Часть 6.

в здравом ли вы уме?" Если гость ответит "бал", то он человек. Если же

гость ответит "да", то он упырь.

192. Достаточно спросить гостя: "Правильно ли ответить "бал" на вопрос,

человек ли вы?" Если гость ответит "бал", то он в здравом уме. Если же

гость ответит "да", то он лишился рассудка.

193. Достаточно спросить гостя: "Считаете ли вы себя человеком?" Слово,

которое он произнесет в ответ, должно означать "да". Можно задать и другой

вопрос: "Надежны ли вы?"

194. Один из вопросов, дающих решение задачи, звучит так:

"Правильно ли ответить "бал" на вопрос, надежны ли вы?"

(Напомним, что быть надежным означает либо быть человеком, находящимся

в здравом уме, либо упырем, лишившимся рассудка.)

Другой вопрос, также дающий решение задачи: "Надежны ли вы в том и

только в том случае, если "бал" означает "да"?"

Любой из этих вопросов заставит гостей ответить "бал".

Доказать это можно так же, как в решении задачи 161 из гл.

11 (единственное различие состоит в том, что вместо "человек" везде

следует взять "надежный человек").

195. Любой из следующих вопросов позволит выяснить, жив ли граф Дракула.

1) Считаете ли вы, что "бал" - правильный ответ на вопрос,

эквивалентно ли утверждение о том, что вы человек, утверждению "Дракула

жив"?

2) Правильно ли ответить "бал" на вопрос, эквивалентно ли утверждение о

том, что вы надежны, утверждению "Дракула жив"?

Единый принцип, суть которого разъяснена в решении задачи 196,

позволяет дать гораздо более простое и изящное решение.

196. Единый принцип. Условимся называть представителя элиты

трансильванского общества аристократом типа 1, если на вопрос "дважды два

- -- четыре?" он отвечает "бал".

Разумеется, на любой другой вопрос с правильным ответом "да"

трансильванский аристократ типа 1 ответит "бал".

Условимся называть представителя трансильванской элиты аристократом

типа 2, если он не типа 1. Это означает, что если X - любое истинное

высказывание (например, "дважды два - четыре") и вы спрашиваете

аристократа типа 2, истинно ли X, то он ответит "да" (не путать с "нашим"

привычным "да"!).

Сразу же ясно, что если "бал" означает "да", то аристократы типа 1

надежны, а аристократы типа 2 ненадежны.

Если же бал" означает "нет", то картина обратная (аристократы типа 1

ненадежны, а аристократы типа 2 надежны).

Единый принцип конструирования вопросов заключается в следующем. Чтобы

выяснить, истинно ли любое утверждение X, достаточно спросить у любого

трансильванского аристократа, эквивалентно ли утверждение о том, что он

аристократ типа 1, утверждению X. Вопрос можно задать, например, так:

"Истинно ли X в том и только в том случае, если вы аристократ типа 1?"

Докажем, что если на такой вопрос последует ответ: "бал", то X должно быть

истинно, а если "да", то X должно быть ложно. Следовательно, "волшебное"

утверждение S - это просто-напросто утверждение "вы аристократ типа 1"

(или "на вопрос "дважды два - четыре?" вы ответите "бал").

Доказательство. Пусть S - утверждение "вы аристократ типа 1", X -

утверждение, истинность или ложность которого требуется установить. Вы

задаете вопрос:

"Эквивалентно ли S утверждению X?" Предположим, что вам отвечают "нет".

Требуется доказать, что X должно быть истинно.

Случай 1: "бал" означает "да". B этом случае нам известны два факта: 1)

аристократ типа 1 надежен; 2) наш собеседник, говорящий "бал", утверждает,

что S эквивалентно X.

Подслучай 1а: аристократ типа 1. Он надежен и высказывает истинные

утверждения. Следовательно, S действительно эквивалентно X. Но S истинно

(так как аристократ относится к типу 1). Значит, X истинно.

Подслучай 1б: аристократ типа 2. Он ненадежен и высказывает ложные

утверждения. Так как он утверждает, что S эквивалентно X, то в

действительности S не эквивалентно X.

Но S ложно (так как аристократ не принадлежит к типу 1), а X не

эквивалентно S. Следовательно, X истинно.

Случай 2: "бал" означает "нет". B этом случае нам известны два факта:

1) аристократ типа 1 ненадежен; 2) наш собеседник, говорящий "бал",

утверждает, что S не эквивалентно X.

Подслучай 2а: аристократ типа 1. Он ненадежен и высказывает ложные

утверждения. По его словам (не соответствующим действительности), S не

эквивалентно X. Значит, на самом деле S эквивалентно X, а так как S

истинно, то X истинно.

Подслучай 2б: аристократ типа 2. Он надежен и высказывает истинные

утверждения. Значит, S не эквивалентно X (так как, по его словам, S не

эквивалентно X). Но S ложно.

Следовательно, X должно быть истинно.

Итак, доказано, что ответ "бал" означает истинность высказывания X.

Повторив аналогичные рассуждения, мы могли бы доказать, что ответ "да"

означает ложность высказывания X. Но к тому же результату можно прийти и

более коротким путем, если рассуждать следующим образом.

Предположим, что наш собеседник говорит в ответ "да".

Ответ "да" на заданный вопрос означает то же, что и ответ "бал" на

вопрос "Верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае,

если X ложно?" (поскольку для любых двух утверждений Y и Z утверждение "Y

эквивалентно Z" противоположно утверждению "Y эквивалентно не Z").

Следовательно, если бы вы задали вопрос "верно ли, что вы аристократ

типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?", то ваш собеседник

ответил бы "бал". А так как он ответил бы "бал", то отсюда (как доказано

выше)

следует, что X действительно ложное утверждение.

197. Ответ на вопрос о мелких несоответствиях. 1 и 2. В двух случаях

(говоря о том, что ему ни разу не случалось упускать намеченную жертву, и

разъясняя действие "волшебного" утверждения S) Дракула произносит "да".

Представители высшей трансильванской знати, к числу которых принадлежит

и он, не употребляют слова "да".

3. Когда свирепого вида страж сообщил мне, что я не могу покинуть замок

без разрешения хозяина, с чего это вдруг я ему поверил?

4. Когда хозяин замка прислал мне ответную записку "Никаких отлучек!",

с чего мне понадобилось ему верить?

Ведь в тот момент я еще не знал, что владелец замка - упырь,

лишившийся рассудка, и высказывает (письменно и устно) истинные

утверждения.

Часть четвертая. Логика во всем своем блеске и великолепии

XIII. Логика и жизнь

А. ЧТО ТАКОЕ ЛОГИКА

198. Определение логики по Траляля.

Мне нравится следующее определение логики, принадлежащее Траляля:

Труляля (обращаясь к Алисе). Я знаю, о чем ты думаешь, но это не так!

Ни в коем разе!

Траляля. Наоборот, если было так, то так могло быть, а если бы так

было, то так и было бы. Но ничего такого нет. Это и есть логика.

199. Определение логики по Терберу.

В романе "Тринадцать часов" Тербер приводит определение логики, суть

которого сводится примерно к следующему.

Поскольку можно прикоснуться к часам, не останавливая их, то можно

пустить часы, не прикасаясь к ним. Это - логика, какой я ее вижу и

понимаю.

200.

Определение логики по Терберу несколько напоминает мой излюбленный

силлогизм: некоторые автомашины дребезжат на ходу. Моя автомашина - это

некоторая автомашина. Не удивительно, что моя автомашина дребезжит!

201. Еще одно определение логики.

Мой приятель, отставной полицейский офицер, узнав, что я логик, сказал

мне однажды: "Знаешь, что я понимаю под логикой? Однажды мы с женой были в

гостях. Хозяйка предложила нам отведать пирога. На подносе лежало всего

два куска пирога, один побольше, другой поменьше. Немного подумав, я решил

взять себе тот, что побольше. Рассуждал я при этом так. Я знаю, что моя

жена любит пироги и что она знает, что я люблю пироги. Я также знаю, что

она любит меня и хочет, чтобы я был счастлив. Следовательно, ей хочется,

чтобы я взял себе тот кусок пирога, который побольше. Так я и сделал".

202.

Рассказ моего приятеля напомнил мне историю о двух посетителях

ресторана, заказавших рыбу. Официант принес блюдо с двумя рыбами: одной

побольше, другой поменьше. Один из посетителей сказал другому: "Прошу вас.

Выбирайте любую, какая вам больше правится". Сотрапезник поблагодарил за

любезность и положил себе на тарелку ту рыбу, которая была побольше. После

напряженного молчания первый посетитель заметил: "Если бы вы предоставили

мне право первого выбора, то я взял бы себе ту рыбу, которая поменьше!"

"На что вы, собственно, жалуетесь? - осведомился у него другой

посетитель. - Ведь вы получили именно то, что хотели!"

203.

История о двух посетителях ресторана напомнила мне еще одну историю о

даме на званом обеде. Когда подали спаржу, эта дама, взяв себе с

серебряного блюда все головки, передала остальное соседу. Сосед спросил:

"Что вы делаете? Почему вы взяли себе все головки, а остальное отдали

мне?" "Как, разве вы не знаете? - невозмутимо ответила дама. - Головки

в спарже - самое вкусное".

204.

Однажды в какой-то газете мне попалась на глаза карикатура.

Мальчик и девочка идут по тротуару. Мальчик идет дальше от проезжей

части, чем девочка. Мимо них проезжает грузовик и обдает девочку грязью с

головы до ног. Мальчик говорит своей спутнице: "Теперь ты понимаешь,

почему я не хожу со стороны проезжей части как джентльмен?"

205.

Мне нравится следующее определение этики. Мальчик спрашивает отца:

"Папа, что такое этика?" Отец отвечает:

"Сейчас объясню тебе на примере, сынок. Как-то раз в мой магазин зашла

одна дама. Оплачивая покупку, она дала мне двадцатидолларовую купюру,

думая, что дает мне десять долларов. Я также подумал, что она уплатила

десять долларов, и дал ей сдачу как с десяти долларов. Лишь через

несколько часов я обнаружил, что дама в действительности уплатила двадцать

долларов. Сообщу ли я или не сообщу об этом моему партнеру? Это и есть

этика, мой мальчик".

206.

Однажды я вместе с приятелем, математиком по профессии, зашел в

небольшой ресторанчик пообедать. После перечня блюд в меню стояло: "За все

особо заказанное нужно особо платить". Мой приятель заметил по этому

поводу: "Слово `особо', да еще дважды повторенное, здесь явно ни к чему".

207.

На рекламе одного ресторана красовалась броская надпись:

Все вкусное не дешево.

Все дешевое не вкусно.

Означают ли эти два предложения одно и то же, или их содержание

различно?

С точки зрения логики оба предложения означают одно и то же. Они

эквивалентны утверждению "нет ничего, что было бы вкусно и дешево". И все

же, хотя эти предложения логически эквивалентны, их психологический

подтекст различен. При чтении первого предложения в моем воображении

возникает мысль о вкусном блюде, за которое стоит заплатить дорого. При

чтении второго рождается мысль о недоброкачественно дешевом блюде. Не

думаю, чтобы моя реакция была нетипичной.

Б. КТО ВЫ: ФИЗИК ИЛИ МАТЕМАТИК?

208.

Должно быть, многим известна задача о двух сосудах, в одном из которых

содержится 10 мл воды, а в другом - 10 мл вина. Из сосуда с водой в

сосуд с вином отливают 3 мл воды и после тщательного перемешивания 3 мл

смеси переливают обратно в сосуд с водой. Спрашивается, чего больше: воды

в сосуде с вином или вина в сосуде с водой?

Решать эту задачу можно двумя способами: "арифметически"

(подсчитать количество воды, внесенной при переливаниях в сосуд с

вином, и вина, оказавшегося в сосуде с водой) и "физическим", основанным

на здравом смысле. Я отдаю предпочтение физическому решению. При

арифметическом подходе задача решается следующим образом. После того как в

сосуд с вином влили 3 мл воды, в нем оказалось 13 мл смеси:

3/13 составляет вода и 10/13 вино. После переливания в сосуд с водой 3

мл смеси в нем оказалось 3*10/13 = 30/13 мл вина. До второго переливания в

сосуде с вином находилось 3 мл воды, из них 3*3/13 мл было перелито в

сосуд с водой.

Следовательно, после двух переливаний в сосуде с вином осталось 3 -

9/13 мл воды. Но 3 - 9/13 = 39/13 - 9/13 = 30/13. Таким образом, воды в

сосуде с вином оказалось ровно столько же (а именно 30/13 мл), сколько

вина в сосуде с водой.

Физическое решение приводит к ответу несравненно быстрее и, кроме того,

подсказывает некую общую идею: поскольку количество жидкости в каждом

сосуде после двух переливаний одинаково, то убыль воды в сосуде с водой

восполнена вином, а убыль вина в сосуде с вином восполнена водой. Тем

самым задача решена. Разумеется, здравый смысл не позволяет нам оценить

величину убыли жидкости в каждом сосуде, в то время как арифметическое

решение позволяет указать ее точный объем: 30/13 мл. Зато физическое

решение применимо к следующей более общей задаче (перед которой

арифметический подход оказывается бессильным).

Возьмем те же два сосуда с водой и с вином, что и в предыдущей задаче,

и начнем переливать жидкость из одного сосуда в другой, не измеряя каждый

раз, какой объем мы переливаем, и не подсчитывая, сколько раз мы

производим переливание. Количество переливаемой жидкости может изменяться

от одного переливания к другому, лишь бы по окончании всех операций в

каждом сосуде снова оказалось по 10 мл жидкости. Спрашивается, чего

больше: воды в сосуде с вином или вина в сосуде с водой?

Те же соображения, которые привели нас к физическому решению, позволяют

утверждать, что посла всех переливаний воды в сосуде с вином окажется

столько же, сколько вина в сосуде с водой, но их недостаточно, чтобы

узнать, сколько именно жидкости перешло из одного сосуда в другой.

209.

В связи с предыдущей задачей у меня возник следующий вопрос. Представим

себе, что первоначально в сосуд A налито 10 мл воды, а в сосуд B - 10 мл

вина, и мы переливаем жидкость из одного сосуда в другой и обратно по 3 мл

любое конечное число раз. Сколько переливаний требуется произвести, чтобы

процентное содержание вина в обоих сосудах стало одинаковым?

Я имел в виду следующий ответ: за любое конечное число переливаний

невозможно добиться равенства концентраций вина в обоих сосудах.

Независимо от того, сколько вина в одном сосуде, сколько воды в другом и

сколько жидкости переливается каждый раз из сосуда в сосуд и обратно (если

только один сосуд при переливании не опоражнивается полностью),

концентрация вина в сосуде B всегда останется выше, чем в сосуде A.

Убедиться в этом можно при помощи простого рассуждения, использующего

математическую индукцию. Первоначально концентрация вина в сосуде B,

несомненно, выше, чем в сосуде A. Предположим, что после какого-то числа

переливаний концентрация вина в сосуде B остается по-прежнему выше, чем в

сосуде A. Переливая затем какое-то количество жидкости из сосуда B в сосуд

A, мы будем переливать более крепкий раствор в более слабый.

Следовательно, и после очередного переливания концентрация вина в

сосуде B останется выше, чем в сосуде A. Если мы перельем какое-то

количество жидкости из сосуда A в сосуд B, то концентрация вина в B также

останется выше, чем в A.

Так как любое переливание сводится к одному из этих двух случаев, то мы

заключаем, что концентрация вина в сосуде B всегда больше, чем в сосуде A.

Единственный способ выравнять концентрации - перелить целиком содержимое

одного сосуда в другой.

Если эту задачу рассматривать как чисто математическую, то мои

рассуждения безупречны. Но если рассматривать ее как физическую задачу, то

в моем рассуждении обнаруживаются уязвимые места. Оно исходит из

представления о безграничной делимости жидкости, в то время как реальные

жидкости состоят из дискретных молекул. На это обстоятельство один из

читателей обратил внимание Мартина Гарднера /* См. Гарднер М.

Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971, с. 286.*/. Он

подсчитал, что после 47 переливаний "туда и обратно" концентрация вина в

обоих сосудах с высокой вероятностью окажется равной.

Интересно, останется ли в силе предложенное этим читателем решение,

если число молекул в сосуде вина будет нечетным?

Проживи я на свете миллион лет, мне никогда не пришло быв голову, что

эта задача не математическая, а физическая.

210. Какой брусок намагничен?

Мартин Гарднер предложил следующую задачу /* См. Гарднер М.

Математические новеллы. - М.: Мир, 1974, с. 170.*/.

Представьте себе, что вы заперты в комнате, где (так же как и на вас

самих) нет ничего металлического, кроме двух совершенно одинаковых с виду

железных брусков. Один из брусков намагничен. Установить, какой именно,

можно, подвесив каждый из брусков на нити, обвязанной вокруг середины

бруска: намагниченный брусок будет вести себя как стрелка компаса, то есть

указывать на север. Нельзя ли установить, какой из брусков намагничен,

более простым способом?

Приведенное в книге Гарднера решение состояло в том, чтобы дотронуться

концом одного бруска до середины другого. Если вы почувствуете притяжение,

то брусок, которым вы дотрагивались, намагничен. Если притяжения не

возникает, то в руках у вас находится ненамагниченный брусок.

Это "физическое" решение вполне разумно. Осуществить его

"экспериментально" проще, чем подвешивать оба бруска на нитях. Будучи

все-таки логиком, а не физиком, я придумал еще одно решение, занимающее по

своей простоте промежуточное положение между "физическим" и "лобовым".

Я предлагаю взять один брусок, обвязать его нитью посредине и, подвесив

на нити, посмотреть, будет ли он указывать на север.

211. Кто вы: физик или математик?

Как вы мыслите: физически или математически? Следующий великолепный

тест позволит безошибочно определить, физик вы или математик.

Вы находитесь в летней кухне. В вашем распоряжении нерастопленная

плита, коробок спичек, кран с холодной водой и пустая кастрюля. Требуется

нагреть кастрюлю воды. Что бы вы стали делать? Должно быть, на этот вопрос

вы ответили бы так: "Я налил бы в кастрюлю холодной воды из крана, зажег

плиту, поставил кастрюлю на огонь и подождал бы, пока вода в кастрюле не

нагреется". Прекрасно! На этом этапе между математиками и физиками царит

полное согласие. Различие в подходе обнаруживается при попытке решить

следующую задачу.

Вы снова находитесь в летней кухне. В вашем распоряжении нерастопленная

плита, коробок спичек, кран с холодной водой и кастрюля, в которую налита

холодная вода. Требуется нагреть кастрюлю воды. Что бы вы стали делать?

Большинство людей отвечают: "Зажег бы плиту и поставил кастрюлю с водой на

огонь". Если вы думаете так же, то вы физик!

Математик бы вылил воду из кастрюли и тем самым свел бы новую задачу к

предыдущей, которая решена.

Мы могли бы продвинуться еще на один шаг и рассмотреть случай, когда

кастрюля с холодной водой уже поставлена на огонь. Как получить горячую

воду в этом случае? Физик просто подождал бы, пока вода не нагреется, а

математик погасил бы огонь, вылил воду из кастрюли и тем самым свел бы

нашу новую задачу к первой (или ограничился бы тем, что погасил огонь,

сведя задачу ко второй, уже решенной).

Еще более наглядно различие между физиком и математиком проявляется в

следующем ("драматическом") варианте задачи. Представьте себе, что в доме,

где вы находитесь, начался пожар. В вашем распоряжении пожарный кран и

шланг (не присоединенный ни к чему). Как потушить пожар? Ясно, что прежде

всего необходимо присоединить шланг к крану, а затем пустить струю воды в

пламя. Предположим теперь, что в вашем распоряжении пожарный кран, шланг

(не присоединенный ни к чему) и никакого пожара в доме нет. Как бы вы

стали тушить пожар?. Математик сначала поджег бы дом, чтобы свести задачу

к предыдущей.

212. Фон Нейман и задача о мухе.

Эту задачу можно решить двумя способами: "трудным" и "легким".

Два поезда, находившиеся на расстоянии 200 км друг от друга, сближаются

по одной колее, причем каждый развивает скорость 50 км/ч. С ветрового

стекла одного локомотива в начальный момент движения взлетает муха и

принимается летать со скоростью 75 км/ч вперед и назад между поездами,

пока те, столкнувшись, не раздавят ее. Какое расстояние успевает пролететь

муха до столкновения?

С каждым из поездов муха успевает повстречаться бесконечно много раз.

Чтобы найти расстояние, которое муха преодолела в полете, можно

просуммировать бесконечный ряд расстояний (эти расстояния убывают

достаточно быстро, и ряд сходится).

Это - "трудное" решение. Чтобы получить его, вам понадобятся карандаш

и бумага. "Легкое" решение состоит в следующем. Поскольку в начальный

момент расстояние между поездами равно 200 км, а каждый поезд развивает

скорость 50 км/ч, то от начала движения до столкновения проходит 2 ч.

Все эти 2 ч муха находится в полете. Поскольку она развивает скорость

75 км/ч, то до того момента, как столкнувшиеся локомотивы раздавят ее,

муха успеет пролететь 150 км. Вот и все!

Один из выдающихся математиков современности, Джон фон Нейман, когда

ему задали эту задачу, задумался лишь на миг и сказал: "Ну, конечно, 150

км!" Приятель спросил его:

"Как вам удалось так быстро получить ответ?" "Я просуммировал ряд", -

ответил математик.

213.

О фон Неймане рассказывают следующую забавную историю.

Некогда он консультировал специалистов, строивших ракету-носитель для

космического корабля. Увидев остов ракеты, фон Нейман спросил у

сопровождавших его сотрудников: "Кто сконструировал ракету?" "Наши

инженеры," - ответили ему. "Инженеры!" - презрительно повторил фон

Нейман. - Я разработал полную математическую теорию ракет. Возьмите мою

работу 1952 г. и вы найдете там все, что вас интересует". Специалисты

раздобыли работу, о которой говорил фон Нейман, сдали на слом

разработанную ими конструкцию ракеты (на которую к тому времени было

израсходовано 10 млн долларов) и построили новую ракету, неукоснительно

следуя рекомендациям фон Неймана. Но их постигла неудача: при нажатии на

кнопку "Пуск" раздался оглушительный взрыв, и ракета разлетелась на мелкие

кусочки. В гневе ракетчики позвали фон Неймана и спросили: "Мы выполнили

все ваши рекомендации, а ракета все- таки взорвалась при запуске. Почему?"

Фон Нейман ответил: "То, о чем вы говорите, относится к так называемой

теории сильного взрыва. Я рассмотрел ее в своей работе 1954 г. В ней вы

найдете все, что вас интересует".

214.

Рассказывают, будто в Принстоне жила девочка, которой никак не давалась

арифметика. И вдруг за какие-нибудь два месяца она стала великолепно

успевать по этому предмету. Мать спросила у нее, в чем причина неожиданных

успехов. Девочка ответила: "Как-то раз я услышала, что в нашем городе есть

профессор, который хорошо разбирается в арифметике. Я узнала, где он

живет, пришла к нему, и с тех пор он каждый день помогает мне готовить

уроки. Объясняет он все очень понятно". Мать несколько озадаченно

спросила, не знает ли дочь, как фамилия профессора. Девочка ответила:

"Точно не скажу, не помню. Кажется, Эйнштейн или как-то очень похоже".

215.

В разговоре с одним из своих коллег Эйнштейн заметил однажды, что не

хотел бы преподавать в колледже с совместным обучением юношей и девушек.

По его мнению, юноши смотрели бы на красивых сокурсниц и не уделяли бы

должного внимания математике и физике. Знакомый Эйнштейна возразил:

"Вас бы юноши слушали, боясь проронить слово". Эйнштейн ответил: "Такие

юноши не стоят того, чтобы им преподавать".

216.

Следующий анекдот отчетливо показывает различие между физиком и

математиком.

Физик и математик летят на одном самолете из Калифорнии в Вашингтон.

Каждого из них попросили по прибытии в Вашингтон представить отчет обо

всем увиденном в пути.

Пролетая над Канзасом, оба увидели далеко внизу черную овцу. Физик

записал в блокноте: "В Канзасе водится черная овца". Математик также

сделал соответствующую запись в своем блокноте: "Где-то на Среднем Западе

водится овца, черная сверху".

В. ИСТОРИИ О ВЕРМОНТЦАХ

217.

Предыдущая история напомнила мне один случай, происшедший с

американским президентом Кальвином Кулиджем. Вместе с группой друзей

Кулидж однажды посетил животноводческую ферму. Когда они подошли к стаду

овец, один из друзей президента заметил: "Я вижу, что овец недавно

остригли".

"По крайней мере с этой стороны они выглядят так, как будто их

остригли," - отозвался Кулидж.

218.

Когда юморист Уилл Роджерс собрался на прием к президенту Кулиджу, его

предупредили, что президента невозможно рассмешить. Роджерс спокойно

ответил: "Ничего, я все-таки попробую". И ему действительно удалось

рассмешить Кулиджа.

Когда Роджерса подвели к президенту и представлявший произнес: "Мистер

Роджерс, позвольте представить вас президенту Кулиджу", Уилл Роджерс

повернулся к президенту и с любезной улыбкой сказал: "Простите, я не

расслышал вашей фамилии. С кем имею честь?"

219.

Кальвин Кулидж был типичным вермонтцем, а я лоблю истории о вермонтцах.

Вот одна из них. Человек проходит мимо дома вермонтского фермера. Хозяин

сидит на крыльце в кресле-качалке и невозмутимо покачивается. Прохожий

замечает: "Так и качаетесь всю жизнь?" На что хозяин дома отвечает:

"Пока еще не всю".

220.

Вермонтцам (по крайней мере таким, какими мы знаем их по бесчисленным

юмористическим историям) присуща одна характерная черта: если вермонтца

спросить о чем-нибудь, он даст точный ответ, но нередко умолчит об

информации, которая может относиться к делу и быть весьма существенной.

Великолепной иллюстрацией этой особенности может служить анекдот об

одном вермонтском фермере, который отправился на соседнюю ферму, чтобы

спросить у ее владельца: "Лем, что ты давал своей лошади в прошлом году,

когда у нее были колики?" Лем ответил: "Отруби с черной патокой". Фермер

вернулся домой. Через неделю он снова пришел к соседу и сообщил: "Лем, я

дал своей лошади отрубей с черной патокой, и она сдохла". Лем ответил:

"Моя тоже".

221.

Из историй о вермонтцах мне особенно нравится рассказ о туристе,

путешествовавшем по Вермонту. Однажды он оказался на развилке. У обочины

одной дороги стоял указатель "К устью реки Белой". У обочины другой дороги

тоже стоял указатель "К устью реки Белой". Турист задумчиво почесал в

затылке и спросил у стоявшего неподалеку вермонтца:

"Если обе дороги ведут к устью реки Белой, то не все ли равно, по какой

дороге мне идти?" "Мне все равно", - ответил вермонтец.

Г. ТАК ЛИ ОЧЕВИДНО?

222.

Эту историю рассказывают о многих математиках. Некий профессор во время

лекции, сформулировав теорему, сказал:

"Доказательство очевидно". Студент поднял руку и спросил:

"А почему оно очевидно?" Профессор немного подумал, потом вышел из

аудитории и, вернувшись минут через двадцать, заявил: "Да, все верно,

теорема очевидна", - после чего как ни в чем не бывало продолжил лекцию.

223.

В другой истории речь идет о профессоре, встретившем в коридоре

студента. Студент спросил: "Профессор! Я не понял доказательство теоремы

2, которое вы привели на лекции. Не могли бы вы объяснить мне его еще

раз?" Профессор оцепенел на несколько минут, а очнувшись, сказал: "...что

и требовалось доказать". Студент переспросил: "Так как же все-таки

доказать теорему?" Профессор снова впал в транс и, снова вернувшись на

землю, сказал: "...что и требовалось доказать". "Да, но вы так и не

сказали мне, как доказывается теорема". "Хорошо, я приведу вам другое

доказательство", - пообещал профессор. Он снова оцепенел и, придя в

себя, снова сообщил: "...что и требовалось доказать". Несчастный студент

впал в отчаяние.

"Послушайте, - заметил профессор, - я привел вам три доказательства

теоремы, и ни одно из них вы не поняли.

Боюсь, что больше я ничем не смогу вам помочь". С этими словами

профессор удалился.

224.

Рассказывают, что один известный физик выступал с лекцией перед группой

коллег. Закончив свое выступление, он сказал:

"А теперь я отвечу на любые вопросы". Один из слушателей поднял руку и

обратился к докладчику: "Я не понял, как вы доказали теорему B". Физик

ответил: "Это не вопрос".

225.

В бытность мою аспирантом в Принстонском университете я вместе с

товарищами составил довольно любопытный перечень толкований слова

"очевидно" различными профессорами математического факультета. Не стану

сейчас приводить полностью фамилии профессоров, ограничусь лишь первыми

буквами.

Когда профессор A. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это

означает, что, отправившись домой и поразмыслив в течение нескольких

недель, вы поймете, почему оно правильно.

Когда профессор Л. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это

означает, что, отправившись домой и посвятив размышлениям над смыслом.

сказанного весь остаток своих дней, вы, может быть, когда-нибудь поймете,

почему оно правильно.

Когда профессор Ч. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это

означает, что уже две недели, как оно известно аудитории.

Когда профессор Ф. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это

означает, что оно скорее всего неверно.

Д. ИСТОРИИ О РАССЕЯННЫХ ПРОФЕССОРАХ

226.

Однажды студент повстречал в коридоре профессора, и, поздоровавшись,

спросил: "Вы уже позавтракали?" Профессор на миг задумался, а потом

сказал: "Если вы скажете, в каком направлении я шел, когда мы встретились,

то я смогу ответить на ваш вопрос".

227.

Следующую историю мне рассказали о математике Давиде Гильберте. Некогда

я передал ее одному физику, тот сообщил, что слышал то же самое об Ампере!

Я буду придерживаться той версии, которую рассказали мне.

Однажды Гильберт и его супруга устроили званый вечер. После прихода

одного из гостей мадам Гильберт отвела мужа в сторону и сказала ему:

"Давид, пойди и смени галстук".

Гильберт ушел. Прошел час, а он все не появлялся.

Встревоженная хозяйка дома отправилась на поиски супруга и, заглянув в

спальню, обнаружила Гильберта в постели. Тот крепко спал. Проснувшись, он

вспомнил, что сняв галстук, автоматически стал раздеваться дальше и, надев

пижаму, лег в кровать.

228.

Из всех историй о рассеянных профессорах мне больше всего нравится

история, которую рассказывают о Норберте Винере.

Не знаю, насколько она правдива (хотя и вполне правдоподобна, так как в

последние годы жизни Винер почти полностью потерял зрение); но, как бы там

ни было, рассказывают следующее.

Однажды чета Винеров должна была переехать из одного района Кембриджа в

другой. Миссис Винер, зная о рассеянности своего мужа, решила приучить его

заранее к мысли о переезде. За тридцать дней до переезда она сказала мужу,

когда тот собирался утром на лекцию: "Норберт, через тридцать дней мы

переедем отсюда, и домой ты будешь возвращаться тогда на автобусе Б, а не

A, как сейчас". На следующее утро миссис Винер сказала: "Норберт, через

двадцать девять дней мы переедем отсюда, и домой ты будешь возвращаться на

автобусе Б, а не A, как сейчас". Винер послушно ответил: "Хорошо,

дорогая". Так продолжалось вплоть до самого дня отъезда. Утром в день

отъезда миссис Винер сказала: "Норберт, сегодня мы переезжаем отсюда, и

домой ты будешь возвращаться на автобусе Б, а не A".

Винер, как всегда, согласился: "Хорошо, дорогая". После лекции он,

конечно, сел в автобус A и, доехав до своей бывшей квартиры, не обнаружил

никого дома. "Ах, да! Ведь мы же сегодня переехали!" - вспомнил он,

вернулся в Гарвард, сел в автобус Б и сошел на той остановке, поблизости

от которой, как ему казалось, должна была находиться его новая квартира. К

сожалению, Винер никак не мог вспомнить свой новый адрес. Пока он бродил

по улицам, стемнело. Увидев в сумерках девочку, Винер подошел к ней и

спросил: "Прошу прощения, не знаешь ли ты, где здесь живут Винеры?"

Девочка ответила: "Ну, конечно, знаю, папочка. Пойдем, я провожу тебя

домой!"

Е. МУЗЫКАНТЫ

229.

Композитор Роберт Шуман в начале одного из своих сочинений написал

указание для исполнителей: "Быстро, как только возможно", а через

несколько тактов - "Еще быстрее".

230.

Рассказывают, что Рихард Вагнер, прогуливаясь по улицам Берлина,

встретил шарманщика, который, вертя ручку своей шарманки, исполнял

увертюру к "Тангейзеру". Вагнер остановился и заметил: "Вы исполняете чуть

быстрее, чем нужно". Шарманщик сразу узнал Вагнера и, сняв шляпу,

раскланялся: "Благодарю вас, герр Вагнер! Спасибо за замечание!"

На следующий день Вагнер снова отправился на ту же улицу и нашел

шарманщика на том же месте. На этот раз увертюра звучала в правильном

темпе, а над головой шарманщика висел плакат: "Ученик Рихарда Вагнера".

231.

Рассказывают, что четыре музыканта из Бостонского филармонического

оркестра вздумали однажды покататься на лодке. Один из них свалился за

борт с криком: "Помогите! Я не умею плавать!" Его более ловкий коллега

крикнул в ответ: "Тогда хотя бы сделай вид, что плаваешь!"

232. Брамс и любительский квартет.

Рассказывают, что у композитора Иоганнеса Брамса было четверо друзей,

которые любили исполнять квартеты.

Музыканты они были более чем посредственные, но люди очень милые, и

Брамсу доставляло удовольствие общение с ними.

Однажды они решили устроить Брамсу сюрприз и полгода усердно разучивали

его последний квартет. Как-то раз они собрались все вместе, и, когда

пришел Брамс, исполнитель партии скрипки сказал: "Иоганнес, мы приготовили

для вас сюрприз. Пройдите, пожалуйста, в соседнюю комнату". Брамс

последовал за ними в соседнюю комнату, музыканты взяли инструменты и

заиграли. Несчастный Брамс с трудом выдержал несколько тактов, потом

поднялся и с вежливой, хотя и несколько вымученной улыбкой, быстро

направился к выходу.

Исполнитель партии первой скрипки бросился вслед за ним с вопросом:

"Иоганнес, понравилось ли вам наше исполнение?

Выдержали ли мы ваш темп?" Брамс ответил: "Темп все выдержали

прекрасно. Особенно вы".

Ж. ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ

233.

Эксперименты по машинному переводу проводились неоднократно. Обычно для

этого брали какую-нибудь фразу (желательно идиому), и одна машина

осуществляла перевод с русского на английский, а другая выполняла обратный

перевод с английского на русский. Цель эксперимента заключалась в том,

чтобы установить, насколько сильные искажения могут возникнуть в процессе

перевода.

Однажды для прямого перевода была выбрана фраза: "Дух силен, а плоть

слаба". Вторая машина неверно "поняла"

английское слово spirit, в результате обратный перевод гласил: "Спирт

крепок, а мясо протухло".

234.

В другой раз для контрольного перевода была выбрана фраза:

"С глаз долой, из сердца вон". После двукратного перевода она

превратилась в следующую: "Бессердечный слепец".

235.

Этот анекдот - о коммивояжере фирмы ИБМ, который пытался продать

компьютер, "знавший все на свете". Коммивояжер, всячески расхвалив

достоинства своей ЭВМ, предложил покупателю: "Убедитесь сами. Спросите

машину о чем угодно". "Хорошо", - согласился покупатель и ввел в машину

вопрос: "Где мой отец?" Машина после минутной паузы напечатала ответ: "Ваш

отец сейчас удит рыбу в Канаде". Покупатель радостно захохотал: "Вот так

всеведущая машина! Да она просто никуда не годится! Моего отца давно нет в

живых". Коммивояжер не сдавался. "Вы сформулируйте свой вопрос поточнее,

- попросил он покупателя. - Позвольте, я сделаю это за вас". И

коммивояжер ввел в машину следующий вопрос: "Где муж матери человека,

стоящего перед тобой?" После небольшой паузы машина напечатала ответ: "Муж

матери этого человека скончался несколько лет назад, а отец этого человека

сейчас удит рыбу в Канаде".

236.

Когда первый в мире самолет с полностью автоматизированным управлением

поднялся в воздух, находившиеся на его борту пассажиры почувствовали себя

не совсем уютно. Внезапно из репродуктора раздался успокаивающий голос

ЭВМ, управлявшей полетом: "Леди и джентльмены! Вы находитесь на борту

первого в мире полностью автоматизированного самолета. Его ведут не

пилоты, которым, как и всем людям, свойственно ошибаться, а совершенные

автоматы, не знающие, что такое ошибка. Они позаботятся о ваших удобствах

и безопасности.

Вам не о чем беспокоиться, беспокоиться, беспокоиться, беспокоиться... "

237. Вежливый компьютер.

Из всех историй об ЭВМ мне больше всего нравится история об одном

компьютере, имевшем отношение к запуску космического корабля на Луну. В

компьютер ввели два вопроса: 1)

достигнет ли корабль Луны? 2) вернется ли корабль на Землю?

- и после небольшой паузы получили ответ: "Да". Однако понять, что,

собственно, означает это "да" (следует ли его считать ответом на первый

вопрос, на второй вопрос или на конъюнкцию первого и второго вопросов),

было невозможно.

Поэтому в компьютер ввели третий вопрос: "Что да?"

Компьютер, помедлив, ответил вежливо: "Да, сэр".

XIV. Как доказать что угодно

Существует, как мне кажется, довольно точное определение пьяного

математика: пьяным называется математик, утверждающий, будто он может

доказать что угодно!

В платоновском диалоге "Евтидем" Сократ, расхваливая непостижимое

умение братьев-софистов Евтидема и Дионисидора вести спор, говорит: "Столь

велико их искусство, что они могут опровергнуть любое утверждение, будь

оно истинно или ложно". Далее Сократ описывает в диалоге, как Дионисидор

доказывает одному из собеседников по имени Ктессип, что отец Ктессипа -

пес.

Дионисидор. Скажи, есть ли у тебя пес?

Ктессип. Да, и, должен признаться, препаршивый.

Дионисидор. А нет ли у него щенков?

Ктессип. Как не быть! И все они похожи на него.

Дионпсидор. И твой пес - их отец?

Ктессип. Да, я видел своими глазами, как он покрыл мать щенков.

Дионисидор. И этот пес твой?

Ктессип. Вне всякого сомнения.

Дионисидор. Итак, он отец и он твой. Следовательно, он твой отец, а

щенки доводятся тебе братьями.

Вдохновленный примером великих софистов я докажу вам в этой главе много

странного и удивительного.

А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВСЯКОЙ ВСЯЧИНЫ

238. Доказательство того, что либо Траляля, либо Труляля существует.

Из этого доказательства не следует, что Траляля и Труляля существуют

оба. Я докажу лишь, что по крайней мере один из них существует. Кто именно

из двух братцев существует, останется для нас неизвестным.

Представьте себе, что перед нами лист бумаги с тремя утверждениями:

1) Траляля не существует.

2) Труляля не существует.

3) По крайней мере одно из утверждений на этом листе ложно.

Рассмотрим утверждение (3). Если оно ложно, то не верно, что по крайней

мере одно из трех утверждений ложно. Значит, все три утверждения истинны.

В частности, истинно утверждение (3), и мы пришли бы к противоречию.

Следовательно, утверждение (3) не может быть ложно. Значит, оно должно

быть истинно. Отсюда мы заключаем, что по крайней мере одно из трех

утверждений в действительности ложно. Но утверждение (3) не может быть

ложным.

Следовательно, ложно либо утверждение (1), либо утверждение (2). Если

ложно утверждение (1), то существует Траляля.

Если ложно утверждение (2), то существует Труляля.

Следовательно, либо Траляля, либо Труляля существует.

Однажды я выступал с лекцией о своих логических задачах-головоломках в

студенческом математическом клубе.

Собравшимся меня представил логик Мелвин Фиттинг (мой бывший студент,

который хорошо знал меня). Его краткая речь великолепно отразила дух этой

книги. Он сказал: "Я имею честь представить вам профессора Смаллиана,

который докажет вам, что либо он не существует, либо вы не существуете, но

кто именно не существует, вам не известно".

239. Доказательство того, что Трулюлю существует.

Представьте, что перед нами лист бумаги с двумя утверждениями:

1) Трулюлю существует.

2) Оба утверждения на этом листе ложны.

Рассмотрим сначала утверждение (1). Если бы оно было истинно, то оба

утверждения были бы ложны. В частности, было бы ложно утверждение (2), и

мы пришли бы к противоречию. Следовательно, утверждение (2) ложно. Значит,

не верно, что оба утверждения ложны, поэтому по крайней мере одно из них

истинно. Так как утверждение (2) не истинно, то истинно должно быть

утверждение (1).

Следовательно, Трулюлю существует.

240. Существует ли Дед Мороз?

Должен сказать, что существование Деда Мороза многие подвергают

сомнению. Несмотря на скептицизм, столь распространенный в наше время, я

приведу три доказательства, не оставляющих ни малейшего сомнения в том,

что Дед Мороз существует и должен существовать. Все три доказательства

являются вариантами метода, заимствованного мною у Дж. Баркли Россера.

Этот метод позволяет доказать что угодно.

Первое доказательство. Изложим это доказательство в форме диалога.

Первый логик. Если не ошибаюсь, Дед Мороз существует.

Второй логик. Разумеется, Дед Мороз существует, если вы не ошибаетесь.

Первый логик. Следовательно, мое утверждение истинно.

Второй логик. Разумеется!

Первый логик. Итак, я не ошибся, а вы согласились с тем, что если я не

ошибаюсь, то Дед Мороз существует.

Следовательно, Дед Мороз существует.

Второе доказательство. Приведенное выше доказательство представляет

собой не что иное, как беллетризованный вариант следующего доказательства,

предложенного Дж. Баркли Россером:

Если это утверждение истинно, то Дед Мороз существует.

В основе этого доказательства лежит уже знакомая нам идея.

С ней мы встречались, когда доказывали, что если обитатель острова

рыцарей и лжецов высказывает утверждение "если и рыцарь, то то- то и

то-то", то он должен быть рыцарем, а "то-то и то-то" должно быть истинно.

Если наше утверждение истинно, то Дед Мороз заведомо существует (потому

что если это утверждение истинно, то должно быть верно, что если это

утверждение истинно, то Дед Мороз существует, из чего следует, что Дед

Мороз существует). Следовательно, то, о чем говорится в утверждении,

верно, поэтому утверждение истинно. Значит, утверждение истинно, а если

оно истинно, то Дед Мороз существует. Следовательно, Дед Мороз существует.

[Вопрос. Предположим, что обитатель острова рыцарей и лжецов заявляет:

"Если я рыцарь, то Дед Мороз существует?" Доказывало бы это, что Дед Мороз

существует?

Ответ. Несомненно, доказывало бы. Однако поскольку дед Мороз не

существует, то ни лжец, ни рыцарь не могли бы высказать подобное

утверждение.]

Третье доказательство.

Это утверждение ложно, и Дед Мороз не существует.

Детали доказательства я предоставляю читателям.

Необходимые пояснения. Что в этих доказательствах "не так"? Ошибка в

них та же, что и в рассуждениях претендента на руку Порции N-й: часть

утверждений лишена смысла (об этом мы более подробно говорили в гл. 15), и

их нельзя считать ни истинными, ни ложными.

Следующее доказательство, к рассмотрению которого мы сейчас переходим,

основано на совершенно ином принципе.

241. Доказательство того, что единорог существует.

Я хочу доказать вам, что единорог существует. Для этого, очевидно,

достаточно доказать более сильное (как нам кажется) утверждение о том, что

существует существующий единорог. (Под существующим единорогом я понимаю

единорога, который существует.) Ясно, что если существует существующий

единорог, то какой-нибудь единорог тем более должен существовать. Итак, я

должен доказать, что существующий единорог существует. Возможны два и

только два случая:

1) Существующий единорог существует.

2) Существующий единорог не существует.

Второй случай мы исключаем из рассмотрения как противоречивый: как

может не существовать существующий единорог? Существующий единорог

непременно должен существовать точно так же, как синий единорог должен

быть синим.

Необходимые пояснения. B чем ошибка этого доказательства?

Оно представляет собой не что иное, как самую суть знаменитого

онтологического доказательства существования бога, предложенного Декартом.

Декарт определил бога как существо, обладающее всеми мыслимыми свойствами.

Значит, по определению, бог должен обладать свойством существовать.

Следовательно, бог существует.

Иммануил Кант объявил доказательство Декарта недействительным на том

основании, что существование не есть свойство. Я считаю, что в

доказательстве Декарта имеется гораздо более серьезная ошибка. Не вдаваясь

в обсуждение вопроса о том, можно ли считать существование свойством, я

хочу лишь заметить, что даже если существование - свойство, то

доказательство Декарта остается неверным.

Рассмотрим сначала мое доказательство (звучит гордо, не так ли?)

существования единорога. Насколько я могу судить, ошибка в приведенных

мною рассуждениях состоит в следующем.

Когда я привожу определение существующего единорога ("под существующим

единорогом я, разумеется, понимаю единорога, который существует"), то имею

в виду не какого-то вполне определенного существующего единорога, а

некоторого существующего единорога, или, если угодно, существующего

единорога вообще. Это подразумеваемое слово "некоторый"

допускает двойственное толкование: иногда оно может означать "любой,

каждый, всякий", иногда же означает "по крайней мере один". Например, если

я высказываю утверждение "у совы большие глаза", то оно означает, что у

сов большие глаза, что у всех сов большие глаза или что у каждой совы

большие глаза. Но если я высказываю утверждение "в этом доме сова", то оно

отнюдь не означает, что в этом доме собрались все совы. Я имею в виду

лишь, что в этом доме находится по крайней мере одна сова. Именно поэтому,

когда я говорю: "Существующий единорог существует", то не ясно, что именно

имеется в виду: что все существующие единороги существуют или что по

крайней мере один существующий единорог существует. Если я имею в виду

первое, то высказанное мною утверждения истинно: все существующие

единороги, разумеется, существуют. Как бы мог уже существующий единорог не

существовать? Но это не означает, что высказанное мною утверждение истинно

во втором смысле, то есть что по крайней мере один единорог непременно

должен существовать.

Аналогичное замечание можно сделать и по поводу доказательства Декарта.

Из него по сути дела следует, что все боги существуют, то есть всякий X,

удовлетворяющий определению бога по Декарту, должен обладать свойством

существования. Но это отнюдь не означает, что по крайней мере один бог

непременно существует.

242. Доказательство Эйлера.

О поездке Дидро в Россию по приглашению Екатерины II рассказывают

следующий анекдот. Дидро был атеистом и не скрывал своих убеждений.

Императрица находила его высказывания забавными, но один из ее вельмож

счел, что они могут вызвать нежелательное брожение умов, и посоветовал

пресечь вольнодумные речи Дидро. Против энциклопедиста был составлен

небольшой заговор, к участию в котором был приглашен знаменитый математик

Эйлер, человек глубоко религиозный. Эйлер объявил, что ему удалось найти

доказательство существования бога, которое он охотно изложит Дидро в

присутствии всего императорского двора.

Дидро согласился на диспут. Эйлер, пользуясь тем, что Дидро совершенно

не знал математика, встал и, глядя на своего оппонента, замогильным

голосом произнес: "A в квадрате минус B в квадрате равно A минус B,

умноженному на A плюс B. Следовательно, бог существует. Вы согласны?"

Раздался общий смех, и Дидро совершенно растерялся. Тут же он испросил у

императрицы разрешение вернуться на родину и отбыл во Францию.

243. Доказательство того, что вы либо непоследовательны, либо

самонадеянны.

Это доказательство я придумал лет тридцать назад и рассказывал его

многим студентам и коллегам-математикам.

Несколько же лет назад кто-то сообщил мне, что видел то же

доказательство в каком- то философском журнале, но не может вспомнить

автора. Все же я хочу познакомить читателя с этим доказательством, кому бы

оно ни принадлежало.

Человеческий мозг - машина конечная, поэтому вы можете верить в

истинность лишь конечного числа утверждений.

Обозначим их p1,p2,...,pn, где n - число утверждений, в истинность

которых вы верите. Итак, вы верите в то, что каждое из утверждений

p1,p2,...,pn истинно. Если вы не слишком самонадеянны, то знаете, что не

все, во что вы верите, истинно. Значит, если вы не самонадеянны, то

знаете, что по крайней мере одно из утверждений p1,p2,...,pn ложно. Вы же

верите в истинность каждого утверждения. Следовательно, вы

непоследовательны.

Примечание. Где ошибка в этих рассуждениях? Я считаю, что никакой

ошибки здесь нет. По моему глубокому убеждению, разумно скромный человек

должен быть непоследовательным.

Б. НОВЫЕ ДУРАЦКИЕ ШТУЧКИ

244. Расселл и папа римский.

Один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Расселла,

что из ложного утверждения следует любое утверждение.

Он спросил: "Вы всерьез считаете, что из утверждения "два плюс два -

пять"

следует, что вы папа римский?" Расселл ответил утвердительно. "И вы

можете доказать это?" - продолжал сомневаться философ. "Конечно!" -

последовал уверенный ответ, и Расселл тотчас же предложил такое

доказательство.

1) Предположим, что 2 + 2 = 5.

2) Вычтем из обеих частей по 2: 2 = 3.

3) Переставим правую и левую части: 3 = 2.

4) Вычтем из обеих частей по 1: 2 = 1.

Папа римский и я - нас двое. Так как 2 = 1, то папа римский и я -

одно лицо. Следовательно, я - папа римский.

245. Что лучше?

Что лучше: вечное блаженство или бутерброд с ветчиной? На первый взгляд

кажется, что вечное блаженство лучше, но в действительности это не так!

Судите сами. Что лучше вечного блаженства? Ничто. А бутербод с ветчиной

лучше, чем ничего.

Следовательно, бутерброд с ветчиной лучше, чем вечное блаженство.

246. Какие часы лучше?

Эту головоломку придумал Льюис Кэрролл. Какие часы лучше:

те, которые вообще не идут, или те, которые отстают на одну минуту в

сутки? По мнению Льюиса Кэрролла, часы, которые вообще не идут, лучше: они

показывают точное время дважды в сутки, в то время как часы, которые

отстают на одну минуту в сутки, показывают точное время лишь раз в два

года. "Но что толку от того, что стоящие часы показывают точное время

дважды в сутки, - возразите вы, - если нельзя сказать, когда это

происходит?"

Почему нельзя? Представьте себе, что часы остановились ровно в восемь

часов (утра или вечера - неважно). Разве не ясно, что в восемь часов

утра и в восемь часов вечера они будут показывать точное время? "А как

узнать, - спросите вы, - что наступило восемь часов?" Нет ничего

проще! Не сводите глаз с часов, и в тот момент, когда они покажут точное

время, наступит восемь часов (чего именно - утра или вечера - не так

уж важно, так как отличить утро от вечера сумеет всякий).

247. Доказательство того, что существует лошадь с тринадцатью ногами.

Это доказательство не оригинально, оно частично восходит к

математическому фольклору.

Требуется доказать, что существует по крайней мере одна лошадь, у

которой тринадцать ног. Выкрасим всех лошадей в мире либо в синий, либо в

красный цвет по следующей схеме.

Прежде чем красить лошадь, сосчитаем, сколько у нее ног.

Если у лошади ровно тринадцать ног, то выкрасим ее в синий цвет. Если

же у лошади число ног окажется либо меньше, либо больше тринадцати, то

выкрасим ее в красный цвет.

Предположим, что мы выкрасили всех лошадей в мире. У синих лошадей по

тринадцати ног, у красных число ног отлично от тринадцати. Выберем наугад

какую-нибудь лошадь. Если она окажется синего цвета, то наше утверждение

доказано. Если же она будет красного цвета, то выберем наугад вторую

лошадь. Предположим, что вторая лошадь окажется синего цвета. Тогда наше

утверждение опять-таки доказано. А что если вторая лошадь красного цвета?

Тогда это будет лошадь другого цвета, и мы приходим к противоречию: откуда

взяться другому цвету, если каждую лошадь в мире мы выкрасили только в

один цвет?

248.

История с тринадцатиногой лошадью напомнила мне одну головоломку,

придуманную Авраамом Линкольном. Если собачью ногу считать хвостом, то

сколько ног будет у собаки? Ответ самого Авраама Линкольна гласил:

"Четыре. Чем бы и как вы ни пересчитывали ноги собаки, даже собачьим

хвостом, их все равно четыре".

249. Мой самый любимый метод доказательства.

Я хочу предложить вашему вниманию самую лучшую из известных мне

"дурацких штучек" - абсолютно безотказный метод, позволяющий доказывать

что угодно. Единственный недостаток метода состоит в том, что доступен он

только фокусникам-престидижитаторам.

Продемонстрирую его вам на примере. Предположим, что мне необходимо

доказать кому-то, будто я граф Дракула. Я говорю: "Из всей логики вам

необходимо лишь знать, что если заданы любые два утверждения p, q и p

истинно, то по крайней мере одно из двух утверждений p, q истинно".

Против этого вряд ли кто-нибудь станет возражать.

"Прекрасно, - говорю я, доставая из кармана колоду карт, - как вы

видите, эта карта красной масти". С этими словами я кладу карту красной

масти вверх рубашкой на левую руку своей "жертвы" и прошу накрыть карту

сверху правой рукой. "Пусть p - утверждение о том, что вы держите карту

красной масти, а q - утверждение о том, что я граф Дракула, -

продолжаю я. - Утверждение p истинно.

Согласны ли вы с тем, что либо p, либо q истинно?" Моя "жертва"

соглашается. "Но утверждение p, как вы можете убедиться собственными

глазами, ложно. Откройте карту!"

- приказываю я. "Жертва" послушно открывает карту: к его изумлению, у

него в руке оказывается карта черной масти! "Следовательно, - завершаю я

доказательство, - утверждение q истинно. Значит, я граф Дракула!"

В. НЕСКОЛЬКО ЛОГИЧЕСКИХ КУРЬЕЗОВ

В двух предыдущих разделах мы рассмотрели несколько неверных

рассуждений, которые на первый взгляд казались верными. Теперь нас ожидает

нечто прямо противоположное: мы познакомимся с кое-какими принципами,

которые на первый взгляд противоречат здравому смыслу, но тем не менее

оказываются верными.

250. Принцип пьяницы

Существует один принцип, играющий важную роль в современной логике.

Некоторые из моих аспирантов дали ему выразительное название "принцип

пьяницы". Связано оно, должно быть, с шуточной историей, которую я всегда

рассказываю на своих лекциях перед тем, как приступить к его изложению.

Человек сидит у стойки в баре. Внезапно он ударяет кулаком по стойке и

приказывает бармену: "Налей-ка мне и налей всем. Когда пью я, пьют все.

Такой уж я человек!" Все выпивают, настроение у посетителей бара

повышается. Через какое-то время человек, сидящий у стойки, снова ударяет

кулаком по стойке и заплетающимся языком отдает бармену распоряжение:

"Налей мне еще и налей всем еще по одной.

Когда я пью еще одну, все пьют еще по одной! Такой уж я человек!" Все

выпивают еще по одной, и настроение в баре повышается еще больше. Затем

человек, сидящий у стойки, кладет на нее деньги и говорит: "А когда я

плачу, платят все. Такой уж я человек!"

На этом анекдот о пьянице завершается. Проблема состоит в следующем:

существует ли в действительности такой человек, что если он пьет, то пьют

все? Ответ на этот вопрос удивит многих из вас.

Более драматический вариант возник в разговоре, который состоялся у

меня с философом Джоном Бэконом. Существует ли на свете такая женщина, что

если она утратит способность к деторождению, то все человечество будет

обречено на вымирание?

Вариант проблемы, двойственный принципу пьяницы:

существует ли по крайней мере один человек, такой, что если кто-нибудь

пьет, то пьет и он?

Решение. Да, существует такой человек, что если он пьет, то пьют все.

Это следует в конечном счете из странного принципа, согласно которому из

ложного утверждения следует любое утверждение.

Взглянем на проблему со следующей точки зрения. Утверждение о том, что

все пьют, либо истинно, либо ложно. Предположим, что оно истинно. Выберем

кого-нибудь и назовем нашего избранника Джимом. Так как все пьют и Джим

пьет, то верно, что если Джим пьет, то все пьют. Следовательно, существует

по крайней мере один такой человек (а именно Джим), что если пьет он, то

все пьют.

Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть не верно, что

все пьют. Что тогда? B этом случае существует по крайней мере один человек

(назовем его Джимом), который не пьет. Поскольку не верно, что Джим пьет,

то верно, что если Джим пьет, то пьют все. Следовательно, и в этом случае

существует такой человек (а именно Джим), что если он пьет, то пьют все.

Подведем итог. Назовем загадочной фигурой всякого, кто обладает

странным свойством: если он пьет, то пьют все.

Суть дела заключается в том, что если пьют все, то каждый может служить

загадочной фигурой. Если же пьют не все, то загадочной фигурой может

служить любой непьющий.

Перейдем теперь к более драматическому варианту принципа пьяницы. Все

рассуждения по существу остаются прежними, и мы заключаем следующее.

Существует по крайней мере одна такая женщина (а именно любая женщина,

если все женщины становятся бесплодными, и любая женщина, которая не

становится бесплодной, если не все женщины утрачивают способность к

деторождению), что если она утратит способность к деторождению, то и все

женщины утратят способность к деторождению.

Перейдем теперь к "двойственному" принципу, согласно которому

существует такой человек, что если кто-нибудь вообще пьет, то он пьет.

Иначе говоря, либо существует по крайней мере один человек, который пьет,

либо не существует. Если ни одного пьющего не существует, то выберем

любого и назовем его Джимом. Поскольку не верно, что кто-нибудь пьет, то

верно, что если кто-нибудь пьет, то Джим пьет. С другой стороны, если

существует кто-нибудь пьющий, то возьмем любого пьющего и назовем его

Джимом. Тогда верно, что кто-нибудь пьет, и верно, что Джим пьет.

Следовательно, верно, что если кто-нибудь пьет, то Джим пьет.

Эпилог

Когда я рассказал о принципе пьяницы своим студентам Линде Ветцель и

Джозефу Беванер, они пришли в восторг. Вскоре после этого они прислали мне

поздравительную открытку со следующим воображаемым диалогом (который

вполне мог произойти в кафетерии после обеда).

Логик. Я знаю одного парня. Когда он пьет, пьют все.

Студент. Я вас не совсем понял. Что вы имеете в виду, когда говорите,

что пьют все? Все человечество?

Логик. Да, конечно.

Студент. Но это же немыслимо! Вы хотите сказать, что стоит ему

пропустить стаканчик, как тотчас же все обитатели Земли до единого

выпивают свою порцию?

Логик. Вы совершенно правы.

Студент. Но это означает, что в какой-то момент времени все обитатели

Земли выпивали одновременно. Такого же просто никогда не было!

Логик. Вы не слишком внимательно слушали меня.

Студент. Я выслушал вас достаточно внимательно. Более того, я опроверг

вашу логику.

Логик. Вы говорите чепуху. Логику нельзя опровергнуть.

Студент. Как же нельзя, когда я только что опроверг?

Логик. Не вы ли говорили мне, что вы не пьете?

Студент. Гм... Знаете, давайте лучше поговорим о чем-нибудь другом.

251. Правильно ли рассуждение?

Мне много раз приходилось встречать рассуждения, которые кажутся вполне

разумными, но все же содержат какую-нибудь ошибку. Недавно я узнал об

одном рассуждении, которое на первый взгляд кажется неправильным (своего

рода шуткой), но в действительности оказывается правильным.

Замечу, кстати, что правильным принято называть такое рассуждение, в

котором заключение с необходимостью следует из посылок (посылки же не

обязательно должны быть истинными). Вот это рассуждение /* Мне сообщил его

философ Ричард Картрайт.*/.

1) Все боятся Дракулы.

2) Дракула боится только меня. Следовательно, я Дракула.

Не правда ли, звучит как глупая шутка? Но в действительности за

шутливой маской скрывается серьезное лицо: рассуждение вполне правильно. В

самом деле, так как все боятся Дракулы, то Дракула боится Дракулы, но в то

же время Дракула не боится никого, кроме меня. Следовательно, я должен

быть Дракулой!

Перед вами рассуждение, которое выглядит как шутка, но оказывается не

шуточным, а серьезным. В этом и заключается соль этой шутки!

XV. От парадокса к истине

А. ПАРАДОКСЫ

252. Парадокс Протагора.