Часть 7.

Таким образом, у основателей математики нового времени отчетливо выступает двоякая тенденция в понимании роли интуиции. Интуитивное, непосредственное, усмотрение отношений между математическими объектами рассматривается, с одной стороны, как залог математической достоверности, а самые интуиции - как исходные строительные элементы математики. Как сказано выше, взгляд этот мы находим не только у Декарта, но и у творца дифференци-

201

ального исчисления Лейбница !. Но, с другой стороны, тот же Лейбниц наметил уже идею чисто логической разработки математики - разработки, не зависимой от интуиции. В одном из писем к Христиану Гюйгенсу Лейбниц сообщает: «Я нашел некоторые начала нового, совершенно отличного от алгебры символического языка, благодаря которому можно будет представить с большой пользой, точно и сообразно с делом, без фигур, в мыслях, все то, что зависит от интуиции» (70, 570. Курсив мой. - В. А.). И в том же письме он намечает еще более широкое применение описанного им способа построения математики.

Однако развитие математики после Лейбница не сразу пошло в предуказанном им направлении. В самой школе последователей Лейбница, возглавлявшейся Христианом Вольфом, идея чисто аналитического понимания математики по существу не получила дальнейшего развития. В этой школе не было сколько-нибудь крупного математического или логического ума, который мог бы развить тенденцию, намеченную Лейбницем. Напротив, вскоре в Германии явился крупнейший мыслитель, идеи которого оказались в известной оппозиции к интеллектуализму Лейбница и к его аналитическому пониманию математики. Этот мыслитель - Кант.

В главе третьей настоящей работы было уже разъяснено, что Кант отверг интеллектуальную интуицию рационалистов. Но в этой главе позиция Канта была освещена главным образом с одной - философской - стороны. В ней показано, что отрицание интеллектуальной интуиции у Канта было обусловлено его гносеологическим агностицизмом, непризнанием способности ума постигать вещи, как они существуют сами по себе. Однако в учении Канта об интуиции было еще и другое содержание. Оно обратило на себя внимание и стало оказывать влияние на

1 «Самое совершенное знание, - писал Лейбниц, - то, которое в одно и то же время и адекватно, и интуитивно» (71, 422). И в другом месте: «При доказательстве всегда предполагают интуитивные знания» (72, 350).

202

развитие математики только в XIX, собственно, даже в XX в.

Воспитанный в философской атмосфере вольфи-анства, Кант по достижении философской самостоятельности вышел из круга его идей. Он пришел к выводу, что интеллектуализм Лейбница не в состоянии объяснить природу математического знания. Кант сохраняет из воззрений рационализма убеждение в том, что математика обладает безусловно всеобщими и необходимыми истинами и что эта всеобщность и необходимость не может происходить из опыта. Однако в отличие от рационалистов Кант полагает, будто независимые от опыта, то есть априорные, истины математики имеют своим источником не усмотрения интеллекта, или ума, а априорные созерцания, наглядные представления чувственности. Аксиомы геометрии и арифметики, по Канту, - априорные синтетические суждения, основывающиеся на формах интуиции, но эта интуиция не интеллектуальная, а чувственная.

Признавая чувственный характер форм интуиции, на которых основываются общие положения в геометрии и в арифметике, Кант одновременно сохранил в своей теории математики рационалистический тезис априоризма. В результате теория математического познания оказалась у Канта во многом не ясной, изобилующей противоречиями Ч Наличие этих противоречий привело к тому, что отношение к кантовской теории математики у представителей различных направлений, возникших в самой математике в конце XIX - начале XX в., было глубоко различным.

На рубеже XIX-XX вв. в логической литературе почти одновременно появились исследования французского ученого Луи Кутюра и английского - Бертрана Рассела, посвященные логике Лейбница. В самом выборе предмета исследования, а еще больше

1 Содержательный разбор противоречий Канта, неясностей и прямых ошибок имеется у Луи Кутюра в работе «Кантова философия математики» (помещена в качестве приложения к книге Л. Кутюра «Философские принципы математики», русский перевод, СПб., 1913, стр. 199-260).

203

в его трактовке сказалось новое понимание характера математики и отношения математики к логике. Все это отразилось на представлениях о роли интуиции в математическом знании.

Разработка математики в течение XIX в. выявила отсутствие необходимой строгости в дедукциях античной науки и, в частности, античной геометрии. Эта недостаточная строгость был а исторически неизбежна и в то время не являлась недостатком или ошибкой. Она была обусловлена доверием к наглядному представлению, к интуитивно созерцаемым образам геометрических объектов. Евклид, давший удивительную для своего времени (III век до н.'э.) систему математики и превосходные образцы дедуктивных построений, при осуществлении их в ряде случаев обращается к интуициям, к наглядным представлениям. Так, при доказательстве первой теоремы о конгруэнтности он прибегает к интуиции: Евклид исходит из того, что если перемещать в пространстве треугольник, не изменяя его формы и величины, то он может быть наложен на другой треугольник. Пример этот - типичный для Евклида и для всей вообще античной математики (и математики нового времени). Эта наука обращалась при построении доказательств к интуициям и рассматривала интуитивные предпосылки дедукций как аксиоматические. Интуиция казалась античным геометрам многообещающим средством доказательства - как по своей видимой простоте, так, в особенности, по непосредственности усмотрения. Уже в индийской математике были сделаны попытки развить геометрию как систему непосредственно очевидных истин. Для каждой теоремы придумывали соответствующий чертеж и вместо доказательства писали только одно слово: «смотри». Но и для ряда мыслителей нового времени непосредственность усмотрения казалась идеалом, к которому должно стремиться все знацие. Даже Фейербаху непосредственность созерцания представлялась целью знания, к которой идет вся новая философия. «Новейшая философия, - писал он в «Основах философии будущего», - домогалась чего-либо непосредст-

204

венно достоверного» (19, 186). «Истинно.., - пояснял он, - только то, что не нуждается ни в каком доказательстве, что непосредственно достоверно через само себя, что непосредственно говорит за себя и к себе располагает, непосредственно сопровождается утверждением, что оно есть это нечто безоговорочно определенное, безоговорочно несомненное, ясное, как солнце» (19, 187). С этой точки зрения, явно преувеличивавшей достоверность непосредственно очевидного, Фейербах отвергал положение Гегеля, согласно которому все опосредствовано. Превращать, как Гегель, опосредствование в божественную необходимость и важнейший признак истинности, по Фейербаху, схоластично. «Опосредствующая себя истина,- утверждает он, - есть истина, наделенная своей противоположностью» (19, 187).

Не только в философии нового времени, но и в математике - античной и новой начиная с XVII в.- логическим признаком интуиции считалась непосредственность выражаемого в них знания, а гносеологическим условием самой непосредственности - очевидность и совершенная ясность. Декарт, один из основателей математики нового времени, видел в ясности и отчетливости критерий истинности знаний. И точно так же Лейбниц считал, что ясность и очевидность есть достоверность и что она простирается за пределы наличных ощущений (см. 72, 426). И в развитие этой мысли Лейбниц говорил, что очевидность есть выступающая с ясностью достоверность, то есть «такая достоверность, в которой не сомневаются в силу связи, усматриваемой между идеями». В соответствии с этим Лейбниц находил, что интуиция как опора составляет необходимое условие науки и что научное сознание не вправе требовать, чтобы каждая научная истина доказывалась. «Было бы безумием, - пояснял он, - ожидать логического доказательства по каждому вопросу и не действовать сообразно ясным и очевидным истинам, если они не удостоверяемы доказательствами» (72, 426).

Однако тот же Лейбниц уже хорошо понимал, что в математике интуитивная очевидность отнюдь не

15 Зак. 195 205

есть основание для отказа от строго логического выведения истин, которые представляются уму как ясные и очевидные. По словам Лейбница, уже Евклид «отлично понял это, доказывая с помощью разума то, что достаточно ясно на основании опыта и чувственных образов» (72, 43).

По Лейбницу, недоказуемы только «первичные», или «непосредственные», аксиомы (axiomes primitifs ou imm?diats). Они «тождественные предложения» (les identiques) (см, 72, 388). Напротив, так называемые «вторичные аксиомы» (axiomes secondaires) не только могут быть доказанными, но доказательство их в высшей степени желательно. «Было бы важно, - говорит Лейбниц, - доказать все наши вторичные аксиомы, которыми обычно пользуются, сводя их к первичным, или непосредственным, и недоказуемым аксиомам» (72, 388). Проницательному уму Лейбница математика представлялась наукой будущего, в которой все истины строго доказываются: они выводятся по правилам формальной логики из небольшой группы первичных тождественных аксиом. В этой математике фонд исходных положений, принимаемых в качестве интуитивно истинных, должен быть сведен до возможного минимума, а вся наука в целом должна получить логическую форму дедуктивной системы.

Но на пути к указанному построению математики стояли немалые препятствия и трудности. Необходимо было осознать недостаточность и ненадежность интуиции, на которой основывалась античная математика и математика нового времени. Сознание это пришло не сразу. Бертран Рассел в статье «Новейшие работы о началах математики» («International Monthly», July, 1901; русский перевод (1917 г.) в «Новых идеях в математике», Сборник первый, см. 14, 82-103) показал, что на начальных стадиях развития математики интуитивная ясность и очевидность способна