу.

Как одной-единственной фразой убедить вашу возлюбленную, что вы богатый

лжец?

96.

Предположим теперь, что ваша девушка мечтает выйти замуж только за

богатого рыцаря. Как одной-единственной фразой убедить ее, что вы богатый

рыцарь?

97. Как выбрать невесту?

На этот раз вы переноситесь на остров рыцарей и лжецов.

Каждая обитательница этого острова - либо рыцарь, либо лжец. Вы

влюбляетесь в одну, из прекрасных островитянок - девушку по имени

Элизабет - и хотите жениться на ней. Но вам хотелось бы знать, кто она

(так как вы, естественно, не хотели бы жениться на лжеце). Если бы вам

разрешили задать ей хоть один вопрос, то все было бы очень просто. Но на

острове существует древнее табу, запрещающее мужчине заговаривать с любой

островитянкой до тех пор, пока она не станет его женой. К счастью, у

Элизабет есть брат. Он, как и все островитяне, либо рыцарь, либо лжец

(брат и сестра не обязательно однотипны: один из них может быть рыцарем, а

другой - лжецом). Вам разрешается задать брату один вопрос, на который

можно ответить либо "да", либо "нет".

Придумайте такой вопрос, чтобы, услышав ответ, вы бы могли с

уверенностью сказать, кто такая Элизабет: рыцарь или лжец. Какой вопрос вы

бы задали?

98. Как выбрать невесту на острове Бахава?

На этот раз вы переноситесь на остров Бахава, где живут рыцари, всегда

говорящие только правду, лжецы, которые всегда лгут, и нормальные люди,

говорящие то правду, то ложь. Напомним, что на острове Бахава женщины во

всем пользуются равными правами с мужчинами. Среди женщин, как и среди

мужчин, имеются рыцари, лжецы и нормальные люди. На вас как на иностранца

не распространяются законы острова и, в частности, королевский указ,

повелевающий рыцарю вступать в брак только с рыцарем, а лжецу - только с

лжецом: вы вольны выбирать себе в жены островитянку, кем бы она ни была.

Предположим, что вам надлежит выбрать себе в невесты одну из трех

сестер A, B, C. Известно, что одна из них рыцарь, одна - лжец и одна -

нормальный человек. Известно также, что нормальная сестра (нечего сказать,

в хорошенькое положение вы попали!) - оборотень, а две другие сестры не

оборотни. Предположим, что вы не откажетесь взять в жены лжеца (или

рыцаря), но жениться на оборотне даже для такого покладистого человека,

как вы, - это уж слишком! Чтобы определить, кто из сестер кто, вам

разрешается задать им один-единственный вопрос, на который можно ответить

либо "да", либо "нет".

Какой вопрос вы бы задали?

В. ДА, ВЫ НЕ ВИНОВНЫ, НО КАК ЭТО ДОКАЗАТЬ?

Теперь мы переходим к серии особенно увлекательных задач.

Действие во всех этих задачах происходит на острове рыцарей, лжецов и

нормальных людей. Вы сами также один из уроженцев и постоянных обитателей

этого острова.

На острове совершено преступление. По совершенно непонятным

соображениям подозрения пали на вас. Вы задержаны и предстали перед судом.

На судебном заседании вам разрешают произнести одну-единственную фразу.

Ваша задача - убедить присяжных в том, что вы не виновны.

99.

Предположим, что преступник - лжец (о чем известно суду)

и вы также лжец (о чем суду не известно), но тем не менее не виновны в

совершении инкриминируемого вам преступления.

Вам предоставляется право произнести одну-единственную фразу. Ваша цель

- убедить присяжных не только в том, что вы не лжец, но и в том, что вы

не виновны. Что бы вы сказали?

100.

Предположим, что вы находитесь в такой же ситуации, как и в предыдущей

задаче, с единственным отличием: теперь вы виновны. Какое заявление вы бы

сделали на суде, чтобы убедить присяжных (людей вполне разумных и

способных рассуждать логично) в своей невиновности?

101.

В этой задаче мы будем предполагать, что преступник - рыцарь. (Наше

допущение внутренне непротиворечиво: чтобы совершить преступление, вовсе

не обязательно лгать.)

Предположим также, что вы рыцарь (о чем присяжным не известно), но не

виновны в совершении преступления. Что бы вы заявили на суде?

102.

Эта задачка потруднее. Предположим, что преступник - не нормальный

человек, то есть либо рыцарь, либо лжец. Вы не виновны. Какое

высказывание, которое могло бы исходить и от рыцаря, и от лжеца, и от

нормального человека, вы бы произнесли на суде, чтобы убедить присяжных в

своей невиновности?

103.

А вот гораздо более простая задача. Известно, что преступник - не

нормальный человек. Вы не преступник, но вполне нормальны. Какое

высказывание, которое не могло бы исходить ни от виновного рыцаря, ни от

лжеца, вы бы произнесли на суде, чтобы убедить присяжных в своей

невиновности?

104.

Эта задача поинтереснее. Известно, что преступник - не нормальный

человек. Предположим, что 1) вы не виновны и что 2) вы не лжец.

Можете ли вы одним-единственным высказыванием убедить присяжных в этих

двух фактах?

105.

Эта задача в известном смысле "двойственна" предыдущей.

Известно, что преступник - не нормальный человек, вы не виновны, но

не рыцарь. Предположим, что по каким-то известным вам соображениям вы не

прочь приобрести репутацию лжеца или нормального человека, но с презрением

относитесь к рыцарям. Могли бы вы одним-единственным высказыванием убедить

присяжных в том, что вы не виновны, но не рыцарь?

Г. КАК ЖЕНИТЬСЯ НА ДОЧЕРИ КОРОЛЯ?

Наконец-то мы добрались до темы, которую вы все ожидали с нетерпением!

106.

Вы, житель острова рыцарей, лжецов и нормальных людей, влюблены в дочь

короля Маргозиту и хотите жениться на ней.

Король не желает, чтобы его дочь вышла замуж за нормального человека, и

дает ей отеческие наставления: "Поверь мне, дорогая, тебе действительно не

следует выходить замуж за нормального человека. Нормальные люди капризны,

переменчивы, на них ни в чем нельзя положиться. С ними никогда не знаешь,

где находишься. Один день он говорит тебе правду, на другой день лжет. Что

в этом хорошего?

Рыцарь же надежен, как скала. С ним всегда знаешь, на чем стоишь. С

лжецом тоже чувствуешь себя вполне уверенно: что бы он ни сказал, стоит

тебе лишь заменить его высказывание противоположным, и ты знаешь, как

обстоит дело в действительности. Я считаю, что у человека должны быть

какие-то принципы, которым он неукоснительно следует. Если человек видит

высшее наслаждение в том, чтобы говорить правду, пусть говорит правду.

Если считает, что ложь превыше всего, пусть лжет. А что представляют собой

эти добропорядочные нормальные люди? Так себе: серединка на половинку, ни

правды, ни лжи. Нет, они не для тебя!"

Предположим теперь, что вы не нормальный человек (и поэтому имеете шанс

обрести в жены дочь короля). Чтобы получить согласие короля на ваш брак с

его дочерью, вам необходимо убедить его в том, что вы не нормальный

человек. Король дает вам аудиенцию, во время которой вы можете произнести

сколько угодно высказываний. Задача подразделяется на две части.

а) Сколько истинных высказываний понадобится вам, чтобы убедить короля

в том, что его будущий зять - не нормальный человек?

б) Сколько ложных высказываний понадобится вам, чтобы убедить короля в

том, что его будущий зять - не нормальный человек?

(Подчеркнем, что и в том и в другом случае речь идет о минимальном

числе высказываний.)

107.

На другом острове рыцарей, лжецов и нормальных людей король

придерживался противоположных взглядов и дал дочери иные отеческие

наставления: "Дорогая, я не хочу, чтобы ты вышла замуж за какого-нибудь

рыцаря или лжеца. Мне хотелось бы, чтобы твой муж был солидным нормальным

человеком с хорошей репутацией. Тебе не следует выходить замуж за рыцаря,

потому что все рыцари - ханжи. Тебе не следует выходить замуж и за

лжеца, потому что все лжецы вероломны. Нет, что ни говори, а

добропорядочный нормальный человек был бы тебе как раз под пару!"

Предположим, что вы житель этого острова и нормальный человек. Ваша

задача - убедить короля в том, что вы нормальный человек.

а) Сколько истинных высказываний понадобится вам для этого?

б) Сколько ложных высказываний понадобится вам для той же цели?

(И в том и в другом случае речь идет о минимальном числе высказываний.)

108.

Перед вами более сложный вариант предыдущей задачи. Ее решение

представляет собой альтернативу (хотя и чрезмерно сложную) решению

предыдущей задачи, но, чтобы решить ее, одного лишь решения предыдущей

задачи недостаточно.

Предположим, что вы житель острова рыцарей, лжецов и нормальных людей и

сами нормальный человек. Король хочет, чтобы его дочь вышла замуж только

за нормального человека, но требует доказательства исключительного

остроумия и сообразительности от своего будущего зятя. Чтобы получить руку

королевской дочери, вы должны в присутствии его величества произнести

одно-единственное высказывание, которое удовлетворяло бы двум следующим

условиям:

1) Оно должно убедить короля в том, что вы нормальный человек.

2) Король не должен знать, истинно или ложно ваше высказывание.

Как это сделать?

РЕШЕНИЯ

88. C - либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что C - рыцарь. Тогда

по крайней мере двое из трех островитян - лжецы. Следовательно, ими

должны быть A и B. Отсюда мы заключаем, что B - оборотень (так как, по

его словам, он не оборотень, а по доказанному B - лжец). Итак, если C

- рыцарь, то оборотень - лжец (так как им должен быть B). Предположим

теперь, что C - лжец. Тогда неверно, что по крайней мере два из трех

островитян - лжецы, поэтому среди них есть самое большее один лжец. Этим

лжецом должен быть C. Следовательно, и A, и B - рыцари. Так как A -

рыцарь и утверждает, что C - оборотень, то C действительно оборотень.

Таким образом, и в этом случае оборотень - лжец (а именно C).

Следовательно, независимо от того, рыцарь ли C или лжец, оборотень -

лжец (хотя в каждом случае речь идет о другом лице). Итак, ответ на первый

вопрос гласит: оборотень - лжец. Кроме того, мы доказали, что оборотнем

может быть либо B, либо C. Следовательно, если вы хотите выбрать себе

попутчика, который заведомо не был бы оборотнем, то вам следует остановить

свой выбор на A.

89. Докажем сначала, что C - рыцарь. Предположим, что C был бы

лжецом. Тогда его первое высказывание было бы ложным, поэтому по крайней

мере двое из трех островитян были бы рыцарями. Это означало бы, что A и B

оба должны быть рыцарями (так как по предположению C - лжец).

Следовательно, их высказывания были бы истинными, и они оба вопреки

условиям задачи были бы оборотнями. Итак, C - рыцарь. Тогда ровно двое

из трех лжецы. Ими должны быть A и B. А поскольку их высказывания ложны,

то ни A, ни B не оборотни. Следовательно, оборотнем должен быть C. Таким

образом, C - рыцарь и оборотень, A и B - лжецы, и ни один из них не

оборотень.

90. Если бы B был лжецом, то по крайней мере один из трех островитян

действительно был бы лжецом. Но тогда его высказывание было бы истинным, и

мы пришли бы к противоречию, так как лжецы не говорят правды.

Следовательно, B - рыцарь. Тогда высказывание A истинно, и A также

должен быть рыцарем. Таким образом, и A, и B - рыцари. Так как B -

рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому один из трех - рыцарь. Им

должен быть C.

Следовательно, он и только он оборотень.

91. A должен быть рыцарем по тем же самым причинам, по которым в

предыдущей задаче был рыцарем B, а именно: если бы A был лжецом, то было

бы истинным высказывание о том, что по крайней мере один из трех лжец, и

мы пришли бы к противоречию (высказывание лжеца было бы истинным). Так как

A - рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому по крайней мере один из

трех действительно лжец. Если бы B был рыцарем, то (в силу высказывания B)

C также был бы рыцарем, и все трое оказались бы рыцарями. Но в истинном

высказывании A утверждается, что по крайней мере один из трех - лжец.

Следовательно, B должен быть лжецом. А так как B утверждает, что C -

рыцарь, то C в действительности лжец. Таким образом, A - единственный

рыцарь.

Следовательно, A - оборотень.

92. Из высказывания A следует, что A должен быть рыцарем и по крайней

мере один из трех должен быть лжецом. Если бы B был рыцарем, то C был бы

оборотнем и, значит, еще одним рыцарем, но тогда трое были бы рыцарями.

Следовательно, B - Но тогда C не оборотень. Поскольку известно, что

оборотень - рыцарь, то B также не может быть оборотнем.

Значит, оборотень A.

93. Если бы B был рыцарем, то C был бы оборотнем и рыцарем, то есть

рыцарей было бы двое. Следовательно, B - лжец, а C не оборотень. Кроме

того, B, будучи лжецом, не оборотень.

Значит, оборотень A.

94. Вам следовало бы выбрать A. Предположим, что B - рыцарь. Тогда

его высказывание истинно. Следовательно, оборотень - лжец, поэтому B не

может быть оборотнем.

Предположим, что B - лжец. Тогда его высказывание ложно, а это

означает, что оборотень в действительности рыцарь.

Следовательно, и в этом случае B не может быть оборотнем.

95. Все, что вам нужно; сказать: "Я бедный лжец". Из этого высказывания

ваша возлюбленная сразу же заключит, что вы не рыцарь (поскольку рыцарь не

стал бы лгать и утверждать, что он бедный лжец). Следовательно, вы должны

быть лжецом, а так как ваше высказывание ложно, то вы не бедный лжец. Но

вы лжец, поэтому вы должны быть богатым лжецом.

96. Вам нужно сказать: "Я не бедный рыцарь". Услыхав такое признание,

ваша возлюбленная стала бы рассуждать следующим образом. Если бы вы были

лжецом, то вы действительно не были бы бедным рыцарем. Следовательно, ваше

высказывание было бы истинным. Это означало бы, что вы, будучи лжецом,

высказали истинное утверждение.

Возникшее противоречие показывает, что вы рыцарь. Но тогда ваше

высказывание истинно, и вы не бедный рыцарь. А поскольку вы рыцарь, то вы

должны быть богатым рыцарем.

97. Эта задача имеет несколько решений. Простейшее из них состоит в

следующем. Вы спрашиваете у брата вашей избранницы: "Вы и Элизабет

однотипны?" Если он ответит "да", то Элизабет должна быть рыцарем

независимо от того, будет ли ее брат рыцарем или лжецом. Если же он

ответит "нет", то Элизабет должна быть лжецом независимо от того, кто ее

брат. Докажем это.

Предположим, что на ваш вопрос брат Элизабет ответил "да". Мы знаем,

что ее брат - либо рыцарь, либо лжец.

Если он рыцарь, то его высказывание, утверждающее, что Элизабет рыцарь,

истинно. Следовательно, Элизабет также должна быть рыцарем. Если брат

Элизабет - лжец, то его высказывание ложно. Следовательно, он и Элизабет

разнотипны, а это означает, что Элизабет и в этом случае должна быть

рыцарем. Итак, если Артур отвечает вам "да", то Элизабет рыцарь.

Предположим, что Артур отвечает "нет". Если он рыцарь, то говорит

правду. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, поэтому Элизабет должна

быть лжецом. Если же он лжец, то его высказывание ложно. Тогда Элизабет в

действительности однотипна с ним, а следовательно, и в этом случае должна

быть лжецом. Итак, если Артур отвечает вам "нет", то Элизабет - лжец.

98. Эта задача также допускает несколько решений.

Простейшее и наиболее изящное из известных мне решений состоит в том,

чтобы, выбрав одну из сестер (например, A), спросить у нее: "В по рангу

ниже C?" /* Напомним, что рыцари - особы высшего ранга, нормальные люди

- -- среднего, лжецы - низшего.*/

Предположим, что A отвечает "да". Тогда вы выбираете себе в невесты B,

рассуждая при этом следующим образом.

Предположим, что A - рыцарь. Тогда B по рангу действительно ниже C.

Следовательно, B - лжец, а сестра C - нормальный человек. В этом

случае B не оборотень (так как оборотень C). Предположим, что A - лжец.

Тогда B в действительности по рангу выше C. Это означает, что B -

рыцарь, а C - нормальный человек. Следовательно, и в этом случае B -

не оборотень. Если A - нормальный человек, То B заведомо не оборотень,

так как оборотень A. Итак, если A отвечает на ваш вопрос "да", то

независимо от того, будет ли она рыцарем или лжецом, вам следует выбрать

себе в невесты сестру B.

Если бы A ответила "нет", то ее ответ был бы эквивалентен утверждению,

что C по рангу ниже B. В этом случае вам следовало бы выбрать себе в

невесты сестру C.

99. Все подозрения с вас могло бы снять одно-единственное высказывание:

"Я виновен". Вы, будучи лжецом, могли бы сделать такое заявление на суде,

поскольку оно ложно, и оно сняло бы с вас подозрения, так как присяжные,

искушенные в логике, рассуждали бы следующим образом. Если бы вы

действительно были виновны, то вы были бы лжецом (так как известно, что

преступник - лжец). Но тогда вы, будучи лжецом, высказали бы истинное

утверждение. Таким образом, предположение о том, что вы виновны, приводит

к противоречию. Следовательно, вы не виновны.

Приведенное нами рассуждение присяжных может служить типичным примером

рассуждения от противного (ложность утверждения доказывается тем, что

высказанный тезис доводится до нелепости, отсюда латинское название этого

способа доказательства reductio ad absurdum - приведение к нелепости).

Присяжные могли бы прийти к тому же выводу и более прямым путем, рассуждая

следующим образом. Вы либо лжец, либо не лжец (напомним, что присяжным не

известно, лжец вы или не лжец). Если вы лжец, то ваше высказывание ложно.

Следовательно, вы не виновны. Если вы не лжец, то вы заведомо не виновны,

так как преступник - лжец.

100. Убедить присяжных одним-единственним высказыванием в том, что вы

не виновны, невозможно. Если после того, как вы сделали свое заявление,

присяжные могли бы, логически рассуждая, прийти к выводу, что вы не

виновны, то (поскольку они люди умные и строили свои рассуждения по всем

правилам логики) это означало бы, что вы действительно не виновны вопреки

условию задачи (по предположению вы виновны в совершении преступления).

101. Эта задача в известном смысле "двойственна" задаче 99 (и даже

несколько проще той). Вам необходимо лишь заявить на суде: "Я не виновен".

Услышав ваше заявление, присяжные стали бы рассуждать следующим образом.

Если вы рыцарь (о чем они не знают), то ваше высказывание истинно.

Следовательно, вы не виновны. Если же вы не рыцарь, то вы опять-таки не

виновны, так как по имеющимся у присяжных сведениям преступник - рыцарь.

102. Одно из решений состоит в том, что вы должны выступить на суде с

заявлением: "Либо я рыцарь и не виновен, либо я лжец и виновен".

Сформулируем ваше высказывание несколько проще: "Я либо невиновный рыцарь,

либо виновный лжец".

Выслушав подобное заявление, присяжные принялись бы рассуждать

следующим образом.

Первый шаг. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание истинно.

Следовательно, он либо невиновный рыцарь, либо виновный лжец. Быть

виновным рыцарем он не может, так как он не лжец. Значит, он невиновный

рыцарь.

Следовательно, он не виновен.

Второй шаг. Предположим, что он лжец. Тогда его заявление ложно.

Следовательно, он ни невиновный рыцарь, ни виновный лжец. В частности, он

не может быть виновным лжецом. Но он лжец. Следовательно, он невиновный

лжец и, значит, не виновен.

Третий шаг. Если он нормальный человек, то он заведомо не виновен, так

как преступник - не нормальный человек.

103. Эта задача решается очень просто. Вам нужно заявить на суде: "Я

лжец". Ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать такое утверждение.

Следовательно, вы нормальный человек и, значит, не виновны.

104. Вы могли бы сказать: "Я не виновный рыцарь".

Присяжные, выслушав ваше признание, стали бы рассуждать следующим

образом.

Первый шаг. Предположим, что он (то есть вы) был бы лжецом.

Тогда он не был бы рыцарем и, следовательно, не мог бы быть виновным

рыцарем, поэтому его высказывание было бы истинным. Но это невозможно, так

как лжецы не высказывают истинных утверждений. Следовательно, он не может

быть лжецом.

Второй шаг. Нам известно, что он либо рыцарь, лицо нормальный человек.

Если он нормальный человек, то он не виновен. Предположим, что он рыцарь.

Тогда его высказывание истинно. Следовательно, он не может быть виновным

рыцарем.

Но он рыцарь. Значит, он должен быть невиновным рыцарем.

Следует заметить, что вы могли бы сделать на суде и другие (по форме,

но эквивалентные по существу) заявления, например "Либо я не рыцарь, либо

я не виновен", "Если я рыцарь, то я не виновен".

105. Вы могли бы сказать: "Я виновный лжец". Выслушав ваше заявление,

присяжные стали бы рассуждать следующим образом: "Ясно, что он не рыцарь.

Значит, он либо нормальный человек, либо лжец. Если он нормальный человек,

то он не виновен. Предположим, что он лжец. Тогда его высказывание ложно,

и он может быть виновным лжецом.

Следовательно, он невиновный лжец".

106. Любого числа высказываний недостаточно, чтобы убедить короля в

вашей ненормальности. Действительно, любые ваши высказывания, сколько бы

их ни было, могли бы принадлежать нормальному человеку, так как нормальный

человек высказывает и истинные, и ложные утверждения.

Следовательно, вам не удастся жениться на дочери этого короля! Жаль!

Придется вам попытать счастья на следующем острове.

107. И в том и в другом случае достаточно одного высказывания. Короля

могло бы убедить истинное высказывание "Я не рыцарь" (такое высказывание

не могло бы принадлежать ни рыцарю, ни лжецу) и ложное высказывание "Я

лжец".

108. В связи с этой задачей я хотел бы заметить, что если вы выскажете

первое утверждение, то король узнает, что хотя вы и нормальный человек, но

только что вы высказали истинное утверждение. Если вы выскажете второе

утверждение, то король узнает, что хотя вы и нормальный человек, но только

что вы высказали ложное утверждение.

Выберите на свое усмотрение любое утверждение, истинность или ложность

которого не известна королю, например утверждение, что у вас в кармане

ровно 11 долларов. Свое утверждение вы могли бы высказать в такой форме:

"Либо я нормальный человек и у меня ровно 11 долларов в кармане, либо я

лжец".

Такое утверждение не могло бы принадлежать лжецу (потому что

утверждение, в котором о лжеце говорится, что он либо нормальный человек,

у которого 11 долларов в кармане, либо лжец, истинно). Такое утверждение

не могло бы принадлежать и рыцарю (рыцарь не может быть ни нормальным

человеком с 11 долларами в кармане, ни лжецом). Следовательно, король

узнает, что вы нормальный человек, но не сможет узнать, истинно выше

высказывание или ложно, пока ему не станет известно, сколько денег у вас в

кармане.

VII. Логические задачи

ПРЕАМБУЛА

Многие из задач в этой главе содержат так называемые условные

высказывания, то есть сложные высказывания вида "Если P истинно, то Q

истинно", где P и Q - некоторые высказывания. Прежде чем приступить к

решению задач этого типа, необходимо выяснить, какие неоднозначности могут

встретиться в истолковании условных высказываний. С одними фактами

согласятся все, по поводу других могут возникнуть значительные разногласия.

Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим следующее высказывание:

Если Джон виновен, то его жена виновна. (1)

Всякий согласится с тем, что если Джон виновен и если высказывание (1)

истинно, то жена Джона также виновна.

Предположим теперь, что жена Джона виновна, но не известно, виновен

Джон или не виновен. Как, по-вашему, будет ли в этом случае высказывание

(1) истинно или ложно? Не считаете ли вы, что независимо от того, виновен

Джон или не виновен, его жена виновна? Может быть, вы предпочитаете

выразить свою мысль иначе: если Джон виновен, то его жена виновна, и если

Джон не виновен, то его жена виновна?

Примеры такого словоупотребления мы находим в литературе.

В рассказе Киплинга "Рики-тики-тави" кобра говорит перепуганному

семейству: "Если вы двинетесь с места, я укушу, и если вы не двинетесь с

места, я укушу". В переводе на более привычный язык это означает

просто-напросто: "Я укушу". О наставнике секты дзен Токусане легенда

рассказывает, что на все вопросы (и "невопросы") он отвечал ударами своего

посоха. Ему принадлежит знаменитое изречение: "Тридцать ударов, если тебе

есть что сказать, тридцать ударов, если тебе нечего сказать".

Итак, мы с трогательным единодушием заключаем, что если высказывание Q

истинно, то условное высказывание "Если P, то Q" (так же как и условное

высказывание "Если не P, то Q") истинно.

Наиболее спорный вопрос состоит в том, истинно или ложно условное

высказывание "Если P, то Q", когда оба высказывания P и Q ложны. Обратимся

к нашему примеру.

Можно ли считать высказывание (1) истинным, если и Джон и его жена не

виновны? К этому жизненно важному вопросу мы вскоре вернемся.

С интересующим, нас вопросом тесно связан другой. Мы уже пришли к

единому мнению относительно того, если Джон виновен, а его жена не

виновна, то высказывание (1) должно быть ложным. Верно ли обратное

утверждение? Иначе говоря, следует ли из ложности высказывания (1), что

Джон должен быть виновен, а его жена невиновна? Ту же мысль можно

сформулировать и по-другому: правильно ли утверждать, что высказывание (1)

ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена не виновна? Если

связку "если ... , то ... " понимать так, как это делают большинство

логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить

утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения.

Заключается оно в том, что если нам заданы любые два высказывания P и Q,

то сложное высказывание "Если P, то Q" означает: "Не верно, что P истинно,

а Q ложно" (не больше и не меньше). В частности, принятое соглашение

означает, что если Джон и его жена не виновны, то высказывание (1) следует

считать истинным.

Единственный случай, когда высказывание (1) ложно, может представиться,

если Джон виновен, а его жена не виновна.

Это условие заведомо не выполняется, если Джон и его жена не виновны.

Иначе говоря, если Джон и его жена не виновны, то заведомо не верно, что

Джон виновен, а его жена не виновна, поэтому высказывание (1) не может

быть истинным.

Следующий пример еще более причудлив:

Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2)

Высказывание (2) означает всего-навсего: "Не верно, что Конфуций

родился в Техасе, и я не Дракула". Таким образом, высказывание (2) следует

считать истинным.

К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны.

Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе,

а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может

быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула.

Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным.

Следовательно, оно должно быть истинным.

Рассмотрим теперь любые два высказывания P, Q. Составим из них сложное

высказывание.

Если P, то Q. (3)

Будем обозначать его P - Q (эту сокращенную запись принято читать либо

как "если P, то Q", либо как "из P следует Q", либо "P влечет за собой Q",

либо даже P имплицирует Q"). Слово "следует" (и его синонимы) не слишком

удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели,

надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько

необычном смысле:

не верно, что P истинно и Q ложно.

Итак, относительно высказывания P - Q мы располагаем следующей

информацией.

Факт 1. Если P ложно, то P - Q автоматически истинно.

Факт 2. Если Q истинно, то P - Q автоматически истинно.

Факт 3. Высказывание P - Q может быть ложно в том и только в том

случае, если P истинно, а Q ложно.

Факт 1 иногда формулируют иначе: "Из ложного высказывания следует что

угодно". Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые

решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2

иногда формулируют так: "Истинное высказывание следует из чего угодно".

Таблица истинности

Если заданы два высказывания P, Q, то их значения истинности могут

распределяться четырьмя возможными способами: 1) P и Q истинны; 2) P

истинно, Q ложно; 3) P ложно, Q истинно; 4) P и Q ложны.

В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с

одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание P - Q.

Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких - ложно?

Можно, если воспользоваться следующими соображениями.

Случай 1: P и Q истинны. Так как Q истинно, то P - Q истинно (факт 2).

Случай 2: P истинно, Q ложно. Тогда P - Q ложно (факт 3).

Случай 3: P ложно, Q истинно. Тогда P - Q истинно (факт 1 или факт 2).

Случай 4: P ложно, Q ложно. Тогда P - Q истинно (факт 1).

Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей

истинности для импликации:

P Q P - Q

1 И И И

2 И Л Л

3 Л И И

4 Л Л И

Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают,

что когда P истинно и Q истинно, высказывание P - Q истинно. Буквы И, Л, Л

во второй строке означают, что если P истинно, Q ложно, то P - Q истинно,

а буквы Л, Л, И в четвертой строке - что если P ложно и Q ложно, то P -

Q истинно.

Заметим, что P - Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во

втором случае.

Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным

свойством. Чтобы доказать истинность высказывания "Если P, то Q",

достаточно, приняв высказывание P за посылку, убедиться в том, что из него

следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки P следует заключение

Q, то высказывание "Если , то Q" истинно.

В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт

4.

А. ПРИМЕНЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ К РЫЦАРЯМ И ЛЖЕЦАМ

109.

О каждом из двух людей A и B известно, что он либо рыцарь, либо лжец.

Предположим, что A высказывает следующее утверждение: "Если я рыцарь, то B

- -- рыцарь".

Можно ли определить, кто такие A и B: кто из них рыцарь и кто лжец?

110.

У A спрашивают: "Вы рыцарь?" Тот отвечает: "Если я рыцарь, то съем

собственную шляпу".

Докажите, что A придется съесть свою шляпу.

111.

A утверждает: "Если я рыцарь, то дважды два - четыре".

Кто такой A: рыцарь или лжец?

112.

A заявляет: "Если я рыцарь, то дважды два - пять". Кто, по-вашему, A:

рыцарь или лжец?

113.

Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец.

А заявляет: "Если B - рыцарь, то я лжец".

Кто A и кто B?

114.

Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, A и B выступают на

суде в качестве свидетелей. Относительно A и B известно, что каждый из них

либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со

следующими заявлениями:

A: Если X виновен, то Y виновен.

B: Либо X не виновен, либо Y виновен.

Можно ли утверждать, что A и B однотипны? (Напомним, что двух

обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба

рыцари либо оба лжецы.)

115.

У трех обитателей A, B и C острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в

ходе которого они высказали следующие утверждения:

A: B - рыцарь.

B: Если A - рыцарь, то C - рыцарь.

Можно ли определить, кто из A, B и C рыцарь и кто лжец?

Б. ЛЮБОВЬ И ЛОГИКА

116.

Предположим, что следующие два высказывания истинны:

1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.

2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.

Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них

непременно, что я люблю Джейн?

117.

Предположим, что у меня спрашивают: "Верно ли, что если вы любите

Бетти, то вы также любите Джейн?" Я отвечаю: "Если это верно, то я люблю

Бетти".

Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю

Джейн?

118.

На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают:

"Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?" Я

отвечаю: "Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это

правда".

О какой девушке можно с уверенностью сказать, что я ее люблю?

119.

На этот раз перед нами предстанут три девушки: Сью, Марция и Диана.

Предположим, что известно следующее.

1) Я люблю по крайней мере одну из этих трех девушек.

2) Если я люблю Сью, а не Диану, то я также люблю Марцию.

3) Я либо люблю и Диану и Марцию, либо не люблю ни одну из них.

4) Если я люблю Диану, то я также люблю Сью.