Часть 3.

II. МНЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ АВТОРОВ О ПОНЯТИИ ЧИСЛА

§18. Обращаясь к первичным предметам арифметики, мы, между тем, отличаем отдельные числа 3, 4 и т.д. от общего понятия числа. Итак, мы уже решили, что отдельные числа лучше всего выводить по способу Лейбница, Милля, Г.Грасмана и других из однёрки и увеличения на один, и что это объяснение, однако, остаётся неполным, поскольку не объяснены однёрка и увеличение на один. Чтобы из этих определений вывести числовые формулы, как мы видели, нужны общие предложения. Такие законы, как раз благодаря их общности, можно вывести не из определений отдельных чисел, но только из общего понятия числа. Это последнее мы сейчас подвергнем более тщательному рассмотрению. При этом также предполагается, что необходимо обсудить однёрку и увеличение на один, а, стало быть, определения отдельных чисел также ждут дополнения.

§19. Здесь мне сразу же хотелось бы возразить на попытку, когда число понимают геометрически, как числовую пропорцию длин и площадей, очевидно, полагая облегчить многократные применения арифметики к геометрии тем, что их начала приравниваются в самом тесном отношении.

Ньютон предлагает понимать под числом не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение любой величины к другой величине того же самого вида, которая берётся за единицу. Можно признать, что так соответствующим образом описывается число в широком смысле, к которому принадлежат также дроби и иррациональные числа; при этом всё же предполагаются понятия величины и отношения величин. Сообразно с этим кажется, что объяснение числа в более узком смысле (кардинального числа) излишним бы не было, поскольку Евклид, чтобы определить равенство двух пропорций между длинами, использует понятие равнократности, а равнократность вновь выводит на равночисленность. Однако может быть и так, что равенство пропорций между длинами независимо от определимости понятия числа. Тогда сверх того всё-таки остаётся сомнительным, в каком отношении определённое таким геометрическим образом число находится к числу обычной жизни. Последнее тогда совершенно расстаётся с наукой. И всё же от арифметики, пожалуй, можно требовать, чтобы она необходимо предполагала точку соприкосновения с каждым применением числа, даже если само применение и не является её делом. Даже обыкновенный счёт должен находить основание своего метода в науке. А тогда встаёт вопрос, обходится ли сама арифметика геометрическим понятием числа, если под числом мыслятся корни уравнения, число, меньшее и предшествующее некоторому числу, или нечто подобное. Зато число, отвечающее на вопрос «сколько?», может определять также, сколько единиц содержится в некоторой протяжённости. Вычисления с негативными, дробными, иррациональными числами можно свести к вычислениям с действительными числами. Но, быть может, Ньютон под величинами, через отношения которых определялось число, хочет понимать не только геометрические величины, но также и множества. Тогда для нашей цели объяснение всё-таки непригодно, поскольку из выражений «число посредством которого определяется множество» и «отношение множества к единице множественности» последнее информирует не лучше, чем первое.

§20. Первый вопрос был бы теперь о том, определимо ли число. Ханкель высказывается против: «То, что подразумевается, когда объект мыслят или полагают 1 раз, 2 раза, 3 раза ..., определить нельзя, ввиду простоты понятия «полагать»». Всё-таки дело здесь не столько в «полагать», сколько в 1 раз, 2 раза, 3 раза. Если бы это можно было определить, то неопределимость «полагать» нас мало бы тревожила. Лейбниц склонен рассматривать число как адекватную идею (или, по крайней мере, как идею, близкую адекватной), т.е. такую идею, которая настолько ясна, что всё входящее в неё вновь является ясным.

В целом, если более склоняются к тому, чтобы считать число неопределяемым, то, пожалуй, это зависит скорее оттого, что на неудачу обрекается попытку, нежели от встречных доводов, заимствованных из обстоятельств самого дела.

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО СВОЙСТВОМ ВНЕШНИХ ВЕЩЕЙ?

§21. Нам, по крайней мере, следует попытаться указать для числа его место среди наших понятий! В языке числа большей частью проявляются в форме прилагательного и в атрибутивной связи, наподобие слов твёрдый, тяжёлый, красный, обозначающих свойства внешних вещей. Напрашивается вопрос, должны ли точно также пониматься отдельные числа и можно ли, соответственно этому, сопоставить понятие числа, скажем, с понятием цвета.

Таково, по-видимому, мнение М.Кантора, когда он называет математику опытной наукой, поскольку она берёт своё начало с рассмотрения объектов внешнего мира. Числа возникают только посредством абстрагирования от предметов.

По Э.Шрёдеру число копирует действительность, извлекается из неё, тем что единицы отображаются посредством однёрок. Это он называет абстрагированием числа. При таком отображении единицы представлены только в отношении их многочисленности, в то время как от всех других определений вещей, таких как цвет и очертания, отказываются. Многочисленность здесь есть лишь другое выражение для числа. Многочисленность или число Шрёдер также ставит на один уровень с цветом и очертаниями и трактует его как свойство вещей.

§22. Бауман отвергает мысль, что числа суть понятия, отвлечённые от внешних вещей, именно потому, “что внешние вещи не представляются строгими единицами; они представляются ограниченными группами или чувственными точками, но мы свободны вновь рассматривать каждую из них как многое”. В самом деле, в то время как я ничуть ни в состоянии изменить простым способом схватывания цвет вещи или её твёрдость, я могу понимать Илиаду как одну поэму, как 24 песни или как большое число строф. Разве не в совершенно ином смысле, чем о зелёных листьях, говорится о 1000 листьях дерева? Зелёный цвет мы прилагаем каждому листу, но не так с числом 1000. Мы можем охватить все листья дерева под названием листва. Она также является зелёной, но не 1000. С чем же собственно соотносится свойство 1000? Кажется почти наверняка ни с отдельными листьями, ни с их совокупностью. Но, собственно говоря, может быть, оно вовсе не соотносится с вещами внешнего мира? Если я даю кому-нибудь камень со словами: «Определи его вес», то этим я полностью задал предмет его исследования. Но если я вручаю ему колоду игральных карт со словами: «Определи, их число», то ему не известно, хочу ли я узнать число карт, игровой комплект, или, скажем, очки при игре в скат. Вручая ему колоду, я ещё не полностью задал ему предмет его исследования; я должен добавить слово: карты, комплект, очки. Нельзя также сказать, что различные числа сосуществуют здесь друг с другом подобно различным цветам. Без использования слов я могу указать на отдельное цветовое пятно, но не на отдельное число. Если с одинаковым правом я могу назвать предмет и зелёным, и красным, то это знак того, что данный предмет не является настоящим носителем зелёного. Зелёное я имею только на поверхности, которая теперь является зелёной. Так и предмет, который я могу с одинаковым правом описать различными числами, не является настоящим носителем числа.

Существенное различие между цветом и числом, таким образом, состоит в том, что синий цвет принадлежит поверхности независимо от нашего произвола. Синий цвет - это способность отражать определённые лучи света и более или менее поглощать другие, и в этом наше восприятие не может изменить даже самую малость. Зато я не могу сказать, что число 1, 100 или какое-то другое принадлежит колоде карт самой по себе, но самое большее могу сослаться на наш произвольный способ восприятия, и даже тогда не так, что мы можем приписать ей число просто как предикат. То, что мы хотим назвать игровым комплектом, есть, очевидно, произвольное установление, и колоде карт ничего об этом не известно. Но, рассматривая её в этом отношении, мы, быть может, обнаружим, что можно назвать её двумя игровыми комплектами. Тот, кому не известно, что называется игровым комплектом, найдёт, вероятно, в ней скорее какое-то другое число, нежели именно два.

§23. На вопрос, чему число принадлежит как свойство, Милль отвечает так:

«Созначение числового наименования заключается конечно в том или другом свойстве того агломерата вещей, которому мы придаём такое наименование и свойством этим служит тот особый способ, каким данный агломерат сложен из своих частей (и может быть на них разложен)».

Здесь ошибкой, прежде всего, является определённый артикль в выражении «(the) особый способ», поскольку существуют весьма различные способы, которыми можно разложить агломерат, и нельзя сказать, что особым было бы один единственный. Например, пучок соломы можно разложить, разорвав все соломинки, или разделив его на отдельные соломинки, или образовав из него два пучка. Разве кучка из ста песчинок составлена точно так же, как пучок из ста соломинок? И всё же используется одно и то же число. Числительное «одна» в выражении «одна соломинка» не выражает, как эта соломинка составлена из клеток или молекул. Ещё большее затруднение с числом 0. Разве соломинки должны вообще образовывать пучок, чтобы быть сосчитанными? Необходимо ли слепых в Германии непременно объединить в сообщество, с тем, чтобы выражение «число слепых в Германии» имело смысл? Разве тысяча зёрен пшеницы после того, как она была посеяна, больше не является тысячью зёрен? Разве существует в собственном смысле агломерат доказательств теорем или событий? И всё же их также можно сосчитать. При этом безразлично, одновременны события или же разделены тысячелетиями.

§24. С этим мы приходим к другому основанию не сопоставлять число с цветом и твёрдостью, применимость которого гораздо обширнее.

По мнению Милля, истина, что состоящее из частей, состоит и из частей этих частей, действительна для всех естественных феноменов, поскольку со всеми ними можно проводить вычисления. Но разве нельзя проводить вычисления с гораздо большим? Локк говорит: «Число приложимо к людям, ангелам, действиям, мыслям, ко всему, что существует или что можно представлять себе». Лейбниц отвергает мнение схоластов, что число неприменимо к бестелесным вещам, и называет число в некотором смысле бестелесной фигурой, происходящей из объединения каких угодно вещей (например: Бог, ангел, человек, движение вместе суть четыре). Поэтому, по его мнению, число есть нечто совершенно общее и относится к метафизике. В другом месте он говорит: «Но есть такие вещи, которые нельзя взвесить, т.е. которые не обладают никакой силой и потенцией; есть и такие, которые не имеют частей и поэтому не допускают измерения. А ведь нет ничего такого, что не допускало бы выражения через число. Следовательно, число есть как бы метафизическая фигура».

Было бы в самом деле удивительно, если бы свойство, абстрагированное от внешних вещей, без изменения смысла могло переносится на события, представления, понятия. Эффект был бы тот же, как если бы намеревались говорить о плавких событиях, синих представлениях, солёных понятиях и вязких суждениях.

Нелепо, чтобы то, что по своей природе чувственно, встречалось в нечувственном. Если мы видим синюю поверхность, то у нас есть своеобразное впечатление, соответствующее слову «синий»; мы узнаём его снова, если наблюдаем другую синюю поверхность. Если же мы хотим предположить, что таким же способом при взгляде на треугольник слову «три» соответствует нечто чувственное, то это же самое мы должны вновь обнаружить в трёх понятиях; нечто нечувственное несло бы в себе нечто чувственное. Пожалуй, можно согласиться, что слову «треугольность» соответствует разновидность чувственного впечатления, но при этом нужно принимать данное слово как целое. Три мы видим тут не непосредственно; но мы видим нечто такое, к чему можно привязать умственную деятельность, ведущую к суждению, в котором встречается число 3. Как же тогда мы знакомимся, скажем, с числом фигур силлогизма, установленного Аристотелем? Разве с помощью глаз? Самое большее мы видим определённые знаки для фигур силлогизма, а не их сами. Как же мы можем увидеть их число, если сами они остаются невидимыми? Но, пожалуй, имеют в виду, что достаточно видеть знаки; их число равно числу фигур силлогизма. Тогда откуда это известно? Для этого последнее всё-таки уже должно быть определено другим способом. Или же предложение «Число фигур силлогизма есть четыре» является только другим выражением для «Число знаков фигур силлогизма есть четыре»? Нет! О знаках можно ничего не говорить; никто ничего не желает знать о знаках, если их свойство одновременно не выражает свойство обозначаемого. Здесь без логической ошибки одно и то же может иметь различные знаки; числу знаков даже не нужно совпадать с числом обозначаемого.

§25. В то время как для Милля число есть нечто физическое, для Локка и Лейбница оно существует только в идее. В самом деле, как говорит Милль, два яблока физически отличаются от трёх яблок, а две лошади физически отличаются от одной лошади из-за различия в видимом и осязаемом феномене. Но должно ли из этого выводить, что двойка или тройка есть нечто физическое? Пара сапог может быть таким же видимым и осязаемым феноменом, как два сапога. Здесь мы имеем числовое различие, которому не соответствует физическое, поскольку два и одна пара отнюдь не одно и то же, как по странному стечению обстоятельств, по-видимому, считает Милль. Наконец, каким образом возможно, чтобы два понятия физически отличались от трёх понятий?

Беркли говорит так: «Следует принять во внимание, что число … не есть нечто определённое и установленное, существующее реально в самих вещах. Оно есть всецело создание духа, рассматривающего или простую идею саму по себе, или какую-либо комбинацию простых идей, которой даётся одно имя и которая таким образом сходит за единицу. Соответственно различным способам, коими дух комбинирует свои идеи, изменяется также и число, которое есть только совокупность единиц. Мы считаем окно за единицу и печь за единицу; однако и дом, в котором много окон и много печей, имеет такое же право называться единицей; множество же домов составляют один город».

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО ЧЕМ-ТО СУБЪЕКТИВНЫМ?

§26. Развивая мысль в этом направлении, легко прийти к тому, чтобы считать число чем-то субъективным. Кажется, что способ, которым число возникает в нас, может разъяснить его сущность. Следовательно, тогда всё зависело бы от психологического исследования. В этом смысле, пожалуй, высказывается Липшиц:

«Тот, кто хочет составить обзор каких-то вещей, будет начинать с определённой вещи и постепенно добавлять новую вещь к предыдущим».

По-видимому, это больше подходит к тому, как мы получаем, скажем, созерцание созвездия, чем к числообразованию. Намерение составить обзор несущественно, поскольку едва ли можно сказать, что стадо стало обозримее, если установлено, из скольких голов оно состоит.

Такое описание внутренних процессов, предшествующих вынесению суждения о числе, никогда не может, даже если оно и является соответствующим, заменить подлинное определение понятия. Его никогда нельзя привлечь к доказательству арифметических предложений; посредством него мы не узнаем никакого свойства числа. Потому что число является предметом психологии или результатом психических процессов столь же мало, как, скажем, Северное море. Объективности Северного моря не наносится ущерба тем, что от нашего произвола зависит, какую часть водной поверхности Земли мы отграничиваем и хотим закрепить под именем «Северное море». Последнее не основание стремится исследовать это море психологическими способами. Таким образом, и число тоже есть нечто объективное. Если говорят: «Северное море имеет величину 10.000 квадратных миль», то ни посредством «Северное море», ни посредством «10.000» не указывают на состояние или процесс внутри себя, но утверждают нечто вполне объективное, независимое от наших представлений и т.п. Если же мы в другой раз обозначим границы Северного моря как-то иначе или захотим нечто другое понимать под «10.000», то то же самое содержание, которое прежде было правильным, не станет ложным; но, пожалуй, на место истинного содержания подставлено ложное, из-за чего истинность этого первого никоим образом не упраздняется.

Указывая число лепестков цветка, ботаник хочет сказать нечто столь же фактическое, как если он указывает его цвет. Одно столь же мало зависит от нашего произвола, как и другое. Здесь, следовательно, есть определённое сходство между числом и цветом; но оно состоит не в том, что и то, и другое чувственно воспринимаемо во внешних вещах, но в том, что и то, и другое являются объективными.

Я отличаю объективное от осязаемого, пространственного, действительного. Земная ось, центр массы Солнечной системы являются объективными, но я не могу назвать их действительными, как саму Землю. Экватор часто называют мысленной линией, но было бы ложным назвать его выдуманной линией; он не является результатом душевного процесса, возникшим посредством мысли, но лишь познаётся, схватывается посредством мысли. Если бы становление познанным означало возникновение, то мы не могли бы высказать о нём ничего позитивного при ссылке на время, которое предшествует этому якобы возникновению.

Пространство, согласно Канту, относится к явлениям. Возможно, что другим разумным существам оно представляется совершенно иначе, чем нам. Ведь нам даже не известно, видится ли оно одним человеком так, как оно видится другим, поскольку мы не можем соположить созерцание пространства одним с созерцанием пространства другим, для того чтобы их сравнить. Но, тем не менее, здесь содержится нечто объективное; все познают одни и те же геометрические аксиомы, пусть даже только на деле, и должны поступать так, чтобы ориентироваться в мире. Объективным здесь является то, что закономерно, понятийно, выразимо суждением, что может быть выражено в словах. Чистое созерцаемое не передаваемо. Для пояснения, предположим наличие двух разумных существ, для которых созерцаемыми являются только проективные свойства и отношения: расположение трёх точек на прямой, четырёх точек на плоскости и т.д.; и пусть одному из них плоскостью кажется то, что другой созерцает как точку, и наоборот. То, что для одного из них является линеарным соединением точек, для другого может быть сечением плоскостей и т.д. с постоянно соответствующей двойственностью. Тогда они весьма хорошо могли бы понимать друг друга и никогда бы не обнаружили различие своих созерцаний, поскольку в проективной геометрии каждой теореме противостоит другая, двойственная; отклонения же в эстетическом предпочтении признак не надёжный. В отношении всех геометрических теорем они были бы полностью согласны; по-разному они лишь переводили бы слова в своё созерцание. Скажем, со словом «точка» один связывал бы одно, а другой - другое созерцание. Всё-таки можно сказать, что их слово означает нечто объективное; только не нужно под этим значением понимать особенное в их созерцании. И в этом смысле земная ось также является объективной.

Обычно под «белый» мыслят определённое ощущение, которое, разумеется, является вполне субъективным; но уже в обыкновенном словоупотреблении, мне кажется, часто выступает объективный смысл. Если снег называют белым, то хотят выразить объективное свойство, которое распознаётся определённым ощущением при обычном дневном свете. Если он расцвечен освещением, то это учитывают при вынесении суждения, возможно говоря: «Сейчас он кажется красным, но является белым». Также и дальтоник может говорить о красном и зелёном, хотя он не различает их в ощущении. Он узнаёт о различии из того, что его проводят другие, или, возможно, посредством физического опыта. Таким образом, слово для цвета часто обозначает не наше субъективное ощущение, о котором мы не можем знать, что оно совпадает с ощущением другого - ибо никоим образом не ручаемся за одинаковое название - но объективное качество. Итак, под объективным я понимаю то, что независимо от нашего ощущения, созерцания и представления, от проектирования внутренних образов из воспоминания предшествующих ощущений, но не независимость от разума; ибо ответить на вопрос, что представляют собой вещи независимо от разума, значит вынести суждение, не вынося суждение, войти в воду, не замочив ног.

§27. Поэтому я не могу согласиться со Шлёмильхом, который называет число представлением места объекта в ряду. Если бы число было представлением, то арифметика была бы психологией. Таковой она является столь же мало, как, скажем, астрономия. Как последняя имеет дело не с представлениями планет, но с ними самими, так же и предметом арифметики не являются представления. Если бы двойка была представлением, то она, прежде всего, было бы только моей. Представление другого человека уже как таковое является другим. Тогда, пожалуй, мы имели бы много миллионов двоек. Нужно было бы сказать: моя двойка, твоя двойка, какая-то двойка, все двойки. Если предполагать скрытые или неосознанные представления, то тогда были бы также и неосознанные двойки, которые осознавались бы позже. С подрастающими поколениями всегда возникали бы новые двойки, и кто знает, не изменились ли бы они в течение тысячелетий так, чтобы 2 ? 2 = 5. Несмотря на это всё ещё сомнительно, имеется ли бесконечно много чисел, как обычно думают. Ведь могло бы быть и так, чтобы 1010 являлось лишь пустым знаком, и не имелось бы вовсе никакого представления (в каком-нибудь существе), которое могло бы быть так названо.

Мы видим, к каким диковинам приводит развёртывание мысли, что число является представлением. И мы приходим к выводу, что число не является ни пространственным и физическим, как груда булыжников и орехов у Милля, ни также субъективным, как представления, но является нечувственным и объективным. Ведь основание объективного не может лежат в чувственном впечатлении, которое в качестве аффектации нашей души является совершенно субъективным, но, насколько я вижу, лежит в разуме.

Было бы удивительно, если бы самая точная наука вынуждена была бы опираться на ещё неточную, продвигающуюся ощупью психологию.

ЧИСЛО КАК МНОЖЕСТВО.

§28. Отдельные авторы объясняют число как множество, многое или множественность. Недостаток здесь в том, что числа 0 и 1 исключаются из данного понятия. Эти выражения довольно неопределённы: то они более близки по значению к «куче», «группе», «агломерату» (причём мыслятся в пространственной связи), то используются почти равнозначно с «числом», только неопределённым. Поэтому, в таком объяснении нельзя найти расклад понятия числа. Для образования числа Тома требует, чтобы различным множествам объектов придавались различные имена. Под этим, очевидно, для каждого множества объектов подразумевается чёткое определение, для которого придание имени есть лишь внешний знак. Ну и каким же способом осуществляется это определение? Вот в чём вопрос. Очевидно, что идея числа не возникла бы, если для «3 звезды», «3 пальца», «7 звёзд» хотели бы ввести имена, у которых не были бы видны общие элементы. Дело здесь не в придании имени вообще, но в том, чтобы само собой указывалось, что число в этом есть. А для этого необходимо, чтобы число познавалось в своей особенности.

Должно принять во внимание ещё и следующее различие. Некоторые называют число множеством вещей или предметов; другие, как уже Евклид, объясняют его как множество единиц. Последнее выражение требует отдельного обсуждения.

III. МНЕНИЯ О ЕДИНИЦЕ И ОДИН.

ВЫРАЖАЕТ ЛИ ЧИСЛИТЕЛЬНОЕ «ОДИН» СВОЙСТВО ПРЕДМЕТОВ?

§29. В определении, которое Евклид даёт вначале 7 книги Элементов, кажется, что словом «?????» он указывает то на подлежащий счёту предмет, то на свойство такого предмета, то на число один. Всегда обходятся переводом «единица», но лишь постольку, поскольку данное слово само переливается в этих различных значениях.

Шрёдер говорит: «Каждая из подлежащих счёту вещей называется единицей». Спрашивается, почему вещь прежде подводят под понятие единица, а не объясняют просто: «Число есть множество вещей», что вновь вернуло бы нас к предыдущему. В том, что вещь называют единицей, быть может, прежде всего хотят найти более точное определение, в то время как следуя языковой форме «один» принимают за прилагательное и понимают «один город» так же, как «мудрый человек». Тогда единица была бы предметом, которому присуще свойство «один», и относилась бы к «один» подобно тому, как «мудрец» относится к прилагательному «мудрый». К основаниям, по которым выше предъявлялись претензии к тому, что число является свойством вещей, добавим здесь ещё несколько особых. Прежде всего бросалось бы в глаза то, что это свойство имела бы каждая вещь. Было бы непонятно, почему это свойство вообще отчётливо прилагается вещи. Утверждение «Солон был мудр» приобретает смысл только из-за возможности того, что нечто не является мудрым. При увеличении объёма содержание понятия уменьшается; если понятие становится всеобъёмлющим, то содержание должно исчезнуть вовсе. Не легко помыслить, каким образом язык может сотворить прилагательное, которое совершенно не способно служить тому, чтобы ближе определить предмет.

Если бы «один человек» понимался наподобие «мудрый человек», то следовало бы думать, что «один» может использоваться как предикат, поэтому также как «Солон был мудрый» можно было бы сказать «Солон был один» или «Солон был одним». Но, если последнее выражение и можно встретить, то всё же само по себе оно непонятно. Оно, например, может означать: «Солон был мудрецом», если «мудрец» добавлено по контексту. Но само по себе «один» не может быть предикатом. Ещё яснее это проявляется при множественном числе. Тогда как «Солон был мудрый» и «Фалес был мудрый» можно скомбинировать в «Солон и Фалес были мудрые», нельзя сказать «Солон и Фалес были один». Этого невозможно было бы видеть, если «один» как и «мудрый» было бы свойством, как Солона, так и Фалеса.

§30. С этим связано то, что свойству «один» нельзя дать определение. Когда Лейбниц говорит: «Одно есть то, что мы охватываем одним актом понимания», он объясняет «один» через само себя. И разве мы не можем охватить многое в одном акте понимания? Последнее признаётся Лейбницем в том же самом месте. Подобное говорит и Бауман: «Одно есть то, что мы понимаем как одно», и далее: «То, что мы полагаем, как точку или не хотим полагать как делимое далее, мы принимаем за одно; но каждое одно внешнего созерцания - как чистого, так и эмпирического - мы также можем рассматривать как многое. Каждое представление есть одно, если оно отграничено от другого представления; но в себе оно вновь может быть различено как многое». Так стирается всякое реальное ограничение понятия, и всё зависит от нашего понимания. Мы вновь задаём вопрос: Какой смысл в том, чтобы какому-нибудь предмету прилагать свойство «один», если сообразно пониманию каждый предмет может, как быть, так и не быть одним? Каким образом на столь расплывчатом понятии может основываться наука, которая снискала себе славу как раз самой большей определённостью и точностью?

§31. Итак, хотя Бауман основывает понятие одного на внутреннем созерцании, в качестве признаков он в только что процитированном отрывке всё-таки называет неделимость и отграниченность. Если последнее соответствует действительности, то следовало бы ожидать, что также и животные могут иметь определённое представление единицы. Возможно ли, чтобы собака при взгляде на Луну имело о ней представление (пусть даже не столь определённое), которое мы обозначаем словом «одна»? Вряд ли! И всё же она различает некоторые отдельные предметы. Другая собака, собственный хозяин, камень, с которым она играет, несомненно кажутся ей отграниченными, самодостаточными и нераздельными так же, как и нам. Правда, она будет замечать различие в том, обороняется ли она против нескольких собак или только против одной, но это то различие, которое Милль называет физическим. Дело собственно в следующем: Осознаёт ли собака, пусть даже и смутно, общность, выражаемую нами словом «один», в случае, где она укушена одной большей собакой, и в случае, где она преследует одну кошку. Мне кажется это неправдоподобным. Отсюда я делаю вывод, что идея единицы не даётся разуму каждым объектом извне и каждой идеей изнутри, как считает Локк, но познаётся нами посредством более высоких духовных сил, которые отличают нас от животных. Тогда такие свойства вещей, как неделимость и отграниченность, которые животные замечают столь же хорошо, как и мы, не могут быть существенными для нашего понятия.

§32. И всё же определённую связь можно предполагать. Язык указывает на это тем, что «объединённый» производно от «один». Чем больше различия в предмете отступают по сравнению с отличием от окружающего, чем больше внутренние связи преобладают над связями с окружающим, тем более удобно понимать нечто как отдельный предмет. Итак, «объединённый» означает свойство, которое даёт повод к тому, чтобы нечто обособить в понимании от окружения и рассматривать само по себе. Так можно объяснить и то, когда французское «uni» означает «как раз» или «ровно». Сходным образом используется и слово «единство», когда говорят о политическом единстве страны, единстве произведения искусства. Но в этом смысле «единица» соотносится не столько с «один», сколько с «объединённый» или «единый». Ибо, когда говорят, что Земля имеет одну Луну, этим хотят объяснить не отграниченность, самодостаточность и нераздельность Луны, но это говорят в противоположность тому, что имеет место у Венеры, Марса или Юпитера. В отношении отграниченности и нераздельности луны Юпитера, пожалуй, могут помериться с нашей и, в этом смысле, являются такими же едиными.

§33. Некоторыми авторами неделимость усиливается до нераздельности. Г.Кёпп называет каждую неразложимую и самодостаточную вещь (независимо от того, воспринимается она чувственно или же нет) единичным, а подлежащее счёту единичное - одним, где «один» очевидно используется в смысле «единица». Между тем, и Бауман - обосновывая своё мнение, что внешние вещи не представляют строгих единиц, тем, что мы свободны трактовать их как многое, - тоже выдаёт неразложимость за признак строгой единицы. Усиливая внутреннюю связность до безусловной, очевидно хотят получить признак единицы, который независим от произвольного понимания. Эта попытка не удаётся, потому что тогда почти не остаётся ничего такого, что можно было бы называть единицей и считать. По этой причине тотчас же начинается отступление, и как признак устанавливается не сама неразложимость, но становление мыслимым в качестве неразложимого. В результате же вновь приходят к неустойчивому пониманию. И разве есть какой-то выигрыш в том, чтобы мыслить вещи иными, нежели они есть? Наоборот, из ложного допущения можно вывести ложные заключения! Но если из неразложимости не хотят делать выводов, тогда какая от неё польза? Если без ущерба для понятия от строгости можно, и даже нужно, как-то отказаться, к чему тогда эта строгость? Но, возможно, разложимость лишь не нужно мыслить. Как будто отсутствием мысли можно было бы чего-то достигнуть! Но бывают случаи, где совершенно невозможно избежать того, чтобы мыслить разложимость, где даже вывод основывается на составленности единицы (например, в задаче: Один день включает 24 часа. Сколько часов включают 3 дня?).

РАВНЫ ЛИ ЕДИНИЦЫ ДРУГ ДРУГУ?

§34. Таким образом, любая попытка объяснить свойство «один» терпит неудачу, и мы, пожалуй, должны отказаться от того, чтобы в обозначении вещи как единицы видеть более точное определение. Мы снова возвращаемся к нашему вопросу: Почему вещи называют единицами, если «единица» есть лишь другое имя вещи, если все вещи являются единицами или могут пониматься как таковые? В качестве основания Э.Шрёдер задаёт равенство, приписываемое объектам счёта. Прежде всего, не видно, почему столь же успешно на это не могут указывать слова «вещь» и «предмет». Затем спрашивается: Зачем предметам счёта приписывается равенство? Оно им только приписывается, или они действительно являются равными? Два предмета, во всяком случае, никогда не являются совершенно равными. С другой стороны, можно, пожалуй, почти всегда разыскать отношение, в котором два предмета совпадают. Если, вопреки истине, мы не захотим приписывать вещам равенство, идущее далее, чем им соответствует, мы вновь приходим к произвольному пониманию. В самом деле, многие авторы называют единицы равными без ограничения. Гоббс говорит: «В абсолютном смысле, число в математике подразумевает под собой равные единицы, из которых оно построено». Юм считает, что составные части количества и числа вполне однородны. Тома называет индивидуум множества единицей и говорит: «Единицы равны друг другу». С таким же успехом или даже более оправданно можно сказать, что индивиды множества отличаются друг от друга. Ну и что же означает это мнимое равенство для числа? Свойства, которыми отличаются вещи, для их числа суть нечто безразличное и чуждое. Поэтому, от них хотят избавиться. Но таким способом ничего не достигнуть. Если, как требует Тома, «абстрагироваться от своеобразия индивидов множества объектов» или «при рассмотрении отдельных вещей отказаться от признаков, посредством которых различаются вещи», то, как считает Липшиц, остаётся не «понятие числа рассматриваемых вещей», но получается общее понятие, под которое подпадает каждая вещь. Сами вещи вследствие этого не теряют своих особенностей. Если, например, при рассмотрении белого и чёрного кота я откажусь от отличающих их друг от друга свойств, то, положим, получу понятие «кот». Если теперь я подвожу их обоих под это понятие их обоих и, положим, называю единицами, то белый всё равно всегда остаётся белым, а чёрный - чёрным. Следовательно, благодаря тому, что я не мыслю цвет или не собираюсь делать выводы из их различия, коты не становятся бесцветными и остаются столь же различными, какими и были. Правда, понятие «кот», получившееся в результате абстракции, больше не содержит особенностей, но как раз поэтому оно и является лишь понятием.

§35. Голыми способами оперирования с понятием не удаётся сделать различные вещи равными; но если и удаётся, то получают уже не вещи, но только одну вещь; ибо, как говорит Декарт, число (лучше: множественное число) возникает из различия вещей. Шрёдер правильно утверждает: «Требование пересчитать вещи можно установить разумным способом только там, где имеются такие предметы, которые чётко отличимы друг от друга (например, разъединены пространственно и временно) и кажутся отграниченными в сравнении друг с другом». В самом деле, сильное сходство иногда затрудняет, к примеру, пересчёт прутьев решётки. С особой резкостью в этом смысле выражается У.Стенли Джевонс «Число есть только другое название для различия. Точное тождество есть единство, а от различия возникает множественность». И далее (стр.154): «Часто говорилось, что единицы суть единицы в том отношении, что они совершенно подобны одна другой; но хотя они могут быть подобны в некоторых отношениях, однако они должны быть и различны по крайней мере в одном пункте, иначе они не были бы способны к множественности. Если бы три монеты были подобны до такой степени, что занимали бы одно и то же пространство в одно и то же время, то они были бы не тремя монетами, но одной монетою».

§36. Но вскоре обнаруживается, что взгляд на различие единиц открывает новые затруднения. Джевонс объясняет: «Единица есть какой-нибудь предмет, который может быть отличаем от всякого другого предмета, рассматриваемого как единица в той же задаче». Здесь единица объясняется посредством самой себя, и дополнение «который может быть отличаем от любого другого объекта» не содержит более точного определения, поскольку оно разумеется само собой. Мы называем предмет другим только лишь постольку, поскольку можем отличить его от первого предмета. Далее Джевонс говорит: «Когда я пишу символ 5, я собственно разумею

1 + 1 + 1 + 1 + 1

и всегда ясно подразумевается, что каждая из этих единиц отлична от всех других. Собственно я должен был бы обозначить их так

1/ + 1// + 1/// + 1//// + 1/////».

Конечно, обозначать их различно, если они различны, необходимо, ведь иначе возникнет величайшая путаница. Если уже различное место, на котором появляется однёрка, должно означать различие, то необходимо представить правило, не допускающее исключений, поскольку в противном случае никогда не было бы известно, должно 1 + 1 обозначать 2 или же 1. Тогда нужно было бы отвергнуть равенство 1 = 1, и мы пребывали бы в затруднении, никогда не будучи в состоянии обозначить одну и ту же вещь два раза. Очевидно, этого не происходит. Однако если различным вещам хотят придать различные знаки, то не понятно, почему всё-таки придерживаться одних и тех же составных частей, и не лучше ли вместо

1/ + 1// + 1/// + 1//// + 1/////

написать

a + b + c + d + e.

Теперь равенство сразу же утрачивается, и указание не использует известного сходства. Таким образом, однёрка ускользает из рук; мы остаёмся с предметами со всеми их особенностями. Знаки, типа

1/, 1//, 1///,

суть красноречивое выражение затруднения: нам нужно равенство, отсюда 1; нам нужно различие, отсюда индексы, которые, к сожалению, лишь снова устраняют равенство.

§37. У других авторов мы сталкиваемся с теми же самыми трудностями. Локк говорит: «Повторением идеи единицы и соединением её с другой единицей мы образуем из них одну совокупную идею, обозначенную именем «два». И кто может так действовать и идти таким образом вперёд, всё время прибавляя по одной единице к последней полученной им совокупной идее числа, и даёт ей имя, тот может считать». Лейбниц определяет число как 1 и 1 и 1 или как единицы. Хессе говорит: «Если можно составить представление о единице, которая в алгебре выражается числом 1, ... то можно мыслить и вторую равноправную единицу и далее тем же способом. Объединение второй с первой в некоторое целое даёт число 2».

Здесь нужно обратить внимание на отношение, в котором находятся друг к другу значения слов «единица» и «однёрка». Лейбниц под единицей понимает понятие, под которое подпадает один и один и один; как он также говорит: «Абстракция от один есть единица». Локк и Хессе, по-видимому, употребляют единицу и один равнозначно. В сущности, и Лейбниц, пожалуй, поступает также; поскольку, называя каждый отдельный предмет, который подпадает под понятие единицы, одним, он между тем, обозначает этим словом не отдельный предмет, но понятие, под которое он подпадает.

§38. Чтобы не возникала путаница, было бы всё-таки хорошо строго сохранять различие между единицей и однёркой. Говорится «(die) число один» и определённым артиклем указывается на определённый, отдельный предмет научного исследования. Не существует различных чисел один, но только одно. В 1 мы обладаем собственным именем, которое, как таковое, столь же не способно к множественному числу, как «Фридрих Великий» или «химический элемент золото». То, что 1 пишут без различающих штрихов, - не случайность и не неточность способа обозначения. Равенство

3 - 2 = 1

Ст.Джевонс передал бы приблизительно так:

(1/ + 1// + 1///) - (1// + 1///) = 1/.

Но что было бы результатом

(1/ + 1// + 1///) - (1//// + 1/////)?

Во всяком случае, не 1/. Из этого вытекает, что, согласно его пониманию, существуют не только различные однёрки, но также различные двойки и т.д.; ибо 1// + 1/// нельзя заменить на 1//// + 1/////. Отсюда совершенно ясно видно, что число не является совокупностью вещей. Арифметика была бы упразднена, если бы вместо однёрки, которая всегда одна и та же, хотели бы ввести различные вещи, пусть даже и в столь сходных знаках. Ведь без ошибки последние не могли бы быть равными. Нельзя же предполагать, что самой глубокой потребностью арифметики является ошибочная запись. Поэтому, невозможно 1 считать знаком различных вещей, типа Исландии, Альдебарана, Солона и т.п. Бессмыслица становится наиболее очевидной, если задуматься над случаем, когда уравнение имеет три корня, а именно 2, 5 и 4. Если вместо 3 записать теперь, как поступает Джевонс,

1/ + 1// + 1///,

и если под 1/, 1//, 1/// понимать единицы, а, стало быть, согласно Джевонсу, имеющиеся в наличие предметы мысли, причём 1/ означало бы здесь 2, 1// - 5, а 1/// - 4, то разве не понятнее было бы вместо 1/ + 1// + 1/// записать

2 + 5 + 4?

Множественное число возможно только у понятийных слов. Поэтому, если говорят о «единицах», то это слово нужно использовать не равнозначно с «один», но как понятийное слово. Если «единица» означает «подлежащий счёту предмет», то число нельзя определять как единицы. Если под «единицей» понимается понятие, охватывающее собой однёрку и только её, то множественное число не имеет смысла, и снова невозможно определять с Лейбницем число как единицы или как 1 и 1 и 1. Если «и» употребляется так, как в «Бунзен и Кирхгоф», то 1 и 1 и 1 есть не 3, но 1; так же золото и золото и золото никогда не являются чем-то иным, нежели золотом. Знак плюса в

1 + 1 + 1 = 3,

таким образом, должен пониматься иначе, чем «и», которое помогает обозначать совокупность или «коллективную идею».

§39. Сообразно этому мы стоим перед следующим затруднением: Если мы хотим, чтобы число возникало посредством охватывания различных предметов, то получаем совокупность, в которой содержатся предметы как раз с теми свойствами, которыми они различаются, а это - не число. С другой стороны, если мы хотим образовать число посредством охватывания равного, то оно постоянно сливается в одно, и мы никогда не придём к множественности.

Если, используя 1, мы обозначаем каждый подлежащий счёту предмет, то это ошибка, поскольку сохраняем один и тот же знак для различного. Если же мы снабжаем 1 разными штрихами, то оно не пригодно для арифметики.

Слово «единица» отлично подходит для того, чтобы запутаться в этом затруднении; и это основание (пусть даже и неосознанное) того, почему предпочтительнее слова «предмет» и «вещь». Прежде всего, единицами называют подлежащие счёту вещи и, причём, сохраняют их право на различие; тогда охватывание, собирание, объединение, соединение (или, если угодно, воспользуйтесь другим названием) переходит в понятие арифметического сложения, а понятийное слово «единица» незаметно превращается в собственное имя «один». Вследствие этого тогда и получается равенство. Если к букве т я присоединяю букву р, а затем букву и, то каждый легко видит, что это не является числом 3. Но если я подвожу т, р и и под понятие «единица» и теперь для «т и р и и» говорю «единица и единица и единица» или «1 и 1 и 1», то благодаря этому легко поверить, что имеется 3. Затруднение столь хорошо скрывается за словом «единица», что лишь у немногих вызывает подозрение.

Здесь можно предоставить слово Миллю, по праву порицающему искусные манипуляции языком; ибо в данном случае имеет место внешнее проявление мыслительного процесса, но лишь иллюзия такового. В самом деле, здесь возникает впечатление, как если бы словам, опустошённым от мысли, придавалась некоторая таинственная сила, поскольку различное должно становится равным просто благодаря тому, что называется единицей.