Часть 5.

157. Есть ответ!

Сейчас вы наконец узнаете правильный ответ на Вопрос Вопросов.

Одному из двух жрецов был известен правильный ответ на Вопрос Вопросов,

и, когда философ спросил у него: "Почему существует нечто, а не ничто?"

- -- он ответил так:

"Существует нечто, а не ничто".

Какое поразительное заключение следует из такого ответа?

РЕШЕНИЯ

142. Предположим, что B - рыцарь. Тогда первый остров называется Майя

и, кроме того, A - лжец. Следовательно, высказанное A утверждение ложно,

и поэтому не верно, что B - рыцарь и первый остров называется Майя. Но

по предположению B - рыцарь, значит, первая часть утверждения истинна.

Отсюда мы заключаем, что вторая часть утверждения ложна. Следовательно,

первый остров не Майя.

Итак если B - рыцарь, то первый остров должен и быть, и не быть

островом Майя. Полученное противоречие доказывает, что B - лжец.

Так как B лжец, то A также лжец (поскольку A утверждает, что B -

рыцарь). Высказанное B утверждение, как всякое утверждение лжеца, ложно,

поэтому не верно, что A - лжец и первый остров называется Майя. Но

первая часть утверждения истинна (так как A - лжец). Следовательно,

вторая часть утверждения должна быть ложной, и первый остров - не остров

Майя.

143. Ясно, что A - лжец (высказанное A утверждение не может

принадлежать рыцарю). Так как B согласен с A, то B также лжец. Поскольку

высказанное A утверждение ложно, то не верно, что: 1) A и B - оба лжецы

и что 2) второй остров называется Майя. Но высказывание (1) истинно,

поэтому высказывание (2) должно быть ложно. Итак, второй остров - не

остров Майя.

144. Так как B согласен с A, то A и B либо оба рыцари, либо оба лжецы.

Если бы они оба были рыцарями, то было бы не верно, что по крайней мере

один из них лжец. Но тогда высказанное A утверждение было бы ложно, что

невозможно, так как A - рыцарь. Следовательно, A и B - оба лжецы.

Это означает, что высказанное A утверждение ложно. Но первая часть его

должна быть истинной (если A и B - оба лжецы, то по крайней мере один из

них лжец). Значит, вторая часть утверждения должна быть ложной.

Следовательно, третий остров - не остров Майя.

145. Островитянин A - заведомый лжец, так как высказанное им

утверждение не может принадлежать рыцарю. Если B - рыцарь, то из

высказанного им утверждения следует, что четвертый остров - не остров

Майя. Если же B - лжец, то первая часть высказанного A утверждения

истинна. Но все утверждение A ложно (так как A - лжец), поэтому должна

быть ложной его вторая часть. Следовательно, и в этом случае четвертый

остров - не остров Майя.

146. Как и в предыдущей задаче, A должен быть лжецом, а B может быть

либо рыцарем, либо лжецом, но и в том и в другом случае пятый остров -

не остров Майя.

147. Если бы A был лжецом, то обе альтернативы высказанной им

дизъюнкции были бы ложными, вследствие чего B был бы лжецом. В свою

очередь это означало бы, что обе альтернативы высказанной B дизъюнкции

ложны, и A должен бы быть рыцарем. Полученное противоречие показывает, что

A - рыцарь. Следовательно, его утверждение истинно, и либо B - рыцарь,

либо шестой остров называется Майя. Если вторая альтернатива истинна, то

шестой остров, разумеется, остров Майя. Предположим, что истинна первая

альтернатива, то есть что B - рыцарь. Тогда его утверждение истинно:

"Либо A - лжец, либо этот остров называется Майя". Но A не лжец,

поэтому первая альтернатива ложна. Следовательно, вторая альтернатива

истинна, и шестой остров - остров Майя.

Вкратце часть наших рассуждений сводится к следующему. Мы установили,

что либо B - рыцарь, либо шестой остров - остров Майя. Но, кроме того,

нам известно, что если B - рыцарь, то шестой остров - остров Майя.

Следовательно, шестой остров - остров Майя.

Итак, остров Майя после долгих поисков найден!

148. Если бы E был лжецом, то было бы верно, что либо E - лжец, либо

C и D однотипны. Это означало бы, что лжец высказал истинное утверждение.

Поскольку это невозможно, то E - рыцарь. Значит, его утверждение

истинно, поэтому либо он лжец, либо C и D однотипны, а так как он не лжец,

то C и D однотипны.

Предположим, что C был бы лжецом. Тогда A и B оба были бы лжецами.

Высказанное D утверждение было бы истинным, поэтому D был бы рыцарем.

Таким образом, C был бы лжецом, а D - рыцарем, что противоречит их

однотипности.

Следовательно, C должен быть рыцарем. Значит, D также рыцарь. Так как C

- рыцарь, то A и B оба не могут быть лжецами, из чего мы заключаем, что

либо X, либо Y - правильная карта. Предположим, что X - правильная

карта.

Тогда A - рыцарь, а B - лжец вопреки истинному утверждению,

высказанному D, о том, что либо A - лжец, либо B - рыцарь.

Следовательно, X не может быть правильной картой. Значит, Y - правильная

карта.

149. Если бы сидящий на троне был лжецом, то он был бы либо лжецом,

либо обезьяной. Следовательно, его высказывание было бы истинным вопреки

тому, что он лжец. Значит, сидящий на троне - рыцарь, его высказывание

истинно, и он либо лжец, либо обезьяна. Так как он нелжец, то он обезьяна.

Итак, сидящий на троне - обезьяна и рыцарь.

150. Ясно, что сидящий на троне не рыцарь. Значит, он лжец, и его

высказывание ложно. Следовательно, он либо рыцарь, либо человек. Так как

он не рыцарь, то он человек. Итак, сидящий на троне - человек и лжец.

151. Предположим, что сидящий на троне был бы лжецом. Тогда было бы

верно, что он не обезьяна и не рыцарь одновременно.

Следовательно, его высказывание было бы истинным, и мы получили бы

лжеца, способного высказывать истинные утверждения. Полученное

противоречие показывает, что сидящий на троне - рыцарь. Следовательно,

верно, что он не обезьяна и не рыцарь. Если бы он был обезьяной, то он был

бы обезьяной и рыцарем. Значит, он человек. Итак, сидящий на троне -

человек и рыцарь.

152. B не может быть лжецом, так как в противном случае его утверждение

было бы истинным. Значит, B - рыцарь, поэтому его утверждение истинно, и

A должен быть лжецом. Тогда утверждение A ложно, и A и B - оба люди.

Следовательно, A - человек и лжец, а B - человек и рыцарь

153. B должен быть лжецом, так как рыцарь не мог бы высказать

утверждение B. Следовательно, A и B оба не могут быть лжецами, поэтому A

- рыцарь. Значит, его утверждение истинно, и A и B - оба обезьяны.

Итак, A - обезьяна и рыцарь, B - обезьяна и лжец.

154. Предположим, что B был бы рыцарем. Тогда A также был бы рыцарем

(так как B утверждает, что A - рыцарь), и, следовательно, B должен бы

быть лжецом и обезьяной.

Полученное противоречие показывает, что B - лжец. Из его утверждения

мы заключаем, что A также лжец. Так как первое утверждение, высказанное A,

ложно, то не верно, что B - лжец и обезьяна. Но B - лжец.

Следовательно, не верно, что B - обезьяна, поэтому B - человек и лжец.

Из второго утверждения, высказанного A, следует, что A - обезьяна. Итак,

A - обезьяна и лжец.

155. Прежде всего докажем, что G - рыцарь. Для этого достаточно

доказать, что его утверждение истинно, то есть что если C - рыцарь, то F

также рыцарь. Мы докажем это тем, что выведем из посылки "С - рыцарь"

заключение "F также рыцарь". Итак, предположим, что C - рыцарь. Тогда A

и B - оба рыцари. Следовательно, X - дверь, ведущая во Внутреннее

святилище, и либо дверь Y, либо дверь Z ведет во Внутреннее святилище.

Случай 1: дверь Y ведет во Внутреннее святилище. Тогда обе двери X и Y

ведут во Внутреннее святилище. В этом случае D - рыцарь.

Случай 2: дверь Z ведет во Внутреннее святилище. Тогда обе двери X и Z

ведут во Внутреннее святилище. В этом случае E - рыцарь.

Итак, либо D, либо E должен быть рыцарем. Следовательно, высказанное F

утверждение истинно, поэтому F - рыцарь.

Итак, из посылки "С - рыцарь" мы вывели заключение "Р - рыцарь".

Следовательно, верно, что если C - рыцарь, то Р - рыцарь. Именно это и

утверждал G. Значит, G - рыцарь.

Докажем теперь, что высказанное H утверждение истинно. По словам H,

если G и H - оба рыцари, то A - рыцарь.

Предположим, что H - рыцарь. Тогда G и H - оба рыцари.

Кроме того, верно, что если G и H - оба рыцари, то A - рыцарь

(именно так утверждал H, а он по предположению рыцарь). Значит, если H -

рыцарь, то 1) G и H - рыцари; 2) если G и H - рыцари, то A - рыцарь.

Из (1) и (2)

следует, что A - рыцарь. Таким образом, если H - рыцарь, то A -

рыцарь. Именно это утверждал H, поэтому H должен быть рыцарем. Его

утверждение истинно, и так как G и H - рыцари, то A - рыцарь.

Итак, мы установили, что A - рыцарь. Следовательно, дверь X

действительно ведет во Внутреннее святилище, и нашему философу надлежит

выбрать дверь X.

156. Первый жрец не может быть рыцарем, он должен быть лжецом.

Поскольку его высказывание ложно, то не верно, что он лжец и не знает

ответа на. Вопрос Вопросов. Но он лжец, поэтому первая часть высказанной

им конъюнкции истинна.

Значит, вторая часть конъюнкции должна быть ложной, поэтому первый жрец

знает ответ. Таким образом, первый жрец - лжец и знает ответ на Вопрос

Вопросов.

Относительно второго жреца нельзя сказать ничего определенного. Он либо

рыцарь, не знающий ответа на Вопрос Вопросов, либо лжец. Во всяком случае

(и это имеет решающее значение для решения следующей задачи), если он

знает ответ на Вопрос Вопросов, то он лжец.

157. Из решения предыдущей задачи нам известно, что первый жрец знает

ответ на Вопрос Вопросов и лжет, а второй жрец, если он знает ответ на

Вопрос Вопросов, - лжец. По условиям задачи тот из жрецов, кто изрек:

"Существует нечто, а не ничто", знал правильный ответ. Следовательно, тот,

кто дал такой ответ, лжец, и высказанное им утверждение ложно. Ничто не

существует!

Итак, в результате самоотверженного поиска ответа на Вопрос Вопросов,

которому наш философ посвятил всю свою жизнь, выяснилось неожиданно, что

"ничто не существует". Должно быть, в этот ответ вкралась какая-то ошибка:

если из ничего ничего не возникает, то откуда взялся жрец, высказавший

подобное утверждение?

Более правильное заключение, к которому можно прийти на основании

полученного ответа, состоит в том, что остров Ваал, описанный в нашей

книге, не может существовать.

Считаю своим долгом обратить внимание читателя на одну тонкость. Я

отнюдь не утверждаю, что остров Ваал не существует (это было более или

менее ясно с самого начала). Я высказываю более сильное логически

неопровержимое утверждение: остров Ваал не может существовать.

Действительно, если бы остров Ваал не существовал и история, которую я вам

поведал, была бы истинной, то, как было показано, отсюда следовало бы, что

ничто не существует. Следовательно, не существовало бы и острова Ваал, и

мы пришли бы к противоречию. Значит, остров Ваал не может существовать.

Самое любопытное во всей истории - это то, что вплоть до последней

задачи (Э 157) все, о чем я рассказывал вам, сколь бы неправдоподобно оно

ни звучало, было логически вполне допустимо. Но стоило мне сообщить вам

условия последней задачи, как соломинка переломила спину верблюду!

XI. Остров зомби

А. "БАЛ" и "ДА"

На небольшом островке неподалеку от Таити колдуны вуду напустили порчу

на половину населения и превратили ее в зомби. Нужно сказать, что зомби на

этом острове ведут себя несколько необычно. Они ничуть не похожи на

безмолвные тени или на духов смерти. Зомби двигаются и разговаривают так

же, как и люди. Единственное, чем они отличаются от людей, -

необыкновенным пристрастием ко лжи. Зомби всегда лгут, в то время как

люди, обитающие на острове, говорят только правду.

Дочитав до этого места, вы, должно быть, подумали: "К чему столько

слов? Не проще ли сразу сказать, что перед нами добрый старый остров

рыцарей и лжецов?" Не торопитесь с выводами, читатель: на острове зомби

все обстоит гораздо сложнее! Дело в том, что хотя все его жители в

совершенстве владеют английским языком, древнее табу запрещает им

употреблять иноязычные слова. На любой вопрос, требующий ответа либо "да",

либо "нет", жители острова отвечают либо "бал", либо "да" (на их родном

языке эти слова соответствуют более привычным для нас "да" и "нет").

Беда лишь в том, что мы не знаем, какое из слов "бал" и "да" означает

"нет" и какое - "да".

158.

Однажды я встретил коренного жителя острова и спросил у него: "Означает

ли "бал" по-нашему "да"? Тот ответил:

"бал".

а) Можно ли из нашего разговора заключить, что означает слово "бал"?

б) Можно ли из нашего разговора заключить, кто мой собеседник: зомби

или человек?

159.

Представьте себе, что, гуляя по острову, вы встретили одного из

туземцев. Можно ли с помощью одного вопроса выяснить, что означает слово

"бал"? (Напомним, что ваш собеседник на все ваши вопросы будет отвечать

либо "бал", либо "да", причем слово "да" на местном наречии лишь в силу

случайного совпадения созвучно утвердительному ответу "да".)

160.

Предположим, что вас не интересует, чему именно соответствует слово

"бал" (отрицанию или утвердительному ответу), но вы хотите знать, с кем вы

разговариваете: с зомби или с человеком. Можно ли выяснить это, задав

собеседнику лишь один вопрос?

161. Как заставить колдуна сказать "бал".

Вы находитесь на том же острове, что и в предыдущих задачах, и хотите

жениться на дочери царька местного племени. Царец намерен отдать свою дочь

замуж только за человека, отмеченного печатью разума, поэтому вам

предстоит выдержать испытание, состоящее в следующем.

Вы должны задать колдуну какой-нибудь вопрос на свое усмотрение. Если

колдун ответит "бал", то вы получите в жены дочь царька. Если же на ваш

вопрос колдун ответит "да", вам придется искать себе невесту в другом

месте.

Кто именно колдун (человек или зомби), неизвестно. Какой вопрос следует

задать колдуну, чтобы независимо от того, означает ли "бал" нет или да,

колдун ответил "бал"?

162.

Эта задача потруднее предыдущих. Разнесся слух, что на острове зарыт

клад. Вы прибываете на остров и, прежде чем приступать к поискам, хотите

выяснить, действительно ли кем-то был зарыт клад или нет. Все туземцы

великолепно осведомлены относительно того, существует ли клад в

действительности. Можно ли, задав любому туземцу лишь один вопрос,

выяснить, стоит ли заниматься поисками клада?

Напомним, что туземец может ответить вам либо "бал", либо "да", и вам

необходимо по его ответу прийти к заключению независимо от того, что

именно означает слово "бал" (или "да") на местном наречии.

Б. НА СЦЕНЕ СНОВА ПОЯВЛЯЕТСЯ ИНСПЕКТОР КРЭГ

163. Суд.

На языке племени, населяющего остров, расположенный неподалеку от

острова зомби, слова "бал" и "да"

означают "да" и "нет", но одинаково звучащие слова не обязательно

должны совпадать по смыслу. Одни жители острова отвечают на вопросы "бал"

и "да", другие, нарушая древнее табу, предпочитают говорить по-английски

(и отвечают "да" и "нет").

По некоторым не выясненным до конца причинам все члены любого семейства

на этом острове однотипны. В частности, любые два брата либо оба зомби,

либо оба люди.

Против одного из коренных жителей острова выдвинуто обвинение в измене

родине. Учитывая особую важность дела, было принято решение вызвать из

Лондона инспектора Крэга.

Три основных свидетеля A, B и C были коренными жителями острова.

Следующий отрывок взят из стенограммы судебного заседания. Допрос

свидетелей ведет инспектор Крэг.

Вопрос (свидетелю A). Подсудимый не виновен?

Ответ (свидетеля A). Бал.

Вопрос (свидетелю B). Что означает "бал"?

Ответ (свидетеля B). "Бал" означает "да".

Вопрос (свидетелю C). Свидетели A и B - братья?

Ответ (свидетеля C). Нет.

Второй вопрос (свидетелю C). Подсудимый не виновен?

Ответ (свидетеля C). Да.

Виновен или не виновен подсудимый?

164.

Можно ли в предыдущей задаче определить, однотипны ли свидетели A и B?

165. Полузомби.

После окончания суда инспектор Крэг посетил соседний остров. Одну часть

коренного населения этого острова составляли обыкновенные люди, другую -

зомби, а третью - так называемые полузомби. К числу последних относились

те жители острова, на которых колдуны напустили порчу, но лишь с частичным

успехом: полузомби иногда лгали, иногда говорили правду. На языке

островитян наши привычные слова "да" и "нет", как и на языках племен,

населявших соседние острова, звучали, как "бал" и "да" (но означало ли

слово "бал" согласие или отрицание, было неизвестно). Отвечая на вопросы,

туземцы иногда говорили "да" и "нет", а иногда переходили на родной язык и

говорили "бал" и "да".

Инспектор Крэг задал одному туземцу следующий вопрос:

"Если кто-нибудь спросит вас, означает ли "бал" - да и вы вздумаете

отвечать на своем родном языке, то ответите ли вы "бал"?

Туземец ответил, но инспектор Крэг не записал его ответ и не отметил,

на каком языке он был дан. В его записной книжке осталась лишь пометка о

том, что из полученного ответа Крэг сумел заключить, кем был туземец:

зомби, полузомби или человеком.

Что ответил туземец инспектору Крэгу и на каком языке: на английском

или на своем родном?

166. Что за ответ?

В другой раз на том же острове инспектор Крэг повстречал другого

туземца и спросил у него: "Если кто-нибудь спросит вас, верно ли, что

дважды два - четыре, и вы вздумаете отвечать на своем родном языке, то

ответите ли вы "бал"?

И на этот раз инспектор Крэг не записал, что ответил туземец ("бал",

"да", "нет" или "да"). В его записной книжке помечено лишь, что из

полученного ответа инспектор Крэг смог заключить, с кем он разговаривал: с

зомби, полузомби или с обыкновенным человеком.

Что ответил туземец на вопрос инспектора Крэга?

РЕШЕНИЯ

158. Из нашего разговора невозможно заключить, что означает "бал", но

можно с уверенностью сказать, что мой собеседник должен быть человеком.

Предположим, что "бал" означает "да". Тогда "бал" - правдивый ответ

на вопрос, означает ли "бал" по-нашему "да". Следовательно, в этом случае

мой собеседник должен быть человеком.

Предположим теперь, что "бал" означает "нет". Тогда наше обычное "нет"

- правдивый ответ на вопрос, означает ли "бал" по-нашему "да".

Следовательно, "бал" - правдивый ответ на языке туземцев на заданный

мною вопрос. Значит, и в этом случае мой собеседник должен быть человеком.

Итак, независимо от того, означает ли "бал" по-нашему "да" или "нет", мой

собеседник - человек.

159. Достаточно спросить у туземца, человек ли он.

Поскольку все коренные жители острова считают для себя за честь

называться людьми, то повстречавшийся вам туземец, будь он человеком или

зомби, на ваш вопрос ответит утвердительно. Если он ответит "бал", то

"бал" означает "да". Если же он ответит "да", то "да" означает "да" (а

"бал" - "нет").

160. Достаточно задать первому встречному такой же вопрос, как в задаче

158, то есть спросить: "Означает ли "бал"

по-нашему "да"?" Если "бал" действительно означает "да", то правильный

ответ на ваш вопрос должен гласить "бал". Поэтому человек ответит "бал", а

зомби ответит "да". Если же "бал" не означает "да", то и в этом случае

правильный ответ на ваш вопрос должен гласить "бал". Следовательно, и в

этом случае человек ответит вам: "бал", а зомби скажет "да".

161. Заставить колдуна ответить "бал" можно несколькими способами.

Например, вы можете спросить у колдуна, верно ли, что "бал" - правдивый

ответ на вопрос, является ли колдун человеком. Можно доказать, что колдуну

не останется ничего другого, как ответить "бал". Чтобы несколько упростить

последующие рассуждения, обозначим через H вопрос "Вы человек?". Позволю

себе напомнить, что вы не спрашиваете у колдуна, правилен или неправилен

вопрос H.

Вас интересует нечто другое: правилен ли ответ "бал" на вопрос H.

Случай 1: колдун - человек. Если "бал" означает "да", то "бал" -

правильный ответ на H. Так как колдун - человек, то на ваш вопрос он

даст правдивый ответ, то есть скажет "бал". Если же "бал" означает "нет",

то "бал" - неправильный ответ на H.

Следовательно, колдун, правдиво отвечая на ваш вопрос, скажет "бал"

(что в данном случае будет означать "нет"). Таким образом, на ваш вопрос

человек всегда ответит "бал" независимо от того, означает ли "бал" на

туземном наречии "да" или "нет".

Случай 2: колдун - зомби. Если "бал" означает "да", то "бал" -

неправильный ответ на H. Поскольку колдун - зомби, то он солжет и

скажет, что "бал" - правильный ответ на H. Следовательно, на ваш вопрос

колдун ответит "бал" (что означает "да, ответ правильный", то есть

несомненную ложь). Если же "бал" означает "нет", то "бал" - правильный

ответ на H. Следовательно, колдун солжет и скажет, что "бал" -

неправильный ответ на H, то есть скажет "бал" (что в данном случае будет

означать "нет"). Таким образом, на ваш вопрос зомби ответит "бал"

независимо от того, означает ли "бал" на туземном наречии "да" или "нет".

Существуют и другие вопросы, позволяющие решить задачу.

Приведем лишь два из них.

а) Верно ли, что либо вы человек и "бал" означает "да", либо вы зомби и

"бал" означает "нет"?

б) Верно ли, что вы человек в том и только в том случае, если "бал"

означает "да"?

162. Можно, причем не одним, а многими способами. Например, можно

спросить у первого встречного: "Если кто-нибудь спросит у вас, есть ли на

острове клад, ответите ли вы "бал"? Как будет показано, если на острове

есть клад, то туземец ответит "бал". Если же клада на острове нет, то

туземец ответит "да" (оба ответа не зависят как от того, будет ли

встретившийся вам островитянин человеком или зомби, так и от того, что

именно означают в действительности слова "бал" и "да").

Обозначим для краткости через G вопрос "Есть ли клад на этом острове?".

Случай 1: туземец - человек, и "бал" означает "да".

Предположим, что на острове есть клад. Тогда на вопрос G туземец

ответил бы "бал". Будучи человеком, повстречавшийся вам местный житель

правдиво сказал бы вам, что он ответил бы "бал". Поэтому на заданный вами

вопрос туземец ответит "бал". Предположим теперь, что клада на острове

нет. Тогда на вопрос G туземец не ответил бы "бал" и, будучи человеком,

сообщил бы вам, что он не ответил бы. Следовательно, на ваш вопрос туземец

ответит "да".

Случай 2: туземец - зомби, и "бал" означает "да".

Предположим, что на острове есть клад. Тогда "бал" - правдивый ответ

на вопрос G, поэтому туземец, будучи зомби, не ответил бы на G словом

"бал". В ответ на ваш вопрос он солгал бы, сказав, что ответил бы на G

"бал".

Таким образом, туземец ответил бы вам "бал". Предположим теперь, что

никакого клада на острове нет. Тогда "бал"

- неправильный ответ на вопрос G, поэтому зомби на вопрос G ответил

бы "бал". Но вам он солгал бы и сказал, что на вопрос G он бы не ответил

"бал". Следовательно, в этом случае туземец ответил бы на ваш вопрос "да".

Случай 3: туземец - человек, и "бал" означает "нет".

Предположим, что на острове есть клад. Тогда "бал" - неправильный

ответ на вопрос G, поэтому человек в ответ на G не сказал бы "бал".

Следовательно, в ответ на ваш вопрос туземец правдиво сообщил бы, что на

вопрос G он бы не ответил "бал". Следовательно, на ваш вопрос туземец

ответил бы "бал".

Если же клада на острове нет, то "бал" - правильный ответ на вопрос

G. Поэтому человек ответил бы на вопрос G "бал". Значит, на ваш вопрос

человек ответил бы "да"

(что означает "да, я ответил бы "бал" на вопрос G").

Случай 4: туземец - зомби, и "бал" означает "нет".

Предположим, что на острове есть клад. Тогда на вопрос G туземец

ответил бы "бал", но вам бы солгал, сказав, что он не ответил бы "бал".

Следовательно, на ваш вопрос туземец ответил бы "бал". Предположим теперь,

что на острове нет никакого клада. Тогда на вопрос G туземец ответил бы

"да" и, следовательно, не ответил бы "бал".

Вам же туземец солгал бы, сказав, что он ответил бы на G "бал". Значит,

на ваш вопрос туземец ответил бы "да".

Итак, если на острове есть клад, то в каждом из четырех случаев вы

услышите в ответ на свой вопрос "бал". Если же никакого клада на острове

нет, то на ваш вопрос туземец ответит "да".

Приведенный нами вопрос - не единственный. Ту же задачу можно решить,

задав первому встречному туземцу и другой вопрос, например: "Верно ли, что

вы человек в том и только в том случае, если "бал" - правдивый ответ на

вопрос, есть ли на острове клад?"

163. Прежде всего я докажу, что свидетель C не может быть зомби.

Предположим, что C - зомби. Тогда A и B должны быть братьями.

Следовательно, они либо оба зомби, либо оба люди. Предположим, что A и B

- -- люди. Тогда "бал"

означает "да", поэтому A на вопрос, не виновен ли подсудимый, дал

утвердительный ответ. Следовательно, подсудимый не виновен. Предположим

теперь, что A и B - зомби. Тогда "бал" означает "нет", а поскольку A -

зомби и на вопрос, не виновен ли подсудимый, отвечает отрицательно, то

подсудимый не виновен. Итак, если C - зомби, то подсудимый не виновен

(независимо от того, кто такие A и B - зомби или люди). С другой

стороны, если C - зомби, то подсудимый должен быть виновен, так как C

утверждает, что подсудимый не виновен, и мы приходим к противоречию.

Следовательно, C не может быть зомби, и поэтому C - человек. А поскольку

C утверждает, что подсудимый не виновен, то тот действительно не виновен.

164. Так как C - человек, то A и B не братья. Разумеется, это не

обязательно означает, что A и B разнотипны: они вполне могут быть

однотипными, не будучи братьями. Более того, они должны быть однотипными.

Действительно, если бы они были разнотипными, то подсудимый непременно

оказался бы виновным. В этом читатель без труда может убедиться сам.

165. Единственный из четырех возможных ответов ("бал", "да", "да" и

"нет"), который не могли бы дать ни человек, ни зомби, - это "нет".

Действительно, если бы туземец был либо человеком, либо зомби и ответил бы

инспектору Крэгу по-английски, то он должен был бы ответить "да". Если бы

он ответил на родном языке, то, если "бал" означает "да", сказал бы "бал"

(независимо от того, кто он - человек или зомби), а если "бал"

означает "нет", сказал бы "да". (Доказательство этих утверждений я

предоставлю читателю.) Следовательно, получив любой ответ, кроме "нет",

инспектор Крэг не мог бы определить, кем был спрошенный им туземец. А

поскольку инспектор сумел установить, кем был туземец, то полученный им

ответ гласил "нет", и туземец был полузомби.

166. И в этой задаче, так же как и в предыдущей, туземец должен быть

полузомби, а единственный ответ, по которому Крэг мог установить, кто его

собеседник, должен быть "да"

(на туземном наречии). Если бы туземец ответил по-английски, то Крэг не

мог бы установить, с кем он разговаривает, так как и человек, и зомби на

его вопрос ответили бы "да", если "бал" означает "да", и "нет", если "бал"

означает "нет". Туземец, ответивший "бал", мог бы оказаться либо

человеком, либо зомби, либо полузомби.

XII. Жив ли Дракула?

А. В ТРАНСИЛЬВАНИИ

Несмотря на свидетельства очевидцев, подкрепленные ссылками на

литературные источники, у меня были веские основания сомневаться в том,

что с графом

Дракулой Задунайским удалось разделаться, когда в могилу этого упыря

забили осиновый кол. Я решил отправиться в Трансильванию и самостоятельно

докопаться до истины.

Отправляясь в дальние края, я ставил перед собой следующие три задачи:

1) выяснить, жив ли граф Дракула; 2) если его нет в живых, взглянуть на

его бренные останки; 3) если он жив, то встретиться с ним.

Прибыв в Трансильванию, я вскоре обнаружил, что около половины ее

населения составляют люди, а другую половину - упыри. Отличить упыря от

человека по внешнему виду невозможно, но люди (по крайней мере в

Трансильвании)

всегда говорят правду, а упыри всегда лгут. Положение необычайно

усложняется еще и тем, что половина обитателей Трансильвании лишились

рассудка и придерживается превратных представлений о действительности: все

истинные утверждения безумцы считают ложными, а все ложные утверждения -

истинными. Другая половина обитателей находится в здравом уме и трезво

судит о том, что истинно и что ложно. Таким образом, жители Трансильвании

подразделяются на четыре типа: 1) люди в здравом уме; 2) люди, лишившиеся

рассудка; 3) упыри в здравом уме; 4) упыри, лишившиеся рассудка.

Человек в здравом уме изрекает только истины. Человек, лишившийся

рассудка, всегда лжет. Упырь в здравом уме также всегда лжет. Упырь,

лишившийся рассудка, изрекает только истины. Например, человек в здравом

уме скажет, что дважды два - четыре. Человек, лишившийся рассудка,

скажет, что дважды два не равно четырем (поскольку он убежден, что дважды

два действительно не равно четырем).

Упырь в здравом уме скажет, что дважды два не равно четырем (поскольку

он знает, что дважды два равно четырем, и умышленно лжет). Наконец, упырь,

лишившийся рассудка, скажет, что дважды два - четыре (поскольку он

убежден, что дважды два не равно четырем, и умышленно лжет).

167.

Однажды мне повстречался трансильванец, который заявил:

"Либо я человек, либо я в здравом уме".

Кем он был в действительности?

168.

Другой трансильванец заявил: "Я не человек в здравом уме".

Кем он был?

169.

Еще один трансильванец заявил: "Я человек, лишившийся рассудка."

Однотипен ли он с трансильванцем из предыдущей задачи?

170.

Однажды я спросил у встречного: "Вы упырь, лишившийся рассудка?" Он

ответил (либо "да", либо "нет"), и я узнал, к какому типу он принадлежал.

Кем он был?

171.

Однажды я встретил трансильванца, который заявил: "Я упырь".

Можно ли на основании этой фразы определить, был ли он человеком или

упырем? Можно ли на основании той же фразы установить, в своем ли он уме

или лишился рассудка?

172.

Некий трансильванец заявляет: "Я лишился рассудка".

а) Можно ли на основании этой фразы определить, в здравом ли он уме?

б) Можно ли на основании той же фразы установить, человек он или упырь?

173. Хитроумная задача.

Утверждение "если Q, то P" называется обратным утверждению "если P, то

Q". Существуют два утверждения X и Y, такие, что каждое из них обратно

другому, причем:

1) X не следует из Y, а Y - из X;

2) стоит любому жителю Трансильвании высказать любое из утверждений,

как из этого следует, что другое утверждение должно быть истинным.

Можете ли вы привести два таких утверждения?

174.

Пусть X - любое утверждение и некий трансильванец считает, что он

считает X истинным. Следует ли отсюда, что X должно быть истинным?

Предположим, что наш трансильванец не считает, что он считает X истинным.

Следует ли отсюда, что X должно быть ложным?

175.

Предположим, что некий трансильванец заявляет: "Я считаю X истинным".

Следует ли отсюда, что X должно быть истинным, если наш трансильванец -

человек? Следует ли отсюда, что должно быть ложно, если наш трансильванец

- -- упырь?

Решение этой задачи устанавливает некий важный общий принцип!

176.

Однажды мне встретились два трансильванца A и B. Я спросил у A: "В -

человек?" A ответил: "Думаю, да". Тогда я спросил у B: "Как вы думаете, A

- человек?" Что ответил B? (Предполагается, что B ответил либо "да",

либо "нет".)

177.

Назовем трансильванца надежным, если он либо человек в здравом уме,

либо упырь, лишившийся рассудка, и ненадежным, если он либо человек,

лишившийся рассудка, либо упырь в здравом уме. Надежные трансильванцы

всегда высказывают истинные утверждения, ненадежные высказывают ложные

утверждения (либо из-за расстройства ума, либо в силу заблуждения).

Предположим, что вы спрашиваете у трансильванца: "Вы надежны?" Он

отвечает вам либо "да", либо "нет". Можно ли из ответа заключить, кто ваш

собеседник: рыцарь или не упырь? Можно ли определить, в здравом ли он уме?

178.

Предположим, что вы задаете трансильванцу другой вопрос:

"Вы думаете, что вы надежны?" Он отвечает либо "да", либо "нет". Можно

ли из ответа заключить, кто ваш собеседник: упырь или человек? Можно ли

установить, в здравом ли он уме?

Б. ЖИВ ЛИ ГРАФ ДРАКУЛА?

179.

Напомню, что, отправляясь в Трансильванию, я прежде всего хотел

выяснить, жив ли граф Дракула Задунайский. С этим вопросом я обратился к

первому же встречному трансильванцу.

Тот ответил: "Если я человек, то граф Дракула жив".

Можно ли по такому ответу установить, жив ли граф Дракула?

180.

Другой трансильванец в ответ на такой же вопрос заявил:

"Если я в здравом уме, то граф Дракула жив".

Можно ли из такого ответа заключить, жив ли граф Дракула?

181.

Еще один трансильванец, у которого я спросил, жив ли Дракула, ответил:

"Если я человек и в здравом уме, то граф Дракула жив".

Можно ли заключить из такого ответа, жив ли граф Дракула?

182.

Предположим, что в ответ на мой вопрос некий трансильванец заявил:

"Если я либо человек в здравом уме, либо упырь, лишившийся рассудка, то

граф Дракула жив".

Можно ли заключить из такого ответа, жив ли граф Дракула?

183.

Существует ли такое утверждение, при помощи которого трансильванец, не

прибегая к другим доводам, мог бы убедить вас в том, что граф Дракула жив

и что само утверждение ложно?

184.

Существует ли такое утверждение, при помощи которого трансильванец, не

прибегая к другим доводам, мог бы убедить вас, что граф Дракула жив и что

относительно самого утверждения нельзя сказать, истинно оно или ложно?

185.

Предположим, что некий трансильванец высказал два следующих утверждения:

1) Я в здравом уме.

2) Считаю, что графа Дракулы нет в живых.

Можно ли на основании этих утверждений заключить, жив ли граф Дракула?

186.

Предположим, что некий трансильванец высказал следующие два утверждения:

1) Я человек.

2) Если я человек, то граф Дракула жив.

Можно ли из этих утверждений заключить, жив ли граф Дракула?

В. КАКОЙ ВОПРОС ЗАДАТЬ?

187.

Можете ли вы, задав первому встречному трансильванцу лишь один вопрос,

узнать, упырь он или человек?

188.

Можете ли вы, задав первому встречному трансильванцу лишь один вопрос,

установить, в здравом ли он уме?

189.

Какой вопрос следует задать трансильванцу, чтобы заставить его ответить

"да" независимо от того, к какому из четырех типов он принадлежит?

190.

Можете ли вы, задав трансильванцу лишь один вопрос, узнать, жив ли граф

Дракула?

Г. В ЗАМКЕ ГРАФА ДРАКУЛЫ

Если бы я мог напрячь все силы своего разума и решить предыдущую

задачу, то, несомненно, избавил бы себя от бесчисленных хлопот и множества

неприятностей. Но я был так занят, настолько поглощен сложностью

классификации трансильванцев, находящихся в здравом уме и утративших

разум, изрекающих только истину или отдающих предпочтение лжи, что не мог

сосредоточиться на решении задачи. Кроме того, должен признаться, что в

обществе трансильванцев, среди которых за безобидной внешностью заведомо

встречались упыри, я чувствовал себя не очень уютно. Мог ли я

предполагать, что мне предстоят еще более суровые испытания!

Я все еще не знал, жив ли граф Дракула, и надеялся, что сумел бы

получить ответ на свой вопрос, если бы мне удалось побывать в его замке. Я

плохо представлял себе, что (по причинам, о которых вы вскоре узнаете)

посещение замка знаменитого упыря осложнит мое и без того достаточно

тяжелое положение.

Мне было доподлинно известно, где находится замок графа Дракулы. Знал

я, что в замке кипит жизнь. От надежных людей я прослышал и про владельца

замка, но не знал, был ли он графом Дракулой (ведь я оставался в неведении

даже относительно того, жив ли граф Дракула). Попасть в замок графа

Дракулы можно было только по приглашению, а приглашения получали только

сливки трансильванского высшего света. Мне не оставалось ничего другого,

как ценой неимоверных усилий совершить за несколько месяцев

головокружительную карьеру и занять достаточно высокое положение в

обществе, чтобы получить приглашение. И долгожданный день настал! Я

получил приглашение на празднества, которые должны были в течение

нескольких дней и ночей происходить в замке графа Дракулы.

Преисполненный самых радужных надежд, я отправился в замок, но тут меня

ожидал первый удар. Вскоре после прибытия в замок я обнаружил, что в

спешке не захватил с собой зубную щетку, карманные шахматы и какую-нибудь

книгу для чтения.

Рассчитав, что успею съездить за вещами к себе в гостиницу и вернуться

до начала празднества, я направился было к воротам замка, но меня

остановил свирепого вида страж-трансильванец и вежливо, но весьма твердо

сообщил, что всякий, кто переступил порог замка графа Дракулы, может

покинуть замок только с разрешения его хозяина. "Тогда проведите меня к

хозяину замка", - потребовал я.

"Сейчас это невозможно, - сообщил мне страж, - но, если угодно, я

могу передать хозяину вашу записку". Я решил воспользоваться предложением

и написал хозяину замка записку с просьбой разрешить мне ненадолго

отлучиться из замка. Ответ последовал довольно скоро. Он был краток и не

слишком обнадеживающ: "Никаких отлучек!"

Итак, я оказался в замке графа Дракулы на положении узника!

Что мне было делать? Поскольку я понимал всю безнадежность своего

положения в тот момент, то решил действовать в духе истинно восточной

мудрости: отправиться на предстоявшее в тот же вечер открытие празднеств,

по возможности приятно провести время и при первой же возможности

попытаться найти ответы на интересовавшие меня вопросы.

Бал по случаю торжественного открытия празднеств превзошел все мои

ожидания. Ничего более великолепного я не видывал!

Около двух часов ночи, почувствовав усталость, я решил удалиться на

покой. Меня проводили в отведенные мне апартаменты.

Странное дело: несмотря на смертельную опасность, я крепко заснул.

Пробудившись на другой день около полудня, я после роскошного завтрака

замешался в толпе гостей, надеясь почерпнуть полезную информацию. И тут

меня ожидал второй удар. Оказалось, что все приглашенные (кроме меня)

принадлежат к узкому кругу самого высшего трансильванского общества и

вместо обычных слов "да" и "нет"

предпочитают говорить "бал" и "да", как это принято у зомби! Нечего

сказать, в хорошенькое положение я попал!

Меня окружал цвет трансильванской аристократии: люди и упыри,

обладающие здравым умом и лишившиеся рассудка! B довершение всех бед я не

знал, что означают слова "бал" и "да". Так, к сложностям общения с

простыми трансильванцами за стенами замка прибавились сложности "языка

зомби". Добившись с таким трудом приглашения в замок, я, как мне казалось,

попал из огня в полымя!

Придя к такому заключению, я несколько утратил "восточную

невозмутимость" и до самого вечера находился в подавленном состоянии.

Сославшись на головную боль, я рано ушел к себе и, не раздеваясь, бросился

на кровать. Сколько времени я пролежал, бесцельно уставясь в потолок, не в

силах даже заснуть, сказать трудно. Но вдруг меня осенило! Я понял, что

трудности с "языком зомби" легко преодолимы.

Дрожащими от нетерпения руками я достал свой блокнот и карандаш и

принялся набрасывать следующую серию задач.

191.

Задав всего лишь один вопрос (на который следовало отвечать либо "бал",

либо "да"), я мог бы выведать у любого гостя, не упырь ли он.

192.

Задав всего лишь один вопрос, я мог бы выведать у любого гостя, в

здравом ли он уме.

193.

Задав всего один вопрос, я мог бы узнать, что означает "бал".

194.

Стоило мне только захотеть, и я мог бы задать любому гостю в замке

вопрос, на который тот волей-неволей ответил бы "бал".

195.

Задав всего лишь-один вопрос, я мог бы выяснить, жив ли Дракула!

Что это за вопросы?

Д. ЗАГАДКА ДРАКУЛЫ

А теперь мы подходим к кульминации всей истории! На следующий день я

уже располагал всей необходимой информацией: граф Дракула оказался жив и

находился в великолепном здравии, к тому же именно он был владельцем

замка. К своему удивлению, я узнал, что Дракула упырь, лишившийся

рассудка, и поэтому любое высказанное им утверждение ложно.

Но что толку было от приобретенных мною знаний, если я был брошен на

произвол судьбы и, рискуя вечным блаженством, ежеминутно мог превратиться

в упыря? Наконец, празднества завершились, и всем гостям, кроме меня, было

разрешено покинуть замок. Все разъехались, и я остался один в замке,

сбросившем праздничное убранство и ставшем необычайно мрачным и неуютным,

по существу в плену у хозяина, которого так еще ни разу не видел.

Впрочем, ждать мне пришлось недолго. Не успели часы на башне пробить

полночь, как меня грубо разбудили и вежливо, но весьма твердо препроводили

в личные покои графа Дракулы, где, насколько можно было судить, мне была

назначена аудиенция. Мой провожатый удалился, и я остался лицом к лицу с

самим графом Дракулой. После секундной паузы, показавшейся мне целой

вечностью, Дракула произнес:

- Известно ли вам, что я всегда оставляю своим жертвам шанс на

спасение?

- Нет, - честно признался я, - об этом мне ничего не известно.

- A между тем это так, - удовлетворенно заметил Дракула. - Мне не

хотелось бы лишать себя столь большого удовольствия.

Не знаю почему, но эти слова не понравились мне. Уж очень высокомерно

они прозвучали.

- Я имею обыкновение, - невозмутимо продолжал Дракула, - задавать

своим жертвам загадку. Тех, кто сумеет за четверть часа отгадать ее, я

отпускаю. С теми же, кто не отгадает загадки, разговор короток: я

набрасываюсь на них, и они навек становятся упырями.

- B здравом уме или лишившимися рассудка? - попытался уточнить я,

не имея в виду ничего дурного.

- Ваши шутки неуместны! - вне себя от ярости вскричал Дракула. -

Отдаете ли вы себе отчет в серьезности положения? У меня нет ни малейшего

желания выслушивать ваши дурацкие остроты. Более того, я намерен лишить

вас даже обычного шанса на спасение.

Как я ни был испуган, все же любопытство взяло верх над страхом, и мне

захотелось узнать, почему Дракула добровольно идет на риск упустить жертву.

- Что заставляет вас проявлять такое великодушие по отношению к своим

жертвам? - спросил я.

- Великодушие? - переспросил Дракула с гримасой отвращения. - Вы

глубоко заблуждаетесь! Я абсолютно чужд всякому великодушию. Мне просто

доставляет ни с чем не сравнимое садистское наслаждение наблюдать, как моя

жертва суетится, что-то пишет, лихорадочно подсчитывает... Эта умственная

агония с лихвой компенсирует меня за бесконечно малый шанс упустить жертву.

Должен признаться, что слова "бесконечно малый шанс" не придали мне

особой уверенности.

- Да-да! Мне еще ни разу не случилось упустить намеченную жертву, -

продолжал Дракула, - так что, как видите, риск не столь уж велик.

- Нельзя ли ближе к делу? - дерзко прервал я Дракулу, изо всех сил

стараясь не выдать охватившего меня ужаса. - Какую загадку вы хотели

загадать мне?

196.

Дракула испытующе посмотрел на меня:

- Должен признаться, что вопросы, которые вы задавали моим гостям,

довольно остроумны. Вы удивлены? Напрасно! Я великолепно осведомлен обо

всем, что происходит в моем замке. Ваши вопросы, повторяю, весьма

остроумны, хотя они далеко не так хороши, как вам кажется. Судите сами.

Чтобы получить интересующие вас сведения, вам каждый раз приходилось

придумывать новый вопрос. Вы так и не сумели найти простой принцип,

позволяющий сформулировать универсальный вопрос, пригодный для выяснения

всего, что вас интересовало, а ведь такой вопрос избавил бы вас от

излишних умственных затрат. Между тем существует высказывание S,

обладающее почти волшебным свойством. Стоит вам обратиться к любому из

моих гостей, слуг или даже ко мне с вопросом "эквивалентны ли S и X?", как

вы тотчас же узнаете все, что захотите, и сможете установить, истинно или

ложно любое высказывание X. Если вам ответят "бал", то X должно быть

истинным. Если же вам ответят "да", то X должно быть ложным. Например,

если вам заблагорассудится узнать, не упырь ли ваш собеседник, то вы

спросите у него:

"Верно ли, что S истинно в том и только в том случае, если вы упырь?"

Если же вы захотите узнать, в здравом ли уме тот или иной обитатель замка,

то достаточно спросить у него: "Верно ли, что S истинно в том и только в

том случае, если вы в здравом уме?" Вы хотите узнать, что означает слово

"бал"? Нет ничего проще! Спросите у любого гостя: "Верно ли, что S истинно

в том и только в том случае, если "бал" означает "да"?", и вам все станет

ясно. Чтобы узнать, жив ли я, вам было бы Достаточно спросить: "Верно ли,

что S истинно в том и только в том случае, если Дракула жив?" Я мог бы без

труда привести множество других примеров, но думаю, что вы уже по

достоинству оценили волшебные свойства высказывания S.

- A что это за высказывание? - спросил я, сгорая от любопытства.

- Вот это вам и предстоит выяснить, - ответил Дракула.

- Это и есть моя загадка.

С этими словами Дракула поднялся и направился к двери.

- B вашем распоряжении пятнадцать минут, - напомнил он.

- Советую хорошенько подумать. Ставка столь высока, что стоит любых

усилий.

Ставка действительно была высока! Нужно ли говорить, что следующие

пятнадцать минут были самыми мучительными за всю мою жизнь. Страх

настолько парализовал меня, что в голову не приходило ни одной дельной

мысли. К тому же меня не покидало ощущение, что Дракула скрытно следит за

мной.

Пятнадцать минут истекли. Дракула с торжествующим видом распахнул дверь

и, плотоядно ухмыляясь, начал шаг за шагом приближаться ко мне. Расстояние

между нами неумолимо сокращалось. Я уже ощущал прикосновение его клыков,

когда мне внезапно пришла в голову спасительная идея.

- Стойте! - закричал я. - Как же я раньше не догадался!

Высказывание S звучит так: "... "

Какое высказывание S спасло мне жизнь?

Эпилог

Разочарование от того, что я сумел разгадать загадку, оказалось

непосильным для Дракулы: не сходя с места, он испустил дух и рассыпался в

прах. И теперь, когда кто-нибудь спрашивает меня: "Жив ли граф Дракула?"

- -- я с полным основанием могу, не погрешив против истины, ответить: "Бал!"

197.

В приведенной выше истории имеются четыре небольших несоответствия. Не

могли бы вы указать их?

РЕШЕНИЯ

167. Высказанное трансильванцем утверждение либо истинно, либо ложно.

Предположим, что оно ложно. Тогда трансильванец не человек и не в здравом

уме. Следовательно, он должен быть упырем, лишившимся рассудка. Но такие

упыри высказывают только истинные утверждения, и мы приходим к

противоречию. Значит, высказанное трансильванцем утверждение истинно.

Такие утверждения могут высказывать только люди в здравом уме и упыри,

лишившиеся рассудка.

Если бы наш трансильванец был бы упырем, лишившимся рассудка, то он не

был бы ни человеком, ни лицом, находящимся в здравом уме. Следовательно,

высказанное им утверждение было бы ложным. Но мы знаем, что оно истинно.

Следовательно, наш трансильванец должен быть человеком в здравом уме.

168. Он должен быть упырем, лишившимся рассудка.

169. Нет, не однотипен. На этот раз трансильванец должен быть упырем в

здравом уме.

170. Человек в здравом уме на мой вопрос ответил бы отрицательно, а

трансильванцы любого из трех остальных типов - утвердительно. Получив

утвердительный ответ на свой вопрос, я не смог бы определить, к какому из

четырех типов трансильванцев принадлежит мой собеседник. Но в условиях

задачи сказано, что я узнал по ответу, кто мой собеседник. Следовательно,

на мой вопрос он ответил не утвердительно. Значит, он ответил "нет", из

чего мы заключаем, что трансильванец был человеком в здравом уме.

171. Из приведенной фразы нельзя заключить, был ли встречный человеком

или упырем, но можно заключить, что он лишился рассудка. Человек в здравом

уме не мог бы сказать о себе, что он упырь, а упырь, находящийся в здравом

уме, знал бы, что он упырь, и, солгав, заявил бы: "Я человек".

С другой стороны, человек, лишившийся рассудка, считал бы себя упырем и

заявил бы об этом. Упырь, лишившийся рассудка, считал бы себя человеком и,

солгав, заявил бы:

"Я упырь".

172. Единственное заключение, к которому можно прийти на основании

сделанного трансильванцем заявления, состоит в том, что он упырь. Человек

в здравом уме не сказал бы о себе, что он лишился рассудка. Человек,

лишившийся рассудка, считал бы, что находится в здравом уме, и, будучи

человеком, не мог бы заявить о себе: "Я лишился рассудка".

173. Думаю, что таких утверждений X, Y существует немало, во всяком

случае не одна пара. Я имел в виду следующие утверждения:

X: Если я в здравом уме, то я человек.

Y: Если я человек, то я в здравом уме.

Предположим, что некий трансильванец, высказывает утверждение X.

Докажем, что Y должно быть истинно, то есть если наш трансильванец -

человек, то он в здравом уме.

Предположим, что он человек. Тогда верно, что если он в здравом уме, то

он человек (так как он человек). Значит, X истинно. Следовательно, наш

трансильванец должен быть в здравом уме, поскольку люди, лишившиеся

рассудка, не высказывают истинных утверждений. Отсюда мы заключаем, что

если он человек, то находится в здравом уме. Следовательно, Y - истинно.

Наоборот, предположим, что наш трансильванец высказывает утверждение Y.

Требуется доказать, что X истинно.

Предположим, что трансильванец в здравом уме. Тогда Y должно быть

истинно. Следовательно, трансильванец - человек (потому что упыри в

здравом уме не высказывают истинных утверждений). Значит, он человек (в

предположении, что он находится в здравом уме). Итак, если наш

трансильванец в здравом уме, то он человек. Следовательно, X истинно.

174. Ответы на оба вопроса задачи утвердительны.

Предположим, что некий трансильванец считает истинным какое-то

утверждение X. Отсюда, как нетрудно понять, отнюдь не следует, что X

должно быть истинным, так как трансильванец мог утратить рассудок. Но если

он считает, что X истинно, то X должно быть истинно! Действительно,

предположим, что трансильванец в здравом уме. Так как он считает, что

утверждение о том, что он считает утверждение истинным, истинно, то его

утверждение "я считаю X истинным" должно быть истинно. Следовательно, он

действительно считает утверждение X истинным. А так как он в здравом уме,

то X должно быть истинным. Предположим теперь, что трансильванец лишился

рассудка. Так как он считает, что утверждение о том, что он считает X

истинным, истинно, то его утверждение "я считаю истинным" должно быть

ложным. Следовательно, в действительности он не считает X истинным (ему

только кажется, что он считает!).

Так как трансильванец не считает X истинным и лишился рассудка, то X

должно быть истинным.

Итак, доказано следующее. Если трансильванец считает, что он считает

утверждение X истинным, то X должно быть истинным независимо от того, в

здравом ли уме трансильванец или лишился рассудка. Аналогично можно

доказать, что если какой-нибудь трансильванец не считает, что он считает

утверждение X истинным, то X должно быть ложным. Доказать это мы

предоставляем читателю.

175. Ответы на оба вопроса задачи (как следует из решения предыдущей

задачи) должны быть утвердительными.

Предположим, что по утверждению A он считает высказывание X истинным.

Тогда A действительно считает именно так, как говорит. Следовательно, A

считает, что он считает утверждение X истинным. В этом случае, как

показано в решении предыдущей задачи, X должно быть истинно независимо от

того, в здравом ли уме A или лишился рассудка.

Предположим теперь, что A - упырь. Тогда он не считает так, как

говорит. Следовательно, A не считает, что считает X истинным. Значит, X

должно быть ложным независимо от того, в здравом ли уме A или лишился

рассудка.

176. A утверждает, что считает B человеком. B либо утверждает, что

считает A человеком, либо утверждает, что считает A не человеком. Вторую

альтернативу необходимо исключить, так как она приводит к следующему

противоречию.

Рассмотрим два утверждения.

1) A утверждает, что считает B человеком.

2) B утверждает, что считает A не человеком.

Предположим, что A - человек. Тогда, как показано в решении задачи

175, из утверждения (1) следует, что B - человек. В свою очередь из

утверждения (2) следует, что A не человек. Поскольку A по предположению

человек, то мы приходим к противоречию.

Предположим теперь, что A - упырь. Тогда, как показано в решении

задачи 175, из утверждения (1) следует, что B не человек. Следовательно, B

- -- упырь. Из утверждения (2)

мы, как показано в решении задачи 175, заключаем, что A - человек. Но

такой вывод противоречит предположению о том, что A - упырь. Значит,

если бы B ответил отрицательно, то мы пришли бы к противоречию.

Следовательно, B ответил утвердительно.

177. Ни к какому заключению прийти нельзя, так как на ваш вопрос любой

трансильванец ответит утвердительно.

Предоставляю вам самостоятельно убедиться в этом.

178. Случай, описанный в этой задаче, отличается от случая,

рассмотренного в предыдущей задаче. Из ответа вашего собеседника нельзя

заключить, человек он или упырь, но можно установить, в здравом ли он уме.

Если встретившийся вам трансильванец в здравом уме, то он ответит "да".

Если же он утратил рассудок, то на ваш вопрос последует отрицательный

ответ. Доказательство предоставляем читателю.

179. Нет, нельзя. Не исключено, что ваш трансильванец - человек в

здравом уме и граф Дракула жив. Возможно также, что ваш собеседник -

упырь, лишившийся рассудка, и графа Дракулы нет в живых. (В

действительности если вы обратились с вопросом к упырю, утратившему

рассудок, то Дракула мог быть как живым, так и мертвым.)

180. Нет, нельзя.

181. Нет, нельзя. Трансильванец, к которому вы обратились с вопросом,

мог быть, например, упырем, лишившимся рассудка.

В этом случае граф Дракула мог бы быть как живым, так и мертвым.

182. Можно: на этот раз из полученного вами ответа следует, что Дракула

жив.

Воспользуемся терминологией задачи 177 и сформулируем утверждение

трансильванца следующим образом: "Если я надежен, то Дракула жив".

В гл. 8 (см. решения задач 109--112) мы доказали, что туземец с острова

рыцарей и лжецов, высказавший утверждение "если я рыцарь, то то-то и

то-то", должен быть рыцарем, а "то-то и то-то" должно быть истинно.

Аналогично трансильванец, высказавший утверждение "если я надежен, то

то-то и то-то", должен быть надежным, а "то-то и то-то"

должно быть истинным. Доказать это можно так же, как это сделано в

решении задач 109--112 (достаточно слово "рыцарь" заменить словом

"надежный").

183. Такое утверждение существует: "Я не надежен, и Дракулы нет в

живых". Доказательство предоставляем читателю. (Указание: начните с

доказательства ненадежности вашего собеседника.)

184. Такое утверждение существует: "Я надежен в том и только в том

случае, если Дракула жив".

В решении задачи 122 из гл. 8 мы доказали, что если туземец с острова

рыцарей и лжецов высказывает утверждение "я рыцарь в том и только в том

случае, если то-то и то-то", то это "то-то и то-то" должно быть истинно

(хотя мы ничего не можем сказать относительно того, рыцарь или лжец наш

туземец). Аналогично если трансильванец высказывает утверждение "я надежен

в том и только в том случае, если то-то и то-то", то это самое "то-то и

то-то" должно быть истинно независимо от того, надежен ли трансильванец

или ненадежен. Доказательство то же, что и прежде (необходимо лишь слово

"рыцарь" заменить словом "надежный").

Приведенное нами утверждение - не единственное. Решением задачи могут

служить и другие утверждения, например "я считаю, что утверждение "Дракула

жив" эквивалентно утверждению, что я человек". Более забавно следующее

утверждение: "Я считаю, что если кто-нибудь спросит меня, жив ли Дракула,

то я бы ответил утвердительно".

185. Можно. Из утверждений (1) и (2) следовало бы, что Дракулы нет в

живых.

Из утверждения (1) можно заключить, что наш трансильванец - человек.

Действительно, упырь, находящийся в здравом уме, знал бы, что он в здравом

уме, и заявил бы: "Я лишился рассудка". Упырь, лишившийся рассудка, считал

бы, что находится в здравом уме, и заявил бы: "Я лишился рассудка".

Следовательно, наш трансильванец - человек.

Напомним принцип, установленный в решении задачи 175: если человек

заявляет, что считает некоторое утверждение X истинным, то X должно быть

истинным (независимо от того, в здравом ли уме этот человек или лишился

рассудка). Мы установили, что трансильванец - человек. Он заявил - см.

утверждение (2), - что, по его мнению, Дракулы нет в живых.

Следовательно, графа Дракулы не должно быть в живых.

186. Из первого утверждения ("я человек") не следует, что трансильванец

- человек, а следует, что он должен быть в здравом уме. (Человек,

утративший рассудок, не знал бы, что он человек. Упырь, лишившийся

рассудка, считал бы себя человеком и, солгав, сказал бы, что он упырь.)

Итак, мы знаем, что трансильванец в здравом уме. Докажем, что он человек.

Предположим, что он упырь. Тогда не верно, что наш трансильванец -

человек, а так как из ложного утверждения следует что угодно, то его

второе утверждение ("если я человек, то граф Дракула жив") должно бы быть

истинно.

Но упырь в здравом уме не может высказывать истинных утверждений, и мы

приходим к противоречию. Следовательно, наш трансильванец не может быть

упырем и должен быть человеком.

Итак, нам известно, что трансильванец находится в здравом уме и что он

человек, поэтому высказываемые им утверждения истинны. Следовательно, его

второе утверждение ("если я человек, то граф Дракула жив") должна быть

истинно. Он человек. Значит граф Дракула жив.

187. Достаточно спросить трансильванца, в здравом ли он уме. Человек

(независимо от того, в здравом ли он уме или лишился рассудка) ответит

утвердительно, а упырь отрицательно.

188. Стоит лишь спросить первого встречного, человек ли он, как все

станет ясно. Трансильванец, находящийся в здравом уме (будь то человек или

упырь), ответит утвердительно, а трансильванец, лишившийся рассудка, -

отрицательно.

В нескольких следующих задачах я приведу лишь ответ (то есть укажу,

какой вопрос следует задать трансильванцу). Вы уже накопили достаточно

опыта, чтобы самостоятельно убедиться в правильности предлагаемых решений.

189. Один из вопросов, на который все трансильванцы вынуждены будут

ответить утвердительно, звучит так:

"Считаете ли вы себя человеком?" И дело здесь вовсе не в том, что все

трансильванцы действительно считают себя людьми (так считают только люди,

находящиеся в здравом уме, и упыри, лишившиеся рассудка), но тем не менее

все трансильванцы будут утверждать, что считают себя людьми.

Другой вопрос, на который любой трансильванец ответит утвердительно:

"Вы надежны?" Все трансильванцы станут уверять, что они надежны.

190. Чтобы установить, жив ли граф Дракула, достаточно задать

трансильванцу любой из следующих вопросов:

1) Эквивалентно ли утверждение о том, что вы надежны, утверждению о

том, что Дракула жив?

2) Эквивалентно ли, по-вашему, утверждение о том, что вы человек,

утверждению о том, что Дракула жив?

191. Достаточно спросить гостя: "Правильно ли ответить "бал" на вопрос,