Часть 4.

ПОПЫТКИ ПРЕОДОЛЕТЬ ЗАТРУДНЕНИЕ

§40. Теперь мы рассмотрим отдельные пояснения, которые представляются попытками преодолеть данное затруднение, даже если они и не всегда делаются с ясным осознанием этого намерения.

Прежде всего, можно призвать на помощь свойство пространства и времени. А именно, пространственная точка, прямая или плоскость, конгруэнтные тела, сегменты поверхностей или линий, рассмотренные сами по себе, не различаются совершенно; они различаются лишь в совместном бытии, как составные части одного общего созерцания. Таким образом, равенство здесь объединено с различимостью. То же самое имеет силу и для времени. Пожалуй, поэтому Гоббс полагает, что равенство единиц едва ли может мыслиться иначе, чем устанавливаемое посредством деления континуума. Тома говорит: «Множества индивидов или единиц представляют в пространстве и считают их последовательно, для чего требуется время; при любой абстракции в качестве отличительного признака единиц всё-таки остаётся их различное положение в пространстве и их различное следование друг за другом во времени».

Против такого способа понимания, прежде всего, возникает сомнение, что тогда исчисляемое ограничивалось бы пространственным и временным. Уже Лейбниц отклонял мнение схоластов, что число образуется голым делением континуума и не может применяться к бестелесным вещам. Бауман подчёркивает независимость числа от времени. Понятие единицы также мыслимо вне времени. Ст.Джевонс говорит: «Три монеты суть три монеты, будем ли мы считать их последовательно или смотреть на все три одновременно. Во многих случаях не может быть основанием различия ни пространство, ни время, и тогда нам может служить для этого только чистое качество. Мы можем различать вес, плотность и твёрдость золота, как три качества, хотя ни одно из них не существует прежде или после другого и не находится ни в пространстве, ни во времени. Каждое средство различения может быть источником множественности». Я добавляю: Если подлежащие счёту предметы не следуют друг за другом в действительности, но лишь пересчитываются друг за другом, то время не может быть основание различия. Ибо, чтобы их можно было пересчитывать друг за другом, мы уже должны иметь различные характеристики. Для счёта время есть лишь психологическое требование, но оно не имеет дела с понятием числа. Если непространственные и невременные предметы представлять посредством пространственных или временных точек, то это, вероятно, может быть удобным для выполнения вычислений; но при этом принципиально предполагается применимость понятия числа к непространственному и невременному.

§41. Но, если мы отказываемся от всех различимых характеристик кроме пространственных и временных, разве цель объединения различимого и равенство действительно достигаются? Нет! Мы ни на шаг не приблизились к решению. Большее или меньшее сходство предметов не относится к делу, если они, в конце концов, всё-таки должны удерживаться отдельно друг от друга.

Отдельные точки, линии и т.п. я могу обозначить здесь как 1 в столь же малой степени, как при геометрическом рассмотрении именовать их одной и той же А; ибо здесь, как и там, необходимо, чтобы они различались. Только в себе, если не обращать внимания на их пространственные отношения, точки равны друг другу. Но если я должен их охватить, то обязан рассматривать их в их совместном пространственном бытии, в противном случае они неминуемо сольются в одно. Точки в своей общности представляются, пожалуй, какой-нибудь фигурой, типа созвездия, или как-то расположенными на прямой; равные сегменты, соприкасаясь конечными точками, могут образовывать единый сегмент или располагаться отдельно друг от друга. Возникающее таким способом образование может быть совершенно различным для одного и того же числа. Таким образом, здесь мы также имели бы различные пятёрки, шестёрки и т.д. Временные точки разделяются посредством коротких или длинных, равных или неравных промежутков времени. Всё это суть обстоятельства, которые совершенно не имеют дела с числом самим по себе. Всюду вмешивается нечто особенное, далеко превосходимое числом в его общности. Даже отдельный момент имеет нечто своеобразное, то, чем он, скажем, отличается от пространственной точки и что не входит в понятие числа.

§42. Выход, заменить пространственное и временное расположение более общим понятием ряда, также не ведёт к цели; ибо место в ряду не может быть основанием различения предметов, поскольку последние, чтобы их можно было упорядочить в ряд, уже должны быть как-то различены. Такое расположение всегда предполагает отношения между предметами, будут ли они пространственными, временными, логическими, связанными с интервалами тонов или какими-то ещё, посредством которых можно переходить от одного предмета к другому, и которые необходимо объединены с этими различиями.

Когда Ханкель мыслит или полагает предмет 1 раз, 2 раза, 3 раза, то это выглядит как попытка соединить различимость с равенством того, что подлежит счёту. Но также сразу видно, что это не более удачный ход; ибо представления или созерцания одного и того же предмета, чтобы не сливаться в одно, должны как-то различаться. Я также полагаю, что оправдано говорить о 45 миллионах немцев без того, чтобы прежде мыслить или полагать одного обыкновенного немца 45 миллионов раз; последнее было бы несколько затруднительно.

§43. Вероятно, для того, чтобы избежать затруднений, возникающих, если, следуя Джевонсу, каждым знаком 1 обозначать подлежащий счёту предмет, Э.Шрёдер хочет, чтобы посредством 1 предмет только замещался. Как следствие, он объясняет только числовой знак, а не число. А именно, он говорит: «Теперь, чтобы получить знак, способный выражать, сколько имеется в наличие таких единиц, внимание вдруг направляется на каждый из них поочерёдно и замещает их штрихом 1 (один, однёрка); эти однёрки располагаются в строчку рядом друг с другом, но соединяются они знаком + (плюс), ведь в противном случае 111, например, согласно обычному обозначению чисел, прочитывалось бы как сто одиннадцать. Таким способом получается такой знак, как

1 + 1 + 1 + 1 + 1,

эту структуру можно описать говоря:

«НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ЕСТЬ СУММА ОДНЁРОК».

Отсюда видно, что для Шрёдера число есть знак. То, что выражается посредством этих знаков, то, что я до сих пор называл числом, он, как известно, предполагает словами «сколько имеется в наличие таких единиц». Также и под словом «один» он понимает знак 1, а не его значение. Знак + нужен ему, прежде всего, только как внешнее средство связи, не имеющее собственного содержания; сложение объясняется лишь позднее. Более кратко он, пожалуй, мог бы выразиться так: Знаков 1 записывается друг подле друга столько же, сколько имеется подлежащих счёту предметов, и связываются они посредством знака +. Ноль выражался бы тем, что не записывается ничего.

§44. Чтобы не относить к числам различные обозначения вещей, Ст.Джевонс говорит: «Не трудно составить себе понятие о природе численного отвлечения. Оно состоит в отвлечении характера различия, дающего происхождение множественности и удержании его как простого факта. Когда я говорю три человека, то мне нет надобности сейчас же характеризовать знаки, по которым каждый может быть отличён от другого. Эти знаки должны существовать, если это действительно три человека, а не один и тот же человек, и говоря о них, как о нескольких, я предполагаю существование требуемых различий. Таким образом отвлечённое число есть пустая форма различия».

Как это понимать? Можно или абстрагироваться от различающихся свойств вещей прежде, чем объединять их в единое целое, или прежде образовать целое, а затем абстрагироваться от вида различия. При первом способе мы вовсе не пришли бы к различению вещей, а, стало быть, не могли бы также удержать наличие различного; Джевонс, видимо, имеет в виду второй способ. Но я не думаю, что таким образом мы получили бы число 10000, поскольку мы не в состоянии постигать столь много различного одновременно и удерживать его в наличие; ибо для числа рассмотрение перехода от одного к другому всегда недостаточно. Мы, правда, считаем во времени, но вследствие этого мы получаем не число, но лишь определяем число того, что сосчитали. Впрочем, указание на способ абстрагирования определением не является.

Что же следует мыслить под «пустой формой различия»? Скажем, под предложением, типа

«а отлично от b»,

где а и b остаются неопределёнными? Было ли бы это предложение, скажем, числом 2? Равнозначно ли предложение

«Земля имеет два полюса»

предложению

«Северный полюс отличен от Южного полюса»?

Очевидно, нет. Второе предложение может существовать без первого, а первое без второго. Тогда для числа 1000 в

1000 . 999

1 . 2

мы имели бы предложения, выражающие различие.

То, что говорит Джевонс, совершенно не проходит с 0 и 1. От чего собственно нужно абстрагироваться, чтобы, например, от Луны перейти к числу 1? Абстрагированием, пожалуй, получают понятия: спутник Земли, спутник планеты, не испускающее собственного света небесное тело, тело, предмет; но 1 в этом ряду не встречается, ибо 1 не является понятием, под которое может подпадать Луна. У 0 даже вовсе не имеется предмета, от которого отталкиваются при абстракции. На это не возразишь, что 0 и 1 не являются числами в том же самом смысле, как 2 и 3! Число отвечает на вопрос «сколько?», и когда, например, спрашивают: «Сколько лун имеет эта планета?», то ответ 0 или 1 можно понять столь же хорошо, как 2 или 3, без того чтобы смысл вопроса стал иным. Правда, число 0 имеет нечто особенное, так же как и 1, но, в сущности, это имеет силу для любого целого числа; только чем больше число, тем всё меньше это бросается в глаза. Проводить здесь видовые различия дело совершенно произвольное. То, что не проходит с 0 или 1, для понятия числа существенным быть не может.

Наконец, при предположении данного способа возникновения числа затруднение, на которое мы наталкиваемся при рассмотрении обозначения

1/ + 1// + 1/// + 1//// + 1/////

для 5, вовсе не уничтожается. Эта запись вполне согласуется с тем, что Джевонс говорит об образовании чисел посредством абстракции; штрихи вверху обозначают как раз то, что различие есть, но не указывают его вид. Однако простое существование различия, как мы видели, уже достаточно для того, чтобы, согласно пониманию Джевонса, породить различные однёрки, двойки, тройки, что совершенно несовместимо со структурой арифметики.

РЕШЕНИЕ ЗАТРУДНЕНИЯ

§45. Теперь нам следует составить обзор прежних констатаций и вопросов, всё ещё остающихся без ответа!

Число не абстрагируется от вещей по типу цвета, веса, твёрдости и не является свойством вещей в том смысле, как эти последние. Всё ещё остаётся вопрос, к чему относится то, что высказывается посредством указания на число.

Число - не физично, но также и не субъективно, оно не является представлением.

Число не возникает прибавлением вещи к вещи. Также ничего в этом отношении не меняет и придание имени соответственно каждому прибавлению.

Выражения «многое», «множество», «множественность» из-за их неопределённости не годятся для объяснения числа.

При ссылке на один и единицу остаётся вопрос, каким образом ограничить произвол понимания, который, по-видимому, стирает всякое различие между одним и многим.

Отграниченность, нераздельность, неразложимость - бесполезные признаки для того, что мы выражаем словом «один».

Если единицами называют подлежащие счёту вещи, то утверждение о равенстве единиц безусловно ложно. То, что они в определённом отношении, являются равными, хотя и верно, но не имеет никакой ценности. Если должны быть числа больше 1, то различие подлежащих счёту вещей даже необходимо.

Таким образом, кажется, что мы должны придать единицам два противоречащих свойства: равенство и различимость.

Между один и единицей нужно проводить различие. Слово «однёрка» как собственное имя предмета математического исследования неспособно к множественному числу. Стало быть, образовывать число объединением единиц бессмысленно. Знак плюса в 1 + 1 = 2 не может обозначать такого объединения.

§46. Чтобы пролить свет на предмет, было бы хорошо рассмотреть число в контексте суждения, где проявляется его изначальный способ применения. Если при рассмотрении одного и того же внешнего явления я с одинаковой истинностью могу сказать: «Это - группа деревьев» и «Это - пять деревьев» или «Здесь находится четыре группы людей» и «Здесь находится 500 человек», то при этом изменяется не отдельное и не целое, не агломерат, а моё название. Но последнее есть лишь знак замены одного понятия другим. Вследствие этого как ответ на первый вопрос предыдущего параграфа нам больше подходит то, что указание на число содержит высказывание о понятии. Более всего это, пожалуй, ясно относительно числа 0. Если я говорю: «Венера имеет 0 лун», то здесь вовсе нет луны или агломерата лун, о которых можно было бы нечто высказать; однако благодаря этому понятию «луна Венеры» прилагается свойство, а именно, под него ничего не подпадает. Если я говорю: «Карету кайзера везут четыре лошади», то понятию «лошадь, везущая карету кайзера» я прилагаю число четыре.

Можно возразить, что понятие, как, например, «граждане германского государства», хотя его признаки и остаются неизменными, если бы указание на число высказывало о нём такое свойство, имело бы год от года изменяющееся свойство. На это можно ответить, что и предметы изменяют свои свойства, но последнее не препятствует тому, чтобы опознавать их как одни и те же. Однако здесь можно указать более точное основание. А именно, понятие «граждане германского государства» содержит время как изменяющуюся составную часть или, выражаясь математически, является функцией времени. Вместо «а есть гражданин германского государства» можно сказать: «а принадлежит германскому государству», а это как раз и указывает на текущий момент времени. Таким образом, нечто текучее содержится уже в самом понятии. С другой стороны, понятию «гражданин германского государства на начало 1883 года по берлинскому времени» навеки соответствует одно и то же число.

§47. То, что указание на число выражает нечто фактически независимое от нашего понимания, может вызвать удивление лишь у того, кто считает понятие чем-то субъективным, равным представлению. Но этот взгляд ложен. Если, к примеру, мы подчиняем понятие тела понятию тяжести или понятие кита понятию млекопитающего, то этим мы утверждаем нечто объективное. Если бы понятие было субъективным, то подчинение одного понятия другому, как отношение между ними, так же было бы чем-то субъективным, наподобие отношения между представлениями. Конечно, на первый взгляд кажется, что в предложении

«Все киты - млекопитающие»

речь идёт о животных, а не о понятиях; однако, если спросить, о каком животным тогда идёт речь, то какого-то отдельного предъявить нельзя. Если предположить, что кит имеется в наличие, то наше предложение о нём все-таки не утверждает ничего. Из него нельзя вывести, что имеющееся в наличие животное является млекопитающим, без добавочного предложения, что это животное - кит, которого наше предложение не содержит. Говорить о предмете без того, чтобы его как-то обозначить или назвать, вообще невозможно. Однако слово «кит» не обозначает отдельного существа. Если ответить, что оно говорит, конечно, не об одном отдельном, определённом предмете, но, пожалуй, о неопределённом предмете, то я считаю «неопределённый предмет» лишь другим выражением для «понятие», хотя и худшим, более исполненным противоречий. Даже если наше предложение и можно оправдать наблюдением за отдельным животным, это ничего не доказывает относительно его содержания. Для вопроса, о чём оно, безразлично, истинно оно или нет, или на каком основании мы принимаем его за истинное. Итак, если понятие есть нечто объективное, то и высказывание о нём может содержать нечто фактическое.

§48. Возникающая прежде при некоторых примерах видимость того, что одному и тому же соответствуют различные числа, объясняется тем, что носителем числа при этом считаются предметы. Как только мы восстановим в своих правах истинного носителя, понятие, обнаруживается, что числа столь же взаимоисключающи, как и цвета в своей области.

Теперь мы также видим, каким образом приходят к тому, что число хотят получить, абстрагируясь от вещей. То, что получается вследствие этого, является понятием, в котором тогда обнаруживается число. Таким образом, абстракция действительно часто предшествует образованию суждения о числе. Смешение здесь точно такое же, как если бы хотели сказать, что понятие пожароопасности образуется тогда, когда из блоков с дощатыми фронтонами строится жилой дом с соломенной крышей и дырявой печной трубой.

Собирательная сила понятия далеко превосходит объединяющую силу синтетической апперцепции. Посредством последней невозможно связать в единое целое граждан германского государства; но зато их можно подвести под понятие «гражданин германского государства» и сосчитать.

Теперь объяснима также и обширная применимость числа. Действительно загадано, как одно и то же может одновременно высказываться о внешнем и о внутреннем явлении, о пространственном и временном и о непространственном и невременном. Но в указании на число это совершенно не имеет места. Число приложимо только к понятию, под которое подводится внешнее и внутреннее, пространственное и временное, непространственное и невременное.

§49. Подтверждение нашей точки зрения мы находим у Спинозы, который говорит: «Я отвечаю, что вещь может называться единой или единственной лишь по отношению к своему существованию, а не по отношению к своей сущности, ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род. Так, например, человек, держащий в руке сестерцию и империал, не подумает о числе «два», если он не имеет возможности назвать их одним и тем же именем, а именно: «монетами» или «деньгами», ибо в этом случае он может утверждать, что имеет две монеты, так как этим именем он обозначает как сестерцию, так и империал». Когда же он продолжает: «Отсюда явствует, что вещь может называться единой или единственной лишь тогда, когда мы можем представить себе другую вещь, которая (как сказано) сходна с нею», и когда он полагает, что Бога нельзя в собственном смысле назвать одним или единственным, поскольку о его сущности мы не можем образовать абстрактное понятие, то он ошибается в мнении, что понятие можно получить лишь непосредственно через абстракцию от большего числа предметов. Напротив, чтобы перейти к понятию, может быть достаточно и признака; а тогда возможно, чтобы под него не подпадала вещь. Если бы этого не случалось, никогда нельзя было бы отрицать существование, а с этим и утверждение существования утрачивало бы своё содержание.

§50. Э.Шрёдер подчёркивает, что, если можно было бы говорить только о частотности вещей, именем этих вещей всегда должно было бы быть родовое имя, общее понятийное слово (notio communis): «А именно, как только предмет учтён полностью - во всех его свойствах и отношениях - то в мире он, таковой, имеется в единственном числе, и более нет ничего ему равного. Имя предмета тогда носит характер собственного имени (notio proprium) и предмет не может мыслиться как встречающийся повторно. Однако это имеет силу не только для конкретных предметов. Это имеет силу вообще для каждой вещи; её представление посредством абстракций также может прийтись к месту, если только это представление заключает в себе такой элемент, который достаточен для того, чтобы соответствующую вещь сделать полностью определённой ...». Стать объектом счёта «для вещи возможно только постольку, поскольку при этом отказываются или абстрагируются от некоторых её собственных признаков и отношений, посредством которых она отличается от всех других вещей; тогда благодаря этому, то что прежде было именем вещи, становится понятием применимым к большему числу вещей».

§51. То, что в этом пояснении истинно, облечено в такие корявые и вводящие в заблуждение выражения, что их требуется просматривать и распутывать. Прежде всего, неуместно общее понятийное слово называть именем вещи. Вследствие этого возникает видимость, как если бы число было свойством вещи. Общее понятийное слово обозначает как раз понятие. Оно действует как собственное имя только с определённым артиклем или указательным местоимением. Предмет не встречается повторно, но скорее большее число предметов подпадает под понятие. То, что понятие получается не только абстракцией от подпадающих под него вещей, указано уже Спинозой. Здесь я добавлю, что понятие не перестаёт быть понятием вследствие того, что под него подпадает единственная вещь, которая сообразно этому полностью им определена. Такому понятию (например, спутник Земли) как раз и соответствует число 1, являющееся числом в том же самом смысле, как 2 и 3. Относительно понятия всегда спрашивается, подпадает ли под него нечто, и что именно подпадает. Относительно собственного имени такой вопрос бессмысленен. Нельзя обманываться тем, что язык применяет собственное имя (например, Луна) как понятийное слово, и наоборот; несмотря на это различие сохраняется. Как только слово употребляется с неопределённым артиклем или во множественном числе, оно является понятийным словом.

§52. Дальнейшее подтверждение точки зрения, что число прилагается понятиям, можно найти в немецком словоупотреблении. Так говорят zehn Mann, vier Mark, drei Fass. Здесь единственное число может указывать на то, что подразумевается понятие, а не вещь. Преимущество этого способа выражения особо проявляется при числе 0. Кроме того, язык, конечно, прилагает число предметам, а не понятиям: «число бочек» говорится так же, как «вес бочек». Таким образом, речь на первый взгляд идёт о предметах, тогда как на самом деле нечто хотят высказать о понятии. Такое словоупотребление запутано. Выражение «четыре породистых коня» вызывает видимость, как если бы «четыре» ближе определяло понятие «породистый конь» подобно тому, как «породистый» ближе определяет понятие «конь». Однако «породистый» есть только некоторый признак; словом же «четыре» мы нечто высказываем о понятии.

§53. Под свойствами, которые высказываются о понятии, я понимаю не признаки, составляющие понятие. Последние суть свойства вещей, подпадающих под понятие, а не понятия. Так, «прямоугольность» не является свойством понятия «прямоугольный треугольник»; однако предложение, что не существует прямоугольного, прямолинейного, равностороннего треугольника, высказывает свойство понятия «прямоугольный, прямолинейный, равносторонний треугольник»; последнему прилагается число 0.

В этом отношении существование имеет сходство с числом. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа ноль. Поскольку существование есть свойство понятия, онтологическое доказательство существования Бога не достигает своей цели. Однако единственность является признаком понятия «Бог» в столь же малой степени, как и существование. Единственность не может использоваться в определении данного понятия, так же как прочность, вместительность, удобства дома не могут применяться при его строительстве наряду с камнями, строительным раствором и брёвнами. Однако отсюда не следует делать общий вывод, что из понятия, т.е. из его признаков нельзя вывести, что нечто является свойством понятия. При определённых обстоятельствах это возможно, как по виду строительного камня иногда можно сделать вывод о долговечности постройки. Стало быть, утверждение, что от признаков понятия никогда нельзя заключить к единственности или существованию, было бы слишком сильным; только это никогда не может происходить так же непосредственно, как приписывание в качестве свойства предмету, подпадающему под понятия, признака этого понятия.

Ложным было бы также отрицать, что существование и единственность когда-либо могут быть признаками понятий. Они лишь не являются признаками тех понятий, которым их можно приписать, следуя языку. Если, например, все понятия, под которые подпадает только один предмет, собрать под одним понятием, то единственность была бы признаком этого понятия. Под него, например, подпадало бы понятие «луна Земли», но не называемое так небесное тело. Таким образом, понятие можно подвести под более высокое, так сказать, понятие второго порядка. Однако это отношение нельзя смешивать с отношением подчинения.

§54. Теперь становится возможным удовлетворительное объяснение единицы. Э.Шрёдер на стр.7 своего уже упоминавшегося учебника говорит: «Такое родовое имя или понятие будет называться наименованием числа, образованного заданным способом, и составлять сущность его единицы».

Действительно, разве не самым подходящим было бы при ссылке на число, соответствующее понятию, называть последнее единицей? Тогда мы сможем придать смысл высказыванию о единице, что она обособлена от окружения и является нераздельной. Тогда понятие, которому прилагается число, определённым способом в общем отграничивает то, что под него подпадает. Понятие «буква слова Zahl» отграничивает Z от a, а от h и т.д. Понятие «слог слова Zahl» понимает это слово как целое и нераздельное в том смысле, что более нет никаких частей, подпадающих под понятие «слог слова Zahl». Не со всеми понятиями дело обстоит так. Например, мы можем то, что подпадает под понятие красного, разделить разнообразными способами, без того чтобы получившееся части перестали под него подпадать. Такому понятию не соответствует конечное число. Предложение об отграниченности и нераздельности единицы можно, следовательно, выразить так:

Единица при ссылке на конечное число может быть лишь таким понятием, которое определённо отграничивает то, что под него подпадает, и не допускает никакого разделения.

Видно, однако, что нераздельность имеет здесь особое значение.

Теперь мы легко ответим на вопрос, каким образом равенство единиц примеримо с их различимостью. Слово «единица» используется здесь в двояком смысле. Равными единицы являются в объяснённом выше значении данного слова. В предложении: «Юпитер имеет четыре луны» единицей является «луна Юпитера». Под это понятие подпадает как I, так и II, так и III, так и IV. Стало быть, можно сказать, что единица, относящаяся к I, равно единице, относящейся к II и т.д. Здесь у нас есть равенство. Если, однако, утверждается различимость единиц, то под этим понимается различимость пересчитываемых вещей.

VI. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА

КАЖДОЕ ОТДЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ПРЕДМЕТОМ.

§55. После того, как мы узнали, что указание на число содержит высказывание о понятии, мы можем попытаться дополнить лейбницевские определения отдельных чисел определением 0 и 1.

В первую очередь попытаемся объяснить следующее: Понятию соответствует число 0, когда под него не подпадает ни один предмет. Но здесь, как кажется, на место 0 можно подставить равнозначное «не»; поэтому предпочтительнее выглядит следующая формулировка: понятию соответствует число 0, если при любом a, предложение, что а не подпадает под это понятие, имеет всеобщее значение.

Сходным образом можно сказать: Понятию F соответствует число 1, если при любом а, предложение, что а не подпадает под F, не имеет всеобщего значения, и если из предложений

«а подпадает под F» и «b подпадает под F»

всегда следует, что а и b суть одно и то же.

Остаётся ещё дать общее объяснение переходу от некоторого числа к последующему. Испробуем следующую формулировку: Понятию F соответствует число (n + 1), если существует предмет а, подпадающий под F, причём понятию «подпадающий под F, но не а» соответствует число n.

§56. После наших предшествующих результатов эти объяснения представляются столь естественными, что потребуется изложить, почему их нам может недоставать.

Прежде всего сомнение вызывает последнее определение; ибо взятый в точном значении смысл выражения «понятию G соответствует число n» нам также не известен, как и смысл выражения «понятию F соответствует число (n + 1)». Конечно, мы можем при помощи данного и предпоследнего объяснения сказать, что означает

«Понятию F соответствует число 1 + 1»,

и затем, используя это, задать смысл выражения

«Понятию F соответствует число 1 + 1 + 1»

и т.д.; но мы никогда не сможем, - если взять грубый пример - посредством наших определений решить, соответствует ли понятию число Юлий Цезарь или является числом этот знаменитый покоритель галлов или же нет. Кроме того, мы не можем с помощью наших предварительных объяснений доказать, что если понятию F соответствует число а, и этому же понятию соответствует число b, то должно быть а = b. Стало быть, выражение «число, соответствующее понятию F» оправдать нельзя и, как следствие, равенство чисел доказать невозможно, поскольку мы вовсе не смогли схватить какого-то определённого числа. Только кажется, что мы объяснили 0 и 1; на самом же деле мы лишь зафиксировали смысл речевых оборотов

«число 0 соответствует»,

«число 1 соответствует»;

но это не позволяет различить в них 0 и 1 как самостоятельные, отождествляемые предметы.

§57. Здесь как раз уместно уделить более тщательное внимание нашему выражению, что указание на число содержит высказывание о понятии. В предложении «Понятию F соответствует число 0», если мы рассматриваем понятие F как реальный субъект, 0 является только частью предиката. Поэтому я избегаю называть числа, типа 0,1,2, свойствами понятия. Отдельное число выглядит именно как самостоятельный предмет благодаря тому, что оно образует только часть высказывания. Выше я уже уделял внимание тому, что говорят «(die) 1» и благодаря определённому артиклю 1 изображает собой предмет. Эта самостоятельность повсеместно обнаруживается в арифметике, например, в равенстве 1 + 1 = 2. Поскольку здесь мы стремимся схватить понятие числа так, чтобы оно было пригодно в науке, нас не должно беспокоить, что в обычном языке жизни число также проявляется атрибутивно. Последнего всегда можно избежать. Например, предложение «Юпитер имеет четыре луны» может быть преобразовано в «Число лун Юпитера есть четыре». Здесь «есть» не должно рассматриваться в качестве простой связки, как в предположении «Небо есть голубое». Последнее обнаруживается в том, что можно сказать: «Число лун Юпитера есть четыре» или «есть число 4». Здесь «есть» имеет смысл «есть равное», «есть то же самое, как и». Стало быть, у нас есть равенство, утверждающее, что выражение «число лун Юпитера» обозначает тот же самый предмет, как и слово «четыре». В арифметике форма равенства является господствующей. Это соображение не оспоришь тем, что в слове «четыре» не содержится ничего о Юпитере или о луне. И в имени «Колумб» нет ничего об открытии или об Америке, и всё же и Колумбом, и открывателем Америки называют одного и того же человека.

§58. Могут возразить, что о предмете, который мы называем четыре или числом лун Юпитера, как о чём-то самостоятельном, мы вовсе не можем составить представления. Но в этом неповинна самостоятельность, приданная нами числу. Правда легко поверить, что в представление о четырёх глазках на игральной кости входит нечто соответствующее слову «четыре»; но это заблуждение. Помыслите (eine) зелёный луг и попробуйте, изменится ли представление, если неопределённый артикль заменить числительным «один». Ничего сверх того не происходит, в то время как слову «зелёный» в представлении всё-таки нечто соответствует. Если представляют напечатанное слово «медь», при этом никакого числа непосредственно не мыслят. Если же задаются вопросом, из скольких букв оно состоит, то получается число 4; но представление благодаря этому не становится чем-то более определённым, а может оставаться совершенно неизменным. Понятие «буквы слова медь», добавленное сверх того, и есть как раз то, где мы обнаружили число. У глазков на игральной кости дело несколько скрыто, так как понятие удостоверяет себя нам сходством глазков столь непосредственно, что мы едва замечаем его вмешательство. Число нельзя представить ни как самостоятельный предмет, ни как свойство внешней вещи, так как оно не является ни чем-то чувственным, ни свойством внешней вещи. С числом 0 дело наиболее ясно. Тщетно пытаться представить себе 0 видимых звёзд. Можно, правда, представить небо совершенно затянутым облаками; но здесь нет ничего, что соответствовало бы слову «звезда» или 0. Представляют только ситуацию, которой может способствовать суждение: сейчас не видно ни одной звезды.

§59. Каждое слово может быть и вызывает в нас какое-нибудь представление, даже такое как «только»; но оно не обязательно соответствует содержанию слова; у разных людей представление может быть совершенно различным. И потом, представляется, пожалуй, вся ситуация, вызванная предложением, в которое входит это слово; или случается, что произнесённое слово вызывает в памяти написанное.

Последнее относится не только к отдельным частям речи. Пожалуй, не подлежит никакому сомнению, что у нас нет никакого представления о нашем расстоянии до Солнца. Так как, даже если нам известно правило, как часто мы должны умножать масштаб, то нам всё равно не удаётся никакой попытки согласно этому правилу сконструировать образ, который тоже лишь до некоторой степени приближался бы к желаемому. Однако это не основание сомневаться в правильности расчётов, посредством которых устанавливается расстояние, и ни коим образом не препятствует нам на существовании этого расстояния основывать дальнейшие выводы.

§60. Даже такую конкретную вещь, как Земля, мы не в состоянии представить такой, какой, как мы знаем, она является; вместо этого, мы довольствуемся шаром среднего размера, который считается нами знаком Земли; однако нам известно, что одно весьма отлично от другого. Итак, хотя наше представление часто совершенно не отвечает желаемому, мы всё-таки судим с большой уверенностью о таком предмете, как Земля, даже когда рассматривается её размер.

Очень часто мышление выводит нас за рамки представимого, и при этом не утрачивается основание наших выводов. Даже если, как кажется, человеческое мышление невозможно без представлений, то его связь с тем, что имеется в виду, всё-таки может быть совершенно внешней, произвольной, конвенциальной.

Стало быть, непредставимость содержания слова не является основанием лишить его всякого значения или исключить из обихода. Противоположный взгляд, вероятно, возникает вследствие того, что мы рассматриваем слова изолированно, а потом, спрашиваем об их значении, за которое затем принимаем представление. Таким образом, кажется, что слово, которому недостаёт соответствующего внутреннего образа, не имеет содержания. Необходимо, однако, всегда учитывать полное предложение. Только в нём слова обладают подлинным значением. Внутренний образ, который при этом как бы витает, не обязательно соответствует логически составной части суждения. Достаточно, если предложение имеет смысл как целое; благодаря этому своё содержание получают также и его части.

Мне кажется, это замечание пригодится для того, чтобы пролить свет и на иные трудные понятия, типа понятия бесконечно малых, и его радиус действия, пожалуй, не ограничивается математикой.

Самостоятельность, которой я воспользовался для числа, не должна означать, что числительное что-то обозначает вне контекста предложения, но этим я хотел только исключить его употребление в качестве предиката или атрибута, благодаря чему, несколько изменяется его значение.

§61. Однако быть может, на это возразят, что даже если Земля и на самом деле непредставима, она всё-таки является внешней вещью, занимающей определённое место; но где находится число 4? Его нет ни вне нас, ни в нас. В пространственном смысле последнее понимается правильно. Определение местонахождения числа 4 не имеет смысла; но отсюда вытекает только то, что оно не является пространственным предметом, а не то, что его вообще нет. Не каждый предмет находится где-то. Так же и наши представления в этом смысле находятся не в нас (под кожей). Там находятся нервные узлы, кровяные тельца и тому подобное, но не представления. К ним не применимы пространственные предикаты: одно представление не находится ни справа, ни слева от другого; в миллиметрах нельзя указать расстояния, отделяющие представления друг от друга. Если мы все-таки говорим, что они в нас, то этим хотим обозначить их как субъективные.

Но хотя субъективное и не обладает местом, как возможно, чтобы объективное число 4 нигде не находилось? Итак, я утверждаю, что в этом вовсе нет противоречия. Оно действительно в точности одно и то же для каждого, кто имеет с ним дело; но это не связано с пространственностью. Не каждый объективный предмет обладает местом.

ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА, НЕОБХОДИМО УСТАНОВИТЬ

СМЫСЛ РАВЕНСТВА ЧИСЕЛ.

§62. Каким образом нам может быть дано число, если мы не в состоянии обладать его представлением или созерцанием? Слова обозначают нечто только в контексте предложения. Стало быть, всё идёт к тому, чтобы объяснить смысл предложения, в которое входит числительное. Прежде всего, в этом всё ещё остаётся много произвольного. Но мы уже установили, что под числительными следует понимать самостоятельные предметы. С этим нам дана разновидность предложений, которые должны обладать смыслом, предложений, которые выражают отождествление. Если знак должен обозначать для нас предмет, то мы должны обладать критерием, который всюду решал бы, является ли b тем же самым, что и а, даже если не всегда в наших силах установить, применим ли этот критерий. В нашем случае мы должны объяснить смысл предложения:

«Число, соответствующее понятию F, является тем же самым, как и то, что соответствует

понятию G»;

т.е. мы должны воспроизвести содержание этого предложения другим способом, не используя выражения

«число, соответствующее понятию F».

Этим мы зададим общий критерий равенства чисел. После того, как таким образом мы приобретём средство схватывать определённое число и отождествлять его, как одно и то же, мы можем придать ему числительное в качестве собственного имени.

§63.Такое средство называл уже Юм: «Когда два числа составлены таким образом, что каждая единица в одном из них всегда отвечает каждой единице в другом, мы признаём их равными». В новейшее время среди математиков, кажется, многократный отклик встретило мнение, что равенство чисел должно определяться с помощью однозначного соотнесения. Но сразу же возникают логические сомнения и затруднения, мимо которых мы не имеем права пройти без проверки.

Отношение равенства встречается не только среди чисел. Отсюда, по-видимому, следует, что оно должно быть определено не только для данного случая. Можно было бы подумать, что понятие равенства установлено уже заранее, и что затем из него и понятия числа должно получаться то, когда одно число равно другому, без того, чтобы сверх этого иметь надобность ещё в особом определении.

В противовес этому нужно заметить, что для нас понятие числа ещё не установлено, но прежде должно быть определено при помощи нашего объяснения. Наше намерение - образовать содержание суждения, которое могло бы пониматься как равенство, так, чтобы каждая сторона этого равенства являлась числом. Мы, стало быть, хотим объяснить равенство не для данного случая, но при помощи уже известного понятия равенства, получить то, что рассматривается как равное. Конечно, это кажется весьма необычным видом определения, которому логики ещё не уделяли достаточного внимания; но то, что он не так уж и не слыхан, можно показать на нескольких примерах.

§64. Суждение: «Прямая а параллельна прямой b», в знаках:

а // b

также может пониматься как равенство. Если мы так поступаем, то получаем понятие направления и говорим: «Направление прямой а равно направлению прямой b». Таким образом, мы заменили знак // на более общий =, тем, что распределили особое содержание первого между а и b. Мы расчленили содержание иначе, нежели изначальный способ и, благодаря этому, получили новое понятие. Конечно, часто дело воспринимается наоборот, и многие руководства определяют: Параллельные прямые суть те, что имеют равное направление. Предложение: «Когда две прямые параллельны третей, то они параллельны друг другу» можно тогда очень удобно доказать ссылкой на предложение о равенстве, гласящем нечто подобное. Жаль только, что при этом истинное положение дел ставиться на голову! Так, всё геометрическое, пожалуй, всё же должно первоначально созерцаться. Теперь я спрашиваю, каждый ли обладает созерцанием направления прямой. Что касается прямой, пожалуй! Но различают ли в созерцании этой прямой ещё и её направление? Вряд ли! Это понятие прежде открывается посредством умственной деятельности, привязанной к созерцанию. Зато представлением параллельных прямых обладают. Упомянутое доказательство проходит только благодаря предвосхищению основания, тем что, употребляя слово «направление» предполагают доказываемое; ибо, если предположение: «Когда две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу» было бы неверным, то а // b нельзя было бы превратить в равенство.

Подобным образом из параллелизма плоскостей можно получить понятие, соответствующее понятию направления у прямых. Для этого я подобрал имя «положение». Из геометрического сходства образуется понятие контуров, так что, например, вместо «Оба треугольника сходны» говорят: «Оба треугольника имеют равные контуры», или «Контуры одного треугольника равны контурам другого». Также и из коллинеарного сродства можно таким же образом получить понятие, для которого, пожалуй, всё ещё не достаёт названия.

§65. Теперь, чтобы, например, от параллелизма перейти к понятию направления, мы испробуем следующее определение:

Предложение

«Прямая а параллельна прямой b»

равнозначно с

«Направление прямой а равно направлению прямой b».

Это объяснение откланяется от привычного, поскольку оно, как кажется, устанавливает уже известное отношение равенства, тогда как на самом деле оно должно вводить выражение «направление прямой а», которое выглядит второстепенным. Отсюда вытекает второе сомнение, не впутают ли нас такие установления в противоречие с известными законами равенства. Каковы же эти законы? Как аналитические истины они могут развиваться из самого понятия. Так Лейбниц определяет:

«Eadem sunt, quorum unum potest substiti alteri salva veritate».

Данное объяснение для равенства я принимаю. Говорят ли «равные» или, как Лейбниц, «одни и те же» значения не имеет. «Одни и те же» на самом деле кажется совершенно совпадающим с «равные», только выражающим то или иное отношение; но можно принять такую манеру речи, где это различие пропадёт (например, если вместо «Расстояния равны по длине» говорить: «Длина расстояний является равной» или «одной и той же», а вместо «Поверхности равны по цвету» говорить: «Цвет поверхностей является равным»). Таким образом, мы и употребляли это слово в вышеприведённых примерах. На самом же деле в общей заменимости содержаться вообще все законы равенства.

Для оправдания нашей попытки определить направление прямой, мы должны, стало быть, указать, что

направление а

всюду можно заменить на

направление b,

если прямая а и прямая b параллельны. Последнее упрощается, прежде всего, благодаря тому, что о направлении прямой не известно никакого другого высказывания, кроме совпадения с направлением некой другой прямой. Стало быть, нам нужно в таком равенстве или содержании, включающем такие равенства в качестве составных частей, лишь указать на заменимость. Все другие высказывания о направлениях должны быть прежде объяснены и для этих определений мы можем установить правило, что заменимость направления одной прямой на направление прямой, ей параллельной, должна сохраняться.

§66. Но относительно нашей попытки определения возникает ещё и третье сомнение. В предложении

«(die) Направление а равно направлению b»

направление а выглядит как предмет, и наши определения дают нам средство отождествления этого предмета, если бы он выступал в другом одеянии, скажем, как направление b. Но этого средства не достаточно для всех случаев. Сообразно с ним нельзя, к примеру, решить, являются ли Англия и направление оси Земли одним и тем же. Да простят нам этот кажущийся бессмысленным пример! Естественно, никто не смешивает Англию с направлением оси Земли; но это - не заслуга нашего объяснения. Последнее ничего не говорит о том, подтверждается предложение

«Направление а равно q»

или же отрицается, если само q не дано в форме «направление b». Нам недостаёт понятия направления; если бы оно у нас имелось, мы могли бы это установить; если q - не направление, то наше предложение должно отрицаться; если q - направление, то решает прежнее объяснение. Итак, в первую очередь следует объяснить:

q является направлением, если существует прямая b, направлением которой является q.

Однако теперь ясно, что мы вращаемся по кругу. Чтобы это объяснение можно было применить в каждом случае, мы уже должны знать, подтверждается или отрицается предложение

«q равно направлению b».

§67. Если хотят сказать, что q является направлением, когда оно вводится посредством определения, о котором говорилось выше, то способ, которым вводится предмет q, должен трактоваться как его свойство, чем он не является. Определение предмета как таковое собственно ничего о нём не утверждает, но устанавливает значение знака. После того, как это случилось, оно преобразуется в суждение, в котором речь идёт о предмете, но теперь оно уже более его не вводит и находится на одном уровне с другими высказываниями о нём. Если избирается этот ход, необходимо предполагать, что предмет можно задать лишь единственным способом; ибо, в противном случае, из того, что q не вводится посредством нашего определения, не следовало бы, что оно не может быть таким образом введено. Все равенства получались бы тогда из того, что то, что задано одним и тем же способом, должно признаваться за одно и то же. Но это так очевидно и так неплодотворно, что об этом не стоит и говорить. Отсюда в самом деле нельзя извлечь никакого следствия, которое отличалось бы от каждой посылки. Разносторонние и важные применения равенств, напротив, основываются на том, что нечто можно отождествить, несмотря на то, что это нечто задаётся различными способами.

§68. Поскольку таким образом мы не можем получить точно ограниченного понятия направления и на том же самом основании точно ограниченного понятия числа, мы испробуем другой путь. Если прямая а параллельна прямой b, то объём понятия «прямая, параллельная прямой a» равен объёму понятия «прямая, параллельная прямой b»; и наоборот, если объём названных понятий равен, то а параллельна b. Стало быть, мы попробуем объяснить следующее:

Направление прямой а есть объём понятия «параллельна прямой а»;

Контуры треугольника d есть объём понятия «подобен треугольнику d».

Если мы хотим применить это к нашему случаю, то должны на место прямой или треугольника подставить понятие, а на место параллелизма или подобия - возможность взаимнооднозначного соотнесения предметов, подпадающих под одно и под другое понятие. Краткости ради, если имеется эта возможность, я буду называть понятие F и понятие G равночисленными, но должен просить, чтобы данное слово рассматривалось как произвольно выбранный способ обозначения, чьё значение заимствовано не языковым подбором, но данным установлением.

Итак, я определяю:

Число, соответствующее понятию F, есть объём понятия «равночисленно понятию F».

§69. То, что это объяснение подходит, поначалу, пожалуй, едва ли очевидно. Разве под объёмом понятий не мыслится нечто иное? То, что под этим понимается, становится ясным из изначальных высказываний, которые можно сделать об объёмах понятий. Они следующие:

равенство;

что один шире, чем другой.

Итак, предложение:

Объём понятия «равночисленно понятию F» равен объёму понятия «равночисленно понятию G»

всегда истинно тогда и только тогда, когда и предложение

«Понятию F соответствует то же самое число, как и понятию G»