Часть 7.

demnach keine blosse Rhetorik, drueckt kein leeres Pathos aus, sondern eine dem Erfahrungsurteil berechtigterweise zustehende Emphase.

Willem van der Kuijlen

Infinite Judgment in Kant's

«Critique of Pure Reason»

1. Introduction

In the table of logical functions of understanding Kant introduced «infinite judgments» in addition to the common logical distinction between affirmative and negative judgments. Correspondingly, Kant included «limitation» in the table of categories in addition to the categories of «reality» and «negation» (KrV, B106). Kant's example of infinite judgment was the sentence, «The soul is non-mortal». Kant's division of judgments may come as a surprise to those familiar with ordinary logical distinctions, especially because, in general logic, infinite judgment is classed with affirmations (KrV, B96f.). In view of transcendental logic, therefore, Kant took care to distinguish it from both negative and affirmative judgments. It is not negative because it is a logical affirmation, since the copula is not negated. Unlike ordinary affirmative judgments, on the other hand, it contains a negative predicate. Hence, infinite judgment is a logical affirmation by using merely a negative predicate in order to say something about our total knowledge (KrV, B97) and the content of knowledge «ьberhaupt».

Notwithstanding this explanation, Kant's introduction of infinite judgment and the category of limitation has met with neglect and misunderstanding, if not downright rejection, ever since. Schopenhauer, as always, was clear and quite amusing in his disapproval. He called infinite judgment «einen spitzfindig erdachten LьckenbьЯer, was nicht ein Mal einer Auseinandersetzung bedarf, ein blindes Fenster, wie er zu Gunsten seiner symmetrischen Architektonik deren viele angebracht hat.». According to Hegel it was not a judgment at all. Peirce also maintained that Kant added infinite judgments «because it rounded out his triad of categories of quality». As to the category of limitation, De Vleeschauwer added a philological reason: «Elle constitue donc une retouche de la derniиre heure.». To Kemp Smith, Kant's distinctions reflected «a very artificial and somewhat arbitrary manner» in preparation «for the 'discovery' of the category of limitation».

Instead of blaming Kant for unclarity or architectonical preoccupations to account for misunderstandings on our own part, Kant's distinction itself should be taken more seriously. The following sections will examine Kant's notion of infinite judgment, its meaning and function in view of the evidence found throughout KrV instead of particular passages only. The methodological starting point of this analysis is the assumption that Kant must have had good reasons to introduce infinite judgment; otherwise he would not have mentioned it at all and he certainly would not have added his warning observation in KrV, B97f..

Kant's insistance on this form of judgment is not as far-fetched as his commentators would have it. In ordinary language it is not uncommon to use negative predicates and even double negations in a meaningful way. Especially cases of double negation may help us to understand the meaning and function of infinite judgment. Generally, double negation amounts to an affirmation of what is negated: duplex negatio affirmat. This may apply in the case of classical bivalent logic, which is the logic most philosophers tend to subscribe to, but if it is considered as a principle of logic (sc. the law of double negation) it is not appropriate to serve as a logical means to analyse occurrences of double negation in ordinary or non-formal language. For example, the use of figures of speech such as understatement and litotes, which may contain double negations, cannot be adequately understood if they are supposed to represent affirmations. In order to account properly for occurrences of double negation, we must assume that there are good reasons for using the long-winded expression instead of a shorter one. These reasons may be of a pragmatic, rhetoric, or political nature, but in each case we will have to take the context into consideration.

From the following example it will be clear that double negation does not amount to a simple affirmation. Sentence 1 is a statement in response to official claims that there was no point in arresting Bouterse in Brazil, because subsequent extradition to The Netherlands would be impossible.

1 «The arrest and extradition of Desi Bouterse by the Brazilian government is complicated, but not impossible.»

«Not impossible» in this case does not mean the same as «possible», at least that is not the exact meaning of the statement. The statement merely points to the fact that the opposite claim about the impossibility is not valid. This does not entail a true claim about the possibility of arrest and extradition.

For the sake of introduction it is assumed here that this example should be understood in terms of infinite judgment. Infinite judgment, then, seems to be a highly common means to express specific meanings in specific contexts for specific reasons. As we shall see, the topics related to this example (esp. double negation) will recur when infinite judgment in the Kantian sense is discussed.

In the next section we will have a closer look at infinite judgment in relation to transcendental knowledge. In section 3 we will assess historical and systematic objections raised against infinite judgment. Implications resulting from this evaluation are presented in section 4 in relation to Kant's conception of transcendental logic. Sections 5 and 6 will determine the meaning and function of infinite judgment in the transcendental dialectic and doctrine of methods of KrV.

2. Infinite judgment and transcendental knowledge

In his observation regarding infinite judgment (KrV, B97f.) Kant clearly distinguished it from affirmative and negative judgment. His example was «The soul is non-mortal.», in contrast with the negative judgment «The soul is not mortal.». We may rephrase the latter example as «It is not the case that the soul is mortal.» to show that negative judgment is the negation of an affirmative one. Although Kant did not give a corresponding example of affirmative judgment, it obviously would have been «The soul is mortal». These three examples, the three types of judgment and their formalisations, are represented as follows:

2 The soul is mortal - affirmative judgment - S is p

3 The soul is not mortal - negative judgment - ¬(S is p)

4 The soul is non-mortal - infinite judgment - S is ¬p

Kant did not mention an example of affirmative judgment because, in this case, it would have been false: the soul does not belong to the set of mortal things. This implies an important aspect of Kant's view of judgment. By «judgment» he meant «true judgment». This is confirmed by Kant's conception of the function of negative judgment. In KrV, B97 he stated that a negative judgment regarding the soul would have warded off error. Negative judgments prevent us from making mistakes (cf. KrV, B737). True infinite judgments, however, serve another purpose.

Kant also provided an explicit reason to introduce infinite judgment: only in transcendental logic is infinite judgment a separate member in the division of judgments. In general logic, however, it is rightly classed with affirmative judgments. Apparently, it is necessary to distinguish infinite judgment because it serves a particular function in transcendental logic. In order to understand this function we have to get a clear picture of how transcendental logic should be distinguished from general logic. The remainder of this section is devoted to the main aspects of this distinction.

General logic abstracts from all content of the predicate. It abstracts from all content of knowledge and deals with nothing but the mere form of thought (KrV, B78). Transcendental logic, however, also considers what may be the worth or content of a judgment (KrV, B97). Here, «content» should be taken in a very specific way, i.e. in the sense of «Gegenstдnde a priori» (KrV, B81) or «Erkenntnis a priori» (KrV, B80). Thus, in transcendental logic, content is limited to pure knowledge a priori (KrV, B171). The content matter of transcendental logic does not consist in objects (e.g. bodies) or properties (e.g. mortality) in the ordinary sense, but in knowledge. Transcendental logic expresses knowledge about knowledge.

If we take a closer look at Kant's explanation of the term «transcendental» this conception of logic is easier to understand. In his introduction to KrV Kant stated:

«Ich nenne alle Erkenntnis transzendental, die sich nicht so wohl mit Gegenstдnden, sondern mit unserer Erkenntnisart von Gegenstдnden, so fern diese a priori mцglich sein soll, ьberhaupt beschдftigt» (KrV, B25).

Transcendental logic is a specific kind of transcendental knowledge. The latter concerns the a priori possibility of the mode of knowledge of objects, rather than one of the objects themselves. More specifically, this is stressed right at the beginning of «Die transzendentale Logik»:

«nдmlich: daЯ nicht eine jede Erkenntnis a priori, sondern nur die, dadurch wir erkennen, daЯ und wie gewisse Vorstellungen (Anschauungen oder Begriffe) lediglich a priori angewandt werden, oder mцglich sein, transzendental (...) heiЯen mьsse. (...) Der Unterschied des Transzendentalen und Empirischen gehцrt also nur zur Kritik der Erkenntnisse, und betrifft nicht die Beziehung derselben auf ihren Gegenstand» (KrV, B80f.).

According to this passage transcendental knowledge belongs to the project of the critique of knowledge, i.e. the critique of pure reason as it is presented in KrV. From this perspective we could distinguish between various levels of knowledge. The most general level is that of critique. Transcendental knowledge, as distinguished from empirical knowledge, is a more specific kind of knowledge. It is not so much concerned with a priori knowledge tout court, but only with a priori knowledge about the a priori possibility or application of certain representations (intuitions and concepts), i.e. the mode of knowledge (as specified in the transcendental aesthetic and the transcendental logic respectively). The third level contains knowledge about what is ordinarily regarded as the content, or subject matter of statements. This knowledge is expressed in statements like «Bodies are heavy». The content referred to in this type of statement is possible experience, which would be yet another level, i.e. the «lowest» content level.

For our present purposes we have identified four levels: 1) objects and properties within the field of possible experience; 2) judgments about 1; 3) transcendental knowledge about the a priori conditions of 2 (i.e. all that Kant said about space and time, the categories, schematism and the principles); and 4) critique as presented in KrV. As Kant stated, and as has been pointed out above, transcendental logic considers what may be the worth or content of a logical affirmation in infinite judgment, and what is thereby achieved in the way of addition to our total knowledge or in respect of the content of knowledge in general («ьberhaupt»). Thus, infinite judgment as part of transcendental logic is not a logical distinction for the affirmation or negation of anything at levels 1 and 2. Rather, it is a means to express something about knowledge ьberhaupt, i.e. about a higher level of knowledge. Seen against this background, infinite judgment is probably the only form of judgment which is specifically fit to put critical knowledge into words. Infinite judgment is indispensable for the purpose and means of Kant's critique. In the following sections this claim will be substantiated.

3. Against infinite judgment

In his study of Kant's infinite judgment Albert Menne echoed Schopenhauer's reproach: Kant introduced infinite judgment to save the symmetry of the table of categories (Menne, l.c., 151f., 159). Menne denied the independent status of infinite judgment for historical and systematic reasons. Historically speaking, there is no justification for using the notion of infinite judgment, since, as Menne suggests, the use of the term «infinite» is based on an incorrect translation of «indefinite judgment» (enuntiatio infinitus), which is a judgment containing a negative or infinite term with an infinite extension. The misunderstanding of Aristotelian «indefinite judgment» probably lead Kant to disregard this kind of judgment as the fourth, quantitative form of judgment and to introduce a missing, third, qualitative form of judgment, thereby completing the trichotomy of the table.

However, within the historical context, Menne acknowledged that some logicians prior to Kant also spoke of «infinite judgment», for example, Scharffius, Micraelius and Jungius (l.c., 155-157), although the use of infinite judgment was not wide-spread and limited only to approaches that were not Aristotelian or scholastic. According to Menne, Kant used an unusual type of judgment in a very specific way as he attached literal meaning to «infinite», although he was ignorant of its proper historical and philosophical background. Besides, Menne also maintained that there were no systematic reasons to use it in the same literal way as Kant did.

Menne (l.c., 159-162) denied Kant's literal reading of infinite judgment systematic relevance, especially in so far as it is distinguished from negative judgment, because there is no difference between a negative and infinite judgment, if the relations between subject and predicate are represented according to set theory. In agreement with this view negative judgment 3 and infinite judgment 4 are set theoretically identical, if negation in either judgment is understood in terms of complements: «not being mortal» and «non-mortal», both formalised as «(mortal')», refer to the complements of the set of mortal things. The formalisation expressing this identity would run: {x | soul (x)} ? {x | mortal' (x)} (Menne gives diagrams). In Menne's view, therefore, there is no difference between negation of the copula and predicate negation. To support this, he also called upon the generally accepted laws of traditional logic, particularly Apuleius' laws of equipollence, which state that an affirmative judgment is equipollent to the corresponding negative judgment if the predicate is denied as well. Menne concluded that both kinds of negation should be equivalent in order to yield an affirmative result. Applied to 2 and 3 above this may be expressed as:

5 (S is p) ? ¬(S is ¬p)

Menne's argument is circular (claiming the equivalence and proving it by referring to a defining, common logical principle) and appears to be based on the principle of double negation: two negations (of a single term or within a single statement) equal the affirmation (of that term or statement):

6 A ? ¬ ¬A principle of double negation

Menne's unconvincing, or at least unsatisfactory rejection of infinite judgment is based on this principle and on the principle of excluded middle, as is clear from his conception of «non-p» in terms of the complement of «p». Thus he maintains that if the introduction of infinite judgment were to make any sense, it would have been necessary for Kant to show that these formal principles do not hold in the case of transcendental logic. According to Menne (l.c., 160) Kant failed to supply such arguments and only offered problematic speculation. I believe that these arguments, apart from the basic distinction between transcendental and general logic (see section 2), can be found quite explicitly in other parts of KrV. A more detailed discussion of infinite judgment in the next section will deal with the principles of double negation, excluded middle and, in addition, the closely related principle of contradiction.

4. Infinite judgment in transcendental logic

An explanation of infinite judgment should be based on an explanation of the applicability of the principles involved, as it does not make sense to introduce infinite judgment if these principles apply without any restrictions. Again, the starting point is Kant's conception of «transcendental». In his view, not all types of a priori knowledge are transcendental. Analytic judgments are a priori judgments, but they are not transcendental. Because analytic judgments only express the fact that the predicate is contained in the concept of the subject, which is exacly what makes them analytic (KrV, B10), it is not necessary to rely on experience in order to be able to make them (KrV, B11f.).

Reference to experience is what distinguishes analytic from synthetic judgments. Synthetic judgments express a relation between subject and predicate which cannot be derived from the relation between the concepts involved. Synthetic judgments a posteriori can only be derived from experience, e.g. «This body is heavy» (KrV, B12). However, in the case of synthetic judgments a priori (e.g. «Everything which happens has its cause.», KrV, B13) things grow more complicated. Experience can no longer serve to account for the synthetic character of these judgments, since they are a priori. Thus the key problem of the critique of pure reason can be defined as the search for an answer to the question «How are a priori synthetic judgments possible?» (KrV, B19, 73). The answer in terms of the a priori possibility and applicability of concepts and intuitions is what Kant called «transcendental knowledge».

Now we should determine in what transcendental way the principle of contradiction applies to analytic and synthetic knowledge. In KrV, B190 Kant defined the principle of contradiction as the highest principle of analytic knowledge:

7 «Keinem Dinge kommt ein Prдdikat zu, welches ihm widerspricht»

In a sense, the principle of contradiction applies to analytic as well as synthetic judgments:

«ein synthetischer Satz kann allerdings nach dem Satz des Widerspruchs eingesehen werden, aber nur so, daЯ ein anderer synthetischer Satz vorausgesetzt wird, aus dem er gefolgert werden kann, niemals aber an sich selbst» (KrV, B14).

Thus, the principle can be applied to a synthetic judgment, but only in so far as yet another synthetic judgment is presupposed from which it follows. To the latter it cannot be applied (unless in so far as... etc., which would initiate an infinite regress). Again, this limited application of the principle of contradiction indicates a need to account for the possibility of a priori synthetic judgments.

In addition to the principle of contradiction, Kant also defined the highest principle for all synthetic judgments:

8 «ein jeder Gegenstand steht unter den nothwendigen Bedingungen der synthetischen Einheit des Mannigfaltigen der Anschauung in einer mцglichen Erfahrung.» (KrV, B197).

This principle contains the very short answer to the question about the possibility of a priori synthetic judgments. It is also a specimen of transcendental knowledge and it should be dealt with in transcendental logic, as Kant emphasised (KrV, B193). The principle of contradiction, on the other hand, «gehцrt aber... bloЯ in die Logik» (KrV, B190), thus stressing once more the disregard of content in this type of logic.

In the synthetic a priori, however, content is certainly taken into account, which is indicated in 8 by the occurrence of «Gegenstand» (object). The only objects given are objects of experience, in which case they should be taken as real objects. The principle of the synthetic a priori as stated in 8 specifies that the content of knowledge corresponds to an objective reality if the objects can be given in possible experience, i.e. if they comply with the synthetic requirements of sensibility (space and time), understanding (categories) and unity of apperception. Conformity to these formal, synthetic conditions of experience constitutes the objective reality or validity of knowledge. Synthetic principle 8 concerns content in so far as it specifies the conditions of what is to count as objectively real.

Kant's reference to «objective reality» (KrV, B194-196) in relation to the principle represents a major indication of how he conceived of the function of the three types of judgment in transcendental logic. In transcendental logic, affirmative judgments are true judgments, representing transcendental knowledge about what is to be considered as objectively real knowledge. This also makes it clear that an affirmative judgment is directly related to the category of «reality»: it affirms at a transcendental level what is valid and real at object level.

If this analysis is basically right, we may draw some tentative conclusions in respect to negative and infinite judgments in transcendental logic. Presumably, at a transcendental level negative judgment determines what should not be counted as a valid or objectively real claim of knowledge. In addition, infinite judgment is an affirmation, which is neither valid, nor invalid. Infinite judgment is non-valid. In the next section these conclusions will be further substantiated. Once again, we will be confronted with the limited applicability of the laws of contradiction and double negation as far as infinite judgment is concerned.

5. Infinite judgment, antinomy and “omnimoda determinatio”

If the proper function of negative judgment is to ward off error, its position in transcendental logic is implied in our analysis of affirmative judgment in the preceding section. At the level of the Transcendental Dialectic negative judgment is a true judgment about a false affirmative judgment regarding objects which cannot be given in possible experience (the soul, the world, God). This makes the Transcendental Dialectic the negative counterpart of the Transcendental Analytic. In this sense Kant referred several times to the important negative function of critique (KrV, Bxxivf., 25, 740, 823). Infinite judgment, the main focus of attention here, is also relevant in Transcendental Dialectic.

The clearest example of the presence of infinite judgment in the Transcendental Dialectic is Kant's solution of the antinomy, especially the first antinomy about the (in)finity of the world (KrV, B454-461). Reason gets entangled in the antinomy as soon as it tries to extend knowledge (cosmological ideas) beyond the limits of possible experience. The result is a deadlock; opposing rules seem to apply in the case of transcendent, cosmological knowledge, although they cannot both apply, because that would contradict their rule-like character. Furthermore, there does not seem to be a way out of this situation: antinomy is a fundamental conflict of reason. Kant's construction of the antinomy in transcendental logic shows the insufficiency of the logical principles involved. We will reconstruct Kant's analysis of the antinomy taking into account Ishikawa's study on infinite judgment and antinomy.

As in any other case of antinomy, the first antinomy consists of a thesis, supported by an argument to prove it, and an antithesis claiming the opposite of the thesis and also supported by proof. The thesis is, «The world is finite», whereas the antithesis runs, «The world is infinite». In support of the thesis, Kant constructed the following proof structure. Assume the opposite of the thesis (sc. the infinity of the world) to be true. According to Kant, this assumption would force us to accept contradictions which follow from it. Hence, we must reject this opposite claim because it is false, thus ipso facto accepting the thesis. Elsewhere (KrV, B817-822) this proof structure was called apagogical or indirect: justifying a claim by refutation of the opposite. Kant adopted the same strategy in case of the antithesis.The result, however, is a conflict of reason to which there is no apparent solution (for if there were, it would not be an antinomy).

The antinomy arises due to strict application of the logical principles mentioned above. The false statement about the infinity of the world entails a true statement about the finity (and vice versa in the case of the antithesis), given the principle of double negation (¬¬finity ? finity) and the principle of excluded middle (finity ? infinity). The result is a contradiction (antinomy, conflict of reason), which poses a serious problem because thesis and antithesis cannot both be true, given the principle of contradiction (¬(finity ? infinity)). In Kant's solution to the latter problem, infinite judgment plays a decisive role.

In the critical solution to the antinomy (section 7 of the antinomy chapter) Kant initially described the first antinomy as an analytical opposition. To solve it, however, this antinomy should be described in terms of a dialectical opposition, which is different from a contradictory opposition (KrV, B532). To do so, Kant employed predicate negation (sc. «nichtunendlich»), which is characteristic of infinite judgment, instead of a negative copula (sc. «non est infinitus») (KrV, B531f.). Then, the antinomy was rephrased as follows: «die Welt ist entweder unendlich, oder endlich (nichtunendlich)» (KrV, B532). Thus, double predicate negation may also occur in an infinite judgment.

In what way does infinite judgment help to solve the antinomy? Contrary to the antithesis in an analytical opposition, infinite judgment in a dialectical opposition attaches a determination to the world, regarded as a thing actually existing in itself. If the world does not exist as a thing in itself, both thesis and antithesis are false since there is no such thing that is either finite or infinite. Indeed, we cannot regard the world as something existing in itself; it exists only in the empirical regress of the series of appearances (according to the results of the transcendental analytic) (KrV, B532f.). Thus, the solution consists of the introduction of infinite judgment, which enables us to «unmask» the antinomy as an analytical opposition based on the assumption of the world existing in itself.

Although Kant only presents the solution in the case of the first antinomy, it also holds for the other three: «Was hier von der ersten kosmologischen Idee... gesagt worden, gilt auch von allen ьbrigen.» (KrV, B533; cf. Ishikawa, o.c., 93). As to the mathematical antinomy, thesis and antithesis are both wrong; in the dynamical antinomy, they may both be true (KrV, B556, 559f., 590).

According to Ishikawa there is yet another instance of infinite judgment present in Kant's solution. Kant's formulation of the solution has the form of infinite judgment (Ishikawa, o.c., p. 87, 96, 117f.). At this point it is clear that infinite judgment is proper to the perspective of transcendental knowledge, because the solution (or rather: «decision», «Entscheidung», KrV, B525) is part of the critical, transcendental level of knowledge.

In addition to Menne's historical account there is more to be said about infinite judgment if we look at the beginning of the third chapter of the Transcendental Dialectic. In KrV, B600f., Kant stated that every thing, as regards its possibility, is subject to the ontological principle of complete determination (omnimoda determinatio), «nach welchem ihm von allen mцglichen Prдdikaten der Dinge, so fern sie mit ihren Gegenteilen verglichen werden, eines zukommen muЯ.» (cf. also KrV, B596). This principle concerns the content, rather than the mere logical form of knowledge. This feature distinguishes it from the logical determinability of concepts, which is in fact the combination of the principle of contradiction and excluded middle (KrV, B600n.). As we have pointed out above, this distinction is exactly what makes the difference between infinite judgment, on the one hand, and affirmative and negative judgment, on the other.

There is a close link between infinite judgment and the omnimoda determinatio. This principle represents the (historical) origin of infinite judgement (Ishikawa, o.c., 57-69). It also confirms systematic points that were neglected by Menne, which make Kant's use of infinite judgment meaningful. The main point of agreement between infinite judgment and the principle is that they relate to a content, i.e. a thing. Every thing that exists is completely determined (KrV, B601). In accordance with this proposition specific pairs of contradictory predicates are not only compared with one another logically, but the thing itself is transcendentally compared with the sum total of all possible predicates (ib.). In its turn, the sum total itself is also completely determined as the concept of a thing called the ideal of pure reason (KrV, B601f.). This ideal represents the transcendental content, the transcendental substrate, the matter, the whole of reality or the omnitudo realitatis of the possibility and complete determination of all things.

The complete determination of a thing rests on the limitation of this omnitudo; it is completely determined in so far as the omnitudo is limited to a certain extent or, as Kant puts it «die durchgдngige Bestimmung eines jeden Dinges beruht auf der Einschrдnkung dieses All der Realitдt» (KrV, B605). It is exactly at this point that infinite judgment is a meaningful means to express a partial step in the process of complete determination. The negation contained in the judgment does not affect the copula nor does it express the non-existence of a thing, since the existence is presupposed as soon as we take up the determination of a thing. Kant referred to this «presupposition» by calling it «transzendentale Bejahung» in contradistinction to a «transzendentale Verneinung», which means «das Nichtsein an sich selbst» (KrV, B602). Infinite judgment refers to a thing while expressing transcendental affirmation, but it also expresses that only one of two contradictory predicates is to be assigned to a thing, thereby limiting the infinite sphere of all possible predicates represented by the omnitudo. In this context it is clear why Kant's example of the non-mortal soul in KrV, B97f. is not identical to a negative judgment. In «The soul is non-mortal», “the soul” refers to something and this something is determined to the extent that «mortal» is not an appropriate predicate belonging to that thing.

6. Infinite judgment and the polemical employment of reason

Saying something does not entail the existence of what is said. In fact, in the transcendental analytic existing things are limited to whatever can be given in possible experience. In the Transcendental Dialectic, judgments about illusory objects and their presumed existence are unmasked. Still, Kant allowed for some kind of judgment about these objects, although not in theoretical perspective. In order to say something relevant about these «objects» we see them in a practical perspective, as if they were practically real, not objectively real. In this sense infinite judgment plays its major role.

We have to be brief about this «as if» character of objects in a practical perspective. As early as his critical examination of dialectical illusion Kant alluded to the practical use of objects. As to the substantiality and permanence (immortality) of the soul, for example, we cannot claim knowledge because any such claim would transcend the limits of possible experience, «Gleichwohl wird hiedurch fьr die Befugnis, ja gar die Notwendigkeit, der Annehmung eines kьnftigen Lebens, nach Grundsдtzen des mit dem spekulativen verbundenen praktischen Vernunftgebrauchs, hiebei nicht das mindeste verloren» (KrV, B424). But although we cannot claim knowledge, we are entitled to postulate a future life. Strictly speaking, this postulate is not legitimate because there is no possible proof to support it; it transcends the possible limits of knowledge. It is not illegitimate, either, for the very same reason. The only way left open is to claim some right to postulate a future life as if the soul were an object, as long as it serves a practical interest. The proper judgment to express this claim is infinite: it is not illegitimate to claim a future life, since this illegitimacy, expressed in a negative judgment, cannot be proven.

Apparently, an interpretation of the critical result in terms of infinite judgment must also allow the occurrence of double negation (e.g. «not illegitimate») in infinite judgment. In the previous section this was already pointed out in the case of Kant's solution to the antinomy. There are also examples of Kant's employment of double negation concerning the critical results in view of a practical perspective: the severity of criticism has rendered reason a not unimportant service (KrV, B424); transcendental employment of pure reason prepares the site for building our moral edifices, a task that is not unmeritorious (KrV, B375); we limit the law of the empirical use of understanding, but not to declare the intelligible impossible (KrV, B590) (all italics mine). These are telling examples, but Kant's systematic employment of infinite judgment and his arguments are found in the Transcendental Doctrine of Methods.

In the chapter on the discipline of pure reason, Kant supplied a negative legislation (discipline) in addition to the positive legislation of the transcendental analytic. In so far as the speculative use of reason is dialectical, transcendental logic is nothing but a discipline (KrV, B824). Hence, a discipline of pure reason supplies a systematic account of the negative function of critique, which was mentioned at the end of section 4 and the beginning of section 5 above: it is «admonitory negative teaching» (KrV, B740).

The section on the discipline of the polemical employment of reason seems to be an exception, since it seems to represent a relapse into a purely polemical situation, i.e. a situation in which opposing claims constitute a conflict of reason. However, conflicts of this kind have already been solved in the transcendental dialectic on the basis of the formal conditions of knowledge. Hence, conflicts and polemics have basically been prevented: «So gibt's demnach keine eigentliche Polemik im Felde der reinen Vernunft.» (KrV, B784; cf. KrV, B771, 778). Nevertheless, reason may be employed polemically, but only to defend certain propositions against opposite dogmatic denials (KrV, B767). These propositions themselves are also dogmatic, but they are affirmative and they are made in view of the practical interest of reason (KrV, B769f.; cf. KrV, B777). Here we can see the same strategy that Kant employed in his solution to the antinomy. Neither the assertion nor the denial can be demonstrated conclusively. If the assertion is made in respect of the practical interest, however, there is no conclusive proof to support it, but, what is more important, there is also no valid proof of the opposite dogmatic denial. This lack of proof leaves open the very possibility of practical dogmatic assertions and, consequently, these assertions are not illegitimate. In this sense the position of polemical employment of reason is expressed by the double negation of «not illegitmate» in an infinite judgment, which should not be reduced to the simple affirmation of the legitimacy of that claim. An infinite judgment declaring certain claims «not illegitimate» secures the provisional competence or authority in preparation for the practical employment of reason. Its function is exactly to formulate one of Kant's main objectives: to deny knowledge in order to make room for faith (KrV, Bxxx).

Finally, even this denial of knowledge is expressed in terms of an infinite judgment. In the section on the impossibility of a sceptical satisfaction of reason, following the section on polemical employment, Kant presented his version of the docta ignorantia in the form of critical ignorance expressing the scope and limits of our knowledge. Ignorance in this sense is not a lack of knowledge, but it is affirmative knowledge about what cannot be known. To be critically ignorant one needs fundamental knowledge of what can and what cannot be known. This ignorance delimits the room available for practical assertions and faith.

7. Conclusion

Infinite judgment is not insignificant. In fact, it is the most important kind of judgment in KrV, since it has the particular properties that are necessary to express the results of Kant's critical project. Apart from the fact that the distinction between affirmative, negative and infinite judgments corresponds to the structure of KrV (viz. Transcendental Analytic, Dialectic and Doctrine of Methods), Kant employed infinite judgment in his solution to antinomy and paralogisms and in the critical limitation of knowledge which prepares for the practical employment of reason. Furthermore, infinite judgment is used in polemical and defensive strategies to ensure realisation of the practical interest of reason. Neglect of the structural and systematic importance of infinite judgment would pose insurmountable problems to any interpretation of Kant's critical work.

Олаф Виганд

«ЗНАКИ IN CONCRETO»* - К КАНТОВСКОМУ «ФОРМАЛИСТИЧЕСКОМУ» ОБОСНОВАНИЮ МАТЕМАТИКИ

Введение

В XIX веке стремления различных математиков были направлены к тому, чтобы свести все понятия реальной и комплексной теории чисел к одному основному понятию, а именно множеству. На рубеже XIX и XX веков усилия по построению математики на фундаменте теории множеств поначалу принесли сильное разочарование. Появление парадоксов в теории множеств привело математику к кризису, названному Германом Вейлем «кризисом оснований». Возможно, именно эти надежды и степень разочарования в них и вызвали упорные дискуссии по проблеме парадоксов, хотя уже в 1908 г. Цермело предъявил для нее аксиоматическое решение.

Кризис оснований породил различные подходы к новому обоснованию математических наук - в частности, интуиционизм и формализм. При этом интуиционисты уделяли большое внимание различным аспектам «Критики чистого разума» (далее КЧР). Так, интуиционисты полагали, что именно Кант гносеологически обосновал идею о конструировании математических объектов деятельным субъектом и, в частности, тот факт, что такая деятельность осуществляется к тому же во времени.

Давид Гильберт, к которому восходит формализм в основаниях математики, также неоднократно подчеркивал связи между своим обоснованием математики и кантовской философией. Таким образом, наряду с дискуссией об отношении интуиционизма к кантовской философии возникает восходящий к неокантианству подход, рассматривающий Канта в связи с гильбертовским формализмом. В новейшее время эта связь, которая долго находилась в тени дискуссии об интуиционизме, снова тщательно изучается с различных сторон.

В дальнейшем я ссылаюсь на предшествующие моей работе по этой теме исследования Ульриха Майера из Геттингена. В них он убедительно показывает, что вопреки широко распространенному мнению Гильберт по праву может ссылаться на Канта, когда утверждает, что бесконечное есть только «идея» (в кантовском смысле). Майер убедительно доказал, что такая ссылка на кантовское учение об идеях прямо следует из взглядов Гильберта, а именно, что бесконечное не может быть данным ни как «актуально бесконечное», ни как существующее в эмпирическом или чистом созерцании. Исходя из этого понимания Гильберт впоследствии сделал выводы, опровергающие развитое в КЧР учение о формах созерцания, в которых в математике дано бесконечное, взятое в некотором, еще более определенном смысле. Тем самым для бесконечного остается лишь роль «чистой» идеи в кантовском смысле. В отношении обоснования математики гильбертовская позиция, в соответствии с точкой зрения Майера, несомненно, близка докритической философии, в которой Кант обосновывает математику при помощи «знаков in concreto».

Очевидно, что попытка обосновать математику, опираясь на Гильберта и Канта, весьма многообещающа, поскольку объединяет различные аспекты конструктивной теории математики. Кратко обрисованные тезисы Майера с этой точки зрения все-таки выглядят односторонними, ибо он во многом присоединяется к гильбертовской интерпретации Канта. Поскольку Гильберт из систематических соображений не принимает ряд важных положений, в частности, относящихся к трансцендентальной эстетике, изложение Майера также обременено трудностями (которые будут изложены в дальнейшем) формалистического обоснования математики в смысле Гильберта. Майер не предлагает никакого разрешения этих трудностей. Более сильное воздействие кантовской философии математики в некоторых случаях может помочь выбраться из тупика.

В данной статье без претензии на исчерпывающее изложение или трактовку проблемы в целом затрагиваются только два проблематических пункта теории математики по Гильберту:

1) вопрос о происхождении понятия математической бесконечности: в случае, когда бесконечное в математике и логике, даже если оно обозначается как «отрицание конечного» или как чистая идея, «не сотворено любимым Богом» (здесь Гильберт иронически использует высказанный в другой связи Кронекером оборот), мы снова оказываемся перед задачей полного прояснения генезиса этой «идеи»;

2) формалистическое обоснование математики прежде всего основывается - и эти соображения должны быть предпосланы теории бесконечного - на той предпосылке, согласно которой чувственно данные и артикулированные (т. е. воспринимаемые как таковые и количественно определенные) конфигурации всегда могут быть только конечными (бесконечное не может быть данным в созерцании). Точнее говоря, это положение означает (принимая во внимание гильбертовское намерение обосновать натуральные числа только при помощи таких конфигураций), что уже натуральные числа, большие 10 или 12 не могут более быть представленными в собственном смысле (т. е. посредством артикулированного целостного восприятия, например, как множества меловых штрихов).

Положив в основу определенное толкование КЧР, в кантовском учении о чистом созерцании можно найти некоторые положения теории современной математики, которые по достоинству оценивают как гильбертовские раздумья относительно эмпирических или чистых созерцаний в качестве источника бесконечного, так и обе названные здесь систематические точки зрения. То, что для такой теории «знакам in concreto» принадлежит решающая роль, было замечено Кантом уже в докритический период. Однако предложенную Кантом теорию следует все-таки дополнить, принимая во внимание современную абстрактную (сформулированную Гильбертом) математику. Именно конструкции такой математики, прежде всего неэвклидова геометрия, ближе всего подходят к чисто «формалистическому» видению математики. Здесь следует обратить внимание на теоретико-познавательную мотивацию формалистического понимания математики.

Получающаяся в результате кантовско-гильбертовская модель обоснования математики, за которую мы здесь высказываемся, демонстрирует следующий факт: обращение к Канту сторонников несовместимых подходов к новому обоснованию математики можно рассматривать как две стороны одной («конструктивной») монеты.

Прежде всего следует кратко обрисовать важнейшие положения так называемой программы Гильберта. Затем мы опишем некоторые аспекты гильбертовского обращения к Канту и, наконец, в-третьих, рассмотрим гильбертовскую критику Канта, причем принимаются во внимание обе рассмотренные ранее систематические точки зрения.

1. Программа Гильберта

Гильбертовская попытка формалистического обоснования математики - и в этом отношении он расходится с интуиционистами - должна была сохранить последнюю в ее существующих формах. В 1922 г. Гильберт обрисовал свои намерения в следующих словах: «Моей целью является надежно обосновать математику; я хотел бы восстановить репутацию неуязвимой истинности математики, которая, казалось, была потеряна благодаря парадоксам теории множеств; но я думаю, что это возможно при полностью сохраненных ее позициях». Его усилия при этом были сосредоточены на проблеме бесконечного и нацелены на решение этой проблемы, которая, как ему представлялось, выходит за пределы отдельно взятой науки. В работе «О бесконечном» Гильберт утверждает, «... что окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за пределы узких интересов специальных наук и, более того, что оно стало необходимым для чести самого человеческого разума».

Гильберт достиг бы своих целей, если бы математические действия с понятием бесконечности и всеми понятиями, которые на нее прямо или косвенно ссылаются, действительно оказались бы бессмысленными. Доказательство этого, как надеялся Гильберт, должно было бы находиться в рамках его «программы консервативности»: самыми простыми из возможных средств нужно доказать, что использование абстрактных методов в математике, т. е. применение абстрактных операций при построении доказательств, является консервативным. Это означает, что каждое конкретное утверждение, полученное с помощью абстрактных методов, может быть получено и без них. Для уточнения того, что Гильберт здесь имеет в виду, следует подробно проанализировать понятие «финитизм», которое сам Гильберт не сформулировал ясно.

В области конкретной математики существуют финитные осмысленные предложения и финитные средства доказательства. Финитные осмысленные высказывания суть так называемые «реальные высказывания», то есть уравнения типа , где f и g являются в некотором в разумном смысле простыми (например, простейшими рекурсивными) функциями. Конечные доказательства соответствуют, например, вычислениям или комбинаторным перестановкам. Сложные высказывания, к примеру, такие высказывания, которые ссылаются на бесконечные множества, а также и такие высказывания, которые употребляют , суть только «идеальные высказывания». Как таковые они не имеют никакого смысла, но тем не менее с ними можно работать при помощи абстрактных методов. Эти идеальные высказывания, хотя и не позволяют вывести новые реальные высказывания, упрощают соответствующие теории. Так, для определенных теорий может стать необходимым «... к конечным высказываниям присоединить идеальные высказывания для того, чтобы удержать формально простые законы обычной аристотелевой логики».

Чтобы лучше понять ход мыслей Гильберта, нужно представить себе, что он твердо придерживается следующих убеждений.

1. Можно обойтись без бесконечного фактически в каждом отдельном случае. Это и был упомянутый «замысел» его теории, состоящий в том, чтобы в конце концов свести математику к конечным процессам: «Мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где оно встречается в выводах еще и теперь, понимать как нечто кажущееся, подобно тому, как в предельных процессах исчисления бесконечно малых оказалось возможным показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно большого, есть просто оборот речи. И подобно тому, как действия с бесконечно малыми были заменены процессами в конечном, которые дают те же результаты и приводят к тем же изящным формальным соотношениям, выводы, содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены конечными процессами, дающими в точности те же результаты, т. е. позволяющими проводить тот же ход доказательства и применять те же методы для получения формул и теорем».

2. При этом следует исходить из того, «... что каждая математическая проблема разрешима». Лишь благодаря геделевской теореме о неполноте было разрушено разделяемое Гильбертом убеждение в том, что все математические истины являются также доказуемыми.

В своей аргументации Гильберт в пункте 1 исходит прежде всего из бесконечностей в природе. «Бесконечная делимость континуума - это операция, существующая только в человеческом представлении, это только идея, которая опровергается нашими наблюдениями над природой и опытами физики и химии». То же самое можно сказать и о бесконечно больших величинах: «Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность. Но понятия неограниченность и конечность не исключают друг друга». Как мало бесконечное встречается в природе, столь же мало оно может осмысленным образом составлять основу мышления.

Тем самым получается, что ни становящееся «потенциальное бесконечное», ни бесконечное, мыслимое как актуально завершенное, никоим образом не может быть воспринимаемым: «... бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления - здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением».

Гильберт считал реальные высказывания, например, предложения элементарной теории чисел, осмысленными, так как полагал, что этот раздел конкретной математики можно возвести к созерцанию, причем он истолковывал натуральные числа как последовательность штрихов, которые объединяются с помощью знака «+», как, например,

«? + ? + ?». «Эти числовые символы - они и являются объектами нашего рассмотрения - сами по себе не имеют никакого значения». При помощи «чисел» можно придать созерцательный характер основополагающей операции теории натуральных чисел «прибавление единицы». Наше позиционное десятичное изображение натуральных чисел, например, с помощью арабских цифр, является символическим, в том смысле, что арабские знаки «1», «2»... обозначают и такие конфигурации штрихов. Сами числа - например, «? + ? + ?» - очевидно, не имеют никакого дополнительного смысла, арабские же знаки, напротив, имеют своим значением именно числа. В рамках такого обоснования математики не только бесконечные объекты являются идеальными элементами, но уже и отрицательные числа не могут получить никакого наглядного значения.

В интересах дальнейшего изложения важно подчеркнуть, что Гильберт в связи с этим явно настаивает на «содержательности» элементарного математического мышления: прежде всего должны быть даны «...определенные внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления». В применении к ним становятся «надежными» логические выводы, т. е. абстрактное оперирование с общими объемами и содержаниями понятий. Для обеспечения такой надежности «...эти объекты должны быть полностью во всех своих частях обозримыми; их показ, их различие, их следование друг за другом и существование одного из них наряду с другими даются непосредственно, наглядно, вместе с объектами как нечто, не могущее быть сведенным ни к чему другому и не нуждающееся в таком сведении... В частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются сами конкретные знаки, вид которых, согласно нашей установке, может быть непосредственно отчетливо и многократно опознан».

Далее Гильберт добавляет, что он коротко называет знаки таких образов такими же знаками.

В этом пункте формализм часто сталкивается с вопросом о том, на каком основании в таком случае конфигурации, например, пяти меловых штрихов (которые, естественно, отличаются друг от друга), могут быть признаны «одним и тем же» знаком, на основании постоянства или же способа порождения. Этот вопрос, как показал Майер, может быть поставлен уже исходя из текстов самого Гильберта. Гильберт, хотя и говорит, что для построения теории чисел необходима известная наглядная установка a priori, относительно Канта все-таки считает, что последний «далеко переоценил роль и объем априорного». Майер здесь ссылается на то, что Гильберт отклоняет как ложную альтернативу строгое различие между априорным (в кантовском смысле, а значит, по меньшей мере потенциальной бесконечностью) и чистым эмпирическим созерцанием. Разработанное Гильбертом понятие созерцания Майер описывает как «созерцание a priori финитного характера». Отличие этого понятия созерцания от кантовского четко проявляется в том, что для Гильберта бесконечное не может быть дано в созерцании (чистом, или эмпирическом, в смысле Канта). «Именно «финитный» является для Гильберта признаком созерцания, и наоборот, созерцание является гарантом финитности».

Для Гильберта математика, тем самым, начинается с созерцания: «... в начале был знак». Эти усилия Гильберта по новому обоснованию математики посредством возвращения основных математических понятий к рецептивности, с которой и в которой может быть дано только конечное, очевидным образом находятся в полном противоречии с той ролью, которую Кант в «Критике чистого разума» приписывал в математическом познании пространству и времени, поскольку с введением форм созерцания в математику вводится бесконечное.

К сожалению, из-за ограниченного объема статьи мы не будем здесь затрагивать гильбертовскую программу доказательства непротиворечивости (вторую часть так называемой программы Гильберта) и ее связь с кантовcким учением о регулятивном употреблении идей. Укажем лишь на то, что опровергнутая теоремой Геделя программа доказательства непротиворечивости наряду с другими осмысленными предложениями включает также и гильбертовскую программу доказательства косервативности

2. Гильберт и Кант

Как раз, в связи с только что указанным нами пониманием понятия бесконечности, Гильберт ссылается на Канта: «Роль, которая остается бесконечному, это только роль идеи, - если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности, - более того, идеи, которой мы можем вполне доверять в рамках, поставленных теорией, намеченной и защищаемой мною здесь».

По различным причинам эта ссылка на Канта загадала загадку многочисленным интерпретаторам Гильберта. В частности, если учесть развитие неэвклидовой геометрии, Гильберт должен был бы отклонить кантовскую трансцендентальную эстетику и тем самым теорию синтетических суждений a priori, а вместе с ней, как часто необоснованно утверждают, и кантовскую философию вообще. Его обращение к кантовским идеям разума было предпринято как бы для красного словца, и на него можно смотреть как на совершенный математиком простительный промах.

Майер убедительно доказывает с помощью различных, частью неопубликованных, текстов Гильберта, что обращение последнего к кантовскому учению об идеях разума и их чисто регулятивном употреблении совершенно оправдано. Согласно Майеру, из гильбертовской критики кантовского объяснения пространства и времени прямо следует, что, вопреки описанному выше поспешному игнорированию гильбертовского обращения к Канту, Гильберт обозначает бесконечное, которое для него не может быть дано ни в эмпирическом, ни в чистом созерцании, только как идею в кантовском смысле.

В «Критике чистого разума» есть два очень популярных высказывания о пространстве и времени:

1. «Пространство представляется как бесконечная данная величина» (В 39, а также А 25). Аналогично для времени, которое также должно восприниматься «как неограниченно данное» (В48 / А32).

2, а. «Истинное (трансцендентальное) понятие бесконечности заключается в том, что последовательный синтез единицы измерения количества никогда не может быть закончен» (В460). К этому можно прибавить:

2, б. Пространство «делимо до бесконечности» (В 553).

В соответствии с вышеизложенной гильбертовской аргументацией, касающейся понятия бесконечности, и его намерением отождествить числа в собственном смысле с рецептивно данными и потому по необходимости конечными конфигурациями может показаться, что Гильберт должен решительно и вполне справедливо отказаться как от высказываний (1), согласно которым и пространство и время (которые должны быть бесконечными величинами) даны (в смысле интуитивно данных), так и от (2) - пространство и время суть бесконечные в смысле бесконечных делимости и продолжаемости. Этот отказ был выражен в следующем весьма типичном для Гильберта высказывании, которое по содержанию полностью аналогично уже приведенной выше цитате из статьи «О бесконечном»: «Второй раз мы наталкиваемся в природе на вопрос о бесконечности при рассмотрении вселенной в целом. Мы должны теперь исследовать протяженность вселенной, чтобы узнать, нет ли здесь бесконечно большой величины... При попытках умозрительно показать бесконечность пространства вкрадывались также и очевидные ошибки. Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность. Но понятия неограниченность и конечность не исключают друг друга. Математические исследования дают нам так называемую эллиптическую геометрию - естественную модель конечного мира».

Принимая во внимание эту ситуацию, Майер ссылается теперь на prima facie (с первого взгляда, по видимости (лат.). - Прим. ред.) существенное сходство мнения Гильберта с обоснованием математики при помощи «знаков in concreto», которое Кант предположительно предлагает в 1764 году в своей статье «Исследование о ясности положений натуральной теологии и морали».

В этой статье Кант кажется исследователем из ХХ века, описывающим современную математику с позиций формализма. Он говорит здесь о чистой «...производимой по правилам перестановке знаков...», чем делает возможным то, что в ходе доказательства «сами обозначаемые вещи остаются при этом совершенно вне сферы мысли...». Как всегда случается при чтении подобных этому мест, Кант здесь не имел в виду формалистическое обоснование математики, т. к. он полагал, что «...в конце концов не расшифровывается значение символического вывода». Эти математические объекты уже в докритический период имеют синтетическую природу: «Дело в том, что математика никогда не объясняет какого-либо данного понятия посредством расчленения, а всегда разъясняет объект, произвольно соединяя [признаки], благодаря чему только и становится возможной сама мысль об этом объекте».

Кант говорит в приведенных цитатах об этих синтетических объектах как о «значениях» знаков. На эти понятия указывают литеры, которыми манипулируют, не принимая во внимание их значений. Но как выглядит это «указание» у Канта? Для ответа на этот вопрос должно хватить короткой цитаты из КЧР. После того как Кант разделил «интуитивный способ представления» на «схематический» и «символический», он имеет в виду под этим только чистые «характеристики», «... т.е. обозначения понятий через сопутствующие чувственные знаки, которые вовсе не содержатся в созерцании объекта как необходимые, а только по закону ассоциации силы воображения, поэтому в субъективном намерении служат средством воспроизведения». К последним он причисляет «видимые» - данные зрительно - «алгебраические знаки». Здесь важно, однако, что они суть только «выражения для понятия». Кант признает в этом смысле, что математические объекты - «понятия» - отличимы от «характеристик». Он обсуждает объекты математики - и сделал бы это так же и с «понятиями» современной логики - с точки зрения значений.

Предметы, на которые указывают сигнитивно используемые знаки, по Канту являются тем самым значениями, а следовательно, ментальными предметами. По Гильберту, напротив, числовые знаки - это данные в восприятии предметы. С этой точки зрения сходство между гильбертовым формализмом и Кантовым изложением 1764 года - вопреки тезису Майера - представляется спорным. В дальнейшем мы еще возвратимся к этому предполагаемому отношению.

3. «Знаки in concreto» и формы созерцани

На фоне гильбертовской критики произведенного в трансцендентальной эстетике вывода понятия бесконечности из форм созерцания самое время заняться вопросом, какую ценность может иметь кантовская философия математики для обоснования математики на «знаках in concreto». Как показано в предыдущем разделе, Кант в своем «Исследовании ясности основных положений...» даже не осуществляет такую программу.

Мы не можем уделить должного внимания обстоятельному изложению той роли, которая в «Критике чистого разума» приписывает в математике пространству и времени. Следует упомянуть только о том, что формы созерцаний конституируют объекты математики не per se (сами по себе (лат.). - Прим. ред.) - т. е. не посредством «чистого созерцания» некоторого рода. Синтезы, в которых получаются «формальные созерцания», т. е. - в предметном аспекте - структуры определенных объектов, например, определенных пространств в евклидовой геометрии, производятся не только при помощи пространства и времени, но представляют собой «фигурные синтезы» [В151-4, 204, 752, 196] продуктивного воображения, в которые встроены (математические) категории. В этом смысле имеются операции, которые одновременно являются созерцанием и мышлением.

В рамках математики операции в продуктивном арифметическом и геометрическом конструировании также происходят всегда и необходимо в формах созерцания. Если принять во внимание одну важную дефиницию, данную в рамках трансцендентальной эстетики, а именно определение «явления» как «предмета нашего чувства» [А34/В51], то отсюда естественно вытекает, что «в» этом «пространстве» и этом «времени» и, с другой стороны, среди того, что здесь порождается, - чисел, геометрических фигур и т. д. - не может быть дано никакое явление в смысле «предмета чувства». Иначе говоря, по Канту, пространство и время вполне можно мыслить таким образом, что «нетрудно представить себе отсутствие предметов в нем» [В38-9]. Например, в отношении времени: «явление прекрасно можно отделить от времени» [А31/В46]. Кант прав здесь лишь в отношении того факта, что также точки и линии конкретной, т. е. евклидовой геометрии, не являются предметами нашего чувства, другими словами, никакой точный математический объект не является идеализированным предметом «явление» в смысле его определения как «предмета нашего чувства».

(i)

После этих предварительных замечаний следует начать разъяснение условий (1) и (2). При этом важно иметь перед глазами то противоречие, которое prima facie существует между этими пунктами трансцендентальной эстетики. Первое высказывание (пространство является представленным как бесконечная «данная» величина) кажется несовместимым со вторым высказыванием (что существует некая безграничность в возможном продолжении созерцания, например, пространство бесконечно делимо).

Принимая во внимание (2), сначала скажем, что подразумеваемые под пространством и временем операции никоим образом не содержат per se ограничения. В этом смысле совершенно нормально говорить о «безграничности возможного продолжения созерцания». На этом фоне понимается также и смысл важного для предполагаемого противоречия слова «данный» в (1). Крайзель в связи с этим ссылается на то, что Кант здесь должен был сказать «пространство» и «время» «даны» как бесконечные = безграничные, без установленных границ, причем слово «даны» в соответствии с замыслом Критики следует естественным образом понимать в том смысле, что пространство и время суть формы созерцания, от которых мы не можем ни освободиться, ни заменить их на другие правила созерцания.

Это толкование не только «спасает» трансцендентальную эстетику от непреодолимых феноменологических неопределенностей, которые надеялся обнаружить здесь Гильберт, например, от грубого противоречия, но к тому же и в большей мере соответствует основной мысли Критики, которая должна иметь приоритет даже тогда, когда она вступает в неустранимое противоречие с отдельными местами текста. Эта основная мысль, которая a fortiori (тем самым (лат.). - Прим. ред.) верна также и для трансцендентальной эстетики (и, таким образом, заставляет критику Гильберта бить мимо цели), является важной предпосылкой «Критики чистого разума», согласно которой человеческий дух и все его действительные акты или действия конечны и временны, т. е. сукцессивны. По Канту, о нечеловеческих способах созерцания нельзя сказать ничего осмысленного: мы не можем «... судить о созерцаниях иных мыслящих существ, связаны ли они субъективными условиями, которые ограничивают наши созерцания...» (подчеркнуто мной. - О. В.) и от которых мы не можем освободиться, т. е. которые «являются для нас общезаконными» [А27/В43].

(ii)

Из этих соображений следует то, что каждая сконструированная фигура, число и арифметическая или алгебраическая формула и все сконструированные вещи и процессы должны быть построены при помощи «пространства», «времени» и категорий в виде блока временных сукцессивных операций в рамках некоторого пространства как «фигурно определенные пространства», т. е. определенные пространственные фигуры. После того как была выявлена конечность также и кантовской концепции созерцания (чистого или эмпирического), второй шаг к прояснению понятия бесконечности у Канта теперь основывается на дальнейшем различении, которое только что описанной, сукцессивно конструируемой субъективности сопоставляет в качестве коррелята объективную сторону