Часть 7.

испытуемый иногда останавливается и восклицает: «Тут есть последовательность: эти числа возрастают, а эти - убывают», показывая

Рис. 78

или образует пары:

Рис. 79

Последний прием приближается к хорошо известным приемам «быстрого счета», которыми пользуются бухгал­теры, складывая большие числа. Вместо того чтобы счи­тать, последовательно складывая числа, они считают па­рами или тройками, образуя легко запоминаемые круглые числа. Этим приемам, конечно, недостает понимания свя­зи с «принципом» построения ряда.

III

Столкнувшись с задачей определения суммы ряда и не получив никакой помощи, многие не могут найти гаус­сова решения. Почему? Что делает эту задачу для мно­гих столь трудной? Что кроется за словами: «Чтобы ре­шить эту задачу, нужно обладать гением юного Гаусса»? Но почему тогда это сделал маленький мальчик из упо­минавшихся примеров, причем сделал это последовательно и с легкостью? Что с психологической точки зрения ле­жит в основе таких творческих достижений?

Задачи Гаусса связаны со структурными трудностями. И чтобы преодолеть эти трудности и, несмотря на них,

154

увидеть путь к решению, требуются некоторые условия. На основании своего опыта могу сказать, что существен­ными чертами подлинного решения является то, что продуктивно мыслящий человек

не скован, не ослеплен привычками; не просто рабски повторяет то, что выучено; не действует механически;

обращает внимание не на отдельные части задачи, а на задачу в целом;

его действия не являются произвольными, случай­ными, он открыто, свободно подходит к проблемной ситуации, рассматривает ее в целом, старается по­нять, как связаны условия задачи и то, что требует­ся определить;

пытается понять и проследить внутреннюю связь между формой задачи и поставленной целью, постичь суть проблемы, понять и сделать прозрачными ос­новные структурные особенности упорядоченных рядов, несмотря на существующие трудности.

Задача Гаусса действительно является структурно сложной, и главная трудность заключается, видимо, в сле­дующем: увидеть внутреннюю связь между формой и за­данием (суммой) трудно, 1) потому что скрыты компен­сирующиеся разности, 2) потому что

Психологически

сильный порядок прогрессии должен быть разбит на требуемые симметричные части: ? и ? .

А что если бы мы упростили структуру данной ситуа­ции, не просто предлагая ряды с меньшим числом членов, но используя задачи, в которых структурные особенности не так скрыты?

155

Некоторые формы задач, сходные с предыдущими примерами, явно упрощают дело, например:

99,8+99,9+100+100,1+100,2=?

2733/5+2734/5+274+2741/5+2742/5=?

или

271+272+273+274+275=?

5

Но давайте действовать радикально. Будем использовать задания, в которых компенсирующиеся разности не мас­кируются структурой. Решение становится естественным, если, например, спросить, какова сумма - 3-2-1 + 1 + + 2 + 3 1.

Конечно, некоторые в этом случае будут действовать заученным образом, слепо, постепенно. Но большинство испытуемых, рассматривая ряд целостно, смеются или удивляются столь внушительно выглядящей, но триви­альной задаче. Это происходит практически со всеми ис­пытуемыми. В таких случаях иногда получаешь ответ, даже не задавая вопроса, не спрашивая, какова сумма. Если ряд длинный, решение часто достигается не в ре­зультате формирования отдельных пар, а в результате осознания структуры целого, элементы которого образуют прогрессию. Если добавляется член, который явно не вписывается в ряд, как, например, в

9-5-4-3-2-1+1+2+3+4+5 или в

-5-4-3-2-1 + 1 + 9 + 2 + 3 + 4 + 5,

то он часто выделяется, сам себя изолирует.

Наш случай приближается к заданиям типа т+а-а пли m+а-а+b-b+с-с. Операция 1 требует прибавле­ния а к т, операция 2 - вычитания а, но операция 2 внут­ренне связана с операцией 1, являясь ее противополож­ностью. Операция 2 появляется в этом контексте в ответ на требование уничтожить результат операции 1, н наобо­рот. В этом заключается их структурное значение. Обе операции рассматриваются и функционируют не как про­стая сумма двух операций, а в их внутренней связи, ко­торая делает ненужной, совершенно бессмысленной каж­дую из них в отдельности.

1 См. также пример f на с. 150. Решит ли читатель его быстрее, чем задачи е, bе или даже с и bd ?.

156

Осознание этой связи, отказ производить действия, ко­торые компенсируют друг друга, связаны с естественным, осмысленным пониманием. Образованный психолог мо­жет даже вспомнить в этой связи о закономерностях по­ведения крыс. По-видимому, очень трудно, а часто просто невозможно научить крыс двигаться по лабиринту так, чтобы они проходили один и тот же путь в противопо­ложных направлениях (см. рис. 81).

Не следует забывать, однако, что в некоторых случаях определенный тип противоположных действий становится вполне разумным - например, в ритмической игре, в рит­мическом танце, подобных ряду -1 + 1, -1 + 1 и т. д. или ряду -1 + 1, -2 + 2, -1 + 1, -2 + 2 и т. д. Здесь сим­метрия противоположных движений играет важную пози­тивную роль.

В 1931 г. во Франкфуртском институте я поручил Мисс Симссен изучить психологические различия между осмыс­ленной и бессмысленной работой. В отличие от осмыслен­ной расстановки книг на полках мы использовали внеш­не сходные с ней сизифовы задания: ставить книги на полки в ряд, затем снимать их, ставить на прежние ме­ста, затем опять расставлять на полках и т. д. ... В обоих случаях действия наблюдались в течение примерно полу­часа. Испытуемые выполняли бессмысленное задание довольно вежливо, хотя и неохотно и с явным затрудне­нием. Со временем сопротивление нарастало и дело доходило до открытого протеста. Но иногда в ходе выпол­нения задания происходило нечто поразительное: у неко­торых испытуемых характер задания менялся и стано­вился чем-то более привлекательным - действия стано­вились похожими на ритмический танец, книги снимались и ставились на прежнее место размеренными танцеваль­ными движениями, продолжать действия уже было не-

157

столь обременительно, задание превратилось в шутливую игру. Однако даже такие действия не могли продолжать­ся длительное время.

Вернемся к обсуждаемой нами проблеме: роль осмыс­ленного упорядочения, особенности разумной группиров­ки становятся технически ясными, когда мы даем детям следующие задачи и сравниваем их подходы и реакции:

m + а-а + b-b + с-с

т+а+b-с-а+с-b

m + a + b + c-а-b-с

или 4. т+а + b+с-с-b-а и т. д. с m или без него 1.

В первом случае мы от большинства испытуемых по­лучаем быстрые ответы: «Конечно, сумма равна т», иног­да с замечаниями типа: «Какой смысл делать что-нибудь, чтобы тут же уничтожить результат действия?» - и они разумным образом группируют следующие пары

m |+а-а|+b-b| +с-с

и никогда

т+а| -а+b| -b+с| -с2

Сходным образом, но более решительно в случае, когда имеется ряд

т-а + а-b + b-с + с...

1 Другие конкретные случаи:

96+77-77+134-134,

или 96+77-134-77+134,

или 48+79-124-79+124,

или 48+79-79+124-124.

В последнем случае слепая процедура:

48+79=127

127-79=48

48 + 124 и т. д.

2 Чтобы проиллюстрировать теоретические представления о проблеме переноса, рассмотрим А- B-случаи в элементарной форме:

1) Сначала показываем, заучиваем a+b-а. Например 35 + 14-35

2) A-форма c + d-c 87+69-87

B-форма а + b-с 35+14-87

A-форма а + b-b 35+14-14

В 1) процедура группировки первого члена с последним «по­казывается, заучивается». Во 2) все члены изменены, но сохраняется структура оригинала. В 3) изменений меньше; этот пример более сходен с заученным образцом с точки зрения поэлементного анализа, с позиций представлений о простой сумме, стимуле - ре­акции. Но если имеется какое-нибудь понимание, то ребенок совершит перенос на задания 2) и 4), но не на задание 3).

158

мы получаем

т |- а + а| - b + b|- c + c...

но не т-а| +а-b| + b-с | +c...

Большинство испытуемых даже не пытаются искать сум­му т+а или разность т-а. Или, если пытаются, скоро досадуют на это, восклицая: «Как глупо, что я не уви­дел!»

Во второй задаче мы обнаруживаем больше не свя­занных между собой слепых действий. Часто наблюда­ются колебания, беспокойство, замечания вроде: «Это нужно упорядочить», «Здесь нет порядка», и дети пере­писывают ряды, образуя осмысленные пары.

Третий тип задач кажется проще второго и приводит к быстрому нахождению соответствующих половин: за­дачи решаются легче, если числа не являются произволь­ными, а используется определенный принцип, как в т-1-2-3 + 3 + 2 + 1 и других подобных примерах.

Простым экспериментальным приемом изучения та­ких разумных способов группировки является так назы­ваемый «квадратный набор». Требуется сложить четыре числа, два из которых при сложении дают круглое число или взаимно уничтожаются

Набор 1) обычно понимается и решается как состоящий из горизонтальных пар, набор 2 - в виде вертикальных. Так же обстоит дело и в случаях, когда два или более числа не компенсируют друг друга, а составляют круглое число:

a b

Если обозначать четыре члена в таких наборах , то

c d

предпочтительным способом группировки в наборах типа 1 будет ab/cd, а в наборах типа 2 - ac/bd. Психолог знает, что эти закономерности были установлены в результате исследований роли организации в восприятии, которые

159

привели к открытию так называемых «гештальттенден­ций» в группировке 1.

В этих экспериментальных исследованиях (в них ис­пользовались в основном наборы точек или простые фигу­ры) была обнаружена сильная тенденция к восприятию согласованных друг с другом целостных свойств, «разум­ные способы группировки», признаки которых опреде­лялись внутренней структурой ситуации - так называе­мым фактором «хорошего гештальта».

Эти исследования показали, что тенденция к «разум-лому» восприятию коррелирует с осмысленными законо­мерными математическими свойствами ситуаций - хотя и с некоторыми ограничениями, вследствие того, что в вос­приятии важны не столько «законы образования клас­сов», сколько свойства целого (см. с. 284 и сл.).

Проблемы, которыми мы здесь занимаемся, не связа­ны лишь с арифметикой или с обучением арифметике. Примером фигур, похожих на арифметический квадрат­ный набор, является следующая оптическая констелля­ция, в особенности констелляция сплошных фигур - на­пример, черных фигур на белом фоне. Набор 1 обычно рассматривается в виде вертикальных пар, а набор 2 - в виде горизонтальных 2.

i См.: Wertheimer M. Untersuchungen zur Lehre von der Gestalt.-"Psychologische Forschung", 1923, Vol. 4, S. 322-323; См. также: E11 i s W. D. Op. cit., p. 82, или B e a r d s l e e D. C., W e r-t h e i m e r M., Op. cit, p. 128. Например,

Рис. 82 Рис. 83

Рис. 82 мы видим как ad/bc, а не как ab/cd. И рис. 83 рассмат­риваем как bcfgkl.../adehi, а не как acegi.../bdfhk..., практически не­возможно воспринять изображение на рис. 83 как целостную фигуру.

2 Ср. экспериментальные исследования движения с помощью специально подобранных квадратных наборов.

Schiller P. v. Stroboskopische Alternativversuche. - "Psycho­logische Forschung", 1933, Vol. 17, S. 179-214.

160

Рис. 84 Рис. 85

Или рассмотрим такую ситуацию:

Рис. 86

При работе с такими наборами - скажем, кубиков - даже у маленьких детей обнаруживается сильная тенден­ция к действиям в разумном направлении. Они часто на­ходят это направление спонтанно, «улучшая», «исправ­ляя» ситуацию. При этом нет необходимости в языке - они просто разумно соединяют объекты, пригоняя их друг к другу. Нередко для осмысленного действия нет необходимости даже давать задание: оно определяется внутренней динамикой ситуации. Мы опять сталкиваем­ся здесь с ролью «нарушения», «пробела», «именно того, что требуется» как частей единого целого. Эти особенно­сти, по-видимому, являются наиболее важными при эффективном обучении арифметике 1.

Простой иллюстрацией нашей проблемы является следующая фигура, вызывающая сильное желание уб-

1 Благодаря многолетнему опыту изучения детей д-р Катрин Штерн разработала приемы и методы обучения арифметике, в ко­торых важную роль играет подлинное открытие в структурных по

161

рать квадрат, или остаток, оттуда, где квадратов «слиш­ком много», и поместить туда, где его не хватает.

Рис. 87

Сходные соображения, по-видимому, имеют первосте­пенное значение при обучении геометрии. Так, например, для осмысленного определения величины угла важно рас­сматривать его в качестве части единого целого, равного 360°. Если с углами в 182° и 180°, 355°, 360°, 363° обра­щаться просто как с любыми углами, как с углами одного ранга, то можно не заметить их структурного положения, их функционального значения. Здесь я напомню экспе­рименты с детьми, которых просили повернуть большую стрелку часов несколькими последовательными вращения­ми 1. Задание было похоже на задачу Гаусса. Например: каким будет конечное положение стрелки, если ее повер-

природе задачах. Результаты такого обучения, которое доставляет большое удовольствие, кажутся в сравнении с обычным обучением (путем заучивания), которое делает основной упор на формиро­вание ассоциативных связей, чрезвычайно хорошими. Эти методы и исследования опубликованы в: S t е г n С. Children discover arith­metic. - Прим. Майкла Вертгеймера.

1 Wertheimer M. ?ber das Denken der Naturv?lker, Zahlen und Zahlgebilde.-"Zeitschrift f?r Psychologie", 1912, Vol. 60, S. 321-378

162

нули сначала по часовой стрелке на 7°, потом на 90°, за­тем на 180° и опять на 90°? Или сначала на 8°, потом на 7°, затем на 83°, 6°, 84°, 5°, 85°, 4°, 86°? В экспериментах с детьми, которые ничего не знали об углах, я говорил: «Сейчас 12 часов, предположим, что я несколько раз по­вернул стрелку. Где остановится стрелка, если я сначала повернул ее на 7 минут, затем на 25, 5, 24, 6?»

Вот данные, полученные при решении следующих за­дач взрослыми испытуемыми. Я просил определить сум­му векторов - сил, действующих на тело, - в следующих случаях: «Один вектор (а) с величиной К направлен вертикально вверх (0°), другой (b) с величиной L направ­лен под углом 90° к первому, третий (с) с величиной К - под углом 180°, четвертый (d) с величиной L - под углом 270°. Какова сумма этих сил, действующих на тело?»

Рис. 88

Результат - особенно если начертить схему - очеви­ден и равен нулю; противоположно направленные век­торы компенсируют друг друга, противоположно направ­ленные равные векторы объединяются в пары.

Но бывает, что человек, который видит всю фигуру, настаивает на образе действий, который он называет «строгим». Строя параллелограммы (рис. 89), он говорит: «Векторы а и b в параллелограмме сил дают в сумме ре­зультирующую силу r1. Сложение первой результирую­щей и вектора с по правилу параллелограмма сил дает вторую результирующую (рис. 90). Последняя в сумме с d дает третью результирующую, которая равна нулю, а r3 в сумме с а дает в результате +a». Он был явно оша­рашен и неуверенно сказал: «Но это чепуха! И все же,

163

если действовать таким образом, получается а... где же ошибка?» Он затратил на напряженное обдумывание боль­ше 14 минут и, ничего не выяснив, оставил задачу. Вер­нувшись к ней через некоторое время, он неожиданно до­вольно грустно сказал: «Понял. Я уже использовал

Рис. 89 Рис. 90

первый вектор» - и извиняющимся тоном добавил: «Я действовал глупо. Мне было ясно, что нужно пере­брать все векторы. Получив 3-ю результирующую, я счи­тал, что прошел лишь ? пути, только 270°... Я думал, что нужно сделать этот угол полным. Я не подумал, что уже использовал вектор а. Как я был глуп. Конечно, а и с в сумме дают нуль, и b и d тоже нуль. Таким образом, ре­зультирующая равна нулю».

Конечно, он за исключением последнего шага действо­вал правильно. Часто нужно строить каждую результи­рующую - этот метод является общим. Но не следует за­бывать, что нередко в продуктивных ситуациях решающую роль играет осмысленное видение всей фигуры в целом: осознание симметрии и равновесия целой фигуры и осмыс­ленная группировка соответствующих отклонений. Испы­туемого, очевидно, сбило с толку сильное желание зам­кнуть, завершить конструкцию.

Это, несомненно, крайний случай. Если нарисовать или показать схему, то почти все ответы будут осмысленными при непременном условии, что ясен смысл «векторов».

IV

Я уже упоминал, что может оказаться полезным предъявление задания в форме

271+272+273+274+275

------------------------------- = ?

5

164

Некоторые видят решение сразу. «Конечно, 273», - отве­чают они, даже не приступая к громоздким вычислениям, Другие же не видят решения и спрашивают, действитель­но ли нужно произвести все сложения. Даже если зада­ние дается в качестве проверки после обучения методу Гаусса, испытуемый может начать со слепого сложения:

271 + 275 = 546

Суть этого примера в том, что знаменатель требует деления числителя на пять равных частей и таким обра­зом помогает увидеть выражение, стоящее в числителе, как состоящее из этих пяти частей. Когда эксперименты показали, что реальные затруднения многих испытуемых сходны с затруднениями, возникающими при решении задачи Гаусса, показалось уместным ввести структурные упрощения.

Когда я спрашивал детей, чему равно

я получал от некоторых сообразительных детей четкие ответы. Большинство из них смеялись понравившейся шутке, тогда как другие удивлялись, зачем нужны такие простые задачи, или скучали, но без труда отвечали. Они легко и сразу понимали, что то, чего требует знаменатель, уже сделано в числителе. Деление на пять понималось в своем структурном значении, как требование разбиения величины числителя на пять равных частей, что уже было сделано. Или иначе, числитель, рассматриваемый как произведение, указывал на компенсацию умножения и деления.

Сложение (или, в сущности, умножение) с последую­щим делением соответствует здесь ситуации, когда мы что-то делаем, а затем уничтожаем сделанное, это озна­чает тщательную работу над тем, что уже сделано, попыт­ку получить решение, которое уже дано. Конечно, что-то необходимо проделать, а именно осознать, что решение уже есть, увидеть, что одно из чисел является не просто числом, которое нужно прибавить к остальным, а уже готовым решением. Это и есть достижение: разумный переход в контексте задачи от функционального значения

165

объекта к решению. Это довольно просто: решение лежит почти «на поверхности» 1. Хотя иногда и наблюдаются небольшие колебания ввиду того, что испытуемые не ожи­дают столь легкой задачи, на лицах испытуемых скоро по­является улыбка, сопровождаемая такими замечаниями, как: «Это очевидно. Сначала казалось, что задача будет трудной, но это не так», и дается решение.

Размышляя о некоторых школьных установках, с кото­рыми я так часто встречался, я продолжал задавать по­добные вопросы. Меня поразило - я не представлял себе - насколько экстремальной часто может быть ситуа­ция. Ряд детей, которым в школе особенно хорошо дава­лась арифметика, действовали на ощупь, сразу же начи­нали с утомительных вычислений или просили освобо­дить их от сложных задач - они не рассматривали ситуа­цию в целом. Конечно, когда я помогал им разобраться, они со стыдом восклицали: «Как я был слеп, как глуп!»

Эти наблюдения напомнили мне о некоторых более серьезных результатах экспериментов в школе, которые весьма тревожили меня. Я более тщательно и внимательно изучил обычные методы и способы преподавания ариф­метики, учебники и специальную психологическую лите­ратуру, на которой основаны методы обучения, изложен­ные в этих учебниках. Все яснее и яснее становилась одна из причин затруднений: упор на механические уп­ражнения, на «немедленные ответы», на формирование привычки действовать вслепую, по частям. Повторение полезно, но продолжительное механическое повторение может оказаться вредным. Оно опасно потому, что легко порождает привычку к чисто механическим действиям, действиям вслепую, тенденцию к школярскому отноше­нию к учебе, к подражанию, а не к свободному размыш­лению.

Исследование отупляющего действия механического

1 Экспериментируя с задачами, решение которых фактически содержится в самом тексте задачи, но функционально скрыто, то есть представлено в контексте задачи в совершенно другой функ­ции и роли, сталкиваешься с типичными ответами. Испытуемые часто не замечают даже точной буквальной формулировки реше­ния в тексте. И характерно, что лишь спустя некоторое время они открывают для себя это. Последнее является еще одним экспери­ментальным доказательством важности осознания места, роли и функции элемента в структуре. (См. эксперименты Н. Майера с включением технических заданий в контекст других задач: Reaso­ning in humans. I. On direction.-"Journal of comparative Psychology", 1930, Vol. 10, p. 115-143).

166

повторения в последовательности предлагаемых задач бы­ло начато в Берлинском институте в 1924 г. Дункер и Зе­нер получили поразительные результаты 1. В последние годы мой ученик А. Лачинс 2 провел всестороннее исследо­вание этого эффекта в школах и разработал эксперимен­тальные методы его изучения. Поразительно, как легко механические действия, излюбленные методы повторения отупляют даже самых сообразительных, хорошо подготов­ленных учащихся. Лачинс применял также методы «из­лечения» от таким образом вызванной слепоты, что обыч­но позволяло легко восстановить осмысленные реакции, но это не оказало значительного влияния на многих детей в некоторых школах. Конечно, существует несколь­ко возможных объяснений как эффекта отупления, так и возвращения к нормальному состоянию: Лачинс и Аш 3 провели экспериментальное исследование этих теоретиче­ских проблем. Выяснилось, что важными факторами яв­ляются: привычки, приобретаемые в результате упраж­нений, установки при решении задач, определенная атмо­сфера в школе, оказывающая влияние на обучение, дея­тельность и мышление 4.

Сейчас я расскажу о трех реакциях на полученные ре­зультаты.

Однажды я рассказал об этих результатах знаменито­му психологу. Я сказал, что они могут объясняться пло­хим преподаванием, быть следствием упора на формирова­ние бессмысленных ассоциаций и заучивание, что ослаб­ляет установку на соображение. «О нет, - возразил он, - вовсе нет. Если вы задаете такие «гештальтвопросы», то отрицательный результат совсем не кажется удивитель­ным, детей не учат решению таких задач. В школе их учат арифметике. Если вы будете учить их на таких геш­тальтзадачах, они научатся их решать. Дело только в том, чему вы их учите».

Эти замечания содержат четкую формулировку теоре­тической проблемы. Этот психолог сам является тонким

1 См.: М a i е г N. R. F. Op. cit.

2 Luchins A. Mechanization in problem solving: the effect of Einstellung.-"Psychological Monographs". 1942. Vol. 54, N 6,

3 A s с h S. E. Some effects of speed on the development of a mechanical attitude in problem solving. (Доклад, прочитанный в 1940 г. на заседании Восточной психологической ассоциации.)

4 О последствиях обучения, игнорирующего структурные зако­номерности, см. гл. 1, 2; ср. также результаты д-ра Катоны в "Or­ganizing and memorizing". (См. также гл. 5 и Приложение 4.)

167

мыслителем. Его замечания станут понятными, если учесть, что для него, как и для многих других, мышление 1еоретически есть не что иное, как функционирование механических ассоциативных связей, привычек, приобре­тенных в результате повторения. Чем же еще может быть мышление?!

Математик, которому я рассказал об этих эксперимен­тах, заметил: «Вы ошибаетесь. Неважно, найдете ли вы такой короткий способ решения; метод точного вычис­ления является правильным, общим методом. Вы можете пользоваться кратчайшим путем только в исключитель­ных случаях».

Это важный вопрос. Отвечая ему, я сначала ссылался на некоторые вещи, о которых говорил в предыдущих гла­вах. Затем я спросил, считает ли он открытие Гаусса также просто экономной процедурой, не имеющей осо­бого значения. И наконец, я сказал: «Я, напротив, счи­таю метод Гаусса не просто конкретным приемом корот­кого способа решения. Речь идет об основной установке в отношении к задаче, к способам решения. Для многих школьников деление действительно означает технику, приобретаемую тренировкой, как, например, в случае „8 делим на три, получаем 2; сносим 2; 21, деленное на 3, равно 7; 6, деленное на 3, равно 2... 272". Вот что такое для них деление. Но хотя механический навык обладает практической ценностью, особенно в смысле освобожде­ния ума для более важных задач, возникающих в проб­лемных ситуациях, он не должен отуплять человека. Сле­дует различать случаи, когда техника деления рассматри­вается и применяется просто как техника, и случаи, когда человек не понимает, что суть деления заключает­ся в подразделении данной конкретной структуры на ча­сти. И то же относится к умножению.

Если в таких случаях человек не может понять струк­турного смысла деления, то он упускает главное. Я дей­ствительно считаю, что при обучении арифметике следует делать основной упор не на механическую тренировку, а дать возможность ребенку самому открыть структурные особенности и требования данных ситуаций и научиться осмысленно действовать в них. Конечно, это требует со­вершенно иного способа обучения, отличного от исполь­зуемой в большинстве школ тренировки». Затем я расска­зал математику о некоторых достижениях в области струк-

I68

турных методов, особенно о методах д-ра Катрин Штерн 1 которые он, конечно, оценил по достоинству.

Совсем иной была реакция другого хорошо известного психолога. После того как я рассказал ему кратко о своих экспериментах в школе, он заявил: «Конечно, я вас пони­маю. Это напоминает мне мои собственные наблюдения, которые могут оказаться типичными. Мой сын, сообразительный мальчик, пришел ко мне и сказал: „Понимаешь, папа, я очень хорошо успеваю по арифметике в школе. Я умею складывать, вычитать, умножать, делить - все, что угодно, - очень быстро и без ошибок. Трудность в том, что я часто не знаю, какое из действий нужно приме­нить..."»

В этом повинны не учителя. Многие из них в той или иной степени не удовлетворены упором на механические ассоциации, на слепые упражнения. Многие прибегают к ним, потому что им кажется, что эти методы согласуются с научной психологией, под которой они понимают пси­хологию механического запоминания бессмысленных сло­гов и обусловливания. Многие прибегают к ним, так как не видят других, более осмысленных, конкретных, науч­ных способов обучения. Разработка лучших методов дей­ствительно является задачей более адекватной психоло­гии мышления и обучения.

V

Возможно, теперь у читателя сложилось ясное пред­ставление о психологической структуре задачи Гаусса. Однако в изложенных вариантах не получил достаточного освещения следующий интересный вопрос. Именно он и делает открытие Гаусса столь замечательным: это вопрос о внутренней связи решения и принципа, по которому построен ряд. В ходе экспериментов я демонстрировал ряды чисел, не давая задания. Вот один из них:

-63, -26, -7, 0, +1, +2, +9, +28, +65

Взглянув на этот ряд, читатель, возможно, уже что-то заметил. Может быть, он заметил сходство некоторых чисел (-63, +65; -26, +28; -7, +9), установил, что сумма каждой пары равна двум, что 3X2 = 6, что сумма 0+1 + 2 равна 3, так что сумма ряда равна 9. Эта про-

1 См. с. 161, сноска 1.

169

цедура в какой-то мере является гауссовой, но не вполне. Встречается другой тип реакции. Приведу типичный протокол. «Слева направо ряд последовательно возрастает, сходным образом он убывает справа налево. Эти числа как-то соответствуют друг другу: -63 и 65, -26 и 28, -7 и 9. Что можно сказать о средней части?

Рис. 91

...А, ряд неверно центрирован! Действительным цент­ром является +1! Эта 1 должна быть нулем... И если мы из каждого числа вычтем 1, то получим xn = n 3» 1.

Таким же образом действовал испытуемый, когда его с самого начала просили найти сумму. Заинтересовавшись исследованием ряда, он, однако, сначала игнорировал за­дание пли временно забыл о нем. После того как испытуе­мый таким образом получил хп = п3, ему напомнили, что нужно было найти сумму. «Сумму? - сказал он. - Сум­ма этого ряда, естественно, равна нулю... Ой, извините, здесь же еще этот дурацкий сдвиг. Весь ряд сдвинут на + 1. К каждому числу добавляется +1. Значит, +1, ум­ноженное на число членов... чему это будет равно? Девя­ти», - сказал он не слишком довольным тоном.

В этом месте экспериментатор заметил: «Как стран­но вы действуете! Вас просили определить сумму, зачем вообще беспокоиться о таких вещах?» И он показал упомя­нутый выше короткий способ, добавив: «Никто не спра­шивал о принципе построения ряда. Почему же не выпол­нить задание прямо?»

На что испытуемый, явно поглощенный своими мыс­лями, несколько раздраженно ответил: «Да-да, вы правы, но, пожалуйста, не мешайте мне. Разве вы не видите, что отсюда следует?..» Он погрузился в раздумья. Для него начался долгий процесс, состоящий из цепи открытий.

Концентрация на поставленном вопросе, попытки ре-

170

шить задачу кратчайшим путем не всегда являются са­мым разумным подходом. Существует такая вещь, как стремление добраться до сути дела. Несколько дней спу­стя тот же испытуемый сказал: «Это дурацкий сдвиг - я должен в нем разобраться». Как прекрасно открыть «ис­тинную» структуру 1, проникнуть за обманчивую види­мость, добраться до самой сути, понять, в чем здесь дело. Через некоторое время испытуемый сказал: «Здесь хn = п3... Сумма равна нулю независимо от того, продол­жается ли ряд симметрично или обрывается в любой за­данной точке. Этого не происходит при хп = п2. Обе поло­вины равны друг другу, но они друг друга не компенси­руют: ( - 2)2 = 4, как и ( + 2)2. Вообще при нечетном по­казателе степени сумма должна быть равна нулю». Далее он продолжал: «То же справедливо для непрерывных кри­вых, например для синусоиды, которая должным образом оборвана, для площади под кривой или для суммы верти­кальных отрезков, расположенных между синусоидой и осью абсцисс:

Рис. 92

И то же справедливо для площади в

Площадь превращается в прямоугольник.

Рис. 93

Даже если кривая смещена!

Рис. 94

1 Для того, чтобы действительно убедиться в том, что такой структурный взгляд (здесь xn=n3 со сдвигом) является верным, некоторые продолжают выяснять, будут ли другие значения слева и справа соответствовать установленному принципу. Другие ис­следуют также, что произойдет со значениями при изменении ря­да. Но в данном опыте главным было не это. Наш испытуемый со­средоточился на определенных целостных свойствах рядов, о чем свидетельствовали его дальнейшие действия.

171

Дело в симметрии и равновесии всей фигуры. А как же для других кривых? Конечно, это справедли­во и для у = х (см. рис. 95А) или для у = ах (см. рис. 95Б).

Рис. 95А Рис. 95Б

При любом изменении угла это справедливо для любой симметрично оборванной прямой. Для у = ах + b линия только сдвигается. И площадь всех фигур вроде следую­щей равна произведению высоты центра и основания.

Рис. 96

Это справедливо для соответствующего ряда хп = xn-1 + k. Сумма членов равна среднему значению, умно­женному на число членов, с умноженному на n».

Таким образом, он пришел к теореме Гаусса, отправ­ляясь не от ряда, начинающегося с 1, а увидев равновесие в распределении чисел, которое является свойством струк­туры в целом.

Теперь я вернусь к процессу мышления этого испытуе­мого. Главное, что здесь нужно понять, - это то, что дело не в нахождении разностей между соседними членами, не в констатации равенства этих разностей и т. д., или в открытии законов построения таких рядов. Важнейшим

172

Рис. 97

оказывается вопрос о равновесии целого, осознание связи равновесия с особенностями целого. И это равновесие является весьма динамичным, чувствительным к любым отклонениям - или нарушениям в любой из частей.

Если построить схему точек таких гауссовых рядов, то мы увидим, что эта линия является прямой или что су­ществует отклонение от прямолинейности (структурное нарушение), задолго до того, как сможем установить или узнать величину разностей, их равенство и т. д. Напри­мер:

1+2+3+4+6+7+8

Рис. 98

или

Рис. 99

173

Мы замечаем подобные нарушения, которые противоре­чат явному свойству целого - прямолинейности. Такие ряды, например первый из приведенных выше (без чис­ла 5), могут быть описаны как ряды, подчиняющиеся закону, выраженному в общей формуле xn = f(xn-1). Он так же закономерен, как ряд, соответствующий прямой, только обладает более сложной структурой. Но ряд хп = = xn-1 + k отличается своей структурной простотой, струк­турной ясностью свойства целого. Воспринимая ряд

1+2+3+4+5+6+7+8

непосредственно, или особенно в виде схемы, никто не станет считать его отклонением от более сложной струк­туры, в которой 5 предстает как нарушение. Хотя, конечно, с математической точки зрения один закон как за­кон ничем не отличается от другого 1.

То же справедливо для синусоиды, или для точек, об­разующих синусоиду. Гораздо раньше, чем мы устанав­ливаем или узнаем расстояния между отдельными точка­ми, гораздо раньше, чем мы находим «закон образования класса», управляющий ими, мы замечаем - рассматривая целое - регулярность кривой.

Рис. 100

Мы видим, что правильные части целого ритмически чередуются,

что b соответствует a;

Рис. 101

1 Конечно, решающую роль играют факты. Можно ошибиться, делая более простое допущение о структуре. Решающими являют­ся структурные особенности элементов ряда. (См. с. 171, сноска 1.)

174

что с соответствует d

Рис. 102

Мы «схватываем» симметрию частей целого, только рассматривая их как части. Самым важным психологиче­ски здесь являются выделяющиеся черты целого 1 и его частей. На фоне этих центральных черт становятся осо­бенно заметными отклонения, рассматриваемые именно как отклонения.

Многие скажут: «Очень хорошо, но это только нестро­гая, глобальная, психологическая точка зрения, которая несравнима с точной математической формулировкой в терминах y = f(x) и т. д.» Это возражение неубедительно. Является ли математический путь обязательно движением снизу вверх? От элементов к целому? Следует ли, чтобы быть точным, выводить качества целого, например сим­метрию, как нечто вторичное? Разве нет не менее точного математического способа рассмотрения сверху вниз? Ма­тематических способов, которые исходят от свойств цело­го и только потом ведут к элементам?

Восприятие свойств целого психологически не изме­нится, если вместо точной во всех деталях синусоиды рассматривать извилистую «синусоиду» или кривую в виде набора точек, с некоторым разбросом и даже со случай­ным их распределением 2. В данном случае мы сверху воспринимаем свойства целого, его форму, хотя отдельные детали, мельчайшие части, элементы не управляются больше простым законом. Математики могут стро-

1 Это справедливо не только для ритмических форм и симмет­ричных конфигураций, это справедливо также для изменений на­правления основного вектора и т. д.

Это же справедливо для всего процесса мышления и для наших действий, если мы, несмотря на всякие усложнения, малейшие от­клонения, не теряем из виду общего направления.

2 На международном психологическом конгрессе в Гронингене в 1926 г. я сообщил о проведенных в этой связи исследованиях в докладе о порогах восприятия («Zum Problem der Schwelle»).-Be­richt ?ber den VIII Internationalen Kongress f?r Psychologie. Gro-

175

Рис. 103

го описывать такие случаи, устанавливая свойства целого, которые не будут меняться, несмотря на изменение ча­стей.

Рис. 104

В современной физике такая ситуация является до­вольно типичной. В таких случаях нам известны свойства целого, поведение системы в целом, но мы не знаем точ­но, как ведут себя мельчайшие частицы, или знаем, что они ведут себя случайным образом. Должны ли мы, пы­таясь найти математическую формулировку, начинать с установления законов для этих мельчайших частиц? Воз­можно, существуют способы начинать с определения свойств целого, которые допускают изменения в поведе­нии мельчайших частиц.

Более того, нельзя ли разработать таким образом ме­тоды изучения проблем динамики? Рассматривать тенден­ции к некоторым трансформациям не на основе простого суммирования отдельных элементарных сил, а как функ­ции свойств целого и их нарушений?

Как бы ни обстояло дело в дальнейшем, конечно, не­верно, что целостный подход является лишь «глобаль­ным», «нестрогим», справедливо лишь то, что с техниче-

ningen, P. Noordhoff, 1926). И несколько лет спустя Вудвортс при вел интересный пример: с самолета на поле, которое обрабатыва­лось в течение многих десятилетий, был обнаружен доисториче­ский вал. Раньше его никто не замечал. Он был обнаружен бла­годаря широкому обзору всего поля, который был у пилота.

176