Ч.3. гл.9. с.321-347

принципиальных и далеко не простых вопросов. Како­вы соотношения между общими законами диалектики и столь же универсальными законами механического движения? Становятся ли последние неприменимыми после того, как достигнута определенная стадия раз­вития, или же они просто неверны или неполны? Нель­зя еще раз не задать и наш предыдущий вопрос: как вообще могут быть связаны между собой мир процес­сов и мир траекторий19?

Но сколь ни легко критиковать субъективную ин­терпретацию необратимости и отмечать еe слабые сто­роны, выйти за ее рамки и сформулировать «объектив­ную» теорию необратимых процессов необычайно труд­но. В истории попыток создания этого предмета звучат и трагические ноты. Многие склонны считать, что имен­но отчетливое понимание принципиальных трудностей, стоящих на пути к созданию объективной теории необ­ратимых процессов и казавшихся непреодолимыми, привело Больцмана в 1906 г. к самоубийству.

5. Больцман и стрела времени

Как мы уже упоминали, Больцман сначала полагал, будто ему удалось доказать, что стрела времени опре­деляется эволюцией динамических систем от менее ве­роятных состояний к более вероятным или от состояний с меньшим числом комплексов к состояниям с боль­шим числом комплексов (число комплексов монотонно возрастает со временем). Обсуждали мы и возражения Пуанкаре и Цермело. Пуанкаре доказал, что всякая замкнутая динамическая система со временем возвра­щается в сколь угодно малую окрестность своего ис­ходного состояния. Иначе говоря, все состояния дина­мической системы так или иначе повторимы. Могла ли в таком случае стрела времени быть связана с возра­станием энтропии? После мучительных размышлений Больцман изменил свою позицию. Он оставил попытки доказать существование объективной стрелы времени и выдвинул новую идею, которая в известном смысле сво­дила закон возрастания энтропии к тавтологии. Больц­ман считал теперь, что стрела времени — не более чем соглашение, водимое нами (или, быть может, всеми живыми существами) в мир, в котором не существует объективного различия между прошлым и будущим.

321

Вот что писал, например, Больцман в ответ на крити­ку Цермело:

«Имеется выбор между двумя представлениями. Можно предположить, что вся Вселенная сейчас нахо­дится в некотором весьма невероятном состоянии. Но можно мыслить зоны — промежутки времени, по исте­чении которых снова наступают невероятные собы­тия, — такими же крошечными по сравнению с продол­жительностью существования Вселенной, как расстоя­ние от Земли до Сириуса ничтожно по сравнению с ее размерами.

Тогда во всей Вселенной (которая в противном слу­чае повсюду находилась бы в тепловом равновесии, т. е. была бы мертвой) имеются относительно неболь­шие участки порядка масштаба нашей звездной систе­мы (мы будем называть их отдельными мирами), ко­торые в течение относительно небольших по сравнению с эоном промежутков времени значительно отклоняют­ся от теплового равновесия, а именно: среди этих миров одинаково часто встречаются состояния, вероятности которых возрастают и уменьшаются. Таким образом, для Вселенной в целом два направления времени явля­ются неразличимыми, так как в пространстве нет верха и низа. Но точно так же, как мы в некотором опреде­ленном месте земной поверхности называем «низом» направление к центру Земли, так и живое существо, которое находится в определенной временной фазе од­ного из таких отдельных миров, назовет направление времени, ведущее к более невероятным состояниям, по-другому, чем противоположное (первое — как направ­ленное к «прошлому», к началу последнее — к «буду­щему», к концу), и вследствие этого названия будет об­наруживать «начало» для этих малых областей, выде­ленных из Вселенной, всегда в некотором невероятном состоянии.

Этот метод представляется мне единственным, с по­мощью которого можно осмыслить второе начало, теп­ловую смерть каждого отдельного мира без того, чтобы предполагать одностороннее изменение всей Вселенной от некоторого определенного начального состояния по направлению к некоторому итоговому конечному со­стоянию»20.

Идея Больцмана наглядно изображена на диаграм­ме, предложенной Карлом Поппером (рис. 29). Стре-

322

Рис. 29. Схематическое изображение больцмановской космологической интерпретации стрелы времени по Попперу (см. текст).

ла времени столь же произвольна, как и вертикальное направление, определяемое гравитационным полем.

Комментируя Больцмана, Поппер заметил следую­щее:

«Идея Больцмана поражает своей смелостью и красотой. Вместе с тем она заведомо неприемлема, по крайней мере для реалиста. Она объявляет одностороннее изменение иллюзией. В таком случае трагическую гибель Хиросимы также следует считать иллюзией. Но тогда и весь наш мир становится иллюзией вместе со всеми нашими попытками узнать о нем нечто новое. Тем самым идея Больцмана (как и любой идеализм) обрекает себя на поражение. Идеалистическая гипоте­за Больцмана имеет характер ad hoc гипотезы и про­тиворечит его собственной реалистической и не без страстности отстаиваемой антиидеалистической фило­софии и неутолимой жажде знания»21.

Мы полностью согласны с комментариями Поппера и считаем, что настало время опять вернуться к задаче, которую некогда ставил перед собой Больцман. Двад­цатый век стал свидетелем великой концептуальной революции в физике, что не могло не породит новые на­дежды на объединение динамики и термодинамики. Ныне мы вступаем в новую эру в истории времени, эру, в которой бытие и становление могут быть объединены в непротиворечивую картину.

323

Глава 9. НЕОБРАТИМОСТЬ — ЭНТРОПИЙНЫЙ БАРЬЕР

1. Энтропия и стрела времени

В предыдущей главе мы описали некоторые трудности микроскопической теории необратимых процессов. Ее связь с динамикой, классической или квантовой, не может быть простой в том смысле, что необратимость и сопутствующее ей возрастание энтропии не может быть общим следствием динамики. Микроскопическая теория необратимых процессов требует наложения дополни­тельных, более специфических условий. Мы вынуждены принять плюралистический мир, в котором обратимые и необратимые процессы сосуществуют. Но такой плю­ралистический мир принять нелегко.

В своем «Философском словаре» Вольтер утверж­дал по поводу предопределения следующее: «...все управляется незыблемыми законами ... все заранее предустановлено ... все необходимо обусловле­но... Есть люди, которые, испуганные этой истиной, до­пускают лишь половину ее, подобно должникам, вруча­ющим кредиторам половину своего долга с просьбой от­срочить выплату остального. Одни события, говорят та­кие люди, необходимы, другие — нет. Было бы странно, если бы часть того, что происходит, была бы должна происходить, а другая часть не должна была бы проис­ходить... Я непременно должен ощущать неодолимую потребность написать эти строки, вы — столь же не­одолимую потребность осудить меня за них. Мы оба одинаково глупы, оба — не более чем игрушки в руках предопределения. Ваша природа состоит в том, чтобы творить дурное, моя — в том, чтобы любить истину и опубликовать ее вопреки вам»1.

324

Сколь ни убедительно звучат такого рода априорные аргументы, они тем не менее могут вводить в за­блуждение. Рассуждение Вольтера выдержано в ньютоновском духе: природа всегда подобна самой себе. В этой связи небезынтересно отметить, что ныне мы находимся в том самом странном мире, о котором с та­кой иронией писал Вольтер. К своему изумлению, мы открыли качественное многообразие природы.

Неудивительно поэтому, что люди в нерешительности колебались между двумя крайностями: исключени­ем необратимости из физики (сторонником этого направления был, как мы уже отмечали, Эйнштейн2) и признанием необратимости как важной особенности природных явлений (выражителем этого направления стал Уайтхед со своей концепцией процесса). В настоя­щее время ни у кого не вызывает сомнений (см. гл. 5 и 6), что необратимость существует на макроскопичес­ком уровне и играет важную конструктивную роль. Следовательно, в микроскопическом мире должно быть нечто проявляющееся на макроскопическом уровне, по­добное необратимости.

Микроскопическая теория должна учитывать два тесно связанных между собой элемента. Прежде всего в своих попытках построить микроскопическую модель энтропии (H-функции Больцмана), монотонно изменя­ющейся со временем, мы должны следовать Больцману. Именно такое изменение должно задавать стрелу времени. Возрастание энтропии изолированной системы должно выражать старение системы.

Стрелу времени нам часто не удается связать с энт­ропией рассматриваемого процесса. Поппер приводит простой пример системы, в которой развивается одно­сторонне направляемый процесс и, следовательно, воз­никает стрела времени.

«Предположим, что мы отсняли на кинопленку об­ширную водную поверхность. Первоначально она по­коилась, а затем в воду бросили камень. Просматривая отснятый при этом фильм от конца к началу, мы уви­дим сходящиеся круговые волны нарастающей ампли­туды. Сразу же после того, как гребень волны достиг­нет наибольшей высоты, круглая область невозмущенной воды сомкнется в центре. Такую картину нельзя рассматривать как возможный классический процесс Для создания ее потребовалось огромное число коге-

325

рентных генераторов волн, расположенных далеко от центра, действие которых для того, чтобы быть объяс­нимым, должно выглядеть (как в фильме) так, словно всеми генераторами мы управляем из центра. Но если мы захотим просмотреть от конца к началу исправлен­ный вариант фильма, то столкнемся с теми же трудно­стями»3.

Действительно, какими бы техническими средствами мы ни располагали, всегда будет существовать опре­деленное расстояние от центра, за пределами которого мы не сможем генерировать сходящуюся волну. Одно­направленные процессы существуют. Нетрудно пред­ставить себе и многие другие процессы того же типа, что и процесс, рассмотренный Поппером —мы никогда не увидим, как энергия собирается со всех сторон к звезде, — или обратные ядерные реакции, протекающие с поглощением энергии.

Кроме того, существуют и другие стрелы времени, например космологическая стрела (о которой превос­ходно написал в своей книге «Этот правый, левый мир» Мартин Гарднер4). Предполагая, что Вселенная нача­лась с большого взрыва, мы тем самым подразумеваем существование временного порядка на космологическое уровне. Размеры Вселенной продолжают возрастать, но мы не можем отождествить радиус Вселенной с энтро­пией: внутри Вселенной, как мы уже упоминали, проис­ходят и обратимые, и необратимые процессы. Аналогич­ным образом в физике элементарных частиц существу­ют процессы, приводящие к нарушению T-симметрии. Последнее означает, что уравнения, описывающие эво­люцию системы при +t, отличны от уравнений, описы­вающих эволюцию системы при —t. Однако нарушение Т-симметрии не мешает нам включать ее в обычную (гамильтонову) формулировку динамики. Определить энтропию с помощью нарушения Т-симметрии невоз­можно.

В этой связи нельзя не вспомнить знаменитую дис­куссию между Эйнштейном и Ритцем, опубликованную в 1909 г.5. Совместная публикация Эйнштейна и Ритца крайне необычна. Она весьма коротка — занимает ме­нее печатной страницы. По существу, в ней лишь кон­статируется расхождение во взглядах. Эйнштейн счи­тал, что необратимость является следствием введенных Больцманом вероятностных понятий. Ритц же отводил

326

решающую роль различию между запаздывающими и опережающими волнами. Это различие напоминает нам аргументацию Поппера. Волны, которые мы наблюда­ем в пруду, — запаздывающие. Они появляются после того, как мы бросили камень.

И Эйнштейн и Ритц существенно обогатили дискус­сию о необратимости, но каждый из них акцентировал внимание лишь на каком-то одном аспекте проблемы. В гл. 8 мы упоминали о том, что вероятность уже предполагает направленность времени и, следователь­но, не может служить основанием при выводе стрелы времени. Мы упоминали и о том, что исключение та­ких процессов, как опережающие волны, не обязатель­но приводит к формулировке второго начала. Необхо­димы аргументы как одного, так и другого типа.

2. Необратимость как процесс нарушения симметрии

Прежде чем обсуждать проблему необратимости, полезно напомнить, как можно вывести другой тип нару­шения симметрии, а именно нарушение пространствен­ной симметрии. В уравнениях реакции с диффузией ту же роль играют «левое» и «правое» (уравнения диф­фузии инвариантны относительно инверсии пространст­ва r®—r). Тем не менее, как мы знаем, бифуркации могут приводить к решениям, симметрия которых нару­шена. Например, концентрация какого-нибудь из ве­ществ, участвующих в реакции, справа может оказать­ся больше, чем слева. Симметрия уравнений реакций с диффузией требует лишь, чтобы решения с нарушен­ной симметрией появлялись парами, а не поодиночке.

Разумеется, существует немало уравнений реакции с диффузией без бифуркаций и, следовательно, без на­рушений пространственной симметрии. Нарушение пространственной симметрии происходит лишь при весьма специфических условиях. Это обстоятельство крайне важно для понимания нарушений временной симмет­рии, которая представляет для нас особый интерес. Нам необходимо найти системы, в которых уравнения движения допускают существование режимов с низкой симметрией.

Как известно, уравнения движения инвариантны от­носительно обращения времени t®—t. Однако реше-

327

ния этих уравнений могут соответствовать эволюции, в которой симметрия относительно обращения времени утрачивается. Единственное условие, налагаемое сим­метрией уравнений, состоит в том, что решения с нару­шенной временной симметрией должны встречаться па­рами. Например, если мы находим решение, стремя­щееся к равновесному состоянию в далеком будущем (а не в далеком прошлом), то непременно должно су­ществовать решение, которое стремится к равновесно­му состоянию в далеком прошлом (а не в далеком бу­дущем). Решения с нарушенной симметрией возникают только парами.

Столкнувшись с подобной ситуацией, мы можем сформулировать внутренний смысл второго начала. Оно обретает статус принципа отбора, утверждающего, что в природе реализуется и наблюдается лишь один из двух типов решений. В тех случаях, когда оно при­менимо, второе начало термодинамики выражает внут­реннюю поляризацию природы. Оно не может быть следствием самой динамики. Второе начало является дополнительным принципом отбора, который, будучи реализованным, распространяется динамикой. Еще не­сколько лет назад выдвинуть подобную программу бы­ло бы решительно невозможно. Но за последние деся­тилетия динамика достигла замечательных успехов, и мы теперь располагаем всем необходимым для того, чтобы понять в деталях, как решения с нарушенной симметрией возникают в «достаточно сложных» дина­мических системах, и что, собственно, означает на мик­роскопическом уровне правило отбора, выражаемое вторым началом термодинамики. Именно это мы и хо­тим показать в следующем разделе.

3. Пределы классических понятий

Начнем с классической механики. Как мы уже упо­минали, если основным первичным элементом считать траекторию, то мир был бы таким же обратимым, как и те траектории, из которых он состоит. В «тра-екторном» описании нет места ни энтропии, ни стреле времени. Но в результате непредвиденного развития событий применимость понятия траек­тории оказалась более ограниченной, чем мож-

328

но было бы ожидать. Вернемся к теории ансамб­лей Гиббса и Эйнштейна, о которой мы говорили в гл. 8. Как известно, Гиббс и Эйнштейн ввели в физику фазовое пространство для того, чтобы учесть наше «не­знание» начального состояния системы большого числа частиц. Для Гиббса и Эйнштейна функция распределе­ния в фазовом пространстве была лишь вспомогатель­ным средством, выражающим незнание de facto ситуации, которая однозначно определена de jure. Но вся проблема предстает в новом свете, если можно по­казать, что для некоторых типов систем бесконечно точное определение начальных условий приводит к внутренне противоречивой процедуре. Но коль скоро это так, тот факт, что нам всегда известна не отдельная траектория, а группа (или ансамбль) траекторий, выражает уже не только ограниченность нашего зна­ния — он становится исходным пунктом нового подхода к исследованию динамики.

В простейших случаях никакой проблемы не возни­кает. Рассмотрим в качестве примера маятник. В зави­симости от начальных условий маятник может либо ко­лебаться, либо вращаться вокруг точки подвеса. Для того чтобы маятник вращался, его кинетическая энер­гия должна быть достаточно велика, иначе он «упа­дет назад», так и не достигнув вертикального положе­ния. Двум типам движения — колебаниям и вращени­ям — соответствуют две различные области фазового пространства. Причина, по которой эти области не пе­ресекаются, весьма проста: для вращения необходим больший запас кинетической энергии, чем для колеба­ния (см. рис. 30).

Если измерения позволяют установить, что система первоначально находится в заданной области, мы мо­жем с полной уверенностью предсказать, будет ли ма­ятник совершать колебания или вращаться вокруг точ­ки подвеса. Повысив точность измерений, мы можем локализовать начальное состояние маятника в более узкой области, целиком лежащей внутри предыдущей. И в том, и в другом случае поведение системы извест­но при любых t: ничего нового или неожиданного слу­читься не может.

Одно из наиболее удивительных открытий XX в. со­стоит в том, что такого рода описание не соответству­ет поведению динамических систем в общем случае, по-

329

Рис. 30. Представление движения маятника в пространстве координат V и q, где V — скорость, q — угловое отклонение, а) Ти­пичные траектории в пространстве (V, q); b) заштрихованные области соответствуют колебаниям, а области вне их — вращению маятника.

скольку «большинство» траекторий динамических си­стем неустойчиво6. Обозначим траектории одного типа (например, соответствующие «колебательным режи­мам») знаком +, а траектории другого типа (соответ­ствующие «вращательным режимам») знаком U. Вме­сто картины, изображенной на рис. 30, где области ко­лебательных и вращательных режимов разделены, мы получим в общем случае причудливую смесь состояний, что делает переход к отдельной точке весьма неодно­значным (см. рис. 31). Даже если известно, что началь­ное состояние нашей системы принадлежит области А, мы не можем заключить, что проходящая через него

330

Рис. 31. Схематическое изображение любой произвольно малой области фазового пространства V динамически неустойчивой системы. Как и в случае маятника, существуют траектории двух типов (обозначенные + и U), но, в отличие от маятника, траектории обоих типов встречаются в сколь угодно малой области.

траектория принадлежит типу +: траектория вполне может оказаться типа U. Увеличение точности измере­ний и связанный с ним переход от области А к более узкой области В также ничего не дает, так как неопре­деленность в типе траектории сохраняется. Во всех сколь угодно малых областях всегда существуют со­стояния, принадлежащие каждому из двух типов траек­торий7.

Для таких систем траектории становятся ненаблю­даемыми. Неустойчивость свидетельствует о достиже­нии пределов ньютоновской идеализации. Нарушается независимость двух основных элементов ньютоновской динамики: закона движения и начальных условий. За­кон движения вступает в конфликт с детерминирован­ностью начальных условий. В этой связи невольно вспоминается мысль Анаксагора о неисчерпаемости творческих возможностей частиц (семян), составляю­щих природу. По Анаксагору, любой предмет содержит в каждой своей части бесконечное множество качест­венно различных семян. В нашем случае любая об-

331

ласть фазового пространства содержит огромное мно­жество качественно различных режимов поведения.

С этой точки зрения детерминистическая траектория применима лишь в ограниченных пределах. А посколь­ку не только на практике, но и в теории мы не можем описывать систему на языке траекторий и вынуждены, использовать функцию распределения, соответствую­щую конечной (сколь угодно малой) области фазового пространства, нам остается лишь предсказывать стати­стическое будущее системы,

Наш друг Леон Розенфельд имел обыкновение го­ворить, что понятия могут быть поняты лишь через их пределы. В этом смысле можно утверждать, что мы достигли ныне лучшего понимания классической меха-пики, создание которой проложило путь к современно­му естествознанию.

Как возникла новая точка зрения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам придется описать те глу­бокие изменения, которые претерпела динамика в XX в. Хотя по традиции динамику принято считать архети­пом полной, замкнутой отрасли знания, в действитель­ности она подверглась коренным преобразованиям.

4. Возрождение динамики

В первой части нашей книги мы рассказали о дина­мике XIX в. Именно такую динамику излагают многие учебники. Прототипом динамической системы в XIX в. было принято считать интегрируемую систему. Решить уравнения движения означало «удачно» выбрать коор­динаты — так, чтобы соответствующие импульсы были инвариантами движения. Такой подход исключал взаи­модействие между частями системы. Ставка на ин­тегрируемые системы провалилась. Как уже упомина­лось, в конце XIX в. Брунс и Пуанкаре доказали, что большинство динамических систем, начиная со знаме­нитой проблемы трех тел, неинтегрируемы.

С другой стороны, сама идея приближения к равно­весию, сформулированная на языке теории ансамблей, требовала выхода за пределы идеализации интегрируе­мых систем. В гл. 8 мы видели, что в теории ансамб­лей изолированная система находится в равновесии, когда она представлена «микроканоническим ансамб­лем» — все точки на поверхности заданной энергии

332

Рис. 32. Временнaя эволюция ячейки в фазовом пространстве р, q. «Объем» ячейки и ее форма сохраняются во времени. Большая часть фазового пространства недоступна для системы.

равновероятны. Это означает, что для системы, стремя­щейся к равновесию, энергия должна быть единствен­ной величиной, сохраняющейся в ходе эволюции сис­темы. Энергия должна быть единственным инвариан­том. При любых начальных условиях система, эволю­ционируя, должна «побывать» во всех точках поверх­ности заданной энергии. Для интегрируемых систем энергия — далеко не единственный инвариант. Число инвариантов совпадает с числом степеней свободы, по­скольку у интегрируемой системы каждый обобщенный импульс остается постоянным. Следовательно, интег­рируемая система «заключена» на весьма ограничен­ном участке поверхности постоянной энергии (рис. 32) — пересечении всех инвариантных поверхностей.

Чтобы избежать этих трудностей, Максвелл и Больцман ввели новый, совершенно иной тип динами­ческой системы. Для таких систем энергия является единственным инвариантом, а сами системы получили название эргодических систем (рис. 33).

Выдающийся вклад в развитие теории эргодических систем внесли Дж. Биркгоф, фон Нейман, Хопф, Кол­могоров и Синай (разумеется, наш перечень далеко не полон)8,9,10. Ныне мы знаем, что существуют обшир­ные классы динамических (но не гамильтоновых) си-

333

Рис. 33. Типичная эволюция в фазовом пространстве ячейки, соответствующей эргодической системе. «Объем» и форма ячейки со­храняются во времени, но на этот раз ячейка перемещается по всему фазовому пространству.

стем, которые эргодичны. Известно также, что даже сравнительно простые системы могут обладать более сильными свойствами, чем эргодичность. Для таких си­стем движение в фазовом пространстве становится сильно хаотическим (хотя в полном соответствии с уравнением Луивилля — см. гл. 7 — объем в фазовом пространстве сохраняется).

Предположим, что наше знание начальных условий позволяет нам локализовать систему в малой ячейке фазового пространства. Наблюдая за эволюцией ячей­ки, мы увидим, как она начнет деформироваться и из­гибаться, испуская, подобно амебе, «псевдоножки» по всем направлениям и распространяясь в виде волокон, которые постепенно становятся все тоньше, пока нако­нец не заполнят все пространство. Ни один самый ис­кусный рисунок не может по достоинству передать

334

Рис. 34. Типичная эволюция в фазовом пространстве ячейки, соответствующей системе с перемешиванием. Объем по-прежнему со­храняется, но форма уже не остается неизменной: ячейка постепенно размазывается по всему фазовому пространству.

всей сложности реальной ситуации. Действительно, в ходе эволюции системы с перемешиванием две точки, сколь угодно близкие в начальный момент времени, могут разойтись в разные стороны. Даже если бы мы располагали столь обширной информацией о системе, что начальная ячейка, образованная представляющими ее точками, была бы очень мала, динамическая эволю­ция превратила бы эту миниатюрную область в настоя­щее геометрическое «чудовище», пронизывающее фа­зовое пространство своими нитями-щупальцами.

Продемонстрируем различие между устойчивыми и неустойчивыми системами на нескольких простых при­мерах. Рассмотрим двухмерное фазовое пространство. Через одинаковые промежутки времени станем произ­водить преобразования координат, при которых старая абсцисса р переходит в новую абсциссу р—q, а старая ордината q — в новую ординату р. На рис. 35 показа­но, что произойдет, если применить эти преобразовани

335

Рис. 35. Преобразование объема в фазовом пространстве, по­рождаемое дискретным преобразованием: абсцисса р переходит в р—q, ордината q переходит в р. Преобразование циклическое: после шестикратного повторения преобразования исходная ячейка перехо­дит в себя.

к квадрату: квадрат деформируется, но после шести­кратного действия преобразования мы возвращаемся к исходному квадрату. Система устойчива: соседние точ­ки преобразуются в соседние. Кроме того, рассмотрен­ное нами преобразование циклическое (после шести операций восстанавливается исходный квадрат).

Рассмотрим теперь два примера сильно неустойчи­вых систем. Первый пример чисто математический, вто­рой имеет непосредственное отношение к физике. Пер­вая система — преобразование, названное математика­ми по понятным соображениям преобразованием пекаря9,10 Берется квадрат и сплющивается в прямоуголь­ник. Половина прямоугольника отрезается, накладыва­ется на другую половину, а получившийся квадрат снова «раскатывается» в прямоугольник. Последова-

336

Рис. 36. Реализация «преобразования пекаря» В и обратного преобразования В-1. Траектории черной и белой точек позволяют понять, как происходит каждое преобразование.

тельность операций, представленная на рис. 36, может быть повторена сколько угодно раз.

Каждый раз квадрат разбивается на части, которые перекладываются в другом порядке. Квадрат в этом примере соответствует фазовому пространству. «Пре­образование пекаря» переводит каждую точку квадра­та в однозначно определенную новую точку. Хотя по­следовательность точек-образов вполне детерминистична, «преобразование пекаря» обнаруживает также ста­тистические свойства. Пусть начальное условие для си­стемы состоит в том, что область А квадрата первона­чально равномерно заполнена представляющими точ­ками. Можно показать, что, после того как преобразо­вание будет повторено достаточное число раз, началь­ная ячейка А, каковы бы ни были ее размеры и распо­ложение в квадрате, распадется на отдельные несвяз­ные части (рис. 37). Следовательно, любая область квадрата, независимо от ее размеров, всегда содер­жит различные траектории, которые при каждом «дроб­лении» области расходятся. Таким образом, несмотр

337

Рис. 37. Временнaя эволюция неустойчивой системы. Область А со временем делится на две области A' и А", каждая из которых в свою очередь делится на две подобласти.

на то что эволюция каждой точки в отдельности обра­тима и детерминистична, описание эволюции любой, даже сколь угодно малой области носит, по существу, статистический характер.

Другим примером простой системы с неожиданно сложным поведением может служить рассеяние твер­дых шаров. Рассмотрим маленький шарик, отражаю­щийся от больших случайно распределенных шаров. Предположим, что большие шары неподвижны. Такую модель физики называют моделью, или газом, Лоренца в честь выдающегося голландского физика Гендрика Антона Лоренца.

Траектория малого подвижного шарика вполне оп­ределена. Но стоит лишь нам ввести в начальные ус­ловия небольшую неопределенность, как в результате последовательных столкновений эта неопределенность усилится. Со временем вероятность найти малый ша­рик равномерно распределится по всему объему, заня­тому газом Лоренца. Каково бы ни было число преоб-

338

Рис. 38. Схематическое изображение неустойчивости траекто­рии маленького шарика, отражающегося от больших шаров. Малей­шая неточность в задании положения маленького шарика делает невозможным предсказание большого шара, с которым столкнется маленький шарик после первого отражения.

разований, газ никогда не вернется в исходное состоя­ние.

В двух последних примерах динамические системы были сильно неустойчивы. Ситуация, с которой мы сталкиваемся здесь, напоминает неустойчивости в тер­модинамических системах (см. гл. 5). Произвольно ма­лые различия в начальных условиях усиливаются. В результате переход от ансамблей в фазовом прост­ранстве к индивидуальным траекториям становится невозможным. Описание на языке теории ансамблей мы вынуждены принять за исходный пункт. Статистические понятия перестают быть лишь приближениями к неко­торой «объективной истине». Перед такими неустойчи­выми системами демон Лапласа оказался бы столь же бессильным, как и мы.

339

Высказывание Эйнштейна «бог не играет в кости» хорошо известно. Ему созвучно высказывание Пуанка­ре о бесконечно мощном духе, беспредельно осведомленном в законах природы, для которого вероятности просто не могли бы существовать. Однако Пуанкаре сам же указал путь к решению проблемы11. Он заме­тил, что когда мы бросаем игральные кости и прибе­гаем к теории вероятностей, то это отнюдь не означает, будто динамика неверна. Применение вероятностных соображений означает нечто другое. Мы используем понятие вероятности потому, что в любом диапазоне начальных условий, сколь бы малым он ни был, суще­ствует «много» траекторий, приводящих к выпадению каждой из граней кости. Именно это и происходит с неустойчивыми динамическими системами. Господь бог, если бы пожелал, мог бы вычислить траектории в не­стабильном динамическом мире. При этом он получил бы тот же результат, который нам позволяет получить теория вероятностей. Разумеется, всеведущему богу с его абсолютным знанием было бы нетрудно избавиться от всякой случайности.

Итак, мы можем констатировать, что тесная взаи­мосвязь между неустойчивостью и вероятностью, не­сомненно, существует. Это весьма важное обстоятельст­во, и к его обсуждению мы сейчас перейдем.

5. От случайности к необратимости

Рассмотрим последовательность квадратов, на которые действует «преобразование пекаря». Эта последо­вательность изображена на рис. 39. Представим себе, что заштрихованные области заполнены чернилами, а незаштрихованные — водой. При t=0 мы имеем так называемое производящее разбиение квадрата. При­няв его за исходное, мы построим серию разбиений либо на горизонтальные полосы, если отправимся в бу­дущее, либо на вертикальные полосы, если начнем дви­гаться в прошлое. В обоих случаях мы получим базис­ные разбиения. Произвольное распределение чернил по квадрату формально представимо в виде суперпози­ции базисных разбиений. Каждому базисному распре­делению можно поставить в соответствие внутреннее время, равное просто числу «преобразований пекаря», которые необходимо проделать, чтобы перейти от про-

340

Рис. 39. Начав с «производящего разбиения» (см. текст) в мо­мент времени 0 и многократно повторив «преобразование пекаря», мы получили горизонтальные полосы. Двигаясь в прошлое, мы по­лучили бы вертикальные полосы.

изводящего распределения к данному12. Следовательно, системы такого типа допускают своего рода внутрен­ний возраст*.

Внутреннее время Т сильно отличается от обычного механического времени, поскольку зависит от глобальной топологии системы. Можно даже говорить об «овременивании» пространства, тем самым вплотную при­ближаясь к идеям, недавно выдвинутым географами, которые ввели понятие хроногеографии13. Взглянув на «структуру города или ландшафта, мы видим времен­ные элементы как взаимосвязанные и сосуществующие. Бразилиа или Помпеи** вполне соответствовали бы оп­ределенному внутреннему возрасту, в какой-то мере аналогичному одному из базисных разбиений в «пре­образовании пекаря». Наоборот, современный Рим с его зданиями, построенными в самые различные перио­ды, соответствовал бы среднему времени точно так же, как произвольное разбиение разложимо на элементы,

отвечающие различным внутренним временам.

Посмотрим еще раз на рис. 39. Что произойдет, ес­ли мы продвинемся далеко в будущее? Зазоры между горизонтальными чернильными полосами будут стано­виться все уже и уже. Какова бы ни была точность

* Нетрудно видеть, что это внутреннее время, которое мы обозначим через Т, в действительности представляет собой опера­тор, аналогичный операторам, введенным в квантовой механике (см. гл 7). Действительно, произвольное разбиение квадрата обладает не однозначно определенным, а лишь «средним» временем, соответствующим суперпозиции базисных разбиений, из которых оно состоит.

** Бразилиа — город построенный в короткий срок по проекту Нимейера. Помпеи — город, переставший существовать в результате извержения Везувия. В первом случае город не имеет прошлого, во втором — будущего. — Прим. перев.

341

наших измерений, спустя некоторое время она будет превзойдена, и мы заключим, что чернила равномерно распределены по всему объему. Неудивительно поэто­му, что такого рода приближение к «равновесию» мож­но описать с помощью стохастических процессов типа цепей Маркова, о которых мы упоминали в гл. 8. Не­давно это утверждение было доказано со всей матема­тической строгостью14, но сам по себе результат пред­ставляется вполне естественным. Со временем чернила равномерно распределяются по объему так же, как ша­ры в модели Эренфестов равномерно распределялись по урнам (см. гл. 8). Но если мы заглянем в прошлое, снова начав с производящего разбиения при t=0, то увидим то же самое явление. Чернила будут распреде­ляться вертикальными полосами, и снова, углубив­шись в прошлое достаточно далеко, мы обнаружим равномерное распределение чернил по объему. Это по­зволяет нам сделать вывод о том, что и этот процесс допускает описание с помощью цепи Маркова, но на­правленной в прошлое. Таким образом, из неустойчи­вых динамических процессов мы получаем две цепи Маркова: одну, стремящуюся к равновесию в будущем, другую — в прошлом. Мы считаем, что этот результат весьма интересен, и хотели бы его прокомментировать. Внутреннее время дает нам новое, «нелокальное» описание.

Хотя «возраст» системы (т. е. соответствующее раз­биение) нам известен, мы тем не менее не можем сопо­ставить ему однозначно определенную локальную тра­екторию. Мы знаем лишь, что система находится где-то в заштрихованной части квадрата (см. рис. 39). Анало­гичным образом, если известны точные начальные ус­ловия, соответствующие какой-то точке системы, то мы не знаем ни разбиения, которому она принадлежит, ни возраста системы. Следовательно, для таких систем существуют два взаимодополнительных описания. Си­туация здесь несколько напоминает ту, с которой мы уже встречались в гл. 7 при рассмотрении квантовой механики.

Существование новой альтернативы — нелокального описания — открывает перед нами путь к переходу от динамики к вероятностям. Системы, для которых такой переход возможен, мы называем внутренне случайными системами.

342

В классических детерминистических системах мы можем говорить о вероятностях перехода из одной точ­ки в другую лишь в весьма вырожденном смысле: вероятность перехода равна единице, если две точки ле­жат на одной динамической траектории, и нулю, если они не лежат на одной траектории.

В настоящей вероятностной теории нам понадобятся вероятности, принимающие, к отличие от вероятностей типа «нуль—единица», любые значения от пуля до единицы. Как такое возможно? Здесь перед нами во весь рост встает конфликт между субъективистскими взглядами на вероятность и ее объективными интер­претациями. Субъективная интерпретация соответствует случаю, когда отдельные траектории неизвестны. Вероятность (и в конечном счете связанная с ней необ­ратимость) при таком подходе имеет своим истоком наше незнание. К счастью, существует другая, объек­тивная интерпретация: вероятность возникает в резуль­тате альтернативного описания динамики, нелокального описания, возможного лишь для сильно неустойчи­вых динамических систем.

При таком подходе вероятность становится объек­тивным свойством, порождаемым, так сказать, внутри динамики и отражающим фундаментальную структуру динамической системы. Мы уже подчеркивали важ­ность основного открытия Больцмана — установления связи между энтропией и вероятностью. Для внутрен­не случайных систем понятие вероятности обретает ди­намический смысл. Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к необрати­мым системам. Как мы уже знаем, неустойчивые дина­мические процессы порождают по две цепи Маркова.

Взглянем на эту двойственность с другой точки зрения. Рассмотрим распределение, сосредоточенное не на всей поверхности квадрата, а на отрезке прямой. Отрезок может быть вертикальным или горизонталь­ным. Выясним, что произойдет с этим отрезком под действием «преобразований пекаря», обращенных в бу­дущее. Результат их показан на рис. 40: вертикальный отрезок рассекается на части и в далеком будущем стягивается в точку. Наоборот, горизонтальный отрезок при каждом «преобразовании пекаря» удваивается, и в далеком будущем его образы («копии») равномерно покроют весь квадрат. Ясно, что при движении вспять

343

Рис. 40. Сжатие и растяжение слоев при «преобразовании пе­каря». Со временем сжимающийся слой А1 сокращается (последова­тельные этапы сокращения обозначены А1, В1, C1). Растягивающиеся слои удваиваются (последовательные этапы удвоения обозначены А2, В2, С2).

во времени (в прошлое) наблюдается обратная карти­на. По очевидным причинам вертикальный отрезок на­зывается сжимающимся, а горизонтальный — растягивающимся слоем.

Мы видим, что аналогия с теорией бифуркаций полная. Сжимающийся слой и растягивающийся слой соответствуют двум реализациям динамики, каждая из которых связана с нарушением симметрии и появлени­ем несимметричных режимов парами. Сжимающийся слой отвечает равновесному состоянию в далеком буду­щем, растягивающийся — в далеком прошлом. Мы по­лучаем, таким образом, две цепи Маркова с противо­положной ориентацией во времени.

Теперь нам необходимо совершить переход от внут­ренне случайных систем к системам внутренне необра­тимым. Для этого нам необходимо понять, чем, собст­венно, отличается сжимающийся слой от растягиваю­щегося. Нам известна еще одна система, столь же не­устойчивая, как и «преобразование пекаря», — систе­ма, описывающая рассеяние твердых шаров. Для этой системы растягивающиеся и сжимающиеся слои име­ют простой физический смысл. Сжимающийся слой со­ответствует множеству твердых шаров, скорости кото­рых случайным образом распределены в далеком прош-

344

лом и становятся параллельными в далеком будущем. Растягивающийся слой соответствует обратной ситуа­ции: скорости сначала параллельны, а затем их распре­деление становится случайным. Различие между сжи­мающимися и растягивающимися слоями очень напо­минает различие между расходящимися и сходящими­ся волнами в примере Поппера. Исключение сжимаю­щихся слоев соответствует экспериментально установленному факту: как бы ни изощрял свое хитроумие экс­периментатор, ему никогда не удастся добиться, чтобы скорости в системе оставались параллельными после произвольного числа столкновений. Исключая сжима­ющиеся слои, мы оставляем тем самым лишь одну из двух введенных нами цепей Маркова. Иначе говоря, второе начало становится принципом отбора началь­ных условий. Оно допускает лишь такие начальные условия, при которых система эволюционирует к равно­весному состоянию в будущем.

Правильность такого принципа отбора подтвержда­ется динамикой. Нетрудно видеть, что в примере с «преобразованием пекаря» сжимающийся слой навсег­да остается сжимающимся, а растягивающийся — рас­тягивающимся. Подавляя одну из двух цепей Маркова, мы переходим от внутренне случайной к внутренне не­обратимой системе. В описании необратимости мы выде­ляем три основных элемента:

неустойчивость

­

внутренняя случайность

­

внутренняя необратимость

Самым сильным из них является внутренняя необрати­мость: случайность и неустойчивость следуют из не­го14,15.

Каким образом подобный вывод можно совместить с динамикой? Как известно, в динамике «информация» сохраняется, в то время как цепи Маркова, забывая пре­дысторию, утрачивают информацию (вследствие чего энтропия возрастает; см. гл. 8). Никакого противоречия здесь нет: когда от динамического описания «преобра­зования пекаря» мы переходим к термодинамическому описанию, нам приходится изменять функцию распреде­ления. Связано это с тем, что «объекты», в терминах которых энтропия возрастает, отличаются от объектов,

345

рассматриваемых в динамике. Новая функция распре­деления r соответствует внутренне ориентированному во времени описанию динамической системы. Мы не можем останавливаться на математических аспектах перехода от старой функции распределения к новой. Скажем лишь, что преобразование, переводящее одну функцию распределения в другую, должно быть нека­ноническим (см. гл. 2). Следовательно, прийти к термо­динамическому описанию мы можем лишь ценой отказа от обычных понятий динамики.

Примечательно, что такое преобразование существу­ет, в результате чего оказывается возможным объеди­нить динамику и термодинамику, физику бытия и физи­ку становления. Позднее в этой главе и в заключитель­ном разделе книги мы еще вернемся к новым термоди­намическим объектам. Подчеркнем лишь, что в состоянии равновесия всякий раз, когда энтропия достигает своего максимума, эти объекты должны вести себя случайным образом.

Заслуживает внимания и то, что необратимость воз­никает, так сказать, из неустойчивости, наделяющей на­ше описание неустранимыми статистическими особенно­стями. Действительно, что означала бы стрела времени в детерминистическом мире, в котором и прошлое и бу­дущее содержатся в настоящем? Стрела времени ассо­циируется с переходом из настоящего в будущее имен­но потому, что будущее не содержится в настоящем и мы совершаем переход из настоящего в будущее. Построение необратимости на основе случайности чре­вато многими последствиями, выходящими за рамки собственно естествознания. Этих последствий мы кос­немся в заключительном разделе нашей книги, а теперь кратко поясним, в чем заключается различие между со­стояниями, разрешенными вторым началом, и состоя­ниями, которые второе начало запрещает.

6. Энтропийный барьер

Время течет в одном направлении: из прошлого в бу­дущее. Мы не можем манипулировать со временем, за­ставить его идти вспять, в прошлое. Путешествие во времени занимало воображения многих писателей: от безымянных создателей «Тысячи и одной ночи» до Гер­берта Уэллса с его «Машиной времени». В небольшом

346

произведении В. Набокова «Посмотри на арлекинов!»16 описываются муки рассказчика, которому не удается переключиться с одного направления времени на другое, чтобы «повернуть время вспять». В пятом томе своего капитального труда «Наука и цивилизация в Китае» Джозеф Нидэм описывает мечту китайским алхимиков: «свою высшую цель те видели не в превращении метал­лов в золото, а в манипулировании временем, достиже­нии бессмертия путем резкого замедления всех процес­сов распада в природе17. Теперь мы лучше понимаем, почему время невозможно «повернуть назад».

Бесконечно высокий энтропийный барьер отделяет разрешенные начальные состояния от запрещенных. Барьер этот никогда не будет преодолен техническим прогрессом: он бесконечно высок. Нам не остается ни­чего другого, как расстаться с мечтой о машине време­ни, которая перенесет нас в прошлое. Энтропийный барьер несколько напоминает другой барьер: существо­вание предельной скорости распространения сигналов скорости света. Технический прогресс может приблизить нас к скорости света, но, согласно современным физи­ческим представлениям, мы никогда не сможем превзой­ти ее.

Для того чтобы понять происхождение энтропийного барьера, нам потребуется вернуться к выражению для H-функции, возникающему в теории цепей Маркова (см. гл. 8). Сопоставим с каждым распределением чис­ла соответствующее значение H-функции. Можно ут­верждать, что каждое распределение обладает вполне определенным информационным содержанием. Чем вы­ше информационное содержание, тем труднее реализо­вать его носитель. Покажем, что начальное распреде­ление, запрещенное вторым началом, обладало бы бес­конечно большим информационным содержанием. Имен­но поэтому такие запрещенные распределения невоз­можно ни реализовать, ни встретить в природе.

Напомним сначала, какой смысл имеет введенная в гл. 8 H-функция. Разделим фазовое пространство на клетки, или ячейки. С каждой ячейкой k сопоставим ве­роятность Рравн(k) попасть в нее в равновесном состоя­нии и вероятность Р(k,t) оказаться в ней в неравновес­ном состоянии.

H -функция есть мера различия между P(k,t) иРравн(k) . В состоянии равновесия, когда различие

347