Часть 6.

ДРУГИЕ ЧИСЛА

§92. До сих пор мы ограничивали наше рассмотрение кардинальными числами. Теперь нам всё-таки следует обратить внимание на другие виды чисел и попытаться использовать для более широкой области то, что мы узнали относительно более узкой!

Проясняя смысл вопроса о возможности некоторых чисел, Ханкель говорит:

«Сегодня число более не является вещью, субстанцией, самостоятельно существующей вне мыслящего субъекта и афицирующих его объектов, самостоятельным принципом, по типу того, как это было у пифагорейцев. Поэтому, вопрос о существовании может указывать только на познающего субъекта или познаваемые объекты, отношения которых изображают числа. В математике за невозможное в строгом смысле считается только то, что невозможно логически, т.е. то, что самопротиворечиво. То, что нельзя допускать числа, невозможные в этом смысле, в доказательстве не нуждается. Но если соответствующие числа логически возможны, их понятие определяется ясно и точно, а, стало быть, без противоречия, то этот вопрос зависит только от того, существует ли в области реального или в созерцании действительного, актуального их субстрат, существуют ли объекты, которые приводят к явлению числа, а, стало быть, интеллигибельные отношения определённого вида».

§93. Относительно первого предложения можно сомневаться, существуют ли числа, согласно Ханкелю, в мыслящем субъекте, в афицирущих последнего объектах или же и в тех, и в других. Во всяком случае в пространственном смысле они не находятся ни вне, ни внутри ни субъекта, ни объекта. Однако они, пожалуй, вне субъекта в том смысле, что они не являются субъективными. Тогда как, каждый чувствует лишь свою боль, своё желание, свой голод, может иметь своё впечатление звука и цвета, число для многих может быть общим предметом, а именно, у всех оно в точности одно и то же, а не более или менее сходное внутреннее состояние у разных людей. Когда Ханкель хочет отнести вопрос о существовании к мыслящему субъекту, этим он, по-видимому, сводит его к психологическому вопросу, каковым тот никоим образом не является. Математика не занимается природой нашей души, и ответ, на какой угодно психологический вопрос должен быть для неё совершенно безразличным.

§94. Необходимо оспорить также и то, что математики считают за невозможное только самопротиворечивое. Понятие допустимо, даже если его признаки содержат противоречие; нельзя лишь допускать, что под него нечто подпадает. Но из того, что понятие не содержит противоречие, ещё нельзя вывести, что под него нечто подпадает. Как вообще можно доказать, что понятие не содержит противоречие? Это ясно отнюдь не всегда; из того, что противоречия не видно, не следует, что его здесь нет, и ясность определения не даёт на это гарантий. Ханкель доказывает, что поле комплексных чисел более высокого порядка, чем обычное, содержит противоречие, если подчиняется всем законам сложения и умножения. Этого не видно тотчас же, а как раз должно быть доказано. До того, как это произойдёт, кто-то всё же может, используя такое поле чисел, достичь замечательных результатов, обоснование которых было бы не хуже чем то, которое Ханкель даёт теории детерминант с помощью изменяемых чисел; ибо кто поручится за то, что в этом понятии также не содержится скрытое противоречие? И даже если таковое вообще можно исключить для сколь угодно многих изменяемых единиц, отсюда всё-таки не следует, что такие единицы существуют. А как раз это нам и нужно. В качестве примере возьмём теорему 18 из первой книги Элементов Евклида:

В любом треугольнике большей стороне противолежит больший угол.

Чтобы доказать это, на большей стороне AC Евклид откладывает сегмент AD, равный меньшей стороне АВ, и при этом ссылается на прежнюю конструкцию. Доказательство разрушилось бы само собой, если бы такой точки не было, но этого не достаточно, чтобы в понятии «точка на АС, расстояние которой от А равно расстоянию от В» не обнаруживалось противоречие. Теперь В соединяется с D. То, что такая прямая существует, - предложение, на которое также опирается доказательство.

§95. Отсутствие противоречия в понятии можно, пожалуй, объяснить лишь доказательством того, что под него нечто подпадает. Обратное было бы ошибкой. В эту ошибку впадает Ханкель, когда, ссылаясь на равенство x + b = c, говорит:

«Очевидно, что, если b > c, то в ряду 1, 2, 3, ... не существует числа x, решающего данную задачу; вычитание тогда невозможно. Однако в этом случае ничто не мешает нам рассматривать разность (с - b) как знак, который решает задачу и с которым нужно оперировать точно так же, как если бы он был кардинальным числом из ряда 1, 2, 3, ... .»

Правда, что-то мешает нам безоговорочно рассматривать (2 - 3) как знак, решающий задачу; поскольку пустой знак задачу как раз и не решает; без содержания он есть лишь чернила или типографская краска на бумаге; как таковой он обладает физическими свойствами, но не свойствами, которые даёт умножение 3 на 2. Собственно, он вовсе не знак, и использование его как такового было бы логической ошибкой. Также и в случае, когда с < b, задачу решает не знак («c - b»), но его содержание.

§96. С таким же успехом можно сказать, что среди известных до сих пор чисел нет таких, которые одновременно удовлетворяли бы равенствам

х + 1 = 2 и х + 2 = 1;

однако ничто не мешает нам ввести знак, решающий эту задачу. Скажут: но задача содержит противоречие. Конечно, если в качестве решения требуют действительного или обычного комплексного числа; но нам следует расширить нашу систему чисел и создать числа, которые удовлетворяют требованию! Подождём, докажет ли нам кто-нибудь противоречие! Кто знает, что возможно относительно этого нового числа? Тогда мы, конечно, не могли бы считать вычитание однозначным; однако, если мы хотим ввести отрицательные числа, мы должны отказаться также от однозначности знака извлечения корня; благодаря комплексным числам многозначными становятся логарифмы.

Почему бы не создать также числа, которые позволяли бы складывать расходящиеся ряды? Нет, математик в состоянии создать что угодно, в столь же малой степени, как и географ; он также может лишь обнаружить то, что есть, и дать этому название.

Этой ошибкой страдает формальная теория дробей, отрицательных и комплексных чисел. Устанавливается требование, чтобы известные правила счёта по возможности сохранялись для вновь введённых чисел, а отсюда выводятся общие свойства и отношения. Если нигде не сталкиваются с противоречием, то введение новых чисел считается оправданным, как будто бы противоречие не может всё-таки где-то скрываться, и как будто бы отсутствие противоречия уже имеет место.

§97. То, что эту ошибку так легко совершить, пожалуй, покоится на недостаточном различение понятий и предметов. Ничто не мешает нам использовать понятие «квадратный корень из -1»; но мы не вправе безоговорочно помещать перед ним определённый артикль и рассматривать выражение «(die) квадратный корень из -1» как осмысленное. Предполагая, что i2 = -1, мы можем доказать формулу, посредством которой выражается синус угла кратного углу a через синус и косинус самого a; но мы не должны забывать, что тогда это предложение вводит с собой условие i2 = -1, которое мы не должны опускать безоговорочно. Если вовсе не существует того, чей квадрат был бы -1, то использовать это равенство в нашем доказательстве не оправданно, поскольку условие i2 = -1, от которого, как кажется, зависит его значимость, никогда бы не выполнялось. Всё было бы так, как если бы в геометрическом доказательстве мы использовали вспомогательную линию, которую нельзя задать вовсе.

§98. Ханкель вводит два вида операций, называемых им литическими и тетическими, и определяемых посредством некоторых свойств, которые эти операции должны иметь. На это нечего возразить, но лишь пока не предполагается, что такие операции и предметы, которые могут быть их результатом, существуют. Позднее, он обозначает некую тетическую, совершенно однозначную, ассоциативную операцию посредством (a + b) и соответствующую ей, также совершенно однозначную, литическую операцию посредством (a - b). Некую операцию? Но какую? Какую угодно? Но тогда, это не является определением (a + b). Ну а если её не существует? Если слово «сложение» ещё не имеет значения, то логически допустимо сказать, что такую операцию мы хотим назвать сложением; но нельзя сказать, что (eine) такая операция должна означать (die) сложение и обозначаться посредством (a + b), прежде чем установлено, что существует одна и только одна такая операция. Нельзя с одной стороны равенства по определению использовать неопределённый артикль, а с другой определённый. Кроме того, без добавлений Ханкель говорит: «(der) модуль операции», не доказывая того, что существует один и только один модуль.

§99. Короче говоря, эта чисто формальная теория недостаточна. Её ценность заключается только в следующем. Доказывают, что если операция обладает некоторыми свойствами, типа ассоциативности и коммутативности, то для неё имеют силу определённые предложения. Затем показывают, что сложение и умножение, которые уже известны, обладают этими свойствами, и теперь о них без пространного, повторного в каждом отдельном случае доказательства можно сразу же высказать каждое из этих предложений. Известные предложения арифметики получают, сперва применяя эту формальную теорию к операции, заданной в другом месте. Однако никоим образом нельзя полагать, что этим способом можно ввести сложение и умножение. Задаётся только руководство для определения, а не оно само. Говорится, что имя «сложение» должно быть придано только тетической, совершенно однозначной, ассоциативной операции, но последняя, которая должна теперь так называться, этим вовсе не задаётся. Сообразно с этим ничто не противостоит тому, чтобы умножение назвать сложением и обозначить посредством (a + b), и никто не смог бы с определённостью сказать, равно ли 2 + 3 5 или же 6.

§100. Если мы задаём этот чисто формальный способ рассмотрения, то, как кажется согласно обстоятельствам, может представиться способ, одновременно с введением новых чисел расширить значение слов «сумма» и «произведение». Возьмём предмет, скажем Луну, и объясним, что Луна, умноженная на саму себя, даёт -1. Тогда в Луне мы имеем квадратный корень из -1. По-видимому, это объяснение допустимо, поскольку из прежнего значения умножения вовсе не вытекает смысл такого произведения и, стало быть, при расширении это значение может устанавливаться как угодно. Однако мы также используем произведение действительного числа с квадратным корнем из -1. По этой причине в качестве квадратного корня из -1 лучше выберем временной интервал в одну секунду и обозначим её посредством i! Тогда под 3i мы будем понимать 3 секунды и т.д. Какой тогда предмет мы обозначаем, скажем, посредством 2 + 3i? Какое значение в этом случае придаётся знаку плюс? Теперь это должно устанавливаться в общем, что, конечно же, не легко. Пусть мы всё же принимаем, что все знаки формы a + bi обеспечены смыслом, а именно таким, чтобы имели силу известные предложения арифметики! Тогда в дальнейшем нам необходимо было бы установить, что в общем должно иметь место

(a + bi) (c + di) = ac - bd + i(ad + cd),

и в результате мы шире определили бы умножение.

§101. Теперь, если бы нам было известно, что из равенства комплексных чисел вытекает равенство действительных частей, мы могли бы доказать формулу для Cos(na). Это должно вытекать из смысла a + bi, который здесь мы принимаем как имеющийся в наличие. Теперь доказательство имело бы силу для установленного нами смысла комплексных чисел, их сумм и произведений. Поскольку для всякого действительного n и действительного a теперь i более вовсе не входит в равенство, то пытаются сделать вывод: Следовательно, совершенно безразлично обозначает ли i секунду, миллиметр или что-то ещё, если только имеют силу наши предложения о сложении и умножении; всё зависит от этого, а остальное мы используем не заботясь. Вероятно, можно установить значение a + bi, суммы и произведения различными способами так, чтобы сохранялось каждое предложение; но вовсе не безразлично, можно ли вообще найти такой смысл для этих выражений.

§102. Часто поступают так, как если бы голое требование, было возможно уже самим своим наличием. Требуют, чтобы вычитание, деление, извлечение корня было всегда выполнимо, и думают, что этим сделано достаточно. Почему не потребуют также, чтобы через любые три точки проводилась прямая? Почему не потребуют, чтобы для трёхмерной системы комплексных чисел все предложения сложения и умножения имели силу так же, как для системы действительных чисел? Потому что эти требования содержат противоречие. Тогда прежде следовало бы доказать, что и те, другие требования не содержат противоречия! Пока этого не сделано, вся строгость, претендующая на многое, есть ни что иное, как пустая видимость и дым.

Указанная вспомогательная линия в геометрической теореме не встречается в доказательстве. Вероятно, может быть больше линий, если, к примеру, точку можно выбирать произвольно. Но даже если излишней может оказаться каждая из них в отдельности, то доказательство всё-таки зависит от того, чтобы можно было указать линию с требуемыми свойствами. Одного требования недостаточно. Таким образом, и в нашем случае также не безразлично для доказательной силы, имеет ли «a + bi» смысл или является просто типографской краской. Кроме того, не достаточно требовать, что она должна иметь смысл, или сказать «(der) смысл суммы a и bi», если прежде не объяснить, что в данном случае означает «сумма», и если использование определённого артикля не оправданно.

§103. Против испробованного нами установления смысла «i» можно, конечно, многое возразить. Благодаря ему мы привносим в арифметику нечто совершенно чуждое, время. Секунда не находится ни в каком внутреннем отношении к действительным числам. Если бы не было другого вида доказательства или если бы нельзя было найти для i другой смысл, то предложения, доказываемые посредством комплексных чисел, были бы суждениями a posteriori или синтетическими. Во всяком случае, прежде всего необходимо сделать попытку доказать все предложения арифметики как аналитические.

Когда Коссак, ссылаясь на комплексные числа, говорит: «Они являются составными представлениями разнообразных групп при равных друг другу элементах«, то по видимости этим он уменьшает вмешательство чуждого; но эта видимость также возникает лишь вследствие неопределённости выражения. Совершенно не получен ответ на то, что же собственно означает 1 + i: представление яблока и груши или зубной боли и подагры? Всё-таки оно не обозначает и то, и другое одновременно, поскольку тогда 1 + i не всегда равнялось бы 1 + i. Говорилось бы, что всё зависит от особого установления. Ну а тогда в предложении Коссака мы имели бы вовсе не определение комплексного числа, но лишь общее руководство к этому. Однако мы нуждаемся в большем; мы должны определённо знать, что обозначает «i», и если теперь, следуя этому руководству, мы захотели бы сказать: представление груши, то снова ввели бы в арифметику нечто чуждое.

То, что имеют обыкновение называть геометрическим изображением комплексных чисел, имеет перед рассмотренными до этого попытками то преимущество, что 1 и i при этом не выглядят совершенно несвязанными и неоднородными, но что отрезок, который рассматривается как изображение i, находится в закономерном отношении к отрезку, посредством которого изображается 1. Впрочем, в точном смысле неправильно принимать, что при этом 1 означает некоторый отрезок, а i - перпендикулярный ему отрезок, равной длины; но «1» везде означает одно и то же. Комплексное число задаёт здесь то, как отрезок, который считают его изображением, вытекает из данного отрезка (единичного отрезка) посредством тиражирования, деления и вращения. Однако соответственно этому каждая теорема, чьё доказательство должно основываться на существовании комплексного числа, по-видимому, также зависит от геометрического созерцания и, стало быть, синтетична.

§104. Тогда каким образом нам должны быть даны дроби, иррациональные и комплексные числа? Если мы призываем на помощь созерцание, то вводим в арифметику нечто чуждое; однако, если мы лишь определяем понятие такого числа посредством признаков, если мы лишь требуем, чтобы число обладало некоторыми свойствами, то мы не ручаемся за то, что нечто также подпадает под это понятие и отвечает нашим требованиям, и всё-таки доказательство должно опираться как раз на это.

Ну а как тогда быть с натуральным числом? Действительно ли мы не можем вести речь о (10001000)1000, пока столько предметов не будет дано в созерцании? Нет! Оно имеет вполне определённый смысл, хотя уже принимая во внимание краткость нашей жизни для нас невозможно привести к сознанию столько предметов; но, не смотря на это (10001000)1000 является предметом, свойства которого мы можем познать, хотя он и не созерцаем. В этом убеждаются тем, что при введении знака an для возведения в степень показывают, что посредством него всегда выражается одно и только одно положительное целое число, если a и n являются положительными целыми числами. Изложение в деталях того, как это может произойти, увело бы далеко. В общих чертах путь можно узнать из способа, которым мы объяснили ноль в §74, единицу в §77, бесконечное число ?1 в §84, и из наброска доказательства того, что за каждым конечным числом в натуральном ряду чисел непосредственно следует некое число (§82 и 83).

При определении дробей, комплексных чисел и т.д. в конце концов, всё также зависит от поисков выражаемого суждением содержания, которое можно превратить в равенство, где на сторонах последнего были бы как раз эти новые числа. Другими словами, мы должны установить для таких чисел смысл суждения отождествления. При этом нужно принять во внимание соображение, которое мы обсуждали (§§63-68) относительно такого преобразования. Если мы будем поступать так же как там, то новые числа будут даны нам как объёмы понятий.

§105. Как мне кажется, при таком понимании чисел легче объяснить очарование, которое оказывает занятие арифметикой и анализом. Видоизменив, можно, пожалуй, высказать известное предложение: Собственным предметом разума является разум. В арифметике мы занимаемся предметами, которые не как нечто чуждое известны нам извне через посредничество чувств, но которые даны непосредственно разуму, который может рассматривать их в совершенстве как то, что ему наиболее свойственно.

И всё-таки, или скорее как раз поэтому, эти предметы не являются субъективными фантазиями. Нет ничего более объективного, чем арифметические законы.

§106. Бросим ещё один краткий ретроспективный взгляд на ход нашего исследования! После того, как мы установили, что число не является ни грудой вещей, ни свойством последних, что оно, однако, также не является субъективным продуктом душевных процессов, но что указание на число высказывает нечто объективное о понятии, мы, прежде всего, попытались определить отдельные числа 0, 1 и т.д. и прогресс в числовом ряду. Первая попытка не удалась, поскольку мы определили только высказывание о понятии, но не обособили 0 и 1, которые являются лишь его частями. Последнее имеет следствием то, что мы не можем доказать равенство чисел. Обнаруживается, что число, которым занимается арифметика, должно пониматься не как несамостоятельный атрибут, но субстантивно. Таким образом, число проявляется как отождествляемый предмет, хотя и не как физический или даже пространственный, не как предмет, образ которого мы можем спроектировать посредством силы воображения. Мы устанавливаем теперь принцип, что значение слова нужно объяснять не в его обособленности, но в контексте предложения; следуя одному этому, как я думаю, можно избежать физического понимания числа без того, чтобы впасть в психологизм. Существует только один вид предложений, которые должны иметь смысл для каждого предмета, предложения отождествления, называемые в случае чисел равенствами. Мы видели, что и указание на число также понимается как равенство. Стало быть, всё зависит от того, чтобы установить смысл равенства чисел и выразить его без использования числительных или слова «число». Как содержание суждения отождествляющего числа мы осознаём возможность взаимно однозначного соотнесения предметов, подпадающих под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G. Стало быть, наше определение должно представить эту возможность, как равнозначную с равенством чисел. Мы напомнили сходный случай: определение направленности при параллелизме, контуров при подобие и т.д.

§107. Тогда возникает вопрос: когда считать, что содержание понимается как суждение отождествления? Для этого должно выполняться условие, чтобы в каждом суждении без ущерба для его истинности левую сторону уравнения, рассматриваемого в качестве примера, можно было заменить на правую. Теперь, прежде всего, без установления дальнейших определений о левой и правой стороне такого уравнения нам не известно более никакого суждения, кроме именно их равенства. Стало быть, в уравнении нужно только указать на заменимость.

Но всё ещё остаётся сомнение. А именно, предложение отождествления всегда должно иметь смысл. Если мы под равенством понимаем лишь возможность взаимно однозначного соотнесения предметов, подпадающих под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G, говоря при этом: «Число, которое соответствует понятию F, равно числу, которое соответствует понятию G», и вводя этим выражение «Число, которое соответствует понятию F», то у нас есть смысл для равенства только тогда, когда обе стороны имеют как раз упомянутые формы. Согласно данному определению, если только одна сторона имеет такую форму, мы не можем утверждать, является ли уравнение истинным или ложным. Это побуждает нас к определению:

Число, соответствующее понятию F, есть объём понятия «понятие, равночисленное понятию F», где понятие F мы называем равночисленным понятию G, если имеет место возможность взаимно однозначного соответствия.

При этом смысл выражения «объём понятия» мы предполагаем известным. Этот способ преодоления затруднения, пожалуй, не всюду найдёт одобрение, и многие предпочтут устранять эти сомнения другими способами. Также и я не придаю решающего значения привлечению объёмов понятий.

§108. В остальном, остаётся лишь объяснить взаимно однозначное соответствие; последнее мы сводим к чисто логическим обстоятельствам. Теперь, после того как мы указали доказательство предложения: «Число, соответствующее понятию F, равно числу, соответствующему понятию G, если понятие F равночисленно понятию G», мы определили 0, выражение «n следует в натуральном ряду чисел непосредственно за m», число 1 и показали, что 1 следует в натуральном ряду чисел непосредственно за 0. Мы привели отдельные предложения, которые в этом месте легко могут быть доказаны, и тогда подошли несколько ближе к следующему предложению, которое позволило бы узнать о бесконечности числового ряда:

В натуральном ряду чисел за каждым числом следует число.

Это привело нас к понятию «принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n», о котором мы хотели показать, что соответствующее ему число в натуральном ряду чисел непосредственно следует за n. Мы определили его, прежде всего, с помощью следования предмета y за предметом х в общем ?f-ряду. Смысл этого выражения также был сведён к чисто логическим обстоятельствам. Посредством этого удалось доказать, что способ вывода от n к (n+1), который обычно принимался за собственно математический, покоится на общих логических способах вывода.

Теперь для доказательства бесконечности числового ряда нам нужно предложение, что никакое конечное число в натуральном ряду чисел не следует за самим собой. Так мы пришли к понятиям конечного и бесконечного числа. Мы показали, что последнее в сущности логически оправданно не менее, чем первое. Для сравнения были привлечены бесконечные числа Кантора и их «следование в последовательности», причём было указано на различия в выражениях.

§109. Теперь из всего предыдущего с большой вероятностью получалось, что природа арифметических истин является аналитической и априорной; и нам удалось исправить точку зрения Канта. Далее мы увидели, что чего-то всё ещё недостаёт, чтобы привести эту вероятность к очевидности, и указали путь, который должен к этому привести.

Наконец, мы использовали наши результаты для критики формальной теории отрицательных, дробных, иррациональных и комплексных чисел, посредством которой стала очевидной её недостаточность. Её ошибку мы увидели в том, что она предполагает, что отсутствие противоречия в понятии доказано, если противоречие не обнаружено, и что отсутствие противоречия в понятии уже достаточно гарантирует его наполненность. Эта теория воображает, что нужно лишь установить требования; их выполнение подразумевается само собой. Она ведёт себя как Бог, который посредством голого слова может сотворить то, что ему нужно. Достойно порицания также и то, когда руководство к определению принимается за само определение, руководство, следуя которому, в арифметику вводится нечто чуждое; правда, само оно свободно от претензий на выражение, но лишь постольку, поскольку остаётся простым руководством.

Таким образом, эта формальная теория оказывается в опасности возвратиться к апостериорному или же синтетическому, сколько бы она не создавала видимости того, что витает в вышине абстракций.

Наше прежнее рассмотрение положительных целых чисел демонстрирует теперь возможность избежать вмешательства внешних вещей и геометрического созерцания, без того чтобы впасть в ошибку данной формальной теории. Всё зависит от того, как здесь установить суждение отождествления. Если это вообще произойдёт, как думаем мы, то отрицательные, дробные, иррациональные и комплексные числа окажутся не более таинственными, чем положительные целые числа, которые реальны, действительны и явны не в большей степени, чем те.

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Для уточнения характера работы переводчика приведём несколько соображений в пользу особенностей перевода отдельных ключевых терминов.

Во-первых: Для передачи понятия числа Г.Фреге использует два термина Zahl и Anzahl. Anzahl мы переводим как 'число' и, за редким исключением, не отличаем от Zahl по двум причинам: 1) термин Anzahl обычно употребляется для обозначения кардинального числа, тогда как Zahl - для числа вообще, но у Фреге речь в основном идёт о кардинальных числах; 2) на протяжении всего текста эти два термина практически не различаются и используются как синонимы. Там, где в особых случаях такое различие всё же обнаруживается, мы переводим Anzahl как 'кардинальное число'.

Во-вторых: Устанавливая природу математических предложений, Г. Фреге использует термин Gleichung ('уравнение'), но понимает его в том смысле, который в большей степени соответствует русскому слову 'равенство', поскольку под уравнением в отечественной математической терминологии понимается выражение с неизвестными. Поэтому в нашем переводе этот термин, за редким исключением, передаётся как равенство.

В-третьих: В некоторых случаях, для того чтобы отличить числительное от существительного там, где не исключена возможность эквивокаций, мы переводим der Eins несколько непривычным, но всё же допустимым в русском языке субстантивом 'однёрка'. Слово 'единица' зарезервировано как наиболее соответсвующее по смыслу, для передачи термина Einheit.

В-четвёртых: Соотношение числа и понятия Фреге передаёт термином zukommen. Мы переводим его как 'соответствовать', а не как 'принадлежать' или 'быть присущим', что принято в некоторых интерпретациях творчества немецкого логика на русском языке. Терминами 'принадлежать' и 'быть присущим' в отечественной логической литературе принято обозначать отношения между объемом понятия и предметом, подпадающим под это понятие (при переводе данные термины как раз и используются в этом смысле). Поскольку Фреге имеет в виду отношение иного рода, мы выбрали указанный вариант, чтобы избежать смешения.

В-пятых: Одна из специфических черт аргументации Г.Фреге - это апелляция к способам употребления артиклей. Поскольку для немецкого логика доводы такого рода имеют определяющее значение, мы не стали заменять артикли оборотами, так как в некоторых случаях это привело бы к искажению смысла. Поэтому там, где необходимо, мы указываем их в скобках.