Заключение с.348-373

Рис. 41. Растягивающиеся (последовательность А) и сжимаю­щиеся (последовательность С) слои пересекают различное число кле­ток («ящиков»), на которые разделено фазовое пространство «преоб­разования пекаря». Все «квадраты», принадлежащие данной последо­вательности, относятся к одному моменту времени t=2, но число кле­ток, на которые разделен каждый квадрат, зависит от начала отсчета времени системы ti.

между вероятностями исчезает, H -функция обращается в нуль. Чтобы сравнить его с «преобразованием пекаря» и двумя порождаемыми им цепями Маркова, необходи­мо уточнить, как выбираются соответствующие ячейки. Предположим, что мы рассматриваем систему в момент времени 2 (см. рис. 39) и что в исходном состоянии система находилась в момент времени ti. Согласно на­шей динамической теории, клетки соответствуют всем возможным пересечениям разбиений от t=ti до t=2. На рис. 39 мы видим, что, когда ti отходит в прошлое,

348

ячейки становятся все более тонкими, поскольку нам приходится вводить все больше и больше вертикальных подразделений. Это отчетливо видно на рис. 41, где-в последовательности В мы получаем при движении сверху вниз ti-=1, 0, —1 и, наконец, ti=—2. Нетрудно видеть, что число ячеек возрастает при этом с 4 до 32.

Коль скоро мы располагаем ячейками, естественно сравнить неравновесное распределение с равновесным в каждой ячейке. В рассматриваемом нами примере неравновесное распределение есть либо растягивающийся слой (последовательность А), либо сжимающий­ся слой (последовательность С). Обратим внимание на то, что по мере сдвига ti в прошлое растягивающийся слой занимает все большее число ячеек: при ti=—1 он занимает 4 ячейки, при ti=—2 — уже 8 ячеек и т. д. В результате, воспользовавшись формулой из гл. 8, мы получаем конечный «ответ», даже если число ячеек неограниченно возрастает при ti®?.

Сжимающийся слой в отличие от растягивающегося при любых ti всегда локализован в 4 ячейках. Это при­водит к тому, что H-функция для сжимающегося слоя обращается в бесконечность, когда ti уходит в прош­лое. Таким образом, различие между динамической си­стемой и цепью Маркова состоит в том, что в случае динамической системы необходимо рассматривать бес­конечно много ячеек. Приготовить или наблюдать мож­но лишь такие меры или вероятности, которые в преде­ле при бесконечно большом числе ячеек дают конечную информацию или конечную H-функцию. Это исключает сжимающиеся слои18. По той же причине необходимо исключить и распределения, сосредоточенные в одной точке. Начальные условия, соответствующие одной точ­ке в неустойчивой системе, соответствовали бы беско­нечной информации. Следовательно, ни реализовать, ни наблюдать их невозможно. И в этом случае второе нача­ло выступает в роли принципа отбора.

В классической схеме начальные условия были про­извольными. Для неустойчивых систем произвол исклю­чается. Каждое начальное условие обладает в случае неустойчивых систем определенным информационным содержанием, которое зависит от динамики системы (подобно тому как в «преобразовании пекаря» для вы­числения информационного содержания мы прибегли к последовательному делению ячеек). Начальные усло-

349

вия и динамика перестают быть независимыми. Второе начало как принцип отбора представляется нам настоль­ко важным, что мы хотели бы привести еще один при­мер, на этот раз связанный с динамикой корреляций.

7. Динамика корреляций

В гл. 8 мы кратко обсудили эксперимент с обраще­нием скоростей. Возьмем разреженный газ и проследим за его эволюцией во времени. При t=t0 обратим скорости всех молекул газа. Газ вернется в начальное состоя­

Рис. 42. Рассеяние частиц. Первоначально скорости всех частиц равны. После соударения равенство скоростей нарушается и рас­сеянные частицы коррелированы с рассеятелем (корреляции здесь и далее изображены волнистыми линиями).

ние. Мы уже обращали внимание на то, что для воспро­изведения своего прошлого газу необходимо некое хра­нилище информации — своего рода «память». Такой па­мятью являются корреляции между частицами19.

Рассмотрим сначала облако частиц, движущихся к мишени (тяжелой неподвижной частице). Схематиче­ски ситуация изображена на рис. 42. В далеком прош­лом корреляций между частицами не было. Рассеяние приводит к двум эффектам (см. гл. 8): оно «разбрасы­вает» частицы (делает распределение скоростей более симметричным) и, кроме того, порождает корреляции между рассеянными частицами и рассеивателем. Корре­ляции станут заметными, если обратить скорости (на­пример, с помощью сферического зеркала). Эта ситуа­ция изображена на рис. 43 (волнистыми линиями ус­ловно показаны корреляции). Таким образом, роль рас-

350

сеяния сводится к следующему. При прямом рассеянии распределение скоростей становится более симметрич­ным и возникают корреляции между частицами. При обратном рассеянии распределение скоростей становится менее симметричным, а корреляции исчезают. Таким образом, учет корреляций приводит к основному раз­личию между прямым и обратным рассеянием.

Аналогичные рассуждения применимы и к системе многих тел. Здесь также возможны ситуации двух ти­-

Рис. 43. Влияние обращения скоростей после соударения: после нового «обращенного» соударения корреляции подавлены и скоро­сти всех частиц равны.

пов. В одном случае (прямой процесс) некоррелирован­ные частицы налетают, рассеиваются и порождают кор­релированные частицы (рис. 44). В другом случае (об­ратный процесс) коррелированные частицы налетают, корреляции при столкновениях нарушаются и после-столкновении частицы уже не коррелированы (рис. 45).

Прямой и обратный процессы отличаются последо­вательностью столкновений и корреляций во времени. В первом случае имеют место корреляции послестолкновительиыс («постстолкновительные»). Имея в виду раз­личие между пред- и послестолкновительными корреля­циями, вернемся к эксперименту с обращением скоро­стей. Начнем при t=0 — с начального состояния, соот­ветствующего корреляциям между частицами. В интер­вале времени от t=0 до t=t0 система эволюционирует «нормально»: в результате столкновений распределение скоростей приближается к распределению Максвелла. Кроме того, столкновения порождают послестолкновительные корреляции между частицами. При t=t0 проис­ходит обращение скоростей и возникает качественно но­вая ситуация. Послестолкновительные корреляции ста-

351

новятся предстолкновительными. В интервале времени от t=t0 до t=2t0 эти предстолкновительные корреляции исчезают, распределение скоростей становится менее симметричным, и к моменту времени t=2t0 полностью

восстанавливается некоррелированное состояние. Таким образом, история системы делится на два этапа. На первом этапе столкновения трансформируются в корре-

Рис. 44. Возникновение корреляций после соударения (корреляции условно изображены волнистыми линиями).

Рис. 45. Разрушение предстолкновительных корреляций (волнистые линии) при столкновениях.

ляции, на втором этапе происходит обратное превраще­ние корреляций в столкновения. Оба типа процессов — прямой и обратный — не противоречат законам дина­мики. Кроме того, как мы уже упоминали в гл. 8, полная «информация», описываемая динамикой, остается постоянной. Мы видели также, что в больцмановском описании эволюция от t=0 до t=t0 соответствует обычному убыванию H-функции, а в интервале от t=t0 до t=2t0 эволюция протекала бы аномально: H-функция возрастала бы, а энтропия убывала. Но это означало бы, что можно придумать эксперименты, как лаборатор­ные, так и численные, в которых нарушалось бы второе начало! Необратимость на интервале [0, t0] компенси­ровалась бы «антинеобратимостью» на интервале [t0, 2t0 ].

352

Такое положение нельзя признать удовлетворитель­ным. Все трудности устраняются, если перейти к новому «термодинамическому представлению», в рамках которо­го динамика, как в «преобразовании пекаря», становит­ся вероятностным процессом, аналогичным цепи Марко­ва. Следует также учесть, что обращение — процесс не

Рис. 46. Временная эволюция H-функции в эксперименте с об­ращением скоростей. В момент времени t0 происходит обращение скоростей — H-функция претерпевает разрыв. В момент времени 2t0 система находится в таком же состоянии, как в момент времени 0, — H-функцця возвращается к своему начальному значению. При всех t, за исключением t=t0, H-функция убывает. Важно подчеркнуть, что при t=t0, H-функция принимает два различных значения.

«естественный». Для обращения скоростей к молекулам извне должна поступить «информация». Для того чтобы обратить скорости, необходимо существо, аналогич­ное демону Максвелла, а за демона Максвелла прихо­дится «платить». Изобразим зависимость H-функции от времени (для какого-нибудь вероятностного процесса). Типичный график такой зависимости представлен на рис. 46. При нашем подходе (в отличие от больцмановского) эффект корреляций при переопределении H-функции сохраняется. Следовательно, в точке обращения скоростей t0 функция H должна претерпевать скачок,

353

поскольку мы внезапно создаем в этой точке аномаль­ные предстолкновительные корреляции, которые должны нарушиться позднее. Скачок H-функции соответствует энтропии, или информационной цене, которую нам при­ходится платить.

Итак, мы получаем адекватное представление вто­рого начала: в любой момент времени H-функция убы­вает (энтропия возрастает). Единственным исключением является точка t0: H-функция претерпевает в ней скачок в тот самый момент, когда система открыта. Лишь воз­действуя на систему извне, можно «обратить» скоро­сти.

Нельзя не отметить еще одно важное обстоятельство: при t=t0 новая H-функция принимает два различных значения, одно — для системы до обращения скоростей, другое — для системы после обращения скоростей. Энт­ропия системы до обращения и после обращения скоро­стей различна. Это напоминает ситуацию, происходя­щую при «преобразовании пекаря», когда сжимающий­ся и растягивающийся слои — скорости, переходящие друг в друга при обращении.

Предположим, что, прежде чем произв