Часть 6.

ГЛАВА 3

Задача с вертикальными углами

Вот элементарный геометрический вопрос. Две пря­мые линии пересекаются и образуют два угла а и b. Мо­жете ли вы доказать их равенство?

Рис. 56

Вероятно, вы изучали эту теорему в школе. Может быть, вы забыли ее - тем лучше. Попробуйте доказать ее, прежде чем вы прочтете то, что я описываю в этой главе. Возможно, тогда вы получите большее удовольст­вие от дальнейшего изложения.

Задавая этот вопрос сообразительным детям и взрос­лым, часто сталкиваешься со следующими ответами. «О чем вы спрашиваете? Разве это не очевидно? Естест­венно, что углы равны; разве это не понятно каждому?» И если вы настаиваете, то можете получить ответ: «Это совершенно ясно; две прямые линии сначала сходятся, а потом расходятся в одном и том же направлении».

Одно из основных затруднений при решении этой за­дачи заключается в том, что ученик не понимает - и не может понять - смысла вопроса. Он кажется искусствен­ным, бессмысленным. Часто в такой ситуации не могут понять, зачем требуется доказательство; многие не по­нимают или не способны понять значения доказательст­ва, потребность в котором возникла в ходе развития тео­ретической математики.

Некоторые говорят: «Конечно, вы можете доказать это, если захотите. Разрежьте лист по вертикали, переверните

129

половину листа и наложите один угол па другой. По­смотрите углы на свет. Вы увидите, что они совпадают». Если я говорю: «Согласен, они совпадут, но можете ли вы показать здесь, на чертеже, что они равны?» - то боль­шинство испытуемых не знают, что делать. Некоторые по-

Рис. 57

гружаются в глубокие раздумья, которые могут быть мало­продуктивными.

Сначала я расскажу, что происходит в школах.

I

Учитель доказывает теорему. Он проводит линии, обоз­начает углы и продолжает следующим образом:

a + b =180°

b + c =180°

a = 180° - c

с =180° - b

а = с, что и требовалось доказать.

Рис. 58

Можно описать этот процесс в терминах традицион­ной логики или ассоциативной теории. Учитель показы­вает ряд последовательных операций, производит сложе­ния, пишет равенства, преобразует их и наконец получает результат. Он может начать с аксиом или некоторых об­щих положений и применить их к данному случаю. Уче­ники заучивают доказательство и после этого могут по­вторить его.

130

Конечно, доказательство может быть описано в терми­нах ряда операций, и для проверки его валидности их необходимо рассмотреть. Но является ли такая совокуп­ность нескольких операций тем, что действительно отра­жает существо дела?

Через несколько дней учитель вызывает ученика к лоске и просит доказать равенство углов. Если теперь уче­ник слово в слово повторяет то, чему научил его учитель, то мы не знаем, повторяет ли он услышанное слепо, раб­ски или же действительно постиг доказательство, понял его.

Бывает, что ученик не вспоминает доказательство точ­но и пишет:

a + b = 180°

c + d = 180°

затем смело говорит: «Следовательно, а-c». Другие те­ряются, выглядят туповатыми и сконфуженными. Неко­торые могут написать:

a + b = 180°

b + c = 180°

а = 180° - b

b = 180° - c

и оказываются в равной степени беспомощными 1.

Но вы также сталкиваетесь со следующими дейст­виями:

a + d= 180°

с + d= 180°

а =с

Некоторые ученики, видя это, смеются: «Посмотрите! Он сделал две ошибки!» Но действительно хороший ученик говорит или, может быть, говорит себе: «Почему я должен заботиться о словах. Неважно, как я это сделаю». Учитель спрашивает, не может ли он написать доказательство точно в той форме, в которой оно было дано, и он уверен­но пишет:

b + c = 180°

c + d = 180°

b = d

1 Ср. гл. 1, с. 42 и сл. Такие нелепые действия, вообще говоря, не характерны для поведения детей; они могут возникнуть глав­ным образом в результате механических упражнений.

131

Это, конечно, оригинально, но явно отличается от тех из­менений, которые внес первый ученик.

Мы видим, что дело не в «количестве ошибок». Одна ошибка может делать ответ совершенно бессмысленным; вместе с тем две «ошибки» могут привести или не приве­сти к успеху, действия могут быть осмысленными или бес­смысленными. Две «ошибки» могут иногда указывать на осмысленное понимание. Что же является в данном слу­чае решающим? Вернемся к этому вопросу позже.

Находятся ученики, которые приходят в замешатель­ство, если учитель использует чертеж с непривычными обозначениями. Это не является доказательством того, что «разум целиком управляется привычками» 1. Это до­казывает, что отдельные индивиды слепо следуют «тому, чему их учили». Другие могут слегка удивиться измене­ниям, но то, что они пытаются сделать, отличается от подражательного, бессмысленного повторения.

Вот примеры А- и B-решений.

Рис. 59 Рис. 60

1. Дана прямая линия; две другие линии образуют известный угол, например 90°. Если ученик смело использует здесь выученное доказательство, то он показывает, что ничего не понял.

Это - B-задача.

2. Дан прямой угол. Две пунктирные линии также об­разуют прямой угол. Одни ученики отказываются от по­пыток: «Но, учитель, мы этого не проходили». Другие же действуют содержательно, несмотря на сильно изменен­ную ситуацию.

Это - A-задача.

1 Thorndike E. L. The psychology of algebra. New York, Macmillan, 1920, p. 458. (См. гл. 6 о Торндайке).

132

Рис. 61

3. Чертится угол а, одну из его сторон продолжают, образуя угол b. b делится пополам пунктирной верти­кальной линией. Добавляется четвертая линия, образую­щая с биссектрисой прямой угол. Требуется доказать ра­венство углов а и с. Читатель может сам установить, является ли этот случай А- или B-задачей.

II

Теперь я расскажу об экспериментальных результатах, которые я получил, предлагая испытуемым самостоятель­но доказать равенство двух углов, а = с. Это трудная за­дача. Большинство испытуемых не достигло успеха. Я на­деюсь, что читатель поймет почему: необходимые струк­турные операции нелегко себе представить (ср. с. 135 и сл.). В качестве иллюстрации приведу три примера.

1. Расскажу сперва об испытуемом (взрослом), кото­рый действовал в значительной степени в соответствии с классическими положениями традиционной логики. Он сказал: «Посмотрим, какими общими положениями я рас­полагаю». Спустя некоторое время он стал выписывать истинные равенства:

Рис. 62 a+b=180° a+d=180° b+c=180° c+d=180° a+b+c+d=360° (a+b)-(c+d)=0

Затем он начал производить перестановки, комбиниро­вать равенства парами, складывать их, вычитать, следя за

133

тем, не выйдет ли из этого чего-нибудь. Наконец он при­шел к равенству b = d, но и не подумал остановиться здесь и продолжал свои действия, пока не получил а = с.

Эти действия были похожи на ответ, который один композитор дал любопытному посетителю, пожелавшему знать, как тот сочиняет свои мелодии. Композитор, утом­ленный посетителем, сказал: «О, это очень просто: я беру несколько нот и по-разному их комбинирую».

2. Вот отличный пример осмысленно развивающегося процесса. Испытуемый, к счастью, мыслил вслух (време­нами бормотал). Сожалею, что я не могу хорошо описать изменения в выражении его лица и голоса в ходе работы.

Глядя на чертеж, он медленно сказал: «Итак, это не отдельные углы, относительное положение которых про­извольно». Когда его спросили, что он имел в виду, он нарисовал:

Рис. 62А Рис. 62Б

«Они не похожи на такие углы. Они являются соответственными частями фигуры. Видно, что прямые линии пересекаются. Эта прямизна линий должна быть как-то связана с равенством углов!.. Прямизна в терминах углов означает 180°…» Тогда он начертил:

Рис. 63

в сказал: «Я вижу, что а выступает как часть для своего угла в 180°, b - как часть для своего угла в 180°! Остат­ком в обоих случаях является верхний угол, один и тот же в обоих случаях!» Он обозначил его буквой с и напи­сал два равенства:

а+с= 180° b+с= 180° Рис. 64

134

Затем он продолжал: «Очевидно, что а в а + с является тем, чем b - в b+с», - и написал:

a = 180°-с

b = 180°-с

«Следовательно, - заключил он, - а = b».

3. Другая последовательность действий, первые шаги которой были весьма похожими, завершалась иначе. Ис­пытуемый понял, что следует рассматривать а и b как части 180°. Но поначалу он не понимал, что нужно рас­сматривать эти условия в связи с остатком. Он рассуж­дал следующим образом: «Я должен использовать а как часть 180°; я должен использовать b как часть 180°». Он нарисовал:

Рис. 65А

Затем он начал колебаться, говоря: «Существует еще одна возможность образования пар». Просияв, он изменил ри­сунок на:

Рис. 65Б

III

Осмысленный процесс типа описанного нами в двух последних примерах включает операции группировки, осознания структуры, равенства, симметрии, «совпадения ролей», функций в группе, осознания отношений, а имен­но ?-отношений, в которых реализуются внутренние свя­зи искомой группировки с данной структурой.

Возможно, читатель уже понял, что является сущест­венным в A- и B-случаях и реакциях. В А- и B-реакциях (см. рис. 59-61) имеет значение не повторение пунктов, не копирование заученной совокупности шагов, а струк-

135

турные вопросы. Для установления равенства а и с один из углов, угол а, рассматривается как часть 180°, как часть угла а+b+ с также рассматривается как часть 180° - угла c+b. При одинаковом остатке углы а и с должны быть равны. Структурный результат заключается в сле­дующем:

Рис. 66

Таким образом, важно то, как структурно связаны друг с другом эти два равенства; осмысленное действие заключается в поиске этих структурных требований. B-реакции нарушают последние, слепы к ним. A-реакции оп­ределяются ими, но внутри A-реакций оперирование фа­зами весьма свободно; несущественно, «правильно ли повторяются» шаги доказательства.

В общем виде структура такова:

Рис. 67

Решающее значение имеет не природа составных частей, а тип группировки в связи с отношениями:

r1, равенством подцелых,

r2, идентичностью остатка,

ведущими к r3, равенству двух углов.

136

Это не простая совокупность отношений или операций: она взаимосвязаны с заданием, являются осмысленными час­тями замкнутого целого.

Некоторые теоретики признают необходимость целост­ного взгляда, но тем не менее упускают самое главное. Они описывают некоторые B-реакции следующим обра­зом: «Испытуемый ошибся, потому что не принял во внимание все элементы или отношения». Все элементы?

Рис. 68

Все отношения? Но для осмысленных процессов как раз характерно то, что не принимаются в расчет все элементы. Когда дан этот рисунок и требуется доказать, что а = b, на пятую линию не обращают внимания. Короче говоря, «целое» не значит «все», но относится к структуре тех единиц, которые связаны с заданием; оно относится к «хорошему гештальту».

Читателю станет ясно, если он применит эту струк­турную схему (рис. 67) к А- и B-реакциям. В некоторых B-случаях - бессмысленных или безвыходных - отсутст­вует одно основное отношение, в других - присутствуют два основных отношения, как показано на рис. 69.

Рис. 69

Но действия оказываются слепыми потому, что неверно выбрано место единиц, которые они связывают. Это значит, что решающими являются не отношения сами о себе, а отношения в зависимости от их места в рамках хорошей структуры.

На рис. 67 отношение 1 является не отношением меж­ду элементами, а отношением между двумя группами,

137

или подцелыми, которые рассматриваются как симметрич­ные. Их равенство (отношение 1) играет в этом процессе решающую роль, каким бы по величине ни был угол (эле­мент), равным ли 180°, 90° и т. д. Отношение 2 является отношением между «гомологичными» единицами двух подгрупп. Из отношения 1 и 2 следует искомое отношение 3: r1 r2 ? r3. (Логик не должен заблуждаться относительно формулы: из r1 r2 следует r3. Это не случай логи­ческого следования. Формула лишена смысла, если не учитывается место этих отношений в структуре.)

Задание самостоятельно найти доказательство теоремы о равенстве вертикальных углов является, видимо, гораз­до более трудным, чем, например, задача на определение площади параллелограмма. Почему?

Помимо ранее упоминавшейся причины, заключаю­щейся в том, что требование доказательства вообще часто остается совершенно непонятным, главная причина, по-видимому, состоит в том, что в этой ситуации следует рассматривать чертеж как две симметричные по смыслу конфигурации ab/bc, которые перекрываются, и поэтому сохраняется возможность совместного рассмотрения нуж­ных углов а и с.

Понимание того, что угол а «играет в ab такую же роль, как с - в bс», требует значительной ясности мыш­ления 1. Некоторые испытуемые помогают себе, рисуя две фигуры:

Рис. 70

И в процессе обучения это также иногда способствует по­ниманию.

IV

Решающим в А- и B-реакциях была структурная связь пар равенств. Но этого недостаточно. В реальных случаях сама идея первого равенства, идея группировки данного угла с третьим, часто возникает потому, что для обоих рассматриваемых углов это может быть проделано сим­метричным образом. Эта операция не является операцией в себе и для себя, но находит свое оправдание как часть плана. Испытуемый чувствует, что эти две операции (позднее - равенства) будут связаны друг с другом и, та­ким образом, приведут к решению. Это не два последо­вательных акта, но, когда осуществляется первый, он уже предстает как один из членов пары. Хотя операция фик­сируется отдельной формулой, на самом деле она не яв­ляется самостоятельным актом.

Процесс мышления не является, как считают многие, простым последовательным переходом от одного пункта к другому путем формулировки последовательных суж­дений; иногда так и происходит, но в актах подлинного мышления дело обстоит иначе. В них действие начинает­ся с рассмотрения целостных свойств, а отдельные эле­менты рассматриваются в качестве частей целого.

Рис. 71

Ход мышления, его направление является в этом слу­чае не одной последовательной операцией; существует симметричная двунаправленность: каждый из двух нуж­ных углов рассматривается как часть целого, образован­ного введением третьего угла, который впоследствии мо­жет быть вычтен в силу смысловой симметрии операций.

Аналогично некоторые действия требуют совместной, симметричной кооперации обеих рук, дополняющих дви­жения друг друга. В некоторых случаях было бы бес-мысленно действовать посредством простого перехода от одной отдельной операции к другой. Вы даете ребенку две игральные карты и просите его «сделать домик». Ре-

139

бенок может взять одну из карт и наклонить ее примерно на 30° от вертикали, то есть произвести действие, которое является осмысленным только в связи с идеей завершен­ной структуры. Такое действие лишь с одной из карт без понимания того, что будет проделано с другой, является бессмысленным. Существуют испытуемые, которым в ходе обучения привили привычку действовать только последо­вательно, шаг за шагом, это мешает их мышлению. Не следует считать, что мы всегда должны совершать одно действие за другим, думая: «Я позабочусь о других вещах позже». Постарайтесь сначала понять, что вы делаете в данном контексте, рассматривайте вещи как части этого контекста.

Привычка к последовательности, равно как и широко распространенная теория, согласно которой мышление по своей природе является последовательным 1, возникает вследствие ее адекватности ситуациям последовательного сложения, в которых выполнение одной из операций свя­зано с выполнением других аддитивным образом. Эта при­вычка возникает, далее, из-за того, что мы не можем про­изнести одновременно два предложения, потому что мы не можем одновременно написать два утверждения, пото­му что в описании должны переходить от одной вещи к другой. В этом одна из причин того, почему часто так по­лезны всякого рода схемы.

Далее, привычка к простой последовательности неред­ко вызывается требованием точности, правильности каж­дого шага, что, конечно, является весьма серьезным и необходимым, но оказывается недостаточным. И наконец, она возникает потому, что правильные выражения, или логические, формальные выражения, оказываются воз­можными лишь по отношению к суммам единиц. Повто­ряем: они связаны с аксиоматическим допущением, со­гласно которому мышление является и должно быть вербальным по своей природе, и логика обязательно свя­зана с языком. Оба эти предположения являются невер­ными обобщениями. По-видимому, понятие целого не поддается формальному описанию.

1 См. формулировку Канта, согласно которому мышление по необходимости является только дискурсивным.

ГЛАВА 4

Знаменитая история о маленьком Гауссе

Начнем с вопроса к читателю.

В новом доме вдоль стены холла строится лестница. В ней 19 ступенек. Со стороны холла лестница будет об­лицована квадратными резными панелями с размерами,

Рис. 72

равными размерам ступенек. Плотник поручает своему помощнику принести панели из магазина. Помощник спрашивает: «Сколько панелей я должен принести?» «Оп­редели сам», - отвечает плотник. Помощник начинает считать: 1 + 2 = 3; +3 = 6; +4=10; +5 = ...

Плотник смеется: «Подумай. Разве ты должен сосчи­тывать их одну за другой?»

Дорогой читатель, что бы вы сделали, если бы оказа­лись на месте помощника?

Если вам не удалось найти лучший способ, я спрошу: «А если бы лестница не примыкала к стене и потребова­лись бы квадратные плиты для обеих сторон? Помогло бы вам, если бы я посоветовал решить этот вопрос, сделав образцы этих двух сторон из бумаги?»

Дальнейший материал представляет собой различные экспериментальные вопросы, с помощью которых я изу-

141

чал особенности проблем, связанных с задачей Гаусса.

Теперь я расскажу историю о маленьком Гауссе, буду­щем знаменитом математике. Она заключается в следую­щем: шестилетним мальчиком он учился в средней школе небольшого городка. Учитель предложил контрольное за­дание по арифметике и объявил классу: «Кто из вас пер­вым найдет сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10?» Очень скоро, в то время как остальные все еще были за­няты вычислениями, юный Гаусс поднял руку. «Liggetse», - сказал он, что означало: «Вот!»

«Каким образом, черт побери, тебе это так быстро удалось?» - воскликнул пораженный учитель. Юный Гаусс ответил - конечно, мы не знаем точно, что он отве­тил, но на основании экспериментального опыта я считаю, что он ответил приблизительно так: «Если бы я искал сумму, складывая 1 и 2, затем прибавляя к сумме 3, за­тем к новому результату - 4 и т. д., то это заняло бы очень много времени; и, пытаясь сделать это быстро, я, пожалуй, наделал бы ошибок. Но посмотрите, 1 и 10 в сумме дают 11, 2 и 9 снова в сумме составляют Н. И так далее! Существует 5 таких пар; 5, умноженное на 11, даст 55». Мальчик понял суть важной теоремы 1. Запишем это в виде схемы:

Рис. 73

142

Подобно учителю, предложившему классу эту зада­чу, я задавал ее многим испытуемым, включая детей раз­ного возраста, желая узнать, будет ли найдено правиль­ное решение и какие средства, какие условия могут по­мочь найти его. Для того чтобы изучить связанные с этим решением шаги и его характерные черты, я применял систематические вариации; некоторые из них опишу в дальнейшем. Иногда я предлагал очень длинные ряды. Я прямо говорил: «Решите задачу, не прибегая к громозд­ким сложениям» - или просто ждал реакции испытуе­мых.

Вот лучшие из типичных процессов, которые я обна­ружил.

1. Сначала не было заметно, что человек решает за­дачу. Затем: «При заданной последовательности чисел, которые нужно сложить, конечно, правильно складывать их в порядке следования - но это так утомительно». Вдруг: «Это не просто любая последовательность; числа последовательно возрастают, шаг за шагом, - этот факт может... он должен иметь какое-то отношение к сумме. Но как эти две вещи связаны друг с другом - форма по­следовательности и ее сумма, - какова внутренняя связь между ними, остается неясным; я каким-то образом чув­ствую это, но не могу это понять».

Через некоторое время: «У ряда есть направление воз­растания. У суммы нет направления. Так вот: возраста­ние слева направо связано с соответствующим убыванием справа налево! Этот факт должен иметь отношение к сумме. ? все больше и больше; ? все меньше и меньше - в той же пропорции. Если двигаться слева направо, от первого числа ко второму, то увеличение будет равно единице; если двигаться спра­ва налево, от последнего числа к предпоследнему, то уменьшение будет равно единице. Следовательно, сумма первого и последнего числа должна быть той же, что и сумма следующей внутренней пары. И это должно быть так всюду!»

«Остается только ответить на вопрос: сколько таких пар? Очевидно, что число пар равно половине всех чисел, следовательно, равно половине последнего числа».

В сущности, здесь происходит перегруппировка, реор­ганизация ряда в свете данной задачи. Это не слепая пе­регруппировка, она естественно возникает по мере того, как испытуемый старается постичь внутреннюю связь

143

между суммой ряда и его структурой. В этом процессе различные элементы явно приобретают новый смысл, но­вое функциональное значение. 9 теперь рассматривается не как 8+ 1, а как 10-1, и т. д.

Если подобным образом приходят к общей формуле

то рассматривают ее члены в свете такой структуры: (n+1) представляет величину пары, число пар. Но многие знающие только формулу, подходят к ней совершенно слепо. Для них все формулы

попросту эквивалентны 1. Для них, по-видимому, оба n означают одно и то же. Они не осознают, что в случае пер­вой формулы n в выражении n+1 является одним из членов пары, тогда как n в означает число членов ряда, определяющее число пар. Конечно, эти четыре формулы приводят к одному и тому же конечному результату и яв­ляются в некотором смысле эквивалентными, но психоло­гически они не эквивалентны 2. В действительности они различны и с логической точки зрения, если рассматривать их в отношении их формы и функции, а не только в терми­нах внешней эквивалентности. Конечно, это логический вопрос, но только при условии, что из логики не исключа­ется функциональное значение членов, генетический во­прос, вопрос подхода к формуле - вопрос осмысленного нахождения или понимания формулы.

Формула оказывается в равной степени применимой, когда ряд оканчивается нечетным числом, например:

1 Например, даже формула Или сравните со слепым обобщением формулы в виде формулы

2 Психологическое различие объективно выражается в реакци­ях на измененные задания. См. с. 148-149.

144

Здесь описанная группировка иногда вызывает колеба­ния: что делать с числом, которое нельзя объединить в пару? В этом случае необходим следующий шаг. Это от­дельное число может привести к неожиданной догадке: «Это число, должно быть, является половиной пары,

И после некоторого обдумывания выясняется, что это не меняет формулы: есть 3 пары и остаток в сере­дине, который теперь рассматривается как половина пары 1.

Существуют другие способы продуктивных и осмыс­ленных действий. Следующая последовательность дейст­вий одиннадцатилетнего мальчика подобна только что описанной. После того как я просто спросил его: «Че­му равно 1+2+3+4+5+6+7+8+9?» - он недовольно сказал: «Должен ли я их сосчитать?» «Нет», - ответил я. Неожиданно улыбнувшись, он сказал: «На конце на­ходится число 9. 8 плюс 1 в начале ряда тоже равно 9, и то же должно быть для других пар...» - и назвал ответ.

2. Другой способ, найденный двенадцатилетним маль­чиком, начинался иначе. Задание было таким: 1+2+3+ + 4 + 5 + 6+7.

Когда его попросили не вычислять сумму шаг за ша­гом, он медленно проговорил: «Эти числа последователь­но увеличиваются...» А затем с неожиданной радостью: «А, у меня есть идея! Я просто возьму число, стоящее в середине, и умножу его на количество членов последова­тельности, которое, конечно, равно последнему числу». Было ясно, что для него это открытие. Когда его попро­сили объяснить, что он имеет в виду, он взял среднее

число 4 и умножил его на 7. Когда ему дали ряд, оканчи­вающийся на 8, он взял среднее между 4 и 5 значение, то есть 4.

На языке общей формулы это означает: с · п (средний член, умноженный на n), или Эта формула структурно отличается от первой, в которой n+1 было суммой каждой пары, а n/2 - числом пар.

Я хотел еще лучше понять, что он имел в виду и как он достиг решения. Он не мог дать какую-либо ясную ма­тематическую формулировку, но сказал: «Числа последо­вательно увеличиваются. Это означает, что центральное число важно для определения суммы. Числа увеличива­ются к правому концу ряда, они уменьшаются к его ле­вому концу. Таким образом, то, что прибавляется при движении направо, отнимается при движении налево» (см. рис. 74).

Рис. 74

1 Ср. гл. 1, с. 77 и сл. Испытуемые обнаруживают структур­ное нарушение и устраняют его: два структурных нарушения ком­пенсируют друг друга и исчезают, образуя цельную, ясную и чет­кую структуру.

146

Рис. 75

Этот способ служит разумным обоснованием хорошо» известной процедуры, в ходе которой учитель говорит: «Для того чтобы определить сумму такого ряда, выпи-

Рис. 76

шите его, затем прямо под ним напишите тот же самый ряд в обратном порядке и сложите все вертикальные па­ры. Они равны:

1+ 2+ 3 + 4+ +58+59+60

60+59+58 +57+ ... +3+ 2+ 1

______________________________

61+61+61+61…… 61+61+61+61»

Несколько человек в моих экспериментах предложили эту процедуру в качестве решения. Они сказали, что выучи­ли этот способ в школе. Когда их спросили, почему они написали ряд дважды и второй раз в обратном порядке, все они были весьма озадачены и не знали, что ответить. Когда, настаивая, я спросил: «Мне нужна сумма ряда, зачем же сначала находить удвоенную сумму?» - боль-

147

шинство отвечали: «Ну, в конце концов это ведет к ре­шению». Они не могли объяснить, как возникла идея удвоения. Признаюсь, что я сам долгое время не мог объ­яснить, как можно разумным образом прийти к идее удвоения. Она казалась мне, как и многим другим, трю­ком, похожим на случайное открытие 1.

Когда я показал эти результаты математику, он ска-зал: «Зачем беспокоиться о том, что вы называете «функ­циональными различиями», «различиями в значении чле­нов»? Важна только формула, которая одинакова во всех случаях».

Такой подход, конечно, оправдан, если дело касается лишь правильности или валидности конечного результа­та. Но если вы пытаетесь понять психологический про­цесс продуктивного мышления, вы должны исследовать, рассматривать члены в их функциональном значении. Это приводит к решению в ходе разумных, продуктивных процессов, в этом и состоит основное различие между осмысленным поиском формулы и усвоением в результа­те слепого обучения или случайных проб и ошибок.

Структурные операции в различных описанных выше процедурах в некоторых отношениях отличаются друг от друга 2. Но существует также и сходство между ними:

1 Ср. похожий способ определения площади треугольника с по­мощью дополнения его до параллелограмма или дополнение пря­моугольного треугольника до прямоугольника.

Рис. 77

2 Организация, группировка и т. д. в наших трех примерах соответствуют следующим формулам:

величина одной пары число пар

центральное значение число членов

148

сначала испытуемые видят проблему, осознают ее. Для этого необходимо понимание, схватывание конкретной структуры ряда в свете того, что требуется определить. Потребность понять внутреннюю связь между данной структурой и поставленной задачей ведет к перегруппи­ровке, к структурному переосмыслению. Фазы и операции решения ни в коей мере не образуют случайную, произ­вольную последовательность; напротив, они возникают как части единого целостного процесса мышления. Их выполнение обусловлено видением целостной ситуации, ее функциональными требованиями, а не является резуль­татом простой случайности или бессмысленного повторе­ния старых эмпирических связей.

Хотя весь процесс иногда длится не более минуты - как в случае двух упоминавшихся мальчиков, - идея ча­сто возникает в весьма туманной форме, сначала как воз­можные направления основных способов группировки и т. д. Порой до того, как ситуация становится действитель­но прозрачной, совершенно ясной, проходит некоторое время. Это особенно относится к случаю, когда ищется формула. Схватив идею, испытуемые могут увидеть неко­торые структурные свойства искомого равенства задолго до того, как способны написать его конкретную формулу. Я думаю, что этот этап мышления часто представляется туманным главным образом потому, что еще не разрабо­таны точные понятия для описания структурных свойств, свойств целого. Конечно, действительное решение проб­лемы станет возможным только после того, как будут выявлены все относящиеся к делу вопросы. Но идея сим­метричной компенсации часто является существенной частью этого процесса. На этом этапе испытуемые, часто не колеблясь, отвергают предлагаемые формулы, которые не согласуются с найденными структурными свойствами, отвергают задолго до того, как могут написать правиль­ную формулу. Так, композитор, представляя себе мело­дию в целом, пытается конкретизировать ее на фортепиа­но, придумывает что-то и решительно отвергает как не­подходящее и т. д., пока наконец не находит именно то, что воплощает его замысел.

II

Я приведу несколько примеров задач, которые исполь­зовал в экспериментальном исследовании задачи Гаусса. Как и в случае задачи на определение площади паралле­лограмма, моими испытуемыми были люди разного воз­раста, главным образом дети. На примере 1+2+3+4+ + 5 + 6 им был показан метод Гаусса, обычно - без фор­мулы, а иногда - с формулой. Затем, для того, чтобы увидеть, каковы будут спонтанные действия испытуемых, какая им потребуется помощь, какая помощь действи­тельно окажется эффективной и т. д., им предъявлялись задания типа описанных ниже.

Читатель может попытаться угадать, какова была при­рода реакций в этих случаях: иногда встречались пре­красные продуктивные процессы (A-реакции, особенно в случае задач d и е), иногда испытуемые обобщали фор­мулу, иногда встречались бессмысленные B-реакции.

Предоставим читателю возможность попробовать са­мому: пусть он увидит, что с ним произойдет в процессе решения этих задач - так или иначе, все они являются A-задачами.

Чему равна сумма:

a. 1 + 2+3 + 4 +58 + 59

b. 17 + 18 + 19 + 20+21 + 22 + 23

c. 1+2+3+4 +16 + 17 + 18 + 19

bc. 96 + 97 + 98 +102 + 103 + 104

d. 1+5+9+13+17+21

bd. 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

Чему равно произведение:

e. 1?2?4?8?16?32

be. 5?10?20?40?80?160

f. ??1/4?1/2?1?2?4?8

150

Я уже говорил, что все эти задачи являются в опре­деленном смысле A-задачами. Надеюсь, что вам это по­нятно.

В а первоначальный ряд продолжен. Если выучена формула, то эта задача являемся просто частным случаем формулы.

Ряд b начинается не с 1. Как действовать в этом слу­чае? Не видите ли вы какого-либо прямого пути? Конеч­но, выбрав круглое число, я сделал это задание более легким. Подумайте о формуле, которая будет включать этот случай как частный.

В ряде с есть разрыв. Мешает ли он вам?

В ряде d изменена разница между членами. Что вы будете делать в этом случае?

Для рядов e и f нужно определить произведение. Уди­вило ли это вас? Нашли ли вы решение? Могли ли вы написать формулу?

Конечно, я не учил маленьких детей формулам, я так­же не просил найти их. Я часто выбирал более простые числа, чем в рядах b и bc, или более легкие случаи, чем е, f, но не обязательно более короткие ряды, а часто го­раздо более длинные. Нужно соблюдать осторожность в отношении последовательности заданий. Лучше всего пе­рейти сразу от первоначального задания к одному из по­следних, к d или е.

Часто при решении таких задач сталкиваешься с ин­тересными случаями: иногда - с удивительно точными реакциями, о чем свидетельствуют также замечания испытуемого, а иногда - с полной беспомощностью, уди­вительно бестолковыми или слепыми ответами даже у умных людей, особенно если такая слепота возникает из-за действий по привычке или в результате механического усвоения (см. гл. 1, с. 44). Характер как осмысленных, так и бессмысленных реакций проливает свет на обсуж­даемые психологические проблемы.

Что касается задач типа е и f, требующих перехода от сложения к умножению, то я могу привести следующий случай: на примере 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 я показал метод Гаусса одиннадцатилетнему мальчику. Затем я дал ему ряд 1 · 2 · 3 · 10 · 15 · 30. «Нет, - сказал он, - здесь не­возможно применить этот прекрасный метод...» Но спустя некоторое время внезапно добавил: «А если перемножить эти числа, то метод сработает!..» - и он показал способ

151

группировки 30 · 30 · 30, самостоятельно открыв примене­ние данного метода к произведениям.

В форме сложения этот последний ряд был B-случаем, а в форме умножения - А-спучаем. Это дает возможность систематически использовать в экспериментах пары А- и В-форм таких рядов, как следующие:

5 + 10 + 20+40+80 + 160 (B-случай)

5 · 10 · 20 · 40 · 80 · 160 (А-случай)

1 + 2 + 4 + 8+16+32 (B-случай)

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 (A-случай)

Однако для некоторых рядов задача в форме сложе­ния представляла собой А-случай:

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 (A-случай)

5 · 10 · 15 · 20 · 25 · 30 (B-случай)

Или:

1+2+3+4+5+6 Первоначальный ряд

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 (B-случай)

1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 12 (A-случай)

1+2+3+4+6+12 (B-случай)

В каких случаях отвергают этот метод, в каких - при­меняют, какие при этом возникают трудности и т. д. - все это характеризует понимание.

Существуют сходные примеры B-заданий, которые с большей вероятностью вызывают слепые реакции. Если, к примеру, вместо ряда

1 + 2+3+7 + 8+9

дать ряд

1 + 2 + 3 + 4+7+8+9,

или ряд

c) 1 + 2 + 3 + 4+6 + 7,

то испытуемые иногда не замечают требования симмет­ричности двух половин ряда относительно положения разрыва. Однако некоторые испытуемые правильно и без колебаний (А-реакции) применяют метод в задачах ти­па а), тогда как в задачах типа b) и с) они колеблются, не­смотря на то, что составные части этих рядов, несомнен­но, больше похожи на первоначальный ряд 1+2+3+4+ +5+6, чем ряд а). Они строго различают эти типы, ищут требуемую симметрию и в большинстве своем находят соответствующие, более сложные действия, например вос-

152

станавливая симметрию в b) путем исключения числа 4, добавляя недостающее в с) число 5 или меняя 4 на 5 и т. д.

Приведем следующие примеры А-B-пар в задачах типа d:

1+2+3+4+5+6

А 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 А 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 В 1+2+3+4+11+13 В 1+2+3+7+9+11

Хотя явно бессмысленно в B-случаях применять метод Гаусса (особенно если ряд длинный), тем не менее неко­торые испытуемые слепо используют его. В то же время другие испытуемые разумно отвергают B-задачи или ре­шают их с помощью громоздкого метода, в то время как с A-задачами справляются вполне осмысленно.

Таким образом можно выявлять, изучать и проверять, какие из структурных свойств задачи Гаусса являются «существенными», какова внутренняя структурная связь между операциями и формой, какие факторы являются периферическими. В различных типах задач существен­ными были:

в b - независимость структурных факторов от поло­жения начала ряда;

в с - обязательная симметрия ряда, проверяемая по наличию и месту разрыва;

в d - независимость структурных особенностей от ве­личины постоянной разности членов;

в е - независимость внутренней структурной связи от характера конкретных операций, о чем свиде­тельствует перенос на структурно сходные слу­чаи с умножением.

Особенно интересно исследовать, какие формы задач лучше способствуют открытию метода с помощью учителя или без него. И с теоретической точки зрения очень важ­но было установить, что более короткие ряды отнюдь не являются самыми лучшими и даже что ряд 1 + 2 + 3 + 4+ + 5 + 6 не обязательно лучше ряда 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11.

Не следует забывать следующий тривиальный факт: неупорядоченные ряды с переставленными членами вызы­вают особые затруднения и при применении метода, и при его открытии. Правильный порядок делает ряд умо­постигаемым, указывает на необходимую согласованность членов ряда. Однако некоторые изменения порядка не

153

являются, по-видимому, неблагоприятными. Важна, ве­роятно, не величина отдельного отклонения от первона­чального ряда; помогать или мешать ясному видению це­лого может скорее определенный тип упорядоченности. В случае

1+10+2+9+3+8+4+7+5+6