Часть 7.

Таким образом, у основателей математики нового времени отчетливо выступает двоякая тенденция в понимании роли интуиции. Интуитивное, непосредственное, усмотрение отношений между математическими объектами рассматривается, с одной стороны, как залог математической достоверности, а самые интуиции - как исходные строительные элементы математики. Как сказано выше, взгляд этот мы находим не только у Декарта, но и у творца дифференци-

201

ального исчисления Лейбница !. Но, с другой стороны, тот же Лейбниц наметил уже идею чисто логической разработки математики - разработки, не зависимой от интуиции. В одном из писем к Христиану Гюйгенсу Лейбниц сообщает: «Я нашел некоторые начала нового, совершенно отличного от алгебры символического языка, благодаря которому можно будет представить с большой пользой, точно и сообразно с делом, без фигур, в мыслях, все то, что зависит от интуиции» (70, 570. Курсив мой. - В. А.). И в том же письме он намечает еще более широкое применение описанного им способа построения математики.

Однако развитие математики после Лейбница не сразу пошло в предуказанном им направлении. В самой школе последователей Лейбница, возглавлявшейся Христианом Вольфом, идея чисто аналитического понимания математики по существу не получила дальнейшего развития. В этой школе не было сколько-нибудь крупного математического или логического ума, который мог бы развить тенденцию, намеченную Лейбницем. Напротив, вскоре в Германии явился крупнейший мыслитель, идеи которого оказались в известной оппозиции к интеллектуализму Лейбница и к его аналитическому пониманию математики. Этот мыслитель - Кант.

В главе третьей настоящей работы было уже разъяснено, что Кант отверг интеллектуальную интуицию рационалистов. Но в этой главе позиция Канта была освещена главным образом с одной - философской - стороны. В ней показано, что отрицание интеллектуальной интуиции у Канта было обусловлено его гносеологическим агностицизмом, непризнанием способности ума постигать вещи, как они существуют сами по себе. Однако в учении Канта об интуиции было еще и другое содержание. Оно обратило на себя внимание и стало оказывать влияние на

1 «Самое совершенное знание, - писал Лейбниц, - то, которое в одно и то же время и адекватно, и интуитивно» (71, 422). И в другом месте: «При доказательстве всегда предполагают интуитивные знания» (72, 350).

202

развитие математики только в XIX, собственно, даже в XX в.

Воспитанный в философской атмосфере вольфи-анства, Кант по достижении философской самостоятельности вышел из круга его идей. Он пришел к выводу, что интеллектуализм Лейбница не в состоянии объяснить природу математического знания. Кант сохраняет из воззрений рационализма убеждение в том, что математика обладает безусловно всеобщими и необходимыми истинами и что эта всеобщность и необходимость не может происходить из опыта. Однако в отличие от рационалистов Кант полагает, будто независимые от опыта, то есть априорные, истины математики имеют своим источником не усмотрения интеллекта, или ума, а априорные созерцания, наглядные представления чувственности. Аксиомы геометрии и арифметики, по Канту, - априорные синтетические суждения, основывающиеся на формах интуиции, но эта интуиция не интеллектуальная, а чувственная.

Признавая чувственный характер форм интуиции, на которых основываются общие положения в геометрии и в арифметике, Кант одновременно сохранил в своей теории математики рационалистический тезис априоризма. В результате теория математического познания оказалась у Канта во многом не ясной, изобилующей противоречиями Ч Наличие этих противоречий привело к тому, что отношение к кантовской теории математики у представителей различных направлений, возникших в самой математике в конце XIX - начале XX в., было глубоко различным.

На рубеже XIX-XX вв. в логической литературе почти одновременно появились исследования французского ученого Луи Кутюра и английского - Бертрана Рассела, посвященные логике Лейбница. В самом выборе предмета исследования, а еще больше

1 Содержательный разбор противоречий Канта, неясностей и прямых ошибок имеется у Луи Кутюра в работе «Кантова философия математики» (помещена в качестве приложения к книге Л. Кутюра «Философские принципы математики», русский перевод, СПб., 1913, стр. 199-260).

203

в его трактовке сказалось новое понимание характера математики и отношения математики к логике. Все это отразилось на представлениях о роли интуиции в математическом знании.

Разработка математики в течение XIX в. выявила отсутствие необходимой строгости в дедукциях античной науки и, в частности, античной геометрии. Эта недостаточная строгость был а исторически неизбежна и в то время не являлась недостатком или ошибкой. Она была обусловлена доверием к наглядному представлению, к интуитивно созерцаемым образам геометрических объектов. Евклид, давший удивительную для своего времени (III век до н.'э.) систему математики и превосходные образцы дедуктивных построений, при осуществлении их в ряде случаев обращается к интуициям, к наглядным представлениям. Так, при доказательстве первой теоремы о конгруэнтности он прибегает к интуиции: Евклид исходит из того, что если перемещать в пространстве треугольник, не изменяя его формы и величины, то он может быть наложен на другой треугольник. Пример этот - типичный для Евклида и для всей вообще античной математики (и математики нового времени). Эта наука обращалась при построении доказательств к интуициям и рассматривала интуитивные предпосылки дедукций как аксиоматические. Интуиция казалась античным геометрам многообещающим средством доказательства - как по своей видимой простоте, так, в особенности, по непосредственности усмотрения. Уже в индийской математике были сделаны попытки развить геометрию как систему непосредственно очевидных истин. Для каждой теоремы придумывали соответствующий чертеж и вместо доказательства писали только одно слово: «смотри». Но и для ряда мыслителей нового времени непосредственность усмотрения казалась идеалом, к которому должно стремиться все знацие. Даже Фейербаху непосредственность созерцания представлялась целью знания, к которой идет вся новая философия. «Новейшая философия, - писал он в «Основах философии будущего», - домогалась чего-либо непосредст-

204

венно достоверного» (19, 186). «Истинно.., - пояснял он, - только то, что не нуждается ни в каком доказательстве, что непосредственно достоверно через само себя, что непосредственно говорит за себя и к себе располагает, непосредственно сопровождается утверждением, что оно есть это нечто безоговорочно определенное, безоговорочно несомненное, ясное, как солнце» (19, 187). С этой точки зрения, явно преувеличивавшей достоверность непосредственно очевидного, Фейербах отвергал положение Гегеля, согласно которому все опосредствовано. Превращать, как Гегель, опосредствование в божественную необходимость и важнейший признак истинности, по Фейербаху, схоластично. «Опосредствующая себя истина,- утверждает он, - есть истина, наделенная своей противоположностью» (19, 187).

Не только в философии нового времени, но и в математике - античной и новой начиная с XVII в.- логическим признаком интуиции считалась непосредственность выражаемого в них знания, а гносеологическим условием самой непосредственности - очевидность и совершенная ясность. Декарт, один из основателей математики нового времени, видел в ясности и отчетливости критерий истинности знаний. И точно так же Лейбниц считал, что ясность и очевидность есть достоверность и что она простирается за пределы наличных ощущений (см. 72, 426). И в развитие этой мысли Лейбниц говорил, что очевидность есть выступающая с ясностью достоверность, то есть «такая достоверность, в которой не сомневаются в силу связи, усматриваемой между идеями». В соответствии с этим Лейбниц находил, что интуиция как опора составляет необходимое условие науки и что научное сознание не вправе требовать, чтобы каждая научная истина доказывалась. «Было бы безумием, - пояснял он, - ожидать логического доказательства по каждому вопросу и не действовать сообразно ясным и очевидным истинам, если они не удостоверяемы доказательствами» (72, 426).

Однако тот же Лейбниц уже хорошо понимал, что в математике интуитивная очевидность отнюдь не

15 Зак. 195 205

есть основание для отказа от строго логического выведения истин, которые представляются уму как ясные и очевидные. По словам Лейбница, уже Евклид «отлично понял это, доказывая с помощью разума то, что достаточно ясно на основании опыта и чувственных образов» (72, 43).

По Лейбницу, недоказуемы только «первичные», или «непосредственные», аксиомы (axiomes primitifs ou imm?diats). Они «тождественные предложения» (les identiques) (см, 72, 388). Напротив, так называемые «вторичные аксиомы» (axiomes secondaires) не только могут быть доказанными, но доказательство их в высшей степени желательно. «Было бы важно, - говорит Лейбниц, - доказать все наши вторичные аксиомы, которыми обычно пользуются, сводя их к первичным, или непосредственным, и недоказуемым аксиомам» (72, 388). Проницательному уму Лейбница математика представлялась наукой будущего, в которой все истины строго доказываются: они выводятся по правилам формальной логики из небольшой группы первичных тождественных аксиом. В этой математике фонд исходных положений, принимаемых в качестве интуитивно истинных, должен быть сведен до возможного минимума, а вся наука в целом должна получить логическую форму дедуктивной системы.

Но на пути к указанному построению математики стояли немалые препятствия и трудности. Необходимо было осознать недостаточность и ненадежность интуиции, на которой основывалась античная математика и математика нового времени. Сознание это пришло не сразу. Бертран Рассел в статье «Новейшие работы о началах математики» («International Monthly», July, 1901; русский перевод (1917 г.) в «Новых идеях в математике», Сборник первый, см. 14, 82-103) показал, что на начальных стадиях развития математики интуитивная ясность и очевидность способна была приводить и порой приводила к заблуждениям. На ранней стадии науки «каждое предложение представляется самоочевидным, и поэтому трудно видеть, следует ли одно самоочевидное

206

предложение из другого или нет» (14,85). Возникает нетерпимое в своей парадоксальности положение: очевидность вступает во вражду с точностью (см. 14, 85). И действительно: часто «нисколько не является самоочевидным, что одно очевидное предложение вытекает из другого очевидного предложения» (14, 85). Поэтому доказательство такого положения вовсе не пустое и праздное занятие. Напротив, доказывая очевидное, математика тем самым открывает «действительно новые истины» (14, 85). Поэтому возникновение математики нового времени (аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление) должно было со временем привести не только к расширению области предметов науки, но и к большей строгости в требованиях, предъявляемых доказательности, логическому построению, логической безупречности дедукций. Только на первых порах развития науки важность и необходимость расширения области открытых истин и обусловленная этой необходимостью энергия исследования брали верх над заботой о логической выработке новой математики. «Великие изобретения семнадцатого столетия ·- аналитическая геометрия и исчисление бесконечно малых, - поясняет Рассел, - были так богаты плодотворными результатами, что математики не имели ни времени, ни желания для точного обоснования этих доктрин»1 (14, 102).

Однако слишком долго такое положение вещей продолжаться не могло. Развитие анализа и геометрии требовало строгого логического обоснования. Это обоснование было осуществлено в XIX в. в трудах великих математиков начиная от Гаусса и Коши и кончая Вейерштрассом (см. 10, 7 и ел.).

Успехи логического обоснования математики XIX в. уменьшали значение интуиции в развитии математического знания. Интуиция оказывалась не

1 Вряд ли они смогли бы представить это обоснование, даже если бы обладали в избытке и желанием сделать это, и необходимым временем. Отсутствие потребности в строгом обосновании математических доктрин было в то время обусловлено уровнем развития самой математики.

15* 207

только недостаточным основанием науки. Было выяснено, что доверие, с каким относилась к интуиции античная математика, привело к признанию положений, которые оказались просто ошибочными. Очевидность вступала в противоречие не только с точностью, но и с самой истиной.

Роковым в деле развенчания роли интуиции, точнее, в развенчании взгляда, приписывавшего ей безусловное значение, оказалось, во-первых, развитие теории параллельных в геометрии, во-вторых, открытие кватернионов. В первой книге «Начал Евклида» вводится определение параллельных (опр. 23): «Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой «стороны» между собой не встречаются». Вслед за этим определением Евклид формулирует знаменитый пятый постулат (иначе - одиннадцатую аксиому). Постулат этот гласит: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых» (13, 15). Из определения и постулата видно, что через точку параллельно прямой в одной с нею плоскости можно провести некоторую линию, и притом только одну.

Евклидовы определение и постулат параллельных вполне соответствовали интуитивно-логическому характеру античной геометрии и в то же время выводили за ее пределы. С одной стороны, пятый постулат как будто опирался на интуитивную очевидность. С другой стороны, определение параллельных указывало признак, в отсутствии которого возможно удостовериться только при продолжении прямых в бесконечность. Это усмотрение было уже недоступно интуиции. Так как античному сознанию было чуждо понятие о бесконечности, то уже античные математики стали искать доказательства пятого постулата. Они искали их не потому, что интуитивная очевидность самого постулата казалась им сомнительной, а потому что они не могли принять его формулировку,

208

предполагавшую чуждые им понятия (об этом см. примечания к I-VI книгам «Начал Евклида», составленные Д.Д. Мордухай-Болтовским, стр. 236 и ел.).

Но как бы то ни было, однажды начавшись, исследование пятого постулата Евклида сыграло важную роль. Оно обнаружило недостаточность интуитивной очевидности как средства построения геометрии и вообще математики. Оно выявило, что в расчленении античного математического доказательства только одна из составных частей представляет логическую операцию, все остальные относятся либо к чертежу, то есть интуитивно представляемому образу, либо к словесному способу выражения (см. 13, 255).

Освобождение от некритического доверия к чувственной интуиции было важным условием успеха в трудном деле строгого обоснования математики. В особенности в математике XIX в. увеличилось число строго доказанных (аналитически) положений, которые представлялись противоречащими непосредственным данным интуиции и потому подрывающими ее значение для обоснования науки. «Открытие непрерывных функций, не имеющих производных, которым в аналитической геометрии отвечают непрерывные кривые, не имеющие касательных, доказательство возможности изобразить кривую на сплошной площадке, становящаяся все более ясной недостаточность старого взгляда на числа, в особенности на иррациональные числа, развитие понятия о непрерывности и учения о сходимости рядов, а также целый ряд других обстоятельств,--писал И. Велыытейн в «Основаниях геометрии», - привели к тому, что подорвали в корне слепую веру в надежность наших чувственных представлений и создали в математике критическое направление» (20, 9).

С возникновением математики нового времени в логическом обосновании математических истин был достигнут большой прогресс. Интуиции, как уже сказано, сыграли важную роль при первоначальном возникновении некоторых математических понятий. Например, интуитивно представляемые образы кривой с касательной к ней в каждой ее точке, а также

209

движения точки с определенной скоростью в каждый момент привели к возникновению важных понятий непрерывности и производной. Когда же эти понятия возникли и получили строгое логическое обоснование, оказалось, что они ведут к следствиям, логически необходимым, но уже совершенно недоступным для интуиции. Так, Вейерштрасс указал уравнение некоторой кривой: оо

t/ = / , Ьп · cos (ап пх), о

где о<6<1 и ? - число нечетное. В этом уравнении функция от А: определяется бесконечным рядом, стоящим в ее правой части. Эта функция характеризуется таким свойством, что она непрерывна, но не имеет производной ни для одного значения аргумента. Геометрически это значит, что кривая Вейерштрасса непрерывна, но ни в какой своей точке не имеет касательной: на любом конечном промежутке она имеет бесконечно большое число бесконечно малых колебаний.

Исследование Вейерштрасса имело принципиальное значение. Оно обнаружило, что для функции указанного вида невозможно интуитивно вообразить кривую линию, обладающую охарактеризованным свойством. В то же время стало ясно, что с помощью логических определений и операций анализа математика может систематически исследовать и точно представить свойства такой кривой.

В чем же коренилась - в этом случае, как и в других, - причина несостоятельности интуиции? Согласно разъяснению выдающегося немецкого математика Феликса Клейна, интуитивный образ линии есть не абстрактно геометрическая «длина без ширины», а некоторая узкая полоска. Какой бы она ни была узкой, но ее конечная, интуитивно воспринимаемая ширина поглощает неуловимые для созерцания тонкости строения идеализированного абстрактного геометрического образа.

Особенно много неточностей, обусловленных недостаточной логической строгостью доказательств и

210

чрезмерным доверием к интуитивной очевидности, имеется как раз в первых теоремах (предложениях) «Начал Евклида». Уже первое предложение вводится без достаточного логического обоснования. Здесь для построения равностороннего треугольника на данном основании из обоих концов прямой проводятся окружности двух кругов с радиусом, равным данному основанию, а затем точка пересечения обеих окружностей соединяется с концами прямой. В построенном таким способом треугольнике все его стороны равны, так как точка пересечения окружностей есть конец их радиусов, равных основанию. Бездоказательность этого построения в том, что оно покоится на интуитивно принимаемом допущении, будто круги, полученные вращением основания вокруг обоих его концов, необходимо пересекаются. Но ни одна из принятых Евклидом аксиом не содержит доказательства этого допущения. К тому же последующее развитие математики открыло много типов пространства, таких, что круги, проведенные в них указанным способом, отнюдь не всегда пересекаются. В конце концов в первых восьми предложениях Евклида оказалось столько недочетов в логическом обосновании выводимых положений, что, учитывая их, Рассел пришел даже к заключению, что Евклид «имеет теперь только исторический интерес» и что его великая книга, не обладающая ни качеством легкой понятности, ни качеством совершенной математической точности, «не заслуживает того места, которое занимает Евклид в нашей образовательной системе» (14, 101).

Важным фактором в деле «логизации» математики и ограничения в ней роли интуиции оказалась критика кантовской теории познания и кантовской философии математики. Критику эту развили Рассел и его последователь Кутюра.

Кант полагал, что теоремы геометрии доказываются только посредством построения фигур в интуитивно представляемом пространстве и посредством проведения вспомогательных линий. Он думал также, будто всякое необходимое для доказательства

211

построение непременно опирается на интуицию, на наглядное представление. Неокантианцы продолжали развивать этот взгляд Канта. Так, например, кантианец Леонард Нельсон в статье об интуиции в математике (русский перевод в «Новых идеях в математике», Сборник восьмой, СПб., 1914), признавая правомерным и полезным для научной. строгости стремление математики «выключить из систематического развития доказательств обращение к интуиции и избегать, в особенности при выводе арифметических положений, помощи геометрических интерпретаций» (17, 32), не соглашался, однако, с тем, что целью «арифметизации» математики является «полное вытеснение математической интуиции и замена ее логическим формализмом» (17, 32-33). Он называл такое предположение ошибочным и утверждал, что «даже самое полное проведение арифметизирования не сможет сделать излишней математическую интуицию. Ведь доказательство есть не что иное, как логическое сведение какой-нибудь теоремы к аксиомам и, значит, через посредство их к интуиции» (17, 33). Даже в арифметике аксиома, согласно которой за каждым числом следует другое число, «никоим образом не может рассматриваться как некоторая логическая необходимость. Следовательно, аксиома эта имеет своим источником не чистое мышление, но чистую интуицию» (17, 38).

У того же Нельсона мы находим любопытное высказывание, обнажающее мотив, по которому кантианцы (как, впрочем, и рационалисты XVII в.) считали именно интуицию источником всеобщности и необходимости математического знания. По утверждению Нельсона, математическое знание имеет замечательную и загадочную особенность: аподиктичность его будто бы «запрещает нам искать источника познания его в эмпирии; с другой же стороны, благодаря не-евклидовой геометрии мы знаем, что этот источник познания наверное не может заключаться в логике» (17, 48). Для разрешения этой «загадочной» (как- он ее именует) особенности математического познания Нельсон и ссылается на кантовскую

212

«чистую» интуицию пространства и времени. Такая интуиция «есть познание не логического рода, а в качестве «чистого» наглядного представления оно есть познание не-эмпирического рода. С логическим познанием оно имеет общим необходимость, с эмпирическим- интуитивность...» (17,48).

Утверждение Канта, будто геометрическое доказательство черпает убеждающую силу только в пространственной интуиции, в образах наглядного представления, Кутюра отвергает как ошибочное: по Кутюра, никогда не следует ссылаться на данные в интуиции свойства фигур, так как часто свойства эти - лишь кажущиеся и при доверии к ним приводят к софизмам (см. 12, 239). Что касается «вспомогательных построений», то они простые метафоры, почерпнутые из сферы практики: начерченная в ходе доказательства фигура всегда есть уже результат некоторой идеализации опыта, и свойства ее предопределены дефиницией фигуры. Сказать: «Соединим точки А и В» значит не больше, чем сказать: «Точки А и В определяют прямую в силу самого определения прямой» (12, 239). По мнению Кутюра, пример этот типический. Нельзя построить - с выгодой для математики- никакой такой фигуры, свойства которой не были бы уже наперед заданы определениями, принятыми в науке. Даже если построения необходимы, они не заключают в себе обращения к интуициям. Но построения не всегда безусловно необходимы. Правда, доказательства Евклида действительно опираются на построения вспомогательных линий, часто очень сложные. Но во многих случаях путь этих доказательств не неизбежен и слишком искусствен, запутан. Как правило, они могут быть заменены гораздо менее сложными и прямыми доказательствами. Там, где эта замена осуществлена, доказательство основывается на существенных свойствах исследуемой фигуры и обычно не требует введения никаких вспомогательных линий. Нет непреложной необходимости «видеть», например, плоскости,прямые и т.п.; достаточно знать их взаимные отношения и применить к ним соответствующие теоремы. В конце концов геометрическое

14 Зак. 195 213

доказательство может быть одной лишь формальной логической дедукцией1 (см. 12, 239-242).

По Канту, математика интуитивна, поскольку дает общее в единичном наглядном представлении. Но практика математического творчества, по мнению Кутюра, противоречит этому утверждению. При доказательстве математика ссылается-не на интуитивно усматриваемые свойства исследуемой единичной фигуры, а только на те ее свойства, которые вытекают из ее определения (или из ее построения). Геометрическая интуиция не есть залог ни истинности доказываемого положения, ни логической строгости самого доказательства. Часто правильно умозаключают по фигуре, приблизительно начерченной или даже неверной. Часто неправильно умозаключают по фигуре, тщательно выполненной, если при этом принимают во внимание свойство эмпирическое, но не вытекающее из определений.

Кутюра согласен еще признать, что интуиция играет известную роль в синтетической геометрии: здесь она применима как вспомогательное средство. Но роль интуиции снижается до минимума, когда от синтетической геометрии совершается переход к аналитической геометрии, к проективной геометрии и к геометрическим счислениям. Результаты аналитической геометрии получаются, согласно мнению Кутюра, посредством уравнений, представляющих все фигуры некоторого вида безотносительно к их частным, интуитивно воспринимаемым свойствам. Если для написания этих уравнений обращаются к интуициям, то при всех дальнейших дедукциях интуиция оказывается вовсе не необходимой.

В проективной геометрии исследование относится прямо к самим фигурам. Однако и здесь, напоминает Кутюра, фигуры рассматриваются в их общих свойствах; все интуитивно усматриваемые особые черты

1 Дальнейшее развитие математики доказало вопреки надеждам Рассела и Кутюра, что строго формалистическое и чисто логическое обоснование математики, исключающее обращение к интуитивным элементам и к построениям (к конструированию), не осуществимо.

214

оставляются без внимания, от них просто отвлекаются. Например, исследуется коническое сечение вообще. Оно исследуется независимо от того, идет ли речь об эллипсе, о параболе или о гиперболе. В исследовании этого рода отсутствует даже сама возможность отличить их друг от друга. В проективной геометрии не проводится и различие между параллельными прямыми (или плоскостями) и пересекающимися прямыми (или плоскостями). Все эти различия, полные значения для интуиции, для наглядного представления и для опирающейся на интуицию синтетической геометрии Евклида, рассматриваются в исследованиях проективной геометрии как не имеющие для нее существенного значения.

Еще меньше значение интуиции в геометрических счислениях. В них даже основные фигуры определяются как «алгебраические» сочетания точек, или неопределимых элементов, а исследование их выполняется с помощью формальных алгоритмов. Не считаясь с тем, что алгоритмы создавались не только чисто формальным способом, но и посредством интуиции, а также посредством конструирования, Кутюра утверждает, что эти алгоритмы имеют аналогию скорее с алгоритмом алгебры. В таких геометрических счислениях в ходе доказательства уже никогда не ссылаются на интуитивно воспринимаемые свойства фигур и никогда не опираются на так называемые «вспомогательные построения». Среди исследований этого рода имеются работы, авторы которых на всем протяжении рассуждения обходятся вовсе без геометрических фигур, а следовательно, и без подспорья интуиции (см. 12, 245 - 246). Например, известная «Энциклопедия элементарной математики» Ве-бера, Вельштейна и Якобшталя ставит себе задачей' «уничтожить глубоко вкоренившийся предрассудок, будто вид основных геометрических образований играет какую-нибудь роль при установлении истинности геометрических теорем» (20, 34). И в другом месте: «Чувственный вид основных образований, например, преобладание измерения в длину у прямой, совершенная форма шара, столь привлекательная

14* 215

эстетически форма эллипса - все это для геометрии, как таковой, не имеет ровно никакого значения» (20, 84).

Этим, однако, дело не ограничилось. Не только в геометрии интуиция оказалась ненадежным и недостаточным средством познания. Такой же она оказалась и в других ветвях математики, в частности в учении о числе. Так, например, долгое время считалось интуитивно очевидной аксиомой положение, что целое больше своей части. Это значит, что если некоторая совокупность объектов (А) есть часть другой их совокупности (В), то она содержит меньше элементов, чем совокупность В. Но интуиция не «подводит» нас только до тех пор, пока числа конечны: для них «аксиома» справедлива. Месяц-часть года, и в месяце дней меньше, чем в году. Но если А (часть бесконечного множества элементов совокупности В) имеет бесконечное множество элементов, то о совокупности В уже неверно сказать, что она больше своей части А.

«Нет никакого противоречия, - пояснял великий немецкий математик Георг Кантор, - в том, что - как это часто встречается в случае бесконечных множеств- два множества, из которых одно является частью или составной частью другого, имеют совершенно одинаковое количественное число» (16, 92). Уже древность знала и часто повторяла положение: целое больше своей части. Но, согласно Кантору, это положение можно применять без доказательства «лишь к сущностям, лежащим в основе целого и части. Тогда и только тогда оно является непосредственным следствием из понятий «totum» (целое.- В. А.) и «pars» (часть. - В. А.). К сожалению, эта «аксиома» применялась несчетное число раз без всякого основания и без необходимого различения «реальности» и «величины или числа» какого-нибудь множества» (16,141).«Аксиома» эта верна лишь для конечных множеств.

И действительно, совокупность четных чисел есть часть совокупности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. до бесконечности. И все же число эле-

216

ментов совокупности четных чисел не меньше, а равно числу элементов совокупности всех натуральных чисел, так как в совокупности натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. - каждому элементу этой совокупности будет соответствовать один элемент совокупности четных чисел:

1, 2, 3, 4, 5 и т. д.

2, 4, 6, 8, 10 и т. д.

Здесь число чисел второго ряда (число четных чисел) равно числу чисел первого ряда (числу всей совокупности натуральных чисел), так как каждому числу первого ряда может быть сопоставлено одно число второго ряда.

Однако все это «восстание» против интуиции, характерное для «чистого» логицизма, само зашло в тупик. Процесс «вытеснения» интуиции из математики, охвативший как геометрию, так и арифметику, встретился с неодолимыми трудностями. Не все принципы математики поддавались чисто логическому обоснованию, из которого было· бы исключено всякое обращение к интуиции. Что математика не может опираться на интуицию в ее кантовском понимании - на априорные формы «чистого» наглядного представления, - было доказано и стало совершенно ясно. Но интуиция не исчерпывалась только тем ее видом, который был указан Кантом. Можно было отвергнуть в качестве основы математики кантовскую форму интуиции и в то же время признать, что математика необходимо обращается к интуиции другого типа, например к «интеллектуальной интуиции» создателей математики нового времени - Декарта и Лейбница - или к какой-нибудь ее модификации.

Так и случилось. Параллельно с развитием критики старой - кантовской - интуиции в математике шел процесс уяснения интуиции другого типа - интуиции, которая все же может быть открыта в основаниях математических наук. Уже на собеседованиях математиков и философов, имевших место 14 октября 1905г. и 19 января 1906г. в Венском философском обществе, были предложены вниманию участников

217

теЗисы по вопросу о роли интуиции в математике. Анализируя в своем вступительном 'слове основную тенденцию этих тезисов, австрийский логик Алоиз Гёфлер (A. H?fler) удачно выявил двойственный характер этой тенденции. Исходя из примеров, приведенных Ф. Клейном, Больцманом и другими, авторы второго тезиса утверждали, что не только некоторые из геометрических представлений неинтуитивны, но что «всякая геометрическая очевидность основывается на неинтуитивном» (17, 127). Но в то же врсмя пятый тезис признавал, что «наряду с геометрической не-интуицией (Nicht-Anschauung) имеется также геометрическая интуиция формы, (Gestaltanschauung)». А в седьмом тезисе на вопрос, «как мы постигаем формы?», был дан ответ: «Не путем простого чувственного ощущения, но путем наглядного представления (то есть интуиции. - J3. Л.)» (17,127).

В своем выступлении Гёфлер разбил тезисы на две группы. Вывод первой группы (I-IV тезисы) он сформулировал так: «Интуиция умерла» (17, 136). Но вторая группа (V-IX те?исы) говорит: «Да здравствует интуиция!» (17, 136).

Констатируя парадоксальность возникшего положения, Гёфлер предлагал, не придерживаясь непременно в ходе дискуссии обветшавшего, как он выразился, термина «интуиция», разобраться в существе проблемы. «Это совместное сосуществование геометрической не-интуиции и геометрической интуиции,- говорил Гёфлер, - может представляться одной из серьезнейших и актуальнейших антиномий...» (17, 137).

Дальнейший ход математических дискуссий действительно оказался попыткой решить - для математики-антиномию, которую Гёфлер сформулировал- для философии - в терминах своей идеалистической «гештальтпсихологии». В следующих главах будет показано, как развивалась борьба между противниками и сторонниками интуиции в математике.

Г Л ? ?? С ? ДЬMA Я

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ КАНТОРА

И ИНТУИЦИЯ АКТУАЛЬНО БЕСКОНЕЧНОГО

Пажным стимулом в ходе обоснования математики стало развитое Георгом Кантором (1845-1918) учение о множествах (Mengenlehre), Введенные Кантором в математику новые понятия: мощность множества, вполне упорядоченное множество и т. д., - различение потенциальной и актуальной бесконечности, учение о классах чисел и т. д. стали поводом для еще неизвестной в такой мере потребности в строгой логической выработке основных понятий математики. Особое значение имело то, что при этом в математике были обнаружены противоречия, возникшие в связи с канторовским учением о множествах.

Основоположным понятием математики Кантора явилось понятие «множества» (Menge) и соответственно основным учением - «теория множеств». Может быть, после разработки античными математиками понятия о числе (возникшего еще ранее - в цивилизациях древнего Вавилона, Египта, Индии, Китая), а математиками нового времени - понятия о функции введение понятия «множества» было самым значительным новым этапом в истории этой науки.

219

«Под... множеством, - разъяснял Георг Кантор, - я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...» (16, 69).

Именно разработка этого понятия о множествах привела Кантора к учению о потенциальной и актуальной бесконечности.

В современной Кантору и в ближайшей к нему по времени математике господствовал (хотя и не исключительно) взгляд, признававший только один вид бесконечных величин - величину, способную к безграничному увеличению. Это так называемая «потенциальная бесконечность». Мыслить бесконечность как завершенное в себе постоянное количество или как «актуальную бесконечность» современники Кантора и многие его предшественники отказывались. Уже великий немецкий математик К- Ф. Гаусс (1777-1855) решительно возражал против привлечения в математику в каком бы то ни было виде актуальной бесконечности. Отвергали актуальную бесконечность математики Жердиль (Gerdil), Коши (Cauchy), Муаньо (Moigno), а из философов - Зигварт, Куно Фишер (в своей «System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre», Heidelberg, 1865), французский кантианец Шарль Ренувье (Gh. Renouvier - в «Esquisse d'une classification syst?matique des doctrines philosophiques», v. I, Paris, 1885) и позитивисты.

Вразрез со взглядом всех этих ученых Г. Кантор признал, что наряду с «потенциальной бесконечностью» существует и должна исследоваться в математике также бесконечность «актуальная»1.

Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное «означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ...» (16, 85). Математическое потенциально бесконечное Кантор называет «несобственно-бесконечным». Оно выступает

1 Понятие это было введено чешским математиком и логиком Б. Больцано (178i-1848).

220

в математике в форме дифференциалов первого или высших порядков, или в виде сумм бесконечных рядов, или в виде других предельных процессов. По разъяснению Кантора, «потенциально бесконечное» есть простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это - «понятие отношения, которое, согласно своему определению, заключает в себе идею изменчивости и о котором, таким образом, никогда нельзя сказать в собственном смысле слова: «datur» («дано».- В. А)» (16, 28). Оно «не означает само по себе никакой идеи» (16, 84). Кантор тут же оговаривается, -что и в этом своем смысле - как понятие отношения- потенциально бесконечное «благодаря открытому Лейбницем и Ньютоном дифференциальному и интегральному исчислениям обнаружило свое огромное значение как средство познания...» (16, 84). Будучи лишь вспомогательным понятием, понятием отношения, оно «всегда указывает на некоторый лежащий в основе transfinitum («сверхконечное».- В. Л.), без которого оно не может ни быть, ни быть мыслимым» (16, 111).

Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия «потенциальной бесконечности». Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности «дурной бесконечностью» и находил, что бесконечно малые величины, применявшиеся дотоле в математике лишь в виде «несобственно-бесконечного», принесли весьма большую пользу, так как они «доступны всем тем различиям, видоизменениям и отношениям, которыми пользуются в исчислении бесконечно малых ив теории функций и с помощью которых там собирают богатую жатву аналитических истин» (16, 15). Больше того. Он находил, что все попытки насильственно превратить эти бесконечно малые в какие-то собственно-бесконечно малые «должны были бы быть оставлены, как бесцельные» (16, 15). Но как бы ни была велика ценность для науки «потенциальной бесконечности», эта бесконечность оставалась в сущности только некоторой переменной - то растущей сверх всяких границ, то

221

убывающей до произвольной малости, всегда конечной величиной.

В новейшее время в геометрии и особенно в теории функций стало применяться новое понятие о бесконечности. При исследовании, например, аналитической функции и комплексной переменной величины стало необходимым и общеупотребительным воображать себе в плоскости (представляющей комплексную переменную) некоторую, и притом единственную, точку, лежащую в бесконечности, то есть бесконечно удаленную, но определенную. Оказалось необходимым исследовать поведение функции вблизи этой точки, как вблизи любой другой точки. При этом выяснилось, что поведение функции поблизости бесконечно удаленной точки дает совершенно такую же картину, какую дает ее поведение поблизости всякой другой точки, находящейся на конечном расстоянии. Отсюда Кантор сделал вывод большой принципиальной важности. Это был вывод о том, что в данном и в подобных ему случаях вполне правомерно «мыслить... бесконечное, как расположенное в некоторой вполне определенной точке» (16, 4). Такое бесконечное, выступающее в отличие от потенциально бесконечного в подобной вполне определенной форме, Кантор стал называть «собственно-бесконечным» (Eigentlich-Unendliches), или «актуально бесконечным».

Под актуально бесконечным в отличие от потенциально бесконечного Кантор понимает (в работе «Теория ассамблей»1) «некоторое замкнутое в себе постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин, количество...» (16, 85).

Еще полнее и яснее определение актуально бесконечного в работе «К учению о трансфинитном». Здесь актуально бесконечным Кантор называет «такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех- своих частях-и представляет- истинную--постоянную величину, а с другой- в то же время превосходит по своей

1 Устарелый термин, вместо которого в современной математике применяется термин .«теория множеств*.

222

величине всякую конечную величину того же вида» (16, 122). Пример актуально бесконечного - совокупность всех точек, лежащих на данной окружности. Это множество есть, по выражению Кантора, «некоторая вещь для себя и образует - отвлекаясь от натурального ряда относящихся сюда чисел - некоторое неизменное во всех частях и определенное количество.., которое, очевидно, приходится назвать большим, чем всякое конечное количество» (16, 122- 123).

В свою очередь внутри сферы актуально бесконечного Кантор различил две его формы. Это - «трансфинитное» актуально бесконечное и абсолютное. По мысли Кантора, эти формы актуально бесконечного резко отличаются друг от друга. Трансфинитное следует мыслить «бесконечным, но в то же время доступным еще увеличению». Напротив, абсолютное «следует мыслить недоступным увеличению и поэтому математически неопределимым» (16, 86). Согласно Кантору, предмет математики - только трансфинитное бесконечное. В качестве идеального предела конечного можно мыслить не абсолютное, а лишь трансфинитное, «и притом как минимум всего трансфинитного (соответствующий наименьшему сверхконечному числу...)» (16, 87). Число это Кантор обозначил посредством греческой буквы «омега» (?).

Кантор сделал наблюдение, что бесконечные реальные целые числа не относятся к «потенциальной бесконечности», к «несобственно-бесконечному». Обнаружилось, что им присущ тот же характер определенности, с каким мы имеем дело при рассмотрении бесконечно удаленной точки (в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также относятся к видам «собственно-бесконечного», или к «актуальной бесконечности». Но в то время как бесконечно удаленная точка комплексной числовой плоскости противостоит, одинокая, всем расположенным на конечных расстояниях точкам, при рассмотрении бесконечных целых чисел мы получаем «не просто одно-единственное бесконечное целое число,

223

но бесконечный ряд подобных чисел, которые резко отличны друг от друга и находятся в закономерных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам» (16, 5).

Исследование абсолютно бесконечного ряда реальных целых чисел привело Кантора к усмотрению в этом ряду так называемых числовых классов. Первый числовой класс есть множество конечных целых чисел: 1, 2, 3, .., v... За ним следует второй числовой класс. Он состоит из некоторых бесконечных целых чисел, следующих одно за другим в определенной последовательности. Затем идут 3-й, 4-й числовые классы и т. д. (см. 16, 6).

Введение новых целых чисел позволило Кантору, согласно его собственному заявлению, отчетливо сформулировать важное новое понятие его математики - понятие мощности (M?chtigkeit). Под «мощностью», или «количественным числом» какого-нибудь множества M (которое состоит из строго отличных, абстрактно-логически раздельных элементов m, m1... и которое постольку определено и отграничено), Кантор разумеет «общее или родовое понятие (universale), получающееся, если абстрагировать как от состава элементов множества, так и от всех отношений этих элементов друг к другу и к другим вещам, а в частности и от порядка, который может господствовать между этими элементами, и если иметь в виду лишь то, что обще всем множествам, эквивалентным ??» (16, 104-105).

О двух множествах говорят, что они обладают одной и той же мощностью, «если между ними можно установить взаимно однозначное сопряжение элемента с элементом» (16, 6). Каждому строго определенному множеству присуща и определенная мощность. Но мощность конечных и бесконечных множеств различного рода. Мощность конечных множеств совпадает с количеством их элементов. В случае бесконечных множеств вопрос о точно определенном количестве элементов не имеет значения; в этом случае множество характеризуется мощностью, совершенно не зависящей от их порядка (см. 16, 6-7).

224

Исследования показали, что числовые классы определенно бесконечных реальных целых чисел представляют строго определенные множества с растущими в закономерной последовательности мощностями.

Между конечными и бесконечными множествами обнаружилось существенное различие. Конечное множество для любой последовательности, какую можно сообщить его элементам, представляет одно и то же количество. Но если множество состоит из бесконечно многих элементов, то такому множеству присущи, вообще говоря, различные количества в зависимости от последовательности, которая сообщается элементам. В то время как мощность множества не зависит от его расположения, количество бесконечного множества зависит от некоторой данной последовательности его элементов (см. 16, 9).

Фундаментальным понятием для развитой Кантором теории множеств стало понятие «вполне упорядоченного множества». Под таким множеством Кантор понимает всякое строго определенное множество, элементы которого «связаны между собой некоторой определенной, данной наперед, последовательностью» (16, 8). Согласно этой последовательности: 1) существует первый элемент множества и за каждым отдельным элементом (кроме случая, если он последний в ряду) следует определенный элемент; 2) к любому - конечному или бесконечному - множеству элементов принадлежит некоторый определенный элемент- ближайший, следующий за всеми ними элемент в последовательности (кроме случая, когда вообще не существует элемента, следующего за всеми ними в последовательности) (см. 16, 8).

С помощью этого понятия «вполне упорядоченного множества» получаются, во-первых, основные действия для целых чисел - как для конечных, так и для определенно бесконечных - и, во-вторых, законы этих чисел. Кантор подчеркивает, что и действия и законы усматриваются при этом интуитивно - «из непосредственного внутреннего созерцания с аподиктической достоверностью» (16, 11. Курсив мой.- ?. ?.).

225

К этим своим новым понятиям Кантор пришел после долгих лет размышления, в течение которых он находился во власти традиционных взглядов на бесконечность. Анализ возражений, выдвигавшихся начиная с Аристотеля и затем схоластиков против понятия «актуальной бесконечности», внушил Кантору мысль, будто в основе всех этих возражений кроется ошибочная предпосылка о существовании одних только конечных чисел.

Не располагая понятием «вполне упорядоченного множества», нельзя было понять, что если множествам сообщен определенный закон, в силу которого они становятся «вполне упорядоченными» множествами, то при таком условии и с бесконечными множествами можно производить столь же определенные действия счета, как и со множествами конечными. Поэтому бесконечно большое рассматривали только в форме сходящихся бесконечных рядов, введенных уже в XVII в.

Кантор рассматривает возражения против актуальной бесконечности, выдвинутые философами - Декартом, Спинозой, Лейбницем, Локком. Говоря о «конечности рассудка», эти философы молчаливо предполагали, будто ум человека способен мыслить только конечные числа. Этому взгляду, ограничивающему способность человеческого рассудка к познанию, Кантор противопоставляет свой, основывающийся на гордой вере в мощь человеческого познания. «Если окажется, - говорит Кантор, - что рассудок в состоянии также в известном смысле определить и отличать друг от друга бесконечные, то есть сверхконечные («трансфинитные». - В. Л.), числа, то... придется приписать человеческому рассудку в известных отношениях предикат «бесконечный», что, по моему мнению, единственно правильно» (16, 22). И Кантор заявляет, что он защитник воззрения, согласно которому человеческий рассудок «обладает безграничными задатками к постепенному образованию целых числовых классов, которые находятся в определенном отношении к бесконечным модусам и мощности которых все больше и больше» (16, 22-23).

226

Воззрение это наполняло Кантора чувством величайшего удовлетворения: «Когда я рассматриваю бесконечное так, как я это сделал здесь.., меня охватывает истинная радость... при виде того, как понятие целого числа, имеющее в области конечного под собой лишь понятие количества, как бы раскалывается, когда мы подымаемся в область бесконечного, на два понятия - на понятие мощности, независимое от присущего некоторому множеству порядка, и понятие количества, необходимым образом связанное с некоторым закономерным порядком множества, благодаря которому последнее становится вполне упорядоченным множеством. А когда я обратно спускаюсь из области бесконечного в область конечного, то я так же ясно и прекрасно вижу, как оба понятия снова становятся одним и соединяются в понятие конечного

целого числа» (16, 29-30).

В приведенных строках не только звучит величайший познавательный оптимизм. В них Кантор, кроме того, говорит о «ясном видении». Это «ясное видение» актуально бесконечного и его отношения к конечному есть тоже интуиция. Но какая? Не чувственная и не интуиция разума, о которой говорили Дж. Бруно, Шеллинг, Гегель. Различение формально мыслящего «рассудка» и диалектически мыслящего «разума», столь характерное для античных неоплатоников, для Дж. Бруно, для немецких романтиков и для Гегеля, совершенно чуждо Кантору. Он исходит из интуиции парменидовского «бытия», а не гераклитовского становления. Когда он говорит о «ясном видении» актуально бесконечного, он имеет в виду не интуицию разума, а «интуицию'рассудка» (правда, самим термином «интуиция» Кантор почти не пользуется). Тем самым Кантор возвращается к воззрению рационалистов XVII в. в вопросе об «органе» интуитивного «видения». Не «разум» романтиков и Гегеля, а «интеллект», «рассудок» «видит», по Кантору, актуально бесконечное. Возможно, что этим объясняется беспощадно отрицательное отношение Кантора к Канту. Ведь именно Кант, как было показано выше, утверждал, что наш «рассудок» (Verstand), или «интел-

227

лект», начисто лишен способности интуитивного видения. В кантовской теории познания Кантор видел недопустимое умаление мощи человеческого рассудка, воззрение самого нигилистического скептицизма. Говоря о кантовских антиномиях чистого разума, Кантор находит, что вряд ли что-либо еще - «не исключая скепсиса пирронизма и Академии, с которым у Канта столь много общего, - так способствовало дискредитированию человеческого разума и его способностей» (16, 87).

В каком же отношении к реальности находится, по Кантору, новое понятие актуальной бесконечности? Ответ Кантора на этот вопрос чрезвычайно интересен. Он предлагает различать два вида реальности математических понятий. Им присуща, во-первых, реальность, которую Кантор называет «имманентной», или «интрасубъективной». Это реальность математических понятий в свободном порождении нашего мышления. Это - обнаружение той свободы математики, которую Кантор считает исключительной и наиболее характерной чертой математики как науки. В этом смысле, согласно разъяснению Кантора, «мы можем считать целые числа действительными постольку, поскольку они занимают на основе определений вполне определенное место в нашем рассудке, вполне ясно отличаются (курсив мой. - В. А.) от других составных частей нашего мышления, стоят к ним в определенных отношениях...» (16, 30). Эту сторону свои? размышлений Кантор называет «идеалистической» (16, 31). Но в основе «имманентной» реальности целых чисел лежит, по Кантору, реальность другого вида. Числам «можно приписать реальность также постольку, поскольку их следует рассматривать как выражения или отображения процессов и отношений во внешнем мире, противостоящем интеллекту, поскольку, далее, различные числовые классы... являются представителями мощностей, имеющих действительное место в телесной или духовной природе» (16, 30. Курсив мой. - В. А.). Эту сторону своих размышлений Кантор характеризует как «вполне реалистиче-

228

скую», а самое реальность этого типа называет «тран-зиентной реальностью целых чисел» (16, 30).

При этом Кантор не просто ставит оба эти вида «реальности» целых чисел один рядом с другим. Правда, он полагает, что математика в своем развитии совершенно свободна и связана только одним условием: ее понятия должны быть свободны от внутренних противоречий и должны находиться в неизменных, установленных определениями отношениях к понятиям, образованным раньше и уже наличным.

Развивая эти мысли, Кантор заключает, что при разработке своих идей математика «должна считаться единственно лишь с имманентной реальностью своих понятий и поэтому не обязана вовсе проверить также их транзиентную реальность» (16, 31).

И все же «свобода» математики - свобода, в которой Кантор даже видит ее «сущность» (см. 16, 32), вовсе не означает, по его уверению, произвола или спонтанности математически мыслящего ума. Оба вида реальности, присущие понятиям математики,- реальность «имманентная» и «транзиентная», - по его убеждению, «всегда совпадают в том смысле, что какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях и транзиентной реальностью» (16, 31). И Кантор подчеркивает согласие этого своего положения со взглядами Спинозы («порядок и связь идей те же, что порядок и связь вещей»), а также Платона: «То, что можно познать, есть; того, чего нельзя познать,- нет, и в той же мере, в какой нечто есть, оно также и познаваемо» (мысли Платона Кантор излагает по Эдуарду Целлеру, см. 95, 541-602). А в одном из своих писем (по поводу различных точек зрения на актуально бесконечное) Кантор, говоря о противоположности бесконечных чисел числам конечным, подчеркивает, что свойства вида бесконечных чисел «вполне зависят от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола или наших предрассудков» (16, 81). Поэтому отрицание многими крупнейшими математиками актуально бесконечного представляется Кантору

229

«немалым преступлением против природы вещей, которые следует брать такими, каковы они в действительности* (16, 86. Курсив мой. - В. А.).

Глубокое убеждение Кантора в «транзиентной» реальности математических понятий обусловило его резко отрицательное отношение к «теории знаков» Гельмгольца и к психологизму близкой к ней по духу теории Кронекера. Кантор сам отчетливо выдвинул основной пункт разногласия между ним и обоими этими видными учеными. Пункт этот -субъективизм «знаковой» теории. «Было бы ошибочно думать,- указывал Кантор, - что противоположность их и моих воззрений сводится к противоположности между номинализмом или концептуализмом, с одной стороны, и защищаемым мною умеренным аристотелевским реализмом - с другой. Наоборот, весьма поучительно убедиться в том, что для обоих этих мыслителей числа представляют прежде всего знаки, но не знаки, скажем, для понятий, которые относятся ко множествам, а знаки для вещей, отсчитываемых при субъективном процессе счета. Само собой разумеется, что, с моей точки зрения, ход мыслей обеих этих работ представляет совершенное hysteron proteron1» (16,96-97).

Но признание зависимости понятия об актуально бесконечном «от природы вещей» еще не означает, конечно, что Кантор стоит в философском осмысливании основ математики на материалистической точке зрения. Признание независимого от личного сознания существования объектов науки может быть выражением не материализма, а объективного идеализма. Именно такова позиция Кантора. Для него понятия о множествах, несмотря на то, что он их называет «отображением процессов и отношений во внешнем мире», представляют «эйдосы», «универсалии» если не в прямом смысле Платона, воззрению которого они, впрочем, очень близки, то во всяком случае в

1 Греческое название логической ошибки в доказательстве, состоящей в том, что некоторый тезис доказывается с помощью положения, которое само может быть обосновано только на доказываемом тезисе.

230

смысле умеренного аристотелизма. Кантор сам недвусмысленно характеризует - и в этом он прав - собственную позицию как идеалистическую. Больше того. Распространенную в его время «боязнь бесконечности» (horror infiniti), как он ее называет, Кантор объясняет... «влиянием современного эпикурейски-материалистического духа времени» (16, 86). В противоположность этому материализму Кантор видит в своем понятии о множестве «нечто, родственное платоновскому ?????, ????, а также тому, что Платон в своем диалоге «Филеб, или высочайшее благо» называет ?????? («смешанное»: из «предела» и «беспредельного».- В. Л.)» (16, 69).

Философская слабость и несостоятельность взгля1 дов Кантора - великого математика - не только в том, что «реальность» актуально бесконечного он понимает не в смысле материализма, а в смысле объективного идеализма. Философская слабость его состоит и в том, что, чрезвычайно ясно охарактеризовав понятие об актуально бесконечном как своеобразное интеллектуальное видение (интеллектуальную интуицию в смысле Декарта, Спинозы, Лейбница),Кантор совершенно не задается вопросом о генезисе, о происхождении этого понятия (этой интуиции) из опыта, из практики. Он ограничивается только тем, что показывает зависимость между интуитивной ясностью и четкостью понятия об актуальной бесконечности и ясностью и четкостью вводимых им определений, на которых это понятие основывается. Всюду, где у Кантора идет речь об интуитивной ясности и отчетливости понятий математики, имеется в виду интуиция не чувственная, а интеллектуальная, предполагающая при этом точную логическую выработку понятий с помощью определений, свободных от противоречий. Напротив, формы чувственной интуиции Кантор считает совершенно неспособными к образованию понятий математики и к решению ее специальных проблем. Так, проблема континуума, по Кантору, не может быть удовлетворительно решена с помощью кантовских априорных форм чувственной интуиции - пространства и времени, «так как и пространство и

231

мыслимые в нем образы получают лишь с помощью уже логически готового континуума то содержание, благодаря которому они могут стать не только предметом эстетического рассмотрения, философского остроумия, или неточных сравнений, но и предметом трезвых точно-математических исследований» ( 1 б, 48).

Кантор ограничивается сказанным. Он не ставит вопрос о происхождении тех определений, на основе которых он вводит свои понятия о бесконечности. Генетическая точка зрения ему совершенно чужда. Подобно великим рационалистам XVII в. он признает наличие интеллектуальной интуиции (понятий множества, актуальной бесконечности), но в отличие от них отказывается от философского объяснения этого наличия. Как математик, он считает себя (и вместе с тем всю математику) свободным от обязанности такого объяснения. Он даже полагает, что именно «свобода» математики, в частности свобода от обязательства дать философское объяснение математических понятий, была условием успеха специальных математических теорий. «Если бы, - утверждает он, - Гаусс, Коши, Абель, Якоби, Дирихле, Вейер-штрасс, Эрмит и Риманн были обязаны подвергать всегда свои новые идеи метафизическому контролю (то есть философскому исследованию. - В. Л.), то мы бы, право, не смогли наслаждаться грандиозной системой современной теории функций... Мы не видели бы перед собой великолепного расцвета теории дифференциальных уравнений в руках Фукса, Пуанкаре и многих других...» (16, 33).

Спору нет, математик не обязан быть философом. Никто не вправе вменить Кантору в обязанность вступать в обсуждение «метафизических», как он их называет, вопросов об отношении математических понятий к действительности и к практике. Но важно понимать, что эти вопросы как вопросы, философии возникают с непреложной необходимостью и что решение их может быть найдено только на путях диалектики.

Впрочем, не решая и даже не ставя сколько-нибудь обстоятельно вопроса о генезисе определений и

232

понятий математики, которые мыслятся с интуитивной отчетливостью, Кантор видит, что понятия эти - если они истинны-имеют корни в самой реальности. Так, например, хотя современная теория функций была создана, по Кантору, «совершенно свободно», она «уже и теперь в своих применениях к механике, астрономии и математической физике обнаруживает, как этого и следовало ожидать, свое транзиентное значение» (16, 33). Поэтому тезис о «свободе» математического творчества Кантор подвергает важному ограничению. «Если математика, - говорит он,- имеет полное право развиваться совершенно независимо от всяческих метафизических влияний, то, с другой стороны, я не могу этого права... признать, например, за аналитической механикой и математической физикой. По моему мнению, эти науки, как в своих основах, так и в преследуемых ими целях, метафизичны» (16, 33). На языке Кантора «метафизичность» математической физики (и аналитической механики) означает, что в этих науках неустранимо объяснение отношений, существующих между их понятиями и объективной реальностью. «Если они,- указывает Кантор, - пытаются освободиться от этого, как это было предложено недавно одним знаменитым физиком, то они вырождаются в какое-то «описание природы», которое по необходимости лишено свежего дыхания свободы математической мысли и способности истолкования и объяснения явлений природы» (16, 33-34).

Идеи Кантора оказали огромное влияние на развитие всей новейшей математики. Многие крупнейшие математики приступили к переработке ряда основных разделов математики в понятиях теории множеств. Основанная Кантором теория множеств содействовала перестройке и обоснованию математического анализа. Условием этого обоснования была разработка теории пределов. Но теория пределов сама опирается на строгое определение иррационального числа. Такое определение было разработано именно на фундаменте теории множеств Дедекин-дом, Вейерштрассом и Кантором.

233

Разработка понятия о множестве способствовала возникновению новых частей математики. Это была сама теория множеств - общая и специальная теория «точечных» множеств; теория функций действительного переменного и ее подразделения (теория интегрирования, теория тригонометрических рядов, общая теория «разрывных» функций) ; теоретико-множественная топология; функциональный анализ.

Но теория множеств не только стала основой ряда новых важных частей математики. Понятия и методы этой теории стали оказывать мощное влияние на развитие и разработку большинства математических наук. В кажДой отрасли математики, по утверждению П. Александрова, все больше распространяется метод определения предмета ее исследований· «как некоторого множества объектов, удовлетворяющих известной системе соотношений» (4, 15). Методы теории множеств проникли во все области математики. Они охватили самые различные части математического анализа: теорию функций комплексного переменного, теорию дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и т. д. (см. 4, 15). При этом влияние оказали не только разработанные Кантором понятия о «мощности» множеств, о «вполне упорядоченных множествах», о «числовых классах», о «трансфинитных» числах и т. д. В трудах Кантора можно найти идеи, не столь подробно развитые, но тем не менее получившие дальнейшую жизнь и развитие в работах видных математиков других направлений. Не имея возможности останавливаться на этом вопросе в настоящей работе, отметим только четыре идеи. Во-первых, у Кантора мы находим мысль, подробно развитую Пуанкаре, - мысль о том, что под «существованием» математических объектов можно понимать лишь отсутствие противоречий в понятиях об этих объектах. Во-вторых, Кантор отстаивает «свободу» математического творчества - взгляд, который получит дальнейшее развитие в математическом «интуиционизме». В-третьих, Кантор ограничивает эту «свободу» возможностью плодотворной интерпретации и применения «свободно» создаваемых

234

математикой новых принципов и понятий о ее объектах. В этом смысле Кантор разъяснял, что если, например, вводимое математикой новое число «неплодотворно или нецелесообразно, то это весьма скоро обнаруживается благодаря его полной непригодности, и тогда оно за отсутствием успеха отбрасывается» (16, 32). В более резкой форме взгляд этот был развит впоследствии Лузиным. В-четвертых, признавая, что новые принципы, понятия и законы математики усматриваются интуитивно, в порядке «внутреннего созерцания», или интеллектуального видения, Кантор сводит «интуитивность» этого видения к той полной ясности и отчетливости, которые возникают лишь на основе и в результате точных определений, изначально свободных от всякой неясности и противоречивости. Так, при введении новых чисел математика «обязана только дать определения их, благодаря которым они получают такую определенность и при известных обстоятельствах такое отношение к прежним числам, что их можно во всех данных случаях определенно отличать друг от друга» (16, 32). Это сведение интуитивности математических понятий к отчетливости, вводимой логическими определениями, получило дальнейшее развитие в математическом «интуиционизме».