Библиотека    Новые поступления    Словарь    Карта сайтов    Ссылки





назад содержание далее

Часть 3. гл.7 с.266-292

большого числа взаимодействующих элементов, Каждое отдельное действие или локальное вмешательство в си­стему обретает коллективный аспект, который может повлечь за собой совершенно неожиданные глобальные изменения. Как подчеркивал Уоддингтон, в настоящее время мы еще мало знаем о наиболее вероятной реак­ции системы на то или иное изменение. Очень часто от­клик системы на возмущение оказывается противопо­ложным тому, что подсказывает нам наша интуиция. Наше состояние обманутых ожиданий в этой ситуации хорошо отражает введенный в Массачусетском техноло­гическом институте термин «контринтуитивный»: «Эта проклятая штука ведет себя не так, как должна была бы вести!» В подтверждение сошлемся на классический пример, приведенный Уоддингтоном: программа ликви­дации трущоб вместо того, чтобы улучшить, еще более ухудшает ситуацию. Новые здания, построенные на месте снесенных, привлекают в район большее число людей, но если их занятость не обеспечивается, то они продолжают оставаться бедными, а их жилища стано­вятся еще более перенаселенными15. Мы приучены мыс­лить в терминах линейной причинности, но теперь нуж­даемся в новых «средствах мышления». Одно из вели­чайших преимуществ рассмотренной модели состоит как раз в том, что она позволяет нам находить такие средства и разрабатывать способы их оптимального ис­пользования.

Как мы уже отмечали, логистические уравнения наи­более пригодны, когда критическим измерением являет­ся рост популяции, будь то популяция животных, сово­купность их навыков или активностей. Логистическая модель исходит из предположения о том, что каждый член популяции может быть выбран и рассматриваться как эквивалент любого другого члена. Но эту общую эквивалентность надлежит рассматривать не как не­зыблемый факт, а лишь как приближение, достоверность которого зависит от связей, наложенных на популяцию, от оказываемого на нее давления и от стратегии, изби­раемой популяцией для того, чтобы противодействовать вмешательству извне.

Взять хотя бы различие, проводимое экологами меж­ду К-стратегиями и r-стратегиями (К и r — парамет­ры, входящие в логистическое уравнение). Хотя это раз­личие относительно, оно проявляется особенно отчетли-

266

во в дивергенции, обусловленной систематическим вза­имодействием между двумя популяциями, в частности взаимодействием хищник — жертва. Типичной для попу­ляции жертв эволюцией является увеличение рождаемо­сти r, а для популяции хищников — совершенствование способов ловли жертв, т. е. увеличение коэффициента К. Но повышение К в рамках логистической модели вле­чет за собой последствия, выходящие за круг явлений, описываемых логистическими уравнениями.

Как заметил Стивен Дж. Гулд16. К-стратегия под­разумевает, что индивид все более повышает свою спо­собность обучаться на опыте и хранить накопленную информацию в памяти. Иначе говоря, индивиды стано­вятся все более сложными и со все более долгим пе­риодом созревания и обучения. В свою очередь это озна­чает, что индивиды становятся все более «ценными», представляющими более крупные вложения «биологиче­ского капитала» и уязвимыми на протяжении более про­должительного периода. Развитие «социальных» и «се­мейных» связей является, таким образом, логическим аналогом К-стратегии. С этой точки зрения другие фак­торы, помимо численности индивидов в популяции, ста­новятся все более существенными, и логистическое уравнение, измеряющее успех по числу индивидов, все хуже отражает истинное положение дел. Перед нами достаточно наглядный пример, показывающий, почему к моделированию сложных явлений следует относиться с осторожностью: в сложных системах дефиниция самих сущностей и взаимодействия между ними в процессе эволюции могут претерпевать изменения. Не только каждое состояние системы, но и само определение си-темы в том виде, в каком ее описывает модель, обычно нестабильно или по крайней мере метастабильно.

Мы подходим к проблемам, в которых методология неотделима от вопроса о природе исследуемого объекта. Мы не можем задавать одни и те же вопросы относи­тельно популяции мушек, рождающихся и погибающих миллионами без сколько-нибудь заметных признаков обучения на опыте или расширения опыта, и относитель­но популяции приматов, каждый член которой является как бы тончайшим переплетением собственного опыта и традиций популяции.

Нетрудно видеть, что и в самой антропологии необхо­дим принципиальный выбор между различными подхо-

267

дами к коллективным явлением. Хорошо известно, на­пример, что структурная антропология отдает предпочте­ние тем аспектам общества, к которым применимы сред­ства и методы логики и конечной математики, а именно: к элементарным структурам родства или анализу мифов, трансформации которых нередко сравнимы с ростом кристаллов. Дискретные элементы подсчитываются и комбинируются. Такой комбинаторный подход в корне отличается от подходов, анализирующих эволюцию в терминах процессов, которые охватывают большие, час­тично хаотические популяции. Мы имеем здесь дело с двумя различными взглядами и двумя типами моделей: Леви-Строс называет их соответственно механической и статистической моделями. В механической модели «эле­менты того же масштаба, что и явления», а индивиду­альное поведение основано на предписаниях, относя­щихся к структурной организации общества. Антрополог выявляет логику этого поведения, а социолог со своей стороны работает со статистическими моделями больших популяций и определяет средние и пороги17.

Общество, определяемое исключительно в терминах функциональной модели, соответствовало бы аристоте­левской идее о естественной иерархии и естественном порядке. Каждое официальное лицо исполняло бы все то, что входит в круг его обязанностей. Эти обязанности осуществляют перевод различных аспектов организа­ции общества как целого с одного уровня на другой. Король отдает приказы архитектору, архитектор — под­рядчику, подрядчик — строительным рабочим. На каж­дом уровне имеется свой руководитель. В то же время поведение термитов и других общественных насекомых ближе к статистической модели. Как мы уже видели, при возведении своего «дома» термиты не следуют ука­заниям одного руководящего разума. Взаимодействие между индивидами порождает при некоторых условиях определенные типы коллективного поведения, но ни од­но из этих взаимодействий не соотносится с глобальной задачей, все взаимодействия чисто локальны. Такое опи­сание подразумевает обращение к средним и вновь под­нимает вопрос относительно устойчивости и бифурка­ций.

Какие события способствуют регрессу и какие про­грессу системы? В каких ситуациях перед системой воз­никает необходимость выбора и в каких ситуациях ре-

268

жимы стабильны? Поскольку размеры или плотность системы могут играть роль параметра бифуркации, как может чисто количественный рост приводить к качест­венно новому выбору? Для ответа на эти вопросы по­надобилась бы обширная исследовательская программа. Как и в случае с r- и K-стратегиями, поставленные на­ми вопросы приводят к обоснованию выбора «хорошей» модели социального поведения и истории. Каким обра­зом в ходе эволюции популяция становится все более «механической»? Параллелизм между этим вопросом и теми вопросами, с которыми мы уже сталкивались при рассмотрении биологических проблем, очевиден. Напри­мер, каким образом отбор генетической информации, управляющей скоростями и регулированием метаболи­ческих реакций, делает одни пути настолько наиболее предпочтительными, чем другие, что развитие кажется целенаправленным или напоминает передачу «сигнала»?

Мы полагаем, что модели, построенные на основе понятия «порядок через флуктуации», помогут нам спра­виться с подобными вопросами, а при определенных обстоятельствах будут способствовать более точной фор­мулировке сложного взаимодействия между индивиду­альным и коллективным аспектами поведения. С точки зрения физика, к этому кругу проблем относится прове­дение различия, с одной стороны, между состояниями системы, в которых всякая индивидуальная инициатива малозначима, а с другой стороны, между областями бифуркаций, в которых индивидуальная идея или даже новое поведение может порождать глобальное состоя­ние. Но даже в областях бифуркации усиление — удел далеко не каждой индивидуальной идеи и не каж­дого индивидуального поведения, а лишь «опасных», т. е. способных обратить себе на пользу нелинейные соот­ношения, обеспечивавшие устойчивость предыдущего режима. Таким образом, одни и те же нелинейности мо­гут порождать порядок из хаоса элементарных процес­сов, а при других обстоятельствах приводить к разру­шению того же порядка и в конечном счете к возникно­вению новой когерентности, лежащей уже за другой

бифуркацией.

Модели «порядка через флуктуации» открывают пе­ред нами неустойчивый мир, в котором малые причины порождают большие следствия, но мир этот не произво­лен. Напротив, причины усиления малых событий —

269

вполне «законный» предмет рационального анализа. Флуктуации не вызывают преобразования активности системы. Если воспользоваться образным сравнением Максвелла, можно сказать, что спичка может стать причиной лесного пожара, но одно лишь упоминание о спичке еще не позволяет понять, что такое огонь. Кроме того, если флуктуация становится неуправляемой, это еще не означает, что мы не можем локализовать причи­ны неустойчивости, вызванной усилением флуктуаций.

8. Открытый мир

Ввиду сложности затронутых нами вопросов мы вряд ли вправе умолчать о том, что традиционная интерпре­тация биологической и социальной эволюции весьма не­удачно использует понятия и методы, заимствованные из физики18, — неудачно потому, что они применимы в весьма узкой области физики и аналогия между ними и социальными или экономическими явлениями лишена всякого основания.

Первый пример тому — парадигма оптимизации. И управление человеческим обществом, и действие се­лективных «воздействий» на систему направлены на оптимизацию тех или иных аспектов поведения или спо­собов связи, но было бы опрометчиво видеть в оптимизации ключ к пониманию того, как выживают популя­ции и индивиды. Те, кто так думает, рискуют впасть в ошибку, принимая причины за следствия, и наоборот.

Модели оптимизации игнорируют и возможность ра­дикальных преобразований (т. е. преобразований, ме­няющих самую постановку проблемы и тем самым характер решения, которое требуется найти), и инерциалъные связи, которые в конечном счете могут вынудить систему перейти в режим функционирования, ведущий к ее гибели. Подобно доктринам, аналогичным «неви­димой направляющей руке» Адама Смита, или другим определениям прогресса в терминах критериев макси­мизации или минимизации, модели оптимизации рисуют утешительную картину природы как всемогущего и ра­ционального калькулятора, а также строго упорядочен­ном истории, свидетельствующей о всеобщем неукосни­тельном прогрессе. Для того чтобы восстановить и инерцию, и возможность неожиданных событий, т. е. восста-

270

повить открытый характер истории, необходимо при­знать ее фундаментальную неопределенность. В качестве символа мы могли бы использовать явно случайный характер массовой гибели в меловой период живых су­ществ, исчезновение которых с лица Земли расчистило путь для развития млекопитающих — небольшой группы крысообразных животных19.

Сказанное выше было лишь общим изложением, сво­его рода «видом с птичьего полета». Mы обошли молча­нием многие важные вопросы (например, большой тео­ретический и практический интерес представляют неус­тойчивости, возникающие в пламёнах, плазме и лазерах в сильно неравнонесных условиях). Всюду, куда бы мы ни бросили свой взгляд, нас окружает природа, неисчер­паемо разнообразная и щедрая на всякого рода нова­торские решения. Описываемая нами концептуальная эволюция сама по себе является лишь составной частью более широкой истории последовательного, шаг за ша­гом переоткрытия времени.

Мы видели, как физика постепенно обогащалась все новыми и новыми аспектами времени, между тем как присущие классической физике претензии на всемогу­щество одна за другой отпадали как необоснованные. В этой главе мы шли от физики через биологию и эко­логию к человеческому обществу, хотя могли бы дви­гаться и в обратном направлении: история занималась изучением в основном человеческих сообществ и лишь затем распространила свое внимание на временные аспекты жизни и геологии. Таким образом, вхождение времени в физику явилось заключительным этапом все более широкого «восстановления прав» истории в есте­ственных и социальных науках.

Интересно отметить, что на каждом этапе этого про­цесса наиболее важной отличительной особенностью «историизации» было открытие какой-нибудь временной неоднородности. Начиная с эпохи Возрождения запад­ное общество вступало в контакт со многими цивилиза­циями, находившимися на различных этапах развития; в XIX в. биология и геология открыли и классифицировали ископаемые формы жизни и научились распозна­вать в ландшафтах сохранившиеся до нашего времени памятники прошлого; наконец, физика XX в. также от­крыла своего рода «ископаемое» — реликтовое излуче­ние, поведавшее нам о «первых минутах» Вселенной.

271

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ОТ БЫТИЯ К СТАНОВЛЕНИЮ

Ныне мы твердо знаем, что живем в мире, где сосуще­ствуют в неразрывной связи различные времена и иско­паемые различных эпох.

Теперь перед нами возникает новый вопрос. Мы уже говорили о том, что жизнь стала казаться столь же «естественной, как свободно падающее тело». Что обще­го между естественным процессом самоорганизации и свободно падающим телом? Какая связь может суще­ствовать между динамикой, наукой о силах и траекто­риях, и наукой о сложности и становлении, наукой о жизненных процессах и о естественной эволюции, частью которой они являются? В конце XIX в. необратимость связывали с трением, вязкостью и теплопроводностью. Необратимость была первопричиной потерь и непроиз­водительных расходов энергии. Тогда, к началу XIX в., необратимость еще можно было приписывать неполноте наших знаний, несовершенству наших машин и утверж­дать, будто природа в основе своей обратима. Теперь это безвозвратно ушло в прошлое: ныне даже физика говорит нам, что необратимые процессы играют конст­руктивную и неоценимую по значимости роль.

Тут мы и подходим к вопросу, уклониться от которо­го более невозможно. Как соотносятся между собой но­вая наука о сложности и наука о простом, элементар­ном поведении? Какая связь существует между столь противоположными взглядами на природу? Не означает ли все это, что существуют две теории, две истины для одного мира? Но как такое возможно?

В определенном смысле мы возвращаемся к самым истокам современной науки. Теперь, как и во времена Ньютона, сошлись лицом к лицу две науки: наука о гравитации, описывающая подчиненную законам вне­временную природу, и наука об огне, химия. Ныне мы понимаем, почему первый синтез, достигнутый наукой, ньютоновский синтез, не мог быть полным: описываемые динамикой силы взаимодействия не могут объяснить сложное и необратимое поведение материи. Ignis mutat res — огонь движет вещами. Согласно этому древнему высказыванию, химические структуры — творение огня, результат необратимых процессов. Как преодолеть брешь между бытием и становлением — двумя противо­речащими друг другу понятиями, одинаково необходи­мыми для достижения согласованного описания того странного мира, в котором мы живем?

272

Часть третья. От бытия к становлению

Глава 7. ПЕРЕОТКРЫТИЕ ВРЕМЕНИ

1. Смещение акцента

Уайтхед некогда писал о том, что «столкновение теорий — не бедствие, а благо, ибо открывает новые перспективы»1. Если это утверждение верно, то в исто­рии науки можно указать считанное число случаев, ког­да новая перспектива была столь же многообещающей, как и та, которая открылась при непосредственном столкновении двух миров: мира динамики и мира тер­модинамики.

Ньютоновская наука была вершиной, завершающим синтезом, увенчавшим столетия экспериментирования и теоретических исследований, происходивших в различ­ных направлениях, но метивших в одну точку. То же можно было бы утверждать и относительно термодина­мики. Рост науки не имеет ничего общего с равномер­ным развертыванием научных дисциплин, каждая из которых в свою очередь подразделяется на все боль­шее число водонепроницаемых отсеков. Наоборот, кон­вергенция различных проблем и точек зрения способ­ствует разгерметизации образовавшихся отсеков и за­кутков и эффективному «перемешиванию» научной куль­туры. Поворотные пункты в развитии науки приводят к последствиям, выходящим за рамки чистой науки и оказывающим влияние на всю интеллектуальную среду. Верно и обратное: глобальные проблемы часто были источниками вдохновения в науке.

Столкновение теорий, конфликт между бытием и становлением свидетельствуют о том, что новый пово­ротный пункт уже достигнут и возникла настоятельная необходимость в новом синтезе. Такой синтез обретает

275

свою форму в наше время, столь же неожиданную, как и все предыдущие синтезы. Мы снова являемся свиде­телями замечательной конвергенции исследований, каж­дое из которых вносит свой вклад в выяснение природы трудностей, присущих ньютоновской концепции науч­ной теории.

Ньютоновская наука претендовала на создание кар­тины мира, которая была бы универсальной, детерми­нистической и объективной, поскольку не содержала ссылки на наблюдателя, полной, поскольку достигну­тый уровень описания позволял избежать «оков» вре­мени.

Упомянув о времени, мы подходим к самому суще­ству проблемы. Что такое время? Следует ли нам при­нять ставшее традиционным после Канта противопо­ставление статического времени классической физики субъективно переживаемому нами времени? Вот что пишет об этом Карнап:

«Эйнштейн как-то заметил, что его серьезно беспо­коит проблема «теперь». Он пояснил, что ощущение настоящего, «теперь», означает для человека нечто су­щественно отличное от прошлого и будущего, но это важное отличие не возникает и не может возникнуть в физике. Признание в том, что наука бессильна по­знать это ощущение, было для Эйнштейна болезнен­ным, но неизбежным. Я заметил, что все происходя­щее объективно может быть описано наукой. С одной стороны, описанием временной последовательности со­бытий занимается физика, с другой стороны, особенно­сти восприятия человеком времени, в том числе различ­ное отношение человека к прошлому, настоящему и бу­дущему, может быть описано и (в принципе) объясне­но психологией. Но Эйнштейн, по-видимому, считал, что эти научные описания не могут удовлетворить на­ши человеческие потребности и что с «теперь» связано нечто существенное, лежащее за пределами науки»2.

Интересно отметить, что Бергсон, избравший в опре­деленном смысле иной путь, также пришел к дуали­стическому заключению (см. гл. 3). Подобно Эйнштей­ну, Бергсон начал с субъективного времени и, отправ­ляясь от него, двинулся к времени в природе, време­ни, объективированному физикой. Но, с точки зрения Бергсона, такая объективизация лишила время прочной основы. Внутреннее экзистенциальное время утратило

276

при переходе к объективированному времени свои ка­чественные отличительные свойства. По этой причине Бергсон ввел различие между физическим временем и длительностью — понятием, относящимся к экзистенци­альному времени.

Но на этом история не кончается. Как заметил Дж. Т. Фрезер, «последовавшее разделение на время ощущаемое и время понимаемое является клеймом на­учно-промышленной цивилизации, своего рода коллек­тивной шизофренией»3. Как мы уже отмечали, там, где классическая наука подчеркивала незыблемость и по­стоянство, мы обнаруживаем изменение и эволюцию. При взгляде на небо мы видим не траектории, некогда восхищавшие Канта ничуть не меньше, чем сам пре­бывающий в нем моральный закон, а некие странные объекты: квазары, пульсары, взрывающиеся и разры­вающиеся на части галактики, звезды, коллапсирующие, как нам говорят, в «черные дыры», которые без­возвратно поглощают все, что в них попадает.

Время проникло не только в биологию, геологию и социальные науки, но и на те два уровня, из которых его традиционно исключали: микроскопический и кос­мический. Не только жизнь, но и Вселенная в целом имеет историю, и это обстоятельство влечет за собой важные следствия.

Первая теоретическая работа, в которой космологи­ческая модель рассматривалась с точки зрения общей теории относительности, была опубликована Эйнштей­ном в 1917 г. В ней Эйнштейн нарисовал статическую, безвременную картину мира Спинозы, своего рода ми­росозерцание в переводе на язык физики. И тогда слу­чилось неожиданное: сразу же после выхода в свет работы Эйнштейна стало ясно, что, помимо найденных им стационарных решений, эйнштейновские уравнения допускают и другие нестационарные (т. е. зависящие от времени) решения. Этим открытием мы обязаны со­ветскому физику А. А. Фридману и бельгийцу Ж. Леметру. В то же время Хаббл и его сотрудники, занима­ясь изучением движения галактик, показали, что ско­рость дальних галактик пропорциональна расстоянию до них от Земли. В рамках теории расширяющейся Вселенной, основы которой были заложены Фридманом и Леметром, закон Хаббла был очевиден. Тем не менее на протяжении многих лет физики всячески сопротив-

277

лялись принятию «исторического» описания эволюции Вселенной. Сам Эйнштейн относился к нему с боль­шой осторожностью. Леметр часто рассказывал, что, когда он пытался обсуждать с Эйнштейном возмож­ность более точного задания начального состояния Все­ленной в надежде найти объяснение космических лу­чей, Эйнштейн не проявил никакого интереса.

Ныне мы располагаем новыми сведениями о знаме­нитом реликтовом излучении — «свете», испущенном при взрыве сверхплотного файербола, с которого началась наша Вселенная. По иронии истории, Эйнштейн (в известной мере против собственной воли) стал Дарвином физики. Дарвин учил, что человек составляет неотъемлемую часть биологической эволюции; и Эйн­штейн учил, что человек неразрывными узами связан с эволюцией Вселенной. Идеи Эйнштейна привели его к открытию «нового континента», и это открытие было для него столь же неожиданным, как открытие Амери­ки для Колумба. Подобно многим физикам своего по­коления, Эйнштейн исходил в своей деятельности из глубокого убеждения в существовании в природе фун­даментального простого уровня. Однако ныне этот уро­вень становится все менее доступным эксперименту. Единственные объекты, поведение которых действи­тельно «просто», существуют в нашем мире на макро­скопическом уровне. Классическая наука тщательно выбирала объекты изучения именно на этом промежу­точном уровне. Первые объекты, выделенные Ньюто­ном, действительно были простыми; свободно падаю­щие тела, маятник, движение планет. Однако, как мы знаем теперь, эта простота отнюдь не является отличи­тельной особенностью фундаментального: она не может быть приписана остальному миру.

Достаточно ли этого? Мы знаем ныне, что устойчи­вость и простота являются скорее исключением, чем правилом. Следует ли просто отбросить претендующие на всеобщность тоталитарные притязания концептуали­зации, применимые в действительности лишь к простым и устойчивым объектам? Нужно ли проявлять столь большую заботу о том, чтобы согласовать дина­мику и термодинамику?

Не следует забывать слова Уайтхеда, справедли­вость которых непрестанно подтверждается историей науки: столкновение теорий не бедствие, а благо ибо

278

открывает новые перспективы. Различные авторы доволь­но часто высказывали мысль о том, что мы из практических соображений игнорируем те или иные проблемы: по­скольку те основаны на трудно реализуемых идеализациях. В начале XX в. некоторые физики предлагали от­казаться от детерминизма на том основании, что он недостижим в реальном опыте4. Действительно, мы уже говорили о том, что точные положения и скорости мо­лекул в большой системе никогда нельзя считать из­вестными. Поэтому точно предсказать будущую эволю­цию системы невозможно. Впоследствии Бриллюэн по­пытался подорвать детерминизм, апеллируя к истине на уровне здравого смысла. Точное предсказание, рассуждал он, требует точного знания начальных усло­вий, а за это знание нужно платить. За точное предска­зание, необходимое для того, чтобы детерминизм «ра­ботал», необходимо платить бесконечно большую цену.

Подобные возражения при всей их разумности не оказывают особого влияния на концептуальный мир ди­намики. Не проливают они новый свет и на реальность. Кроме того, усовершенствования в области технологии могут все больше приближать нас к идеализации, тре­буемой классической динамикой.

В отличие от таких возражений доказательства «не­возможности» имеют фундаментальные значения. Каж­дое из них открывает какую-то неожиданную внутрен­нюю структуру реальности, обрекающую на провал чи­сто умозрительные построения. Такие открытия исклю­чают возможность проведения операции, ранее считав­шейся (по крайней мере в принципе) возможной. «Ни один двигатель не может иметь коэффициент полезно­го действия, который бы превышал единицу», «ни один тепловой двигатель не может производить полезную ра­боту, если он не находится в контакте с двумя источни­ками (нагревателем и холодильником)», — примеры двух утверждений о невозможности, которые привели к глубокой перестройке системы понятий.

В основе термодинамики, теории относительности и квантовой механики лежат открытия невозможности, установление пределов амбициозных притязаний клас­сической физики. Эти открытия ознаменовали в свое время конец целых направлений в естествознании, до­стигших своих пределов. Ныне они предстают перед на­ми в ином свете — не как конец, а как начало, как но-

279

вая, открывающаяся перспектива. В гл. 9 мы увидим, что второе начало термодинамики выражает «невоз­можность» даже на микроскопическом уровне, но и здесь эта недавно открытая невозможность становится исходным пунктом для возникновения новых понятий.

2. Конец универсальности

Научное описание должно соответствовать источникам, доступным наблюдателю, принадлежащему тому миру, который он описывает, а не существу, созерцаю­щему наш мир «извне». Таково одно из фундаментальных требований теории относительности. Она устанав­ливает предел скорости распространения сигнала, ко­торый не может быть превзойден ни одним наблюдате­лем. Скорость света с в вакууме (с=300 000 км/с) — предельная скорость распространения всех сигналов. Эта предельная скорость играет весьма важную роль:

она ограничивает ту область пространства, которая мо­жет влиять на точку нахождения наблюдателя.

В ньютоновской физике нет универсальных постоян­ных. Именно поэтому она претендует на универсаль­ность, на применимость независимо от масштаба объ­ектов: движение атомов, планет и небесных светил под­чиняется единому закону.

Открытие универсальных постоянных произвело ко­ренной переворот в бытующих взглядах. Используя скорость света как эталон для сравнения, физика ус­тановила различие между малыми и большими скоро­стями (последние приближаются к скорости света).

Аналогичным образом постоянная Планка h позво­лила установить естественную шкалу масс объектов. Атом уже не мог более считаться крохотной планетной системой: электроны принадлежат к иному масштабу масс, чем планеты и все тяжелые медленно движущие­ся макроскопические объекты, включая нас самих.

Универсальные постоянные не только разрушили однородность Вселенной введением физических масшта­бов, позволяющих устанавливать качественные разли­чия между отдельными типами поведения, но и приве­ли к новой концепции объективности. Ни один наблю­датель не может передавать сигналы со скоростью

большей, чем скорость света в вакууме. Исходя из

280

этого постулата, Эйнштейн пришел к весьма замеча­тельному выводу: мы не можем более определить аб­солютную одновременность двух пространственно раз­деленных событий; одновременность может быть опре­делена только относительно данной системы отсчета. Подробное изложение теории относительности увело бы нас слишком далеко от основной темы, поэтому мы ог­раничимся лишь одним замечанием. Законы Ньютона отнюдь не предполагают, что наблюдатель — «физиче­ское существо». Объективность описания определяется как отсутствие всякого упоминания об авторе описания. Для «нефизических» разумных существ, способных об­мениваться сигналами, распространяющимися с беско­нечно большой скоростью, теория относительности бы­ла бы неверна. То обстоятельство, что теория относи­тельности основана на ограничении, применимом к фи­зически локализованным наблюдателям, существам, могущим находиться в один момент времени лишь в одном месте, а не всюду сразу, придает физике не­кую «человечность». Это отнюдь не означает, будто физика субъективна, т. е. является результатом наших предпочтений и убеждений. Физика по-прежнему оста­ется во власти внутренних связей, делающих нас частью того физического мира, который мы описываем. Наша физика предполагает, что наблюдатель находится внут­ри наблюдаемого им мира. Наш диалог с природой успешен лишь в том случае, если он ведется внутри природы.

3. Возникновение квантовой механики

Теория относительности изменила классическое представление об объективности. Но она оставила не­изменной другую принципиально важную отличитель­ную особенность классической физики — претензию на «полное» описание природы. Хотя после создания спе­циальной теории относительности физики уже не мог­ли апеллировать к демону, наблюдающему всю Все­ленную извне, но еще обращались к всевышнему — ма­тематику, который, по словам Эйнштейна, изощрен, но не злонамерен и не играет в кости. Считалось, что все­ведущий математик владеет «формулой Вселенной», включавшей в себя полное описание природы. В этом

281

смысле теория относительности была продолжением классической физики.

Первой физической теорией, действительно порвав­шей с прошлым, стала квантовая механика. Она не только поместила нас в природу, но и присвоила нам атрибут «тяжелые», т. е. состоящие из макроскопиче­ски большого числа атомов. Дабы придать большую наглядность физическим следствиям из существования такой универсальной постоянной, как скорость света, Эйнштейн вообразил себя летящим верхом на фотоне. Но, как показала квантовая механика, мы слишком тяжелы для того, чтобы ездить верхом на фотонах или электронах. Мы не можем заменить те эфемерные су­щества, которым дано оседлать фотон, не можем отож­дествить себя с ними и описать, что бы они думали, ес­ли бы были наделены способностью мыслить, и что бы они ощущали, если бы могли чувствовать.

История квантовой механики, как и история любой концептуальной инновации, сложна и полна неожидан­ных событий. Это история логики, следствия из кото­рой были извлечены после того, как она возникла, вы­званная к жизни настоятельной потребностью экспери­мента, в сложной политической и культурной обстанов­ке5. Не имея возможности сколько-нибудь подробно останавливаться на истории квантовой механики, мы хотим лишь подчеркнуть ту роль, которую она сыграла в наведении моста между бытием и становлением — главной темы книги.

Своим рождением квантовая механика отчасти обя­зана стремлению физиков преодолеть пропасть, отде­лявшую бытие от становления. Планка интересовало взаимодействие между веществом и излучением. Он намеревался осуществить для взаимодействия вещест­ва со светом такую же программу, какую Больцман осуществил для взаимодействия вещества с веществом, а именно: построить кинетическую модель необратимых процессов, приводящих к равновесию6. К своему удив­лению, Планк обнаружил, что достичь согласия с экс­периментальными результатами в условиях теплового равновесия можно, лишь приняв гипотезу о том, что обмен энергией между веществом и излучением про­исходит только дискретными порциями, пропорциональ­ными новой универсальной постоянной. Эта универсаль­ная постоянная h служит мерой для порций энергии.

282

И в этом случае, как и во многих других, попытка понять природу необратимости способствовала сущест­венному прогрессу физики.

Открытие дискретности, или квантованности, энер­гии оставалось вне связи с другими физическими явле­ниями до тех пор, пока Эйнштейн не предложил пер­вую общую интерпретацию постоянной Планка. Эйн­штейн понял, к сколь далеки идущим последствиям приводит открытие Планка для природы света, и вы­двинул радикально новое понятие: дуализм волна — ча­стица (для света).

В начале XIX в. физики наделяли свет волновыми свойствами, проявляющимися в таких явлениях, как дифракция и интерференция. Но в конце XIX в. были открыты новые явления. Самым важным из новых от­крытий по праву считается фотоэлектрический эф­фект — испускание электронов поверхностью металла в результате поглощения света. Объяснить новые экспе­риментальные результаты традиционными волновыми свойствами света было трудно. Эйнштейн разрешил проблему фотоэлектрического эффекта, предположив, что свет может быть и волной, и частицей и что обе «ипостаси» света связаны между собой постоянной Планка. Точный смысл нашего утверждения состоит в следующем. Световая волна характеризуется частотой v и длиной волны l. Постоянная Планка позволяет пе­реходить от частоты и длины волны к таким механиче­ским величинам, как энергия e и импульс р. Соотноше­ния между v и l, а также между e и р очень просты (e=hv, p=h/l), и оба содержат постоянную Планка h, Через двадцать лет после Эйнштейна Луи де Бройль обобщил дуализм волна — частица со света на мате­рию. Это открытие послужило исходным пунктом со­временной формулировки квантовой механики.

В 1913 г. Нильс Бор установил связь новой кванто­вой физики со строением атомов (а впоследствии и мо­лекул). Исходя из дуализма волна — частица, Бор по­казал, что существует дискретная последовательность орбит электронов. При возбуждении атома электрон прыжком переходит с одной орбиты на другую. В этот самый момент атом испускает или поглощает фотон, частота которого соответствует разности энергии, ха­рактеризующей движение электрона по каждой из двух орбит. Эта разность вычисляется по формуле Эйнштей-

283

на, устанавливающей соотношение между энергией и частотой.

Наступили решающие 1925—1927 годы — «золотой век» физики7. За этот короткий период Гейзенберг, Борн, Иордан, Шредингер и Дирак превратили кван­товую механику в непротиворечивую новую теорию. Дуализм волна — частица Эйнштейна и де Бройля эта теория органично включила в схему новой обобщенной формы динамики: квантовой механики. Для нас сущест­венна концептуальная новизна квантовой механики.

Первая и, пожалуй, наиболее существенная особен­ность этой теории состояла в ее новой, неизвестной в классической физике формулировке, которая понадобилась для того, чтобы ввести в теоретический язык кван­тование. Атом (и это весьма существенно!) может на­ходиться лишь на дискретных энергетических уровнях, соответствующих различным орбитам электронов. Это, в частности, означает, что энергия (или гамильтониан) не может быть функцией только координат и импульса, как в классической механике (в противном случае, придавая координатам и импульсам значения, близкие к исходным, мы могли бы непрерывно изменять энер­гию, в то время как эксперимент показывает, что суще­ствуют лишь дискретные энергетические уровни).

Итак, от традиционного представления о гамильто­ниане как о функции координат и импульса, необходи­мо отказаться и заменить его чем-то новым. Основная идея квантовой механики состоит в том, что гамильто­ниан так же, как и другие величины классической ме­ханики, например координаты q или импульсы р, над­лежит рассматривать как операторы. Переход от чисел к операторам — одна из наиболее дерзких идей в со­временной науке, и нам хотелось бы обсудить ее более подробно.

Сама по себе эта идея очень проста, хотя на пер­вый взгляд кажется несколько абстрактной: оператор (математическую операцию, производимую над некото­рым объектом) необходимо отличать от объекта, на который он действует, — от функции. Выберем, напри­мер, в качестве математического оператора дифферен­цирование (взятие производной) d/dx. Действуя нашим оператором на какую-нибудь функцию (например, на х2), мы получим новую функцию (в данном случае 2х). Некоторые функции ведут себя при дифференцировании

284

особым образом. Например, производная от e3x равна 3e3x, т. е. отличается от исходной функции только чис­ленным множителем (равным в нашем примере 3). Функции, переходящие под действием оператора (с точ­ностью до численного множителя) в себя, называются собственными функциями данного оператора, а числен­ные множители, на которые они умножаются, — собст­венными значениями оператора.

Каждому оператору соответствует определенный на­бор собственных значений, который называется спект­ром. Если собственные значения образуют дискретную последовательность, то спектр дискретный. Например, существует оператор, имеющий собственными значе­ниями все целые неотрицательные числа: 0, 1, 2, ... Спектр может быть и непрерывным, например, состоять из всех чисел, заключенных между 0 и 1.

Основная идея квантовой механики сводится к сле­дующему: всем физическим величинам классической ме­ханики в квантовой механике соответствуют «свои» опе­раторы, а численным значениям, принимаемым данной физической величиной, — собственные значения ее квантовомеханического оператора. Подчеркнем одну важную особенность квантовой механики: различие, проводимое в ней между понятием физической величины (представимой оператором) и принимаемыми этой величиной численными значениями (представимыми собственными значениями оператора). В частности, энергии в кванто­вой механике соответствует оператор гамильтониан, а энергетическим уровням (наблюдаемым значениям энергии) — собственные значения спектра гамильто­ниана.

Введение операторов распахнуло перед физиками ворота в неожиданно богатый и разнообразный микро­скопический мир, и нам остается лишь сожалеть, что мы не можем уделить больше места такой увлекатель­ной области пауки, как квантовая механика, в которой творческое воображение и экспериментальное наблюде­ние столь успешно сочетаются друг с другом. Подчерк­нем лишь, что микроскопический мир подчиняется за­конам, имеющим качественно новую структуру. Тем самым раз и навсегда кладется конец всем надеждам на создание единой концептуальной схемы, общей для всех уровней описания.

Новый математический язык, изобретаемый для пре-

285

одоления вполне определенных трудностей, может спо­собствовать открытию новых областей исследования, полных неожиданностей, превосходящих самые смелые ожидания своих создателей. Так было с дифференци­альным исчислением, лежащим в основе классической динамики. Так было и с теорией операторов. Кванто­вая теория, созданная в ответ на насущную потреб­ность объяснения новых, неожиданных эксперименталь­ных открытий, — вскоре превратилась в почти необо­зримую terra incognita — бескрайний простор для ис­следований.

Ныне, через более чем пятьдесят лет после введения операторов в квантовую механику, их значение по-прежнему остается предметом горячих дискуссий. Исто­рически введение операторов связано с существовани­ем энергетических уровней, но теперь операторы приме­няются даже в классической физике. Их значение на­много превзошло ожидания основателей квантовой ме­ханики. Операторы ныне вступают в игру всякий раз, когда по той или иной причине приходится отказывать­ся от понятия динамической траектории, а вместе с ним и от детерминистического описания траектории.

4. Соотношения неопределенности Гейзенберга

Мы видели, что в квантовой механике каждой фи­зической величине соответствует оператор, который дей­ствует на функции. Особенно важную роль играют соб­ственные функции и собственные значения интересую­щего нас оператора. Собственные значения соответст­вуют допустимым численным значениям величины. Рас­смотрим теперь более подробно квантовомеханические операторы, связанные с координатами q и импульса­ми р (как показано в гл. 2, эти величины — канониче­ские переменные).

В классической механике координаты и импульсы независимы в том смысле, что мы можем приписывать координате любое численное значение совершенно неза­висимо от того, какое значение приписано нами им­пульсу. Но существование постоянной Планка h приво­дит к уменьшению числа независимых переменных. Об этом можно было бы догадаться, исходя из соотноше­ния Эйнштейна—де Бройля l=h/p, связывающего дли­ну волны с импульсом: постоянная Планка есть отно-

286

шение длины волны частицы (тесно связанной с поня­тием координаты) к ее импульсу. Следовательно, коор­динаты и импульс квантовомеханической частицы уже более не являются независимыми переменными, как в классической механике. Операторы, соответствующие координатам и импульсам, как объясняется во всех учебниках квантовой механики, могут быть представле­ны либо только в координатах, либо только в импуль­сах.

Важно подчеркнуть, что во всех этих случаях в представление оператора входят только однотипные ве­личины (либо только координаты, либо только импуль­сы), но не координаты и импульсы одновременно. В этом смысле можно утверждать, что в квантовой ме­ханике число независимых переменных вдвое меньше, чем в классической.

Из соотношения между операторами в квантовой механике вытекает одно фундаментальное свойство: два оператора — qоп и роп — не коммутируют, т. е., действуя на одну и ту же функцию операторами qопроп и ропqоп, мы получим различные функции. Некоммутационность операторов координат и импульсов приводит к весьма важным следствиям, так как только коммути­рующие операторы допускают общие собственные функции. Таким образом, невозможно указать функ­цию, которая была бы одновременно собственной функ­цией координаты и импульса. Из определения коорди­наты и импульса в квантовой механике следует, что не существует состояний, в которых эти две физические величины (т. е. координата q и импульс р) имели бы вполне определенное значение. Эту ситуацию, неизвест­ную в классической механике, выражают знаменитые соотношения неопределенности Гейзенберга. Мы можем измерять координату и импульс, но неопределенности в их значениях Dq и Dр связаны между собой неравен­ством Гейзенберга DqDр?h. Если неопределенность Dq в положении частицы сделать сколь угодной малой, то неопределенность Dр в ее импульсе обратится в бесконечность, и наоборот.

О соотношениях неопределенности Гейзенберга на­писано много, и мы сознательно переупрощаем их из­ложение. Нам хотелось лишь, чтобы читатель мог со­ставить хотя бы общее представление о новых пробле­мах, возникших в связи с использованием операторов.

287

Соотношение неопределенности Гейзенберга с необходи­мостью приводит к пересмотру понятия причинности. Мы можем определить координату с абсолютной точ­ностью, но в тот момент, когда это происходит, импульс принимает совершенно произвольное значение, положи­тельное или отрицательное. Это означает, что объект, положение которого нам удалось измерить абсолютно точно, тотчас же перемещается сколь угодно далеко. Локализация утрачивает смысл: понятия, составляющие самую основу классической механики, при переходе к квантовой механике претерпевают глубокие изменения.

Столь необычные следствия из квантовой механики были неприемлемы для многих физиков, в том числе и для Эйнштейна. Для доказательства их абсурдности было предложено и поставлено немало экспериментов. Предпринимались также попытки минимизировать кон­цептуальные изменения, вызванные квантовой механи­кой. В частности, высказывалась мысль о том, что ос­нования квантовой механики каким-то образом связаны с возмущениями, вносимыми в процессе наблюдения. Предполагалось, что система обладает внутренне впол­не определенными механическими параметрами — коор­динатами и импульсами, но в процессе измерения не­которые из этих параметров становятся неопределенны­ми, и неравенство Гейзенберга выражает лишь связь между возмущениями, вносимыми в систему при изме­рении. Тем самым классический реализм в основе сво­ей сохранялся бы в неприкосновенности, и мы лишь до­бавляли к нему позитивистское определение. Такая ин­терпретация слишком узка. Не квантовый процесс из­мерения вносит возмущения в значения координат и импульсов. Отнюдь нет! Постоянная Планка вынужда­ет нас к пересмотру традиционных представлений о ко­ординатах и импульсах. Такой вывод подтверждается недавними экспериментами, поставленными для про­верки гипотезы о скрытых переменных, выдвинутой для восстановления позиций классического детерминиз­ма8. Результаты экспериментов подтвердили правиль­ность поразительных следствий из квантовой механики.

Из того, что квантовая механика вынуждает нас говорить менее определенно о локализации объекта, следует, как часто подчеркивал Нильс Бор, необходи­мость отказа от классической физики. Для Бора по­стоянная Планка определяет взаимодействие между

288

квантовой системой и измерительным устройством как единым целым, включая взаимодействие в процессе из­мерения, в результате которого мы получаем возмож­ность приписывать измеряемым величинам численные значения. Все измерения, по Бору, подразумевают вы­бор измерительного устройства, выбор вопроса, на ко­торый требуется дать ответ. В этом смысле ответ, т. е. результат измерения, не открывает перед нами доступ к данной реальности. Нам приходится решать, какое измерение мы собираемся произвести над системой и какой вопрос наши эксперименты зададут ей. Следо­вательно, существует неустранимая множественность представлений системы, каждое из которых связано с определенным набором операторов.

В свою очередь это влечет за собой отход квантовой механики от классического понятия объективности, по­скольку с классической точки зрения существует един­ственное объективное описание. Оно является полным описанием системы «такой, как она есть», не завися­щим от выбора способа наблюдения.

Бор всегда подчеркивал новизну, нетрадиционность позитивного выбора, производимого при квантовомеханическим измерении. Физику необходимо выбрать свой язык, свой макроскопический измерительный прибор. Эту идею Бор сформулировал в виде так называемого принципа дополнительности9, который можно рассмат­ривать как обобщение соотношений неопределенности Гейзенберга. Мы можем измерить либо координаты, либо импульсы, но не координаты и импульсы одновре­менно. Физическое содержание системы не исчерпыва­ется каким-либо одним теоретическим языком, посред­ством которого можно было бы выразить переменные, способные принимать вполне определенные значения. Различные языки и точки зрения на систему могут ока­заться дополнительными. Все они связаны с одной и той же реальностью, но не сводятся к одному-единственному описанию. Неустранимая множественность то­чек зрения на одну и ту же реальность означает не­возможность существования божественной точки зре­ния, с которой открывается «вид» на всю реальность. Однако принцип дополнительности учит нас не только отказу от несбыточных надежд. Бор неоднократно го­ворил, что от размышлений над смыслом квантовой механики голова у него идет кругом, и с ним нельз

289

не согласиться: у каждого из нас голова пойдет кру­гом, стоит лишь оторваться от привычной рутины здра­вого смысла.

Реальный урок, который мы можем извлечь из прин­ципа дополнительности (урок, важный и для других областей знания), состоит в констатации богатства и разнообразия реальности, превосходящей изобрази­тельные возможности любого отдельно взятого языка, любой отдельно взятой логической структуры. Каждый язык способен выразить лишь какую-то часть реально­сти. Например, ни одно направление в исполнитель­ском искусстве и музыкальной композиции от Баха до Шёнберга не исчерпывает всей музыки.

Мы стремились всячески подчеркнуть важность вве­дения операторов, ибо они позволили нам достаточно убедительно показать: реальность, изучаемая физикой, есть не что иное, как конструкция нашего разума, а не только данность. Необходимо проводить различие между абстрактным понятием координаты или импуль­са, представляемых математически операторами, и их численной реализацией, достигаемой посредством экс­перимента. Одна из причин противопоставления «двух культур», по-видимому, кроется в убеждении, что ли­тература соответствует некоторой концептуализации реальности, чему-то вымышленному, в то время как наука выражает объективную реальность. Квантовая механика учит нас, что ситуация не столь проста. Су­щественный элемент концептуализации подразумевает­ся на всех уровнях реальности.

5. Временная эволюция квантовых систем

Перейдем теперь к рассмотрению временной эволю­ции квантовых систем. В квантовой механике, как и в классической, основную роль играет гамильтониан. Как мы уже знаем, в квантовой механике гамильтониан-функция заменяется гамильтониан-оператором Hоп. Этот оператор энергии выполняет весьма важную мис­сию: с одной стороны, его собственные значения соот­ветствуют энергетическим уровням, с другой стороны, как и в классической механике, гамильтониан опреде­ляет временную эволюцию системы. В квантовой меха­нике аналогом канонических уравнений классической механики является уравнение Шредингера, которое

290

описывает временную эволюцию функции ?, задающей квантовое состояние системы как результат действия на волновую функцию ? гамильтониана Hоп (сущест­вуют и другие формулировки квантовой механики, но мы не будем приводить их здесь). Термин волновая функция выбран для того, чтобы еще раз подчеркнуть столь важный для всей квантовой физики дуализм вол­на — частица. Напомним, что ? — амплитуда волны, эволюционирующей в соответствии с зависящим от ти­па частицы уравнением, задаваемым гамильтонианом. Как и канонические уравнения классической физики, уравнение Шредингера описывает обратимую и детер­министическую эволюцию. Обратимое изменение волно­вой функции в квантовой механике соответствует обра­тимому движению вдоль траектории. Если волновая функция в данный момент времени известна, то урав­нение Шредингера позволяет вычислить значение, при­нимаемое ею в любой другой момент времени как в прошлом, так и в будущем. С этой точки зрения ситуа­ция в квантовой механике вполне аналогична ситуации в классической механике. Столь тесная аналогия объ­ясняется тем, что время не входит в соотношения неоп­ределенности в квантовой механике. Время в квантовой механике — число, а не оператор, тогда как в соотно­шения неопределенности Гейзенберга могут входить только операторы.

Квантовая механика использует лишь половину пе­ременных классической механики, поэтому классиче­ский детерминизм становится неприменимым, и в кван­товой физике центральное место занимают статистиче­ские соображения. В соприкосновение с ними мы всту­паем через интенсивность волны | ? |2 (квадрат ампли­туды).

Стандартная статистическая интерпретация кванто­вой механики сводится к следующему. Рассмотрим соб­ственные функции какого-нибудь оператора (например, оператора энергии Hоп) и соответствующие им собст­венные значения. В общем случае волновая функция ? не является собственной функцией оператора энергии, но представима в вмде суперпозиции собственных функ­ций. Вес («важность»), с которым каждая собственная функция входит в эту суперпозицию, позволяет вычис­лять вероятность появления соответствующего собст­венного значения.

291

Здесь мы снова сталкиваемся с весьма важным от­клонением от классической теории: предсказуемы толь­ко вероятности, а не отдельные события. Второй раз за историю физики вероятности были привлечены для объяснения некоторых фундаментальных свойств при­роды. Впервые вероятности использовал Больцман в своей интерпретации энтропии. Однако предложенная Больцманом интерпретация отнюдь не исключала субъ­ективную точку зрения, согласно которой «только» ог­раниченность наших знаний перед лицом сложности си­стемы служит препятствием на пути к полному описа­нию. (Как мы увидим в дальнейшем, это заблуждение ныне вполне преодолимо.) Как и во времена Больцмана, использование вероятностей в квантовой механике оказалось неприемлемым для многих физиков (в том числе и для Эйнштейна), стремившихся к «полному» детерминистическому описанию. Как и в случае необра­тимости, ссылка на неполноту и ограниченность нашего знания, казалось, позволяла найти выход из создавше­гося затруднения: ответственность за статистический характер квантовомеханического описания так же, как некогда за необратимость, возлагалась на нашу неспо­собность охватить все детали поведения сложной си­стемы.

И здесь мы снова подошли к проблеме скрытых пе­ременных. Однако, как уже говорилось, из-за отсутст­вия сколько-нибудь убедительного экспериментального подтверждения от идеи введения скрытых переменных пришлось отказаться. Фундаментальная роль вероятно­стей в квантовой механике постепенно получила всеоб­щее признание.

Существует лишь один случай, когда уравнение Шредингера приводит к детерминистическому предска­занию: так бывает, когда волновая функция ?, представимая, вообще говоря, в виде суперпозиции собствен­ных функций, сводится к одной-единственной функции. В частности, при идеальном процессе измерения систе­ма может быть приготовлена таким образом, чтобы ре­зультат данного измерения был предсказуем. Тогда си­стему будет описывать единственная собственная функ­ция и поведение системы станет достоверно предсказуе­мым: она будет находиться в собственном состоянии, соответствующем результату измерения.

Процесс измерения в квантовой механике имеет

292

назад содержание далее



ПОИСК:




© FILOSOF.HISTORIC.RU 2001–2021
Все права на тексты книг принадлежат их авторам!

При копировании страниц проекта обязательно ставить ссылку:
'Электронная библиотека по философии - http://filosof.historic.ru'
Сайт создан при помощи Богданова В.В. (ТТИ ЮФУ в г.Таганроге)


Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь