Часть 9.

или нет) разрешается на каком-нибудь определенном, достигнутом нами месте последовательности, разрешается при этом так, что, как бы ни происхо-

270

дило дальнейшее развертывание последовательности, за пределами этого пункта ее становления оно не меняет уже результата дизъюнкции» (5, 101).

Какое значение имеет эта точка зрения для математики? Ее значение в том, что не ограниченная никаким законом, свободная в своем развертывании последовательность представляет математические свойства континуума. Оказалось, что над свободными последовательностями можно осуществлять математические операции. Этот «континуум» содержит, правда, отдельные вещественные числа, но не разлагается на сумму «готовых», «предлежащих» вещественных чисел: он представляет, по выражению Вейля, «среду свободного становления».

Интуиционистское понятие «свободного становления» характеризует взгляд интуиционизма на значение для математики логического закона исключенного третьего. Согласно этому закону, утверждение А и его отрицание (Л) не могут быть оба сразу истинными и не могут быть оба сразу ложными. В соответствии с этим вопрос, существует ли последовательность чисел со свойством E или не существует, может быть решен в классической логике и в опиравшейся на нее доинтуиционистской математике только согласно формуле: «да» или «нет», третьего не дано. Пока мы имеем дело с конечными множествами, такое решение представляется неоспоримым. Но как только мы вступаем в область бесконечных множеств, положение радикально изменяется. ДоБрауэра полагали, что и для бесконечных множеств закон исключенного третьего сохраняет свою силу. В своих ранних работах Вейль, до того как он присоединился ко взгляду Брауэра, рассуждал следующим образом. В случае бесконечных множеств мы, разумеется, не в силах найти средства, с помощью которых мы могли бы дать определенный ответ на поставленный вопрос о принадлежности или непринадлежности свойства E бесконечной последовательности. Но и в этом случае дело не в том, что доступно (или не доступно) для нашего познания. Совершенно независимо от того, что может быть установлено нами, натуральный ряд

19* 271

чисел сам по себе таков, что «для всякого свойства ?, имеющего смысл в области чисел, всегда определено, существуют ли числа вида E или не существуют» (5, 105). Хотя бы я не был способен - ввиду бесконечности ряда - решить, как именно обстоит дело, оно во всяком случае обстоит либо так, либо не так (см. 5, 106). Выходило, что закон исключенного третьего все же сохраняет свое значение.

Под влиянием Брауэра Вейль впоследствии отказался от этой своей точки зрения. Именно потому, что невозможно рассмотреть все числа бесконечного ряда для получения общего суждения о числах, необходимо исследовать не отдельные числа, а самое сущность числа. Если построение выполнено, если доказательство проведено, то мы вправе сказать, что закон, обладающий свойством ?, существует (см. 5, 103). При этом отрицательное суждение, будто такого закона нет, становится бессмысленным. Если, далее, отрицательное суждение мы выразим в утвердительной форме и соответственно скажем, _что всякая последовательность обладает свойством ?, то в этом случае под последовательностью мы будем понимать уже последовательность, образующуюся посредством свободных актов выбора. Тогда можно приписывать становящейся последовательности и свойство ?, и свой ство Е. Тогда возможен случай, что в самой сущности последовательности, где каждый акт выбора свободен, заключается то, что она обладает свойством Е. Тогда мы вправе, если получен некоторый закон, утверждать уже без проверки, что последовательность, определяемая этим законом, не обладает свойством Е. Но совокупность случаев, в которых имеет силу или утверждение, что существует последовательность, обладающая свойством Е, или утверждение, что каждая последовательность обладает свойством Ё, сама по себе неопределенна. Поэтому полная дизъюнкция здесь не применима, то есть закон исключенного третьего не имеет силы. Тогда обе рассмотренные возможности уже не стоят одна против другой как утверждение и отрицание: отрицание первой так же

272

бессмысленно, как и отрицание другой. Здесь не может быть утвердительного (или отрицательного) ответа ни в том случае, когда вопрос поставлен относительно повторяющегося (как угодно часто) применения конструктивных принципов, ни в том, когда вопрос поставлен о процессе перехода (тоже как угодно частого) от одного числа к ближайшему, за ним следующему (см. 5, 107).

«Интуиционизм» меняет взгляд на природу общих суждений в математике. Отрицание общего суждения оказывается невозможным. Отрицать общее суждение - значит доказать некоторую теорему о существовании. Но такое суждение о существовании (например, «существует четное число»), по уверению Вейля, ничего не выражает. Это не настоящее суждение, а то, что Вейль называет «абстракцией суждения». Настоящим суждением будет, например, суждение: «2 - четное число». Свойство «быть четным числом» может быть определено только при помощи полной индукции, на основе умозаключения от n к п+1. Общее суждение есть суждение гипотетическое, а не суждение о том, какова некоторая сама по себе существующая объективная ситуация. Определенное суждение получается из общего лишь в применении к единичному, определенному заданному числу. Основой всеобщности является само определение, и уже исходя из всеобщности движутся дальше при посредстве полной индукции. Именно принцип полной индукции служит для определения и вывода. Эту роль он выполняет не тогда, когда он применяется в качестве формулы, а тогда, когда последовательно применяется в конкретных случаях. И именно принцип полной индукции, по выражению Вейля, «представляет собой собственную и единственную силу математики» (5, 77). Высказанный впервые в явном виде Блезом Паскалем в 1654 г. и Яковом Бернулли в 1686 г. принцип полной индукции «приносит с собою в математические доказательства совершенно новый и своеобразный момент, чуждый аристотелевой логике, и он-то и составляет подлинную душу искусства математического доказательства» (5, 61). Или, как

273

говорит об этом Вейль в другом месте, «узрение сущности (Wesenseinsicht)», из которого проистекают все общие суждения, опирается всегда на так называемую полную индукцию. Она не нуждается в дальнейшем обосновании, да и не способна к нему, ибо она есть не что иное, как математическая первоинтуи-ция итерации (правило действия «еще один раз») (см. 5, 109). «Мы не в состоянии.., - утверждает Вейль, - свести определение на основе полной индукции к чему-то более изначальному. Ряд натуральных чисел и содержащаяся в нем интуиция итерации составляет последнее основание математического мышления» (5, 98).

Согласно воззрению «интуиционизма», именно полная индукция ограждает математику от превращения в чудовищную тавтологию и сообщает ее положениям не аналитический, а синтетический характер. Метод полной индукции не только основная черта математического мышления. Он пронизывает собой всю математику, начиная от элементарной и проективной геометрии. Его роль в этих частях математики маскируется лишь наивностью, с какой в них применяются к точкам термины «все» (квантор общности) и «существует» (квантор существования) (см. 5, 88).

Воззрение «интуиционизма» должно было стать и стало в оппозицию к понятию Кантора об актуальной бесконечности. И это понятно. Теория множества - в ее канторовской форме - целиком покоится на понятии актуально бесконечного. Огромная притягательность этой концепции состояла в том, что она казалась способной окончательно и нерушимо обосновать математический анализ во всех его частях. Больше того. Теоретико-множественный метод победоносно овладел не только всей областью анализа, но также и учением о натуральных числах - начальной частью математики.

«Интуиционизм» исключал понятие о бесконечности как о завершенной, замкнутой и самодовлеющей совокупности объектов. Согласно «интуиционизму» (второй и третий принципы так называемого конструктивного познания Вейля), понятия математики в

274

известной мере самостоятельны по отношению к действительности и допускают свободное оперирование. Они не извлекаются каждое по отдельности, а относятся к «фону» многообразия возможностей. Это многообразие, разворачивающееся в бесконечность, может быть упорядоченным по некоторому определенному принципу.

Совершенно иначе мыслит Кантор. Для него закономерно возникшая последовательность чисел, развертывающаяся в бесконечность, превращается в замкнутую совокупность не становящихся, а неподвижно пребывающих предметов. Теория множеств рассматривает в качестве замкнутой совокупности существующих самих по себе предметов не только числовой ряд, но и совокупность его подмножеств. Именно поэтому она, по словам Вейля, «целиком базируется на почсе актуально бесконечного» (5, 73).

Если множество конечно и состоит из отдельных заданных предметов, то мы еще можем путем последовательных актов выбора составить и пересмотреть все возможные его подмножества. Принцип «интуиционизма» останется ненарушенным. Но если множество бесконечно, то абсолютизирующая концепция существования не может быть применена к подмножествам. Такое применение еще менее возможно, чем применение ее к элементам. Математика может иметь дело только с такими подмножествами, которые определены закономерным образом на основании какого-нибудь свойства, характерного для их элементов. Абсолютизирующая математическая мысль совершает, согласно взгляду Вейля, переход к «трансцендентному». Поэтому Вейль полагает, что теоретико-множественное обоснование представляет собою «стадию наивного реализма, не осознающего содеянного им перехода от данного к трансцендентному» (5, 90). Но даже если бы этот переход был осознан, он и в этом случае был бы невозможен. Согласно «интуиционизму», «трансцендентное» никогда не может попасть в сферу действия нашей созерцающей интуиции. Представление, будто интуиция способна овладеть областью «трансцендентного», Вейль назы-

275

вает «мистическим». Поэтому теория множеств