Часть 8.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

ПРОБЛЕМА ИНТУИЦИИ

В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ ПУАНКАРЕ

После возникновения в XVII столетии новой математики и в особенности после того как первоклассные ученые приступили к строго логической выработке анализа и в течение XIX в. добились в этом ценных результатов, в математике (и в логике) возникла тенденция, во многом изменившая прежнее - полулогическое, полуинтуитивное - понимание математики. Отныне стали стремиться к тому, чтобы не только довести до наивозможного минимума круг основных положений математики, приобретаемых с помощью интуиции, но и начисто свести математику к логике, рассматривать систему положений математики как результат строгой разработки учений логики. Подготовкой к обоснованию и выражению понятий математики понятиями логики была разработка языка логических символов, начатая Булем и выполненная в последнем десятилетии XIX в. и в первом десятилетии XX в. итальянским ученым Пеано и его последователями (Падоа и другими). Выражением важных математических понятий на языке понятий логики занимались немецкие математики Фреге и Дедекинд. Систематически это направление было развито анг-

236

личанами Расселом и Уайтхедом в капитальной трехтомной работе «Principia mathematical (первое издание в 1910-1913 гг.). Для них математика есть не что иное, как логика. Интуитивные элементы математики исключаются. Содержание науки выводится из весьма небольшого круга определений и положений, принимаемых без доказательства. Слова языка, посредством которых в обычной жизни выражаются логические отношения, заменяются точно фиксированными символами. Выведение новых положений из принятых определений и исходных положений производится согласно строгим правилам логики. Талантливость ученых, создавших это направление, соединялась с их величайшим одушевлением, с твердым убеждением в том, что направление это (получившее впоследствии название «логицизма») как бы впервые открывает математике ее настоящую сущность. В уже цитированной статье Рассел писал: «Один из главных триумфов новейшей математики заключается в открытии, в чем, действительно, состоит математика» (14,83).

Увлечение новым пониманием предмета математики и ее логического характера шло у «логицистов» рука об руку с энергичным отрицанием интуитивного обоснования математики. Этому отрицанию подверглись не только грубо интуитивная трактовка математики и, в частности, геометрии, предложенная Шопенгауэром *, но и учение Канта о пространстве и времени как априорных формах интуиции, на которые, согласно Канту, опираются априорные синтетические суждения в геометрии и арифметике. Кант прямо утверждал в «Критике чистого разума», будто «все геометрические принципы, например, то, что в треугольнике две стороны больше третьей, всегда выво-

1 Удивительное непонимание сущности анализа, проявленное Шопенгауэром, раскрыто в работе Альфреда Принцгейма «Ценность и мнимая не-ценность математики» (доклад на заседании Баварской академии наук в Мюнхене 14. III. 1904; напечатан в первом сборнике «Новых идей в математике», П., 1917, стр. 104-144). Ср. также критику Шопенгауэра у Кутюра (см. 12, 246).

17 Зак. 195 237

дятся из интуиции (aus der Anschauung) a priori с аподиктической достоверностью, но никогда не извлекаются из общих понятий линии и треугольника» (65,39).

Критика кантовского воззрения была критикой недостаточности рационализма в Кантовой теории математики. Критика эта выявила противоречие во взглядах Канта на логическую природу математики. Из некоторых мест второго издания «Критики чистого разума» ясно, что Кант допускал рассудочное происхождение геометрических истин и что в синтетическом единстве пространства он видел результат функции рассудка (см. 65, 160). Однако это признание роли интеллекта и логики в математических исследованиях и доказательствах подавляется у Канта основным для него воззрением, согласно которому априорные синтетические суждения имеют основу в интуиции- в наглядном созерцании. Уже Фреге, высоко оценивший проведенное Кантом различение синтетических и аналитических суждений, тем не менее подверг глубокой критике кантовскую теорию арифметики в своем труде «Основы арифметики» («Grundlagen der Arithmetik», Breslau, 1884; второе издание на немецком и параллельно на английском языках - «Die Grundlagen der Arithmetik» - «The Foundations of Arithmetic», Oxford, 1953).

Таким образом, разработка «логицистического» учения, сводящего математику к чистой логике, оказалась связанной со спором философских направлений. Одно из них восходило к Лейбницу с его аналитической теорией суждения и с его замыслом «Всеобщей характеристики» (алгебры), приложимой ко всем возможным формам дедукции и формализующей все здание науки. Другое имело опору в теории познания Канта - в его классификации суждений на аналитические и синтетические и в «трансцендентальной эстетике» с ее априорными формами пространства и времени, дающими начало различным формам математического созерцания.

Однако, несмотря на всю важность связи между направлениями математики и различными направле-

238

ниями теории познания, наметившиеся внутри математики различия и разногласия по вопросу об интуиции имели в числе своих движущих сил мощные мотивы, возникавшие в ходе развития самой математической науки и имманентные ее специфическому содержанию и специфической проблематике. В ходе этого развития неуклонно укреплялась и оформлялась мысль, что математика не связана с частными родами предметов, которые могут быть даны нашей интуиции. Из науки о числах и величинах математика все более превращалась в общий метод доказательства и открытия. Процесс этот произошел не вдруг, а развивался путем ряда последовательных достижений. До мысли, что математика не есть наука о числах и величинах и что она не необходимо обусловлена интуитивно воспринимаемыми свойствами объектов, дошли, как указывает Кутюра, «лишь мало-помалу, вслед за открытием барицентрического исчисления Мёбиуса, исчисления эквиполлентных Беллавитиса, геометрического исчисления Грассмана, кватернионов Гамильтона, проективной геометрии Штаудта, теории ансамблей (множеств. - В. Л.), теории субституций и групп, наконец, логического исчисления Буля» (12, 258). Именно Буль первый высказал положение, что занятие идеями числа и количества «не составляет сущности математики» (29, 12).

Следовательно, оформившаяся в новейшей математике критика интуиции как опоры и источника математического познания вовсе не была почерпнута математиками у философов. Начавшаяся в математике «тяжба» по вопросу о роли интуиции в математике, как правильно отметил Кутюра, была не только тяжбой «между Кантом и Лейбницем» (см. 18, 114), но и спором точек зрения, каждая из которых черпала доводы в свою пользу из соображений специально математического характера. В особенности направление, сводившее математику к логике («логистика», «логицизм»), стремилось подчеркнуть свою независимость от философии и доказать чисто математическое происхождение своей точки зрения. Такова была позиция Рассела в эпоху создания им основных тру-

17*

239

дов по математической логике и, в частности, позиция пропагандиста и защитника его идей Луи Кутюра.

Направление математического «логицизма» представляло род позитивизма в философии математики. Декларации о полной независимости «логицизма» от философии, сопровождавшиеся у Кутюра высокомерными и презрительными насмешками по адресу философов, выражали очень относительную истину и очень крупное принципиальное заблуждение. Относительная истина состоял а в том, что «логицисты» действительно ставили свои задачи как задачи чисто математические и стремились решать их только математическими средствами. Их отрицательное отношение к философии по сути было не столько отрицанием всей философии, философии вообще, сколько одной определенной философии - философии Канта; это был а критика интуитивизма его «трансцендентальной эстетики», критика его консервативной, вполне традиционной логики, его теории синтетических суждений. Напротив, «логицизм» очень уважительно отнесся к Лейбницу - к его аналитической теории суждения и истины, к его замыслу «Всеобщей характеристики», к его взгляду на определения и аксиомы. Совершенно не случайно поэтому, что именно Лейбницу были посвящены ценные исследования Рассела («A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz», 1900, 2-oe изд., 1937) и Кутюра («La logique de Leibniz», 1901; «Opuscules et fragments in?dits de Leibniz», 1903).

Принципиальное заблуждение «логицизма» состояло в иллюзии, будто критическая позиция, занятая «логицистами» в отношении Канта, означала достижение ими полной независимости от всякой фило« софии. В действительности наряду с аргументами, которые «логицизм» черпал из содержания самой математики как специальной _науки (в этом своем специальном содержании, не обусловленном философией и от нее независимом), «логицизм» исповедовал, не отдавая себе в этом полного отчета, вполне определенную философию (гносеологию). Это была гносеология особой формы рационализма, предвестие кото-

240

рой «логицисты» нашли в философии и математике Лейбница. В этом смысле вопреки заявлению Кутюра критика, осуществляемая «логицистами», все же оставалась «тяжбой» если не между Кантом и Лейбницем, то по крайней мере между рационализмом «наполовину», признававшим огромную роль чувственной интуиции в познании, и рационализмом более «интеллектуалистическим», более последовательным, чем кантовскии, стремившимся построить математику на чисто логической основе, без опоры или с минимальной опорой в интуиции. Попытка эта встретила критику. Первым серьезным критиком «логицистиче-ского» обоснования математики оказался- крупнейший французский математик Анри Пуанкаре. Критическому разбору идей «логицизма» Пуанкаре посвятил работу «Математика и логика», печатавшуюся в XIII и XIV томах журнала «Revue de M?thaphysique et de Morale» (p. 815-835 и 17-34; русский перевод их появился в десятом сборнике «Новых идей в математике», П., 1915, стр. 1-52). Свои взгляды он изложил также в главе «Интуиция и логи