Часть 2.

Этимъ замыкается кругь разсмотренiя, ибо здесь мы пришли со стороны «субъективная> анализа, чистой феноменологiи созна-нiя къ тому же самому коренному различiю, значеяiе котораго обнаружилось передъ нами уже раньше при «объективном^ логи-ческомъ изсл'вдованiи. Противъ эмпиристическаго ученiя, прини-мающаго «равенство» опредъмiенныхъ содержанiй представленiя за самоочевидный психологическiй фактъ и применяющая его къ объясненiю процесса образованiя понятiй, съ полнымъ правомъ было выставлено то, что говорить о равенств* какихъ бы то ни было элементовъ имеете смыслъ лишь тогда, когда уже дано определенное «отношенiе», въ ноторомъ можно называть элементы равными или неравными. Но это тождество отношенiя, тождество точки з p 4 н i я, подъ угломъ которой происходить сравненiе, есть ничто особенное и новое по сравненiю съ сравниваемыми содержанiями Различiе между этими содержанiями, съ одной стороны, и между логическими «видами» (Species), въ которыхъ мы мыслимъ ихъ объединенными, съ другой, это-неразложимый далее фактъ. Оно категорiальнаго порядка и относится къ «форм* сознанiя». действи-тельно, здесь находить новое выраженiе характеристичное противо-рiчiемежду членомъ ряда и формой ряда.Содержанiе понятiя нельзя разложить на элементы объема его, ибо оба они не лежать на одной линiи и принадлежать къ принципiально различ-нымъ измiфенiямъ. Сколько бы мы ни насчитали случаевъ закона, мы не исчерпаемъ этимъ значенiя закона, связывающего отдельные члены, ибо при этомъ перечисленiи отпалъ бы какъ разъ творчесдiй принципъ, соединяющiй отдельные члены въ одну функцiональную совокупность. Если я знаю отношенiе, по которому расположены а, Ь, с.... то я съ помощью разсужденiя могу ввадв-

*) Для всего этого см. особенно Husserl, „Logische Untersuchungen, т. II, Halle, 1901, ч. И. .Die ideale Einheit der Species und die neueren Abstraktionstheorien".

40

дить его и сделать особымъ предметомъ мышленiя; но невозможн зато изъ простого существованiя въ представлен! и элементовъ а, Ь, с, вывести своеобразное связующее ихъ отношенiе. Этой концепцiи не угрожаете опасность овеществить чистое поня-тiе, приписать ему на-ряду съ отдельными вещами самостоятельную реальность. Форму ряда F (а, Ь, с...), связывающую члены н-в-котораго многообразiя, нельзя, очевидно, мыслить въ вид* е д и-яичнаго а, или Ь, или с, не уничтожая въ то же время ея осо-беннаго содержанiя. Ея «бытiе» заключается исключительно въ логической определенности, благодаря которой она однозначнымъ образомъ отличается отъ другихъ возможныхъ формъ ряда Ф", W... И эта определенность можетъ всегда найти свое выраженiе лишь въ синтетическомъ акт* дефиниции, а не въ простомъ воз-

зрiнiи.

Эти равмышденiя намiчаютъ направленiе дальн'Ьйшихъ из-сгвдованiй. Совокупность и градацiя чистыхъ «формъ ряда» лежитъ передъ нами въ системе наукъ, особенно въ системе точ-ннхъ наукъ. Здесь поэтому для теорiи открывается богатое и плодотворное поприще, которое должно быть изследовано независимо отъ какихъ бы то ни было психологическихъ или метафизическихъ предпосылокъ о «сущности» понятiя, лишь по своему логическому значенiю. Но эта самостоятельность чистой логики не означаетъ совсемъ ея изолированности внутри философской системы. Уже бiглый взглядъ на развитiе «формальной> логики показалъ намъ, м«ъ здесь постепенно исчезаетъ догматическая закостенелость традицiонныхъ формъ. А начинающая теперь образовываться особая форма означаетъ въ то же время форму для новаго содержанiя. Въ этомъ процессе принимаютъ участiе психологiя и критика по-знанiя, проблема сознанiя, какъ и проблема действительности. Ибо въ области основныхъ проблемъ нигде нетъ абсолют^ ныхъ разделенiй и границъ: каждое преобразованiе какого-нибудь *формальнаго> (въ настоящемъ и плодотворномъ смысле слова) понятiя влечеть за собой немедленно новое пониманiе всей обла-стиi которую оно упорядочиваете и надъ которой оно господ-/

41

ГЛАВА ВТОРАЯ.

Понятiя о числахъ.

i.

Между основными понятiями чистой науки понятiе о числе занимаетъ первое место, какъ съ исторической, такъ и съ систематической точекъ зрiнiя. На немъ впервые формируется созна-нiе ценности и значенiя образованiя понятiй вообще. Въ идее о числе кажется заключенной вся сила знанiя, вся возможность логическаго определенiя чувственнаго. Нельзя было бы постичь ничего о вещахъ, ни въ ихъ отношенiи къ самимъ себе, ни въ отношенiи къ другимъ вещамъ, если бы не было числа и его сущности. Этотъ пиеагорейскiй принципъ остался неизмiннымъ по своему существенному содержанiю, несмотря на все измененiя философской постановки вопроса. Разумеется, теорiя, видевшая въ числ* субстанцiю вещей, мало-по-малу исчезаетъ; но зато углубляется и утончается воззрЪнiе, видящее въ немъ субстанцiю рацiональнаго познанiя. Даже после того, какъ перестали видеть въ понятiй о числе метафизическое ядро объектовъ, оно остается лучпшмъ и вiрнiйшимъ выраженiемъ вообще рацiональной методики. Въ немъ поэтому отражаются принципiальныя противоположности въ основномъ воззр'Ьнiи на познанiе. Общiй идеалъ познаванiя получаетъ здесь более определенный видъ, въ кото-ромъ онъ выступаеть, наконецъ, съ полной ясностью.

Понятно поэтому то, что на порогЬ алгебры насъ встречаете тотъ же самый типичный споръ, который мы заметили въ области

«огики. Если мы станемъ следовать традиционному логическому BoasptHiro, то должно ожидать, что въ понятiяхъ о числахъ откроются передъ нами определенный основныя свойства объектовъ. Теорiя «абстракцiи», строго говоря, не им-ветъ никакой другой точки зрiзнiя: подобно тому, какъ предметы различаются между собою по величин* и форме, по запаху и вкусу, они должны-согласно этой теорiи-иметь въ себе некоторое определенное свойство, придающее имъ ихъ числовой характеръ. Согласно этому понятiе о «двухъ» или «трехъ» должно получиться изъ множества предметныхъ группъ точно такимъ же образомъ, какимъ получается понятiе объ определенномъ цвете изъ сравне-нiя данныхъ въ воспрiатiи цветныхъ вещей. Вполне последовательно и логично тогда, что съ этой точки зренiа все высказы-ванiя о числахъ и числовыхъ отношенiяхъ разсматриваются, какъ выраженiе определенныхъ физическихъ свойствъ объектовъ. Этотъ неявный выводъ выступидъ впервые во всей своей отчетливости въ современномъ эмпиризме. Такъ, по Дж. С. Миллю, сужденiе, что 2-J-1-3, не есть простое определенiе, не есть просто установленiе того смысла, который мы связываемъ съ числами два и три: оно резюмируетъ лишь эмпирическiй фактъ, который мы до сихъ поръ постоянно встречали одинаковымъ образомъ въ нашемъ пространственномъ воспрiятiи. Намъ всегда удавалось, когда мы видели передъ собой три вещи въ некото -

ромъ определенномъ порядке - напримеръ, въ виде q q - разлагать ихъ на частичный группы вида оо , о. Три валуна, ле-ясащiе передъ нами двумя раздельными кучками, не проиэводятъ на наши чувства того же самаго впечатленiя, какъ въ томъ случае, когда они соединены въ одну кучу: поэтому утвержденiе, что вовникающiй въ первомъ случае образъ воспрiятiя можетъ быть всегда переведенъ съ помощью простого пространственнаго нвмененiя его частей во второй образъ воспрiятiя, не есть ни въ коемъ случае ничего не значащая тавтологiя; оно - индуктивная истина, ставшая намъ известной благодаря раннему опыту и съ твхъ поръ постоянно подтверждавшаяся. Подобный истины °бразуютъ основу науки о числе. Поэтому должна исчезнуть

42

43

нлдюзiя идеальности, окружающая эту науку. Теоремы арие-метики теряютъ свое традицiоняое исключительное положенiе: онi становятся на одну доску съ прочими физическими наблюденiями. произведенными нами надъ соединенiями и раздЪдешями вещей въ гвлесномъ мiре. Ибо какъ могли бы существовать разумныя и полносильныя с у ж д е н i я, которыя не относились бы къ чув. ственнымъ фактамъ? Понятiе «десять» или ничего не означ'аетъ, или означаете определенное, всегда себе равное, целостное впечат-дiнiе, получаемое нами неизменно отъ группъ въ десять твлъ, въ десять эвуковъ, въ десять ударовъ пульса. И то, что получав-мыя нами такимъ образомъ изъ разсмотр'Ьтя предметовъ впечат-лiнiя образуютъ между собой систему, въ которой имеются извiстяыя постоянныя отношенiя, представляетъ точно также положенiе, обладающее исключительно эмпиричной достоверностью. Будь действительность устроена иначе, попади мы въ новую физическую обстановку, тогда положенiе 2 X 2 = 5 могло бы стать для насъ столь же привычнымъ и само собою разумеющимся, какимъ оно кажется теперь непонятнымъ и безсмысленнымъ *).

Уже здесь, при самомъ только вступленiи въ область точныхъ научныхъ проблемъ, ясно обнаруживается, какое вещественное зна-ченiе могутъ иметь чисто-формальныя, на первый взглядъ, логи-ческiя различiя. Видь какъ бы ни судить о миллевской теорiи основныхъ принциповъ ариеметики, одно нужно признать-именно, что она выведена съ принудительной необходимостью изъ его общей теорiи понятiя. темъ характернее то, что эта первая попытка провести указываемую концепцию сейчасъ же приводить къ открытому противоречiю съ даннымъ на-лицо ф а к т о м ъ самой научной ариеметики. Всякiй разъ, когда пытались въ современной математике расчленить и обосновать этотъ фактъ, его приходилось прежде всего отличить отъ ложной, начерченной здесь картины; приходилось со всей силой и энергiей отделить логическую структуру чи-стаго ученiя о числе отъ миллевской ариеметики «валуновъ и оре-ховъ». действительно, если бы миллевскiй выводъ былъ правиленъ,

*) Ср. Mille, „System of Logic", кн. II, гл. в; „An Examination of S. W. Uikum Hamilton Philosophy", стр. 67 и ел.

то тiмъ самымъ у ариоиетическихъ понятiй была бы отнята какъ равъ та определенность, которая составляетъ ихъ'настоящее зяаченiе. Логическое раздичiе чиселъ было бы ограничено и свя-заио съ психологической способностью къ различенiю, достигнутой наш при оперированiи съ данными массами объектовъ. Что это замюченiе нелепо-это легко показать. Число 753684 такъ же определенно и резко отличается отъ непосредственно предшествую-щаго ему или следующаго за нимъ числа, какъ три отъ двухъ иди четырехъ. Но кто могъ бы указать на то «впечатленiе», которое отличаетъ другь отъ друга конкретное представленiе соот-ветствующихъ группъ? И если здесь пропадаетъ характеристичное содержанiе понятiй о числахъ, то, съ другой стороны, теряется и присущая иыъ широта и свобода примененiя. Согласно Миллю, синтезъ счисленiя можетъ происходить лишь тамъ, где на физи-ческихъ объектахъ фактически выполнимо предполагаемое имъ соединенiе или разделенiе, т. е. тамъ, где можно соединять и располагать вещи въ чувственно-пространственныя группы. Возникавшие въ насъ отъ различныхъ группъ иаменяющiеся образы составляютъ собственный и неотъемлемый субстратъ всехъ выска-зыванiй о числовыхъ отношенiяхъ. Такимъ образомъ, вне области пространственнаго содержанiя, въ которой одной возможны эти фактическiя соединенiя и разделенiя, у яонятiй о числахъ отнимается ихъ собственный фундаментъ. Между темъ въ действительности мы говоримъ не только о числе эеренъ какой-нибудь кучи, но и о числе категорiй, о числе кеплеровыхъ законовъ или о числе фаиоровъ энергiи: все это предметы, которыхъ нельзя складывать и раскладывать подобно валунамъ. «Было бы, действительно, уди-иитеiьно»-вамечаетъ Фреге въ своей меткой и удачной критике ученiя Милля - «если бы некоторое, извлеченное изъ внешнихъ вещей свойство можно было бы переносить, не изменяя смысла ей»» на событiя, представленiя, понятiя. Это было бы все равно, какъ если бы можно было говорить о плавящемся событiи, о голу-бомъ представленiи, о соленомъ понятiй. Несообразно принимать, что нечувственному можетъ быть свойственно то, что по своей природк чувственно. Когда мы видимъ голубую поверхность, то мы иодучаемъ своеобразное впечатленiе, которому соответствуетъ слово

44

«голубое»; и мы сызнова узнаемъ это впечатлите, когда мы за-мiчаемъ другую голубую поверхность. Если бы мы допустили, что аналогичнымъ образомъ при виде треугольника нечто чувственное соответствовало бы слову «три», то мы должны были бы найти его также въ трехъ понятiяхъ; ничто нечувственное имело бы въ себi нечто чувственное. Можно, конечно, принять, что слову «треугольвый» соотвiтствуюгь некоторый чувственныя впечатления, но тогда нужно брать это слово, какъ одно цЬлое. Мы не видимъ въ этомъ цiломъ непосредственно трехъ, мы вядимъ здiсь нечто, съ чемъ можетъ быть связана духовная деятельность, приводящая къ сужденiю, въ которомъ имiетъ место число три *).

Если нелепости, въ которыхъ подъ конецъ непременно запутывается сенсуалистическая концепцiя понятiя о числе, обнаруживаются не сейчасъ же, при первомъ выведенiи, то причина этого кроется въ томъ, что и здесь не вполне устраняются эти духов-ныя деятельности, эти фувкцiи сужденiя; оне лишь молчаливо допускаются. Только первыя истины ариеметики, только элементар* нейшiя формулы являются по этому ученiю результатомъ непосред-ственнаго наблюденiя физическихъ фактовъ; научная же форма алгебры опирается не на постоянно возобновляющейся притокъ фактовъ воспрiятiя, но на «обобщенiе» первичнаго чувствен-наго основного состава. Но это пояятiе, въ свою очередь, содер-житъ въ себе все те загадки, разрешенiе которыхъ обещала теорiя. Если попытаться придать ему определенный однозначный смыслъ, то оно немедленно должно бы распасться на множество раз-личвыхъ интеллектуальвыхъ функцiй, принимающих!, участiе въ созданiи царства чиседъ. Если допустить, что возможно переносить наблюденiя, произведенный надъ небольшими комплексами объектовъ, постепенно на все бблыпiе и бблыпiе комплексы и определять с свойства» последующихъ комплексовъ по аналогiи съ свойствами предыдущихъ, тогда вместе съ темъ приходится допустить, что между сравниваемыми случаями имеется некоторая форма отношенiя и зависимости, благодаря которой одинъ

*) Frege, „Die Grundlagen der Arithmetik", Breslau, 1884, стр. 31 и ел., къ вопросу обо всемъ см. особенно стр. 9 и ел., стр. 27 и ел.

46

одгчай выводимъ изъ другого. Мы не имели бы права распространять нiкоторое свойство, замеченное нами на известной индивидуальной группе, на группы, имеющiя больше или меньше элемен-даяь если бы мы не считали ихъ все сходными по своей природе»; но это сходство означаетъ лишь то, что онђ связаны дртгъ съ другомъ путемъ однозначнаго правила, которое дозво-ляеть намъ переходить отъ одного многообразiя къ другому, n p и-меняя все время тождественнымъ образомъ одно и то же основное отношенiе. Если бы мы не допустили подобной связи, то мы должны были бы быть готовыми къ тому, что ааждая присоединяемая или принимаемая нами отъ данной группы единица изменяетъ свойства группы настолько, что невозможно на основанiи одной делать какiя бы то ни было паклю-ченiя насчегъ другой. Новыя единицы действовали бы тогда, какъ совсемъ особенный физическiя обстоятельства или силы, кото-рыя могли бы совершенно изменить образъ целаго и уничтожить его въ его основныхъ чертахъ. Въ этомъ случае никакой общеприменимый законъ, никакое универсальное отношенiе не связывало бы членовъ царства чиселъ; каждое ариеметическое положенiе приходилось бы, наоборотъ, доказывать для каждаго числа особо путемъ наблюденiя и воспрiятiя. Сенсуалистическая теорiя избе-гаетъ этого вывода лишь темъ, что она незаметно переводить раз-суаденiе на совсемъ иную колею. Требованiе обобщенiя первич-ныхъ опытовъ надъ числами содержитъ далее - хотя и въ скры-томъ виде - ту функцiю всеобщности чисдовыхъ, которая должна была быть устранена объясненiемъ. Благодаря этому очищается сызнова путь къ чисто-дедуктивному возведенiю царства чиселъ: достаточно только заметить для этого, что те с ам ы я умственныя операцiи, которыя оказались необходимыми для каждой теорiи при переходе къ высшимъ ариеметическимъ образованiямъ, составляюгь необходимую и достаточную основу уже при определенiи первыхъ мементовъ. Следствiе, къ которому приводить подъ вонецъ про-тнвъ воли сенсуалистическая концепцiя, являетъ собой первый просить, открываетъ видъ на единую методическую дедукцiю, кото-Р*я выводить изъ одного общаго принципа и фундаментъ и возвышающуюся надъ нимъ надстройку.

47

Но между гбмъ представляется еще, невидимому, и другой путь для возстановляемаго требуемаго отношенiя между высказыванiями о числахъ и эмпирическимъ существованiемъ вещей. Если теорiя, что все ариеметическiя сужденiя берутъ начало въ физическихъ предметахъ и имiiютъ эначенiе въ примiненiи къ нимъ, оказывается несостоятельной, то остается еще другой классъ реальностей, въ которомъ, повидимому, можно найти истинный перво-образъ понятiй о числахъ. Источникомъ этихъ понятiй являются не внешнiя вещи, но само «сознанiе» въ своей специфической и первичной форм* существованiя. Эти понятiя изображаютъ и охва-тываютъ не матерiальное, но духовное, бытiе. Здесь, повидимому, снова открывается весь просторъ и всеобщность понятiя о числе. Число, какъ представлен!е, какъ психическая реальность, свободно отъ всЪхъ гвхъ ограниченiй, которыя должны были тяготЬть на немъ, пока оно считалось выраженiемъ матерiальныхъ фактовъ и ихъ отношенiй. Мы замЪчаемъ, какъ здесь на примере частной проблемы повторяется тотъ же самый поворотъ хода мысли, который мы встретили прежде въ общей логической теорiи. Понятiе отказывается отъ того, чтобы непосредственно воспроизводить внешнюю реальность въ ея абсолютномъ бытiи; но на место этой реальности выступаетъ ея форма проявле-нiя въ нашемъ дух*. Актъ счисленiя передаетъ не отношенiя вещей въ самихъ себе, но лишь тотъ способъ, въ которомъ онi отражаются въ ихъ пониманiи нашимъ <я».

Но и въ этой новой форм*-хотя она и подвигаетъ значительно впередъ проблему-остается еще одинъ общiй съ сенсуалистической дедукцiей моментъ. Ученiе о числахъ и здесь не получаетъ самостоятельнаго логяческаго обоснованiя; какъ прежде оно являлось частнымъ случаемъ физики, такъ теперь оно кажется придаткомъ психологiи. Но между гЬмъ для психологiи слово «представленiе» обозначаеть не что иное, какъ определенное душевное содержанiе, возникающее въ от-дiльныхъ субъектахъ въ зависимости отъ особенныхъ обстоя-тельствъ и уничтожающееся такимъ же точно обравомъ - содержанiе, которое различно въ различныхъ индивидахъ и которое, разъ исчезнувъ, никогда не повторяется въ одномъ и

48

Я)iгь же субъектЬ вполне тождественнымъ образомъ. Что здесь iйво, такъ это всегда лишь временно ограниченная и определен н а я действительность, а не некоторое со-дбряанiе, которое можно сохранить въ его неизм'Ьнномъ логическою тождеств*. Но именно въ соблюденiи этого посл^дняго тре-бованiя и заключается весь смыслъ и все значенiе чистыхъ понятiй о числахъ. Положенiе 7~f-5=12 не есть вовсе описанiе связи различныхъ представлен^, какъ они до сихъ поръ происходили въ мыслящихъ индивидахъ или какъ они впредь будутъ происходить въ нихъ безъ исключенiя; оно устанавливаете связь, которая, по выраженiю Платона, соединяетъ семь и пять «въ себ*» съ двенадцатью «въ себе». Предметь, являющiйся объек-томъ этого сужденiя, обладаетъ при всей своей идеальности вполне однозначной определенностью, строго отличающей его отъ изменяющихся содержанiй представленiя. Психологическiй образъ двухъ моаетъ у одного соединяться съ пространственными побочными представленiями, у другого быть свободнымъ отъ нихъ; въ одинъ моментъ онъ можетъ быть более яркимъ, въ другой-более тусыымъ; все эти различiя не затрагиваютъ, однако, a p и е м е-тическаго значенiя двухъ *). Что <есть> и означаетъ некоторое понятiе-это можно узнать лишь тогда, когда мы раз-сматриваемъ его, какъ носителя и исходный пунктъ определен-ныгь сужденiй, какъ совокупность возможныхъ отношенiй. Понятiя тождественны, если ихъ можно заменить одно другимъ во веЬжъ высказыванiяхъ, въ которыя они входятъ, если можно перенести любое отношенiе, придожимое къ одному изъ нихъ, на Другое. Но если начать применять этотъ критерiй, то сейчасъ же вы-сгупаегь наружу все различiе между логическимъ значенiемъ по-нятiя о числе и психологическимъ понятiемъ о представленiи. Характеристичныя основныя отношенiя, имеющiя место въ число-вонь раду, немыслимы, какъ свойства данныхъ содержанiй пред-см*аенiя. Не имееть никакого смысла говорить о некоторомъ «йредставленiи», что оно больше или меньше, чемъ другое пред-что оно равняется двойному или тройному другому

») См. объ этомъ опять у Фреге, цвт., соч., стр. 37.

49

представление, что оно делимо на него, и т. д. И требованiе без конечности чиселъ точно также ведегь насъ дальше этой концепцiи, ибо «бытiе» представленiя сводится къ его непосредственной давности, къ его фактической наличности. Если числа, представляютъ собой реальности въ индивидуальномъ сознанiи, то они могутъ быть даны «на-лицо», т. е. быть реализованы въ этомъ соэнанiи въ качеств* обособленныхъ элементовъ, лишь ' въ конечномъ количеств*.

Но можетъ показаться, что эта критика не охватываетъ во всемъ ея значенiи и полнот* область психическаго существованiя, когда она противопоставляете другъ другу чистыя числовыя по-нятiя и психологическiя содержанiя представленiя. Характерный признакъ числа-такъ можно было бы съ правомъ возразить- потому нельзя вскрыть въ какомъ бы то ни было особомъ и изо-лированномъ содержанiи сознанiя, что зд*сь имеется некоторая общая предпосылка, господствующая вообще надъ возникно-венiемъ и образованiемъ содержанiи сознанiя. Актъ, съ помощью котораго мы отграничиваемъ какую бы то ни было единицу, и синтезъ, въ которомъ мы соединяемъ подобный единицы въ новыя группы, образуютъ условiе, при которомъ только и можетъ быть р-вчь о многообразiи элементовъ и ихъ связи. Поэтому искомымъ психодогическимъ коррелатомъ понятiй и числахъ можетъ быть лишь деятельность различенiя и свявыванiя, а не какое-нибудь вытекающее изъ нея зат*мъ особое содержанiе. Опред'вленiе чиселъ-и собственный смыслъ ихъ-должно связывать не съ объектам и-безразлично внешними или внутренними,-а съ актами апперцепцiи. Исходя отсюда, можно иначе понять и обосновать «всеобщность», свойственную чистымъ понятiямъ о числахъ. И сенсуализмъ признаетъ эту всеобщность; но, въ согласiи съ своимъ основнымъ воззр'Ьнiемъ, онъ разсма-триваегь ее, какъ вещественный признакъ, который присущъ равномерно ц*лой категорiи особенныхъ объектовъ. «Bei числа» читаемъ мы у Милля, «суть числа чего-нибудь, и не существуеть ничего подобнаго абстрактному числу. Но хотя числа и бываютъ всегда числами чего-нибудь, они могутъ, гвмъ не менее, быть числами чего угодно. Поэтому теоремы о числахъ им-вютъ то

замечательное свойство, что он* касаются всехъ вообще вещей _ поскольку он* применяются ко вс*мъ предметамъ и ко всемъ видамъ существованiя, которые известны намъ, благодаря опыту» *). Математическое свойство исчислимости вещей разсматривается зд^сь, следовательно, такимъ же точно образомъ, какъ и любое физическое свойство: какъ мы узнаемъ съ помощью всесторонняго сравненiя единичныхъ случаевъ, что все т*ла тяжелы, такъ съ помощью аналогичнаго метода мы открываема ихъ числовую определенность.

Но*""нетрудно заметить, что утвержденiе универсальности числаР-^-поскольку оно опирается на подобную операцiю-въ действительности подучено здесь неправомерно; ведь ничто не ручается намъ за то, что ускользнувшiе отъ нашего наблюденiя случаи представляютъ то же самое свойство, что и наблюденные нами случаи, и что они, такимъ образомъ, подчиняются ариеме-тическимъ законамъ. Лишь более глубокая и бол*е зр*лая психологическая дедукцiя понятiй о числахъ ивъ основного и общаго акта апперцептивнаго связыванiя и равд*ленiя открываетъ зд*сь возможность новой точки зр*нiя и новаго обоснованiя. Для нея число всеобще не потому, что оно содержится въ качеств* готовой составной части въ каждомъ отд*льномъ случае, а потому, что оно представляетъ постоянное условiе для о б с у-»денiя каждаго отдельнаго случая, какъ такового. Мы прiобр*-таемъ соананiе этой всеобщности не т*мъ, что пробегаемъ неопределенное множество случаевъ; оно уже предполагается при раасмотр*нш каждаго отдельнаго случая, ибо координированiе, отнесете этого отд*льнаго случая къ всеобъемлющему целому, возможно лишь потому, что мысль въ состоянiи опознать и сохранить въ его логическомъ тождестве правило, въ которомъ она увЪридась, несмотря на все разнообразiе и особенности его при-

чiненiя.

Но и въ этой дедукцiи, переходящей отъ готовыхъ содержанiи представленiя къ актамъ, изъ когорыхъ они образуются, не столько решается, однако, сколько отодвигается на одинъ шагъ

*) МШ. „A. System of Logic", кн. II, гл. 6, § 2.

50

собственно логическая проблема числа. Ведь какое бы конструктивное значенiе ни приписывать чистымъ актамъ мышленiя, они всегда остаются, взятые въ своемъ чисто - психологическомъ смысл*, событiями, приходящими и уходящими во времени-И они, такимъ образомъ, принадлежать определенному индивидуальному процессу сознанiя, какъ онъ протекаетъ здесь или тамъ при особенныхъ условiяхъ того или иного момента. Но тогда сызнова поднимается прелснiй вопросъ. Въ ариеметическихъ су-жденiяхъ выражаются и устанавливаются не отношенiя временно ограниченныхъ реальностей; наоборотъ, мысль переходить здесь черезъ всю область мыслеяныхъ ообытiй (Denkgeschehens) въ царство идеальныхъ предметовъ, которымъ она приписываете вечную и неизменную основную форму. Благодаря этой основной форме любой элементъ числового ряда связывается съ каждымъ другимъ элементомъ по разъ навсегда неизмiшнымъ систеыати-ческимъ правиламъ. Какъ одинъ сочетается съ двумя, два съ тремя, и т. д., и какъ соответственно съ этими сочетанiями воз-никаетъ весь логическiй комплексъ теоремъ чистой ариеметики- этого нельзя узнать путемъ психологическаго расчленения актовъ образованiя понятiя. Чтобы понять всю конструкцiю и обоснование этой связи системы, надо обратиться къ совсемъ иному методу *). Разумеется, этотъ методъ есть прежде всего лишь простое требованiе, исполненiе котораго должно казаться еще совершенно проблематическимъ. Въ самомъ деле, какой остается у насъ методъ обосяованiя понятiя, если мы не разсматриваемъ его ни какъ копiю внешней, ни какъ копiю внутренней действительности, ни какъ физическое, ни какъ психическое бытiе? Между темъ этотъ, постоянно и непреодолимо возникающiй, во-просъ есть лишь выраженiе определеннаго догматическаго взгляда на сущность и функцiю понятiя. Систему ариеметичеекихъ по-нятiй и положенiй нужно расценивать не по атому основному воззренiю; наоборотъ, формально-логическое разсмотренiе находить здесь пределъ и масштабъ именно въ этой системе, развив-

*) Подробнее объ этомъ см. ниже, особенно гл. VIII.

пiейся и установившейся постепенно изъ самостоятельныхъ пред-посылокъ. __

II.

Раавитiе научной ариеметики за последнiя десятилетiя характеризуется темь, что выступило острее, чђмт, когда-либо прежде, требованiе вывести понятiе о числе во всемъ его значенiи изъ чисто-догическихъ предпосылокъ. Казалось, что наука о простран-ствi должна быть отдана воззренiю, или даже эмпирическому вос-прiятiю; темъ энергичнее стала проводиться мысль, что все свойства числа должны быть основаны, не прибегая совсемъ къ чув-ственнымъ объектамъ, не опираясь на измеримый конкретныя величины, «путемъ конечной системы простыхъ актовъ мышленiя».

Но при подобныхъ попыткахъ выведенiя ариеметики изъ логики эта последняя предполагается уже въ совершенно новомъ вид*. сЕсли точно следить», начинаетъ Дедекиндъ свою дедукцiю понятiя о числе, «за темъ, что мы делаемъ при отсчитыванiи не-котораго количества вещей, то приходишь къ разсмотренiю способности духа относить вещи къ вещамь, устанавливать соответствiе мевду одной вещью и другой или же отображать одну вещь черезъ другую. Безъ этой способности мышленiе было бы вообще невозможно. Вся наука о числе должна быть... воздвигнута на этой единственной, но совсемъ неустранимой, основе» *). Дедекиндъ, повидимому, исходить здесь, вполне въ духе традицiонной доктрины, изъ множества вещей и изъ способности духа отображать ихъ; во при более глубокомъ разсмотренiи его взглядовъ оказывается сейчасъ же, что традицiонныя названiя прiобрели здесь совершенно новое содержанiе и новое значенiе. «Вещи», о которыхъ идетъ рiчь въ дальнейшей дедукцiи, не принимаются за некоторыя са-костоятедышя, существовавшiя до всякаго отношенiя, реальности; онi прiобретаютъ все свое содержанiе-поскольку это имеетъ значенiе для математики - лишь въ отношенiяхъ, которыя высказы-

^"^_^

*) Dedekind. „Was sind und was sollen die Zahlen?" 2-е изд., Braun-«hweig, 1893, стр. VIII.

53

ваются о нихъ, и вместе съ этими отношенiями. Оне-о т н о с и-тельные члены, которые никогда не могутъ быть «даны» раздельно, но всегда лишь въ идеальной связи.

И процессъ «отображенiя» претерггвлъ здесь характерное измi-ненiе. ДЬло идегь теперь уже не о томъ, чтобы создать логическую копiю вн'Ьшнихъ влечатлiнiй, соответствующую имъ въ какихъ-нибудь отдельныхъ чертахъ; отображенiе означаетъ здесь лишь мысленное координирован!е, съ помощью котораго мы свя-зываемъ въ одно систематическое единство совершенно различные сами по себе элементы. Здесь дъмо идетъ лишь объ объединенiи членовъ ряда съ помощью нi'котораго принципа ряда, а не о ихъ сходстве въ какомъ-нибудь вещественность частичномъ моментi. После того, какъ уставовленъ определенный исходный пункгь пу-темъ первичнаго полаганiя (Setzung), все дальн'Бйшiе элементы получаются т^мъ, что дается некоторое отношенiе (R), которое при посл'вдовательномъ примененiи его порождаешь все члены комплекса. Такъ возникаютъ системы и группы системъ въ строгомъ логиче-скомъ расчлененiи, причемъ ни одинъ элементъ не долженъ быть связанъ съ другимъ черезъ какое бы то ни было вещественное сходство. «Отображенiе» не создаетъ никакихъ новыхъ вещей, оно создаетъ лишь новый необходимый порядокъ между актами мышленiя и предметами мышленiя.

Дедекиндъ въ своемъ сочиненiи «Was sind und was sollen die Zahlen» показалъ, какъ на основ* этихъ простыхъ принци-повъ можно iгЬликомъ построить ариеметику и исчерпывающимъ образомъ изложить ея научное содержанiе. Мы не станемъ следить во всiзхъ его деталяхъ за математичесiшмъ развитiемъ этой мысли; такъ какъ понятiе о числе интересуетъ насъ здесь не само до себе, а какъ примеръ образованiя «функцiональныхъ понятiй», то мы удовольствуемся лишь указанiемъ на основную тенденцiю этой теорiи. Предпосылки для выведенiя понятiя о числе даны въ общей логике отношенiй. Если мы разсмотримъ всю совокупность возможныхъ отношенiй, по которымъ можетъ быть рас-члененъ рядъ мысленныхъ полаганiй, то передъ нами выступаютъ здесь прежде всего определенные формальные основные признаки, которые равномерно свойственны опредЪленнымъ клас-

54

отношенiй и отличаюсь ихъ отъ другихъ классовъ съ иной структурой. Если, напримеръ, дано какое-нибудь отношенiе между двумя членами а и Ь, которое мы можемъ символически обозначить выраженiемъ aRb, то оно можетъ быть такого рода, что имеетъ силу также между Ъ и а, такъ что, если верно aRb, то верно и bRa. бъ этомъ случае мы называемъ отношенiе «симметриче-свимъ» и отличаемъ его, съ одной стороны, отъ не-симме-трическаго отношенiя, въ которомъ при верности aRb возможна также-но не необходимо следуетъ-и верность bRa,-а съ другой-отъ асимметрическаго отношенiя, въ которомъ невозможно такое обращенiе и въ которомъ, следовательно, не могутъ быть даны вместе aRb и bRa.

Далее мы называемъ некоторое отношенiе переходнымъ (т p анзитив н ым ъ), если изъ наличности его между членами а и b, b и с вытекаетъ его наличность также для а и с; мы называемъ его н е-т p а н з и т и в н ы м ъ, если это перенесете не необходимо, и интранзитивнымъ, если исключается природой разсматриваемаго отношенiя *).

Эти определенiя, находящiя широкое примененiе въ общемъ исчисленiи отношенiй, интересуютъ здесь насъ прежде всего лишь постольку, поскольку на нихъ опирается более точное определенiе того, что мы должны понимать подъ порядкомъ (Ordnung) известной совокупности. Действительно, нужно считать наивнымъ предразсудкомъ, если принимаютъ порядокъ, существующiй между элементами некотораго многообразiя, за нечто само собою разумеющееся и непосредственно данное уже одной наличностью от-дельныхъ членовъ. Въ действительности этотъ порядокъ заключается не въ элементахъ, какъ таковыхъ, но въ отношенiй ряда, которымъ они связаны, и всю его определенность и его специфи-

*) Россель, которому принадлежать эти различiя, иллюстрируетъ ихъ на прим%рахъ различныхъ отношенiй родства; отношенiе, выраженное въ понятiй „братья и сестры" (Geschwister) симметрично и транзитивно; отношенiе „братъ" несимметрично и транзитивно; отнощенiе „отецъ" асимметрично и интранзитивно, и т. д.-См. объ этомъ и дальн'Ьйшемъ R?ssel, »The Principles ?l' Mathematics", l, Cambridge, 1903; ср. также мою статью: »Kant und die moderne Mathematik" („Kantstudien", XIII, стр. l и ел.).

55

ческое своеобразiе можно вывести изъ этого отношенiя ряда. Ближайшее изслiдованiе покавываетъ, что постоянно необходимо какое-нибудь транзитивное и асимметрическое отношенiе, чтобы придать членамъ некоторой совокупности определенный поря-докъ *).

Разсмотримъ никоторый рядъ, который имiетъ известный п е.р-вый членъ и для котораго данъ такой определенный законъ по-слiдованiя, что къ каждому члену примыкаетъ непосредственно слi-дующiй за нимъ, съ которымъ онъ связанъ черезъ некоторое однозначное, транзитивное и асимметрическое отношенiе, остающееся для всего ряда однимъ и гЪмъ же. Въ аодобнаго рода «ирогрессiи» мы имiемъ уже собственный основной типъ всiхъ гбхъ предметовъ, съ какими им^етъ дiло ариометика. Все поло-женiя ариометики, все определяемый ею операцiи относятся исключительно къ общнмъ свойствамъ прогрессiй; они поэтому никогда не имеютъ дела съ «вещами», но съ порядковыми отношенiями, существующими между элементами опредiленныхъ совокупностей. Определенiе сложенiя и вычитанiя, умноженiя и дiленiя, объясне нiе положительныхъ и отрицательныхъ, iгвлыхъ и дробныхъ чиселъ могугь быть развиты исключительно на этой основе, причемъ не приходится обращаться спецiально къ отношенiямъ конкретныхъ измеримыхъ объектовъ. Весь «составъ» (Bestand) чиселъ основывается согласно этой дедукцiи на отношенiяхъ, обнаруживаемыхъ числами въ себе самихъ, а не на отношенiи ихъ къ некоторой внешней предметной действительности: они не нуждаются ни въ какомъ постороннемъ «субстрате», а взаимно поддерживаютъ другь друга, поскольку место въ системе каждаго члена однозначно указано другимъ членомъ.

«Если», определяете Дедекиндъ, «при разсмотренiи просто без-конечной системы N, упорядоченной черезъ отображенiе у, совершенно отвлекаются отъ особенныхъ свойствъ элементовъ и имеютъ въ виду лишь ихъ различимость и те отношенiя, въ которыя они стали другъ къ другу благодаря упорядочивающему отображению <р, то эти элементы называются натуральными числами или

порядковыми числами или просто числами, и основной элемента 1 называется основнымъ числомъ числового ряда N. Съ точки зренiя этого освобожденiя элементовъ отъ вся-каго другого содержанiя (абстракцiи) можно съ полнымъ правомъ назвать числа свободнымъ творенiемъ человеческаго духа. Отно-шедiя или законы, которые... во всехъ упорядоченныхъ просто безконечныхъ системахъ всегда одни и те. же, какiя бы случай-ныя имена ни носили отдельные элементы, образуютъ ближайшiй иредметъ науки о числах ъ, или ариометики» *). Съ логической точки зренiя представляетъ особенный интересъ то, что здесь понятiе и терминъ «абстракцiя» употребляется, очевидно, въ но-вомъ значенiи. Актъ абстракцiи направляется не на выделенiе не-котораго вещнаго признака, а имеетъ целью то, что мы доводимъ до своего сознанiя въ чистомъ виде с м ы с л ъ некотораго опреде-леннаго отношенiя, независимо отъ всехъ отдельныхъ случаевъ применения его. Функцiя «числа» по ея зиаченiюнезависима отъ различiя по содержанiю техъ предметовъ, которые могутъ быть пересчитаны. Поэтому можно и должно оставить безъ раз-смотренiя это равличiе, если дъмо идетъ о томъ, чтобы раскрыть лишь определенность этой функцiи. Здесь поэтому абстракцiя дей-ствуетъ фактически какъ освобожденiе: она означаетъ логическую концентрацiю на связи отношенiя, какъ таковой, причемъ отбрасываются все психологическiя побочныя обстоятельства, которыя могутъ проникнуть въ субъективный процессъ представле-нiя, но которыя не образуютъ совсемъ вещественно-конститутив-наго момента этой связи.

Противъ дедукцiи Дедекинда выставлялось иногда возраженiе, что здесь, въ конце концовъ, не остается для чиселъ никакого отличительнаго содержанiя, означающаго ихъ специфическую особенность по сравненiю съ другими упорядоченными въ ряды предметами. Такъ какъ при определенiи понятiя о нихъ сохраняются лишь общiе моменты «прогрессiй», то то, что здесь вы-

*) Подробнее объ этомъ см. у Рёсселя, цит. соч., гл. 24 и 25.

56

*) Дедекиндъ, цит. соч., § 6. - О понятiи „отображенiя" см. выше, объ опред'Ъленiи „просто безконечной системы" см. Дедекиндъ, цит. соч.; § 5 и 6.

57

сказывается о числахъ, применимо вообще ко всякой прогрессiи; такимъ образомъ, здесь определяется собственно сама лишь форма ряда, а не то, что входить въ нее въ качестве мате-рiада. Если порядковый числа должны быть чiмъ-нибудь, то они должны-невидимому-обладать некоторой «внутренней» природой и свойствами, они должны отличаться какимъ-нибудь абсолютнымъ признакомъ отъ другихъ вещей, точно такъ, какъ точки отличны отъ мгновенiй или цвета отъ звуковъ *).

Но это возраженiе свид-Ьтельствуетъ о непониманш настоящей цели и основной тенденцiи дедекиндовскаго опредйлетя по-нятiя. Въ немъ важно то, что имеется система идеальныхъ пред-метовъ, совокупное содержанiе которыхъ выражается целикомъ въ ихъ взаимныхъ отношенiяхъ. «Сущность чиселъ сводится къ ихъ местоположению (Stellenwert) въ ряду» **). И само понятiе о мё-стоположенiи надо взять здесь съ величайшей логической широтой и общностью. Требуемая нами различимость элементовъ основывается на чисто-логическихъ, а не чувственно-созерцательныхъ условiяхъ. Здесь вначале не требуется даже созерцанiя чистаго времени, на которомъ Кантъ основываетъ понятiе о числе. Мы, конечно, мыслимъ себе члены числового ряда, какъ упорядоченную последовательность (Folge); но это понятiе о последовательности не содержитъ въ себе нисколько конкретной определенности временной преемственности. Три не «следуетъ» за двумя такъ какъ громъ за молнiей, ибо оба эти числа обладаютъ не временной реальностью, но исключительно идеальнымъ логическимъ составомъ. Смыслъ следованiя сводится здесь къ тому, что два входить, какъ посылка, въ определенiе понятiя о трехъ, что значенiе одного понятiя становится яснымъ тогда, когда твердо дано значенiе другого. Низшее число «предпосылается> высшему; но это не означаетъ физическаго или психологическаго «раньше»

*) См. Рессель, цит. соч., § 242.

**) О дедукцiи числа, какъ чистаго „рядового числа" (Reihenzahl) см. особенно у Липпса („Philos. Studien", т. Ш) и новейшее изложенiе Наторпа, проводящаго эту концепцiю еъ особенной ясностью и убедительностью («Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaft", Leipz., 1910, гл. 3 и 4).

58

я «позже», а означаетъ чистое отношенiе логически-систематической зависимости. «Позднейшее» место отличается темь обстоя-тедьствомъ, что оно вытекаетъ изъ основной единицы черезъ при-ыiненiе творческаго отношенiя более сложнымъ образомъ и, следовательно, вбираетъ въ себя, въ качестве логическихъ составных* частей и фазъ, предшествующее ему элементы. Такимъ образомъ, время-если понимать подъ этимъ -конкретную форму «вну-тренняго чувства»-предполагаетъ число, а не наоборотъ, число- время. Ариеметика можеть быть определена, какъ наука о чистомъ времени лишь тогда, когда заранее-какъ этоделаетъ, напримеръ, Гамильтонъ-устраняютъ изъ понятiя о времени все его характер-ныя и существенныя черты и оставляютъ лишь моментъ «порядка въ поступанiи впередъ» (Ordnung im Portschritt)*). Методиче-скимъ преимуществомъ науки о числахъ оказывается какъ разъ то, что въ ней оставляется безъ разсмотренiя «что» элементовъ, образующихъ некоторую определенную поступательную связь, и разсматривается лишь «какъ» этой связи. Благодаря этому мы встречаемся здесь впервые съ прiемомъ, имеющимъ решающее значенiе для всей проблемы образованiя понятiй въ математике. Где только ни дана система условiй, могущихъ быть удовлетворенными при разлячныхъ содержанiяхъ, тамъ мы можемъ всегда - не заботясь объ изменчивомъ характере этихъ содержа-нiй-сохранить саму форму системы, какъ инварiантъ, и дедуктивно развить ея законы. Благодаря этому мы создаемъ новое «объективное» образованiе, независимое по своей структуре отъ какого бы то ни было произвола; но было бы некритично и наивно смешивать получающiйся такимъ образомъ предметъ съ чувственно-действительными и действенными вещами. Мы не можемъ открыть эмпирически «свойства> этого предмета; мы въ етомъ и не нуждаемся, такъ какъ, уловивши то отношенiе, изъ ко-тораго получается этотъ предметъ, мы имеемъ его во всей его определенности.

*) О гамильтоновскомъ опредЪленiи алгебры, какъ „Science of pure time or order in progression" и объ отношении его къ кантовскому понятiю времени см. мою статью: „Kant und die moderne Mathematik" (Kantstudien) XII, стр. 34 и ел.).

59

Но какъ ни важенъ, однако, логическiй моментъ порядка, имъ не исчерпывается все еодержанiе понятiя о числи. Мы приходимъ къ новой точке зр'Ьнiя, когда начинаемъ понимать и применять число, разсматривавшееся до сихъ поръ какъ логическое слёдо-ванi е актовъ полаганiя, въ качеств* выраженiя множества. Этотъ переходъ отъ чисто-порядковаго числа къ к о л и ч е-с т в е н-ному числу совершается въ различныхъ порядковыхъ тео-рiяхъ ариеметики, какъ онЪ были развиты кроме Дедекинда въ особенности Гельмгольцемъ и Кронекеромъ, въ общемъ единообразно. Если дана какая-нибудь конечная система, то мы можемъ отнести ее опред'Ъленнымъ и однозначнымъ образомъ къ развитой раньше совокупности чиселъ, установивъ соответствiе между кавдымъ эле-ментомъ системы и однимъ-и только однимъ-членомъ этой совокупности. Поступая такимъ образомъ, следуя установленному неизменно порядку членовъ совокупности, мы подъ конецъ устанавли-ваемъ соответствiе между поел Однимъ элементомъ системы и нъ'которымъ определенныыъ порядковымъ числомъ п. Этотъ актъ установленiя соотвътствiя, завершающiй всю процедуру, охваты-ваетъ въ себе въ то же время все его прежнiя фазы, ибо такъ какъ последовательный переходъ отъ 1 къ n можетъ произойти лишь однимъ способомъ, то результать, котораго мы достигаемъ, воспроизводить здесь въ то же время во всей ея специфической определенности ту процедуру, съ помощью которой мы его доети-гаемъ. Число п, бывшее первоначально характеристикой посл*дняго элемента, можно разсматривать въ то же время съ другой точки зренiя, такъ же какъ характеристику всей сисмемы: мы назы-ваемъ его количественнымъ числомъ разсматриваемой системы и говоримъ теперь объ этой системе, что она состоитъ изъ n элементовъ *).

Здесь, разумеется, предполагается, что можетъ быть лишь одно количественное число для даннаго множества, что, значить, последнiй взятый нами члевъ совокупности не зависитъ отъ того порядка, въ которомъ мы разсматриваемъ и выбираемъ элементы

нашего множества одинъ за другимъ. Но-какъ показалъ въ особенности Гельмгольцъ-это предположен! е можетъ быть выведено изъ предпосылокъ порядковой теорiи чиселъ со всей строгостью, ббвъ допущенiя какого бы то ни было новаго постулата, если только придерживаться условiя, что разсматриваемое многообразiе образуетъ конечную систему. Можно также безъ труда перевести на новую категорiю чиселъ определенiя основныхъ ариеме-тическихъ д-Ьйствiй. Такъ, напримъ-ръ, если мы остаемся на почв* чястыхъпорядковыхъ чиселъ, образованiе суммы (а-(-Ь) означаетъ, что мы, начиная съ а, «подвинулись впередъ въ счете» на b ша-говъ, т. е. что мы опред'Ъляемъ членъ ряда, полученный нами, когда мы почленно подписываемъ следующiя за а числа подъ элементами ряда l 2 3... b. Это объясненiе применимо ц'Ьликомъ и къ сложенiю въ случае количественныхъ чиселъ. Оказывается, что язь соединенiя элементовъ двухъ множествъ, которымъ соответ-етвуютъ количественный числа а и Ь, получается новое множество С, совокупность членовъ котораго выражается числомъ (a-f-b) въ укаванномъ выше значенiи. Такимъ образомъ, разсмотренiе «количественныхъ чиселъ» не приводитъ ни къ какимъ новымъ свой-ствамъ и отношенiямъ, которыхъ мы не могли бы вывести изъ раасмотренiя одного лишь момента порядка. Подучается лишь то, что развитая въ порядковой теорiи формулы прiобретаютъ новое поле для примененiя, такъ какъ теперь ихъ можно читать какъ бы на двухъ различныхъ языкахъ *).

Такимъ образомъ, переходя къ количественнымъ числамъ, мы не создаемъ никакого новаго по существу математическаго содержанiя. Но нельзя не видеть темъ не менее того, что въ обра вованiи количественнаго числа сказывается новая логическая функцiя. Если въ теорiи порядковаго числа были установлены единичные акты, какъ таковые, и развиты въ виде однозначной серiи, то теперь поднимается требованiе разсмотрiть рядъ не въ его отдельныхъ элементахъ, одинъ за другимъ, но какъ идеальное Ц^лое. Предыдущей моментъ не просто долженъ быть вытесненъ

*) См. особенно Дедекиндъ, „Was sind und was sollen die Zahlen", § 161, стр. 54.

60

*) Helmholtz. „Z?hlen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet" (.P?ilosoph. Aufs?tze, Ed. Zeller gewidmet", Lpz., 1887, стр. 33).

61

посдедующимъ, но долженъ сохраниться въ немъ по всему своему логическому значенiю, такъ что послiднiй актъ процедуры охва-тываетъ въ себе заразъ и все предшествующiе ему акты и законъ ихъ взаимной связи. Лишь при атомъ синтез* простая пос.гбдо-вательность порядковыхъ чиселъ превращается въ единую, замкнутую въ себе, систему, въ которой каждый членъ существует^ не только самъ по себе, но отображаете въ то же время структуру и формальный принципъ всего ряда.

Но разъ признаны оба этихъ основныхъ логическихъ акта, на которыхъ опирается все разд'Ьленiе и все соединенiе чиселъ, то не нужны уже никакiя дальнiйшiя спецiальныя предпосылки, чтобы определить область и кругь операцiй ариеметики. Благодаря этому удовлетворяется требованiе чисто-рацiональной дедукцiи, абстрагирующей отъ какихъ бы то ни было эмпирическихъ отно-шенiй физическихъ объектовъ. Правда, при обсуждены «порядко-вой> теорiи числа часто игнорировали именно эту характерную и основную особенность. Обоснованiе теорiи, какъ его далъ, напри-мъ'ръ, Гельмгольцъ, должно действительно повести къ тому взгляду, что прежде всего здесь предполагаются данными ковкретныя группы предметовъ и что работа мышленiя сводится къ тому, чтобы установить для этого различiя вещей соответствующее различiе з н а-ковъ. Но «знаки», какъ таковые, суть прежде всего не что иное, какъ группы объектовъ воспрiятiя, отличающихся другъ отъ друга своимъ видомъ и положенiемъ. Невидимому, мы потому лишь можемъ абстрагировать въ нашихъ высказыванiяхъ о числовыхъ отношенiяхъ отъ непосредственныхъ свойствъ вещей, что мы заме-няемъ заранее реальность объектовъ реальностью ихъ чувствен. ныхъ «отображенiй>. Но тогда истиннымъ началомъ образованiя чиселъ было бы не абстрагированiе отъ физическихъ предметовъ, но, наоборотъ, сгущенiе и концентрация ихъ чувственнаго значе-нiя (Gehalts). Но всякое подобное пониманiе-подтверждающееся, невидимому, иногда темъ издоженiемъ теорiи порядковыхъ чиседъ, какое мы встречаемъ у различныхъ математиковъ - противоречить, на самомъ деле, настоящей и более глубокой логической тенденцiи этой теорiи. Создаваемые здесь «знаки» перестали бы быть знаками, потеряли бы свою специфическую функцiю, если бы

62

разбирали лишь по тому, что они суть чувственно, а не по у, что они означаютъ мысленно. Въ этомъ случае они представляли бы въ действительности лишь известные «образы», которые мы могли бы изследовать со стороны ихъ формы, величины, подоясенiя, окраски; но даже ъъ случаяхъ самаго крайняго матема-•ическаго <номинализма> не пытались въ действительности раз-сматривать истинныя сужденiя о чиелахъ, какъ высказывания подобнаго рода и свойства. Только двусмысленность въ употребле-нiи понятiя о знаке, только то обстоятельство, что подъ нимъ понимаютъ то простую наличность некотораго чувственнаго содер-жанiя, то обозначаемый имъ идеальный предметъ, делаетъ возможнымъ обращенiе къ номиналистической схеме. Лейбницъ, все мышленiе котораго было направлено на лланъ созданiя «всеобщей характеристики», обнаружилъ, въ противоположность фор-малистическимъ теорiямъ своего времени, со всей философской ясностью существующее здесь положенiе вещей. «Базисъ» истинъ, какъ онъ выражается, никогда не лежитъ въ знакахъ, но въ объ-ективныхъ отношенiяхъ между идеями. Если бы дело обстояло иначе, то пришлось бы различать столько формъ истины, сколько есть способовъ обозначенiя. Среди современныхъ математиковъ, особенно Фреге въ проницательной и обстоятельной критике пока-залъ, что ариеметика знаковъ можетъ существовать потому лишь, что она остается неверной самой себе. Въ процессе логическаго, развитiя на место пустыхъ символовъ становится незаметно содер-жанiе ариеметнческихъ понятiй *).

Номиналистическое изложенiе образуетъ поэтому и въ теорiи чистыхъ порядковыхъ чиселъ внешнюю оболочку, которую нужно удалить, чтобы проникнуть до собственяаго логическаго и матема-тическаго ядра мысли. Разъ это сделано, то остаются чисто-р а ц i о-нальные моменты, ибо «порядокъ» не есть нечто такое, что можно вскрыть непосредственно въ чувственныхъ впечатленiяхъ, но то, что они получаютъ лишь благодаря мысленнымъ отноше-нiямъ. Поэтому теорiя въ своей чистой дедукцiи не нуждается

*) Frege. „Grundgesetze der Arithmetik", т. II (lena, 1903). стр. 69 и ел. стр. 139 и ел.

63

вовсе, какъ это утверждали некоторые противники *), въ допуще-нiи извЪстнаго множества физически данныхъ отдiльныхъ вещей. Положенный ею въ основу многообразiя это не данныя эмпирически, но идеально определенный, совокупности, которыя прогрессивно конструируются по известному постоянному правилу изъ нiкотораго установленнаго начальнаго пункта. Въ этомъ правили заключаются и всi настоящiя «формальный» черты, характери-зующiя числовой рядъ и делающiя изъ него вообще основной типъ логически познанной и усвоенной связи.

III.

Если взглянуть, однако, на фактическое развитiе современна™ ученiя о принципахъ математики, то мозкетъ показаться, что во всехъ этихъ теорiяхъ оставленъ безъ разсмотрiнiя тотъ существенный моментъ, въ которомъ только и завершается логическая характеристика числа. Всякiй разъ, когда пытались разложить понятiе о числе на чисто-«логическая константы>, приходили къ понятiю о классе, какъ его необходимой и достаточной предпосылке. Анализъ числа завершался, казалось, лишь тогда, когда удавалось вывести специальное значенiе числа изъ всеобщей ф у н к ц i и л о н я т i я; но, по господствующему логическому основному убеждение, образованiе понятiй сводится къ • соединенiю предметовъ въ виды и роды съ помощью подведенiя ихъ подъ общiе признаки.

Поэтому, чтобы одолеть логически понятiе о числе, нужно было прежде всего удалить изъ него все то, что не умещается въ рам-кахъ этой основной схемы. Но здесь для теорiи возникаетъ прежде всего принципiальная трудность. Если мы станемъ разсматривать не понятiе о числе вообще, а понятiе о томъ или другомъ о n p e-деленномъ числе, то мы имеемъ въ такомъ случае дело не съ логическимъ общимъ понятiемъ, но съ индивидуальнымъ понятiемъ. Дело идетъ здесь не объ указанiи некотораго рода

*) Ср. Contura „De l'infmi mathematique", Paris, 1896, стр. 318 и ел.

64

который можетъ быть данъ въ какомъ угодно количестве единич-иыхъ вквемпляровъ, но объ указанiи известнаго, однозначно опре. »Ьденнаго, местоположенiя въ некоторой совокупности, въ некоторой системе. Существуете лишь одна двойка, одна четверка, и обоимъ этимъ числамъ присущи определенный математическiя свойства и признаки, которые отличаютъ ихъ отъ другихъ предметовъ. Если же все-таки желаютъ свести понятiе о числе въ понятiю о классе, то надо для этого выбрать другой путь. Чтобы определить, что «есть» по своему чистому существу число, мы пытаемся не разложить его самого непосредственно на более простые по содержанiю составныя части, но спрашиваемъ раньше всего, что означаетъ равенство чиселъ. Разъ установлено, при какихъ условiяхъ мы считаемъ равнозначащими два множества со стороны ихъ числа, то темъ самымъ косвен-нымъ образомъ определяется тотъ характерный призяакъ, который мы признаемъ тождественнымъ въ обоихъ. Но критерiй равночис-лвнности двухъ множествъ заключается въ томъ, что возможно определенное отношение, благодаря которому можно установить вааимное однозначное соответствие между членами обоихъ множествъ. Благодаря втой операцiи установленiя соотвiт-сивiя мы устанавливаемъ среди безчисленныхъ возможныхъ клас-совъ предметовъ определенный связи (Zusammengeh?rigkeiten) темъ, что мы соединяемъ въ одинъ совокупный комплексъ группы, которыя можно такимъ образомъ связать между собою. Иными сдовами, мы собираемъ все многообразiя, для которыхъ имеется подобное отношенiе «эквивалентности» или одновначнаго соответствия въ одинъ рядъ, разсматривая множества, для которыхъ не удовлетворено это условiе, какъ принадлежащiя къ различнымъ родамъ. Разъ это сделано, то можно затемъ разсматривать каждое отдельное множество со стороны признака эквивалентности, какъ полнаго представителя всего его рода: ведь, такъ какъ можно Доказать, что два множества, эквивалентные третьему множеству, эквивалентны между собой, то достаточно показать относительно Некоторой данной совокупности М, что можно установить для чле-иовъ ея однозначное соответствiе съ членами к а к о г о-н и б у д ь множества совокупнаго комплекса, чтобы прiобрести полную уве-

к 65

ренность, что это применимо и ко в с е м ъ множествамъ разсма-триваемаго комплекса, и разсматривая его само по себе, какъ некоторый мыслимый предметъ, мы получимъ именно тотъ моменгъ, который мы въ обычной речи называемъ ч и с л о м ъ каждой изъ этихъ совокупностей. «Число, принадлежащее понятiю F», таково определение Фреге, который далъ въ основныхъ чертахъ предыдущую дедукцiю, «есть объемъ понятая, равночисленный понятiю F». Мы получаемъ идею о числе нiкотораго понятiя, разсматривая относящiеся къ нему предметы не сами по себе только, а имея въ то же время въ виду вей те классы, элементы кото-рыхъ стоятъ въ отношенiи однозначнаго соотвiтствiя къ элементамъ разсматриваемой совокупности.

Отличительная черта этой концепцiи заключается въ томъ, что она принимаетъ то, что съ обычной точки зр'Ьнiя разсматривается, какъ к p и т е p i и численнаго равенства, за собственный коститу-тивыый признакъ, поддерживающiй все содержание самого понятiя о числе. Если традицiонный ходъ идей заключается въ томъ, чтобы принимать отдельный числа за «данныя», за извiст-ныя, и затiмъ решать на основанiн этой ихъ известности воиросъ о ихъ равенстве и неравенстве, то здесь поступаютъ какъ раиъ наоборотъ. Известно лишь одно: отношен!е, высказанное въ равенстве; элементы же, входящiе въ это отношенiе, не определены еще вначале по своему значенiю и становятся определенными лишь постепенно, въ силу равенства. «Наше нам^-ренiе», такъ изображаетъ Фреге эту процедуру въ ея общемъ виде, «заключается въ образованiи содержанiя некотораго сужде-нiя, которое можно представить въ виде равенства такъ, что каждая сторона этого равенства есть число. Мы хотимъ такимъ образомъ... получить съ помощью улсе известнаго понятiя о равенстве то, что должно разсматриваться, какъ равное». Здесь, действительно, резко подчеркнута методическая тенденцiя, лежащая въ основе всякаго математическаго составле-нiя понятiй: разсмагриваемое «образованiе» должно получить весь свой составъ изъ свойственныхъ ему отношенiи. Остается только открытымъ вопросъ. получили ли мы въ отношенiи эквивалентности классовъ действительно такое отношенiе, которое

66

логически проще, чемъ совокупность функцiй, ведущих* въ поряд-f?pofl теорiи къ расчлененному ряду порядковыхъ чиселъ. Очевидно, ijni сдвлали бы шагъ впередъ въ вашемъ анализе лишь тогда, когда удалось бы абстрагировать совсемъ оть всехъ этихъ функ-цi§ и все-таки получить на новомъ пути всю систему царства чиселъ и его законовъ. Поэтому въ дальнейшемъ критическое из-елiдованiе должно сосредоточиться на сл'Ьдующемъ пункте: действительно ли производится дедукцiя числового ряда изъ понятiя о классе или она вертится въ круге, предполагая молча уже понятiя ивъ той самой области, которую она берется дедуцировать? *). Развиваемая здесь теорiя, несмотря на то, что она ведетъ ожесточенную борьбу противъ эмпиристической концепцiи числа, ниАетъ съ нею одинъ общiй формальный моментъ: и она раз-сматриваетъ число, какъ некоторое «общее свойство» известныхъ содержанiй и группъ содержанiй. Только согласно этой теорiи суб-стратовъ высказывавiй о числахъ-какъ это спецiально подчеркивается-нужно искать не въ чувственно-фиэическихъ вещахъ, а .исключительно въ понятiяхъ объ этихъ вещахъ. Всякое сужденiе о числовыхъ отношенiяхъ приписываете не объектамъ, а ихъ поня-тiямъ, определенные признаки, по которымъ они разделяются на классы съ особенными свойствами. Когда я говорю: «у Венеры О спутниковъ», то передъ нами не имеется вовсе спутника или аггрегата спутниковъ, о которомъ можно было бы высказать что-нибудь; но понятiю «спутникъ Венеры» приписывается благодаря этому свойство, именно то, что это понятiе ничего не заключаете въ себе. Когда я говорю: «четыре лошади везутъ карету императора>, то я приписываю число «четыре» понятiю: «лошадь, везущая карету императора». Только это обстоятельство и объясняетъ универсальную применимость высказыванiй о числахъ,

*) Разсматриваемая здЪсь проблема была предметомъ живого обсу-жденiя въ современной логически-математической литератур*; для поло-яенiя теорiи см. особенно сочиненiя Фреге, Рёсселя, Пеано; для критики В. Керри, „Ueber Anschauung und ihre psychische Verarbeitung" („Vierteljahr, f?r wissensch. Philos.", XI, стр. 287 и ел.); Husserl. „Philosophie der Arithmetik", I,Halle, 1891, стр. 129 и ел.; Jonas Cohn „Voraussetzungen und Ziele des Erkennens" Lpz., 1908, стр. 158 и ел.

67

которыя можно распространить какъ на матерiальное, такъ и на нематерiальное, на внутреннiя и на внешнiя явленiя, на вещи, какъ и на событiя и поступки. Это кажущееся многообразiе области исчислимаго оказывается при более внимательномъ разсмо-трiнiи строгимъ однообразiемъ, ибо указанiе числа никогда не затрагиваете самихъ разнородныхъ содержанiй, касаясь лишь ноня-тiй, подъ которыя ихъ подводятъ, т. е. касаясь, такимъ образомъ, постоянно одной и той же логической сущности. Предыдущее изложенiе показало, какъ понимать это более точно: понятiямъ приписывается определенное число, когда ихъ соединяютъ въ классы съ другими понятiями, съ которыми они находятся въ отношенiи взаимнаго однозначнаго соотвiтствiя элементовъ объема. Но тутъ выдвигается прежде всего одно возраженiе. Развиваемая здiсь теорiя имйетъ въ виду не сочинить произвольно общее поня-тiе о числе, но показать настоящую функцiю числа въ реаль-номъ ц'Ъломъ познанiи. iiротивъ концепцiи, исходящей изъ чистаго порядковаго числа, выставляется, какъ особенное преимущество, то, что дедуцируемыя здесь <логическiя» свойства числа суть въ то же время непосредственно тв самыя свойства, которыя имiютъ решающее значенiе при ихъ <употребленiи въ повседневной жизни». Искуственной дедукцiи, преследующей исключительно цйли ариеметической науки, противоставляется естественная дедук-цiя, считающаяся въ то же время съ конкретными приложениями числа. Но более строгое изслiдованiе показываетъ, что цель эта не достигается, ибо то, что здвсь дедуцируется логически, совсЪмъ не совпадаетъ съ гвмъ особеннымъ смысломъ, который мы свя-зываемъ съ числовыми сужденiями въ фактическомъ познанiи. Если мы ограничимся лишь вышеизложенными размышленiями, то благодаря имъ мы сумеемъ, правда, сопоставить различныя группы элементовъ и признать ихъ однородными съ определенной точiш зренiя; но это не даетъ намъ вовсе достаточнаго определенiя «числа» въ обычномъ смысл* слова. Мы могли бы обозреть, въ действительности, какое угодно количество «эквивалентныхъ» мно-жествъ и разсмотреть ихъ въ ихъ взаимномъ отношенiи, причемъ при этой операцiи у насъ могло бы вовсе и не возникнуть харак-теристичнаго сознанiя чистыхъ понятiй о числе. Специфическое

68

8§»чвнiе «четырехъ» или «семи» никогда не можетъ возник-урь изъ простого сопоставленiя какого угодно количества группъ ввъ четверокъ или семерокъ - если, разумеется, отдельныя группы уже заранее не были признаны определенно расчленен-я$ши серiями элементовъ, т. е., значить, числами въ смысле порядковой теорiи. Вопросъ «сколько», употребленный въ обычномъ смысле объ элементахъ, нельзя никакимъ дегическимъ толкованiемъ превратить въ простое высказыванiе о «столько, сколько» (gleichviel): онъ остается въ качестве самостоятельнаго вопроса и задачи

познанiя.

Но разсмотренiе этой задачи приводить къ более глубокому методологическому противоречию, существующему между обеими кон-цепцiями числа. Основное свойство порядковой теорiи заключается въ томъ, что для нея отдельное число никогда не означаетъ чего-нибудь само по себе; оно имеетъ определенное значенiе лишь по мiсту въ совокупной системе. Определенiе отдельнаго числа даетъ вместе съ темъ непосредственно отношенiе, въ кото-ромъ оно находится къ другимъ числами области; этого отношенiя нельзя мысленно устранить, не отбросивъ въ то же время всего содер-жанiя разсматриваемаго частнаго понятiя о числе. Въ разбираемой нами общей дедукцiи количественнаго числа эта связь устранена. И дри ней необходимо, разумеется, иметь въ виду установить и логически дедуцировать неизменный принципъ распорядка отдель-ныхъ чиселъ, но смыслъ элементовъ здесь долженъ быть данъ до этого порядка и независимо отъ него. Члены числового ряда определяются здесь, какъ общее свойство определенныхъ классовъ, еще ДР того, какъ дано что-нибудь объ отоношенiи ихъ последованiя. Но, въ действительности, настоящее характерное свойство числа заключается въ томъ моменте, который здесь прежде всего устраняется. Тотъ способъ образованiя понятiя, путемъ котораго получается число, сводится не къ выдвленiю сходнаго, какъ это должно было бы быть по традицiонной теорiи абстракцiи, а къ выделенiю И закреплению различнаго. Разсмотренiе множествъ, между которыми возможно установить взаимное однозначное соответствiе, моаетъ повести къ выделенiю въ нихъ некотораго тождествен-ваго признака; но этоть признакъ самъ по себе еще не «число»

69