Часть 5.

ГЛАВА X

О ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ И ВОЗМОЖНОСТИ

1. Возможность и причина - одно и то же. 2. В тот момент, когда возможность становится полной, наступает ее превращение в действительность [актуализация]. 3. Ак­тивная и пассивная возможность суть только части полной возможности. 4. Когда говорят, что возможно превращение возможности в действительность [актуализация]. 5. Необ­ходимое и случайное превращение возможности в действи­тельность. 6. Активная возможность состоит в движении. 7. Что такое причина формальная и конечная [целевая].

1. Причине и действию соответствуют возможность (potentia) и действительность (actus). Это в сущности тождественные понятия, и их обозначают различными именами лишь в различной связи.

В самом деле, когда в каком-нибудь действующем теле имеются все акциденции, наличие которых необходимо и достаточно для того, чтобы при столкновении с другим телом оно вызвало в последнем известные действия, то мы говорим, что в нем заложена возможность, или потен­ция, того действия, которое станет действительностью, как только действующее тело будет приведено в соприкоснове­ние с телом, воспринимающим действие. Но как было показано в предыдущей главе, те же акциденции образуют действующую причину; следовательно, те же самые акци­денции, которые образуют действующую причину, обра­зуют также потенцию в действующем теле. Возможность, или потенция, и действующая причина по существу озна­чают одно и то же, лишь рассматриваемое в различной связи, а именно о причине говорят, имея в виду действие, которое уже наступило; о возможности же - имея в виду действие, которое еще должно наступить. Причина отно­сится к прошедшему, возможность - к будущему. Воз­можность действующего тела называется также активной потенцией.

Если в теле, подвергающемся воздействию, имеются все акциденции, необходимые для того, чтобы в нем могло быть вызвано действие каким-нибудь действующим телом, то мы говорим, что в нем заложена возможность, или потенция, того действия, которое станет действитель­ностью, если это тело придет в столкновение с некоторым действующим телом. Но эти акциденции, согласно опре­делению, данному в предыдущей главе, образуют мате-

165

риальную причину. Следовательно, «возможность, или потенция, в теле, подвергающемся воздействию, обычно именуемая также пассивной потенцией, и материальная причина суть одно и то же. Таким образом, слово причина подразумевает прошлое, а слово потенция - будущее. Поэтому возможность действующего и подвергающегося воздействию тел в их совокупности, которую можно было бы назвать целостной, или полной, потенцией, есть то же самое, что целостная причина, ибо и то и другое есть сумма всех акциденций, наличность которых необходима в обоих телах для того, чтобы действие наступило. Акци­денцию, которая производится чем-либо, называют, имея в виду ее отношение к причине, результатом, а имея в виду отношение к потенции - действительностью, или актом.

2. Подобно тому как в тот самый момент, когда причина становится целостной, наступает и действие, в тот самый момент, когда потенция становится целостной, наступает актуализация. И подобно тому как не может возникнуть действие, если оно не вызвано достаточной и необходимой причиной, не может возникнуть действительность, если она не имеет источником необходимую потенцию, т. е. потенцию, которой действительность не могла не быть порождена.

3. Подобно тому, как действующая и материальная причины, согласно нашему разъяснению, являются только частями целостной причины и, только будучи связаны между собой, производят какое-нибудь действие, активная и пассивная возможности являются лишь частями целост­ной и полной возможности, и лишь их соединение порождает актуализацию. Поэтому возможности, как это указано в первом пункте, всегда только условны: действующее тело обладает потенцией, поскольку оно сталкивается с телом, подвергающимся действию; в таком же условном смысле обладает потенцией и последнее. Само же по себе ни то, ни другое тело не обладает потенцией, поэтому акциденции, находящиеся в них, не могут в собственном смысле слова называться потенциями и никакое действие не может наступить благодаря потенции лишь действую­щего тела или лишь тела, подвергающегося воздействию.

4. Никакая актуализация невозможна, если нет налицо целостной возможности; так как в целостной потенции соединяется все то, что необходимо для наступления действия, или акта, то при отсутствии ее всегда будет недоставать чего-то, без чего актуализация не может на­ступить. Действие, таким образом, не наступает, оно невозможно.

166

Всякое же действие, которое не невозможно, возможно; поэтому всякое возможное событие рано или поздно наступит. Ибо если мы предположим, что оно ни­когда не наступит, то это будет означать, что никогда не могут соединиться все те условия, наличие которых необ­ходимо для того, чтобы событие могло наступить, т. е. событие невозможно, согласно данному нами определению. Но это противоречит предположению.

5. Необходимым мы называем такое действие, наступле­нию которого невозможно помешать; поэтому всякое собы­тие, которое вообще наступает, наступает в силу необходи­мости, ибо невозможно, чтобы оно не наступило. Ведь всякое возможное событие, как только что было доказано, должно когда-нибудь наступить. Предложение: все, что будет, то будет, так же необходимо, как утверждение человек есть человек.

Но тут перед нами встает вопрос: можно ли считать необходимым также и то будущее, которое обычно назы­вают случайным? Я отвечаю: все, что происходит, не исключая и случайного, происходит по необходимым при­чинам, как это доказано в предыдущей главе. Случайным что-либо называется только по отношению к событиям, от которых оно не зависит. Дождь, который завтра пойдет, необходим, т. е. обусловлен необходимыми причинами; но мы рассматриваем его как нечто случайное и называем его так, ибо еще не знаем его причин, которые уже сущест­вуют. Вообще случайным называется то, необходимую причину чего мы не можем усмотреть. Так же мы обычно говорим и о прошлом, а именно, не зная, произошло или нет что-либо, мы говорим, что это, может статься, и не произошло.

Все утверждения относительно будущих событий (на­пример, завтра будет дождь или завтра взойдет солнце) с необходимостью истинны или ложны; но, не зная еще, истинны они или ложны, мы называем эти события случай­ными. Их истинность, однако, зависит не от нашего знания, а от того, имеются ли налицо соответствующие причины. Есть люди, которые, признавая, что такому предложению, как завтра будет дождь или завтра не будет дождя, в Целом присуща логическая необходимость, тем не менее отрицают, что его отдельным частям (завтра будет дождь или завтра не будет дождя) присуща истинность, по­скольку, согласно их утверждению, ни одно из этих пред­ложений не является определенно истинным. Что означает, однако, это «определенно истинное», если не истинно

167

познанное, т. е. то, что является очевидной истиной. По­этому их утверждение имеет лишь следующий смысл: мы еще не знаем, истинно ли утверждение или нет. Однако они выражаются весьма темно и формулировкой, при по­мощи которой пытаются скрыть свое незнание, одновре­менно затемняют очевидность истины.

В пункте 9 предыдущей главы мы показали, что действующая причина всякого движения и изменения есть движение одного или нескольких действующих тел, в 5-м пункте же I главы было доказано, что потенция активного тела - то же самое, что действующая причина. Отсюда следует, что всякая активная потенция есть также движе­ние. Возможность, или потенция, не есть отличная от всякой действительности акциденция. Сама она есть дей­ствительность, а именно движение, которое только потому называется потенцией, что посредством его должна быть произведена потом другая действительность. Если, напри­мер, из трех тел первое толкает вперед второе, а второе - третье, то движение второго тела является его актом, или действительностью, по отношению к движению первого тела, так как последнее - причина движения второго тела; по отношению же к движению третьего тела движение второго тела является его активной потенцией.

Кроме действующей и материальной причины мета­физики признают еще две причины, а именно сущность вещи (которую некоторые называют формальной причи­ной) и цель, или конечную причину. На деле же обе они являются действующими причинами, ибо непонятно даже, какой смысл можно вложить в утверждение сущность вещи является ее причиной. Положение одаренность разумом есть причина человека означает то же, что и положение существование в качестве человека есть при­чина человека, а это не очень вразумительно. Однако познание сущности какой-нибудь вещи является причиной познания той же вещи. Если я знаю, что что-нибудь одарено разумом, то я в силу этого знаю также, что это человек. Однако в данном случае речь идет о действующей причине. О целевой причине речь может идти только тогда, когда имеют в виду те вещи, которые обладают чувствами и волей. Как мы покажем позже, конечная причина есть не что иное, как действующая причина.

168

ГЛАВА XI

О ТОЖДЕСТВЕ И РАЗЛИЧИИ

1. Что значит: одна вещь отличается от другой. 2. Что значит отличие по числу, величине, виду и роду. 3. Что та­кое отношение (relatio), пропорция (ratio), соотношение (relata). 4. Что такое пропорциональность. 5. В чем за­ключается отношение величин. 6. Соотношение есть не новая акциденция, но сравнение некоторых из тех свойств, которые присущи вещам независимо от их соотношения. Подобным же образом причиной отношения являются причины акциденций, имеющиеся в обоих членах отноше­ния. 7. О принципе индивидуации.

До сих пор речь шла о теле самом по себе, об акциденциях, общих всем телам, таких, как величина, движение, покой, действие, претерпевание, потенция, о том, что возможно, и т. д. Теперь следовало бы перейти к тем акциденциям, посредством которых одно тело отличается от другого. Но прежде всего следует объяснить, что значит различаться и не различаться, что такое тождество и разли­чие, ибо тела обладают кроме всего прочего тем общим свойством, что они различаются между собой и что их можно отличить друг от друга. Мы говорим, что два тела различны, когда об одном из них можно высказать нечто, чего нельзя одновременно сказать о другом.

Прежде всего очевидно, что два тела не суть одно и то же тело, ибо так как их два, то они находятся в одно и то же время в двух местах, между тем как одна и та же вещь находится в одно и то же время в одном и том же месте. Все тела во всяком случае различны по числу, а именно как одно и другое. То же самое и различны по числу суть взаимно исключающие друг друга имена.

Тела различаются по величине, если одно из них больше, чем другое, например одно имеет локоть в длину, а другое - два локтя, одно весит два фунта, а другое - три. Такого рода различиям противополагается равенство тел.

Те тела, которые различаются не только по величине, называются несходными. С другой стороны, те тела, кото­рые различаются только по величине, называются обычно сходными. Несходство может быть видовым и родовым. Видовым является, например, различие между черным и белым - свойствами, воспринимаемыми одним и тем же

169

органом чувств; родовым - различие между белым и теплым - свойствами, воспринимаемыми разными орга­нами чувств.

3. Сходство или несходство, равенство или неравенство

тел именуют отношениями; поэтому сами тела называются

находящимися в отношении друг с другом, или во взаимо­

отношениях (relata или correlate). Аристотель же назы­

вает их таядобп. Первое из тел обычно обозначают как

предыдущий член (antecedent), второе - как последую­

щий член (consequent). Отношение предыдущего члена

к последующему по признаку величины (равны ли они,

или один из членов больше или меньше другого) называ­

ется пропорцией, или пропорциональностью.

Пропорция (ratio - отношение) есть не что иное, как равенство или неравенство величины предыдущего члена и величины последующего члена. Например, пропорцио­нальное отношение 3 к 2 означает не более чем то, что 3 на единицу больше 2, а пропорциональное отношение 2 к 5 - не более чем то, что 2 на три единицы меньше 5. В отноше­ниях неравных величин отношение меньшей величины к большей называется недостатком, а большей к мень­шей - излишком.

Кроме того, и разности нескольких неравных величин могут быть равны или неравны между собой. Поэтому кроме пропорций величин существуют также и пропорции пропорций. Именно таков случай, когда две неравные величины находятся в определенном отношении к двум другим, также неравным величинам. Мы можем, например, сравнивать неравенство 2 и 3 с неравенством 4 и 5. В таком соотношении всегда необходимы четыре величины, за исключением того случая, когда при наличии трех величин среднюю величину считают за две, так что в результате получаются те же четыре члена. Если отношение первого члена ко второму равно отношению третьего члена к чет­вертому, то эти четыре члена называются пропорциональ­ными; в противном случае их именуют непропорциональными.

Пропорциональное отношение двух величин не сво­дится лишь к их простой разнице, т.е. к той части большей из них, на которую она больше другой, или к остатку от большей величины по вычитании из нее меньшей, но охватывает и отношение этой разницы к одному из обоих членов. Так, пропорция 2 и 5 не есть просто число 3, на которое 5 больше, чем 2. Это число следует еще сравнить с числом 5 или с числом 2. Хотя между 2 и 5 та же разница,

170

что между 9 и 12, а именно 3; неравенство в этих двух случаях все же неодинаково, и пропорционально отноше­ние 2 к 5 не то же самое, что отношение 9 к 12.

Отношение не суть особые акциденции, отличные от других акциденций сравниваемых вещей. Они скорее охва­тывают часть этих акциденций, а именно те, которые поло­жены в основу сравнения. Так, сходство белой вещи с другой белой вещью или ее несходство с вещью черной то же, что и ее белый цвет. Равенство или неравенство не осо­бая акциденция, существующая наряду с акциденцией величины, а именно величина. Различны только имена. То, что именуется белым или большим при отсутствии сопоставления с чем-либо другим, мы называем сходным или несходным, равным или неравным при сопоставлении. Отсюда следует, что причины акциденций, присущих срав­ниваемым телам, одновременно являются причинами их несходства или сходства, равенства или неравенства. Тот, кто производит два неравных тела, производит тем самым и их неравенство. Тот, кто устанавливает правила и по­ступает в соответствии с ними, составляет причину их соответствия или несоответствия друг другу. Это все, что мы считаем нужным сказать о сравнении одного тела с другим.

7. Вещь, однако, может быть сравниваема с самой собой, но в разное время. Здесь между философами возник вели­кий спор о принципе индивидуации (principiuin individutionis), а именно спор о том, в каком смысле тело остается тем же самым, а в каком становится не тем, чем оно было раньше? Например, является ли еще старик тем же самым человеком, что и юноша, остается ли государство

одним и тем же в течение столетий? Некоторые сводят индивидуацию к единству материи, другие - к единству формы. Существует также мнение, что она является сум­мой всех акциденций, их единством. В пользу мнения о материи как основе индивидуации говорит то обстоятель­ство, что кусок воска - имеет ли он форму шара или форму куба - остается тем же воском, поскольку в нем сохраняется та же материя. В пользу аналогичного мнения о форме говорит то, что человек с детства до старости остается численно одним и тем же, хотя его материя ме­няется. Если его идентичность не может быть приписана материи, то, по-видимому, не остается ничего другого, как приписать ее форме. В пользу же мнения о сумме акциден­ций нельзя привести ни одного аргумента. Но так как при появлении новой акциденции вещам обычно дается новое имя, то тот, кто видит основание идентичности в сумме

171

акциденции, полагает, что в этом случае и сама вещь является другой. Согласно первому воззрению, человек, совершающий преступление, не тот, кого подвергают на­казанию, так как человеческое тело непрерывно изменя­ется. Точно так и государство, изменившее в течение столетий свои законы, не остается больше тем же - вывод, который между тем опрокинул бы все понятия о праве. Исходя из второй точки зрения два одновременно сущест­вующих тела при известных обстоятельствах пришлось бы считать одним и тем же. Можно привести пример со знаменитым кораблем Тезея, о котором уже так много спорили афинские софисты. Если бы в этом корабле все старые доски были постепенно заменены новыми, то ко­рабль остался бы в количественном отношении тем же самым; но если бы кто-нибудь сохранил вынутые старые доски и, соединив их наконец в прежнем порядке, построил из них корабль, то и этот корабль, несомненно, был бы в количественном отношении тем же самым, что и перво­начальный. Мы имели бы в таком случае два количественно идентичных корабля, что совершенно абсурдно. Согласно же третьему воззрению, однако, ничто не остается тем же самым: человек, который только что сидел, а теперь стоит, не есть уже тот самый человек; точно так же и вода, находящаяся в сосуде, стала бы чем-то другим, если бы ее вылили. Принцип индивидуации поэтому не зиждется ни на одной материи, ни на одной форме.

Когда встает вопрос об идентичности какого-нибудь предмета, то следует иметь в виду данное ему имя. Одно дело спрашивать, остается ли Сократ тем же человеком, другое - остается ли он тем же телом, ибо одним и тем же телом старик и ребенок уже в силу разницы в величине быть не могут, ибо одно и то же тело всегда обладает одной и той же величиной, и тем не менее Сократ остается тем же человеком. Если мы, давая какой-нибудь вещи имя, долженствующее обозначать ее идентичность, сообразу­емся только с ее материей, то вещь будет той же самой, пока материя будет оставаться той же самой. Вода в океане и в туче остается той же водой, как и всякое тело остается телом, будь оно в компактном или сыпучем, обледенелом или жидком состоянии. Если же мы даем вещи имя, исходя из ее формы, представляющей собой принцип движения, то вещь сохраняет свою индивидуальность до тех пор, пока сохраняется этот принцип. Человек остается тем же самым, поскольку все его поступки и мысли проистекают из того жизненного принципа, который заложен в нем со дня

172

рождения. Мы говорим также об одной и той же реке, если только она проистекает из одного и того же источника, хотя бы вода в ней и менялась или хотя бы из этого источника истекало нечто совсем иное, чем вода. Точно так же и государство независимо от того, меняются или нет живущие в нем люди, остается тем же самым государством, если только его акты неизменно исходят из одного и того же строя вещей. Если мы, наконец, даем какой-нибудь вещи имя, сообразуясь с какой-нибудь акциденцией, то идентич­ность вещи зависит от материи. Ибо если мы уменьшаем или увеличиваем материю, то старые акциденции исчезают и возникают новые, не являющиеся количественно теми же самыми. Корабль, под именем которого мы подразумеваем сформированную определенным образом материю, остается тем же, пока остается той же его материя. Если ни одна часть последней не остается той же, что и раньше, то ко­рабль становится количественно совершенно другим. Если некоторые части корабля остаются, а другие заменяются новыми, то корабль - частью тот же, а частью - другой.

ГЛАВА XII

О КОЛИЧЕСТВЕ

1. Определение количества. 2. Обозначение количества. 3. Какими способами обозначают линию, плоскость и объ­ем. 4. Как обозначают время. 5. Как обозначают число. 6. Как обозначают скорость. 7. Как обозначают вес. 8. Как обозначают отношение величин. 9. Как обозначают меру отношений отрезков времени и скоростей.

1. О сущности размерности (dimensio) и ее разнообраз­ных видах было сказано выше в главе VIII. Согласно сказанному там, существуют три вида размерности: линия (или длина), плоскость и плотность. Каждый из этих видов в отдельности, если он определен, т. е. если ясно намечены его границы, называется обычно количеством. Под коли­чеством мы понимаем все то, что является ответом на вопрос сколько? На вопрос, как долог путь, не отвечают неопределенно - длина; на вопрос, как велика пашня,- площадь; наконец, на вопрос, как велика масса,- плотное. На эти вопросы отвечают или вполне определенно - путь Длиной 100 000 шагов, пашня в 100 югеров, масса объемом 100 кубических футов, или по крайней мере так, что ве­личина соответствующей вещи может быть представлена

173

в известных границах. Следовательно, количество нельзя определить иначе как известным размером, или размером, границы которого известны по их месту либо благодаря сравнению.

Количество определяют двояким образом. Во-первых, посредством чувств, если нам демонстрируется какой-ни­будь чувственный объект, например линия, плоскость или толщина фута или локтя, запечатленные в какой-нибудь материи. Такого рода определение называется непосред­ственным созерцанием, а познаваемое таким образом ко­личество - наглядно представленным. Во-вторых, коли­чество определяется при помощи памяти путем сравнения с наглядно данным количеством. Руководствуясь первым способом определения количества, на вопрос: как велика какая-нибудь вещь? - мы отвечаем: она так велика, как ты это видишь глазами. Руководствуясь вторым способом, на этот вопрос можно ответить только при помощи сравне­ния с наглядно данной мерой. На вопрос: как велика длина пути? - ответ или гласит: столько-то тысяч шагов,- если мы при этом сравниваем путь с шагом или с какой-нибудь другой чувственной мерой, или указывает, что соответ­ствующее количество относится к какой-нибудь данной мере так, как диагональ квадрата к его стороне, и т. д.

Важно, однако, чтобы наглядная мера оставалась постоян­ной, будучи либо материальной, либо доступной чувствен­ной оценке, ибо иначе невозможно было бы сравнивать что-нибудь с этой мерой. Но так как именно сравнение какой-нибудь величины с другой, согласно выводам пре­дыдущей главы, мы называем отношением, то очевидно, что установленное посредством второго способа количество есть не что иное, как отношение между не данным наглядно протяжением и наглядно данной мерой, т. е. равенство или неравенство указанного протяжения с указанной наглядно данной мерой.

Линию, плоскость и объем обозначают, во-первых, посредством движения в соответствии с тем, как мы опи­сали возникновение этих геометрических элементов в главе VIII; однако это следует делать так, чтобы сохрани­лись следы этого движения. Они должны быть или нане­сены на какую-нибудь материю таким образом, как, например, наносят линию на бумагу, или же врезаны в какую-нибудь материю с большей прочностью. Эти эле­менты могут, во-вторых, быть обозначены путем прибавления: так, линия может быть прибавлена к линии, плоскость - к плоскости, объем - к объему. Это значит, что линию

174

описывают посредством точек, плоскость - посредством линий, объем - посредством плоскостей. При этом, одна­ко, под точками здесь следует понимать очень короткие линии, а под плоскостями - лишь очень тонкие тела. В-третьих, линии и плоскости можно получить с помощью разрезов, линии - разрезая наглядно представленные пло­скости, плоскости - разрезая наглядно представленные тела.

Время обозначают не в виде одной лишь простой линии: для его обозначения требуется еще нечто равно­ мерно движущееся по этой фактической или по предполагаемой линии. Ибо время есть образ движения, поскольку мы представляем себе в последнем раньше и позже, или последовательность. Поэтому для обозначения времени недостаточно лишь описать линию: мы должны одновре­менно мыслить предмет, движущийся по этой линии, и притом движущийся равномерно, так, чтобы мы в зависи­мости от потребности могли делить и соединять время.

Если философы в ходе своих доказательств чертят линию и утверждают, что эта линия должна означать время, то это равнозначно утверждению: понятие равномерного дви­жения по этой линии должно означать время. Так, окруж­ности циферблатов, хотя они и представляют собой линии, недостаточны для определения времени: для этого требу­ется еще движение чего-нибудь, например тени или стрелки.

Числа обозначают или при помощи точек, или при помощи названия чисел (один, два, три и т. д.). Точки, однако, не должны при этом соприкасаться, и поэтому их следует отделить друг от друга знаками. Они должны быть расставлены таким образом, чтобы их можно было отличить друг от друга. Этим и объясняется то обстоя­тельство, что число называется прерывным количеством (quantitas discreta), между тем как всякое количество, которое характеризуется движением, именуется непре­рывным. При обозначении чисел посредством названий или цифр необходимо закрепить их в памяти в твердом порядке как ряд: один, два, три и т. д. Простое повторение единицы с прибавлением еще одной единицы скоро привело бы нас к тому, что мы не знали бы, какое число перед нами. Мы не пошли бы дальше трех, причем и число три пред­ставлялось бы нам не как число, а как фигура.

Для обозначения скорости (которая, согласно опре­делению, есть движение, совершаемое движущимся телом в определенном пространстве за определенный промежуток

175

времени) требуется обозначить три вещи: время, простран­ство, пройденное движущимся телом, скорость, которую мы хотим обозначить, а также само движущееся в этом пространстве тело. Нужно провести две линии. Одна линия служит для того, чтобы обозначить время, поскольку мы представляем себе, что вдоль нее совершается равно­мерное движение, необходимое для определения времени; другая линия изображает скорость. Если, например, нам нужно сделать наглядной скорость движущегося тела А, то мы проводим две линии (АВ и CD)

А В

С D

и помещаем в точку С какое-либо тело. Скорость движения тела А будет определяться тогда тем, что оно проходит расстояние АВ в тот же промежуток времени, в который тело С пройдет расстояние CD в равномерном движении.

Вес мы обозначаем с помощью любого тяжелого тела, состоящего из любой материи, лишь бы это тело всегда имело эту или иную тяжесть.

Об отношениях величин получают представление одновременно с самими этими величинами. Отношение неравенства мы обозначаем тогда, когда нам даны неравномерные величины, отношение равенства - когда нам даны величины равные.

Так как отношение неравных величин, согласно опре­делению, данному в пункте 5 главы XI, состоит в отноше­нии их разницы к одной из этих величин и так как, далее, вместе с обозначением неравных величин дается и их раз­ница, то отсюда следует, что обозначение величин, находя­щихся в пропорциональном отношении, одновременно наглядно представляет нам и само это отношение. Подоб­ным же образом и отношение разных величин (состоящее в том, что между величинами нет никакой разницы) дается одновременно с обозначением этих величин.

Если, например, даны равные линии АВ и CD,

А В

С D

E G F

то существующее между ними отношение равенства не­посредственно доступно созерцанию. Если же линии EF и EG неравны, то этим дано как отношение EF к EG, так и

176

отношение EG к EF, так как разница обеих изображенных линиями величин выражена линией GF. Отношение не­равных величин есть количество, так как оно выражается разницей GF, которая есть количество. Отношение же равенства не есть количество, так как между величинами нет разницы, а из равенств одно не может быть больше другого (что бывает при неравенствах).

9. Отношение двух промежутков времени или скоростей двух равномерных движений обозначают двумя линиями, вдоль которых, как мы себе представляем, равномерно движутся два тела. В зависимости от того, принимаем ли мы обе эти линии за изображения величин, времен или скоростей, они будут представлять или отношение друг к другу, или отношение времен, или отношение скоростей. Так, пусть линии А и В

A

B

прежде всего наглядно представляют отношение друг к другу. Если же затем мы представим себе, что вдоль этих линий равномерно с равной скоростью движутся тела, и если связанные с движением этих тел промежутки времени будут относиться друг к другу как большие, меньшие или равные в соответствии с пройденным в это большее, мень­шее или равное время путем, то линии А и В будут пред­ставлять равенство или неравенство, т. е. отношение этих промежутков времени. Если, наконец, мы предположим, что линии А и В пройдены в один и тот же промежуток времени, то они будут представлять равенство или не­равенство, т. е. отношение, скоростей, ибо скорости бывают большими, меньшими или равными в зависимости от того, проходят ли движущиеся тела в одинаковое время боль­шие, меньшие или равные отрезки пространства.

ГЛАВА XIII

ОБ АНАЛОГИЯХ, ИЛИ О ТОЖДЕСТВЕ ОТНОШЕНИИ

1, 2, 3, 4. Сущность и определение арифметических и геометрических отношений. 5. Определение и некоторые свойства равных арифметических отношений. 6, 7. Опреде­ление и преобразование равных геометрических отноше­ний. 8, 9. Определение и преобразование неравных отно-

177

шений. 10, 11, 12. Сравнение аналогичных количеств в отношении их величин. 13, 14, 15. Соединение отношений 16, 17,18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Определение и свойства непрерывных отношений. 26, 27, 28, 29. Сравнение ариф­метических и геометрических отношений.

ГЛАВА XIV

О ПРЯМЫХ И КРИВЫХ ЛИНИЯХ. УГОЛ И ФИГУРА

1. Определение и свойства прямой линии.

[...] Кратчайшая линия между двумя данными точками есть та, конечные точки которой не могут быть удалены друг от друга без того, чтобы она не претерпела количест­венных изменений, т. е. чтобы не изменилось отношение этой линии к другой линии [...] Кривой называется такая линия, конечные пункты которой могут быть еще больше удалены друг от друга, прямой - такая, чьи конечные пункты не могут быть больше удалены друг от друга [...] III. Между двумя данными точками может быть проведена только одна прямая линия, ибо между ними может быть только одно кратчайшее расстояние, или одна наименьшая длина. Чтобы доказать это, предположим обратное, т. е. что между двумя данными точками могут быть две прямые линии. В таком случае они или совпадают и, следовательно, обе представляют собой только одну прямую линию, или не совпадают, и тогда, если мы посредством растягивания наложим одну из них на другую, конечные пункты одной линии окажутся более удаленными друг от друга, чем конечные пункты другой. Первая линия поэтому с самого начала была кривой [...]

2. Определение и свойства плоскости.

[...] Плоскость описывается прямой линией, которая движется так, что все ее точки описывают прямые линии...

Различные виды кривых.

Определение и свойства круговых линий.

Свойства прямых линий на плоскости.

Определение пересекающихся линий.

Определение и виды углов.

[...] Если две линии или несколько плоскостей сопри­касаются в одной-единственной точке, а везде вне этой точки расходятся, то величина этого расхождения есть угол [...]

178

В концентрических кругах дуги равных углов отно­сятся, как окружности кругов.

Чем измеряется угол?

[...] Угол измеряется дугой, величина которой опреде­ляется ее отношением ко всей окружности круга [...]

Различие простых углов.

О прямых, соединяющих центр круга с касательной.

Общее определение параллельных линий; свойства параллельных прямых.

[...] Две любые линии, прямые или ломаные, равно как и две плоскости, параллельны, если две равные прямые линии, пересекая их где бы то ни было, всегда образуют равные углы [...]

Окружности двух кругов относятся друг к другу, как их диаметры.

Прямые линии, проведенные параллельно к основа­нию треугольника, относятся друг к другу, как отрезки сторон треугольника.

15. От какого излома прямой линии возникает окруж­ность круга?

Угол, образуемый двумя касательными к одной кривой, как и простой угол, имеет величину, но его вели­чина - другого рода. К нему ничего не может быть прибавлено, и от него ничего не может быть отнято.

Отклонение двух плоскостей есть простой угол.

Что такое телесный угол (solidus)?

Что такое асимптоты?

Чем определяется положение?

Что значит подобное положение; что такое фигура и что такое подобные фигуры?

179РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

О ЗАКОНАХ ДВИЖЕНИЯ И ВЕЛИЧИН

ГЛАВА XV

О ПРИРОДЕ И РАЗЛИЧНОМ ПОНИМАНИИ ДВИЖЕНИЯ И СТРЕМЛЕНИЯ (ИМПУЛЬСА - CONATUS)

Повторение некоторых принципов развитого раньше

учения о движении.

Дальнейшие принципы.

[...] Стремление, или импульс (conatus), есть движение через такой отрезок пространства и в течение такого проме­жутка времени, которые так малы, что не могут быть даны, или обозначены числами, следовательно, движение через точку. Для разъяснения этого определения нужно напом­нить, что под точкой не следует понимать нечто не имеющее величины, или неделимое. Ничего подобного вообще не существует в природе. Точка означает здесь нечто, вели­чина или части чего не принимаются во внимание при доказательстве, т. е. точка принимается не за неделимое, а за неразделенное. Точно так же и под мгновением следует понимать не нечто неделимое, а неразделенный элемент времени [...] Подобно тому как мы сравниваем точку с точкой, мы можем сравнивать и импульс с импульсом и находить, что один из них больше или меньше дру­гого [...]

Под стремительностью (impetus) я понимаю скорость движущегося тела, но рассматриваемую в любом проме­жутке времени, в течение которого происходит движение. В этом смысле стремительность есть не что иное, как вели­чина и скорость самого импульса [...] Сопротивлением называется тот импульс, который при столкновении двух движущихся тел частично или целиком противоположен импульсу другого тела [...]

Из двух движущихся тел одно оказывает давление на другое тело, если первое силой своего импульса заставляет сдвинуться со своего места другое тело или его часть [...]

180

Сила есть стремительность, или скорость, движения, умноженная на саму себя или на величину движущегося тела, благодаря чему это последнее более или менее сильно воздействует на тело, которое оказывает ему сопротивле­ние [...]

3. Некоторые тезисы о природе движения.

[...] Движущаяся точка, как бы мала ни была стреми­тельность ее движения, приводит в движение точку, нахо­дящуюся в покое, при столкновении с последней [...]

Если движущаяся точка ударяется о точку находяще­гося в покое тела, то последнее, как бы оно ни было твердо и как бы мала ни была стремительность движущейся точки, силой удара будет немного сдвинуто со своего места [...]

Покой не производит абсолютно никакого действия, одно только движение заставляет двигаться покоящиеся тела и приводит в состояние покоя тела движущиеся [...]

Тело, движущееся под воздействием другого тела, не теряет своего движения после прекращения движения последнего [...]

Дальнейшие мысли о движении.

Направление, которое приобретает первый импульс движущихся тел.

Если движение возникает из столкновения двух движущихся тел, то импульс в случае прекращения дви­жения одного из этих тел приобретает то же направление, что и путь другого.

Каждый импульс распространяется до бесконеч­ности.

[...] Ибо он есть движение. Если движение (а следо­вательно, и первый импульс) происходит в пустом про­странстве, то оно будет продолжаться впоследствии с той же скоростью, так как пустое пространство не может ока­зывать никакого сопротивления. Поэтому импульс в этом случае всегда будет распространяться в одном и том же направлении и с одной и той же скоростью. Если же пространство не пусто, то, так как импульс есть движение, всякая вещь, препятствующая импульсу, будет сдвинута со своего места, и так будет происходить до бесконечности. Поэтому и в заполненном пространстве распространение импульса продолжается до бесконечности, причем он пере­ходит с одной части этого пространства на другую [...] Сверх того, импульс переносится на какое угодно далекое

181

расстояние мгновенно. При этом совершенно неважно то что по мере его распространения он все более и более слабеет, так что в конце концов не может больше быть предметом чувственного восприятия. Движением он все же остается, хотя бы и движением, незаметным для глаза. Но мы здесь рассматриваем вещи не такими, какими они представляются нам на основании наших чувственных восприятий и опыта, а такими, какими представляет их наш разум [...]

8. Чем больше скорость (при равной величине) какого-нибудь движущегося тела, тем большее действие последнее оказывает на другое тело, с которым оно сталкивается в своем движении.

ГЛАВА XVI

О РАВНОМЕРНОМ И УСКОРЕННОМ ДВИЖЕНИИ; О ДВИЖЕНИИ, ВОЗНИКАЮЩЕМ В РЕЗУЛЬТАТЕ СТОЛКНОВЕНИЯ

1. Скорость всякого тела, в какой бы момент времени мы ее ни рассматривали, равна величине импульса, помно­женной на время. 2-5. Пути любых движений относятся друг к другу, как произведения импульсов этих движений и времени, 6. Отношение путей, пройденных двумя равно­мерно движущимися телами, складывается из прямого отношения затраченных этими телами на движение про­межутков времени и их импульсов. 7. Отношение проме­жутков времени, затраченных на движение двумя равно­мерно движущимися телами, складывается из отношений их взаимно сопоставленных путей и импульсов; подобным же образом и. отношение их импульсов складывается из отношений их взаимно сопоставленных путей и затрачен­ных ими на движение промежутков времени. 8- Если тело приводится в движение двумя движениями,, направле­ния которых образуют угол, то направление движения этого тела будет представлять собой прямую линию, обра­зующую диагональ параллелограмма, составленного из обоих вышеуказанных движений. 9-IS, Какой путь опи­сывает тело, приведенное в движение двумя движениями, из которых одно равномерно, а другое ускоренно, если отношение путей, описываемых последними, к промежут­кам времени, в течение которых они совершаются, может быть выражено в числах.

182

ГЛАВА XVII

О НЕСОВЕРШЕННЫХ ФИГУРАХ

1. Определение несовершенной фигуры.

[...]Я называю несовершенными такие фигуры, которые мы можем представить себе как результат равномерного движения непрерывно уменьшающегося количества [...] Такой несовершенной фигурой является, в частности, плоскость, ограниченная двумя прямыми линиями и одной кривой, например параболой [...]

Я называю фигуру совершенной по сравнению с какой-либо несовершенной фигурой, если она произведена в то же время, что и последняя, и тем же движением количества, сохраняющего все время одну и ту же величину. Дополне­ние несовершенной фигуры делает ее совершенной [...]

Отношение несовершенной фигуры к ее дополнению.

Отношение несовершенных фигур к параллелограм­мам, в которые они вписаны.

Описание и построение, этих же фигур.

Проведение касательных к ним.

Отношение несовершенных фигур в прямолиней­ному треугольнику, имеющему ту же высоту и, то же осно­вание.

Таблица несовершенных объемных фигур, вписан­ных в цилиндр.

В каком отношении находятся эти фигуры к конусу, имеющему ту же величину и основание, что и они.

Способ вписать плоскую несовершенную фигуру в параллелограмм так, чтобы отношение -этой фигуры к треугольнику, имеющему ту же высоту и основание, было равно отношению другой удвоенной плоской или объемной несовершенной фигуры к данной несовершенной фигуре, взятой вместе с той совершенной фигурой, в кото­рую она вписана.

10. Перенос известных свойств несовершенных фигур, вписанных в параллелограмм, на отношения пространств, пройденных движущимися с различной степенью скорости телами.

11. О несовершенных фигурах, вписанных в круг.

12. Подтверждение положений, содержащихся в пункте 2, на основании принципов первой философии.

183

[...] При этом имеется в виду положение, что равен­ство или неравенство действий, т. е. отношение между ними, обусловливается и определяется равенством и не­равенством их причин [...]

О равенстве между поверхностью части шара и кругом.

Как путем вписания несовершенных фигур в па­раллелограмм может быть найдено любое число равных пропорций между двумя данными линиями.

ГЛАВА XVIII

О РАВЕНСТВЕ ПРЯМЫХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЛИНИЙ

1. Как найти прямую линию, равную кривой полупара­болы. 2. Как найти прямую линию, равную кривой первого полупараболастра. 3. Общий метод нахождения прямых, равных прочим кривым типа параболы.

ГЛАВА XIX

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПАДЕНИЯ И УГЛОВ ОТРАЖЕНИЯ

1. Если две параллельные прямые линии падают на другую прямую, то их отраженные линии также парал­лельны. 2. Если две прямые, исходящие из одной точки, падают на другую прямую, то продолжения соответствую­щих отраженных линий образуют угол, равный углу, обра­зуемому линиями впадения. 3. Если две прямые параллель­ные линии падают на окружность круга, то их отраженные линии внутри круга образуют угол, равный удвоенному углу, образуемому линиями, соединяющими центр круга с точками впадения. 4. Если две линии, исходящие из точки, лежащей вне круга, падают на эту окружность и их отраженные линии внутри круга пересекаются, то послед­ние образуют угол, равный сумме удвоенного угла, обра­зуемого двумя линиями, соединяющими центр круга с точ­ками впадения, и угла, образуемого самими линиями впадения. 5. Если две прямые, исходящие из одной точки, падают на вогнутую сторону какого-нибудь круга и угол, образуемый ими, меньше удвоенного центрального угла, то их линии отражения в случае их пересечения внутри круга образуют угол, который вместе с углом, образуемым линиями впадения, равен удвоенному центральному углу.

184

6. Если две неравные хорды пересекаются в какой-нибудь точке, а центр круга не лежит между ними, то, где бы ни пересекались их линии отражения, через точку пересече­ния обеих хорд нельзя провести никакой другой прямой, линия отражения которой проходила бы через точку пере­сечения обеих указанных линий отражения. 7. Если хорды равны, то вышеуказанное положение не имеет силы. 8. Как через данные точки на периферии круга провести две прямые так, чтобы их линии отражения образовали данный угол. 9. Если прямая проходит через круг и пере­секает его радиус таким образом, что часть ее, находя­щаяся между радиусом и окружностью круга, равна части радиуса, находящейся между центром и точкой пересе­чения, то линия отражения данной линии параллельна радиусу. 10. Если из какой-нибудь точки внутри круга проведены две прямые к его окружности и их линии отра­жения пересекаются внутри его, то последние образуют угол, равный трети угла, образуемого линиями впадения.