Часть 8.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

ПРОБЛЕМА ИНТУИЦИИ

В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ ПУАНКАРЕ

После возникновения в XVII столетии новой математики и в особенности после того как первоклассные ученые приступили к строго логической выработке анализа и в течение XIX в. добились в этом ценных результатов, в математике (и в логике) возникла тенденция, во многом изменившая прежнее - полулогическое, полуинтуитивное - понимание математики. Отныне стали стремиться к тому, чтобы не только довести до наивозможного минимума круг основных положений математики, приобретаемых с помощью интуиции, но и начисто свести математику к логике, рассматривать систему положений математики как результат строгой разработки учений логики. Подготовкой к обоснованию и выражению понятий математики понятиями логики была разработка языка логических символов, начатая Булем и выполненная в последнем десятилетии XIX в. и в первом десятилетии XX в. итальянским ученым Пеано и его последователями (Падоа и другими). Выражением важных математических понятий на языке понятий логики занимались немецкие математики Фреге и Дедекинд. Систематически это направление было развито анг-

236

личанами Расселом и Уайтхедом в капитальной трехтомной работе «Principia mathematical (первое издание в 1910-1913 гг.). Для них математика есть не что иное, как логика. Интуитивные элементы математики исключаются. Содержание науки выводится из весьма небольшого круга определений и положений, принимаемых без доказательства. Слова языка, посредством которых в обычной жизни выражаются логические отношения, заменяются точно фиксированными символами. Выведение новых положений из принятых определений и исходных положений производится согласно строгим правилам логики. Талантливость ученых, создавших это направление, соединялась с их величайшим одушевлением, с твердым убеждением в том, что направление это (получившее впоследствии название «логицизма») как бы впервые открывает математике ее настоящую сущность. В уже цитированной статье Рассел писал: «Один из главных триумфов новейшей математики заключается в открытии, в чем, действительно, состоит математика» (14,83).

Увлечение новым пониманием предмета математики и ее логического характера шло у «логицистов» рука об руку с энергичным отрицанием интуитивного обоснования математики. Этому отрицанию подверглись не только грубо интуитивная трактовка математики и, в частности, геометрии, предложенная Шопенгауэром *, но и учение Канта о пространстве и времени как априорных формах интуиции, на которые, согласно Канту, опираются априорные синтетические суждения в геометрии и арифметике. Кант прямо утверждал в «Критике чистого разума», будто «все геометрические принципы, например, то, что в треугольнике две стороны больше третьей, всегда выво-

1 Удивительное непонимание сущности анализа, проявленное Шопенгауэром, раскрыто в работе Альфреда Принцгейма «Ценность и мнимая не-ценность математики» (доклад на заседании Баварской академии наук в Мюнхене 14. III. 1904; напечатан в первом сборнике «Новых идей в математике», П., 1917, стр. 104-144). Ср. также критику Шопенгауэра у Кутюра (см. 12, 246).

17 Зак. 195 237

дятся из интуиции (aus der Anschauung) a priori с аподиктической достоверностью, но никогда не извлекаются из общих понятий линии и треугольника» (65,39).

Критика кантовского воззрения была критикой недостаточности рационализма в Кантовой теории математики. Критика эта выявила противоречие во взглядах Канта на логическую природу математики. Из некоторых мест второго издания «Критики чистого разума» ясно, что Кант допускал рассудочное происхождение геометрических истин и что в синтетическом единстве пространства он видел результат функции рассудка (см. 65, 160). Однако это признание роли интеллекта и логики в математических исследованиях и доказательствах подавляется у Канта основным для него воззрением, согласно которому априорные синтетические суждения имеют основу в интуиции- в наглядном созерцании. Уже Фреге, высоко оценивший проведенное Кантом различение синтетических и аналитических суждений, тем не менее подверг глубокой критике кантовскую теорию арифметики в своем труде «Основы арифметики» («Grundlagen der Arithmetik», Breslau, 1884; второе издание на немецком и параллельно на английском языках - «Die Grundlagen der Arithmetik» - «The Foundations of Arithmetic», Oxford, 1953).

Таким образом, разработка «логицистического» учения, сводящего математику к чистой логике, оказалась связанной со спором философских направлений. Одно из них восходило к Лейбницу с его аналитической теорией суждения и с его замыслом «Всеобщей характеристики» (алгебры), приложимой ко всем возможным формам дедукции и формализующей все здание науки. Другое имело опору в теории познания Канта - в его классификации суждений на аналитические и синтетические и в «трансцендентальной эстетике» с ее априорными формами пространства и времени, дающими начало различным формам математического созерцания.

Однако, несмотря на всю важность связи между направлениями математики и различными направле-

238

ниями теории познания, наметившиеся внутри математики различия и разногласия по вопросу об интуиции имели в числе своих движущих сил мощные мотивы, возникавшие в ходе развития самой математической науки и имманентные ее специфическому содержанию и специфической проблематике. В ходе этого развития неуклонно укреплялась и оформлялась мысль, что математика не связана с частными родами предметов, которые могут быть даны нашей интуиции. Из науки о числах и величинах математика все более превращалась в общий метод доказательства и открытия. Процесс этот произошел не вдруг, а развивался путем ряда последовательных достижений. До мысли, что математика не есть наука о числах и величинах и что она не необходимо обусловлена интуитивно воспринимаемыми свойствами объектов, дошли, как указывает Кутюра, «лишь мало-помалу, вслед за открытием барицентрического исчисления Мёбиуса, исчисления эквиполлентных Беллавитиса, геометрического исчисления Грассмана, кватернионов Гамильтона, проективной геометрии Штаудта, теории ансамблей (множеств. - В. Л.), теории субституций и групп, наконец, логического исчисления Буля» (12, 258). Именно Буль первый высказал положение, что занятие идеями числа и количества «не составляет сущности математики» (29, 12).

Следовательно, оформившаяся в новейшей математике критика интуиции как опоры и источника математического познания вовсе не была почерпнута математиками у философов. Начавшаяся в математике «тяжба» по вопросу о роли интуиции в математике, как правильно отметил Кутюра, была не только тяжбой «между Кантом и Лейбницем» (см. 18, 114), но и спором точек зрения, каждая из которых черпала доводы в свою пользу из соображений специально математического характера. В особенности направление, сводившее математику к логике («логистика», «логицизм»), стремилось подчеркнуть свою независимость от философии и доказать чисто математическое происхождение своей точки зрения. Такова была позиция Рассела в эпоху создания им основных тру-

17*

239

дов по математической логике и, в частности, позиция пропагандиста и защитника его идей Луи Кутюра.

Направление математического «логицизма» представляло род позитивизма в философии математики. Декларации о полной независимости «логицизма» от философии, сопровождавшиеся у Кутюра высокомерными и презрительными насмешками по адресу философов, выражали очень относительную истину и очень крупное принципиальное заблуждение. Относительная истина состоял а в том, что «логицисты» действительно ставили свои задачи как задачи чисто математические и стремились решать их только математическими средствами. Их отрицательное отношение к философии по сути было не столько отрицанием всей философии, философии вообще, сколько одной определенной философии - философии Канта; это был а критика интуитивизма его «трансцендентальной эстетики», критика его консервативной, вполне традиционной логики, его теории синтетических суждений. Напротив, «логицизм» очень уважительно отнесся к Лейбницу - к его аналитической теории суждения и истины, к его замыслу «Всеобщей характеристики», к его взгляду на определения и аксиомы. Совершенно не случайно поэтому, что именно Лейбницу были посвящены ценные исследования Рассела («A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz», 1900, 2-oe изд., 1937) и Кутюра («La logique de Leibniz», 1901; «Opuscules et fragments in?dits de Leibniz», 1903).

Принципиальное заблуждение «логицизма» состояло в иллюзии, будто критическая позиция, занятая «логицистами» в отношении Канта, означала достижение ими полной независимости от всякой фило« софии. В действительности наряду с аргументами, которые «логицизм» черпал из содержания самой математики как специальной _науки (в этом своем специальном содержании, не обусловленном философией и от нее независимом), «логицизм» исповедовал, не отдавая себе в этом полного отчета, вполне определенную философию (гносеологию). Это была гносеология особой формы рационализма, предвестие кото-

240

рой «логицисты» нашли в философии и математике Лейбница. В этом смысле вопреки заявлению Кутюра критика, осуществляемая «логицистами», все же оставалась «тяжбой» если не между Кантом и Лейбницем, то по крайней мере между рационализмом «наполовину», признававшим огромную роль чувственной интуиции в познании, и рационализмом более «интеллектуалистическим», более последовательным, чем кантовскии, стремившимся построить математику на чисто логической основе, без опоры или с минимальной опорой в интуиции. Попытка эта встретила критику. Первым серьезным критиком «логицистиче-ского» обоснования математики оказался- крупнейший французский математик Анри Пуанкаре. Критическому разбору идей «логицизма» Пуанкаре посвятил работу «Математика и логика», печатавшуюся в XIII и XIV томах журнала «Revue de M?thaphysique et de Morale» (p. 815-835 и 17-34; русский перевод их появился в десятом сборнике «Новых идей в математике», П., 1915, стр. 1-52). Свои взгляды он изложил также в главе «Интуиция и логика в математике» в книге «Ценность науки» («La valeur de la science», Paris, 1905, p. 11-34; русский перевод, M., 1906, стр. 11-42).

В отличие от «логицистов» Пуанкаре не отмежевывается от философии и не скрывает связи своих идей с идеями философов, в частности с учением Канта об априорных синтетических суждениях математики. Но, так же как и «логицисты», Пуанкаре в своих рассуждениях по вопросу об интуиции в математике не отделяет ясно то, что в его аргументации вызвано его философскими предубеждениями, от того, что в ней определяется специально математическими обоснованиями и что имеет значение и ценность независимо от его философских позиций и несмотря на характерный для них путаный, непоследовательный идеализм. Задачу этого разграничения Пуанкаре предоставляет своим читателям и критикам. Будучи выполнено, это разграничение дает интересный результат. Оно лишний раз подтверждает, что проблема интуиции имеет не только философское, но

241

и положительное научное содержание. Критика Пуанкаре показала, что сведение математики целиком к одной лишь логике встречает значительные трудности. Эти трудности не временные и обусловлены не только недостатком изобретательности «логицистов», пытавшихся свести математику к логике. Основа трудности здесь в том, что из математических рассуждений не могут быть полностью удалены некоторые их элементы и принципы, основывающиеся уже не на логике, а на интуиции, то есть на непосредственном интеллектуальном усмотрении.

К сожалению, отчетливость в постановке вопроса о возможности сделать математику независимой от интуиции осложняется у Пуанкаре многозначностью его понятия об интуиции. В этом понятии математика постоянно смешивается с философией, математическая интуиция - с кантовскими априорными синтетическими суждениями 1. Смешение это сильно затемняет проблему. Кантовский априоризм и смешение его с вопросом об интуиции способствуют возникновению ошибочного взгляда, будто несостоятельно и идеалистично всякое учение и всякое понятие об ин-

1 Вот один из многочисленных примеров. В работе «Математика и логика», говоря о том, что Рассел вводит принципы, которые он выдает за недоказуемые, Пуанкаре возражает: «Но эти недоказуемые принципы... не что иное, как обращения к интуиции, синтетические суждения a priori» (18, 19). Здесь интуиция в математике прямо отождествлена с кантовским априорным синтетическим суждением. Но это совершенно неверно. Можно признавать факт существования интуиции в математике, но при этом не сводить интуицию к ее кантовскому типу! Заметим здесь, что на связь идей Пуанкаре со взглядами Канта не было обращено достаточное внимание. Может быть, это объясняется тем, что связь эта рельефнее всего выступает именно в вопросе о роли интуиции в математике. А проблему интуиции философы своим вниманием не жаловали. К вопросу об отношении Пуанкаре к Канту привлек внимание Абель Рей. В книге «Современная философия» («La philosophie moderne», Paris, 1908) Рей писал о теории Пуанкаре: «Не обратили достаточного внимания на ее связь с кантианством, из которого она вполне заимствует теорию синтетических суждений a priori...» В. И. Ленин, читавший и конспектировавший книгу Рея, дважды подчеркнул в процитированном нами месте фразу Рея об отношении Пуанкаре к Канту, а на полях конспекта напислл: «Пуанкаре ? Кант» (3, 414).

242

туиции, будто признать, как это делает Пуанкаре, существование интуитивных элементов математики можно, только соглашаясь с учением Канта об априорном характере и чувственной природе интуиции пространства и времени.

В одних случаях «интуиция» выступает у Пуанкаре как принцип математического рассуждения, как основание и условие математической дедукции. В других же случаях «интуиция» толкуется как синоним математической «догадки», математического вдохновения, как условие творчества в математике. Особенно ясно этот последний смысл термина «интуиции» проглядывает в третьей главе книги «Наука и метод» с ее знаменательным названием «Математическое творчество» (78, 43-63). Здесь «интуицией» Пуанкаре называет просто чувство того порядка, в каком должны располагаться элементы математического рассуждения или доказательства. Это «интуиция математического порядка, дающая возможность угадывать гармонию и скрытые отношения» (78, 47). И Пуанкаре поясняет понятие интуиции, рассказывая об обстоятельствах, при которых им была найдена и разработана теория так называемых фуксовых функций. В этом рассказе, который сам по себе чрезвычайно интересен и ценен для психологии научного открытия, Пуанкаре особенно подчеркивает внезапность интуитивного усмотрения и непосредственность сознания его безусловной истинности, чувство абсолютной уверенности, сопутствующее вдохновению (см. 78,53-55).

С этим значением интуиции как догадки и вдохновения близко соприкасается другое. Под «интуицией» Пуанкаре часто понимает дар математического творчества, способность к математическому изобретению, к открытию новых математических идей. В этом смысле «интуиция» отличается у него от «логики» как искусства доказательства уже найденных идей. Отличается, но не противопоставляется. Понятые в этом значении «интуиция» математика и «логика» математика друг друга предполагают и взаимно дополняют. «Посредством логики доказывают, - поясняет Пуанкаре,- посредством интуиции изобретают» (78, 137).

243

«Логика говорит нам, что на таком-то и таком-то пути мы, наверное, не встретим препятствий; но она не говорит, каков путь, который ведет к цели. Для этого надо издали видеть цель, а способность, научающая нас видеть, есть интуиция. Без нее геометр был бы похож на того писателя, который безупречен в правописании, но у которого нет мыслей» (78, 137).

Конечно, бесполезно спорить о словах. Нельзя никому запретить называть «интуицией» способность изобретения и предшествующую доказательству способность предвидения. Но надо точно оговорить этот смысл понятия «интуиции» и отличить его от понятия о логически невыводимых элементах доказательства. Пуанкаре не делает этой оговорки. У него «интуиция» выступает то как «нелогический» элемент или основа доказательства, то как способность изобретения. В первом смысле она принадлежит все же к аппарату или системе доказательства, и тогда возникает вопрос об отношении между интуитивными и логическими элементами доказательства. Во втором смысле она действие ума, не входящее в систему доказательства, и составляет предмет исследования не логики, не теории познания, не методологии, а психологии творчества, психологии изобретения, эвристики. У Пуанкаре оба эти значения не разделены, а смешиваются, затрудняя понимание и вызывая справедливые нарекания в неясности вроде тех, которые сделал Кутюра.

Совершенно ясно, что совсем не этот смысл термина «интуиция» (не интуицию как «догадку») имели в виду математики и логики, оспаривавшие, как Рассел и Кутюра, роль интуиции в математическом доказательстве и рассуждении. У них речь шла не о догадке, не о вдохновении, а об интуиции в ее гносеологически-логическом, если позволено так выразиться, содержании. Они не касались вопроса о том, как приходит математику на ум его открытие. Их интересовал (как, впрочем, и самого Пуанкаре) вопрос, можно ли в логическом строении математического доказательства найти такие элементы, которые входят в него не как звенья логической связи, а как интуитивные основы всей цепи дедукций и как интуитивные пред-

244

посылки самих логических связей. «Логицисты» утверждали, что, введя без доказательств небольшой круг определений, математика в дальнейшем развитии своих дедукций не нуждается больше ни в каких интуитивных усмотрениях; все остальное в ней - дело одной логики, задача чисто логического построения. И до возникновения «логицизма» все математики были согласны с тем, что дедукция предполагает первые предложения, которые наука вынуждена постулировать и которые в этой науке не выводятся. И точно так же все были согласны с тем, что источник этих постулатов может быть различный. Новым в «логицизме» было утверждение, что в отличие от других дедуктивных наук математика, строго говоря, не нуждается в постулатах. Различные математические теории, доказывал Рассел, опираются не на собственные интуитивно созерцаемые аксиомы, а только на определения. Математика состоит (как выразился Кутюра, поправляя Максима Бохера) в дедукциях, производимых «от логических определений по логическим принципам» (12, 186). Что касается объектов математики, то в отличие от объектов других дедуктивных наук они «определяются в функции одних только логических констант» (12, 186). И если по форме математика - «ансамбль выводов, сообразных с принципами логики», то по содержанию она «ансамбль определений, содержащих только термины логики» (12, 186).

Выступая против «логицизма», Пуанкаре имел в виду не только эвристическое понимание интуиции, но и логико-гносеологический предмет спора. Особенно в своей полемике с Кутюра он разумеет под «интуицией» уже не «вдохновение», не «догадку», а прямые, не опирающиеся на логику интеллектуальные усмотрения. В статье «Математика и логика» Пуанкаре спорит с Расселом, Пеано и их единомышленниками уже не как психолог, исследующий условия математического открытия, а как математик, против математиков по существу теории математического доказательства.

16 Зак. 195 245

Вопрос об интуитивных предпосылках науки связывается у Пуанкаре с вопросом о природе и видах аксиом. Он рассматривает этот вопрос в первой части книги «Ценность науки». Характер аксиом выясняется здесь путем разбора четырех примеров. Это аксиомы:

1) «Две величины, равные третьей, равны между собой»;

2) «Если теорема справедлива для 1 и если доказывается, что она справедлива для n + 1, когда справедлива для п, то она будет справедлива для всех целых чисел»;

3) «Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D между Ли С, то точка D будет лежать между А и ?»;

4) «Через одну точку можно провести только одну параллельную данной прямой» (77, 20-21).

Согласно утверждению Пуанкаре, все эти четыре аксиомы «должны быть приписаны интуиции» (77, 21). Однако познавательная функция их, по Пуанкаре, не одна и та же. Первая из них выражает одно из правил формальной логики. Вторая есть настоящее априорное синтетическое суждение в кантовском смысле и не может быть получена путем логического анализа понятий. В математических рассуждениях она играет чрезвычайно важную роль, так как на ней основывается строгая математическая индукция. Третья апеллирует к пространственному представлению. Наконец, четвертая есть скрытое определение. Это знаменитый постулат Евклида, основа его теории параллельных (см. 77, 21).

Из дальнейших разъяснений Пуанкаре видно, что он отличает интуицию чувственную от интуиции интеллектуальной и что в основу строгих математических рассуждений он кладет не чувственную, а именно интеллектуальную интуицию. «Мы имеем, - поясняет он, - несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; наконец, мы имеем интуицию чистого числа - ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и ко-

246

торая может дать начало настоящему математическому рассуждению» (77, 22).

Это разъяснение Пуанкаре доказывает несправедливость критики Кутюра, который, по-видимому, решил, что интуиция, признаваемая Пуанкаре, не интеллектуальная, а обычная интуиция, основывающаяся на наглядном чувственном представлении. «Я пожертвую строгостью ради ясности, - обращался Кутюра к Пуанкаре, - не ради той логической ясности, которая неотделима от строгости и которую можно получить лишь с помощью логического символизма, но ради той вульгарной ясности, которую называют интуицией и которую так прославляет г. Пуанкаре» (18, 54). В другом месте Кутюра прямо обвиняет Пуанкаре в том, что под интуицией он не понимает интуицию интеллектуальную, которая одна лишь приемлема в математическом рассуждении. «Выдвигание против логиков («логицистов». - В. А.)... неопределенного понятия интуиции, - пишет Кутюра, - является злоупотреблением, особенно, когда не указывают точно, о какой интуиции идет речь. Об интеллектуальной ли интуиции, которая касается отношения идей, или о чувственной интуиции, которая принимает неиз* бежно пространственную форму? Обе эти интуиции радикально отличаются друг от друга. Все логики (опять-таки «логицисты».- В. А.) готовы признать, что их принципы вытекают из интеллектуальной интуиции, то есть являются объектами непосредственного познания разумом; но весьма немногие согласятся с тем, что они вытекают из чувственной интуиции и основываются, например.., на пространственных схемах» (18, 68-69).

Упрек Кутюра несправедлив. В нем верно, что Пуанкаре не всегда точно характеризует свою интуицию как интеллектуальную. Но приведенный выше разбор четырех видов аксиом доказывает, что Пуанкаре четко отличал интуицию интеллектуальную от чувственной. Когда он говорит о математических рассуждениях, опирающихся на принцип полной индукции, и когда он утверждает, что этот принцип предполагает обращение к интуиции, он имеет в виду именно

16* 247

интеллектуальную интуицию, как ее понимает Кутюра.

В книге «Ценность науки», в главе «Интуиция и логика в математике», подчеркивается интеллектуальная, не-чувственная природа интуиции, которые необходимы аналитикам для открытий в математике. Чтобы иметь возможность быть изобретателями, аналитики, по утверждению Пуанкаре, «должны без помощи чувств и воображения иметь непосредственное ощущение того, что создает единство рассуждения...» (77, 33). Пуанкаре настаивает на том, что «интуиция чистого числа - та, из которой может быть получена строгая математическая индукция, - отличается от чувственной интуиции, для которой работает воображение в собственном смысле» (77, 32). У интуиции чувственной и интуиции интеллектуальной «не один и тот же объект, и они, по-видимому, пользуются двумя различными способностями нашей души; можно сказать, что это два прожектора, наведенные на два чуждые друг другу мира» (77, 33). Различию этих двух способностей соответствует и различие предмета познания, познавательных задач. Интеллектуальная интуиция - орган познания и необходимое условие научного творчества в сфере анализа: «Интуиция чистого числа, интуиция чистых логических форм как раз озаряет и направляет тех, кого мы назвали аналитиками» (77, 33). Именно она позволяет им «не только доказывать, но еще и изобретать. Через нее-то они подмечают сразу общий план логического здания» (77, 33).

На этот интеллектуальный характер интуиции Пуанкаре не обратил внимания Кутюра в своей полемике против него. Он как будто не замечает, что Пуанкаре, как было здесь показано, не только настаивает на существовании интеллектуальной интуиции, но и признает за ней чрезвычайно важное значение. Не станем слишком винить Кутюра в этой невнимательности. Пуанкаре сам подал повод к недоразумению. Как было уже указано, его суждения о видах интуиции и об отношении между ними весьма непоследовательны. В одних случаях у него вполне ясно

248

выступает понятие об интеллектуальной интуиции, и она четко отделяется от интуиции чувственной. Но он не придерживается строго этого разграничения. Точнее говоря, он полагает, что интеллектуальная интуиция - очень редкий дар и свойственна очень немногим умам. Замечательно владел ею, по мнению Пуанкаре, французский математик Эрмит (Hermite). ? беседах он «никогда не прибегал к чувственному образу» (77, 32). И все же собеседник скоро замечал, что самые абстрактные сущности были для него как бы живыми существами.

Выделяя интеллектуальную интуицию, Пуанкаре ограничивает ее применение в математике. Он видит, что в науке нового времени сфера интуиции заметно сужается. Современное сознание требует у интуиции все больше и больше уступок в пользу логики. Этот процесс Пуанкаре считает понятным и даже правомерным. «Интуиция, - говорит он, - не может дать нам строгости, ни даже достоверности - это замечается все больше и больше» (77, 17). Строго сформулированные, логически доказанные предложения подрывают доверие к интуиции. Например, смутная идея непрерывности, которой математика первоначально была обязана интуиции, разрешилась по мере успехов анализа в сложную систему неравенств, касающуюся целых чисел.

И все же заключение «логицистов», будто в математике пришла пора вовсе освободиться от необходимости прибегать в своих рассуждениях к интуиции, не может быть, по мнению Пуанкаре, обосновано: «Чистая логика всегда привела бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке» (77, 20). Чтобы создать арифметику, чтобы создать геометрию или какую бы то ни было иную науку, «необходимо нечто другое, чем чистая логика» (77, 20). Это другое - интуиция, но не основывающаяся на чувствах и воображении или на простом индуктивном обобщении, а «интуиция чистого числа» (77, 22). «В новейшем анализе.., - говорит Пуанкаре, - находят место лишь силлогизмы и апелляция к этой

249

интуиции чистого числа - единственной интуиции, которая не может обмануть нас» (77, 22-23). Именно поэтому можно сказать, что ныне «достигнута абсолютная строгость» (77, 23).

Такое понимание интуиции является «интуициз-мом> ограниченным. В процессе «арифметизации» геометрии и «логизации» математики в целом Пуанкаре видел процесс правомерный и плодотворный для науки. Он готов был согласиться с тем, что аксиомы геометрии не интуитивно постигаемые «самоочевидные истины», а скрытые дефиниции. Соглашаясь с тем, что в основе геометрии лежат «свойства твердых тел» (76, 66), что метрическая геометрия есть изучение твердых тел, а проективная геометрия - изучение света, он, однако, не мог согласиться с утверждением, будто геометрия - опытная наука, так как в таком случае «она не была бы наукой точной и должна была бы подвергаться постоянному пересмотру» (76, 66). В этом вопросе он не антагонист Рассела, Кутюра, а их единомышленник. Но он никак не мог согласиться с тем, что таковы же аксиомы арифметики. «Я не говорю, - пояснял он тут же, - об аксиомах арифметики» (76, 67). Для «логизации» арифметики, по его мнению, существует предел.

Сказанным объясняется непримиримость его полемики с «логицистами», которых он называет «логиками». По вопросу о принципе полной индукции он не хотел идти на уступки. Поэтому он выдвигает против «логицистов» возражение: арифметика опирается не на логические определения (которые будто бы представляют нечто условное), а на аксиомы, в которых Пуанкаре видит положения, усматриваемые интуитивно. Он полагает, что существование математического «принципа полной индукции» и подобных ему принципов «является камнем преткновения для непримиримых логиков» (18, 5). Согласно мнению «логиков» (то есть «логицистов»), принцип полной индукции «не есть аксиома в собственном смысле слова и не синтетическое суждение a priori, это просто определение целого числа. Значит, это - простое условное соглашение (convention. - В. Л.)» (18, 5). Взгляд

250

j

этот дает полное основание для причисления Пуанкаре к «конвенционалистам». Из многочисленных кон-венционалистских высказываний Пуанкаре напомним лишь некоторые. «Геометрия,·-читаем мы в его статье «Пространство и время», - есть некоторое условное соглашение, своего рода компромисс между нашей любовью к простоте и нашим желанием не слишком далеко удалиться от того, что нам сообщают наши инструменты» (15, 79). Здесь Пуанкаре говорит о геометрии не как математик, а как плохой философ.

Рассуждая о геометрических аксиомах, Пуанкаре полагает, будто они (в отличие от аксиом анализа) «не являются ни априорными синтетическими суждениями, ни экспериментальными фактами. Они суть условные соглашения (des conventions)... Самый выбор остается свободным и ограничен лишь необходимостью избегать всякого противоречия» (76, 66).

Наконец, такими же «условными соглашениями» он называет новый взгляд теории относительности на пространство и время как на четырехмерный континуум: «Мы усвоили известное условное соглашение, потому что оно казалось нам удобным, и мы сказали, что ничто не может заставить нас покинуть его» (15,90).

Философскую путаницу и беспомощность Пуанкаре, его колебания то в сторону идеализма, то в сторону материализма, релятивизм, смешение материалистического и идеалистического понятий об опыте, его принадлежность к школе Маха в понимании законов природы отмечал В. И. Ленин в работе «Материализм и эмпириокритицизм». Пуанкаре, будучи математиком и физиком, «не интересуется, - пишет В. И. Ленин, - сколько-нибудь существенно философской стороной вопроса (об отношении научных понятий к реальности. - В. Л.)» (2, 240). Там же, где Пуанкаре все-таки вступает в сферу философии, Ленин оценивает его философские взгляды (так же и взгляды П. Дюгема) как «особенно сбивчивые и непоследовательные» (2, 41). «...«Философию» Пуанкаре достаточно только отметить и пройти мимо...» (2, 279). Но, будучи, по словам Ленина, «мелким философом»

251

(2, 152), Пуанкаре часто в ходе своих специальных научных работ «оступается» в область философии. В философии он обнаруживает явный крен в конвенционализм. Ленин указал, что Пуанкаре «вполне в духе Маха выводит законы природы - вплоть до того, что пространство имеет три измерения, - из «удобства»» (2, 283).

Так обстоит дело в плане философии, теории познания. Однако в математическом споре о логическом характере математики Пуанкаре не конвенцио-налист. В этом споре он, напротив, нападает на «логицистов» именно за то, что в принципе полной индукции они видят только логическое.определение или, еще точнее, только условное соглашение. Свою критику Пуанкаре изложил особенно обстоятельно в статье «Математика и логика». По его разъяснению, «слово существовать в математике может иметь только один смысл, оно означает именно отсутствие противоречия... Определяя какой-либо предмет, утверждают, что это определение не заключает в себе противоречия» (18, 6-7). Если дана система постулатов и если мы можем доказать, что эти постулаты не заключают в себе противоречия, то, согласно Пуанкаре, мы действительно вправе сказать, что они представляют определение одного из фигурирующих в них понятий. Но если мы не можем доказать этого, «то приходится принять это положение без доказательства, и тогда оно является аксиомой» (18, 7). В этом случае, «если бы мы захотели искать определение в постулате, мы бы все же нашли аксиому в определении» (18, 7).

Именно так обстоит дело, согласно взгляду Пуанкаре, с принципом полной индукции. Ведь при исследовании отсутствия противоречия приходится ссылаться «на тот самый принцип полной индукции, который как раз и надлежит проверить» (18, 8). Недоказуемые принципы, составляющие исходные положения математики, утверждает Пуанкаре, «суть не что иное, как обращения к интуиции...» (18, 19). Из девяти указанных «логицистами» неопределимых понятий и из двадцати недоказуемых положений (Пуан-

252

каре даже думает, что их больше), образующих устои «логицизма», «каждое предполагает новый и независимый акт нашей интуиции...» (18, 20).

До сих пор Пуанкаре возражал Расселу как математик математику или как логик логику, и с этим его возражением нельзя не считаться. Но, верный своему кантианскому предрассудку, он тут же добавляет: а почему не сказать прямо, что каждый такой новый и независимый акт интуиции есть «подлинное синтетическое суждение a priori» (18, 20)? Выдвигая это предложение, Пуанкаре покидает почву науки и становится на почву ошибочного идеалистического априоризма кантовского типа.

Но против «логицистов» Пуанкаре выдвигает и другое возражение. «Логицисты» не только полагают в основу математики чисто логические определения, лишенные интуитивной непосредственности. Они, кроме того, утверждают, что если интуитивные элементы еще можно встретить среди исходных положений математической дедукции, то уж во всяком случае они нигде не могут встретиться в самой дедукции. Пуанкаре так понял этот тезис «логицистов»: они говорят, что, делая начальные ссылки на интуитивно найденные положения, они обращаются к интуиции в последний раз; что больше им к помощи интуиции обращаться не придется и что в дальнейшем можно будет строить математику, не обращаясь к посредству какого-либо нового элемента (см. 78, 176). Пуанкаре доказывает, что это утверждение «логицистов» осталось у них необоснованным, так же как и утверждение о чисто логическом характере исходных определений математики. Разбирая доказательства Рассела (и попутно Гильберта, который, как признает сам Пуанкаре, не был «логицистом» в духе Рассела), Пуанкаре находит, что еще до того как «логицисты» обосновывают в своих рассуждениях принцип полной индукции, они применяют - без доказательства - этот же принцип и, следовательно, сами того не замечая, обращаются к интуиции.

В книге «Наука и гипотеза» рассуждение, в котором применена математическая полная индукция,

253

называется «рекуррентным рассуждением» (le raisonnement par r?currence). И здесь Пуанкаре опровергает мнение тех, кто надеется обосновать принцип полной индукции посредством аналитической логики и доказательства. Правда, утверждает Пуанкаре, можно легко переходить от одного выражения к другому и создавать для себя таким образом иллюзию, будто доказали законность рекуррентного рассуждения (см. 76, 22). Но в конце концов всегда приходится остановиться: мы всегда придем к недоказуемой аксиоме, которая в сущности будет не чем иным, как предложением, подлежащим доказательству и лишь переведенным на другой язык. В результате «нельзя не прийти к заключению, что способ рекуррентного рассуждения не сводим к принципу противоречия» (76, 23).

В конце исследования, посвященного вопросу об интеллектуальной интуиции в математике, Пуанкаре приходит к выводу, что эта интуиция, как факт математического знания, как условие математического рассуждения, существует. Вывод этот не должен остаться без дальнейшего рассмотрения. Здесь естественно и совершенно неизбежно возникают вопросы: каково реальное происхождение (генезис) этого факта? В каком отношении стоит непосредственное усмотрение (интеллектуальная интуиция) к предшествующему ему опыту-к чувствам, к интуициям чувственным? Иначе, каким образом опосредствована в ходе развивающегося познания «непосредственность» математической интуитивной «очевидности»? Каков путь практики, приводящий математическую науку на высоких ступенях ее развития к актам созерцания, или к усмотрениям, которые на этих ступенях представляются уже как «непосредственные»? Пуанкаре понимает, что такие вопросы правомерны. Он сам формулирует их (хотя далеко не точно) как вопросы о генетической связи между интуицией интеллектуальной и интуицией чувственной. «Не менее ли глубока,- спрашивает Пуанкаре,- чем кажется с первого взгляда, пропасть, которая разделяет их? Не окажется ли при небольшом внимании, что эта чистая

254

интуиция сама по себе не может обойтись без помощи чувств?» (77, 32). Но, поставив «с грехом пополам» вопрос, Пуанкаре отказывается сколько-нибудь серьезно исследовать его. «Это, - говорит он, - дело психолога и метафизика (то есть философа. - В. А.), и я не стану разбирать этот вопрос» (77, 32). Пуанкаре даже не подозревает, что ответ на сформулированный им вопрос о связи интеллектуальной интуиции с практикой, с чувственным опытом дан в философии диалектическим материализмом. «...Беда Дюгема, Сталло, Маха, Пуанкаре», как показал В. И. Ленин, в том, «что двери, открытой диалектическим материализмом, они не видят» (2, 297).

Если бы Пуанкаре ограничился одним лишь утверждением о существовании интеллектуальной интуиции в математике, то с философской точки зрения его тезис не вызывал бы возражений. Он был бы «только» недостаточным. Он подлежал бы рассмотрению, оценке и критике, но только с точки зрения математической, «вмешиваться» в которую философия не может. Если математика признает, что принцип математической полной индукции вводится «не на основе закона противоречия», то есть не посредством логического доказательства, а посредством «интеллектуальной интуиции» (как утверждает Пуанкаре в выше процитированном нами месте), то философский вопрос мажет состоять лишь в том, каким образом на основе практики, повторяющейся в миллиардах случаев, могли сложиться и кристаллизоваться в математическом мышлении эти «интуиции», или «непосредственные» усмотрения разума. Так ставит вопрос об интуитивном знании диалектический материализм, и это единственно правильная его постановка.

Но Пуанкаре спорит с «логицистами» не только как математик одной школы с математиками другой школы. В свои математические рассуждения он привносит свои философские предрассудки. Правомерно доказывая (в качестве математика), что оправдание принципа полной индукции не может быть достигнуто с помощью одного лишь логического закона противоречия, он предлагает неверное, идеалистическое,

255

объяснение этой невозможности. Он правильно отвергает конвенционалистское объяснение принципа полной индукции. «Нельзя видеть в нем, - поясняет он,- только условное соглашение» (76, 23). Но он ошибочно полагает, будто этот принцип «есть истинный образец априорного синтетического суждения» (76, 23). Пуанкаре соглашается, что нельзя ввести принцип полной индукции, не поставив вопрос о том, «почему же суждение, выражающее этот принцип, возникает перед нами с непреодолимой очевидностью?» (76, 23). Но его ответ на этот вопрос не содержит ни малейшего упоминания о роли практики и потому звучит отвлеченно и вполне идеалистически: «Здесь обнаруживается только (курсив мой. - В. А.) утверждение могущества разума, который способен постичь бесконечное повторение одного и того же акта, раз этот акт возможен хотя бы однажды» (76, 23-24). Таким образом, конвенционалистское объяснение принципа полной индукции хотя и отвергается, однако не с позиций материализма и материалистического понимания практики, а с позиций априористического идеализма.

В работах Пуанкаре необходимо четко отделять то, что в них относится к их специальному - математическому- содержанию, от того, что навеяно и внушено их философской - гносеологической - тенденцией. Пуанкаре - крупнейший математик и физик. Постановка вопроса об интуиции возникла у него из потребности выяснить, какую роль может играть логика и, в частности, логический принцип противоречия при обосновании рекуррентного рассуждения - начала математической полной индукции. Решение этого вопроса в значительной мере обусловлено у Пуанкаре специально математическими соображениями. Такой же специальный смысл имела и его принципиальная полемика с «логицистами». Это был спор между математиками о границах формальнологических принципов в обосновании математики как науки. Но, развивая свои взгляды, Пуанкаре не остался внутри пределов математики и, выйдя из них, перешел на почву философии. Войдя в интеллектуальную атмосферу бур-

256

жуазной философии, господствовавшей в конце XIX- начале XX в. в Европе, Пуанкаре некритически усвоил ряд идей, сближавших его воззрения с воззрениями Канта (априоризм, теория априорных синтетических суждений, взгляд на пространство и время как на интуитивные формы чувственности и т. п.), с воззрениями Маха (принцип экономии мышления), прагматистов («удобство» как основание для выбора аксиом). Срывы, ведущие к «конвенционализму» и противоречившие основной линии Пуанкаре, как математика, могут быть объяснены этими влияниями.

Г Л АВЛ ДЕВЯТАЯ

«ИНТУИЦИОНИЗМ» И ПРОБЛЕМА ИНТУИЦИИ В МАТЕМАТИКЕ

Дальнейшим - после Пуанкаре - этапом в разработке учения об интуиции в математике стало направление, получившее название «интуиционизма». Видные деятели этого направления - голландский математик Брауэр (L. E. J. Brouwer) и швейцарский математик Герман Вейль (Hermann Weyl).

Подобно «логицизму» Рассела и «формализму» Гильберта «интуиционизм» возник и развился во влиятельное течение не в качестве философского или гносеологического направления, а как направление математическое. По крайней мере отчасти его возникновение было попыткой преодолеть трудности, обнаружившиеся при обосновании математики средствами «логицизма» и «формализма». Но так как вопрос был поставлен именно об обосновании математики, то при его разработке представители всех трех направлений - «логицизма», «формализма», «интуиционизма»- независимо от своих намерений постоянно входили в обсуждение «пограничных» проблем математики, логики и философии. Уже у Кантора, чьи взгляды сложились до возникновения этих трех течений, философия вторгается в математические иссле-

258

дования. Вопросы о «трансфинитном» Кантор сам признал относящимися «к ведению главным образом метафизики и математики». В работах, излагающих воззрения на актуально бесконечное, Кантор самым тщательным образом исследует взгляды по этому вопросу крупнейших философов - античных, средневековых, мыслителей XVII-XVIII и XIX вв. - начиная от Демокрита и Платона вплоть до Больцано, Зигварта и Вундта. То же отношение к философии свойственно и математическому «интуиционизму». Это не разновидность философского интуитивизма - вроде интуитивизма, характерного для феноменологии Гуссерля, - а особое направление в обосновании математики и особая разработка ряда специально математических дисциплин и учений, таких, как математическая логика, теория континуума, дифференциальное и интегральное исчисления, теория множеств, топология, теория функций и т. д. Совершенно недопустимо поэтому отождествление математического «интуиционизма» с интуитивизмом в философии.

Однако идеи, на которых основываются у «интуи-ционистов» понятия и учения математики, были таковы, что требовали ясного понимания отношений, например, между «интуицией» в математическом и «интуицией» в философском смысле этого понятия или между «становлением» в специально математическом, принятом «интуиционистами» смысле, и «становлением» в философском значении. Не удивительно поэтому, что Г. Вейль, заканчивая свой обзор состояния проблемы познания в математике от учения Анаксагора до символической математики Гильберта, подчеркивает, «как тесно сплетается в своих основах математика с общими проблемами познания» (5, 33).

Вполне ясное осознание своих собственных философских принципов «интуиционистами» достигнуто не было. В то же время логика развития школы вела к тому, что внимание к философским вопросам математики непрерывно нарастало.

В 1913 г. в бюллетене Американского математического общества появилась важная работа лидера «интуиционизма» Брауэра «Интуиционизм и формализм»

259

За ней последовали опубликованные в журнале «Mathematische Annalen» статьи Брауэра, посвященные обоснованию интуиционистской математики: «Zur Begr?ndung der intuitionistischen Mathematik» (N 93, 95, 96). В последующих трудах Брауэр переходит к более широкой разработке вопроса об отношении математики к философии («Consciousness, Philosophy and Mathematics», 1948).

Обращался к вопросам философии и Г. Вейль. В 1919 г. он опубликовал работу «О новом кризисе основ математики» в журнале «Mathematische Zeitschrift». Во второй половине 20-х годов вышла его философская работа «Философия математики и естествознания» (переведена на английский язык в 1948 г.).

В работах «интуиционистов» необходимо отличать то понятие об интуиции, к которому они пришли, исходя из собственно математических проблем, и которое было необходимо им для освещения и объяснении путей математического творчества, от понятия об интуиции, частично почерпнутого ими из идеалистической философии и не связанного необходимой связью с содержанием научных теорий. Не все, что писали «интуиционисты» об интуиции,-«интуитивизм» в идеалистическом смысле слова. Исследования «интуиционистов» и их понятия об интуиции связаны с важными для математики, имеющими положительное значение и чрезвычайно ценными для науки вопросами о роли построения («конструирования») в доказательствах математической науки.

Определение «интуиционизма» мы находим в книге А. Рейтинга «Обзор исследований по основаниям математики. Интуиционизм. Теория доказательства» (русское издание, М.- Л., 1936). Согласно определению Рейтинга, к «интуиционистам» принадлежат математики, которые принимают два следующих принципа: 1) «Математика обладает не только чисто формальным, но и содержательным значением»; 2) «Математические предметы непосредственно постигаются мыслящим духом; следовательно, математическое познание не зависит от опыта» (7, 9),

260

Математическое содержание этого определения смешано с философским. Первое положение - полемическое. Оно направлено против «логицизма», надеявшегося построить все здание математики из одних формальных логических элементов. Второе положение сочетает логическую характеристику математического познания - как базирующегося на непосредственном интеллектуальном усмотрении основных истин математики - с философским выводом, согласно которому математическое познание как познание непосредственное, интуитивное, будто бы априорно, независимо от опыта.

Это философское содержание вывода совершенно идеалистично. Больше того. «Вывод» вовсе не вытекает из посылки. Из признания непосредственного (интуитивного) характера основных воззрений математики отнюдь не следует вывод об априорности математических аксиом, а следует только вопрос: на чем основывается та непосредственность, с какой высокоразвитому математическому сознанию представляются эти аксиомы? А решить этот вполне законный и необходимый вопрос можно только на основе диалектического понимания процесса познания и материалистического понимания опыта. И Брауэру, и Вейлю такое понимание осталось чуждым и неизвестным. Поэтому рассматриваемый в философском разрезе «интуиционизм» в лучшем случае только еще раз подтверждает важный для теории знания факт, что существуют положения и принципы математического знания, которые для современного сознания представляются непосредственными. При этом «интуиционизм» отказывается (как математическое течение, он имеет право так "поступать) от дальнейшего философского исследования генезиса самой этой непосредственности. Но, отказываясь от такого исследования, «интуиционизм» Брауэра тем не менее отдается руководству предвзятых и превратных идеалистических теорий и учений об абсолютной спонтанности мыслящего духа. Поэтому в философском отношении он топчется на месте. Он не идет по сути дальше того

261

понятия об интуиции, которое было выработано рационалистами XVII столетия.

Совершенно иным будет взгляд на значение, какое принцип «интуиционизма» получил для обоснования и развития математики как специальной науки, поскольку он свободен от предпосылок идеалистической философии. В сфере математики, под давлением ее задач и в рамках понятий этой специальной, несмотря на всю ее великую всеобщность, науки в понятие интуиции и интуитивного обоснования математического знания были внесены важные изменения и уточнения. Уточнения эти освобождали математическую мысль от внушений идеалистической философии и оказались чрезвычайно плодотворными и перспективными для развития математики и целого комплекса ее специальных дисциплин.

Позиция и устремления математического «интуиционизма» имеют предпосылкой отрицательное отношение «интуиционистов» к абсолютизации логических и формальных основ математики. «Интуиционизм», конечно, пользуется и математической логикой и методами формализации. Поэтому отношение «интуиционизма» к «логицизму» в духе Рассела или к «формализму» в смысле Гильберта ни в коем случае не есть отрицание ценнейших для науки результатов их исследований.

У «интуиционистов» предметом критики стало убеждение «логицистов» в том, будто все здание математики может быть возведено на основе одной только логики. «Интуиционизм» прослеживает возникновение и разработку этого убеждения. Вейль напоминает, что уже Ганкель в 1867г. в теории комплексных чисел заявлял: «Условием построения всеобщей арифметики является... очищенная от всего интуитивного чисто интеллектуальная математика, чистое учение о формах, в которой исследуются не количества или их образы, числа, а интеллектуальные объекты, которым могут, но вовсе не должны соответствовать действительные объекты или отношения между ними» (см. 5, 56. Курсив мой. - В. А.). В этой «логизированной» до конца математике ее «аксиомы превращаются

262

в скрытые определения содержащихся в них основных понятий» (5, 56). «Чистая», как называет ее Вейль, математика «признает только одно, но зато совершенно обязательное условие истины - именно непротиворечивость» (5, 56). Впоследствии задача, намеченная Ганкелем с целью построения всеобщей арифметики, получила полное и всеобъемлющее развитие в исследованиях Дедекинда, Фреге и Рассела. По словам Вейля, эти исследователи «как раз и имели целью полностью логизировать математику» (5, 74). Авторы этого направления полагали, что столь важный для математики принцип полной индукции может быть обоснован логически - «на трансфинитном применении понятий «все» и «существует»; при этом в теории множеств стирается демаркационная линия между математикой и логикой» (5, 74). Сначала общая арифметика так называемых гиперкомплексных чисел, а затем исследования, посвященные вопросам аксиоматики, развитие теории множеств и логистики приводят к тому, что «различие между математикой и логикой постепенно стирается» (5, 87). В 1870 г. Б. Пирс (В. Peirce. He смешивать с основателем прагматизма Чарльзом Пирсом!) определяет математику как науку «о производстве необходимых умозаключений» (5, 87). В своей книге «Введение в математическую философию» Бертран Рассел писал: «Логика стала более математической, математика- более логической... В действительности они составляют одно» (80, 194). А в первом томе «Логических исследований» Гуссерль указывал, что значительная часть теорий, принадлежащих к «чистой», или «формальной», логике, «уже давно складывалась в виде чистой (в особенности «формальной») математики и обрабатывается математиками...» (61, 252).

Идея «формализации» математики была развита также в «формализме» Гильберта. В его системе понятия математики освобождаются от всякого содержания, в том числе даже от чисто логического. У Гильберта теоремы (согласно характеристике Вейля) «превращаются в лишенные всякого смысла фигуры, составленные из комбинаций нескольких

263

символов, и математика оказывается уже не знанием, а управляемой некоторыми условными правилами игрой в формулы, вполне подобной игре в шахматы. Шахматным фигурам в математике соответствует ограниченный запас символов, расположению фигур на доске - объединение символов в формулу. Одна или несколько формул принимаются за аксиомы; им соответствует известное расположение фигур в начале шахматной партии. И подобно тому как в шахматах из какой-нибудь конфигурации после подчиненного известным правилам передвижения фигур хода получается новое расположение фигур на доске, так ив математике действуют формальные правила вывода, согласно которым из одних формул могут быть получены, «выведены» новые формулы» (5, 27). Размещение фигур на доске, полученное из их начального расположения в шахматной партии, разыгранной по всем правилам игры, может быть названо «правильным размещением». В математике аналогичную роль играет доказанная формула, получающаяся из аксиом на основе правил умозаключения. Можно представить себе в шахматной игре ситуации, противоречащие ее правилам. Таким противоречием было бы, например, наличие в одной игре на доске 10 ферзей одного и того же цвета. Аналогично и в математике некоторые формулы определенного начертания квалифицируются как противоречия. Наконец, есть аналогия между целью шахматной игры, какой является мат, и некоторыми формулами математики: формулы эти «вызывают в играющем в математику желание получить их в качестве результирующей формулы из подходящим образом подобранной цепи ходов в правильно разыгранной партии доказательства» (5, 27).

Аналогия с шахматной игрой очень хорошо иллюстрирует устремление «формализма». Но даже в столь радикальном своем виде математический «формализм» не может исчерпать все задачи и весь метод математики. Тот же Гильберт признал уже в работах 1922 г., что, кроме формализованной математики, исключающей всякое обращение к интуиции и всякое

264

содержательное мышление, необходимо существует еще другая математика, именуемая по почину того же Гильберта «метаматематикой». В ней развивается дедукция, приводящая к выводу, что конечная формула какого-нибудь доказательства никогда не может быть противоречивой. Однако для оправдания этого вывода, единственного не поддающегося усилиям «формализма», Гильберт, как констатирует Вейль, «вынужден прибегнуть к обладающему содержанием и смыслом мышлению» (5, 28), вынужден построить «интуитивно-конечное умозаключение, опираясь на принцип полной индукции» (5, 28). И Вейль иллюстрирует это положение опять-таки с помощью аналогии с шахматной игрой. Эта игра может превратиться в знание, если мы докажем, что в шахматной партии при правильной расстановке фигур на доске не могут оказаться десять ферзей одного цвета. Кроме ферзя, стоящего на своем месте в начале партии, на доске могут оказаться ферзи того же цвета, например, белого, образовавшиеся в результате прохождения белых пешек на последнюю - восьмую линию клеток. Правила игры таковы, что ни один ход не дает возможности увеличить число пешек и ферзей одного и того же цвета. Если все пешки одного цвета прошли в ферзи, то сумма эта равна 9. Будем теперь рассматривать эту сумму как начальную. Ни при каком расположении фигур на доске она не может стать большей. Умозаключение, посредством которого мы приходим к этому знанию, есть интуитивное умозаключение, опирающееся на принцип полной индукции.

Аналогия здесь точная, однако точность ее распространяется только на ход доказательства, но отнюдь не на степень его сложности. В математике доказательство непротиворечивости конечной формулы чрезвычайно сложно.

Вейль напоминает, что Гильберт изложил свою теорию доказательства, сложившуюся у него около 1922 г., в работах «Новое обоснование математики» и «Логические основы математики». В первой из этих работ он формулирует расщепление математики r?a

265

формальную математику и «метаматематику». Развитие общей математической науки, поясняет Гильберт, осуществляется, с одной стороны, посредством получения (с помощью формального вывода) новых доказуемых формул из аксиом, а с другой стороны (с помощью содержательного вывода), посредством присоединения новых аксиом и доказательства непротиворечивости.

При этом Гильберт обращает внимание на то, что аксиомы и доказуемые предложения не являются истинами в абсолютном смысле. Абсолютными истинами, по его мнению, следует скорее считать воззрения на доказуемость и непротиворечивость систем формул, порождаемые его теорией доказательства (то есть «метаматематикой»).

Таким образом, у Гильберта - лидера крайнего «формализма» - математика расчленилась на математику формальную («формальную теорию») и «метаматематику» («теорию доказательства»). Математика изучает формальную систему в целом. Метаматематику, относящуюся к какой-либо конкретной формальной системе, американский исследователь Клини впоследствии назвал «метатеорией» (см. 9, 60). В отличие от формальной теории «метатеория», по словам Клини, «принадлежит интуитивной, неформальной математике... Утверждения метатеории должны быть понимаемы. Ее выводы должны убеждать. Они должны состоять в интуитивных умозаключениях, а не в применении установленных правил, как выводы в формальной теории» (9, 61). Для нее невозможна полная абстракция от смысла, составляющая условие строгой формализации теории. Применяемые в ней методы «используют только интуитивно представляемые предметы и осуществимые процессы» (9, 61). Для самого определения формальной математики необходима математика интуитивная (см. 9, 61).

Но метаматематика не совпадает полностью с «интуиционистской» математикой. Исторически первая возникла в результате исследований как «инту-иционистов», так и «логицистов»,

266

В настоящей работе рассматривается только то, что было сделано для подготовки современной метаматематики «интуиционизмом». В вопросе об основах математики «интуиционизм» исходил из того, что ни одна наука, в том числе философия и логика, не может быть предпосылкой или основой математики. Математика не есть часть логики, не есть, как выразился однажды Рассел, «зрелый возраст логики» (80, 194). По Брауэру, применение в математике доказательства каких-либо философских или логических положений в качестве средств ее обоснования было бы порочным кругом, так как при самой своей формулировке эти положения уже предполагают математическое образование понятий (см. 7, 20). Таким образом, у Брауэра получается вывод, что математика как наука свободна от логических предпосылок. Но в таком случае единственным источником математики - таково утверждение Брауэра- может быть интуиция. Именно интуиция, и только она одна, дает с непосредственной ясностью понятия и выводы математики.

Но что представляет собой математическая интуиция, согласно пониманию Брауэра? По правде говоря, было бы трудно найти у Брауэра положительное определение сущности интуиции. Скорее он предлагает лишь отрицательные характеристики. Так, по Брауэру, интуиция не есть, во-первых, интуиция «чувственная». Она не опирается на воображение. Она не есть, во-вторых, «сверхчувственная» и «сверхразумная» интуиция мистиков. Об этом хорошо говорит Рейтинг в уже цитированном обзоре: «Не следует понимать Вго1шег'овскую интуицию в том смысле, что она доставляет нам неким «мистическим» образом узрение (Einsicht) мира» (7, 20). Интуиция Брауэра не есть, в-третьих, интуиция Декарта, Лейбница, говоря вообще, не есть интуиция старых рационалистов.

В отличие от чувственной интуиции математическая, или теоретическая, интуиция «интуиционистов» не сводима к узрению чувственных явлений. Она,

267

по выражению Вейля, не феноменальна. Она предполагает «веру» в реальность1.

В отличие от интуиции мистической интуиция ма-тематиков-«интуиционистов» не есть видение трансцендентного- в смысле потустороннего, запредельного по отношению к явлениям, принципиально отделенного от явлений. «Интуиционизм» несовместим не только с пониманием интуиции в духе Н. О. Лос-ского 2 или С. Л. Франка 3, но и со взглядами на интуицию, которые развивал, например, Фихте в последний период своей деятельности. Именно о Фихте Вейль говорит как о философе, ставшем жертвой «мистической ошибки, согласно которой трансцендентное может быть нами в конечном счете включено в круг интуитивного узрения» (5, 32).

«Интуиционисты» согласны с классическим рационализмом в том, что отделяет их взгляд от понимания интуиции как «чувственной» и как «мистической». Так же как и для рационалистов, для них органом интуитивного усмотрения является рассудок. В этом черта их сходства с Кантором, который, как было показано, считал, что основные понятия его математики покоятся на определениях рассудка и обладают непосредственной достоверностью, достигаемой с помощью «внутреннего видения».

Но, соглашаясь в вопросе об интеллектуальном характере математического видения со старыми рационалистами и с Георгом Кантором, «интуициони-сты» решительно отвергли метафизическое понимание интуиции как статического, неподвижного усмотрения. Уже Брауэр заметил, что математика есть «бо-

1 Принципиальная ошибка Вейля в том, что он понимает эту «веру» слишком «либерально» - как веру «в реальность собственного и чужого Я, или в реальность внешнего мира, или в реальт ность божества» (5, 32).

2 Имеем в виду взгляд на интуицию, развитый Лосским в его раннем «Обосновании интуитивизма» (1906 г.) и в поздней книге «Чувственная, интеллектуальная и мистическая интуиция», Париж, 1938.

3 С. Л. Франк, Предмет знания, П., 1915, особенно часть вторая, стр. 179-321 и часть третья, стр.325-435; С. JJ. Франк, Непостижимое, Париж, 1939.

268

лее деяние (Tun), чем учение» (см. ?, 106). И Вейль в полном согласии с Брауэром поясняет, что интуиция, или созерцание, о котором говорят «интуиционисты», «вовсе не представляет собою состояния блаженного покоя, из которого оно не может никогда выйти» (5,55). Интуиция математического «интуиционизма» не есть интуиция ставшего, данного, завершенного, замкнутого, наличного в своей завершенности. Понятие о математическом объекте есть, согласно взглядам «интуиционистов», понятие об объекте становящемся, появляющемся не как целиком или вполне данное, а как данное лишь посредством построения. Такое построение «интуиционисты» часто называют «конструкцией», а свою логику и свой метод -«конструктивными».

В соответствии с этим «интуиционисты» по-своему понимают роль теорем в математике. Они разъясняют, что в математических так называемых теоремах о существовании «главную ценность представляет собой не сама теорема, а используемое при ее доказательстве построение»; без построения теорема «оказывается лишенной какой бы то ни было ценности тенью» (5, 23). Допустим, что мы рассматриваем вопрос о том, существует ли некоторая последовательность чисел или нет. Утверждать, что она существует, мы вправе, согласно «интуиционизму», только тогда, когда нам удастся построить закон, определяющий эту последовательность до бесконечности (см. 5, 23).

Какой смысл может при такой постановке вопроса иметь утвердительное и какой смысл -- отрицательное суждение? Чтобы получить утвердительный ответ, например, по вопросу о существовании определенного свойства ? у натуральных чисел, необходимо указать вполне конкретное число, обладающее свойством Е. Не исследование отдельных чисел, а только исследование сущности числа, как таковой, может быть основанием для отрицательного общего суждения: ведь никто не может исследовать все без исключения отдельные числа.

Но если «душа» доказательства, как это утверж-дэет «интуиционизм», в построении, то какой смысл

19 Зак. 195 269

может иметь отрицательное суждение, высказывающее мысль, что натуральный ряд чисел не обладает свойством ?? Каким способом в этом случае может быть достигнуто построение?

Очевидно, здесь отрицательное суждение «лишается всякого смысла» (5, 23). Но ведь общему отрицательному суждению можно сообщить форму утвердительного: «Всякая последовательность обладает свойством не-Е». Поставим вопрос: какой смысл при таком выражении может иметь само понятие «последовательности»? Очевидно, в этом случае последовательность понимается уже не как последовательность, сразу определяемая каким-то законом, а как последовательность становящаяся и только становящаяся, то есть возникающая, как утверждает Вейль, «раз за разом, в результате актов свободного выбора» (5,24). Например, посредством актов свободного выбора я получаю последовательность чисел: 2, 12, 18, 31, 8.

Я могу поставить вопрос, находится ли на 4-м месте этой последовательности простое число. Очевидно, ответ на этот вопрос будет утвердительный, так как 31-число простое. Теперь я вправе сказать, что определяемое моим вопросом свойство присуще данной последовательности. Справедливость этого утверждения уже не может быть изменена, каким бы образом ни происходило дальнейшее развертывание последовательности, будут или не будут простыми числами дальнейшие члены этой последовательности, получившиеся в результате свободного выбора. В работе «О новом кризисе основ математики» Вейль выразил идею свободно становящейся последователь* ности так: если последовательность «возникает постепенно, посредством свободных актов выбора, то ее следует рассматривать как становящуюся, а становящейся свободной последовательности (Wahlfolge) можно разумным образом приписывать только такие свойства, для которых дизъюнкция «да или нет» (присуще ли данное свойство последовательности