Часть 11.

постепенно, по мере того как совершенствуется наука. Можно даже сказать, что по мере своего роста науки сокращаются — это парадокс, но он отвечает действительности, ибо, чем больше вы откроете истин, тем вернее вы сумеете обнаружить в них закономерную последовательность и тем более и более всеобъемлющими будут ваши положения, так что прочие предложения по отношению к ним окажутся лишь частными случаями либо следствиями и в конце концов может случиться, что содержание толстого фолианта, написанного кем-либо из наших предшественников, сведется к двум-трем общим тезисам. Итак, чем совершеннее наука, тем менее она нуждается в толстых книгах, ибо, коль скоро определены в достаточной мере ее элементы, можно извлекать из них всё при помощи всеобщей науки, или искусства открытия. Однако, как только мы сумеем заполучить эти элементы,, потеряют значение раздутые системы, ибо, давая нам в руки стройный перечень главнейших теорем, уже найденных, элементы не только избавят нас от необходимости отыскивать нужное и послужат нам наподобие таблиц с уже вычисленными величинами, но и будут служить для нас поводом к новым размышлениям и практическим выводам. Не говоря уже о том, что прекрасная гармония истин, когда охватываешь ее единым взглядом, в стройной системе, доставляет уму больше удовлетворения, чем самая сладостная музыка, и внушает особое благоговение перед творцом всех существ, являющимся источником истины, в чем и заключается главная польза наук.

Что же касается незаписанных знаний, тех, которые рассеяны среди людей разных профессий, то я убежден, что они намного превосходят как по объему, так и по своему значению все зафиксированное в книгах и что лучшая часть нашего богатства еще не внесена в наши записи. Кроме того, всегда существуют такие знания, которые являются достоянием некоторых лиц и исчезают вместе с ними. Нет такого механического ремесла, сколь бы мелким и незначительным оно ни было, с которым не были бы связаны те или иные примечательные наблюдения или соображения, и люди всех специальностей и призваний обладают определенными навыками и находками, разобраться в которых нелегко, но которые тем не менее могут послужить для гораздо более возвышенных обобщений. Можно добавить, что такая важна

==487

область, как мануфактуры и торговля, не может быть приведена в порядок иначе, как путем точного описания всего относящегося к любому роду ремесел, и что военные, финансовые и морские дела во многом зависят от математических наук и от прикладной физики. Именно в том и состоит главный недостаток многих ученых, что они находят удовольствие лишь в туманных рассуждениях и бесконечных дебатах, тогда как существует столь прекрасное поле деятельности для их ума в основательных предметах, способных принести реальную пользу обществу. Охотники, рыболовы, моряки, торговцы, путешественники, а также игры — как требующие физической ловкости, так и азартные — дают немало такого, что могло бы значительно обогатить прикладные науки. И даже в забавах детей есть нечто, способное привлечь внимание самого крупного математика; по-видимому, именно этим забавам мы обязаны изобретением магнитной иглы, ибо кому же еще, как не детям, пришла бы в голову мысль следить за тем, как она поворачивается, и вполне очевидно, что им же мы обязаны духовой пищалью, ведь именно этим оружием они пользуются, когда затыкают с двух сторон обыкновенную трубочку от птичьего пера, вонзая ее в кусок яблока сначала одним, а потом другим концом, после чего, вдавливая одну пробку внутрь, заставляют другую пробку вылететь под действием воздуха, который сжимается между пробками; лишь много позже один догадливый мастер из Нормандии воспроизвел этот образец в укрупненном виде. Словом, не оставляя без внимания ни одного необычного наблюдения, мы нуждаемся в toai, чтобы иметь перед глазами подлинный музей человеческой жизни, в котором была бы представлена деятельность людей и который был бы совсем непохож на тот, который оставили нам некоторые ученые люди, в коем при всем его величии нет ничего, кроме того, что может быть полезным лишь для высокопарных речей и нравоучений. Чтобы понять, что именно нам надлежит отобрать для этих реальных и полезных для практики описаний, достаточно представить себе, какие знания понадобились бы человеку, который оказался бы предоставленным самому себе на необитаемом острове» или тому, кто одним дуновением ветра был бы перенесен к нецивилизованным народам и должен был бы научить их изготовлять все то полезное и удобное, что в изобилии поставляет нам большой города полный

==488

искусных работников и всевозможных умельцев; или же надо вообразить, что какое-нибудь искусство утрачено и его приходится создавать заново, и тут все наши библиотеки окажутся бесполезными, ибо, хотя я отнюдь не отрицаю, что со своей стороны книги содержат тоже немало прекрасных вещей, о которых подчас не имеют представления профессионалы-практики и которые могли бы принести им пользу, однако очевидно, что наиболее важные наблюдения и практические навыки в любом роде ремесла и любой профессии все еще не записаны. Это то, что добывается опытом, когда, переходя от теории к практике, хотят выполнить какое-нибудь дело. Нельзя сказать, чтобы эту практику невозможно было в свою очередь записать в книгах: ведь практика по сути дела это та же теория, только более сложная и более специальная, нежели обычная теория. Однако практические работники большей частью не только не склонны передавать свои знания кому-либо другому, кроме своих подмастерий, но и вообще не умеют толково изъясняться на бумаге, а наши писатели обходят молчанием эти частности, которые хотя и важны» но почитаются ими за мелочи; разобраться в них они не желают, не говоря уже о том, чтобы дать себе труд описать их.

Однако в мои намерения сейчас не входит подробно излагать все, что нужно для составления всеобщего перечня всех знаний, которые уже накоплены людьми. Каково бы ни было значение этого проекта для нашего благополучия, требуется соучастие слишком многих лиц, для того чтобы можно было надеяться осуществить его в ближайшее время без какого-либо приказа свыше. Вдобавок он требует прежде всего исторических наблюдений и истин, иначе говоря, фактов священной, гражданской и естественной истории, ведь именно факты в наибольшей степени нуждаются в собирании, обосновании авторитетными лицами и описи, и наилучший из имеющихся методов состоит в том, чтобы делать как можно больше сравнений и составлять как можно более точные, снабженные всеми подробностями и по возможности разнообразные указатели. Но я считал бы своей задачей говорить здесь в основном не столько об этом методе добросовестной регистрации фактов, сколько о методе разумного использования всех фактов, добытых как чувствами и разумением других людей, так и светом нашего собственного разума, с тем чтобы отыскать или установить важ-

==489

ные истины, кои покамест не познаны, не удостоверены или хотя бы не использованы надлежащим образом, дабы просветить разум. Ибо истины, которые требуется установить, бывают двоякого рода: одни известны, но смутно и несовершенно, другие же вовсе неизвестны. Для первых нужно употребить метод определения достоверности, иначе — искусство доказательства, вторые не нуждаются в искусстве открытия. Правда, оба этих искусства не столь резко отличаются друг от друга, как принято думать, и это станет ясно из последующего. Так вот, ясно, что люди в своих рассуждениях часто пользуются положениями, которые не вполне убедительны, и вдобавок каждый день приходится видеть, как они с жаром спорят по некоторым философским вопросам, имеющим значение для религии, этики и естествознания, не заботясь об истинных способах разрешить спор. А главное, мы видим, что искусство открытия мало известно за пределами математических наук, так как топики обыкновенно служат лишь памятными указателями для того, чтобы походя упорядочивать наши мысли, и обычно содержат лишь каталог неясных терминов и максим, кажущихся общепринятыми. Я не отрицаю, что они находят широкое применение в риторике и для изложения разных вопросов общедоступным языком, но, когда необходимо добиться достоверности и отыскать истины, скрытые в теории, а значит, и отыскать новые выгоды для практики, требуются совсем другие приемы. Длительный опыт размышлений на всевозможные темы, увенчавшийся немаловажным успехом в изобретениях и открытиях, убедил меня в том, что в искусстве мыслить, как и во всех других искусствах, есть свои секреты. И в этом состоит предмет всеобщей науки, которую я намерен изложить.

К оглавлению

==490

ПИСЬМО К ГЕРЦОГУ ГАННОВЕРСКОМУ

Имея честь убедиться в личной беседе, сколь велика любовь Вашего Высочества к истине и просвещению, я осмеливаюсь изложить здесь некоторые из моих проектов, коими намерен я заняться, если Бог позволит мне Завершить историю царствующего дома.

Могу сказать не хвастаясь, что я один из тех, кто более всего углубил в наше время математику. Я открыл совершенно новые пути и методы, благодаря которым эта наука вышла за пределы, некогда предначертанные ей, Отдельные примеры, представленные мною, были с одобрением встречены во Франции и в Англии, и для меня не составило бы труда предложить много других; однако частные открытия я не считаю для себя главным, моя быстрая цель — усовершенствовать искусство открытия в целом. Я стремлюсь найти не столько решения отдельных проблем, сколько методы самих решений, ибо один метод заключает в себе бесконечное множество решений.

Но я не ограничиваюсь математикой, так как истины, его преподносимые, не должны целиком поглощать наш ум, как бы ни была велика их польза в человеческой жизни, я полагаю, что лучшее применение, которое можно найти математике, состоит в том, чтобы поучиться у нее искусству строгости рассуждений.

И так как мне посчастливилось существенно усовершенствовать искусство открытия, или математический анализ, то я двинулся и по вовсе непроторенным путям, имея целью свести все человеческие рассуждения к некоторому виду исчисления, которое служило бы для установления истины, насколько это возможно сделать ех datis1, т. е. по тому, что дано или известно; если же имеющиеся сведения недостаточны для решения поставленного вопроса, этот метод, как в математике, мог бы дать приближенный ответ, насколько это допускают исходные данные, и помог бы точно определить, что является наиболее вероятным.

Этот род всеобщего исчисления одновременно представлял бы собою некую универсальную письменность, прее-

==491

мущество которой перед письмом китайцев состояло бы в том, что ее понимал бы человек, говорящий на любом языке. Мало того, она бесконечно превосходила бы китайское письмо тем, что для ее изучения довольно было бы нескольких недель, потому что ее знаки сочетались бы в зависимости от порядка и связи вещей, китайцы же пользуются огромным количеством знаков для обозначения разнообразных вещей, и нужно потратить целую жизнь на то, чтобы овладеть их письмом в достаточной мере.

Эта письменность или язык (если знаки будут произноситься) сможет быстро распространиться по всему свету, ибо научиться такому языку можно будет за немногие недели, после чего он мог бы стать средством общения повсеместно. А это имело бы огромное значение для распространения религии и образования среди отдаленных народов.

Однако это составляло бы лишь самое малое из преимуществ этой письменности, ибо она должна стать чем-то вроде всеобщей алгебры и дать возможность рассуждать посредством вычислений; таким образом, вместо того чтобы спорить, можно будет сказать: подсчитаем. И тогда станет ясно, что ошибки в рассуждениях суть не что иное, как ошибки, связанные с вычислениями, и их можно будет обнаружить путем проверки, как в арифметике.

Люди обрели бы в ней арбитра поистине непогрешимого. Ибо они всегда смогли бы узнать, возможно ли решить вопрос на основе уже имеющихся у них знаний, и, если получить вполне удовлетворительное решение нельзя, они всегда могли бы определить, что является наиболее правдоподобным. Так же, как в арифметике, где мы всегда в состоянии решить, возможно или невозможно в точности угадать число, которое кто-нибудь задумал, на основании того, что нам о нем говорят, и нередко мы можем сказать: этим числом должно быть одно из двух таких-то чисел или из трех и т. п., предсказывая точные пределы, внутри которых должна находиться искомая истина. На худой конец важно знать, что то, что от нас требуют, не может быть отыскано средствами, которые у нас есть.

Но для того чтобы создать эту письменность, или, иначе, характеристику, заключающую в себе столь удивительное исчисление, нужно искать точные определения понятий. Слова, которыми мы пользуемся, достаточно

==492

неясны и нередко сообщают лишь смутные понятия, потому их придется заменить другими знаками, имеющими точный и определенный смысл; определения же представляют собой не что иное, как отчетливое выражение идеи данной вещи.

А так как я тщательно проштудировал не только историю и математику, но и естественное богословие, юриспруденцию и философию, я успел значительно продвинуться в осуществлении моего замысла и создал довольно много определений 2. Например, определение справедливости звучит у меня так: справедливость - это милосердие мужa, или милосердие, согласующееся с мудростью. Милосердие есть не что иное, как всесторонняя благожелательность, мудрость - это наука о высшем счастье, счастье - состояние длительной радости, радость - чувство совершенства, а совершенство - это степень действительно дать подобные определения для всех человеческих страстей, добродетелей, пороков и деянии, коль скоро в этом возникнет нужда, и таким образом можно будет говорить и рассуждать с необходимой точностью. А так как новые обозначения будут всегда включать определения вещей, то отсюда следует, что они дадут нам средство рассуждать путем вычислений, как я уже сказал.

Однако, чтобы завершить столь важное предприятие, которое обещает дать в руки человечеству инструмент способный усовершенствовать очи духа в такой же мере, в какой очки совершенствуют телесные очи, понадобятся долгие размышления и некоторое содействие извне...

==493

00.htm - glava37

ОБ УНИВЕРСАЛЬНОЙ НАУКЕ, ИЛИ ФИЛОСОФСКОМ ИСЧИСЛЕНИИ

Все, что мы достоверно знаем, состоит или в доказательствах, или в опытах. И в том в в другом правит разум. Ведь самое искусство постановки эксперимента и пользования опытами покоится на точных основаниях, разумеется в той мере, в какой оно не зависит от случая, или фортуны.

Даже имея уже поставленные опыты, которые, бесспорно, и при благоприятной фортуне требуют затрат, оборудования и времени, говорить об усовершенствовании паук можно, лишь поскольку они обосновываются разумом.

Прогресс искусства рационального изобретательства (Ars inventoriae rationalis) в большой мере зависит от совершенствования искусства характеристики. Причина, почему люди обычно доискиваются доказательств не иначе как только с помощью чисел, линий и вещей, которые ими репрезентируются, состоит лишь в том, что помимо чисел нет в обращении подходящих характеров, соответствующих понятиям. В этом же состоит причина того, почему геометрия до сих пор не трактуется аналитически, если она до некоторой степени не сводится к числам посредством изобразительного анализа (analysis speciosa), при котором обобщенные числа (numeri generales) обозначаются буквами 1. Но имеется и другой, более тонкий анализ геометрии — посредством собственных характеров 8, с помощью которого многое представляется более изящно и более компактно, чем с помощью алгебры, и примеры которого мне известны.

А свидетельством тому, что бывают такие доказательства и вне области величин, могут служить хотя бы фигуры (Югшае) логиков. Да и юристы обнаруживают в Дигестахs нечто истинно доказанное, примеры чего я дал в диссертации об условиях (dissertatio de Conditionibus). А Иоанн Суисет*, прозванный Калькулятором, и другие после него даже у метафизиков находили доказательства относительно степеней и интенсивностей форм; платониками же и аристотеликами говорится нечто такое, чему легко можно придать форму доказательства. Если бы су-

==494

ществовал какой-то точный язык (называемый некоторыми Адамовым языком) или хотя бы истинно философский род писания, при котором понятия сводились к некоему алфавиту человеческих мыслей, тогда все, что выводится разумом из данных, могло бы открываться посредством некоторого рода исчисления, наподобие того, как разрешают арифметические или геометрические задачи.

Этим истинным родом писания могла бы быть также и Каббала тайных слов, или Арифметика пифагорейских чисел, или Характеристика магов, т. е. мудрецов.

Мысль о всей важности этого дела я усвоил еще ребенком, и всякое встречавшееся мне определение тотчас же включал в книжку «О комбинаторном искусстве», изданную мною еще в юности 6.

Я могу с поистине геометрической достоверностью доказать, что несколько умных и единомыслящих людей могут, и даже легко, выполнить все это на начальном уровне в течение нескольких лет.

Вернейший и прекраснейший путь этого сокращенного и наиболее обобщенного анализа человеческих мыслей указало мне исследование способов анализа в математике, которой я предавался с таким рвением, что не знаю, многие ли сегодня найдутся, кто вложил бы в нее больше труда.

То, что в математике мною действительно было впервые достигнуто нечто сокровенное под аплодисменты величайших математиков, известно всем тем, кто больше других радуется такого рода стараниям.

Вместо Евклидовых аксиом и теорем о величине и пропорции я нашел другие, гораздо более важные и более общего применения: о совпадениях, соответствиях, подобиях, детерминантах, о причине и действии, или о гаоп.шции, об отношениях в универсуме, о содержащем и содержимом, о том, что происходит через себя и через акциденцию, о всеобщей природе субстанции, а также о совершенной спонтанейности, несотворимости и неуничтожимости субстанций, о связи вещей и согласованности субстанций между собой. Отсюда был пролит свет, и на тайну посредствующей связи между душой и телом, и на тот способ, которым действуют субстанции, и на содействие Бога, и на причину зла и свободу, примиренную с провидением и с достоверностью, т. е. детерминированной истинностью, случайных вещей, и на метаморфозы вместо метемпсихоза.

==495

В процессе доказательства я пользуюсь двумя принципами. Один из них — ложно то, что влечет противоречие. Другой — для всякой истины (которая не является непосредственной или тождественной) может быть представлено основание; т. е. понятие предиката всегда содержится в понятии своего субъекта или явно, или имплицитно, и это имеет место не меньше во внешних обозначениях, чем во внутренних, не меньше в истинах случайных, чем в необходимых.

Различие между истинами необходимыми и случайным поистине то же самое, что и между соизмеримыми и несоизмеримыми числами: ибо как в соизмеримых числах может происходить разложение до общей меры, так и в необходимых истинах имеет место доказательство, или- редукция к тождественным истинам. И как в иррациональных отношениях разложение идет в бесконечность, хоти и приближается так или иначе к общей мере, давая при этом некие ряды, хотя и бесконечные, — точно так же в силу того же самого процесса случайные истины требуют бесконечного анализа, который один только Бог способен доводить до конца. Поэтому-то только им одним эти истины познаются априорно и достоверно. Ведь если бы даже всегда могло быть представлено основание для каждого положения исходя из предыдущего, то и для этого предыдущего снова потребовалось бы основание, и при этом нельзя было бы прийти к последнему основанию в том ряде. Само это движение в бесконечность происходит в силу основания, которое каким-то своим способом могло изначально мыслиться вне ряда, в Боге, творце вещей, от которого зависит предыдущее, равно как и последующее, и в большей степени, чем одно из них зависит от другого. Любая истина анализа, которая не может быть воспринята и доказана из своих оснований, но получает для себя последнее основание и определенность из божественного разума, не является необходимой. И такими истинами являются все те, которые я называю истинами факта. Здесь-то и есть корень случайности, не знаю, объясненной ли кем-либо до сих пор.

Различие между понятием темным и ясным, смутным и отчетливым, адекватным и неадекватным, суппозитивным и интуитивным я уже разъяснил в одной из статей, помещенных в лейпцигских «Записках» в.

Но, возвращаясь к выражению мыслей через характеры, я полагаю, что никогда не кончатся споры и не

==496

установится мир в борьбе школ, пока от путаных рассуждений, неясных слов и неопределенных значений мы не перейдем к простым исчислениям и определенным характерам.

Отсюда,; разумеется, будет следовать то, что всякий паралогизм станет не чем иным, как ошибкой счета, а софизм, выраженный в этом новом способе писания, будет не чем иным, как солецизмом или варваризмом, легко опровергаемым исходя из самих законов этой философской грамматики. В результате, когда возникали бы споры, нужда в дискуссии между двумя философами была бы не большей, чем между двумя вычислителями. Ибо достаточно было бы им взять в руки перья, сесть за свои счетные доски и сказать друг другу (как бы дружески приглашая): давайте посчитаем!

Если же кто подумает, что я предпринимаю или надеюсь осуществить невозможное, тому следует знать, что с помощью указанного искусства может быть получено только то, что (с приложением соответствующих усилий) могло бы быть извлечено из данных беспредельно сильным умом, или же то, что из данных детерминируется, одним словом, так же, как в случае проблем геометрии. Ясно, что к искусству открытия пока не относится то, что является фактически истинным и зависит от фортуны или от случая.

И если, далее, после такого уточнения кто-то посчитает, что указанное искусство будет малополезным всюду, где речь идет о предположительном, как-то: в изысканиях гражданской или естественной истории, в искусстве исследования природных тел или мыслящих существ (personae intelligentes) и особенно в общественной жизни, в медицине, праве, в военном деле и в деле управления государством, — тому должно быть известно, что, насколько во всем этом имеет силу разум (а он имеет здесь очень большое значение), настолько и даже гораздо более имеет силу это искусство, которое есть не что иное, как самое возвышенное и самое экономичное употребление человеческого разума с помощью символов и знаков.

Итак, когда искомое неопределимо или невыразимо на основе данных, тогда благодаря этому анализу мы сможем гарантировать одно из двух: или что мы будем в бесконечности приближаться к искомому, или — если речь идет о предположениях — что мы по крайней мере определим с помощью демонстративного аргумента ту степень

==497

вероятности, которая может быть получена из данных, и узнаем, каким способом данные условия должны сводиться к основаниям и как бы к балансу, наподобие доходов и расходов, с тем чтобы нам выбрать то, что максимально согласно с разумом. В таком случае, если бы мы иногда и ошибались — как ошибаются даже те, кто в совершенстве изучил связанные с подсчетом шансов азартные игры, — однако действовали мы так, как предписывает разум, и по большей части достигали желаемого, как -хорошие игроки и кузнецы своего счастья, которых, как гласит пословица, шары и кости ищут сами. И мы будем судить как раз о том, что является не только более вероятным, но и более благоразумным, и насколько то, что мы ожидаем от него, должно стоить затрат и риска. Относительно всего этого от человеческого разума действительно нельзя требовать чего-то большего. Поэтому я выделяю из всей логики ту ее часть, которой до сих пор почти не касались: об оценке степеней вероятности и взвешивании проб, презумпций, предположений и указаний. Я могу также показать, каким образом во всеобщем исчислении не в меньшей степени, нежели в исчислении чисел, могут изобретаться способы исследования, или указания истины, соответствующие девятеричному отбрасыванию и другим подобным ему способам, точно так же как это отбрасывание было перенесено мною из области общих чисел в алгебру.

Но при этом всегда будет сохраняться различие в талантах даже после открытия и обнародования этого анализа, ибо одни рассуждают быстрее других и меньше нуждаются в предварительной подготовке. Так, например, хотя и открыта арифметика и доведена до такого совершенства, что для общего пользования ничего лучшего и не требуется, тем не менее некоторые, почти не пользуясь пером или счетами, одной только силой ума с необыкновенной быстротой совершают сложнейшие операции. И в этом всегда будет главенствовать опыт; и люди, поднаторевшие в опыте, даже тогда, когда указанное искусство станет общедоступным, будут иметь преимущество перед другими, равными им по таланту и знанию, но менее опытными. Ибо как тот, кто часто считал каким-то определенным образом (например, во флоринах и солидах), держа в памяти результаты многократных испытаний, гораздо быстрее завершит такие подсчеты, чем те, которые привыкли считать в других монетах, так в те,

==498

которые в каком-либо отношении многое испытали, могут упреждать памятью событий необходимость рассуждения, пользуясь при этом даже преимуществом импровизации. Между тем остается верным, что, если бы это всеобщее истинное аналитическое искусство когда-нибудь достигло совершенства и было введено в обращение, люди, его усвоившие и ему обученные, настолько же превосходили бы других, во всем остальном равных себе, насколько сведущий превосходит несведущего, ученый — невежду, превосходный геометр — школяра (tiro), блестящий алгебраист — обыкновенного счетовода; ибо таким путем при должном применении силы разума наконец может быть получено определенным методом всё из всего в той мере, в какой оно могло быть получено из данных разумом даже величайшего, и притом опытнейшего, гения, с различием лишь в быстроте; значение гения состоит скорее в действенности, чем в характере мышления и открытия. Ведь в большинстве случаев, особенно когда речь идет о приумножении знаний, обдумывание дела требует времени. Ну а в действии люди часто сами себе вредят поспешностью, и, как обычно бывает, эта спешка вызывается первоначальной медлительностью, что даже вошло в пословицу: медлительные всегда спешат. А те, кто пребывает в бездействии, постоянно откладывая обдумывание до самого последнего момента, как бы желая принять решение в соответствии с задуманным делом, затем оказываются перед непредвиденной необходимостью размышлять.

И наконец, если изобретение телескопов и микроскопов принесло столько пользы познанию природы, можно легко представить, насколько полезнее должен быть этот новый органон, которым, насколько это в человеческой власти, будет вооружено само умственное зрение.

Конечно, было бы опрометчивым ожидать от первых попыток последнего совершенства этого искусства. Его совершенство будет возрастать вместе с самим человеческим опытом в зависимости от того, будут ли (руководствуясь самим этим искусством) постоянно извлекать все лучшие и более многочисленные данные. Правда, как говорят, у китайцев тот, кто знал несколько тысяч знаков, мог записывать лишь самое важное, остальные же, менее доступные знаки были достоянием или каких-либо особых знатоков, или старшего Учителя — так же и здесь по мере успехов и отдельных людей, и всего рода

==499

человеческого будет все более зримым плод столь же единого искусства.

Между тем будем стремиться к тому, чтобы, насколько это в наших силах, всегда быть способными продвигаться вперед определенным порядком, и — что до сих пор почти не делалось, — извлекая из данных все, что может быть из них получено, пользоваться и наслаждаться уже открытыми кладами и божественными дарами для здоровья и совершенствования духа, насколько нам это определено судьбой.

К оглавлению

==500

00.htm - glava38

ОСНОВЫ ИСЧИСЛЕНИЯ РАССУЖДЕНИЙ

Всякое человеческое рассуждение совершенствуется применением некоторого рода знаков, или характеров. Ибо не только сами вещи, но даже и идеи вещей нельзя, да и нет нужды постоянно отчетливо обозревать умом, а поэтому, ради краткости, для их выражения употребляются знаки. Ведь если бы геометр всякий раз, когда он называет в процессе доказательства гиперболу, спираль или квадратрису, вынужден был точно воспроизводить себе их определения или построения, а также определения входящих в них терминов, он чрезвычайно медленно приходил бы к новым открытиям. Если бы арифметик в процессе вычисления всех знаков или цифр, которые он пишет, постоянно мыслил бы их вапёры (valores) l и множество единиц, он никогда бы не завершил длинных подсчетов, точно так же как если бы он пожелал считать с помощью такого же количества камешков. И любой юрист, когда он упоминает об акциях (actiones), или исключениях, или правовых привилегиях, не может всякий раз пробегать мыслью все существенные, нередко весьма обширные сведения, касающиеся этих вещей, да в этом и нет нужды. Поэтому делают так, что юридическим актам (contractus), фигурам и различным видам вещей ставятся в соответствие имена, а числам в арифметике и величинам в алгебре — знаки, чтобы если однажды опытным путем или размышлением устанавливалось бы нечто относительно вещей, то соответствующие знаки в дальнейшем всегда надежно связывались бы со знаками этих вещей. К числу же знаков я отношу слова, буквы, химические фигуры (figurae chemicae), знаки астрономические, знаки китайского письма, иероглифические, музыкальные ноты, стенографические, арифметические, алгебраические и все другие, которыми мы пользуемся в процессе рассуждения вместо вещей. Написанные же, начертанные или же высеченные знаки называются характерами (characteres). Далее, знаки будут тем полезнее, чем более адекватно они выражают понятие обозначаемого предмета, так что они могут служить не только

==501

целям репрезентации, но и целям рассуждения. Ничего подобного не обнаруживают характеры, употребляемые химиками и астрономами, если не считать того, что некоторые из них вместе с Иоанном Деем Лондонским, автором «Иероглифической монады» 2, надеются разглядеть в них неизвестно какие тайны. И я не думаю, что фигуры китайцев или египтян могут много дать открытию истин. Язык Адама и, конечно, внутренний смысл его, который некоторые силятся постичь, надеясь в именах, данных Адамом, узреть сущности вещей, нам совершенно неизвестен. Обыденный язык, хотя он и мог бы весьма способствовать рассуждению, полон, однако, бесчисленных синонимов (aeqnivocationes) и поэтому не может служить делу исчисления, даже если бы были вскрыты ошибки , рассуждения, относящиеся к самой формации и конструкции слов, такие, как солецизмы и варваризмы. Таким поистине замечательным достоинством до сих пор обладают только знаки арифметиков и алгебраистов, у которых всякое рассуждение состоит в использовании характеров и ошибка ума есть то же самое, что ошибка счета, Мне же, беспокойному, уже давно со всей очевидностью представилось и нечто более важное, а именно что все человеческие мысли вполне разрешаются на немногие, как бы первичные; что если бы этим последним были поставлены в соответствие характеры, то из них могли бы образовываться характеры производных понятий, из которых всегда могли бы извлекаться все их реквизиты и входящие в них первичные понятия и то, что я называю определениями или значениями (valores), а равным образом и следствия (atfectiones), доказуемые из этих определений. Если бы все это было осуществлено, то каждый, кто пользовался бы в процессе рассуждения и писания такого рода характерами, либо никогда не ошибался бы„ либо сам не хуже других с помощью несложных выкладок обнаруживал бы свои ошибки; к тому же он приходил бы к открытию истины, поскольку она следует из данных, а если данных для нахождения искомого оказалось бы недостаточно, по крайней мере видел бы, какие еще нужны опыты или знания, чтобы он мог наконец прийти к истине, насколько это осуществимо на основе данных, или способом приближения, или же способом определения степени большей вероятности; софизмы же и паралогизмы ничем бы тогда не отличались от ошибок счета в арифметике и солецизмов и варваризмов в языке.

==502

Поскольку же на этом характеристическом искусстве, идею которого я постиг своим умом, основывается Истинный Органон Всеобщей Науки, касающийся всего, что подвластно человеческому рассуждению, но имеющий вид вечно очевидных доказательств исчисления, постольку есть необходимость, чтобы сама наша характеристика, или искусство пользования знаками для некоторого рода точного исчисления, представлялась как наиболее общая. Но так как еще нельзя установить, каким именно способом должны формироваться знаки, то пока вместо тех знаков, которые должны быть созданы в будущем, по примеру математиков будем пользоваться буквами алфавита и любыми другими произвольными знаками (notae), которые в изобилии будет поставлять прогресс [науки]. Этим способом прояснится также связь характеристически трактуемых наук, и само дело покажет, что элементарная арифметика более первична и проста, чем элементы логического исчисления, трактующего фигуры и модусы 3.

Пусть характером будет какое-либо А или В или некоторый другой знак.

Композиция из многих характеров называется формулой.

Если некоторая формула эквивалентна характеру, так что их можно подставлять на место друг друга такая формула называется валёром характера.

Первичный валёр характера, т. е. такой, который ставится в соответствие характеру по произволу и не нуждается в обосновании, есть его значение (significatio).

Характеры, каждый из которых может быть подставлен на место другого с сохранением законов исчисления, находятся в отношении эквиполентности.

Кроме эквиполентности имеются многие другие отношения, которые выявятся по ходу дела, такие, например, как включения, подобия, детерминации, о которых будет сказано в своем месте. И точно так же существуют отношения для характеров и формул, как существуют высказывания для понятий, или вторичные операции ума для первичных.

Исчисление или оперирование, состоит в соответствующем порождении отношений путем трансмутации формул согласно некоторым заранее заданным законам. И чем больше законов и условий предпосылает тот, кто намеревается исчислять, тем более сложно исчисление при той же компактности и простоте характеристики. Отсюда яв-

==503

ствует, что формулы (под которыми, если считать их простейшими формулами, можно понимать сами характеры). отношения и операции ведут себя как понятия, высказывания и силлогизмы. Имеются и составные отношение (relationes compositae), которые предполагают определенные операции.

О характере говорят, что он входит в формулу, если он полагается в ней явно; говорят также, что он входи г в другой характер, если он полагается явно в значении последнего. А что характер входит неявно (involvi), говорят, когда он может реализоваться только с помощью подстановки эквиполентных и тогда только входит в формулу.

Характеры входят в формулу или абсолютно, т о. просто (simpliciter), или же под определенной модификацией, т. е. своим отношением к другому характеру. Например, если формулой будет А. (В). С, то А и С входят в нее прямо, тогда как В — косвенно, под А. Может даже случиться, что все характеры входят в формулу под модификацией, как если бы мы имели А. В. С. L. M. N, где А. В. С, определенным образом связанные друг с другом, лишь вместе составляют прямой характер, слитый или составленный из них, и то же самое происходи с L. M. N. Так что если абсолютно полагаемый характер выражается иначе, чем через модифицированные (modificati), то он называется прямым (rectus), модифицированный же называется косвенным (obliquus). Одни характеры входят в формулу так, что не могут быть отделены друг от друга; другие — иным образом. Содержание, или агрегат, есть однообразная композиция (compositum uniforme), т. е. формула, которая не делится ни на какпо другие формулы, если не считать деления по произволу. Сюда относятся такие композиции, как А. В или А. В. С. Любая композиция бывает или равнообразной (aequiformis), или разнообразной (disquiformis). Она равнообразна, как в случае А. В, или А. В. C.D, или А .В. C.D. E.F, когда те ингредиенты, которые связываются одной и той же связью, всегда вступают в связь одинаковым образом. При этом опять-таки важно, связываются ли А и В своей связью таким же способом, каким С и D связываютс

своей, и тем ли способом связываются А и В, каким А. В и С. D. Если же два ингредиента вступают в одну связь разнообразно, как в случае А - В, и один из них

==504

вступает однообразно в новую связь с ближайшим С, входящим в формулу, как в случае А - ВС, тогда А будет прямым (directum), В — косвенным. Прямой крайний — это тот ингредиент, который замыкает формулу, так что если формулой является L |— ~А~\~~ВСМ, то L и М будут прямыми крайними, тогда как А и В — средними. Бывают ингредиенты, связанные между собой однообразно, однако такого рода отношением, что один из них (произвольно выбранный) может быть взят за абсолютный, а остальные — за модифицированные. Такое происходит при умножении. Так, если имеем аЬ и подразумевается, что а означает 2, а и означает 3, то можно считать, что ab есть 2Ь, и поэтому b абсолютно, тогда как а есть число, на которое умножается b. С другой стороны, возможно и обратное: и о может быть взято за абсолютное, модификацией которого было бы 3, так что а понималось бы как утроенное.

Иногда и часть формулы сама является формулой и может выступать самостоятельно, иногда же нет.

==505

VI

00.htm - glava39

ЭЛЕМЕНТЫ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Правило построения характеров следующее: всякому термину (т. е. субъекту или предикату предложения) приписывается какое-нибудь число при соблюдении одного условия — чтобы термину, составленному из каких-либо других терминов, соответствовало число, образованное из чисел этих терминов, умноженных друг на друга. Например, если представить, что термин «животное» выражается через число 2 (или, в более общем виде, а), термин «разумное» — через число 3 (или, в более общем виде, г), то термин «человек» будет выражен через число 2.3, т. е. 6, образованное из умноженных друг на друга 2 и 3 (либо, в более общем виде, числом аг).

Правила применения характеров в категорических предложениях следующие.

Если общеутвердительное предложение истинно, то необходимо, чтобы число субъекта могло делиться точно, т. е. без остатка, на число предиката.

U.A. р [делению] удовлетворяет, т. е. число S может

точно делиться на число Р. Или если р выразить через

дробь (числитель которой, например 6, был бы S — числом субъекта, например «человека», знаменатель же Р — числом предиката, например «животного»), то эта дробь должна равняться целому, как 1 есть 2.

Если частноутвердительное предложение истинно, достаточно, чтобы или число предиката могло делиться точно на число субъекта, или число субъекта — на число предиката.

Р.А. Или р, или -у [делению] удовлетворяет.

Если общеотрицательное предложение истинно, необходимо, чтобы ни число субъекта не могло делиться точно

==506

на число предиката, ни число предиката — на число субъекта.

U.N. Ни -п, ни -с,- [делению] не удовлетворяют.

Если частноотрицателъное предложение истинно, необходимо, чтобы число субъекта не могло делиться точно за число предиката.

P.N. р [делению] не удовлетворяет.

Эти четыре правила, или определения, истинных категорических предложений (а также и ложных, ибо те предложения, которые не являются истинными, ложны), различающихся по количеству (или знакам) и качеству (т. е. утверждению или отрицанию), достаточны для того, чтобы сразу понять всю обычную логику, поскольку она трактует о форме предложений и категорических силлогизмов, так что в результате можно сразу же понять подчинения, противопоставления, обращения предложений и фигуры и правильные модусы силлогизмов. Ибо предложения будут сразу же рассматриваться в числах — как те, из которых делается заключение, так и те, которые выводятся из других.

Более того, я покажу нечто значительное: как посредством исчисления моментально могут быть доказаны все формы категорической логики, даже если предположить, что еще не даны нужные числа отдельных терминов и понятий. Ведь подобно тому как в буквенной алгебре мы производим вычисления с числами вообще, выраженными буквами, которые обозначают любые специальные числа, известные или неизвестные, так и здесь, применяя буквенные обозначения вместо этих чисел, мы докажем замечательные теоремы науки логики. Таким образом, преимущества этого нашего замечательного открытия столь велики, что одно только намерение и желание (применить его) даст новый свет разуму и невиданно обогатит науку 1.

Имеет смысл в нескольких словах привести пример столь великого открытия. Итак, если нам дано какое-то категорическое предложение, мы выразим числа субъекта и предиката какой-нибудь буквой, например если дано 1 предложение «Человек есть животное», мы можем выразить число субъекта буквой Н, а предиката — буквой А а. Выразим отношение этих двух чисел Я, А в простых числах, например если число Я будет 6 и А будет 2,

==507

отношение Н к А в простых числах будет 3 к 1, соответственно отношение Л к Я в простых числах будет 1 к 3. Или если число Я будет 15 и число А будет 6, отношение Я к А в простых числах будет 5 к 2, а отношение А к Я в простых числах — 2 к 5. Вообще предположим, что эти простые числа суть v, r, так что Я будет относиться к 1

Я

Л

как гки3. Отсюда будет -. равн. — и „равн.—, или? 1

Л V 1л Т

равн. vH. Попутно следует заметить, что простые числа, выражающие отношение чисел субъекта и предиката, суть числа тех терминов, которые остаются в субъекте и предикате после отнятия общих тому и другому терминов. Из этого следует, что, если деление числа Я (субъекта) на число А (предиката) осуществляется точно, т. е.а

тт j

если дробь , сведенная к простым числам, т. е.1- (напр.,1

-т-), есть целое число, необходимо, чтобы ее знаменатель о|

был 1, т. е. единицей. Наоборот, если деление не осуществляется точно, т. е. если дробь, выраженная в простых числах —(напр.,-,,-), не есть целое число, необходимо, чтобы знаменатель v (здесь 2) был не единицей, а числом, i большим единицы. То же самое и в делении предиката на субъект, нужно только обратить дробь, потому что, если число А (предиката) может делиться точно на число Я

(субъекта), тогда дробь, выраженная в простых терминах, т. е. —, будет иметь знаменатель r, равный единице; если же деление А на Я не осуществляется точно, дробь —

будет иметь знаменатель r, больший, чем единица. То же самое происходит, если числа, соответствующие терминам предложения, суть Н, В v. числа, выражающие простейшим образом их отношение, суть r, у.

Таким образом, поскольку истинность, качество и количество любых категорических предложений могут быть постигнуты с помощью одних только точных или неточных делений чисел, выражающих термины, из ранее установленных правил следует, что это сведение отношения двух чисел, выражающих термины предложения, к минимальным терминам, всегда достаточно для установления равенств, соответствующих предложениям. Ибо в зависимости от того, может или не может осущест-

==508

виться деление каким-то определенным образом, данное количественное пли качественное предложение является истинным или ложным, и, наоборот, если данное количественное или качественное предложение истинно или ложно, указанное деление может соответственно быть осуществлено или не осуществлено.

В результате возникает следующая таблица предложений и соответствующих равенств.

II. Р. А. Некоторое А есть Н (или Некоторое Я есть А)

III. U. N. Ни одно Н не есть В (или Ни одно В не есть Я)

IV. Р. N. Некоторое А не есть Н

I. U. А. Всякое Н есть А

vH равн. гА

Число (v), т. е. множитель субъекта, должно быть единицей.

гА равн. vH (или ъН равн. гА)

Достаточно, чтобы какое нибудь из чисел (r или i>), т. е. множителей терминов, было единицей.

уН равн. гВ (или гВ равн. уН}

Оба числа, т. е. множители терминов (у, r), должны быть больше единицы.

гА равн. vH

Число (r), т. е. множитель субъекта, должно быть больше единицы.

Из этой таблицы интуитивно сразу становится ясным, чю общеотрицательное и частноутвердительное предложения противополагаются как противоречащие друг другу, так как всякое число (я все время говорю о целых числах), указанное в условиях этих предложений, либо является единицей, либо больше единицы, но не одновременно и so в другое, и не одновременно ни то ни другое. Таким образом, одно из предложений, которые, как мы сказали, противоположны друг другу, будет истинным, другое — ложным.

Точно так же интуитивно ясно, что из общего [предложения] следует частное при сохранении терминов и язычества, т. е. при тех же терминах и том же их расположении из общеутвердительного следует частноутвердительное, из общеотрицательного — частноотрицательное. Ибо из общеутвердительного следует частноутвердительное, так как если число субъекта, т. е. множитель термина, есть единица (как требуется в равенстве, относящемся к U. А.), то во всяком случае число, т. е. множитель одного из двух терминов, есть единица (что являетс

==509

единственным требованием в равенстве, относящемся к Р. А.). И из общеотрицательного следует частноотрицательное, потому что, если и то и другое число, т. е. множители какого-нибудь термина, больше единицы (как требуется в равенстве, относящемся к U. N.), во всяком случае число, т. е. множитель одного из терминов, а именно субъекта, будет больше единицы (что единственно и требуется в равенстве, относящемся к Р. N.).

И вот что становится совершенно ясным: U. N. и Р. N. могут обращаться просто, ибо при их условиях требуется только, чтобы тот или другой множитель, т. е. коэффициент, был единицей или чтобы оба были больше единицы, а поэтому ни один термин предложения преимущественно не выделяется, и, таким образом, не имеет значения, какой из них является субъектом или предикатом, лишь бы сохранялось качество и количество.

Но чтобы показать на буквах то, что выражено словами, таблицу следует построить несколько иначе, а именно так, чтобы по самим буквам можно было судить, являются ли они больше единицы или равны ей, насколько, разумеется, об атом можно судить по форме. С этой целью мы отбросим числа, которые очевидно равны единице, потому что единица не умножает, числа, которые *...

Но чтобы продемонстрировать с помощью буквенного исчисления то, что мы показали с помощью слов, таблицу следует построить несколько иначе и сами буквы должны различаться так, чтобы из них самих было ясно, являются ли они необходимо большими, чем единица, или необходимо равны ей, или по крайней мере то больше, то равны ей.

С этой целью будут применены следующие наблюдения или каноны.

I. Заглавная буква обозначает какое-нибудь число, соответствующее термину (т. е. субъекту или предикату какого-нибудь предложения, которому оно приписано или должно быть приписано).

II. Строчная буква обозначает какое-нибудь число, множитель числа заглавной буквы, которое для полноты равенства должно возникнуть из предложения, и это число мы можем назвать коэффициентом. Поскольку в предложении иногда один термин содержит другой, то и число одного [термина] содержит число другого, как делимое — делитель, и поэтому, чтобы стать равным делимому, делитель должен быть умножен на частное. А если деление

К оглавлению

==510

не удается, т. е. если ни один не содержит другой, т. е. если термины раздельные, тогда каждое из чисел должно быть умножено на какое-нибудь другое, каждое на свое, для того чтобы стать равными. Множители же должны быть таковы, чтобы простейшим образом выражать взаимное отношение умноженных чисел; а умножение должно осуществляться перекрестно. А что простые числа должны применяться, как и в том случае, когда имеется отношение единицы к целому числу, то это вполне ясно и попятно из сказанного выше.

III. Латинская строчная буква обозначает такое число, что формально безразлично, равно ли оно единице или числу, большему, чем единица. Например, в общеутвердительном предложении безразлично, уже ли предикат субъекта или равен ему, лишь бы он в нем содержался, т. е. лишь бы он не был больше субъекта. Поэтому числом, на которое должно быть умножено число предиката, чтобы получилось число субъекта, будет либо единица, когда субъект и предикат взаимообратимы или равны по объему, либо число, большее единицы, когда предикат уже субъекта. Для общей же формы общеутвердительного предложения безразлично, какое из этих двух чисел следует употребить. Поэтому вместо предложения «Всякое Н есть Л» мы можем употребить следующее равенство: Н равн. гА; поясню на примере: понятие «человек» совпадает одновременно с понятием «разумный» и с понятием «животное», т. е. число «человека» получается из умножения числа «животного» на число «разумного». И в этом случае г есть число, большее, чем единица, но в других случаях оно может быть равно ей. Например» «Всякое Т есть в», т. е. Т равн. uQ. Всякий треугольник имеет три стороны; так как понятие треугольника равнообъемно понятию трехсторонней фигуры, т. е. они коэкстенсивны, то, следовательно, и числа, их выражающие, будут равны. Поэтому v, на которое должно быть умножено ©, чтобы равняться Т, которому оно уже равно, есть единица. Следовательно, в силу общей формы, которой обладает общеутвердительное предложение, безразлично, является ли число г или v, множитель предиката, единицей, или оно больше единицы. То же самое относится и к предикату частноотрицательного предложения, которое есть не что иное, как противоречащее общеутвердительному, как ясно из вышесказанного. Все это мы привели здесь не для доказательства, а для иллюстрации.

==511

1

А

IV. Греческая строчная буква (не употребляемая в качестве экспонента, о чем позднее) обозначает число, которое определенно больше единицы. Такое число встречается в отрицательных предложениях, как видно из приведенной выше таблицы и будет еще виднее из дальнейшего.

V. Строчная латинская буква, отмеченная каким-нибудь экспонентом, выраженным греческой буквой, как г, образует число, о котором в силу формы известно' что оно чередуется с каким-то другим числом, также выраженным латинской строчной буквой с греческим экспонентом, так что одно из них необходимо является единицей, а другое — безразлично, равно ли единице или больше единицы.

А так как может случиться, что одновременно будет употреблено более двух букв, отмеченных такого рода экспонентами, то, чтобы было ясно, какие именно из них должны относиться друг к другу и составлять одну пару, мы будем поступать следующим образом: их экспонентами будут две греческие буквы, ближайшие друг к друзу в алфавитном порядке, как здесь К и }*. Это будет означать, что эти два числа v, г, так соотносятся между собой, что одно из них необходимо будет единицей, а другое при етом безразлично какое. Допустим, что мы имеем четыре такого рода числа: iA, r^, pP, gv. Ясно, что они должны подразделяться на пары так, чтобы какое-нибудь из v^, г^ и какое-нибудь из р^, q^ необходимо было единицей. Но если пары образованы неправильно, как и^, р^, нет никакой необходимости, чтобы одно из двух было единицей, ибо может случиться, что и г, и q7 являются единицами и потому из остальных ни одно не является единицей. Таким образом, для того чтобы можно было выделить пары, нужно прибегнуть к упомянутым мною наблюдениям. Но не следует забывать, что применение ограничивается лишь частноутвердительным предложением, потому что в этом случае необходимо, чтобы одно из чисел-коэффициентов было единицей, как об этом уже говорилось в вышеприведенной таблице. Я не без умысла применил именно экспоненты, а не какой-нибудь иной способ выражения, потому что таким образом я оставляю свободными такие буквы, как и, г, что весьма удобно; здесь я иногда прибегаю для простоты к начальным буквам терминов в примерах, разъясняющих суть дела, как выше: Н равн. г4д т. е. человек (homo) — это то же, что

==512

разумное (rationale) животное (animal). Но я не хотел умножать буквы v, r на другие буквы для выражения нашего чередования, ибо каким же образом в том случае эти другие отличались бы от остальных и как бы обозначили бы соответствующим образом равные, иначе как составив характеры или применив числа? Первое занимает много времени для написания, второе при написании нарушило бы точность равенства, ибо вы когда-нибудь должны были бы эксплицировать эти числа через единицу и сказать, например, что 3 равн. 1, что несообразно, хотя 3 мы берем здесь в качестве числа, а не характера. Для них одних нельзя было выделить определенные греческие или латинские буквы, потому что мы уже достаточно заняли их и их осталось довольно мало, тем более что, как я сказал, мы хотели бы, когда это удобно, применять начальные буквы терминов, а потому эти буквы не должны быть занятыми. Но я говорю об этом между прочим, чтобы тем, кто глубже заинтересуется этим, были ясны наши соображения.

==513

00.htm - glava40

ЭЛЕМЕНТЫ ИСЧИСЛЕНИЯ

(1) Термин есть субъект или предикат категорического предложения. Таким образом, я понимаю под термином не знак 1 и не связку. Следовательно, когда говорится: «мудрец верит», термином будет не «верит», а «верящий», т. е. это то же, как если бы я сказал «мудрец есть верящий».

(2) Под предложениями я понимаю здесь категорические предложения, если я не оговариваю иное; категорическое же предложение есть основание для всех остальных; модальные, гипотетические, дизъюнктивные и все другие предполагают категорическое предложение. Категорическим я называю предложение «Л есть В» либо «4 не есть В», т. е. ложно, что А есть В. Знак может варьироваться, так что предложение является общим и понимается о всяком субъекте либо частным, т. е. — о некотором.

(3) Пусть любому термину будет приписано характеристическое число, которое будет использовано в исчислении, как сам термин используется в рассуждении. Числа же я выбираю по мере того, как пишу, и позднее я употреблю другие знаки как для чисел, так и для самой речи. В данный же момент числа особенно полезны своей точностью и легкостью употребления, и, кроме того, становится очевидно, что в понятиях все столь же четко определено, как и в числах.

(4) Правило нахождения соответствующих характеристических чисел сводится к одному: если понятие данного термина составляется прямо из понятий двух (или более) других терминов, то характеристическое число данного термина должно быть получено путем умножения друг на друга характеристических чисел терминов, составляющих понятие данного термина. Например, так как человек есть разумное животное (золото есть самый тяжелый металл), то отсюда, если число «животного» («металла») а есть 2 (т есть 3) и «разумного» («самого тяжелого») г есть 3 (р есть 5), число «человека» h будет тем: же, что аг, т. е. в этом примере 2-3, или 6 (число «золота», v. е. «солнца» 2, s — то же, что тр, т. е. 3-5, или 15).

(5) Мы будем использовать буквы, как выше a, r, h (т, р, s), либо когда нет чисел, либо когда они рассматри-

==514

ваются по крайней мере не в специфическом, а в общем значении, что нам и предстоит делать здесь, излагая элементы этого исчисления, подобно тому как это обычно делается в символической алгебре, т. е. в образной арифметике (Arithmetica figurata), чтобы не быть вынужденными на отдельных примерах представлять то, что мы можем дать единожды и сразу для всего бесконечного числа примеров. Ниже я объясню способ использования букв в этом случае

(6) Впрочем, правила, изложенного в пункте 4, достаточно, чтобы объять нашим исчислением всю совокупность вещей целого мира, в той мере, в какой мы обладаем отчетливыми понятиями о них, т е. насколько мы знаем некоторые их реквизиты, с помощью которых, после того как мы мало помалу изучили их, мы можем отличить их от любых других, или насколько мы можем дать им определение. Ведь эти реквизиты суть не что иное, как термины, понятия которых образуют понятие, которое мы имеем о вещи. Большинство вещей мы можем отличить от других посредством их реквизитов, и, если есть такие, реквизиты которых трудно обозначить, мы припишем им какое-нибудь простое число и будем пользоваться им для обозначения других вещей. Таким образом мы сможем найти и доказать с помощью нашего исчисления, во всяком случае, все предложения, которые могут быть доказаны без разложения вещи, временно принимаемой в качестве простой. Так Евклид в своих доказательствах нигде не употребляет определения прямой линии, но вместо него использует некие [предположения], принимаемые за аксиомы; Архимед же, желая идти дальше, вынужден разлагать саму прямую линию и определять ее как кратчайшую между двумя точками Этим путем, если не во всем, то по крайней мере в бесчисленном множестве вещей, мы откроем и уже доказанное другими, и то, что другие когда-нибудь смогут доказать из уже известных определений и аксиом, а также экспериментов. И вот в чем наше преимущество: с помощью чисел мы сможем тотчас же судить, доказаны ли они или нет, и то, что другие [смогли сделать] с величайшим напряжением ума или случайно, мы достигаем с помощью одних лишь характеристических знаков и точного, истинно аналитического метода; поэтому то, на что в ином случае смертным потребовались бы многие тысячелетия, мы сможем совершить за столетие.

==515

(7) Для того чтобы стало ясным употребление в предложениях характеристических чисел, следует иметь в виду, что всякое истинное общеутвердительное категорическое предложение означает не что иное, как некую связь предиката и субъекта, связь, которую я постоянно имею здесь в виду; т. е. можно сказать, что предикат находится в субъекте, или содержится в субъекте, будет ли он рассматриваться абсолютно и в себе или по крайней мере в каком-то примере, т. е. о субъекте можно сказать, что он указанным выше способом содержит предикат, т. е. что понятие субъекта либо само по себе, либо с некоторым добавлением включает понятие предиката, а тем самым субъект и предикат относятся друг к другу либо как целое к части, либо как целое и совпадающее [с ним] целое, либо как часть к целому. В двух первых случаях предложение является общеутвердительпым; так, когда я говорю: «Всякое золото есть металл», я этим хочу только сказать, что в понятии золота непосредственно содержится понятие металла, ибо золото есть самый тяжелый металл. И когда я говорю: «Всякий благочестивый счастлив», я не хочу сказать ничего иного, кроме того, что связь понятий «благочестивый» и «счастливый» такова, что в совершенстве постигнувший природу благочестия поймет, что природа счастья включается в псе непосредственно. Но во всех случаях, когда либо субъект, либо предикат представляют часть или целое, всегда имеет место частноутвердительное предложение. Например: «Некоторый металл есть золото»; ведь хотя металл сам по себе не содержит золота, однако некоторый металл с некоторым дополнением, т. е. специфическими свойствами (напр., то, что составляет большую часть венгерского дуката), по природе таков, что включает природу золота. Но между субъектами общего и частного предложений существуют различия в способе содержать нечто. Ибо субъект общего предложения, рассматриваемый в себе и взятый абсолютно, должен содержать предикат, так что понятие золота, рассматриваемое в себе и взятое абсолютно, включает понятие металла. Ведь понятие золота есть «самый тяжелый металл». Но в частноутвердительном предложении достаточно, чтобы было сделано какое-то добавление. Понятие металла, рассматриваемое абсолютно и взятое само по себе, не включает понятие золота, и, чтобы оно его включало, необходимо нечто добавить, а именно частный признак; ведь существует какой то определен-

==516

ный металл, который содержит понятие золота. В дальнейшем, когда мы будем говорить, что термин содержится в термине или понятие — в понятии, мы будем иметь в виду «просто» и «в себе».

(8) Отрицательные же предложения лишь противоречат утвердительным и утверждают, что последние ложны. Так, частноотрицательное предложение просто отрицает то, что утвердительное предложение является общим. Когда я говорю: «Некоторое серебро нерастворимо в обычной крепкой водке» 3, я хочу сказать одно: общеутвердительное предложение «Всякое серебро растворимо в обычной крепкой водке» является ложным. Ведь если верить некоторым химикам, существует противоположный пример — то, что они называют «связанным серебром». Общеотрицателъное предложение просто противоречит частноутвердительному. Например, если я говорю: «Ни один преступник не является счастливым», я имею в виду, что ложно, что некоторый преступник счастлив. Таким образом, ясно, что из утвердительных могут быть поняты отрицательные, и наоборот.

(9) Далее, во всяком категорическом предложении имеются два термина. Два любых термина, поскольку о них говорится, что они «находятся в» или «не находятся в», т. е. содержатся или не содержатся, различаются следующим образом. Либо один содержится в другом, либо нет. Если один содержится в другом, то один равен другому либо они различаются как целое и часть. Если ни один нe содержится в другом, то они либо содержат нечто общее, но не очень отдаленное, либо совершенно различаются. Но разъясним эти разновидности по порядку.

(10) Два взаимосодержащих и равных термина я называю совпадающими. Например, понятие треугольника совпадает в результате с понятием трехсторонней фигуры, т. е. в одном понятии содержится столько же, сколько во втором, хотя на первый взгляд это не бывает очевидным; однако если кто-нибудь проведет в равной мере разложение и того и другого, он в конце концов придет к одному результату.

(11) Два взаимосодержащих, но несовпадающих термина называются род и вид. Что касается понятий, или составляющих терминов (как они мною рассматриваются здесь), то они различаются как часть и целое, так что понятие рода является частью, а понятие вида — целым, поскольку составляется из рода и отличительного при-

==517

знака. Например, понятие золота и понятие металла различаются как часть и целое, ибо в понятии золота содержится понятие металла, а кроме того, еще нечто, например понятие самого тяжелого металла. Таким образом, понятие золота больше понятия металла'.

(12) Схоластики говорят иначе, имея в виду не понятия, а примеры, являющиеся объектами общих понятий. Поэтому они говорят, что понятие металла шире понятия золота, ибо оно содержит больше видов, чем золото; и если бы мы захотели перечислить все золотые предметы, с одной стороны, и металлические предметы — с другой, последних конечно же оказалось бы больше, к тому же первые содержались бы во вторых как часть в целом. Принимая во внимание это соображение, с помощью соответствующих знаков мы могли бы доказать все правила логики посредством исчисления, несколько отличного от принятого здесь — полученного просто обращением нашего исчисления. Но я предпочитаю ориентироваться на общие понятия, т. е. идеи и их комбинации, потому что они не зависят от существования индивидуальных предметов. Поэтому я утверждаю, что понятие золота больше понятия металла, ибо для понятия золота необходимо большее число компонентов, чем для понятия металла, и сложнее произвести золото, чем какой-нибудь другой металл. Итак, наше словоупотребление не противоречит здесь языку схоластиков, но их надо тщательно различать. Впрочем, любому, кто займется этим вопросом, будет ясно, что я ничего не меняю в способах выражения без определенных оснований и соображений пользы.

(13) Если ни один из терминов не содержится в другом, они называются раздельными, и тогда опять-таки, как я уже сказал, они либо имеют нечто общее, либо различаются совершенно. Имеют нечто общее те, которые объединяются в одном и том же роде и которые можно было бы назвать со -видами, как, например, человек и животное обладают общим понятием живого существа, золото и серебро — металла, золото и купорос — общим понятием минерала. Отсюда ясно также, что два термина имеют больше или меньше общего содержания в зависимости от большей или меньшей отдаленности их рода. Ведь если род очень отдален, тогда весьма незначительным будет то, что виды имеют общего. И если род будет еще больше отдален, мы назовем такие вещи гетерогенными, т. е. совершенно различными, как тело и дух;

==518

не потому, что у них нет ничего общего, во всяком случае и то и другое — субстанции, но потому, что этот общий род весьма отдален. Отсюда ясно: следует называть нечто гетерогенным или нет — это вопрос сравнения. Для нашего же исчисления достаточно, чтобы две вещи не имели в качестве общего ни одного понятия среди установленных и определенных нами, хотя, может быть, они обладают другими общими им понятиями.

(14) Перенесем теперь все сказанное нами о терминах, в различной мере содержащих друг друга или не содержащих, на их характеристические числа. Это легко сделать, поскольку в пункте 4 было сказано, что если термин участвует в составлении другого термина, т. е. если понятие термина содержится в понятии другого термина, то характеристическое число составляющего термина участвует путем умножения в образовании характеристического числа, которое будет взято вместо составляемого термина; или, что то же самое, характеристическое число составляемого термина, т. е. содержащего другой, делится на характеристическое число составляющего термина, т. е. находящегося в другом. Например, понятий животного участвует в составлении понятия человека, и, таким образом, характеристическое число животного а (напр., 2) вместе с каким-то другим числом г (напр., 3) будет множителем числа аг, или h (2-3, или 6), а именно характеристического числа человека. Поэтому необходимо, чтобы число аг, или h (т. е. 6), могло делиться на а (т. е. на 2).

(15) Когда два термина совпадают, например «человек» и «разумное животное», тогда и числа h и аг в результате совпадают (как 2-3 и 6). Поскольку, однако, один термин таким образом содержит другой, хотя и взаимообратимо, ибо «человек» содержит «разумное животное» (и ничего, кроме этого) и «разумное животное» содержит «человека» (и ничего, кроме того, чего бы уже не содержалось в человеке), необходимо, чтобы числа h и аг {2-3 и 6) также содержали друг друга, что в любом случае истинно, ибо они совпадающие, а одно и то же число в любом случае содержится в самом себе. Кроме того, необходимо также, чтобы одно могло делиться на другое, что также истинно, ибо, если какое-то число разделится само на себя, получится единица. Таким образом, сказанное нами в предыдущем пункте о том, что если один термин содержит другой, то его характеристическое число должно

==519

делиться на характеристическое число второго, имеет место и для совпадающих терминов *.

(16) Таким образом, с помощью характеристических чисел терминов мы можем знать также и то, какой именно термин не содержит другой. Ведь следует лишь проворить, может ли число одного без остатка разделить число другого. Например, если характеристическое число человека принять за 6, а обезьяны — за 10, ясно, что ни понятие обезьяны не содержит понятия человека, ни наоборот, потому что ни 10 не может точно делиться на 6, и наоборот, 6 на 10. Если, следовательно, спросить, содержится ли в понятии «справедливое» понятие «мудрое», т. е. действительно ли для мудрости не требуется ничего, кроме того, что уже содержится в справедливости, нужно будет только проверить, может ли характеристическое число «справедливого» делиться точно на характеристическое число «мудрого»; и если деление не получается, ясно: для мудрости требуется что-то еще, чего не требуется для справедливости, а именно знание оснований, ибо кто-то может быть справедливым в силу привычки, т. е. обычая, будучи неспособным в то же время привести основания того, что он делает. Каким же образом можно с помощью характеристических чисел найти этот необходимый минимум, который требуется, и что следует добавить, об этом я скажу позднее.

(17) Таким образом, отсюда мы можем знать, является ли истинным некое общеутвердительное предложение. Ведь в нем понятие субъекта, взятое абсолютно и неопределенно и вообще рассматриваемое само по себе в целом, всегда содержит понятие предиката. Например, «Всякое золото есть металл», т. е. понятие металла содержится в общем понятии золота, рассматриваемом само по себе, так что все, что принимается за золото, тем самым принимается за металл, ибо все реквизиты металла (быть ощутимо однородным, плавиться в огне, по крайней мере при определенных условиях, в жидком состоянии не пропитывать погруженные в него инородные тела) содержатся среди реквизитов золота. Мы объяснили это подробнее в 7-м пункте. Таким образом, если мы хотим узнать, всякое ли золото есть металл (ведь можно, например, сомневаться, является ли металлом гремучее золото 5, ибо оно имеет форму порошка и в огне взрывается, а не плавится), нам необходимо только выяснить, присуще ли ему определение металла, т. е., коль скоро мы имеем

К оглавлению

==520

характеристические числа, простейшим образом узнать, делятся ли характеристическое число золота на характеристическое число металла.

(18) Однако в частноутвердительном предложении нет необходимости, чтобы предикат присутствовал в субъекте, рассматриваемом сам ко себе и абсолютно, т. е. чтобы понятие субъекта салю по себе содержало понятие предиката, но достаточно предикату содержаться в каком-то виде субъекта, т. е. чтобы понятие какого-то вида субъекта содержало понятие предиката, хотя бы и не было выражено, каков именно этот вид. Отсюда если сказать: «Некоторый опытный человек есть благоразумный», то этим не говорится, что в понятии «опытное», рассматриваемом в себе, содержится понятие «благоразумное»; но это и не отрицается, и для нашей цели достаточно, что какой-то вид «опытного» обладает понятием, содержащим понятие «благоразумное», хотя, может быть, и не выражается, каков именно этот вид; т. е. хотя здесь и не выражено, что лишь тот опытный благоразумен, который обладает к тому же естественной способностью суждения, однако достаточно, что подразумевается, что некоторый вид «опытности» включает «благоразумие».

(19) Более того, если понятие субъекта, рассматриваемое в себе, содержит понятие предиката, то в любом случае понятие субъекта с добавлением, т. е. понятие вида субъекта, будет содержать понятие предиката. Нам этого достаточно, так как, говоря, что предикат присущ вту субъекта, мы не отрицаем того, что предикат присутствует в самом субъекте. Так, мы можем сказать, что некоторый металл в огне (соответствующим образом поддерживаемом) становится жидким, хотя мы могли бы утверждать это с большей пользой и в более общей форме: «Всякий металл в огне и т. д.». Однако и частное утверждение может найти свое употребление, ибо иной раз оно легче доказывается, чем общее, п мы удовлетворяемся частными предложениями.

(20) Таким образом, поскольку для частноутвердительного предложения не требуется ничего другого, кроме того, чтобы вид субъекта содержал предикат, отсюда следует, что субъект относится к предикату либо как вид к роду, либо как вид к чему-то с ним совпадающему, т. е. взаимообратимому атрибуту, либо как род к виду, т. е. понятие субъекта будет выступать по отношению к понятию предиката либо как целое к части, либо как целое

==521

к совпадающему с ним целому, либо как часть к целому (см. выше, п. 7 и 11).

Как целое к части — когда понятию субъекта как вид присуще понятие предиката как рода, например если дикий гусь будет субъектом, птица — предикатом. Как целое к совпадающему с ним целому — когда две равно сильные вещи утверждаются взаимно друг о друге, например когда треугольник — субъект, а трехсторонник — предикат. Наконец, как часть к целому — например, когда металл есть субъект, а золото — предикат. Таким образом, мы можем сказать: «Некоторый дикий гусь есть птица», «Некоторый треугольник есть трехсторонник» (хотя два этих предложения я мог бы высказать как общие), наконец, «Некоторый металл есть золото». В других случаях частноутвердительное предложение не имеет места. Доказываю я это следующим образом: если вид субъекта содержит предикат, то он во всяком случае будет содержать его либо как совпадающий с ним, либо как часть; если он содержит его как равный себе, т. е. совпадающий, тогда во всяком случае предикат есть вид субъекта, так как совпадает с видом субъекта; если же вид субъекта содержит предикат как часть, предикат будет родом вида субъекта согласно пункту 11; таким образом, предикат и субъект будут двумя родами одного и того же вида. Два рода одного и того же вида либо совпадают, либо, если не совпадают, необходимо относятся друг к другу как род и вид. Это легко показать, поскольку понятие рода формируется простым отбрасыванием от понятия вида, т. е. когда из вида, общего для двух родов, оба рода образуются благодаря беспрерывному отбрасыванию (как нечто остающееся, когда будет отброшено все лишнее), один оказывается перед другим, и один будет целым, а другой — частью 6. Более того, здесь мы имеем паралогизм и вместе с тем рушится многое из того, что мы сказали до сих пор, ибо я вижу, что частноутвердительное предложение имеет место даже тогда, когда ни тот ни другой [термин] не есть ни род ни вид, как в случае [предложения] «Некоторое животное есть разумное», лишь бы только эти термины были сопоставимы. Отсюда ясно, что нет никакой необходимости в том, чтобы субъект мог делиться на предикат или предикат на субъект. А на этом мы до сих пор строили многое. Следовательно, мы рассуждали более ограниченно, чем это требуется, а поэтому начнем рассуждение снова

==522

00.htm - glava41

ЭЛЕМЕНТЫ УНИВЕРСАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Термин, например «животное», «человек», «разумное», я обозначаю числами: а, Ь, с, так чтобы термины, вместе образующие какой-нибудь термин, были обозначены числами, которые, будучи помноженными друг на друга, образовывали бы число [этого термина]; так, поскольку «животное» и «разумное» образуют «человека», этот термин b будет равен ас, получаемому из умножения а на с.

Категорическое общеутвердителъное предложение, например, «Человек есть животное» выразим так: — равн. у, или Ъ равн. уа. Это означает, что число, которым выражается «человек», делится на число, которым выражается «животное», хотя то, что получается в результате деления, а именно у, здесь не рассматривается, хотя нам известно, что у здесь будет с. Если бы было известно, что у есть единица, тогда Ь и а были бы эквиполентны, или, если они эквиполентны, у есть единица. Впрочем, мы можем это выразить и так: «Всякое Ъ есть а».

Общеотрииательное предложение, например, «Ни один человек не есть камень» сведем к следующему утвердительному: «Всякий человек есть не -камень». Термин же «не- камень» будет относиться ко всему, кроме камня; итак, выразим этот термин «не- камень» неопределенным числом, о котором известно только, что оно не делится на число «камня». Ведь если человек не есть камень, он не будет ни камнем крошащимся, ни камнем прозрачным, ни камнем драгоценным, а потому — ни алмазом, ни мрамором и т. д. Число же, которое не делится на какое-то данное число, есть то, которое не делится на некое простое число, на которое делится данное число. Например, пусть делимое число будет ару, равн. /, и делитель будет бе, равн. g, так что все простые числа делимого будут ее, р, у, одно же число делителя будет 6, которое не содержится среди этих ее, р, у. Ясно, что -^р равн. • . Итак, обозначая простые числа греческими бук-

==523

вами и написав.

-^ равн. ,-

мы выражаем, что •- есть дробь, т. е. общеотрицательное

предложение1. Под точками... понимается то же, что «и т. д.», и предполагается, что на пустом месте можно написать любые числа, только бы они не содержали ни к, ни 6. И так как общеотрицательное предложение обратимо, то это тоже ясно выражается здесь, поскольку

равн. ^—

в 6 • ^ становится —- равн. ——, — отношения в обоих

случаях одинаковы.

Частноутвердителъное предложение, например, «Некоторый человек положителен» означает, что какому-то человеку присуща «положительность», т. е. число «некоторого человека» может быть разделено на число «положительного», например число «человека разумного»; *

Vih'^ следовательно, то, о чем идет речь, выразим так: —.

равн. z, предположив, что h равн. v, означающее, что если j число «человека» умножить на другое число, целое или дробное (числа, либо целые, либо дробные, я буду выражать еврейскими буквами), произведение может делиться на 1. \

Однако, чтобы понять это точнее, разъясним сначала сами простые термины , (3, у и т. д., т. е. греческая буква означает простое число, которое не может быть субъектом ни в одном общеутвердительном предложении, кроме тождественного, т. е. кроме такого, в котором оно само является и предикатом.

а, Ь, с, т. е. латинские буквы из первых букв алфавита, обозначают определенное число, т. е. данное простое или непростое.

s, t, и, w, х, у и т. д., т. е. латинские буквы из последних букв алфавита, обозначают неопределенное целое число, простое или непростое.

— обозначает предикат самого Ъ в общеутвердительном

предложении, т. е. какое-то число, например я, которое получается в результате деления Ъ на какое-нибудь неопределенное число, подходящее для деления. Ибо когда ставится неопределенное число, под

этим понимается подходящее. Таким образом, если я скажу, что о равн. -»

==524

то это то же самое, как если бы я написал, что ау равн. Ъ, как выше, либо Ъ равн. ау. Этот способ написания наилучший, ибо он соответствует высказыванию «Человек есть некоторое животное».

Термин ау, или —, обозначает неопределенный термин, т. е. либо общий, либо частный, и он, являясь предикатом утвердительного предложения, общего или частного, либо сам по себе общий, либо частный. Определенный термин Ъ всегда означает общий термин; таким образом, даже если я скажу: «ас равн. Ь» («Разумное животное есть человек»), где этот термин является предикатом в общеутвердительном предложении, то, поскольку это предложение обратимо, это то же самое, как если бы я сказал: «Всякое разумное животное есть всякий человек». Более того, и в следующем [предложении]: «ус есть Ь», т. е. «Некоторое разумное есть человек», происходит обращение. Ибо всякий человек есть нечто разумное 2.

Отсюда общеутвердительное предложение имеет вид: «Ь есть г/а» 3, т. е. «Ь есть с». Первое — необратимое, второе — обратимое, или, в более общем виде, «Ь есть г/а», либо «Ь есть zc», однако число z есть то же, что и единица, которая не умножает. Частноутвердительное предложение Имеет вид: «у а есть Ь» или «у а есть zc» 4. Отсюда доказывается, что частноутвердительное предложение обратимо в частноутвердительное, ведь, поскольку «г/а есть L» обращается в равенство, это всегда будет иметь место, так как субъект у а может быть разделен на предикат Ь

и получится «— равн. х», если положить х неопределенным результатом деления. Следовательно, будет: «уа равн. xbi>. Следовательно, «xb равн. г/а». Следовательно, «хЪ есть а» 5, т. е. предложение будет обращенным, как и требовалось. Все это я представлю теперь короче и точнее.

(1) Главное правило нашей характеристики состоит в том, что любой термин, например «животное» — а, «человек» — Ь, «разумное» — с, представляется числом, которое получается из умножения чисел, представляющих термины, образующие данный термин, так что число Ь равн. ас, потому что человек есть разумное животное. Пусть число «животного» будет 2, «разумного» — 3, тогда число «человека» будет 6. Отсюда следует, что во всяком

==525

категорическом предложении число субъекта должно быть делимо на число предиката. Например, «Человек есть животное» b может делиться на а, т. е. 6 — на 2.

(2) Отсюда следует, что предложение всегда может быть превращено в равенство, потому что, если число предиката умножить на какое-то другое число, а именно i получающееся в результате деления субъекта на предикат, появляется число, равное числу субъекта. Ведь есд частное умножить на делитель, получается делимое

<— равн. с» Следовательно, «Ь равн. ас».

(3) Когда не известно, что есть частное, а это происхсодит, когда дан только предикат и не дано всего остального, что составляет понятие, тогда вместо неизвестного может| быть взято неопределенное число, например х, у, г; например, «снег» будет субъектом «метеорологического явления»,| т. е. мы говорим: «и есть /те»; п во всяком случае может

быть разделено на т, т. е. можно сказать, что — равняется «чему-то». Но так как не установлено, каково что «что-то», и мы не знаем совокупности остальных необходимых для этого реквизитов, как-то: снег есть некоторое метеорологическое явление, холодное, пенообразное, ощу-| тимо падающее, мы назовем это неизвестное соединение

в скажем: «- равн. s», что дает «га равн. sm», т. е. снег

есть то же самое, что и какое-то определенное метеорологическое явление.

(4) Таким образом, во всяком равенстве, т. е. в прс э обратимом предложении, нужно соблюдать, чтобы какая-то буква, употребленная абсолютно, обозначающий термин, как, например, п — «всякий снег». Умноженное же на неизвестную букву s, например sm, обозначало бы термин со знаком частности, например «некоторое метеорологическое явление».

(5) Отсюда ясно, каким образом равенство дол превратиться в предложение, ведь любой термин pai ства может стать субъектом предложения, лишь бы i рой стал предикатом, и наоборот; однако термин, который должен стать субъектом предложения, должен оставаться таким, каким он был в равенстве, в термине же, который должен стать предикатом, может быть опущена неопределенная буква, например т равн. sm», отсюда будет 'i есть sm». Всякий снег есть то определенное метеорологи-

==526

ческое явление, о котором я говорю, и «sm есть п». Т. е. всякое определенное метеорологическое явление, о котором я теперь говорю (т. е. какое то метеорологическое явление), есть снег.

(6) Следует отметить, что я понимаю в качестве общего субъекта предложения тот, который не отмечен никаким знаком частности. Снег есть метеорологическое явление, т. е. всякий снег есть метеорологическое явление. Из этих принципов, касающихся категорических утвердительных предложений, легко выводится все остальное.

(7) «re есть т». Следовательно, «га равн. sm (по правилу обращения предложения в равенство, п 3). Следовательно, «га есть sm» (по правилу обращения равенства в предложение, п. 5). Всякий снег есть метеорологическое явление. Следовательно, всякий снег есть какое-то метеорологическое явление.

(8) Далее, если «га есть ?га», т. е. «га равн sm», следовате^но, согласно природе чисел, т. е. равенства, «tn равн. tsm», т. е. в результате обращения равенства в предложение «tn есть т». Т. е. если всякий снег есть метеорологическое явление, следовательно, какой-то снег есть метеорологическое явление.

(9) Если «tn есть т», следовательно, «tn равн. vm» — по п. 3. Следовательно (по п. 5), wm есть га» 6. Т. е. если какой-то снег есть метеорологическое явление, следовательно, какое-то метеорологическое явление есть снег.

(10) Отсюда, наконец, мы заключаем: если п есть т, следовательно, vm есть га. Т. е. если всякий снег есть метеорологическое явление, следовательно, некоторое метеорологическое явление есть снег. Ибо если «га есть т», следовательно, «tn есть т» — по п. 8. Если « га есть то», следоштельно, «vm есть га» — по п. 9. Следовательно, если «п есть т», «vm есть га». Что и требовалось доказать.

(11) Отсюда же непосредственно могут быть доказаны и свойства отрицательных предложений. Ибо частноотрицательное указывает только на ложность общеутвердительного. Отсюда те предложения, из которых заключают к общеутвердительному, если оно истинно, также являются ложными.

(12) Таким же образом общеотрицательное предложение указывает на ложность частноутвердительного. Отсюда же оно говорит также о ложности тех предложений, из которых можно заключать к частноутвердительному, как, например (по п. 8), общеутвердительного. Следова-

==527

тельно, из общеотрицательного заключаются ложность общеутвердительного и тем самым (по п. 11) к истинности частноотрицательного.

(13) И так как U.N. указывает на ложность Р.А. п от Р.А. заключают к обращению Р.А., следовательно, U.N. указывает на ложность обращенного Р.А., т. о. (по п. 12) на истинность обращенного U.N. Таким образом, оно может быть обращено просто.

Но рассмотрим это в нашей характеристике более пространно 7.

Но рассмотрим нашу характеристику подробнее. Действительно, в отрицательных предложениях выражается то, что предикат не находится в субъекте, т. е. что число предиката не содержится в числе субъекта, как делитель в делимом либо как множитель в произведении. Используем некоторые буквы, представляющие дроби, т. е. в нашем случае отрицательные понятия, которые будем обозначать греческими буквами л, о, ф, •ф, ю. Ведь если бы кто спросил меня, что требуется положительного для того, чтобы некоторое животное стало человеком, я скажу, что требуется «разумность»; и если кто спросит меня, что требуется, чтобы метеорологическое явление, т. е. т, стало снегом, т. е. п, я скажу, что требуется, чтобы оно было холодным, пенообразным, белым, ощутимо падающим и т. п.; соединение воедино этих отличий, т. е. специфических отличительных признаков снега в роде метеорологических явлений, отделяющих снег от всех других метеорологических явлений, я обозначу буквой s, одной из последних [в алфавите], ибо предполагаю его недостаточно познанным и в этом отношении воспринимаю его лишь смутно, а поэтому и выражаю через sin, т. е. что снег есть некоторое определенное частное проявление метеорологических явлений, а именно то, о котором я сейчас говорю и о котором обладаю смутным представлением. И это вполне удается. Но если кто-нибудь спросит меня о положительном специфическом отличительном признаке, устанавливающем вид человека в родо камня, т. е. о том, что положительного требуется для того, чтобы камень был человеком, я скажу, что от меня требуют нелепости.

Требуется же скорее нечто отрицательное либо, как в данном случае, отчасти положительное, отчасти опускаемое, для того чтобы камень стал человеком. Ибо у камня нужно нечто отнять и что-то к нему прибавить, чтобы воз-

==528

никло понятие, совпадающее с понятием человека. И это всегда имеет место в раздельных [понятиях], т. е. таких, из которых ни одно не есть ни род, ни вид, так что необходимо что-то прибавить, а что-то отнять, для того чтобы одно обратилось в другое. Но чтобы из рода получился вид, необходимо лишь прибавить отличительный признак, а чтобы из вида получился род — только отнять. Поэтому, если кто-то спросит у меня, что еще необходимо человеку, чтобы он был тождественным животному, я скажу, что не требуется ничего положительного, но скорее следует нечто опустить, а именно — наделенность разумом, что выражается дробью —, которая означает, что дл

того, чтобы число человека Ь было сведено к числу животного и, следует само число человека умножить на

л

дробь —, т. е. разделить на с. Отсюда ясно: если то, что

С

мы хотим образовать из вида путем прибавления какого-то нового реквизита, есть род, то сам род образуется из вида лишь отнятием специфического отличительного признака, т. е. вид каким-то образом делается родом а наоборот, так что специфический отличительный признак рода по отношению к виду есть опускание специфического отличительного признака вида по отношению к роду, и в результате дробное число, которое должно быть умножено па Ь — вид, чтобы отсюда получилось а — род, будет простой дробью, имеющей числителем единицу. Но чтобы одно раздельное [понятие] стало другим, частично следует что-то опустить, а частично что-то прибавить, следовательно, реквизитом для этого будет дробь, числитель которой больше единицы. Любому внимательному наблюдателю все это ясно из нашего основного правила ибо если полагание (positio) понятий мы выражаем умножением чисел, то опускание понятий мы будем выражать делением их 8.

Поскольку до сих пор я осторожно говорил скорее об опусканиях, выраженных дробями, чем об отрицаниях, необходимо найти переход к отрицательным предложениям. И здесь нужно принять во внимание следующее. Я могу сказать «Некоторое из метеорологических явлений не есть снег» вследствие опускания чего-то такого п понятии «метеорологическое явление», что требуется в понятии «снег». Отсюда нечто может быть метеорологическим явлением, хотя и не имеет того, что опускаетс

==529