Часть 5.

является истинным. Стало быть, здесь имеется полное согласие. Правда, не говорят, что одно число шире другого, в том смысле, в котором объём одного понятия шире, чем объём другого; однако не случается также и то, чтобы

объём понятия «равночисленно понятию F»

был шире, чем

объём понятия «равночисленно понятию G»;

но все понятия, равночисленные G, также равночисленны и F, таким же образом и наоборот, все понятия, равночисленные F, равночисленны G. Данное «шире» естественно не совпадает с «больше», которое встречается у чисел.

Разумеется, все ещё допустим случай, когда объём понятия «равночисленно понятию F» более или менее широк, чем объём другого понятия, который тогда, согласно нашему объяснению, не может быть числом; и не принято называть число более или менее широким, чем объём понятия; но и тому, чтобы принять такую манеру речи - если бы подобное когда-нибудь произошло - также ничего не препятствует.

ДОПОЛНЕНИЕ И ПРОВЕРКА НАШЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

§70. Определения оказываются пригодными благодаря их плодотворности. Те из них, которые с таким же успехом могут отсутствовать без того, чтобы в процедуре доказательства открывались пробелы, должны отбрасываться как совершенно ничего не стоящие.

Мы, стало быть, следует попробовать, допустимо ли произвести из нашего объяснения числа, соответствующего понятию F, известное свойство чисел! Здесь мы довольствуемся самым простым.

Для этого необходимо всё ещё как-то точнее схватить равночисленность. Мы объяснили её с помощью взаимнооднозначного соотнесения, и сейчас нужно изложить то, как я хочу понимать данное выражение, так как в этом легко можно предположить нечто созерцаемое.

Рассмотрим следующий пример! Если официант хочет быть уверен, что он положил на стол ножей столько же, сколько тарелок, ему нет надобности считать каждый из них; если только он справа от каждой тарелки рядом положил нож, тогда каждый нож на столе находится рядом справа от тарелки. Тарелки и ножи взаимнооднозначно соотнесены друг с другом, и притом, в равном соотношении местоположений. Если мы в предложении

«а находится рядом справа от А»

для а и А мыслим подставленными всё новые и новые предметы, остающаяся при этом неизменной часть содержания составляет сущность отношения. Это следует обобщить!

Обособив а и b в выразимом суждением содержании, в котором речь идёт о предмете а и предмете b, мы, таким образом, сохранили оставшееся понятие отношения, которое согласно этому двояким способом нуждается в дополнении. Если в предложении

«Земля по массе больше, чем Луна»

мы обособим «Земля», то сохраним понятие «по массе больше, чем Луна». Если мы, напротив, обособим предмет «Луна», то получим понятие «по массе меньше, чем Земля». Но если мы одновременно обособим и то, и другое, то обратно останемся с понятием отношения, которое само по себе одно имеет столь же мало смысла, как и обыкновенное понятие: оно всегда требует дополнения для выразимого суждением содержания. Но это может произойти различными способами; вместо Земля и Луна я могу, например, поставить Солнце и Земля и способствовать обособлению как раз благодаря этому.

Отдельная пара соотнесённых предметов относится - можно сказать как субъекты - к понятию отношения, подобно тому, как отдельный предмет относится к понятию, под которое он подпадает. Субъект здесь является составным. Иногда, когда отношение обратимо, это к тому же выражается в языке, как в предложении «Пелей и Фетис были родителями Ахилла». В сравнении с последним содержание предложения «Земля больше, чем Луна» так преобразовать возможно не вполне, потому что «и» всегда указывает на определённую уравненность. Но это к делу не относится.

Понятие отношения как простое, стало быть, принадлежит чистой логике. Здесь учитывается не особое содержание отношения, но только логическая форма. И чтобы о ней не утверждалось, истинность этого является аналитической и известной a priori. Для понятий отношения это имеет силу, как и для других.

Подобно тому, как

«а подпадает под понятие F»

является общей формой выражаемого суждением содержания, имеющего дело с предметом а, так и

«а находится в отношении f к b»

можно считать общей формой выражаемого суждением содержания, имеющего дело с предметом а и предметом b.

§71. Теперь, если каждый предмет, подпадающий под понятие F, находится в отношении f к предмету, подпадающему под понятие G, и если к каждому предмету, подпадающему под G, в отношении f находится предмет, подпадающий под F, то предметы, подпадающие под F и G, соотнесены друг с другом посредством отношения f.

Всё ещё можно спросить, что означает выражение

«Каждый предмет, подпадающий под F, находится в отношении f к предмету, подпадающему под G»,

если предмет вовсе не подпадает под F. Под этим я понимаю:

Оба предложения

«а подпадает под F»

и

«а не находится в отношении f к предмету, подпадающему под G»,

не могут сосуществовать друг с другом, при любом значении а; тогда или первое, или второе, или оба являются ложными. Отсюда получается, что «каждый предмет, подпадающий под F, находится в отношении f к предмету, подпадающему под G», потому как, если нет предмета подпадающего под F, тогда первое предложение

«а подпадает под F»

должно всегда отрицаться, при любом а.

Также

«К каждому предмету, подпадающему под G, в отношении f находится предмет, подпадающий под F»

означает, что оба предложения

«а подпадает под G»

и

«Предмет, подпадающий под F, не находится в отношении f к а»

не могут сосуществовать друг с другом, при любом а.

§72. Итак, мы видели, когда предметы, подпадающие под понятия F и G, соотнесены друг с другом посредством отношения f. Здесь это соотнесение должно быть взаимнооднозначным. Под этим я понимаю, что имеют силу оба следующих предложения:

Если d находится в отношении f к а, и если d находится в отношении f к е, тогда а всегда есть одно и то же с e, при любых d, а и е;

Если d находится в отношении f к а, и если b находится в отношении f к а, тогда d всегда есть одно и то же с b, при любых d, b и а.

Этим мы свели взаимнооднозначное соотнесение к чисто логическим обстоятельствам и теперь можем дать следующее определение:

Выражение

«Понятие F равночисленно понятию G»

равнозначно выражению

«Существует отношение f, которое взаимнооднозначно соотносит предметы, подпадающие под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G».

Я повторю:

Число, соответствующее понятию F, есть объём понятия «равночисленно понятию F»,

и добавлю:

Выражение

«n есть число»

равнозначно выражению

«Существует понятие такое, что n есть соответствующее ему число».

Понятие числа, таким образом, объяснено; но, по-видимому, само через себя, однако всё-таки без изъяна, поскольку уже объяснено «число, соответствующее понятию F».

§73. Теперь мы хотим сразу же показать, что число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если понятие F и понятие G равночисленны. Конечно, последнее звучит тавтологично, но это не так, ведь значение слова «равночисленно» получено не подбором, но из объяснения, данного выше.

Согласно нашему определению необходимо показать, что если понятие F равночисленно понятию G, то объём понятия «равночисленно понятию F» такой же, как объём понятия «равночисленно понятию G». Другими словами, нужно доказать, что согласно этому предположению значение всеобщности имеют предложения:

Если понятие H равночисленно понятию F, то оно также равночисленно понятию G;

и

Если понятие Н равночисленно понятию G, то оно также равночисленно понятию F.

Из первого предложения вытекает, что существует отношение, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие Н, с предметом, подпадающим под понятие G, если существует отношение f, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие F, с предметом, подпадающим под понятие G, и если существует отношение y, которое взаимнооднозначно соотносит предмет, подпадающий под понятие Н, с предметом, подпадающим под понятие F. Следующее расположение букв сделало бы это наглядным:

Н y F f G.

Фактически, такое отношение может быть задано; оно присутствует в содержании

«Существует предмет, к которому в отношении y находится с и который находится в отношении f к b»,

если мы обособим в нём с и b (рассматривая их как пункты отношения). Можно показать, что это отношение является взаимнооднозначным, и что оно соотносит предметы, подпадающие под понятие Н, с предметами, подпадающими под понятие G.

Сходным образом может быть доказано и другое предложение. Это указание, надеюсь, в достаточной степени позволило объяснить, что здесь мы не нуждались в том, чтобы заимствовать основание доказательства у созерцания, и что с нашими определениями можно что-то делать.

§74. Теперь мы можем перейти к объяснению отдельных чисел.

Поскольку под понятие «неравное себе» ничего не подпадает, я объясняю:

0 - это число, соответствующее понятию «не равное себе».

Быть может, то, что я говорю здесь о понятии, сочтут шокирующим. Быть может, возразят, что в этом содержится противоречие, и упомянут старых знакомых, деревянное железо и круглый квадрат. Ныне я полагаю, что они вовсе не так плохи, как их подают. Правда от них нет никакой пользы; но они также не могут принести и вреда, если только не предполагать, что под них нечто подпадает; а при голом употреблении понятий этого всё же не происходит. То, что понятие содержит противоречие, не всегда очевидно до такой степени, что исследования не требуется; для исследования же понятие необходимо прежде иметь и трактовать логически так же, как и всё другое. Всё, что со стороны логики и для строгости доказательства можно требовать от понятия, это его точные границы, чтобы для каждого предмета было определено, подпадает он под него или нет. Этому требованию всецело удовлетворяют понятия, содержащие противоречия, типа «не равное себе»; ибо для каждого предмета известно, что он под таковое не подпадает.

Я использую слово «понятие» таким способом, чтобы

«а подпадает под понятие»

представляло собой общую форму выразимого суждением содержания, в котором речь идёт о предмете а, и которое сохраняло бы выразимость суждением, независимо от того, что подставляется вместо а. И в этом смысле

«а подпадает под понятие «не равное себе»»

равнозначно с

«а не равно себе»

или

«а не равно а».

Я могу принять за определение 0 любое другое понятие, под которое ничего не подпадает. Но дело в том, что мне нужно выбрать такое понятие, которое может быть доказано чисто логически; и для этого «не равное себе» представляется удобным. Причём для «равное» я признаю приведённое выше объяснение Лейбница, являющееся чисто логическим.

§75. Теперь с помощью прежних установлений должно быть возможным доказательство того, что каждое понятие, под которое ничего не подпадает, равночисленно с каждым понятием, под которое не подпадает ничего, и только с такими понятиями; отсюда следует, что 0 - это число, соответствующее такому понятию, и что предметы не подпадают под понятие, если соответствующее ему число есть 0.

Если мы предполагаем, что ни один предмет не подпадает ни под понятие F, ни под понятие G, то нам, чтобы доказать равночисленность, необходимо отношение f, для которого имеют силу предложения:

Каждый предмет, подпадающий под F, находится в отношении f к каждому предмету, подпадающему под G; к каждому предмету, подпадающему под G, в отношении f находится предмет, подпадающий под F.

После того, что прежде говорилось о значении этих выражений, каждое отношение, по нашему предположению выполняет эти условия, а, стало быть, также и равенство, которое сверх того является взаимнооднозначным; поскольку для него действительны оба требуемых выше для этого предложения.

Если, напротив, под G подпадает предмет, например, а, в то время как под F не подпадает ни один, то друг с другом сосуществуют два предложения

«а подпадает под G»

и

«не подпадающий под F предмет находится к а в отношении f»

для любого отношения f, так как первое оправдывается первым предположением, а второе - вторым. Т.е., если предмет, подпадающий под F, не существует, то не существует также и такого предмета, который находится к а в каком-нибудь отношении. Стало быть, не существует отношения, которое согласно нашему объяснению соотносит предметы, подпадающие под F, с предметами, подпадающими под G, и согласно этому, понятия F и G неравночисленны.

§76. Теперь я хочу объяснить отношение, в котором находятся друг к другу по два смежных члена натурального ряда чисел. Предложение:

«Понятие F и подпадающий под него предмет х существуют таким способом, что n - это число, соответствующее понятию F, и что m - это число, соответствующее понятию «подпадающий под F, но не равный х»»

равнозначно с

« В натуральном ряду чисел n следует непосредственно за m».

Я избегаю выражения «n - это (die) число, идущее следом за m», поскольку для оправдания определённого артикля прежде должны быть доказаны два предложения. На том же самом основании я ещё не говорю здесь «n = m + 1»; так как благодаря знаку равенства (m + 1) также характеризуется как предмет.

§77. Чтобы теперь перейти к числу 1, мы должны сразу же показать, что существует нечто такое, что в натуральном ряду чисел следует непосредственно за 0.

Мы рассмотрим понятие - или, если угодно, предикат - «равно 0»! Под него подпадает 0. Напротив, под понятие «равно 0, но не равно 0» не подпадает никакой предмет, так что 0 - это число, которое принадлежит данному понятию. Таким образом, у нас есть понятие «равно 0» и некий предмет 0, под него подпадающий; отсюда имеет силу следующее:

Число, соответствующее понятию «равно 0», равно числу, соответствующему понятию «равно 0»;

0 - это число, соответствующее понятию «равно 0, но не равно 0».

Стало быть, согласно нашему объяснению, число, соответствующее понятию «равно 0», в натуральном ряду чисел непосредственно следует за 0.

Если теперь мы определяем:

1 - это число, соответствующее понятию «равное 0»,

то данное предложение можно выразить так:

В натуральном ряду чисел 1 следует непосредственно за 0.

Пожалуй, нелишне заметить, что определение 1, к его объективному оправданию, предполагалось вне наблюдаемого факта; ибо в возможность определения легко впутать необходимость выполнения известных субъективных условий, а кроме них и то, что возбуждают в нас чувственные восприятия. Оно всё равно может соответствовать, без того, чтобы производные предложения оставались бы априорными. К таковым условиям относится, например, то, чтобы кровь, - по крайней мере, насколько мы знаем, - в достаточном изобилии и подходящего качества циркулировала в мозге, но истинность нашего последнего предложения от этого не зависит; оно имеет место быть, даже если циркуляция прекращается; и даже если все разумные существа когда-нибудь одновременно впадут в зимнюю спячку, оно не будет упразднено на столь же долгое время, но останется совершенно незатронутым. Быть истинным для предложения как раз не означает быть мыслимым.

§75. Здесь я предлагаю последовать нескольким предложениям, которые доказываются при помощи наших определений. Читатель легко увидит, как это можно осуществить.

Если в натуральном ряду чисел а следует непосредственно за 0, то а = 1.

Если 1 - это число, соответствующее понятию, то существует предмет, подпадающий под это понятие.

Если 1 - это число, соответствующее понятию F, тогда, если предмет х подпадает под понятие F и если у подпадает под понятие F, то х = у; т.е. х есть одно и то же, что и у.

Если под понятие F подпадает предмет, и если с тем, что х подпадает под понятие F и у подпадает под понятие F, всегда объединено х = у, то 1 - это число, соответствующее понятию F.

Отношение m к n, устанавливаемое посредством предложения:

«В натуральном ряду чисел n следует непосредственно за m»,

является взаимнооднозначным.

Здесь ещё ничто не говорит о том, что для каждого числа существует другое число, которое следует непосредственно за ним или за которым оно непосредственно следует в ряду чисел.

В натуральном ряду чисел, каждое число, кроме 0, непосредственно следует за неким числом.

§79. Для доказательства того, что в натуральном ряду чисел за каждым числом (n) непосредственно следует число, необходимо предъявить понятие, которому соответствует предыдущее число. В качестве такового мы выбираем:

« принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n»,

что сразу требует объяснения.

Прежде я воспроизведу другими словами определение последовательности в ряду, данное мной в «Шрифте понятий».

Предложение

«Если каждый предмет, к которому в отношении f находится х, подпадает под понятие F, и если из того, что d подпадает под понятие F, при любом d, всегда следует, что каждый предмет, к которому d находится в отношении f, подпадает под понятие F, то у подпадает под понятие F, каким бы ни было понятие F»

равнозначно с

«у следует в f-ряду за х»

и с

«х идёт в f-ряду за у».

§80. К этому не лишними были бы несколько замечаний. Так как отношение f остаётся неопределённым, то ряд необязательно мыслить в форме пространственного или временного расположения, хотя этот случай не исключается.

Пожалуй, для большей естественности можно принять другое объяснение, к примеру: если, отправляясь от х, мы всегда переносим внимание с одного предмета на другой, к которому он находится в отношении f, и если таким образом можно, наконец, достичь у, то говорят, что у следует за х в f-ряду.

Последнее помогает понять суть дела, а не определение. Достигнем ли мы у при смещении нашего внимания, может зависеть от разных сопутствующих субъективных обстоятельств, например, от находящегося в нашем распоряжении времени или от нашего знания вещей. Следует ли у за х в f-ряду, не имеет ничего общего с нашим вниманием и с условиями его поступательного движения, но представляет собой нечто объективное; так же и зелёный лист отражает определённые световые лучи независимо от того, попадают они мне в глаза, вызывая ощущения, или же нет; так же крупицы соли растворимы в воде, независимо от того, бросаю я их в воду, наблюдая за этим процессом, или же нет, они растворимы даже в том случае, когда я вообще не имею возможности провести данный опыт.

Благодаря моему объяснению суть дела переводится из области субъективных возможностей в область объективной определённости. В самом деле, то, что из одних предложений следует другое, есть нечто объективное, независящее от законов движения нашего внимания, и безразлично, осуществляем ли мы вывод на самом деле. Здесь у нас есть признак, который всегда разрешает данный вопрос там, где он может быть поставлен; и если этот признак наличествует, мы можем вынести суждение, даже если в отдельных случаях нам мешают внешние затруднения. Для сути дела это собственно безразлично.

Для уверенности, что предмет следует за неким членом, нам не всегда нужно просматривать все промежуточные члены от начального до данного предмета. Если, например, дано, что в f-ряду b следует за а, а с следует за b, то мы можем согласно нашему объяснению заключить, что с следует за а, без того, чтобы знать промежуточные члены.

Благодаря этому только и возможно определение следования в ряду, а способ вывода от n к (n + 1), который кажется свойственным математике, приводится к всеобщим логическим законам.

§81. Если теперь как отношение f у нас есть отношение, в котором m установлено к n предложением

«В натуральном ряду чисел n непосредственно следует за m»,

то вместо «f-ряд» мы говорим «натуральный ряд чисел».

Далее я определяю:

предложение

«у следует за х в f-ряду, или же у есть то же самое, что и х»

равнозначно с

«у принадлежит f-ряду, начинающемуся с х»

и с

«х принадлежит f-ряду, оканчивающемуся на у».

Согласно этому, а принадлежит натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n, если в натуральном ряду чисел n следует за а или равно а.

§82. Теперь следует показать, что - при уже заданном условии - число, соответствующее понятию

«принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n»,

следует непосредственно за n в натуральном ряду чисел. Благодаря этому тогда доказывается, что существует число, которое в натуральном ряду чисел следует непосредственно за n, и что не существует конечного члена данного ряда. Очевидно, что данное предложение нельзя установить эмпирическим способом или посредством индукции.

Демонстрация здесь самого доказательства увела бы нас далеко. Можно только кратко указать его ход. Следует доказать:

Если в ряду натуральных чисел а непосредственно следует за d, и если для d имеет силу то, что:

число, соответствующее понятию

«принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на d»,

непосредственно следует за d в натуральном ряду чисел,

то для а также имеет силу:

число, соответствующее понятию

«принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на а»,

непосредственно следует за а в натуральном ряду чисел.

Во-вторых, следует доказать, что для 0 имеет силу то, что в только что приведённых предложениях говорилось о d и а, и затем вывести, что это также имеет силу и для n, если n принадлежит натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0. Данный способ вывода есть такое применение определения, переданное мной выражением

«у следует за х в натуральном ряду чисел»,

что общие выражения о d и а следует принимать в качестве понятия F о 0 и n.

§83. Чтобы доказать предложение (1) предыдущего §, мы должны показать, что а - это число, соответствующее понятию «принадлежащий натуральному ряду чисел, заканчивающемуся на а, но не равное а». А для этого вновь следует доказать, что данное понятие имеет объём, равный объёму понятия «принадлежащий натуральному ряду чисел, заканчивающемуся на d». Для этого требуется предложение о том, что предмет, принадлежащий натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0, не может в натуральном ряду чисел следовать за самим собой. Это также должно доказываться с помощью нашего определения последовательности в ряду, как указано выше.

Таким образом, это вынуждает нас к предложению, что число, соответствующее понятию

«принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n»,

непосредственно следует за n в натуральном ряду чисел, добавить условие, что n принадлежит натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0. Для этого употребителен более краткий способ выражения, который я теперь и объясняю:

Предложение

«n принадлежит натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0»

равнозначно с

«n есть конечное число».

Тогда указанное предложение мы можем выразить так: конечное число в натуральном ряду чисел не следует за самим собой.

БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛА

§84. Конечным противостоят бесконечные числа. Число, соответствующее понятию «конечное число», является бесконечным. Обозначим его, скажем, так ?1! Если бы оно было конечным, то оно не могло бы следовать за самим собой в натуральном ряду чисел. Но можно показать, что с ?1 это происходит.

В числе ?1, объяснённом таким образом, нет ничего сколько-нибудь таинственного или чудесного. «Число, соответствующее понятию F, есть ?1» означает не более и не менее чем: существует отношение, которое взаимнооднозначно соотносит предметы, подпадающие под понятие F, с конечными числами. После наших объяснений это имеет совершенно ясный и однозначный смысл; этого достаточно, чтобы оправдать употребление знака ?1 и обеспечить ему значение. То, что мы не можем образовать для себя никакого представления о бесконечном числе, совершенно не важно, это же относится и к конечным числам. Наше число ?1 обладает, таким образом, чем-то столь же определённым, как и любое конечное число: оно отождествляемо в качестве одного и того же, и, несомненно, отличается от любого другого.

§85. Бесконечные числа не так давно ввёл Г.Кантор в своей замечательной работе. Я всецело поддерживаю его в оценке мнения, которое за действительные вообще желает признавать только конечные числа. Чувственно воспринимаемыми и пространственными не являются ни они, ни дроби, ни отрицательные, ни иррациональные, ни комплексные числа; и если действительным называют то, что воздействует на чувства, или то, что как минимум имеет такое влияние, которое может иметь чувственное восприятие на приближённые или отдалённые последствия, то, конечно, эти числа не являются действительными. Но мы также вовсе не нуждаемся в таких восприятиях как основаниях доказательства наших теорем. Имя или знак, для введения которого нет логических возражений, мы можем безбоязненно использовать в наших исследованиях; таким образом, наше число ?1 столь же обоснованно, как два или три.

Правда, утверждая о согласии с Кантором, я всё же несколько отступаю от него в терминологии. Моё число он называет «мощность», в то время как его понятие числа учитывает ссылку на упорядочивание. Конечные числа, разумеется, независимы от следования в ряду, иное дело бесконечно большие. Использование слова «число» и вопрос «сколько?» не содержат указания на определённое упорядочивание. Число у Кантора скорее отвечает на вопрос: «Какой член последовательности является крайним?» Поэтому, мне кажется, что моё название лучше согласуется со словоупотреблением. Если расширять значение слова, то следовало бы обратить внимание на то, чтобы возможно большее количество общих предложений сохраняло его значение и особенно таких основополагающих, которые устанавливают для чисел независимость от следования в ряду. Нам совершенно не было надобности в расширении, поскольку наше понятие числа сразу объемлет также и бесконечные числа.

§86. Чтобы получить своё бесконечное число, Кантор вводит понятие отношения следования в последовательности, которое отклоняется от моего «следования в ряду». Согласно ему, например, последовательность возникает, если конечные, положительные целые числа располагаются таким образом, чтобы нечётные числа сами по себе в своей естественной очерёдности, а также чётные числа в своём следовании друг за другом, в дальнейшем устанавливались так, что каждое чётное число должно следовать за каждым нечётным. В этой последовательности, например, 0 следовал бы за 13. Но числа, непосредственно предшествующего 0, нет. Это как раз тот случай, который не может возникнуть при моём определении следования в ряду. Можно строго доказать без аксиомы, использующей созерцание, что если у следует за х в f-ряду, существует предмет, который в этом ряду непосредственно предшествует у. Итак, мне кажется, что следованию в последовательности и числу у Кантора всё-таки недостаёт точных определений. Так, Кантор ссылается на какое-то таинственное «внутреннее созерцание», когда стремится добыть доказательство из определений, что, пожалуй, возможно. Ибо, я думаю, предвидимо, как можно было бы определить указанные понятия. Во всяком случае, посредством этих замечаний я совершенно не хочу подвергнуть нападкам их правомочность и плодотворность. Напротив, я приветствую в его исследованиях расширение науки, особенно потому, поскольку, благодаря им, всё более торным становится чисто арифметический путь к бесконечно большим числам (мощностям).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

§87. Надеюсь, в данном сочинении я сделал правдоподобным то, что арифметические законы являются аналитическими, а, следовательно, априорными суждениями. Сообразно этому, арифметика была бы лишь дальнейшим развитием логики, а каждое арифметическое предложение было бы логическим законом, хотя и производным. Применение арифметики к объяснению природы было бы логической обработкой наблюдаемых фактов; счёт был бы выведением следствий. Законы чисел, чтобы быть применимыми к внешнему миру, не нуждаются, как полагает Бауман, испытания практикой; ибо во внешнем мире, в совокупности пространственного нет понятий, нет свойств понятий, нет чисел. Стало быть, законы чисел собственно не применимы к внешним вещам; они не являются законами природы. Они не утверждают связь между естественными явлениями, но утверждают таковую между суждениями; а к последним принадлежат и законы природы.

§88. Кант (вероятно, в результате более узкого определения понятия) недооценивал значение аналитических суждений, хотя, как кажется, ему чудилось более широкое понятие, которое используется здесь. Если положить в основание его определение, деление суждений на аналитические и синтетические не является исчерпывающим. В данном случае он мыслит общеутвердительное суждение. Тогда, согласно определению, относительно понятия субъекта можно вести речь и спрашивать о том, содержится ли в нём понятие предиката. Но как быть, если субъект представляет собой единственный предмет, или если имеют дело с суждением о существовании? Тогда, в этом смысле и речи быть не может о понятии субъекта. Кант, по-видимому, думает определить понятие посредством заданных признаков; но такое образование понятий наименее продуктивно. Если мы окинем взглядом данные выше определения, то едва ли найдём образование понятий по этому способу. То же самое имеет силу и для действительно продуктивных определений в математике, например, непрерывности функции. Ведь у нас есть не ряд заданных признаков, но, я бы сказал, более интимная, более органичная связь определений. Различие можно сделать наглядным, используя геометрический образ. Если понятия (или их объёмы) изобразить на поверхности ограниченными областями, то понятиям, определённым посредством заданных признаков, соответствует область, для которой общими являются признаки всех областей; она окружена частями их границ. При таком определении, если говорить об образе, речь также идёт о том, чтобы уже заданные линии применить новым способом для ограничения области. Но при этом не появляется ничего существенно нового. Более продуктивные определения понятий в том, чтобы указать линии границ, которые ещё совсем не были заданы. То, что из них можно вывести, обозревается не с самого начала; при этом не просто из сундука снова извлекается то, что там схоронилось. Такие выводы расширяют наше знание, а поэтому, их, следуя Канту, нужно считать синтетическими; и всё-таки их можно доказать чисто логически, и они к тому же аналитические. Действительно, они содержаться в определениях, но не как брёвна в доме, а как растения в семенах. Часто несколько определений используется для доказательства предложения, которое, таким образом, не содержится в них по отдельности и всё же вытекает из них всех в совокупности.

§89. Я должен также возразить на общее утверждение Канта, что без чувственности нам не были бы даны предметы. Ноль, один суть предметы, которые не могут быть даны нам чувственно. Даже те, кто малые числа считает наглядными, всё же должны согласится, что наглядно нам не могут быть даны числа большие, чем (10001000)1000, и что всё-таки мы о них кое-что знаем. Вероятно, Кант использует слово «предмет» в каком-то другом смысле; но тогда ноль, один, наше ?1 совершенно выпадают из его рассмотрения, поскольку они также не являются понятиями, и к тому же от понятий Кант требует, чтобы им в созерцании прилагался предмет.

Для того чтобы меня не упрекнули в мелочных придирках к гению, которому нам следует лишь внимать с благодарным восхищением, я думаю, необходимо также подчеркнуть согласие, которое во многом преобладает. Если затрагивать только непосредственно лежащее на поверхности, я вижу большую заслугу Канта в том, что он провёл различие между синтетическими и аналитическими суждениями. Называя геометрические истины синтетическими и априорными, он раскрыл их подлинную сущность. И даже сейчас это заслуживает повторения, поскольку зачастую всё ещё не признаётся. Если Кант и заблуждался относительно арифметики, то для его заслуг, я думаю, это не существенный ущерб. Дело в том, что существуют синтетические суждения a priori; а встречаются ли они только в геометрии или также и в арифметике менее значимо.

§90. Я не притязаю на то, чтобы сделать аналитическую природу арифметических предложений более чем вероятной, поскольку всё равно всегда остаётся сомнение, можно ли вывести их доказательство совершенно из чисто логических законов, не вмешивается ли где-нибудь незаметно основание доказательства иного вида. Это сомнение полностью не устраняется даже указаниями, которые я добавил при доказательстве отдельных предложений; оно может быть снято лишь посредством лишённой пробелов цепи выводов, так чтобы не совершался шаг, который не согласуется с одним из немногих способов вывода, признанных за чисто логические. До сего времени таким образом едва ли было выведено хоть одно доказательство, поскольку математики довольствуются тем, чтобы каждый переход к новому суждению был очевидно правильным, не задаваясь вопросом о том, какова природа этой очевидности, является она логической или же относится к созерцанию. Такой шаг часто является весьма сложным и равноценен большему числу простых выводов, наряду с которыми может присутствовать нечто, вытекающее из созерцания. В математике продвигаются скачками, и отсюда возникает кажущееся исключительным богатство способов вывода; поскольку, чем значительнее скачок, тем более многочисленные комбинации могут заменять простые выводы и аксиомы созерцания. Тем не менее, такой переход нам часто непосредственно очевиден, без того, чтобы осознавались промежуточные ступени; и поскольку он не изображается как опознанный логический способ вывода, мы готовы тотчас же принять очевидность за созерцаемую, а открываемую истину за синтетическую, даже тогда, когда сфера значимости, очевидно, выходит за рамки созерцаемого.

На этом пути невозможно, основываясь на созерцании, чисто развести синтетическое и аналитическое. Не удаётся также полностью сопоставить аксиомы созерцания с уверенностью, что каждое математическое доказательство можно выводить из этих аксиом согласно логическим законам.

§91. Следовательно, требование избежать скачка в выведении следствий, неопровержимо. То, что его так трудно удовлетворить, связано с продолжительностью пошагового выполнения этой процедуры. Каждое сколько-нибудь усложнённое доказательство угрожает принять чудовищные размеры. К этому нужно добавить, что чрезмерно большое многообразие логических форм, выраженных в языке, затрудняет ограничение круга способов вывода, достаточных во всех случаях и легко обозримых.

Чтобы уменьшить этот недостаток, я придумал свой шрифт понятий. Он должен добиваться большей краткости и наглядности выражений и обходиться согласно способу вычисления меньшим числом твёрдо установленных форм, так чтобы не допускать перехода, который не согласуется с правилом, установленным раз и навсегда. Тогда основание доказательства не может вкрасться незамеченным. Так без заимствования аксиомы у созерцания я доказал предложение, которое на первый взгляд может быть принято за синтетическое и которое я хочу здесь выразить следующим образом:

Если отношение каждого члена ряда к последующему является однозначным, и если m и y в этом ряду следуют за x, то у в этом ряду либо предшествует m, либо совпадает с m, либо следует за m.

Из этого доказательства можно усмотреть, что предложения, расширяющие наше знание, могут включать аналитические суждения.