Часть 9.

или нет) разрешается на каком-нибудь определенном, достигнутом нами месте последовательности, разрешается при этом так, что, как бы ни происхо-

270

дило дальнейшее развертывание последовательности, за пределами этого пункта ее становления оно не меняет уже результата дизъюнкции» (5, 101).

Какое значение имеет эта точка зрения для математики? Ее значение в том, что не ограниченная никаким законом, свободная в своем развертывании последовательность представляет математические свойства континуума. Оказалось, что над свободными последовательностями можно осуществлять математические операции. Этот «континуум» содержит, правда, отдельные вещественные числа, но не разлагается на сумму «готовых», «предлежащих» вещественных чисел: он представляет, по выражению Вейля, «среду свободного становления».

Интуиционистское понятие «свободного становления» характеризует взгляд интуиционизма на значение для математики логического закона исключенного третьего. Согласно этому закону, утверждение А и его отрицание (Л) не могут быть оба сразу истинными и не могут быть оба сразу ложными. В соответствии с этим вопрос, существует ли последовательность чисел со свойством E или не существует, может быть решен в классической логике и в опиравшейся на нее доинтуиционистской математике только согласно формуле: «да» или «нет», третьего не дано. Пока мы имеем дело с конечными множествами, такое решение представляется неоспоримым. Но как только мы вступаем в область бесконечных множеств, положение радикально изменяется. ДоБрауэра полагали, что и для бесконечных множеств закон исключенного третьего сохраняет свою силу. В своих ранних работах Вейль, до того как он присоединился ко взгляду Брауэра, рассуждал следующим образом. В случае бесконечных множеств мы, разумеется, не в силах найти средства, с помощью которых мы могли бы дать определенный ответ на поставленный вопрос о принадлежности или непринадлежности свойства E бесконечной последовательности. Но и в этом случае дело не в том, что доступно (или не доступно) для нашего познания. Совершенно независимо от того, что может быть установлено нами, натуральный ряд

19* 271

чисел сам по себе таков, что «для всякого свойства ?, имеющего смысл в области чисел, всегда определено, существуют ли числа вида E или не существуют» (5, 105). Хотя бы я не был способен - ввиду бесконечности ряда - решить, как именно обстоит дело, оно во всяком случае обстоит либо так, либо не так (см. 5, 106). Выходило, что закон исключенного третьего все же сохраняет свое значение.

Под влиянием Брауэра Вейль впоследствии отказался от этой своей точки зрения. Именно потому, что невозможно рассмотреть все числа бесконечного ряда для получения общего суждения о числах, необходимо исследовать не отдельные числа, а самое сущность числа. Если построение выполнено, если доказательство проведено, то мы вправе сказать, что закон, обладающий свойством ?, существует (см. 5, 103). При этом отрицательное суждение, будто такого закона нет, становится бессмысленным. Если, далее, отрицательное суждение мы выразим в утвердительной форме и соответственно скажем, _что всякая последовательность обладает свойством ?, то в этом случае под последовательностью мы будем понимать уже последовательность, образующуюся посредством свободных актов выбора. Тогда можно приписывать становящейся последовательности и свойство ?, и свой ство Е. Тогда возможен случай, что в самой сущности последовательности, где каждый акт выбора свободен, заключается то, что она обладает свойством Е. Тогда мы вправе, если получен некоторый закон, утверждать уже без проверки, что последовательность, определяемая этим законом, не обладает свойством Е. Но совокупность случаев, в которых имеет силу или утверждение, что существует последовательность, обладающая свойством Е, или утверждение, что каждая последовательность обладает свойством Ё, сама по себе неопределенна. Поэтому полная дизъюнкция здесь не применима, то есть закон исключенного третьего не имеет силы. Тогда обе рассмотренные возможности уже не стоят одна против другой как утверждение и отрицание: отрицание первой так же

272

бессмысленно, как и отрицание другой. Здесь не может быть утвердительного (или отрицательного) ответа ни в том случае, когда вопрос поставлен относительно повторяющегося (как угодно часто) применения конструктивных принципов, ни в том, когда вопрос поставлен о процессе перехода (тоже как угодно частого) от одного числа к ближайшему, за ним следующему (см. 5, 107).

«Интуиционизм» меняет взгляд на природу общих суждений в математике. Отрицание общего суждения оказывается невозможным. Отрицать общее суждение - значит доказать некоторую теорему о существовании. Но такое суждение о существовании (например, «существует четное число»), по уверению Вейля, ничего не выражает. Это не настоящее суждение, а то, что Вейль называет «абстракцией суждения». Настоящим суждением будет, например, суждение: «2 - четное число». Свойство «быть четным числом» может быть определено только при помощи полной индукции, на основе умозаключения от n к п+1. Общее суждение есть суждение гипотетическое, а не суждение о том, какова некоторая сама по себе существующая объективная ситуация. Определенное суждение получается из общего лишь в применении к единичному, определенному заданному числу. Основой всеобщности является само определение, и уже исходя из всеобщности движутся дальше при посредстве полной индукции. Именно принцип полной индукции служит для определения и вывода. Эту роль он выполняет не тогда, когда он применяется в качестве формулы, а тогда, когда последовательно применяется в конкретных случаях. И именно принцип полной индукции, по выражению Вейля, «представляет собой собственную и единственную силу математики» (5, 77). Высказанный впервые в явном виде Блезом Паскалем в 1654 г. и Яковом Бернулли в 1686 г. принцип полной индукции «приносит с собою в математические доказательства совершенно новый и своеобразный момент, чуждый аристотелевой логике, и он-то и составляет подлинную душу искусства математического доказательства» (5, 61). Или, как

273

говорит об этом Вейль в другом месте, «узрение сущности (Wesenseinsicht)», из которого проистекают все общие суждения, опирается всегда на так называемую полную индукцию. Она не нуждается в дальнейшем обосновании, да и не способна к нему, ибо она есть не что иное, как математическая первоинтуи-ция итерации (правило действия «еще один раз») (см. 5, 109). «Мы не в состоянии.., - утверждает Вейль, - свести определение на основе полной индукции к чему-то более изначальному. Ряд натуральных чисел и содержащаяся в нем интуиция итерации составляет последнее основание математического мышления» (5, 98).

Согласно воззрению «интуиционизма», именно полная индукция ограждает математику от превращения в чудовищную тавтологию и сообщает ее положениям не аналитический, а синтетический характер. Метод полной индукции не только основная черта математического мышления. Он пронизывает собой всю математику, начиная от элементарной и проективной геометрии. Его роль в этих частях математики маскируется лишь наивностью, с какой в них применяются к точкам термины «все» (квантор общности) и «существует» (квантор существования) (см. 5, 88).

Воззрение «интуиционизма» должно было стать и стало в оппозицию к понятию Кантора об актуальной бесконечности. И это понятно. Теория множества - в ее канторовской форме - целиком покоится на понятии актуально бесконечного. Огромная притягательность этой концепции состояла в том, что она казалась способной окончательно и нерушимо обосновать математический анализ во всех его частях. Больше того. Теоретико-множественный метод победоносно овладел не только всей областью анализа, но также и учением о натуральных числах - начальной частью математики.

«Интуиционизм» исключал понятие о бесконечности как о завершенной, замкнутой и самодовлеющей совокупности объектов. Согласно «интуиционизму» (второй и третий принципы так называемого конструктивного познания Вейля), понятия математики в

274

известной мере самостоятельны по отношению к действительности и допускают свободное оперирование. Они не извлекаются каждое по отдельности, а относятся к «фону» многообразия возможностей. Это многообразие, разворачивающееся в бесконечность, может быть упорядоченным по некоторому определенному принципу.

Совершенно иначе мыслит Кантор. Для него закономерно возникшая последовательность чисел, развертывающаяся в бесконечность, превращается в замкнутую совокупность не становящихся, а неподвижно пребывающих предметов. Теория множеств рассматривает в качестве замкнутой совокупности существующих самих по себе предметов не только числовой ряд, но и совокупность его подмножеств. Именно поэтому она, по словам Вейля, «целиком базируется на почсе актуально бесконечного» (5, 73).

Если множество конечно и состоит из отдельных заданных предметов, то мы еще можем путем последовательных актов выбора составить и пересмотреть все возможные его подмножества. Принцип «интуиционизма» останется ненарушенным. Но если множество бесконечно, то абсолютизирующая концепция существования не может быть применена к подмножествам. Такое применение еще менее возможно, чем применение ее к элементам. Математика может иметь дело только с такими подмножествами, которые определены закономерным образом на основании какого-нибудь свойства, характерного для их элементов. Абсолютизирующая математическая мысль совершает, согласно взгляду Вейля, переход к «трансцендентному». Поэтому Вейль полагает, что теоретико-множественное обоснование представляет собою «стадию наивного реализма, не осознающего содеянного им перехода от данного к трансцендентному» (5, 90). Но даже если бы этот переход был осознан, он и в этом случае был бы невозможен. Согласно «интуиционизму», «трансцендентное» никогда не может попасть в сферу действия нашей созерцающей интуиции. Представление, будто интуиция способна овладеть областью «трансцендентного», Вейль назы-

275

вает «мистическим». Поэтому теория множеств «никоим образом не является основанием математики» (5, 120). Поистине изначальна в математике всеобщность арифметики и анализа. И эта всеобщность, утверждает Вейль, «опирается на свой собственный интуитивный фундамент и потому заполнена самостоятельным интуитивным содержанием» (5, 120).

В отличие от «интуиционизма» аксиоматический формализм Гильберта пытается «оставить позади себя» содержание, непосредственно данное в интуиции, и представить средствами математики «трансцендентное». Но он может представить его только посредством системы символов.

Сказанным определяется отношение «интуиционизма» к аксиоматическому формализму Гильберта. Этот формализм сводит математическое мышление к поискам следствий, логически вытекающих из принятых посылок. Но «интуиционизм» отвергает такую теорию математического исследования. «Математика, - говорит Вейль, - вовсе не состоит в том, чтобы развивать по всем направлениям логические выводы из данных предпосылок; нет, ее проблемы ставятся интуицией, жизнью научного духа, и эти проблемы нельзя разрешать по установленной схеме вроде арифметических школьных задач. Дедуктивный путь, ведущий к их разрешению, не предуказан, его требуется открыть, и в помощь при этом нам служат обращения к мгновенно прозревающей многообразные связи интуиции, к аналогии, к опыту» (5, 53). В математике невозможно дать описательную характеристику всего бесконечного многообразия отдельных структур - характеристику, которая была бы независима от способа конструктивного порождения этих структур. По выражению Вейля, мы «не обладаем истиной, мы завоевываем ее путем активного действия» (5, 46). Или, говоря иначе, не существует ни одного определяемого описанием (дескриптивного) признака для предложений, доказуемых из данных предпосылок, - математика неизбежно должна пользоваться построением.

276

Рассмотренный взгляд на роль интуиции в обосновании и построении математики не есть только гносеологическое убеждение (или мнение) некоторых математиков, именуемых «интуиционистами». Кроме гносеологического смысла он имеет смысл специально математический. В качестве математического принцип «интуиционизма»: 1) заключается по существу во взгляде, что в математике доказанными могут считаться только такие положения, к которым приходят в результате осуществленного построения или по крайней мере на основе воззрения, указывающего принципиальную возможность такого построения; 2) утверждает, что основанием и наиболее специфическим для математики принципом является принцип полной индукции, не выводимый логически и открывающийся только в непосредственном интеллектуальном усмотрении.

Основополагающее значение построения для интуиционистской математики побуждает некоторых крупных математиков этого направления предпочитать для его логики наименование не «интуиционистской», а «конструктивной». Термин «конструктивная» логика предпочитают математики и математические логики советской школы - академик А. Н. Колмогоров и другие. Это предпочтение мотивируется желанием отмежевать математический «интуиционизм» от направления, которое они называют философским интуиционизмом (лучше было бы назвать его «философским интуитивизмом»). Так, В. А. Успенский, редактор русского перевода книги американского математика Стефена К- Клини «Введение в метаматематику», в примечании пишет: «...употребление многими авторами... терминов «интуиционистская математика», «интуиционистская логика» и т. п. следует признать не совсем удачным, поскольку охватываемое этими терминами положительное содержание не имеет обычно... никакого отношения к философии интуиционизма» (см. 9, 49).

Действительно, математический «интуиционизм» вовсе не есть философское направление. Он имеет специфическое математическое содержание, независц-

18 Зак. 195 277

мое от философии и ни в какой мере не подлежащее ее опеке. Но если «интуиционизм» не имеет «ничего общего» с философским интуитивизмом, например, Бергсона, или Н. О. Лосского, или С. Л. Франка, или даже Гуссерля, то это вовсе не значит, что в конструктивной математике нет понятия об интуиции или что это понятие не играет в ней никакой существенной роли. Понятие это вполне правомерно. Как понятие о непосредственном знании, о непосредственном усмотрении ума понятие «интуиции», само по себе взятое, не характеризует ни в какой мере принадлежность философии (или науки), в которой он используется, к идеализму или материализму (в философском смысле). Оно так же мало характеризует ориентировку среди философских направлений, подобно тому как понятия «опыт» или «идея», сами по себе взятые, не могут рассматриваться в качестве признаков идеалистического или материалистического направления тех учений, в которых эти понятия встречаются. Было бы по меньшей мере странно отказаться, например, от понятия «опыт» только на том основании, что существует идеалистическое - берклеанское, юмистское, махистское и т. д. - понимание опыта, И было бы не менее странно надеяться на то, что «интуиция», о которой говорят Брауэр, Вейль и другие математики «интуиционистского» направления, перестанет быть интуицией, как только мы начнем называть ее вместо «интуиции» «построением». И в том и в другом случае «интуиция» будет непосредственным, логически не обоснованным усмотрением ума, начальным актом познания, приводящим к обладанию математической истиной (такова, например, интуиция, посредством которой усматривается принцип полной индукции). И в том и другом случае речь идет не о том, допустимо ли понятие об интуиции, а только о том, будет ли интуиция мыслиться в идеалистической или в> материалистической интерпретации этого понятия, вполне правомерного и даже необходимого.

Брауэр и Вейль толкуют это понятие идеалистически. Более того, их философское учение об интуиции отличается идеалистической воинственностью. Но уче*

278

ние Брауэра и Вейля только первый этап в интерпретации математического понятия об интуиции. Иную интерпретацию это понятие получило в советской школе «конструктивизма», которая свидетельствует о том, что истинно научной философской основой математического интуиционизма может и должен быть материализм. Это важнейшее обстоятельство необходимо иметь в виду при чтении последующих страниц нашей работы, хронологические рамки которой позволяют нам рассмотреть лишь раннюю стадию интуиционизма. Философский идеализм этой стадии- особенность, только ей свойственная. Как явление философии этот интуиционизм остался тесно связан с кризисом, какой породили в капиталистических странах сами успехи науки в начале XX в.

Рассматривать «интуицию» Брауэра, Вейля и их сторонников как чисто математическое понятие можно было бы - да и то лишь в известном смысле - только при условии, если бы, констатировав интуитивный характер, например, принципа полной индукции, они начисто отказались от каких бы то ни было философских, гносеологических выводов, связанных с этим понятием. В этом случае математики-«интуи-ционисты» рассуждали бы примерно так: «Мы не знаем, и, по правде, нас не интересует, каким образом в результате эволюции человеческого интеллекта и в какой зависимости от развития материальной практики возникли, могли возникнуть непосредственные усмотрения математически мыслящего ума, именуемые «интуициями». Мы знаем, что такие усмотрения существуют, и, зная это, исследуем, каким образом они действуют при обосновании и построении математики и ее специальных дисциплин. Ограничивая математику тем, что может быть добыто в результате первичной интуиции полной индукции, а также в результате осуществимых и осуществленных построений, мы даем математике обоснование более строгое, чем в доинтуиционистской математике. Мы освобождаем математику от парадоксов и от логических антиномий, вошедших в нее после того как была сделана попытка развить всю математику на основе канто-

18* 279

ровской теории множеств с центральным для нее понятием актуально бесконечного». Однако Брауэр и Вейль так не поступили. В развитой ими концепции интуиции математическое содержание оказалось смешанным с содержанием философским. Понятие интуиции в математическом смысле сочеталось у них с точкой зрения гносеологического идеализма. Задуманная как реформа математики математическими же средствами, их теория «интуиционизма» оказалась насквозь пропитанной идеалистическимипредрассудками.

Эти две стороны «интуиционизма» необходимо отличить и отделить друг от друга. Такое разграничение выявит непререкаемую значительную ценность, какую «интуиционизм» представляет для научного обоснования математики. Вместе с тем разграничение математического и философского аспектов «интуиционизма» выявит философскую слабость идей Брауэра и Вейля, несостоятельность их гносеологической интерпретации «интуиционизма».

Понятие «интуиции» - неотъемлемый элемент математики «интуиционизма»; оно имеет свои математические результаты. Ограничение математического мышления тем, что ему дает осуществленное построение («конструкция»), исходная интуиция полной индукции, отказ от канторовского актуально бесконечного и от принципа исключенного третьего классической аристотелевской логики, во-первых, содействует освобождению математики от кризисного состояния, которое наступило после развития теории множеств и канторовской доктрины актуальной бесконечности. Во-вторых, это ограничение не препятствует развитию - на «интуиционистской» основе - во многом более строгих, чем до Брауэра, и по-новому разработанных теорий. В специальной области математики «интуиционизм» дал важные конструктивные результаты. Ограничение математики положениями, которые могут быть добыты с помощью построения, опирающегося на «праинтуицию» принципа полной индукции, отказ (при переходе из сферы конечных множеств в область бесконечных множеств) от принципа исключенного третьего, правда, сузили часть математики,

280

допускающую строгое обоснование. Но зато математике перестали угрожать парадоксы (антиномии), неизбежно возникающие в ней при теоретико-множественном обосновании ее учений. «Изгнание» актуально бесконечного привело к новой разработке теории множеств. Заново была решена труднейшая проблема континуума - на основе отказа от представления о континууме как о чем-то готовом, состоящем из отдельных (атомарных) элементов. В понятие о континууме был введен принцип «становления». В нем каждую из его частей стали рассматривать как неограниченно делимую, а понятие точки - как понятие о пределе продолжаемого до бесконечности деления. Фундаментальное значение для теории континуума приобрело понятие «обладания частями».

Интуиционистская критика проникла в область арифметики и алгебры, усовершенствовала доказательства существования корня алгебраического уравнения: внесла уточнение в классическое понятие сходимости рядов и разработала различные части теории рядов; обработке (в плане «интуиционизма») подверглась теория функций комплексного переменного; уточнения были достигнуты в понятии о множестве, что дало возможность разработать важные разделы теории множеств, в частности радикально уточнена была теория «мощностей»; в теории «полной упорядоченности» и в исследованиях «точечных видов» были получены результаты, позволившие Брау-эру приступить к исследованию (на основе принципов «интуиционизма») теории функций, и т. д. и т.п.

За время, протекшее с начала возникновения математического «интуиционизма» до исхода 20-х годов, исследования частей и учений математики, допускающих применение «интуиционистских» методов, значительно продвинулись и расширились. Во «Введении в метаматематику» (которая, впрочем, не совпадает с «интуиционистской» математикой) Клини широко и обстоятельно освещает последующее проникновение «интуиционизма» в математику и ее теории, а также достигнутые при этом ценные результаты. Бесспорно успешной и плодотворной была в «интуиционизме»

281

критика «формализма». «Интуиционизм» представил убедительные доказательства невозможности чисто формалистического обоснования математики, доказал необходимость содержательной математики. Принципиальное значение получило предложенное «интуи-ционистами» решение вопроса о возможности доказательства непротиворечивости. Доказуемость эта - краеугольное условие формалистического обоснования математики. Однако «интуиционисты» показали, что для доказательства непротиворечивости необходимо применение полной индукции, полная же индукция опирается на интуицию. Фундаментальным событием явилось доказательство австрийским математиком Гёделем известной теоремы, названной «теоремой Гёделя». Согласно этой теореме, в каждой математической системе, для которой имеется доказательство ее непротиворечивости и которая содержит теорию чисел, фигурируют положения, в этой системе недоказуемые, но доступные доказательству по принципам «интуиционизма». Особенно важно учесть при оценке математического содержания «интуиционизма», что «интуиционистская» критика и теория развивались отнюдь не с позиций борьбы против логики, а, напротив, во имя более строгого в логическом отношении обоснования математики. «Интуиция» «ин-туиционистов» - это не алогическая интуиция Бергсона, а метод непосредственного интеллектуального усмотрения в математике. В сущности то, что Брау-эр понимает под «интуицией», есть, по выражению Гейтинга, только «способность раздельного рассмотрения определенных понятий и выводов, регулярно встречающихся в обыденном мышлении» (7, 20).

Но, как было уже указано, ни Брауэр, ни Вейль не остались в пределах «интуиционизма» как только математического учения. В их работах «интуиционизм», конечно, не только учение о роли построения в математическом доказательстве. В их математические понятия «интуиции», «свободного становления» и т. д. вторгается определенное философское содержание. Нельзя сказать, что оно вторгается непроизвольно и что Брауэр и Вейль сами не понимали, что означала их позиция в

282

философском смысле, В той мере, в какой они опирались на философию, они сознательные идеалисты.

Вейль прямо признает, что он принимал участие в борьбе противоположных сторон - не только противоположных математических школ, но и противоположных философских направлений. Он разъяснил, что в борьбе математических сторон кроется не только математическое содержание: «Здесь в новой и в высшей степени обостренной форме находит свое выражение издревняя противоположность между реализмом (материализмом. - В. А.) и идеализмом» (5, 33). При этом сам Вейль целиком на стороне идеализма. И не только «на стороне». В само содержание математических учений «интуиционизма» он вносит активную идеалистическую философскую интерпретацию. Он подчеркивает идеалистический смысл воззрений Брауэра, основателя «интуиционизма». «В изложении Брауэра, - пишет Вейль,- математика приобретает максимальную интуитивную ясность, учение его является продуманным до самого конца математическим (следовало бы сказать «философским».- В. А.) идеализмом» (5, 26).

Идеализм здесь не в том, что основой принципа полной индукции «интуиционисты» считают интуицию, то есть непосредственное, логически не выводимое усмотрение ума. «Непосредственность» некоторых истин могут признавать и признавали также и. материалисты. Выше мы указали как на пример на Фейербаха. В первичной математической интуиции Брауэр и его последователи видят не результат развития предшествующей («доматематической») практики, отражающейся в сознании и отражающей коренные отношения и свойства вещей, а абсолютно спонтанное действие и проявление изначальной свободы человеческого духа. Тезис этот провозглашался и повторялся в различных сочетаниях бездоказательно. Он не вытекает из взгляда Брауэра, согласно которому математика есть «деяние», а не «теория» 1.

1 Верно и остроумно заметила по поводу этого утверждения проф. С. А. Яновская: «Как будто для действования не нужна теория!» (22, 94).

283

В редукции математических доказательств Брауэр и Вейль доходят до интуитивного фундамента полной индукции и рассматривают ее как математическую «праинтуицию». Как математики, они имеют право поступать таким образом. Математики не обязаны исследовать вопрос о том, как получаются понятия, которые они кладут в основу доказательств математической науки в качестве исходных и недоказуемых. Но как философски мыслящие математики (а они сами себя считают такими) «интуиционисты» не имеют права на этом останавливаться. Они обязаны, дойдя до «праинтуиции» математики, вести свою редукцию дальше «назад». Они обязаны ответить на вопрос о генезисе самой этой «праинтуиции». Они обязаны точно и обстоятельно разъяснить, в чем состоят признаки «интуитивной ясности», на которую они постоянно ссылаются, но которая без соответствующих разъяснений легко может быть смешана с субъективной «оценкой» сознания, лишенной общезначимого и, следовательно, научного содержания.

Что «интуиционистскому» понятию интуитивной ясности можно предъявить этот упрек, видно из той критики, какой сами «интуиционисты» подвергли кан-торовскую актуальную бесконечность. Основанием этой критики стало для них положение, будто в математике невозможно осуществить построение, которое сделало бы нас обладателями интуитивно ясного понятия о бесконечности как о бесконечности завершенной, сполна данной, предлежащей уму.

Мы показали выше, что, вводя в учение о множествах понятие актуальной бесконечности, Кантор, далекий от «интуиционизма» и даже избегающий прямых ссылок на интуицию, не ограничивается разъяснением, что понятие об актуально бесконечном он вводит посредством точного определения. Он указывает, что понятие это представляется его уму в своем объективном содержании совершенно непосредственно и с полной внутренней -ясностью. - Но эта характеристика совпадает с «интуиционистской» характеристикой интуиции. Актуально бесконечное Кантора - объект интеллектуальной интуиции ничуть не меньше»

284

чем конструктивные результаты «интуиционистов». Почему же в таком случае это канторовское понятие отвергается, признается неосуществимым в мысли?

Канторовская интуиция актуальной бесконечности лишена обязательности в глазах «интуиционистов». Они отказались признать за ней непосредственность и совершенную ясность внутреннего видения, на которые ссылался, как мы видели, Георг Кантор. Это разногласие существенно не только для математики, но и для .гносеологии. Оно показывает, что в самом понятии интеллектуальной интуиции не было безусловной ясности и существовала возможность, а следовательно, и опасность субъективной иллюзии. И это не удивительно. Ссылка на непосредственность интеллектуальной интуиции используется в редукции математического обоснования. Но она не может быть последней инстанцией в философской редукции происхождения знания. Для· гносеологического объяснения интеллектуальная интуиция не беспредпосылоч-ное абсолютное начало знания, а его среднее звено. Бго последующие звенья - положения, обосновывающиеся на интеллектуальной интуиции. Его первичное звено, составляющее предмет исследования уже не математики и вообще не специальных наук, а теории познания, - материальная практика общественного человека в ее историческом развитии. Интуиция как функция человеческого познания имеет свою историю. Корни этой истории глубоко уходят в почву практики. По верному разъяснению итальянского математика и логика Энрикеса, первоначальные математические интуиции, например в геометрии, «возникли путем идеализированного опыта, который неоднократно повторялся при состоянии интеллекта, предшествовавшем полному развитию сознания» (6, 16).

Без обращения к гносеологическому критерию практики исходное для «интуиционизма» Брауэра и Вейля понятие интуиции становится шатким. На нем могут'быть основаны только субъективные построения, а не система объективного научного знания. Возникает оправданное сомнение в способности «интуиционистов» убедить нас в том, что результаты их

285

построений - нечто большее, чем субъективное творчество, что они составляют науку. Выходит, что отказ «интуиционистов» признать правомерность чрезвычайно обширных и хорошо разработанных частей математики как не допускающих «интуиционистского» («конструктивного») обоснования - отказ, мотивированный строгостью логических требований, сочетается с далеко не строгой и не ясной выработкой центрального для всей этой школы понятия - понятия самой интуиции. Поле исследований, взывающих к точности и безупречной логической строгости, обволакивается туманом субъективистской неопределенности. Первые «интуиционисты» остались в плену своего идеализма- вполне догматического и метафизического.

Их идеализм был не только догматичен и не только метафизичен по методу, неспособному применить генетическую точку зрения к самому явлению интуиции в человеческом мышлении. Он, кроме того, был агрессивен по своей направленности и нетерпим. Правильно утверждая, что построение в математике подчиняется логике решения проблем, отличной от классической, «интуиционисты» типа Брауэра и Вейля полагали, будто только эта логика имеет право на признание в математике. Вразрез с этой точкой зрения академик А. Н. Колмогоров показал, что между принципами классической логики и принципами «конструктивной» логики «интуиционизма» не существует отношения исключающего противоречия: «интуиционистская» логика есть логика новой и особой области исследования, ею не исключаются принципы доинтуи-ционистской логики; они лишь подвергаются ограничению там, и только там, где это ограничение вызывается своеобразием исследуемой области объектов1.

1 Об этом А. Н. Колмогоров писал уже в 1932 г.: Kolmogoroff, Zur Deutung der intuitionistischen Logik, «Mathematische Zeitschrift № 35, S. 58-65; ср. В. Главен/со, Кризис основ математики на современном этапе его развития. «Сборник статей по философии математики», М, 1936, стр. 83.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Трудности и противоречия, таящиеся в понятии интуиции, могут быть разрешены только в теории познания и диалектической логике современного диалектического материализма.

Уже в системах немецкого классического идеализма, и прежде всего в философии Гегеля, проблема непосредственного знания впервые в истории йовой философии ставилась как проблема по существу диалектическая. Непосредственное знание исследовалось не в его отрешенности от знания опосредствованного. Действительное постижение рассматривалось как единство противоположностей непосредственного и опосредствованного знания. Непосредственное усмотрение истины, например в аксиомах, толковалось как результат, которому предшествует опосредствование.

Однако развитая Гегелем диалектика непосредственного и опосредствованного знания оставалась насквозь идеалистической. Под опосредствованием знания Гегель понимает главным образом опосред-ствованность одних мыслей другими мыслями, предшествующими им по обоснованию. В конце концов Гегель остался далеким от понимания того, что опосредствование знания есть в первую очередь опосредствование мыслей не мыслями, а материальной практикой общественного человека. Такое понимание опосредствования впервые было развито только в философии диалектического материализма.

Марксистская диалектика дает и компас для исследования, и критерий для оценки положительного

287

и отрицательного содержания в идеалистических теориях интуиции.

На первый взгляд могло бы показаться сомнительным, имеются ли в работах Маркса, Энгельса и Ленина суждения и исследования, достаточные для характеристики их взглядов по вопросу об интуиции. В широко ныне известных философских работах классиков марксизма-ленинизма самый термин «интуиция», как правило, не встречается. Однако это вовсе не значит, будто в этих работах не исследуется вопрос об интуиции. Дело в том, что слово intuitus, intuitio, посредством которого выражается мысль о непосредственном знании, далеко не всегда передается посредством латинского термина «интуиция». Оно передается как по-немецки, так и по-русски также терминами «созерцание», «видение», «усмотрение» или даже просто термином «непосредственное знание». Поэтому если в сочинениях Маркса и Энгельса не встречается термин или слово «интуиция», то это вовсе не значит, что в этих сочинениях не рассматривается сама проблема интуиции. Проблема эта рассматривается (например, в «Диалектике природы» Эн/гельса) как вопрос об отношении знания непосредственного к опосредствованному, об их взаимной связи, об их диалектике.

В проблеме интуиции, как и в других проблемах теории познания, следует различать, как мы уже отчасти показали, два вопроса: 1) вопрос о факте существования интуиции и 2) вопрос о правильном объяснении этого факта. Существует ли интуиция, иными словами, непосредственное познание как некий факт познания или такого факта нет и всякое знание может быть только знанием опосредствованным? Ответ классиков марксизма-ленинизма по первому вопросу утвердительный. Как акт познания интуиция, или непосредственное знание, существует. Имеются положения, истины, аксиомы и т. д., которые - на достигнутом в настоящее время уровне развития мышления - осознаются нами Как истины «непосредственно очевидные», «самоочевидные».

288

Непосредственное в познании марксистская гносеология рассматривает как осознание непосредственности в самом бытии. «Начало, - пишет Ленин по поводу логики «Капитала» Маркса, -самое простое, обычное, массовидное, непосредственное «бытие»: отдельный товар («Sein» в политической экономии)» (3,316).

Однако уже здесь выясняется, что фиксируется это непосредственное бытие отнюдь не только непосредственно. «Непосредственное» бытие товара в плане познания оказывается результатом анализа. При этом самый анализ определяется как «двоякий, дедуктивный и индуктивный, - логический и исторический (формы стоимости)» (3,316). В отличие и в противоположность Гегелю подчеркивается, что условие фиксирования непосредственного бытия товара - практическая проверка: «Проверка фактами respective практикой есть здесь в каждом шаге анализа» (3,316).

Непосредственности бытия соответствует в сознании непосредственность ощущения, например впечатления «красного». Как факт познания чувственная интуиция существует. Но и интеллектуальная интуиция, иначе говоря, непосредственность усмотрений ума, тоже существует как факт познания. В конспекте «Науки логики» Гегеля Ленин отметил, что, например, фигуры умозаключений (логики) закреплены в уме человека как аксиомы, как непосредственно наличные в сознании: «Фигуры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер...» (3, 209).

Но если на вопрос о существовании непосредственного знания марксизм дает утвердительный ответ и в этом существовании видит рациональную основу для учений об интуиции, выработанных классической философией XVII-XIX вв., то в объяснении факта интуиции марксистская диалектика противостоит не только всем теориям интуиции, предложенным метафизиками эмпиризма и рационализма, но также, конечно, и теории Гегеля, то есть истолкованию интуиции, пусть даже диалектическому, но разработанному на основе идеализма. Правда, для объяснения

289

факта непосредственного знания многое было сделано и подготовлено диалектикой Гегеля. Как диалектик, Гегель понял, что вопрос об отношении непосредственного и опосредствованного не может быть поставлен в форме альтернативы: либо непосредственное, либо опосредствованное. «Философы более мелкие, - пояснял Ленин, - спорят о том, сущность или непосредственно данное взять за основу... Гегель вместо или ставит и, объясняя конкретное содержание этого «и»» (3, 122).

Соотношение между непосредственным и опосредствованным знанием определяется в марксистской диалектике принципиальным взглядом марксизма на познание как на процесс, как на движение, как на переход от знания менее глубокого и совершенного к более глубокому и совершенному. Поэтому Ленин принимает в философии Гегеля то, что его «Феноменология духа» рассматривает сознание, говоря словами Гегеля, «в его движении от первого непосредственного противоречия (Gegensatz) его и предмета до абсолютного знания» (см. 3, 84). По Гегелю, только для «чистого бытия» характерно «ничем не быть опосредствованным» (см. 3, 92). Конспектируя «Науку логики» Гегеля, Ленин тщательно выписал и отметил места, где Гегель упрекает предшествующих ему философов - скептиков, Лейбница, Канта, Фихте - в том, что они не способны выйти в познании «за пределы бытия, как ... непосредственности» (см. 3, 120). Таким непосредственным бытием у идеалистов оказываются «монада» Лейбница, «явление» Канта, «непосредственная определенность» фихтевского субъекта.

По Гегелю, знание есть знание «истины бытия», то есть его «сущности». Это положение Гегеля, само по себе взятое, есть, по Ленину, «фраза, звучащая идеалистически насквозь, мистикой» (3, 117). Однако Ленин отмечает, что этим положением Гегель не ограничивается. «... Сейчас же за этим, - пишет Ленин,- начинается, так сказать, свежий ветерок» (3, 117). А именно: по разъяснению Гегеля, знание «не останавливается на непосредственном и его определе-

290

ниях...» (см. 3, 117). Истинное познание есть «опосредствованное знание...» (см. 3, 117).

Во всех теориях интуиции - будь то интуиция Декарта, Шеллинга, Спинозы или Шопенгауэра - материалистическая диалектика вскрывает основной и неустранимый порок: статичный взгляд на знание как на неподвижное, застывшее созерцание, осуществляющееся либо чувственностью, либо рассудком в качестве непосредственно - и только непосредственно - данного. Напротив, марксизм исходит из замысла включить жизнь в самое логику, понятую в этом случае как процесс отражения объективного мира в сознании человека и как процесс проверки этого сознания практикой. Именно подход к этой мысли - правда, подход в плане идеализма - Ленин находил в «Науке логики» Гегеля. «Мысль, - писал Ленин,- включить жизнь в логику... гениальна - с точки зрения процесса отражения в сознании (сначала индивидуальном) человека объективного мира и проверки этого сознания (отражения) практикой...» (3, 193).

Но в отличие от Гегеля и в противоположность Гегелю, для которого процесс познания по сути мог быть только движением мысли, а практика - главным образом движением от мысли к мысли, Ленин понимает процесс познания как процесс, «включающий практику человека и технику» (3, 192).

Этим пониманием познания предопределяется и решение вопроса об отношении непосредственного знания и знания опосредствованного. Так как, рассматриваемое в целом, познание есть движение и процесс, в котором каждое звено обусловлено и опосредствовано предшествующими ему звеньями, то для знания в целом характерна не непосредственность, а именно опосредствование. И хотя познание есть «отражение человеком природы», но это «не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов...» (3, 173). Именно познавательный подход ума человека к отдельной вещи не есть «простой, непосредственный, зеркально-мертвый акт...» (3, 370). Именно потому, что познание есть процесс, «отражение при-

291

роды в мысли человека надо понимать не «мертво», не «абстрактно», н е без движения...» (3, 186).

В свете основных положений материалистической диалектики признание существования непосредственного (интуитивного) знания сопровождается важными разъяснениями.

Первое разъяснение состоит в указании, что непосредственным (в строгом смысле слова, то есть отвлекаясь от интеллектуальной интуиции) может быть лишь начало познания, говоря конкретно, лишь ощущение, в котором марксистская диалектика видит источник всякого возможного знания. Только в начале своего процесса познание может быть характеризовано как непосредственное. «Понятие не есть нечто непосредственное.., - подчеркивал Ленин, - непосредственно только ощущение «красного» («это - красное») и т. п.» (3, 276).

Действительно, всеобщий ход человеческого познания и, следовательно, ход всей науки состоит, как показывает Ленин, в том, что «понятие (познание) в бытии (в непосредственных явлениях) открывает сущность (закон причины, тождество, различие...)» (3, 314). Все эти «шаги, ступени, процессы» познания «направляются от субъекта к объекту, проверяясь практикой и приходя через эту проверку к истине» (3, 315).

Как принципиальное положение, заслуживающее особого внимания, Ленин отмечает «нотабеной» (N3) утверждение Гегеля, согласно которому «иег ничего ни на небе, ни в природе, ни в духе, ни где бы то ни было, что не содержало бы вместе и непосредственности и опосредствования» (см. 3, 91). Все «опосредствовано, связано в едино, связано переходами» (3, 91). Справедливое прежде всего относительно бытия, это утверждение столь же справедливо и в отношении познания. Главная задача логики не фиксирование формы неподвижных непосредственных созерцаний, или формы интуиции, а переходы, то есть опосредствование понятий. Эти переходы обнаруживаются в логике, говорит В. И. Ленин, не как имманентное сознанию движение одних мыслей, а «как от-

292

ражения объективного мира» (3, 188). «Диалектика вещей создает диалектику идей, а не наоборот» (3,188).

Уже Гегель указывал, что «различные виды бытия требуют свойственных именно им видов опосредствования или содержат их в себе; поэтому и природа доказательства относительно каждого из них различна» (см. 3, 137). Та же мысль о соответствии форм опосредствования и доказательства различным отношениям между фактами бытия привлекла внимание В. И. Ленина при чтении книги А. Рея «Современная философия». В конспекте этой работы Ленин отметил на полях «нотабеной» место, где, объясняя «полезность разума», Рей пишет, что разум, «выводя предложения из предложений.., вместе с тем выводит друг из друга отношения между фактами природы» (см. 3, 412). Именно благодаря признанному марксизмом соответствию форм опосредствования в мышлении формам опосредствования в бытии, именно поэтому в диалектике, которую Гегель оценил как «высшее разумное движение» (см. 3, 95), определения, кажущиеся совершенно раздельными, переходят друг в друга.

Мы рассмотрели первое разъяснение, относящееся к понятию непосредственного знания. Оно гласит, что, будучи началом познания, непосредственное играет роль только такого начала: отправляясь от него, достоверное знание науки и философии развертывается в длинные цепи форм опосредствования и доказательства.

Но в марксизме содержится и другое разъяснение относительно понятия непосредственности - разъяснение, еще более важное для знания. Оно состоит в том, что с точки зрения марксистской материалистической диалектики «непосредственность» знания - даже там, где она налицо, - лишена безусловного значения. Конечно, некоторые знания, некоторые истины осознаются только как «непосредственные». В качестве таких они осознаются теми, кто просто мыслит эти положения и истины, не отдавая себе отчета в их происхождении и в их связи с другими

293

истинами. Однако «непосредственность» эта, повторяем, не безусловная. Познание есть процесс, движение, переход, и к истинам, которые в настоящее время осознаются как «непосредственные», как «самоочевидные», знание пришло и приходит в результате долгого опосредствования материальной практикой. Практика эта - практика в широком смысле слова, в который включается и техника. Поэтому непосредственность некоторых положений не безусловное начало знания. Непосредственные истины непосредственны лишь по отношению к тем истинам, которые на них опираются и которые из них выводятся. Но, рассматриваемые сами по себе, непосредственные истины не начало, не первично данное, а результат, итог предшествующего им опосредствования. Среда и орудие этого опосредствования - практика.

Подход (но не более как подход) к мысли о роли практики в опосредствовании знания Ленин отмечает у Гегеля. Однако у Гегеля результат исследования не дает истины вследствие превратности гегелевской идеалистической философии rf идеалистического метода. Для Гегеля «фигура логики инобытием своим имеет практику человека». Напротив, для диалектического материализма «практика человека, миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании человека фигурами логики» (3,209).

Только в диалектическом материализме проблема соотношения непосредственного и опосредствованного знания впервые получила правильное решение. Диалектика непосредственного и опосредствованного знания пролила свет научного объяснения на трудный, мистифицированный идеализмом вопрос о характере аксиоматического знания. Уже Гоббс и Лейбниц отказались от взгляда на аксиомы как на истины, безусловно непосредственные и потому самоочевидные, не требующие доказательства и не поддающиеся доказательству. Но, будучи оба метафизиками и развивая один метафизическое воззрение механистического материализма (Гоббс), другой столь же метафизическое воззрение объективного идеализма (Лейбниц), они не дошли до понимания диалектики непосред-

294

ственного и опосредствованного знания. Лейбниц искал объяснения безусловной непосредственности некоторых рациональных истин, а также обоснования всеобщего и необходимого знания в учении гносеологического и логического априоризма, Гоббс- в номиналистической теории языковых знаков.

По отношению к метафизикам XVII-XVIII вв. взгляд Гегеля на непосредственное знание был огромным шагом вперед. Этот прогресс был обусловлен тем, что в объяснении отношения непосредственного и опосредствованного знания Гегель усмотрел проблему диалектики. Поэтому там, где метафизика, рассматривая, например, категории, ограничивается кон* статированием непосредственных моментов знания, трактует их как ни к чему не сводимые и ничем не опосредствованные, Гегель, напротив, видит также и их опосредствованность.

Марксизм применяет диалектику непосредственного и опосредствованного очень широко, ко всем категориям познания. Так, при анализе отношения между причиной и действием, иначе при исследовании причинного взаимодействия, первым бросается в глаза непосредственность этого отношения. Причина и действие непосредственно мыслятся как противоположности, и только как противоположности. Но это лишь иллюзия метафизического образа мышления. Как только мы становимся на диалектическую точку зрения, разъясняет Ф. Энгельс в «Диалектике природы», «неподвижные противоположности основания и следствия, причины и действия, тождества и различия, видимости и сущности не выдерживают критики.., в определенной точке один полюс превращается в другой...» (1, 159). Диалектика, «которая переводит друг в друга неподвижные метафизические различия.., опосредствует противоположности...» (1, 167). В этих рассуждениях Энгельса мы видим яркий образец понимания диалектики непосредственности и опосредствования. Не отрицая самого факта существования категорий, положений, истин, которые, в то время когда они мыслятся, представляются уму в качестве «непосредственного» знания, марксистская материа-

295

листическая диалектика показывает связь этой «непосредственности» с опосредствованием. Она выясняет обусловленность этого опосредствования практикой, материальной деятельностью. Марксистская диалектика лишила понятие «интуиции», или непосредственного знания, каких бы то ни было признаков мистики, сняла с несо покров сверхчувственного, каким оно облекалось в идеалистических системах и даже в учениях метафизических материалистов, не понимавших диалектики непосредственности и опосредствования. Гносеологические исследования Ленина представляют дальнейшее развитие точки зрения, высказанной основателями марксизма по вопросу о непосредственном знании. Мы показали, что уже Энгельс дал принципиальное решение вопроса об отношении непосредственного и опосредствованного знания. Он выступил по этому вопросу и в связи с поднятой им (в заметках о математике) проблеме происхождения аксиом. Энгельс разъяснил, что самоочевидность аксиом мнимая. «Современное естествознание,- писал Энгельс, - признает наследственность приобретенных свойств и этим расширяет субъект опыта, распространяя его с индивида на род: теперь уже не считается необходимым, чтобы каждый отдельный индивид лично испытал все на своем опыте... Если, например, у нас математические аксиомы представляются каждому восьмилетнему ребенку чем-то само собою разумеющимся, не нуждающимся ни в каком опытном доказательстве, то это является лишь результатом «накопленной наследственности»» (1, 213-214). За сжатой формулировкой Энгельса о «накопленной наследственности» кроется та же, что и у Ленина, мысль об опосредствованности аксиом практикой, о миллиардах случаев повторения в опыте, в практике одних и тех же или сходных отношений, которые отлагаются в сознании в форме непосредственно созерцаемых аксиом.

Глубокое и верное учение марксизма об опосредствовании как об основе «непосредственных» усмотрений (интуиции) ума не могло, разумеется, явиться вдруг, как внезапно найденное и ничем не подготов-

296

ленное решение. Диалектика непосредственного и опосредствованного знания - одна из проблем, занимающих философскую мысль начиная от античности вплоть до нашего времени.

Наше рассмотрение окончено. Содержанием его, думается, оправдана задача рассмотрения основных типов учения об интуиции, возникших в философии и в математике. Оправдан и выбор материала. Очерк, разумеется, не дает изложения полной истории вопроса. В нем рассмотрены только наиболее типические и показательные теории непосредственного знания. В их исторической смене отразились подъем и последующий за ним спад буржуазной философской мысли. От метафизического идеалистического рационализма и метафизического материализма через диалектические учения немецкого классического идеализма вплоть до алогизма и иррационализма XX в. - таков путь, пройденный буржуазной гносеологией по вопросу о непосредственном знании.

Вместе с тем очерк наш показал, что значение вопроса о непосредственном знании выходит за пределы одной лишь теории познания и философии. Уже при рассмотрении учений об интуиции, созданных Декартом, Лейбницем, Кантом, выяснилось, что вопрос о непосредственных посылках знания возник у этих мыслителей не только при обсуждении проблем гносеологии. К этому вопросу их привело также и исследование логического строения доказательств в математике и в теоретическом естествознании. Интуиция - понятие не только теории познания Декарта, но также и его теории математической дедукции. То же справедливо и в отношении Лейбница. Даже у Канта, отрицавшего существование интеллектуальной интуиции, мы обнаружили, что в его теории математики значительную роль играют интуиции пространства и времени, правда отнесенные к априорным формам чувственности.

Анализ теорий интуиции, разработанных философами-учеными, в особенности математиками XVII - XVIII вв., делает понятным для нас интерес, который проявили к вопросу об интуиции математики первых

297

десятилетий XX в. И для них проблема интуиции не ограничивалась философией. Она возникала из усилий понять своеобразную природу математического мышления и рассуждения.

Но как бы глубоко ни коренился интерес к интуиции в проблематике самой математики, успехи и неудачи в разработке понятия об интуиции всегда были самым тесным образом связаны с принципиальной философской ориентировкой ученых. За специальными математическими понятиями об интуиции стоят - определяя их силу или слабость, плодотворность или бесплодие - понятия и учения философии, теории познания. Невозможно понять ход развития учений об интуиции в математике (и в других точных науках), не изучая связи этого развития с борьбой материализма против идеализма, диалектики против метафизики. История «интуиционизма» - прекрасное доказательство того, что даже в предельно специальной области знания основные понятия науки осознаются либо на материалистической, либо на идеалистической основе. Вместе с тем выясняется, что в долгом процессе развития проблемы интуиции все реальные удачи и успехи были всегда связаны с победами материализма и диалектики над идеализмом и метафизикой.