Часть 7.

Фреге Г. Шрифт понятий //Методы логических исследований. Тбилиси: Мецниереба, 1987. С 83-151.

Frege G. Grundgesetz der Arithmetik, Bd.1.Jena,1893;Bd.2.Jena,1902.

В сокращённой и свободной от технических деталей форме основные идеи этой работы можно найти в книге: Рассел Б. Введение в математическую философию. М.: Гнозис, 1996.

Herbart, Sammtliche Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd.X, 1 Thl. Umriss padagogischer Vorlesungen §252, Anm.2: «Двойка означает не две вещи, но удвоение» и т.д.

K.Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre, z. Aufl. §94.

Stricker, Studien uber Association der Vorstellungen. Wien 1883.

[«Мера должна быть во всём и всему, наконец, есть пределы!» (Гораций)]

E.Schr?der, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.

[Фреге использует здесь термин Anzahl. Мы переводим его как число и далее не отличаем от Zahl по двум причинам: во-первых, Anzahl - термин, употребимый для кардинального числа, тогда как Zahl - для числа вообще, но у Фреге в основном речь идёт только о кардинальных числах; во-вторых, на протяжении всего текста эти два термина практически не различаются и используются как синонимы. Там, где в редких случаях такое различие всё же обнаруживается, мы переводим Anzahl как кардинальное число.]

Этим я в действительности не вкладываю новый смысл, но только трактую то, что имели в виду другие авторы, особенно Кант.

Если вообще признаются общие истины, то должно также добавить, что существуют и такие первичные законы, потому что из сугубо единичных фактов не следует ничего, разве что только на основании законов. Сама индукция основывается на общем предложении, что данный метод может мотивировать истину или же видимость истины закона. При отрицании этого индукция становится не более чем психологической иллюзией, способом, которым люди приходят к убеждению в истинности предложения без того, чтобы благодаря этому данное убеждение было как-нибудь обосновано.

Итак, в нижеследующем, если нет никаких оговорок, речь не идёт о каких-то других числах, кроме положительных целых чисел, отвечающих на вопрос «сколько?».

Гоббс, Локк, Ньютон. Ср. Baumann, die Lehren von Zeit, Raum und Mathematik, S.241-242, S.365ff., S.475. [Ньютон И. Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе.- М.: изд.АНСССР, 1948.- С.17.; Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1.- М.: Мысль, 1985.- С.74-76.]

Kritik der reinen Vernunft herausgeg. v. Hartenstein. III. S.157. [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3.- М.: Чоро, 1994.- С.175. (В переводе Н.Лосского.)]

H.Hankel, Vorlesungen uber die complexen Zahlen und ihren Functionen.

Nouveaux Essais, IV. §10. Erdm.S.363. [Лейбниц Г. Сочинение в четырёх томах, т.2.- М.: Мысль, 1983.- С.422.]

Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S.94. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3.- М.: Мысль,1984.- С.632.]

H.Grassmann, Lehrbuch der Mathematik fur hohere Lehranstalten. I Theil: Arithmetik, Steettin 1860, S.4.

Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной.- М.: изд. Г.А.Лемана, 1914.- Кн.III, Гл. xxiv, §5. [На протяжении всей работы Фреге ссылается на немецкий перевод: System der deductiven und inductiven Logik, ?bersetzt von J.Schiel; в нашем переводе цитаты будут приводиться по указанному русскому изданию.]

Там же, Кн.II, Гл.vi, §2.

Там же, Кн.II, Гл.vi, §2, С.230.

Там же, Кн.II, Гл.vi, §2, С.230.

Там же, Кн.III, Гл.xxiv, §5.

Там же, Кн.III, Гл.xxiv, §5, С.558.

Там же, Кн.II, Гл.vi, §3.

Baumann, Op.cit., II., S.39; Erdm. S.243. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2…, С.156.]

Baumann, Op.cit., Bd. II. S.13-14; Erdm. S.195, S.208-209. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2… С.78.]

Baumann, Op.cit., Bd. II., S.38; Erdm. S.212. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2 … С.87.]

Op.cit., Bd.II, S.669.

Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bd.I., S.1.

Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, S.54-55.

[Общих понятий - лат.]

[Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.8.- М.: Чоро, 1994.- С.346.]

[Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3 … С.62.]

Baumann, Op.cit., Bd.II., S.56; Erdm. S.424.

Baumann, Op.cit., Bd.II., S.57; Erdm. S.83. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3. … С.496.]

Baumann, Op.cit., Bd.II., S.57; Pertz, II., S.55.

Джевонс Ст. Основы науки.- С.-Пб.: изд. Л.Ф.Пантелеева, 1881.- С.152. [Фреге на всём протяжении текста цитирует второе английское издание книги Ст.Джевонса: The principles of science, London 1879, в нашем переводе все цитаты будут приводится по указанному русскому изданию.]

Там же, Кн.II, Гл. vi, §2, С.227.

Nouveaux Essais, IV, §9; Erdm. S.360. [Лейбниц Г. Сочинение в четырёх томах, т.2 … С.420.]

Поразительно, что уже Милль (Там же, Кн.II, Гл.vi, §4), по-видимому, выражает эту точку зрения. Присущий ему здравый смысл время от времени пробивается через его предубеждение в пользу эмпирического. Однако последнее всегда всё вновь запутывает, смешивая у него физическое применение арифметики с самой арифметикой. Ему, видимо, неизвестно, что гипотетическое суждение может быть истинным тогда, когда условие истинным не является.

Baumann, Op.cit., Bd.I, S.475. [Ньютон И. Всеобщая арифметика… С.8.]

Theorie der complexen Zahlensysteme, S.1.

M.Cantor, Grundzuge einer Elementarmathematik, S.2, §4.

Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz.1873, S.6, 10-11.

Op.cit., Bd.II, S.669.

Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5, С.556.

Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5.

Baumann, Op.cit., Bd.I, S.409. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1.- М.: Мысль, 1985.- С.255.]

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.56.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3 …, С.412.]

Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5.

Если быть точным, необходимо добавить: когда они вообще являются феноменом. Ведь если у кого-то в Германии есть одна лошадь, а в Америке - другая (и никаких других нет), то он, конечно, владеет двумя лошадьми. Однако они не образуют феномен, но так можно назвать только каждую лошадь саму по себе.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.428. [Беркли Дж. Сочинения.- М.: Мысль, 1978.- С.102.]

Lehrbuch der Analysis, S.1. Я полагаю, что Липшиц имеет в виду внутренний процесс.

Schloemilch, Handbuch der algebraischen Analysis, S.1.

Против этого можно также возразить, что когда появляется одно и то же число, тогда должно появляться одно и то же представление места, что, очевидно, ложно. Это следствие не соответствовало бы действительности и в том случае, если под представлением он хотел бы понимать объективную идею; ибо тогда не было бы никакого различия между представлением места и самим местом.

Представление в субъективном смысле есть то, что относится к психологическому закону ассоциации; оно имеет чувственный, образный характер. Представление в объективном смысле принадлежит логике и является сущностно нечувственным, хотя слово, обозначающее объективное представление, часто также сопровождается субъективным представлением, которое, однако, не является его значением. По достоверным сведениям, субъективное представление часто различается у разных людей, объективное же у всех одинаково. Объективные представления подразделяются на предметы и понятия. Чтобы избежать путаницы, я буду использовать «представление» только в субъективном смысле. Вследствие того, что Кант этим словом ссылался и на то, и на другое, он придал своему учению более субъективную, идеалистическую окраску и затруднил знакомство со своим настоящим мнением. Проводимое здесь различие столь же оправдано, как и различие между психологией и логикой. Следовало бы и последние всегда разделять очень строго!

Thomae, Elementare Theorie der analytischen Functionen, S.1.

В начале 7 книги Элементов: «????? ????, ???' ?? ??????? ??? ????? ?? ???????. ??????? ?? ?? ?? ??????? ??????????? ??????». [«Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым. Число же - множество составленное из единиц.» - Начала Евклида, Кн.VII-X.- М.: ГИТТЛ, 1949.- С.9.]

Op.cit., S.5.

Встречаются обороты, которые этому по видимости противоречат, но при более тщательном рассмотрении обнаруживается, что добавлено понятийное слово или что «один» используется не как числительное, что хотят утверждать не единичность, но единственность.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2; Erdm. S.8.

Op.cit., Bd.II, S.669.

Op.cit., Bd.II, S.669.

Baumann, Op.cit., Bd.1, S.409. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1 …, С.180.]

Об истории слова «единица» ср. Eucken, Geschichte der philosophischen Terminologie, S.122-3, S.136, S.220.

G.K?pp, Schularithmetik, Eisenach 1867, S.5,6.

Op.cit., S.5.

Baumann, Op.cit, Bd.I, S.242.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.568. [Юм Д. Сочинения в двух томах, т.2.- М.: Мысль, 1996.- С.141.]

Op.cit., S.I.

Baumann, Op.cit., Bd.I, S.103. [Декарт Р. Сочинения в двух томах, т.1.- М.: Мысль, 1989.- С.338.]

Op.cit., S.3.

Там же, С. 153.

Там же, С. 154.

Baumann, Op.cit., Bd.I, S.409-411. [Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1 …, С.257.]

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.3.

Hesse, Vier Species, S.2.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.242

Elementare Theorie der analyt. Functionen, S.1.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.2.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.668.

Там же, С.154.

Theorie der complexen Zahlensysteme, S.1.

Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, S.5 ff.

Подлежащих счёту предметов.

Там же, С.155.

Baumann, Op.cit., Bd..I, S.169. [Спиноза Б. Избранные произведения в двух томах, т.2.- М.: ГИПЛ, 1957.- С.567.]

Op.cit., S.6.

«Представления» в смысле чего-то такого, что понимается как образ.

Дело в том, чтобы определить смысл равенства, типа

df(x) = g(x)dx,

а не в том, чтобы указать расстояние, ограниченное двумя различными точками, длина которого dx.

Это слово понимается сугубо психологически, а не психофизически.

Baumann, Op.cit., Bd.II, S.565. [Юм Д. Сочинения в 2-х томах, т.1.- М.: Мысль, 1996.- С.128.]

Ср. E.Schroeder, Op.cit., S.7-8; E.Kossak, Die Elemente der Arithmetik, Program des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums. Berlin, 1872, S.16; G.Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, Leipzig, 1883.

Я говорю здесь о параллелизме, чтобы мне удобнее было выражаться и легче быть понятым. Существенное этого обсуждения может быть легко перенесено на случай равенства чисел.

Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis, Erdm., S.94. [«Тождественные суть те, один из которых может быть поставлен вместо другого с сохранением истинности». Лейбниц Г.В. Сочинения в 4-х томах, т.3…, С.632.]

В гипотетическом суждении равенство направлений может, например, встречаться как условие или следствие.

На это указывает определённый артикль. Для меня понятие является возможным предикатом сингулярного, выразимого суждением содержания, а предмет - его возможным субъектом. Если в предложении

«Направление оси телескопа равно направлению оси Земли»

мы рассматриваем направление оси телескопа как субъект, то предикатом является «равно направлению оси Земли». Последнее является понятием. Но направление оси Земли является только частью предиката; оно также является предметом, так как может быть преобразована в субъект.

Я полагаю, что вместо «объём понятия» можно было бы сказать просто «понятие». Однако возможно двоякое возражение:

Это находится в противоречии с моим прежним утверждением, что отдельное число является предметом, на что указывает определённый артикль в выражениях, типа «(die) два» и невозможность говорить об однёрках, двойках и т.п. во множественном числе, а также благодаря тому, что число составляет только часть предиката указания на число;

Могут быть понятия равного объёма, без того, чтобы совпадать.

Правда, теперь я держусь мнения, что оба эти возражения возможно было бы устранить; но здесь это может далеко увести. Я полагаю известным, что представляет собой объём понятия.

Данный случай нельзя путать с тем, где «и» только кажется субъектом, а на самом деле связывает два предложения.

А равно и обратное ему: Если число, соответствующее понятию F, является тем же самым, что и число, соответствующее понятию G, то понятие F и понятие G равночисленны.

С точки зрения понятия, под которое подпадает предмет, весьма различается то, что представляет собой определение этого предмета. К примеру, выражение «(der) самая большая дробь» не имеет содержания, поскольку определённый артикль заявляет претензию на указание определённого предмета. Напротив, понятие «дробь меньше 1, причём такая, что нет дроби меньше 1, превосходящей её по величине» вовсе не вызывает сомнений, и для возможности доказательства того, что такой дроби нет, это понятие даже нужно, хотя оно и содержит противоречие. Но если посредством этого понятия хотят определить предмет, под него подпадающий, конечно необходимо прежде показать две вещи:

что под это понятие подпадает некий предмет;

что под него подпадает лишь единственный предмет.

Поскольку здесь уже первое из этих предложений является ложным, то выражение «самая большая дробь» бессмысленно.

См. примечание к § 74.

Предложения без общности.

Ср. B.Erdman, die Axiome der Geometrie, S.164.

Если n не является числом, само n только принадлежит натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n. Пусть вас не шокирует это выражение!

Э.Шрёдер (Op.cit., S.63), по-видимому, рассматривает это предложение как следствие иначе мыслимого способа обозначения. Здесь также даёт о себе знать недостаток, причиняющий вред всему его изображению сути дела. Этот недостаток связан с тем, что по-настоящему не известно, является ли число знаком и чем тогда является его значение, или же оно как раз и есть это значение. Из того, что устанавливаются различные знаки, так чтобы один и тот же никогда не повторялся, всё же не следует, что эти знаки также обозначают различное.

G.Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.

Данное выражение, по-видимому, может противоречить подчёркнутой ранее объективности понятия; но субъективным здесь является только название.

Уже само наблюдение включает логическую деятельность.

Op.cit., Bd.II, S.670.

Op.cit., III. S.39 u.ff. [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3…, С.46]

На S.43 он говорит, что согласно закону противоречия синтетическое предложение можно осознать лишь тогда, когда предполагается другое синтетическое предложение. [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3…, С.49.]

Так же, если признаки связываются посредством «или».

Op.cit., III, S.82. [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3…, С.90.]

Однако он должен выражать не только логическую форму, по типу способа обозначения, принятого Булем, содержание также было бы уместно.

Begriffsschrift, Halle a/S., 1879, S.86, формула 133.

Это доказательство всегда находят слишком пространным. Данный недостаток, по-видимому, более чем уравновешивает почти безусловная уверенность в отсутствии ошибки или пробела. Тогда моей целью было всё свести к наименее возможному числу по возможности наиболее простых логических законов. Следуя этому, я применял лишь единственный способ вывода. Однако уже тогда в предисловии (S.VII) я указывал, что при дальнейшем применении рекомендуется допускать большее число способов вывода. Последнее может произойти без того, чтобы обязательно была нарушена цепь выводов, и таким образом может быть достигнуто значительное сокращение.

Op.cit., S.6-7.

Op.cit., S.106-107.

Op.cit., S.5. Аналогично в E.Kossak, Op.cit., S.17 внизу.

То же самое относится к бесконечным числам Кантора.

Оно всегда может быть строго доказано другим путём.

Op.cit., S.18.

Используя уравнение Q(c,b)=а Ханкель, собственно, уже делает это.

Op.cit., S.29.

С тем же правом в качестве квадратного корня из -1 мы также могли бы избрать определённое количество электричества, определённую поверхность и т.д.; само собой разумеется, что тогда эти различные корни обозначались бы также различно. Тогда, по-видимому, можно было бы создать сколь угодно много квадратных корней из -1. Это не так удивительно, если подумать, что значение квадратного корня этими установлениями ещё не заданно неизменным, но определяется посредством и вместе с ними.

Сравни, Kossak, Op.cit., S.17.

Op.cit., S.17.

Для выражения «представление» сравни то, что говорится в §27; для «группа» - то, что говорится относительно «агломерат» в §23 и §25; для равенства элементов - то, что говорится в §34-39.

Для простоты я отказываюсь здесь от несоизмеримости.

Простой расчёт показывает, что для этого было бы недостаточно миллионов лет.

Его можно также назвать формальным. Однако оно совершенно отличается от понимания, обсуждаемого под этим названием выше.

Этим я вовсе не хочу отрицать, что без чувственного впечатления мы были бы глупы как доска и ничего бы не знали ни о числах, ни о чём-то ещё; но такое психологическое предложение здесь не затрагивается вовсе. Я подчёркиваю это ещё раз из-за имеющейся налицо опасности смешения двух в корне различных вопросов.