Часть 3.

а лишь неопределяемое ближе логическое свойство. Онъ становится числомъ лишь тогда, когда выделяется среди другихъ при-знаковъ того же самаго логическаго характера, къ которымъ онъ становится въ отношенiе «раньше» или «позже», «более» или «менее». Поэтому даже гв мыслители, которые развивали теорiво объясненiя числа эквивалентными классами особенно строго ,и последовательно, подчеркиваютъ, что это объясненiе по существу маловажно для методическихъ целей чистой математики. Матема-тикъ разсматриваетъ въ числе лишь те свойства, на которыхъ опирается порядокъ знаковъ (Stellen). Число можетъ само по себе быть чемъ ему угодно; но для алгебры и анализа оно интересно лишь потому, что его можно представить и развить iгiшiкомъ и чисто въ форме «прогрессiи» *). Но разъ это признано, то тiмъ самымъ, строго говоря, устраняется и споръ о методологическош. преимуществе порядковаго числа, ибо где же можно лучше всего ознакомиться съ «сущностью» числа въ теоретико-позпаватель-номъ смысле, какъ не въ его наиболее общемъ научномъ употреблен! и?

Здесь яе имеетъ силы и аппелированiе къ тому значенiю, которое мы придаемъ понятiю о числе въ до-научномъ мышленiи. Во всякомъ случае, психологическiй анализъ не даетъ никакой поддержки этой теорiи. Всякое размышленiе о фактической природе мышленiя сейчасъ же обнаруживаете внутреннее разли-чiе между мыслью объ эквивалентности и мыслью о числе. Если бы число было темъ, чемъ оно должно быть согласно этой дедукцiи, то оставалась бы еще достаточно запутанная и трудная задача вскрыть тотъ процессъ, благодаря которому въ сознанiи возникаетъ и закрепляется подобное понятiе. Ведь число обозначаете здесь отношенiе между совершенно разнородными по содержанiю классами, которые связаны лишь возможностью установленiя взаимнаго соответствiя. Но какой имелся бы идейный м о т и в ъ устанавливать вообще отношенiе между подобными разнородными группами; какой смыслъ сопоставлять классъ спутниковъ Юпитера съ классомъ временъ года, группу кеглей

*) Рессель, § 230.-О понятiи „прогрессiя" см. выше.

70

дай игре въ кегли съ группой музъ! Подобное сравненiе полу-разумный смыслъ лишь после того, какъ установлено инымъ путемъ «численное значенiе» для каждаго изъ этихъ совъ и дано, такимъ образомъ, сходство ихъ въ этомь пункте. Но здесь, где ото значенiе не предполагается заранее, а должно быть лишь выведено изъ сравненiя, это последнее не имеетъ директивы, не имеетъ руководящей точки .зренiя. Теорiю эквивалентности упрекали въ томъ, что она благопрiятствуетъ «крайнему релятивизму», поскольку, согласно ей, определенность числа должна быть свойствомъ, принадлежащимъ множеству не какъ таковому, но лишь въ отношенiи къ другимъ множествамъ. Но этотъ уврекъ, по меньшей мере, двусмысленъ, ибо понятiе о числе можетъ въ действительности означать при любой форме дедукцiи лишь чистое понятiе объ отношенiи. Здесь взята только другая область и вместе съ темъ другое логическое место отношенiя: въ то время, какъ въ порядковой теорiи дело идетъ объ идеальныхъ полаганiяхъ (Setzungen), относящихся взаимно другъ къ другу, здесь каждое изъ этихъ иодаганШ выводится изъ неко-тораго отношенiя данныхъ «классов ъ».

Лежащiя здесь въ основе предпосылки выступаютъ съ особенной ясностью тогда, когда, исходя изъ этой точки зренiя, мы начинаемъ давать строгое логическое определенiе значенiю о т-дедьныхъ чиселъ и устанавливать условiя, при которыхъ мы намереваемся обозначать два изъ этихъ значенiй какъ следующiя непосредственно одно за другимъ. Уже при объясненiи нуля обнаруживаются значительныя трудности: ведь, не имеетъ, очевидно, никакого смысла говорить объ установленiи взаимнаго одноввачнаго соответствiя членовъ различныхъ классовъ и въ томъ случае, когда эти классы, по самому своему определенiю, не содержать въ себе никакихъ членовъ. Но, если бы и удалось устранить эту трудность путемъ сложныхъ логическихъ истолко-ванiй понятiя объ эквивалентности *), то кроющiйся въ объясне-

*) См. объ этомъ: Frege, „Grundlagen der Arithemetik", стр. 82 и ел.; Russell, стр. ИЗ, а также критику у Kerry „Vierteljahr, f. wissenscb. Philos.", XI, стр. 287 и ел. и у Poincare „Science et Methode". Paris, 1908, кн. 11.- Критику Фреге см. теперь также у Наторпа, цит. соч., стр. 112 и ел.

71

нiи порочный кругь выстуиаетъ сызнова наружу, когда перехо-дятъ къ определенно «единицы». Здесь уже заранее предполагается изв-Ъстнымъ, что значить разсматривать некоторый элеменгь какъ «единицу», ибо «равночисленность» двухъ классовъ узнавалась лишь благодаря тому, что мы устанавливали соответствiе между каждьшъ елементОмъ перваго класса и однимъ-и только однимъ-элемеятомъ другого класса. Правда, какъ ни просто, ни тривiально даже, повидимому, это зам*чанiе, его сильно оспаривали. Не одно и то же-такъ возражали иные-брать ли число «одинъ» въ его строгомъ ариеметическомъ значенiи или же въ томъ общемъ, расплывчатомъ смысл1}}, который им*етъ неопределенный членъ въ грамматики; а когда выставляется требованiе взять какой-нибудь членъ класса и, чтобы сопоставить его съ какимъ-нибудь членомъ класса v, то имiютъ въ виду именно этотъ второй смыслъ. *То, что каждый индивидъ или каждый членъ нiзкотораго класса», пишеть, напримiръ, Рессель, «есть въ изв'Ьстномъ смысл* одинъ-это, разумеется, безспорно; но отсюда вовсе не слйдуетъ, что когда мы говоримъ о какомъ-нибудъ индивид*, то уже предполагается понятiе объ «одномъ». Мы можемъ, наоборотъ, признать основнымъ понятiе объ индивид* и выводи«, изъ него понятiе объ одномъ >. Съ этой точки зрiнiя значенiе высказывания, что н*ко-рый классъ заключаетъ въ себ* «одинъ» членъ (въ ариеметическомъ смысл*), сводится къ тому, что этотъ классъ не есть нуль и что разъ х и у суть нiкоторыя и, то х и у тождественны. Аналогичнымъ путемъ устанавливаютъ загЬмъ взаимное однозначное отношенiе между терминами *): R есть подобное отношенiе, если въ случаi, когда х и х' имiютъ отношенiя R къ у, ах отношенiе R къ у и у', то тождественны х съ х' и у съ у'.

Но легко заметить, что здесь не столько выводится, сколько скорее искуснымъ образомъ описывается логическая функцiя числа. Вздь, чтобы понять даваемыя здесь объясненiя, требуется, по меньшей мере, удержать мысленно терминъ х и разсматривать его, какъ тождественный съ самимъ собою, между тђмъ аакъ

*) Russell, § 124- 126, § 496. Frege. „Grundlagen", стр. 40 и ел.

72

jjftpatHO въ то же время отнести его къ другому термину у и признать его, въ зависимости отъ особыхъ условiй, сходнымъ съ шить или равличнымъ отъ него. Но если мы кладемъ въ основу этотъ процессъ полаганiя и различенiя, то это попросту значить, одр мы антиципировали число въ смысл* порядковой теорiи. Такъ, паприм'Ьръ, классъ изъ двухъ предметовъ определяется по Цёсселю теми условiями, что онъ вообще им*етъ термины и что еели х есть одинъ иэъ этихъ терминовъ, то имеется и другой, отличный отъ х, терминъ у въ этомъ класс*; между темъ какъ далее если х и у суть различные термины класса, u и z отлично отъ х и у, то каждый классъ, къ которому принадлежитъ z, отли-чеаъ отъ и. Мы видимъ, какъ здесь для завершенiя объясненiя должны быть созда.ны элементы х, у, z въ прогрессивномъ о б о-собденiи и какъ поэтому они должны быть косвеннымъ обра-аомъ отличены уже какъ первый, второй, третiй... членъ.

Вообще, чтобы придать различнымъ числамъ форму определенно упорядоченной »прогрессiи»-а лишь на этой форм* опирается, какъ мы видели, ихъ значенiе и ихъ научное употребде-юе-мы должны обладать принципомъ, дозводяющимъ намъ, разъ дано некоторое число и, определить следующее за нимъ число. По теорiи это отношенiе <сос*дства» между двумя числами определяется т*мъ, что мы сравниваемъ другъ съ другомъ соответствующее классы u и v, устанавливая почленно соотв*тствiе между элементами ихъ: если при этомъ окажется, что въ одномъ классе (V) останется членъ, не имгвющiй соответственная изображенiя въ другомъ класс* (и), то мы назовемъ v ближайшимъ высшимъ клас-сомъ по отношенiю къ и. И зд*сь, такимъ образомъ, требуется чтобы мы сперва разсмотрели, какъ одно ц*лое, ту часть v, которую можно поставить въ отношенiе однозначнаго соответствiя съ и, чтобы зат*мъ выделить тотъ членъ, который остался при этой форм4 отношенiя несвязанлымъ, какъ другое, <второе» целое. Но его значить, что по существу оперируютъ теми же самыми интеллектуальными синтезами, на которыхъ опирается въ теорiи норяд-коваго числа прогрессивный переходъ отъ одной единицы къ бли-**Ашей следующей; методологическая разница заключается лишь въ томъ, что эти синтезы тамъ являются свободными полаганiями,

73

здесь же они нуждаются въ допущенiи данныхъ классовъ элементовъ *).

Но что въ этой концеiщiи въ действительности перевернуть логическiй порядокъ понятiй, это видно изъ послйдняго и рйшаю-щаго соображенiя. Опредiленiе числа съ помощью эквивалентности классовъ предполагаете, что сами эти классы даны въ качестве FBKOTOparo множества. Понятiе о «сходстве» классовъ, на которомъ основано значенiе количественныхъ чиселъ, требуетъ раз-смотренiя по меньшей мере двухъ совокупностей, связанныхъ между собой какимъ-нибудь опредЂленнымъ отношенiемъ. Указывали, что для установленiя этого однозначнаго отношенiя не необходимо, чтобы члены обоихъ многообразiй были сперва определены путемъ счета въ отдельности, а что скорее достаточенъ здесь некоторый всеобщiй законъ, связывающiй любой элемептъ перваго многообразiя съ л ю б ы м ъ элементомъ второго многообразия. Но если бы мы и могли въ соответствiи съ этой точкой зренiя отказаться отъ того, чтобы расчленить предварительно численно въ самихъ себе сравниваемые между собой отдельные классы, то все-таки оставалось бы то обстоятельство, что мы противопоставляемъ другъ другу совокупности, какъ целы я, и что, значить, мы ихъ раз-сматриваемъ, какъ «две» различный совокупности. Могутъ ответить, что это различiе дано непосредственно благодаря чисто-логическому различiю понятiй о классахъ и что, следовя-

*) Чтобы объяснить отношенiе, въ которомъ стоятъ другъ къ другу любые два сосiднихъ члена натуральнаго ряда чиселъ, Фреге, напри-М'връ, исходитъ изъ сл'Ьдующаго положенiя: „существуетъ понятiе F и относящiйся къ нему предметъ х такого рода, что соответствующее по-нятiю P число есть п, а число, соответствующее понятiю: „относящiйся къ F, но не равный х", есть т": это положение признается тавтологич-нымъ на томъ основанiи, что въ натуральномъ ряду чиселъ n ытЬдуетъ непосредственно за m (цит. соч., стр. 89). Здесь, такимъ образомъ, мы про-водимъ раздъмiенiе внутри совокупности Р, выбирая отдельный членъ х и противопоставляя его другимъ членамъ: совокупность этихъ посл-вднихъ берется тогда для опредъмiешя сосiдняго „низшаго" числа. И здесь, такимъ образомъ, дело сводится къ описательному изложен!» „ходячаго" определенiя понятiя, согласно которому каждый членъ числового ряда получается изъ соседняго съ нимъ черезъ „присоединеше* или „отниманiе* „единицы".

74

тмьно. оно не нуждается въ дальнейшей дедукцiи. Но это по-«едо бы насъ отъ самихъ классовъ къ творческимъ отно-шенiямъ, на которыхъ они опираются и которымъ они обязаны своимъ отграниченiемъ и определенностью. Различiе въ совокуп-аостяхъ сводится къ различiю логическихъ (begrifflich) законовъ, и№ »оторыхъ оне вышли. Но отсюда, какъ мы видели, можно вывести непосредственно, а не кружнымъ. путемъ черезъ нонятiе о классахъ, систему чиселъ, какъ чистыхъ порядковыхъ чиселъ: вiдь для этого требуется лишь одно-именно возможность раз-iичать серiю чистыхъ актовъ полаганiя черезъ различное отношенiе къ одному определенному основному элементу, служащему нсходнымъ пунктомъ. Такимъ образомъ, теорiя порядковаго чи-са», действительно, представляете аринципiальный минимумъ, отъ котораго нельзя отказаться ни при какой логической дедукцiи понятая о числе; между темъ разсмотренiе эквивалентныхъ классовъ очень важно для применения этого понятiя, но не име-еть отношенiя къ его первоначальному содержанiю.

Но въ то же время споръ математическихъ теорiй сливается здесь съ общимъ логическимъ принципiальнымъ вопро-сомъ, служившимъ для насъ исходнымъ пунктомъ. Въразличныхъ интерпретацiяхъ понятiя о числе повторяется сызнова общая борьба меаду логикой родовыхъ понятiй и логикой о т но с и т е л ь-еыхъ понятiй (Relationsbegriffe). Если бы удалось вывести понятiе о числе изъ понятiя о классе, то это послужило бы на пользу традицiонной формы логики, у которой былъ бы укрепленъ ад новый исходный пунктъ. Координированiе овдвльнаго въ iерар-хiю родовъ было бы и здесь, какъ и прежде, существенной целью шинанiя, какъ эмпирическаго, такъ и точнаго. Въ попыткахъ обо-снованiя логической теорiй количественныхъ чиселъ видна иногда wa связь. Если я им4ю мысль «два человека», то-поРёсселю-я образовалъ вместе съ темъ логическое произведенiе изъ понятiя «человекъ», и понятiя «пара» (couple), и сужденiе, что имеется два человека, утверждаете лишь, что данъ комплексъ, принадлежащiй одновременно къ классу «человекъ» и къ классу «пара> *). Здесь

*) Russell, цит. сочин., § 111.

75

ясно видно, что теорiи не удалось вполне провести ту критическую основную мысль, изъ которой она исходила. Фреге и Рес-сель считаютъ р'Ьшительнымъ преимуществомъ своего ученiя то, что въ немъ число является не свойствомъ физическихъ вещей, но высказыванiемъ объ опред'Ьленномъ свойстве классовъ, что, следовательно, основу числового сужденiя образуютъ уже не об-екты, какъ таковые, а понятiя объ этихъ объектахъ.' Что ихъ теорiя представляетъ значительное углубленiе и улучше-нiе сенсуалистической теорiи-это безспорно. Но недостаточно подчеркивать чисто-д огическiй характеръ числовыхъ высказыванiй, пока все еще ставятся на одну доску понятiя о вещахъ и понятiя о функцiяхъ. Число является тогда не выраженiемъ того основного условiя, при которомъ только и возможно полаганiе любого множества, но признакомъ, присущимъ данному множеству классовъ и выд'вляемымъ изъ него путемъ сравненiя. Такимъ обравомъ, здесь повторяется основной недостатокъ всiхъ теорiи абстракцiи: то, что руководить образованiемъ понятiя въ качеств* чисто - категорiальной точки зренiя, то стараются найти какимъ-нибудь образомъ въ сравниваемыхъ объектахъ въ качестве составной части содержанiя. Теорiя эта является, въ конце концовъ, тонкой и последовательно проведенной попыткой овладеть съ помощью всеобщаго схематизма родовыхъ понятiй проблемой, которая по своему значенiю и объему принадлежитъ новой области и предполагаешь иное понятiе о познанiи *).

*) Разумеется, не одни только логическiя точки зр*нiя, но также и бол*е спецiальныя математи ч е с к i я основанiя, повели къ объясне-нiю числа помощью эквивалентности классовъ. Только такимъ образомъ казалось возможнымъ создать теорiю, которая не ограничивается уже заранее конечными числами, но обнимаетъ въ одной единственной дедукцiи и .конечный" и „безконечныя" числа. Моментъ вваимнаго однозпачнаго соотв*тствiя многообразiй казался имiющимъ основное значенiе, такъ какъ онъ остается въ сил* и тогда, когда отбрасываетъ конечность совокупностей и вм*ст* съ этимъ ихъ „доступность счету"- въ смысл* обычнаго пониманiя акта отсчитыванiя, какъ послздователь-наго перехода отъ единицы къ единиц*. Но какой плодотворной ни оказалась возникающая въ этой связи всеобщая точка зр*нiя „мощности", этимъ все-таки не доказано, что она совпадаетъ съ понятiемъ о ч и с л Ь.

76

IV.

Но разсмотренные нами попытки установить характеръ по-нятiя о числе и принципъ образованiя числа не охватили еще проблемы во всей ея общности и широте, какъ ее поставило раз-вияв современной математики. И дедукцiя теорiи классовъ и порядковая теорiя касаются числа въ его примитивнейшей форме и зиаченiи. Здесь еще не покинута принципiально точка зренiя пиеагорейцевъ: исключительной проблемой является здесь все еще «число» (Anzahl) въ узкомъ смысле и/Ьлаго числа. Но научная система ариеметики приводить аъ расширенiямъ нонятiя о числе, противопоставляя положительныя числа-отрицательнымъ, цблыя-дробнымъ, рацiональныя-иррацiональнымъ. Представля-ютъ ли эти расширенiя-какъ утверждали некоторые выдающееся математики-лишь искусственный преобразованiя, которыя можно объяснить и оправдать только съ точки зренiя применений, или они являются обнаруженiями той самой логической функцiи, которая царить уже надъ первымъ полаганiемъ «чиселъ»

(Anzahlen)?

Трудности, на которыя постоянно наталкивалось введете вся-каго новаго вида чиселъ-понятiя объ отрицательныхъ, иррацiо-нальныхъ, мнимыхъ числахъ-объясняются легко, если обратить вниманiе на то, что во всехъ этихъ преобразованiяхъ все больше и больше улетучивался собственный субстратъ числовыхъ выска-аыванiй. Разсматривая числа въ ихъ наиболее всеобщемъ основ-номъ смысле, можно непосредственно, на объектахъ воспрiятiя, показать, что они «реальны» и, следовательно, правомерны (g?ltig). Значенiе «двухъ» или счетырехъ» не составляетъ, на первый

Чисто-математическое значенiе понятiя о мощности остается непоколе-бленнымъ независимо отъ того, будемъ ли мы въ немъ видеть первоначальный принципъ числа или только выведенный результатъ, предполагающiй, съ своей стороны, уже ясное логическое объяснение Числа, Свойства, о б щ i я конечнымъ и трансфинитнымъ числамъ, не ваключаютъ въ себ* вовсе, какъ таковыя, уже существеннаго момента образованiя числа вообще: и здъсь „summum genus" въ смысл* родовой логики не равнозначущъ съ логическпмъ происхожденiеыъ (Ursprung) познанiя. (О проблем* трансфинитнаго см. ниже).

77

взглядъ, совсемъ серьезной проблемы, такъ какъ эмпирическiй мiръ вещей повсюду представляешь намъ непосредственно группы изъ двухъ и четырехъ вещей. Но съ первымъ же обобщенiемъ и расширенiемъ понятiя о числе исчезаетъ это вещное значенiе его, на которомъ опирается и къ которому аппелируетъ наивная концепцiя. Понятiе о «мнимомъ» числе и названiе его есть выражение мысли, которая даетъ себя знать въ зародыш* уже въ каждомъ новомъ ввдi чиселъ и которая придаетъ ему характерный отпечатокъ. Это- сужденiя и высказыванiя о «недiйствительномъ», претендующемъ, однако, здесь на некоторую определенную, неотъемлемую познавательную ценность. Гауссъ выразилъ съ полной опредi-ленностью и отчетливостью эту связь и вмъ-сгЬ съ гбмъ общiй принципъ, къ которому сводятся вообще всi различные методы, «расширенiя числа», въ заметке, въ которой онъ ставить себе целью обосновать истинную «метафизику мнимыхъ величинъ».

«Положительныя и отрицательный числа», читаемъ мы у него, «могутъ иметь примiненiе лишь тамъ, где то, что отсчитываютъ, имiетъ ce?i противоположное, въ соединенiя съ которымъ оно сводится къ нулю. При строгомъ разсмотренiи оказывается, что эта посылка имйетъ место лишь тамъ, где отсчитываемымъ являются не субстанцiи (мыслимые для себя предметы), но отношенiя между двумя какими-нибудь предметами. При этомъ требуется, чтобы указываемые предметы были расположены въ рядъ извiстнымъ спо-собомъ-напримъ-ръ, А, В, С, D...-и чтобы можно было признать отношенiе между А и В равнымъ отношенiю между В и С и т. д. Понятiе противоположности сводится здесь лишь къ возможности обмена отношенiя, такъ что если отношенiе (т. е. переходъ) А къ В принято за -f-1, то отношенiе В къ А должно быть выражено черезъ - 1. Поскольку подобный рядъ безграниченъ съ обеихъ сторонъ, каждое действительное целое число представляете отношенiе некотораго, произвольно принятаго за начальный, члена къ определенному члену ряда».

Дал^е для выведенiя мнимаго числа исходить изъ того, что изследуемые предметы расположены не въ о д и я ъ рядъ, но что приходится разсмотреть рядъ рядовъи ввести при этомъ новую единицу (-f i, -i). Здесь-если отвлечься отъ всехъ деталей

78

•йiувцiи-ясно выступаетъ руководящая логическая точка зренiя. Неiьзя понять смысла расширенныхъ понятiй о числахъ, если продолжать искать въ нихъ то, что они означають въ субстанцiяхъ, въ мыслимыхъ для себя предметахъ; но этоть смыслъ сейчасъ же открывается намъ, какъ только мы начинаемъ видеть въ нихъ выраженiя чистыхъ отношенiй, которыми регулируются взаимо• отношенiя въ конструктивно созданномъ ряду. Отрицательная с у б-станцiя, которая должна была бы обозначать одновременно бы-тiе и небытiе, представляетъ contradictio in adjecto; отрицательное же отношенiе это лишь необходимый логическiй коррелатъ принципа отношенiя вообще, такъ какъ всякое отношенiе А къ В можно въ то же время выразить и высказать, какъ отношенiе В кь А. Поэтому, если мы разема,триваемъ творческое отношенiе (R), на которомъ опирается переходъ отъ одного члена числового ряда кь ближайшему следующему, то вместе съ этимъ дается уже и отноптенiе следующего члена къ предыдущему, т. е. определяется второе направленiе поступанiя, которое мы можемъ разсматривать,

у

какъ обращенiе перваго или какъ обратное отношенiе (R). Положительныя и отрицательный числа (-|- а, - а) являются теперь лишь другимъ выраженiемъ для движенiя въ этихъ обоихъ н а-

о

правленiяхъ отношенiя (Ra. Ra ). Изъ этой основной кон-цепцiи выводятся тогда весьма просто, въ пределахъ расширенной такимъ образомъ числовой области, все оiiерацiи счисленiя: все онi основываются на той характерной черте числа, что оно относительное число, и все яснее выявдяютъ эту черту его *).

Мы проследимъ развитiе этой концепцiи не во всехъ ея фазахъ, а лишь на отде.чьныхъ типическихъ примерахъ, въ которыхъ особенно ясно выражена логическая тенденцiя этой мысли. Прежде всего новый принципъ обнаруживается при дедукщи иррацiональ-иаго числа. Есть два пути, идя по которымъ можно пытаться де-дуцировать иррацiональное число. Мы можемъ исходить либо изъ отнощенiй между данными геометрическими отрезками, либо изъ требованiя разрешимости определенныхъ алгебраическихъ уравне-

*) См. объ этомъ подробное изложевiе и обоснованiе этого хода мыс-Ле* У Наторпа, цит. соч., гл. 3 и 4.

79

нiй. Съ помощью нерваго метода, царившаго почти безраздельно до Вейерштрасса и Дедекинда, мы обосновываемъ новое число на пространстве и, следовательно, на отношенiяхъ, наблюда-емыхъ нами на изм'Ьримыхъ объектахъ. Можетъ поэтому казаться, что процессомъ образованiя математическихъ понатiй руководить опыты надъ физико-пространственными предметами и что эти опыты диктуютъ ему соответственное направленiе. Но вскоре обнаруживается, что по меньшей Mi?t обращенiе къ отношенiямъ кон-кретныхъ эмйирическихъ вещей должно оказаться несосто-ятельнымъ въ этомъ пункгЬ. Мы познаемъ отношенiе миры вещей лишь путемъ наблюденiя и, следовательно, въ пределахъ ошибокъ наблюдения. Искать и требовать въ этой области вполне точнаго определенiя значило бы не понимать природы вопроса. Поэтому очевидно, что обыкновенная система дробныхъ чиселъ представляете достаточное во всехъ отношенiяхъ логическое орудiе, съ помощью котораго можно справиться со всеми задачами, возникающими въ этой области. Такъ какъ въ этой системе не су-ществуетъ совсемъ наименьшей разницы, а, наоборотъ, можно всегда между двумя элементами-какъ бы они ни были близки между собой-вставить еще новый элемента, принадлежащей къ этой совокупности, то. здесь получается известное логическое диффе-ренцированiе, котораго мы никогда не можемъ достигнуть-а не только что превзойти-въ наблюдаемыхъ отношенiяхъ вещей. Поэтому отношенiе меры, къ которыми мы приходимъ благодаря внешнему опыту, никогда не могутъ вызвать въ насъ принудительно понятiе объ иррацiональномъ числе въ его строгомъ мате-матическомъ значенiи; это понятiе должно скорее возникнуть изнутри, изъ требованiй систематической связи самихъ математическихъ познанiй. Не тела физической действительности, но чисто-идеальные отрезки геометрiи, могугь дать искомый субстратъ для дедукцiи иррацiональнаго. Новая проблема вырастаетъ передъ нами не изъ разсмотренiя данныхъ фактически на-дицо величинъ, а изъ законовъ определенныхъ геометрическихъ конструкцiй. Но если это принять, то поднимается дальнейшее требование вывести и показать необходимость конструкцiй, бевъ которой нельзя обойтись ни при одной попытке дедукцiи, исключительно изъ с а-

80

до г о основного принципа числа. Перенесенiе вопроса съ почвы числа на почву пространства лишаетъ единства и замкну-яфи саму систему алгебры.

iОбычный алгебраическiй методъ, вводящiй иррацiональныя числа, какъ решенiя определенныхъ уравненiй, разумеется, недо-отаточенъ, такъ какъ при этомъ смепшваютъ постановку нй-вотораго постулата съ его и с п о л н е н" i е м ъ. Ибо, не говоря уже о томъ, что можно указать безчисленное множество иррацiональ-ныхъ чиселъ, не являющихся корнями алгебраическихъ урав-венiй, это объясненiе во всякомъ случае не даетъ намъ возможности узнать, является ли созданный имъ предметъ однозначно определеннымъ, или же существуютъ многiя, отличающiяся другъ отъ друга числа, удовлетворяющiя указанному условiю. Совершенная дефиницiя должна обозначить устанавливаемый ею идеальный объектъ не по одному какому-нибудь отдельному принадлежащему ему признаку, но должна охватить и определить его во всенъ его характерномъ своеобразiи и отличiи отъ всехъ другихъ объевтовъ. Но это своеобразiе дается сполна для кажцаго числа дишь тогда, когда вместе съ дедущiей числа определяется точно его положенiе во всей системе и, следовательно, его отношенiе ко всiшъ прочимъ известнымъ чдеиамъ царства чиселъ. Это отношенiе мЬстоположенiя обнимаетъ въ себе съ самаго начала все прочiя свойства, которыя могугь быть приписаны отдельному числу, такъ икъ свойства эти возникаютъ изъ него лишь позже и основываются на немъ.

Въ самомъ чистомъ виде эта руководящая логическая мысль Дедукцiи выступаегь въ известномъ дедекиндовскомъ объясненiи иррацiональаыхъ чиседъ, какъ «сеченiй» (Schnitte). Пусть намъ дана совокупность p а ц i о н а л ь н ы х ъ дробей, цричемъ Дробь определяется какъ относительное число (Verh?lt-Disszahl) и выводится, безъ аппелированiя къ измеримымъ и де-лвмымъ величинамъ, изъ разсмотренiя чистыхъ отношенiй по-Радка *). Тогда каждый отдельный элеменгь, который мы можемъ ИвдЬлить изъ этой совокупности, делить саму эту совокупность

*) Подробнее см. у Росселя, § 144 и ся., § 230.

81

на два класса 21 и $. Первый классъ содержитъ все числа, ко-торыя меньше а (т. е. которыя предшествуютъ ему въ си-стематическомъ порядке совокупности). Второй же содержитъ вей числа, «бблыпiя» а (т. е. слiдующiя за а). Разъ намъ дано какое-нибудь дробное число, то оно вместе съ гЬмъ содержитъ въ себе implicite это д4леше всей системы. Но нельзя обернуть, это положенiе, нельзя сказать, что каждому строго определенному и однозначному д'Ьленiю, которое можно произвести мысленно, соответствуешь и определенное рацiональное число. Если мы станемъ разсматривать какое-нибудь целое положительное число D, - не являющееся, однако, квадратомъ цЪлаго числа,-то можно найти такое положительное целое число Д, что Д2 < D < (Д-|-!)'-'• Если теперь мы соберемъ все числа, квадратъ которыхъ меньше D, въ одинъ классъ 31, а все числа, квадратъ которыхъ больше D, соберемъ въ другой классъ До, то всякое решительно рацiональное число принадлежишь къ одному изъ этихъ классовъ, такъ что произведенное здесь дiленiе всецiло нсчерпываетъ систему рацiо-нальныхъ чиселъ. Но, съ другой, стороны можно доказать, что въ этой системi нетъ ни одного элемента, который производить это разделенiе, т. е. нетъ элемента, который больше всехъ чиселъ класса 3t и меньше всехъ чиселъ класса $д. Такимъ образомъ, съ помощью логическаго условiя -которому, впрочемъ, можно найти безчисленное множество аналогичныхъ-мы достигли вполне яснаго и отчетливаго отношенiя между классами чиселъ, для передачи котораго мы не имеемъ въ определенномъ до сихъ поръ много-образiи ни одного числа. Это обстоятельство и побуждаетъ насъ ввести новый «иррацiональный» элементъ,-элементъ, функцiя и значенiе котораго состоитъ лишь въ томъ, что онъ представяяетъ логически эту определенность деленiя. При этой дедукпiи новое число не является, такимъ образомъ, произвольной выдумкой, и оно не вводится, какъ простой «знакъ». Оно является выраже-нiемъ сложной совокупности отношенiй, выведенныхъ до того съ логической строгостью. Оно съ самаго начала представляетъ определенное логическое относительное значенiе и можетъ быть снова сведено къ нему.

И со стороны философовъ, и со стороны матенатиковъ, не-

82

р&рсо выставлялось противъ дедекиндовской дедукпiи то возраже-gjej что она содержитъ въ себе некоторое недоказуемое требова-нiе. Здесь не доказывается для случая какого-нибудь полнаго д*-iенiя системы рацiональныхъ чиселъ существованiе одного, g тожько одного, числового элемента, производящаго это деленiе; оно лишь утверждается на основанiи некотораго всеобщаго постулата. Действительно, изложенiе Дедекинда, исходящее для пояененiя основной мысли изъ аналогiй геометрическаго характера, способно вызвать эти сомненiя. Непрерывность прямой дияiи, какъ показываетъ здесь Дедекиндъ, находить свое выраженiе въ томъ условiи, что если все точки прямой распадаются на два класса такимъ образомъ, что каждая точка перваго масса лежитъ налiшо отъ каждой точки второго класса, то су-щесiвуетъ од н а, и только одна, точка на прямой, производящая это деленiе всехъ точекъ, этотъ разрезъ прямой на два куска *).

Допущенiе этого свойства линiи Дедекиндъ самъ называетъ той аксiомой, благодаря которой только мы и приписываемъ линiи ея непрерывность, благодаря которой мы «вкладываемъ мысленно» въ нее непрерывность. «Если пространство имеетъ вообще реальное бытiе, то ему нетъ необходимости быть непрерывнымъ. Бевчисленныя его свойства оставались бы теми же самыми, если бы оно было разрывнымъ. И если бы мы знали наверно, что пространство не обладаете непрерывностью, то, при желанiи, намъ все-таки ничто не могло бы помешать сделать его непрерывнымъ черезъ мысленное заполненiе его пробеловъ. Это заполненiе дол-«ао было бы состоять въ созданiи новыхъ точекъ и осуществитесь бы сообразно упомянутому принципу» **).

При подобномъ противопоставленiи «ндеальнаго» и «реадьнаго», действительно, можетъ возникнуть мысль, что какая-нибудь логическая характеристика (Begriffsbestimmtheit), возникающая у насъ при яостроенiи числового царства, еще совсемъ не означа-

*) Dedekind. „Stetigkeit und irrationale Zahlen", 2-е изд., Braunschweig, 1892, етр. 9 и ел. **) Ibid., стр. 12.

83

етъ характеристики бытiя. Переходъ отъ идеальной систематической связи къ существовав!») новаго элемента заключа-етъ, невидимому, въ себе lis-ci?aois eig ?xxoyevoc. Въ действительно сти, однако, мы не имiемъ здесь неправомернаго перехода, ибо (по меньшей мере въ области чиселъ) дуалистическое дiленiе на идеальное и реальное бытiе, на «сущность» и « существовало». не имiетъ места. Если въ области пространства и можёо еще удержать подобное различiе между содержанiемъ свободныхъ гео-метрическихъ конструкцiй и тъ-мъ, что есть это содержанiе по природе вещей, то въ области чистаго числа оно (это различiе) теряеть всякiй смыслъ. Никакое число-целое, дробпое, ирра-цiональное-не «есть» что-нибудь иное, какъ то, чiшъ оно сдЪ-лано въ силу опред'Ьленныхъ дефиницiй. Поэтому требованiе, что если передъ нами находится полное «с'вченiе» рацiональной системы чиселъ, то «существуетъ» одно, и только одно, соотвйтствую-щее ему число, не можетъ имiть въ себе никакого вторичнаго разум-наго смысла. Что здесь дается вполне недвусмысленно-такъ это, прежде всего, определенность самого д е л е н i я: если, благодаря какому-нибудь логическому правилу, рацiональная система распадается на два класса 21 и 53, то мы можемъ съ полной достоверностью решать о каждомъ изъ элементовъ его, принадле-житъ ли онъ къ одному или къ другому классу, и показать при-томъ, что при этой альтернативе ни одинъ членъ не остается нераз-смотреннымъ, т. е. можемъ показать, что указываемое деленiе есть полное и исчерпывающее. Такимъ образомъ, само «сеченiе», какъ таковое, обладаетъ несомнненой логической «реальностью», которой не приходится вовсе придавать ему черезъ какой-то постулатъ. Но точно также совсемъ не произволен^ и порядокъ, въ которомъ следуютъ другъ за другомъ раздичныя сеченiя; онъ однозначно определяется первоначальнымъ понатiемъ о сеченiяхъ. Изъ двухъ сйче-нiй (31, 53) и (31', 33') мы называемъ первое бблыпимъ, чемъ втрое, т. е. говоримъ, что оно сл-Ьдуетъ за ниыъ, если можно указать такой элементъ а, который принадлежите классу 31 въ первомъ деленiи и классу 53'-во второмъ. Такимъ образомъ, мы имеемъ неизменный, применимый везде и всегда, критерiй, по которому мы можемъ заключать о последовательности отдельныхъ сеченiй.

84

Но вместе съ темъ созданный такимъ путемъ обравованiя прiобре-таютъ въ то же время и характеръ чиселъ. Видь число по своей первоначальной дефнницiи не обладаетъ какими-то специфи-чвски-матерiальными признаками; оно есть лишь наиболее общее выражен!е формы порядка и ряда вообще: повсюду, где можно указать на подобную форму, тамъ применимо и понятiе о числе. Се-ченiя «суть» числа, ибо они образуюiъ строго расчлененное много-образiе, въ которомъ существуетъ относительное расположенiе эле-ментовъ согласно некоторому логическому правилу.

Поэтому при созданiи новыхъ иррацiональныхъ элементовъ дело идетъ не о томъ, что где-нибудь «между» известными членами рацiональной системы чиселъ предполагается или требуется еще наличность, бытiе другихъ элементовъ,-такая постановка вопроса- нелепа и непонятна сама по себе,-но о томъ, что надъ первоначально данной совокупностью возвышается другая, более сложная система расположенныхъ въ виде ряда элементовъ. Эта система объемлетъ прежнюю совокупность и вбираетъ ее въ себя: ибо признакъ следованiя другъ за другомъ, данный для «УБчешй», оказывается непосредственно пригоднымъ и для самихъ рацiональныхъ чиселъ, которыя все можно начать разсматривать н представлять, какъ сеченiя. Такимъ образомъ, теперь получается ?ojtb? широкая точка зренiя, согласно которой определяется взаимное положение в с 4 х ъ членовъ какъ старой, такъ и новой системы. Легко видеть, что здесь сохраняется основная мысль порядковой теорiи. Теперь должно отказаться отъ мысли вывести число ивъ последовательнаго прибавлен iя единиц ъ и отъстремле-иiя найти въ этой операцiи собственную логическую сущность чиста. Подобная процедура содержитъ въ себе, правда, некоторый принципъ (ein Prinzip) выведенiя расположенныхъ по порядку совокупностей, но не определенный принципъ (das Prinzip) создавая подобныхъ совокупностей. Введенiе иррацiональныхъ чиселъ есть, въ конце концовъ, не что иное, какъ всеобщее вы-раженiе этой мысли: мы, благодаря этому, наделяемъ число всей свободой и просторомъ метода порядковаго образованiя вообще, не ограничивая его въ то же время какимъ - нибудь по содержанiю единичнымъ отношенiемъ, въ силу

85

котораго можно расположить различные члены въ опредiленномъ порядки сл'Ьдованiя. Логическое «бытiе» овдЬльнаго числа пе-рехоцитъ при этомъ все отчетливее и яснее въ его специфическую логическую функцiю: ибо если, согласно обычному воззрi-нiю, къ которому примыкаетъ вначале и дедукцiя Дедекинда, известное, само по себе данное и имеющееся на-лицо число «образу етъ» (bewirkt) въ то же время определенное сечете в'о всей систем*, то подъ конецъ, наоборотъ, именно это «образованiе» (Wirkung) становится необходимым* и «д остаточным ъ» условiемъ, чтобы говорить о «существованiи» нйкотораго числа. Нельзя вырвать элемента изъ связи отношенiя, ибо онъ самъ по себе не означаетъ ничего иного, помимо этой связи, выражая ее въ то же время въ сгущенной форме.

Общая мысль, на которой опирается образованiе чиседъ, по-лучаетъ новую форму, когда мы переходимъ отъ конечныхъ чиселъ къ области трансфинитныхъ чиселъ. И въ то же время здесь увеличиваются и специфически философскiя трудности, ибо стоящее здесь въ центре всего понятiе о безконечномъ относится столько же къ сфере философiи, какъ и къ сфере математики. Поэтому самъ Канторъ, создавъ своими капитальными изсл'Ьдованiями систему трансфинитныхъ чиселъ, вызвалъ въ то же время къ жизни все схоластическiя противор'Ьчiя потенцiально безконечнаго и актуально безконечнаго, инфинитнаго и иядефмнит-наго *). Здесь, повидимому, мы вынуждены окончательно перейти отъ вопроса о чистомъ познавательномъ значенiи понятiй къ проблемамъ абсолютнаго б ы т i я и его свойствъ. Понятiе о безконечномъ образуетъ, повидимому, пределъ, пограничный пунктъ логики, где она соприкасается съ другой, лежащей вне ея сферы, областью.

Однако, задачи, ведущiя къ создаюю трансфинитныхъ чиселъ, вытекаютъ съ принудительной необходимостью изъ чисто-математи-ческихъ предпосылокъ. Он* возникаютъ тогда, когда основное понятiе

*) Ср. особенно Cantor, „Zur Lehre vom Transfiniten Gesammelte Abhandlungen aus der „Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kritik', Halle a., S., 1890-

86

объ «эквивалентности», служившее уже критерiемъ для численнаго равенства конечныхъ количествъ, обобщается такимъ образомъ, что оно становится пригоднымъ для сравненiя безконечныхъ совокупностей. Две совокупности-независимо отъ того, ограниченно ли или неограниченно число ихъ элементовъ-называются эквивалентными яли «равномощными», если можно установить взаимное однозначное соответствие между членами ихъ. «Очевидно, при примененiи этого критерiя къ безконечнымъ количествами невозможно сопоставить ихъ элементы другъ съ другомъ поодиночке; здесь предполагается, что можно указать общее правило, согласно которому устанавливается всестороннее соотношенiе, обозримое однимъ разомъ. Такъ, мы уверены, что каждому четному числу 2п соответствуетъ нечетное чисдо 2п -)- 1 и что, если мы дадимъ n всевозможный целыя значенiя, то оба множества четныхъ и не-четныхъ чиселъ будутъ изображены исчерпывающимъ образомъ и приведены между собою въ однозначное соответствiе.

Но введенное такимъ образомъ понятiе о мощности подучаетъ бол^е спецiальный математическiй интересъ лишь тогда, когда оказывается, что оно само въ себе доступно дифференцированiю и градацiи. Если мы назовемъ все многообразiя, элементы кото-рыхъ можно привести въ однозначное соответствiе съ членами ряда натуральныхъ чиселъ,многообразiями первой мощности, то возникаетъ вопросъ, исчерпывается ли ими вся масса возмож-ныхъ многообразiй, или же возможно указать и такiя многообразiя, которыя иначе относятся къ разсматриваемому признаку. Этотъ послiднiй случай и имеетъ место, какъ доказано, въ действительности: если мы перейдемъ отъ ноложитедьныхъ целыхъ чиселъ къ совокупности рацiональныхъ чиселъ, то степень мощности полу-ченнаго многообразiя остается неизменной; то же самое можно сказать и о дальнейшемъ переходе отъ системы рацiональныхъ чиселъ къ системе алгебраическихъ чиседъ. Но иное происходить, когда мы присоединяемъ сюда всю массу трансцендентныхъ чиселъ и образуемъ такимъ образомъ многообразiе веществен-ныхъ чиселъ. Это многообраэiе представляетъ уже новую, возвышающуюся надъ первой, ступень, ибо, охватывая, съ одной стороны, совокупности первой степени мощности, оно, съ другой, вы-

87

ходить за границы ихъ, так* как* при попытки установления соотвiтствiя между элементами его и членами натуральнаго ряда чиселъ всегда остается беэконечное множество несвязанных* эле-ментовъ *). Вводя трансфинитные числа а1 и «0, просто закрй-пляютъ это характерное и кардинальное различiе. Эти новыя числа представляють лишь новую точку зр'Ьнiя, согласно которой можно расположить въ некотором* порядке безконечныя много-образiя.

Сложнее признаки раздичiя, возникающiе тогда, когда вслiдъ за трансфинитными количественными числами, функцiя которыхъ сводится исключительно къ указанiю степени мощности безконеч-ныхъ количествъ, мы устанавливаем* и соотв'Ьтственныя порядко-выя числа, которыя получаются, когда мы начинаем* сравнивать раэсматриваемыя количества не просто съ точки зрiшiя числа ихъ элементов*, но обращаем* в* то же время вниманiе на м е с т о п о-л о ж е н i е членов* в* многообразiи. Мы приписываем* двум* упорядоченным* многообразiямъ M и N **) одно и то же порядковое число или один* и тот* же «типъ порядка», если можно установить взаимное однозначное соотввтствiе между элементами обоих*, при условiи сохраненiя последовательности ихъ (элементов*). Это значить, что, если Е и P суть элементы M, a ei и Р1(-соответственные элементы N, то положенiе Е и F въ представляемой первым* многообразiемъ последовательности то же, что и положенiе ej и fj въ последовательности второго многообразiя. Иными словами, если въ первомъ многообразiи Е предшествует* F, то во вгоромъ ei должно предшествовать pj ***). Следовательно, въ то время, как* при сравненiи двух* многооб-разiй мы не обращаем* вниманiя на порядок* ихъ членов*, при установленiи ихъ типа порядка мы придерживаемся некотораго

*) Волiе подробно см. въ моей статьи „Kant und die moderne Mathematik« (Kant-Studien. XII, стр.21 и ел.); для всПтъ деталей я сошлюсь на приведенную тамъ литературу, а также особенно на собственное изло-женiе Кантора въ „Mathem. Annalen".

**) Объ опред*ленiи „упорядоченная иногообразiя" см. Kantor, „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre'', § 2.

***) Cantor, цит. соч. § 2. стр. 5.

88

определенная), даннаго заранее типа последовательности элементов*- Если теперь мы припишем* всем* ряцамъ, для которыхъ моаско, при соблюденiи указываемаго условiя, установить однозначное соответствiе съ ватуральнымъ рядомъ чиселъ, тип* порядка ш, to мы можем* затем*, присоединяя к* этимъ рядамъ въ ихъ совокупности по 1, 2 или 3 числа, образовать ряды типа w-J-l, ю-1-2, ш-(-3, а если же соединимъ два или несколько многооб-разiй типа ы, то создадимъ типы порядка 2со, 3<о . . . пш. Поступая такимъ образомъ и дальше, мы создадимъ типы w2, ш3... w" ,

О)

и даже w«», ш ... И, поступая такимъ образомъ, мы вводим* совсемъ не какiе-то произвольные символы, но обозяаченiя логическихъ признаков* и различiй, которые даны фактически и могут* быть недвусмысленно указаны въ области безконечныхъ многообразiи. Форма счисленiя и здесь есть лишь выраженiе необходимаго логическаго дифференцирован!я, получающего благодаря лишь этой форме свое ясное и совершенное выраженiе. При этой форме дедукцiи метафизическiя проблемы объ актуально безконечномъ отступают* совершенно на заднiй плапъ. Ибо при новыхъ числовых* образованiяхъ дело идет*-какъ было замечено съ полным* правом* *)-не столько о «безконечныхъ числах*», сколько о «чемъ-то безконечномъ», о создаваемых* нами для себя математических* выраженiяхъ, для того чтобы уловить и закрепить определенные отличительные признаки безконечныхъ многообразiй. Конфликты, возникающiе изъ соединенiя понятiй «безконечность» и «действительность», согласно этому, еще совс4мъ далеки от* нас* здесь, где мы все время вращаемся въ области чисто-идеальныхъ полаганiй. Эти конфликты могутъ быть представлены двоякимъ образомъ, въ зависимости отъ того, разсматриваются ли они со стороны объекта или субъекта, со стороны мiра или деятельности познающаго «я». Въ первомъ случай невозможность актуально безконечнаго доказывается тiмъ что предметы, на которые направленъ акт* счисленiя и которые он*, повидимому, должен* предполагать данными заранее,

*) См. Кеггу „System einer Theorie der Grenzbegriffe", Lpz. und Wien, 1890, стр. 68 и ел.

89

i

могутъ быть всегда даны лишь въ конечяомъ количеств*. Какой бы объемъ и широту мы ни приписывали абстрактному числу, но исчисляемое мы должны постоянно мыслить себе замкнутымъ въ опред'Ьленныхъ границахъ, тавъ какъ оно доступно намъ лишь путемъ опыта, переходящаго отъ одного предмета къ другому.

Если же разсматривать д'Ьло со стороны познающаго «а», то актуально безконечное должно быть исключено психологиче-скимъ синтезомъ самаго акта счисленiя: никакой «конечный умъ» не можетъ обозреть фактически и присоединить последовательно другь къ другу безконечное множество еди-ницъ.

Но по отношенiю къ «трансфинитному», пока мы не выходимъ изъ границъ его чисто-математическаго значенiя, оба эти воз-раженiя теряютъ свою силу. Здесь «матерiя> исчисленiя имеется въ безграничномъ количестве въ нашемъ распоряженiи, такъ какъ природа ея не эмпирическая, а логически-абстрактная. Здiсь соединяются не высказыванiя о вещахъ, но сужденiя о ч и-слахъ и числовыхъ понятiяхъ; такимъ образомъ, предполагаемая здесь «матерiя» должна мыслиться не какъ данная во вне, а какъ возникшая изъ свободной конструкцiи. Точно также здесь не требуется психологическое совершенiе особенныхъ, изо-лированныхъ актовъ представленiя и ихъ позднейшее суммированiе. Понятiе о трансфинитномъ подтверждаетъ скорее обратную мысль: оно изображаешь независимость чистаго логиче-скаго значенiя числа отъ «счета» въ обычномъ смысл* слова. Уже при обоснованiи иррацiояальнаго числа пришлось разсматривать безконечные классы чиселъ, которыя могли быть изображены и обозр'Ьны лишь путемъ общаго догическаго (begrifflich) правила въ совокупности своихъ элементовъ, а не пересчитаны почленно. Въ новой категории чиселъ это фундаментальное раз-личiе получаетъ свое наиболее общее признанiе. Канторъ намеренно отличаетъ «логическую функцiю», на которой основывается трансфинитное, отъ процедуры последовательнаго полагаяiя и со-единенiя единицъ. Число ш не есть результата подобнаго, постоянно возобновляемаго прибавленiя отдедьныхъ эдементовъ, но лишь выраженiе того, что вся неограниченная совокупность нату-

90

ральныхъ чиселъ, въ которой нетъ совсемъ «последняго члена», «дана въ своей натуральной последовательности согласно своему закону». «Можно даже мыслить себе новосозданное число ш, какъ пред*лъ, къ которому стремятся числа 1, 2, 3... v..., если понимать подъ этимъ лишь то, что ш должно быть пер-вымъ ггвлымъ числомъ, которое следуетъ за всеми числами v, т. е. которое можно назвать бблыпимъ, чемъ любое изъ чиселъ ... - Логическая функцiя, давшая намъ число ю, отличается, очевидно, отъ перваго творческаго принципа; я называю ее вто-рымъ творческимъ принципомъ вещественныхъ чиселъ и определяю этотъ последнiй ближе темъ, что - если дана какая-нибудь определенная серiя определенныхъ целыхъ вещественныхъ чиселъ, ига которыхъ нетъ наибольшаго числа, то на основанiи этого второго творческаго принципа создается новое число, которое мыслится, какъ преде лъ этихъ чиселъ, т. е. определяется, какъ ближайшее, большее всехъ ихъ число» *).

По существу этотъ «второй творческiй принципъ» лишь потому допустимъ и плодотворенъ, что онъ не представляеть совсемъ но-ваго прiема, а продолжаетъ лишь тенденцiю мысли, которая безусловно необходима для в с я к а г о логическаго обоснования числа. Изъ разсмотренiя свойствъ внешнихъ вещей и отдельныхъ психи-ческихъ содержанiо и актовъ представленiа оказалось, какъ мы видели, невозможнымъ построить и объяснить даже простой лишь рядъ «натуральныхъ» чиселъ въ его закономерномъ порядке. И здесь при образовали понятiя мы руководились не принципомъ прибавленiя единицы къ единице; оказалось, наоборотъ, что можно было получить дедукцiю отдельныхъ членовъ числового ряда и, следовательно, весь объемъ его лишь благодаря тому, что было признано тождественнымъ по содержанию одно и то же творческое отношенiе и сохранено при всехъ видоизме-ненiяхъ его спецiальнаго примененiя. Теперь эта мысль получаетъ лишь более строгое выраженiе. Подобно тому, какъ безконечное множество натуральныхъ чиселъ полагается, въ конце концовъ, черезъ одно понятiе, одинъ общезначимый принципъ, такъ

*) Cantor. „Grundlagen", § 11, стр. 83.

91

теперь содержанiе этого множества можно стянуть, собрать въ одно понятiе. Для математичеекаго мышленiя фундаментальное отношенiе, содержащее въ себ* совокупность членовъ, могущихъ возникнуть изъ него, становится, въ свою очередь, новымъ э л е-м е н т о м ъ, своего рода основной единицей, въ которой беретъ начало новая форма образованiя числа. Все безконечное много-образiе натуральныхъ чиселъ, поскольку оно разсматривается, какъ «данное согласно своему закону», т. е. какъ единица, становится исходяымъ пунктомъ для новой конструктивной постройки. Надъ первымъ порядкомъ возвышаются другiе, и бол*е сложные, порядки, лользугощiеся, какъ своимъ матерiаломъ, первымъ. Такимъ образомъ, снова обнаруживается передъ нами освобожденiе понятiя о числi отъ понятiя о коллективномъ множеств*.

Желать понять и изобразить «число» а, какъ аггрегатъ отд'Ьль-ныхъ единицъ, было бы нелепо и противоречиво. Но зато и здiсь сохраняетъ силу порядковая точка зр*нiя: ибо въ понятiи о новомъ полаганiи, сл*дующемъ за в с t м и элементами натураль-наго ряда чиселъ, н*тъ никакого противор*чiя, поскольку им*ютъ въ виду лишь то, чтобы обозреть и исчерпать логически въ од-номъ единственномъ понятiи всю эту совокупность.

Зд*сь можно вначал* оставить безъ разсмотрiнiя и проблему беэконечности времени, ибо смыслъ «слiдованiя» въ ряду совершенно независимъ отъ конкретнаго сл*дованiя во времени. Какъ, говоря о томъ, что три сл*дуетъ за двумя, мы им*емъ въ виду не преемственность событiй, а обозначаемъ такимъ образомъ лишь то логическое обстоятельство, что дефиниция трехъ пред-полагаетъ дефиницiю двухъ, такъ можно это сказать-и еще съ бблыпимъ правомъ-объ отношенiи между трансфинитными и конечными числами. Что число ш сл'Ьдуетъ поставить «поели» вс*хъ конечныхъ чиселъ натуральнаго ряда чиселъ, обозначаетъ, въ коиц* концовъ, лишь подобную логическую зависимость въ по-сл*довательности обоснованiя. Сужденiя, въ который входить трансфинитное, оказываются сложными высказыванiями, которыя путемъ анализа сводятся къ отношенiямъ безконечныхъ совокупностей «натуральныхъ» чиселъ. Въ этомъ смысл* между об*ими областями мы видимъ совершенную логическую непрерывность.

92

Новыя образованiя суть «числа» потому, во-первыгъ, что они обаадаютъ въ самихъ себ* вакономiрной формой ряда, во-вторыхъ, потому, что они подчиняются опредiленнымъ законамъ связи счета, которые аналогичны съ законами конечныхъ чиселъ, хотя и не совпадають съ ними во всiхъ пунктахъ *).

Такимъ образомъ, новыя числовыя образованiя--отрицательный, иррацiональныя и трансфинитныя числа-присоединяются къ числовой систем* не извн*, но вырастаютъ изъ непрерывнаго раскрытiя основной логической функцiи, оказавшейся действенной уже въ са-момъ начал* системы. Но совсъ-мъ новая принципiальная точка эр^шя получается, какъ только готовой и замкнутой въ себ* систем* веще-ственныхъ чиселъ противопоставляются системы мнимыхъ чиседъ. Теперь д4ло идетъ уже-согласно «метафизик* мнимыхъ величинъ», которую раэвидъ и обосновалъ Гауссъ-не о томъ, чтобы изобразить въ одномъ ряду самые общiе законы порядка, но о со-единенiи въ одно ц*лое множества рядовъ, изъ которыхъ каждый данъ по своему определенному творческому отношенiю. При этомъ переход* къ многом*рному многообразiю выступають логическiя проблемы, находящiя свое полное выраженiе лишь вн* границъ чистаго ученiя о числахъ, въ области общей геометрiи.

*) Подробнее объ аривметик* трансфинитныгь чиселъ см., напр, Рбссвля, §| 286, 294 и ел.

93

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.

Понятiе о пространств^ и геометрiя.

I.

Надъ всiамъ развитiемъ понятiя о числе и испытаннымъ имъ прогрессивнымъ логическимь нреобразованiемъ господствует!., какъ мы видели, одинъ общiй основной мотивъ, лишь постепенно полу-чавшiй все более определенное выраженiе. Значенiе понятiя о числе могло быть вполне постигнуто лишь тогца, когда мышленiе отучилось искать для каждаго иэъ своихъ образованiй нiкотораго соответствiя въ конкретной действительности. Въ своемъ наиболее общемъ значенiи число оказалось еложнымъ мысленнымъ образо-ванiемъ (Bestimmtheit), не имiющимъ никакого непосредствен наго чувственнаго отображенiя въ свойствахъ физическихъ предметовъ. Какъ ни необходимо при систематическомъ возведено! современ-наго анализа и алгебры проделать это развитiе, можетъ, однако, показаться, что оно представляете лишь искусственный, окольный путь мышденiя, а не первоначальный и натуральный принципъ научнаго образованiя понятiй. Въ чистомъ и совершенномъ видi втотъ принципъ выступаетъ, повидимому, только тамъ, где мышленiе не дъ-йствуетъ, какъ въ области чиселъ, по однимъ лишь само-чиннымъ законамъ, а ишетъ своего значенiя и опоры въ в о з-зрiнiи. Здесь только и заключается ръчпающiй моментъ для каждой логической теорiи. Известное логическое образованiе можетъ носить крайне утонченный характеръ, оно можетъ вполне правомерно, беэъ внутреннихъ противоречiй, вытекать изъ первоначаль-ныхъ мысленныхъ предпосылокъ,- но оно все-таки кажется пу-стымъ и лишеннымъ содержанiя, пока оно не углубляете и не обо-

94

гашаетъ нашего воззрiшiя. Но если твердо придерживаться этого вритврiя, то противоречiе основныхъ логических^ точекъ зр-Ьнiя выступаетъ передъ нами теперь въ новомъ свете. Тотъ образецъ, которому должна следовать теорiя, заключается отныне не въ алгебр*, но, въ более чистомъ и первоначальномъ виде, въ г е о м е-трiи. Истиннымъ образчикомъ должны служить не числовыя понятiя а пространственяыя понятiя въ силу своихъ непосред-ственныхъ отношенiй къ конкретной действительности.

Фактически, если обратиться къ историческимъ началамъ логики, ми вамечаемъ ярко выраженной эту вещественную связь. Понятiе (Begriff) и видъ (Gestalt) синонимичны: въ значенiи слова siBos они сливаются въ одно нераздельное единство. Чувственное многообразiе упорядочивается и расчленяется благодаря тому, что въ иемъ выделяются определенная пространственный формы, остаю-щiяся равными и одинаковыми при всехъ различiяхъ. Въ этихъ формахъ мы имеемъ прочную основную схему, благодаря которой мы находимъ въ коловращенiи чувственныхъ вещей некоторую совокупность неизменныхъ признаковъ, область «вЪчно сущагс». Такимъ образомъ, геометрическая форма, видъ, становится въ то же время выраженiемъ логическаго типа. Основная мысль родовой логики подкрепляется съ новой стороны: и на этотъ разъ она опирается не на ходячее мiровоззренiе и не на грамматическое строе-нiе языка, но на структуру основной математической науки. Подобно тому, какъ мы узнаемъ тождественность контуровъ видимой формы, независимо отъ того чувственнаго матерiала, въ кото-ромъ мы ее наблюдаемъ, или отъ того масштаба, который мы при-даемъ ей, такъ следуетъ и вообще установить высшiе роды, ко-торымъ сущее обязано своей одинаковой логической чеканкой, которымъ оно обязано постояннымъ возвращенiемъ отдельныхъ опред-Ьленныхъ чертъ.

Выступающая здесь связь имела значенiе не для одного только пониманiя логическихъ проблемъ; она имела решающее значенiе и въ научномъ развитiи самой геометрiи. Надъ синтетической геометрiей древности царить та основная концепцiя, которая находить свое всеобщее выраженiе въ формальной логике, «Роды» сущаго можно тогда лишь постичь во всей ихъ строгости, когда

95

они точнп отделены другь отъ друга и ограничены однимъ опре-деленнымъ, разъ навсегда установленнымъ кругомъ содержанiй. Такимъ образомъ, и различный геометрическiя формы составляютъ ограниченную область съ своими неизменными особенностями. Цель веденiя доказательства направлена прежде всего не столько на единство основяыхъ формъ, сколько на ихъ строгое разли-ченiе. Мнiте, будто математическому духу грековъ вообще осталась чуждой проблема изменен!я, было постепенно опровергнуто съ прогрессомъ изследованiя ясторическихъ источниковъ. Они не только постигли понятiе о числи во всей его строгости, такъ что въ него было введено и иррацiональное число; «Эфодiонъ» Архимеда показываете съ полной ясностью, какъ тамъ, где греческое мыга-ленiе шло свободно по пути методическихъ открытiй, оно глубоко прониклось понятiемъ о непрерывности и предвосхитило даже основной прiемъ анализа безконечно-малыхъ *). Но, именно, если помнить и иметь въ виду это, то становится еще заметнее раз-стоянiе, отделяющее здесь методъ открытiя отъ метода науч-наго изложен!я. Изложенiе находится, какъ можно заметить, подъ влiянiемъ опред'Ьленныхъ логическихъ теорiй, отъ котораго оно не можетъ вполне избавиться. Такъ какъ кругъ и эллипсъ, эллипсъ и парабола не принадлежать къ одному и тому же видимо-воззритедьному типу, то они, невидимому, и не могутъ быть въ строгомъ смысле подведены подъ единство одного понятiя. Поэтому, какъ ни близки яо содержанiю и какъ ни соответствуют^ другь другу геометрическiя с у ж д е н i я, которыя мы можемъ высказать относительно обiихъ областей, здесь дело идеть лишь о второстепенныхъ сходствахъ, а не о первичномъ логическомъ тождестве. Въ каждомъ случае приходится особеннымъ образомъ обосновывать оба вида высказыванiй: это обосяованiе получаетъ свое значенiе и принудительность лишь тогда, когда оно прiобрi-тается въ отдельности изъ разсматриваемаго каждый разъ особо понятiя и его специфической структуры. Каждое раэличiе въ по-

*) См. объ этомъ особенно у Мах Simou, »Geschichte der Mathematik im Altertum in Verbindung mit antiker Kulturgeschichte", Berlin, 1909, особенно стр. 256, 274 и ел., 373.

96

доасенiи и распорядке данвыхъ и искомыхъ линiй некоторой проблемы ставить доказательство передъ новымъ вопросомъ; каждому раздичiю въ вид* всей фигуры соответствуешь различiе въ пони-манiи и дедукцiи. Проблема, разрешаемая въ современной синте-iической геометрiи съ помощью одного общаго построенiя, распадается у Аполлонiя более, чемъ на восемьдесятъ, отличающихся другь отъ друга только положенiемъ случаевъ *). Единство кон-етруктивныхъ принциповъ геометрiи отступать на заднiй пданъ передъ особенностями ихъ отдельныхъ формъ, каждая изъ которыхъ должна быть разсматриваема какъ некоторая самодовлеющая, неразложимая далее, сущность.

Испытанное геометрiей въ новейшее время превращенiе начинается вместе съ уразуменiемъ основного философскаго недостатка этого метода. Не случайно то, что новая форма геометрiи, хотя уже и подготовленная во многихъ отношенiяхъ-въ особенности .работами Ферма-получаетъ свое окончательное выраже-нiе у Декарта. Реформа геометрiи могла быть проведена сполна лишь послi того, какъ былъ съ полной ясностью указанъ новый идеалъ метода. Но методъ Декарта повсюду iшЪетъ целью установить однозначный порядокъ и связь между всеми отдельными манифестациями мышленiя. Чистое познавательное значенiе некоторой мысли определяется не содержанiемъ ея, но той необходимостью, въ силу которой она выводится путемъ безупречной дедукцiи изъ посдеднихъ и основныхъ принциповъ. Поэтому первое правило рацiонадьнаго знанiя должно заключаться въ такомъ расчлененiи познанiй, чтобы они представляли одинъ единый, замкнутый въ себе рядъ, внутри котораго нетъ ни одного необоснованнаго перехода. Ни одинъ членъ не долженъ зд^сь выступать какъ совершенно новый элементъ,-онъ долженъ постепенно вытекать изъ предыдущихъ членовъ по некоторому определенному правилу. Все, что можетъ стать когда-нибудь пред-

•) См. объэтомъКвуе. „Die synthetische der Neuseit" (Jahresberichte der Deutschen 1802, стр. 343 и сл.).-См. также мое сочинен» „Leibmtza byste Wlssensch. Grundlagen«, Marburg, 1902, стр. 220 и ел.

97

метомъ человiческаго познанiя, подлежитъ этому условiю непрерывной связи, такъ что н^тъ ни одного, столь отдаленнаго вопроса, котораго мы не могли бы такимъ образомъ достигнуть, переходя отъ одного члена къ другому.

Эта простая мысль, на которой построень «Discours de la methode>, требуегъ и обусловливаете въ то же время новую всеобщую основную концепцiю геометрiи. Въ строгомъ смысле геометрическое иознанiе имеется лишь тамъ, гдi отдельные объекты изсл'вдуются не какъ разрозненные предметы, а где данъ прiемъ, по которому можно конструировать всю совокупность этихъ объектовъ. Но обычная синтетическая геометрiя не въ состоянiи удовлетворить именно этому требованiю, ибо ея предметъ это изолированный пространственный образъ, свойства котораго она постигаетъ въ непосредственномъ чувственномъ воззръ-нiи и систематическую свяаь котораго съ другими образами она никогда не можетъ вполне представить. Здесь-то и выступаетъ съ внутренней философской необходимостью мысль о дополненiи поня-тiя о пространстве понятiемъ о числи. Въ дневники Декарта, по которому можно проследить развитiе его основной мысли, мы находимъ характерное въ этомъ отношенiи выраженiе: «Въ своемъ теперешнемъ состоянiи науки замаскированы. Во всей своей красотi; онi лредстанутъ лишь тогда, когда снимутъ съ нихъ эту маску: кто можетъ обозреть цепь наук ъ, тому не труднее удержать ее въ своемъ духи, чiмъ p я д ъ ч и-селъ» *). Следовательно, цель, которую ставить себе философскiй методъ, заключается въ томъ, чтобы охватить все предметы, на которые онъ направляется съ той же строгостью систематической связи, что и совокупность чиселъ. Съ той точки зрiнiя, которой достигли точныя науки въ эпоху Декарта, въ числахъ имеется передъ нами единственное многообразие, которое выведено изъ некотораго самочиннаго начала по имманентнымъ логиче-скимъ законамъ и которое, следовательно, не можетъ заключать въ себе никакихъ принципiально неразрешенныхъ вопросовъ.

1359. 98

*) Descartes, „Oeuvres inedites, publiees parFoucher de Careil". Paris,

Требованiе представить пространственныя образованiя въ виде ^исловыхъ образованiйи дать имъ такимъ образомъ совершенное выраженiе-можетъ показаться страннымъ съ точки зрiнiя декартовой о н т о л ог i и; ведь въ этой последней «протяже-нiе» представляетъ истинную субстанцiю вещей, т. е. первичный, неразложимый дальше основной составъ бытiя. Но анализъ бытiя отступаете здесь на заднiй планъ передъ анализомъ познанiя. Мы можемъ довести пространство до полной и строгой п о-нятности лишь тогда, когда мы ему припишемъ тотъ же самый логическiй х ар актер ъ, который до того быиъ свой-ственъ исключительно числу. Число здесь разсматривается и применяется не просто какъ чисто-техническое орудiе измеренiя; его более глубокое значенiе заключается въ томъ, что въ немъ одномъ вполне удовлетворяется высшiй методическiй постулат ъ, делающiй какъ разъ всякое познанiе познанiемъ. Превращенiе пространственныхъ понятiй въ числовыя понятiя лоднимаетъ поэтому всю систему геометрическихъ изследованiй на новый умственный уровень. Субстанцiальныя понятiя о формахъ древней геометрiи, разрозненныя, разобщенныя, превращаются благодаря этому перенесенiю въ чистыя «понятiя о рядахъ», вы-текающiя другъ изъ друга по некоторому определенному основному принципу. Поэтому научное открытiе аналитической геометрiи опирается на настоящей философской «революцiи способа мышленiя». Традиционная логика казалась неприступной, пока она опиралась на методъ древней синтетической геометрiи, какъ на непосредственномъ подтвержденiи и вопдощенiи ея принциповъ; только преобразованiе содержанiя геометрiи создаетъ место для новой логики многообразiй, переходящей за границы силлогистики.

Эта связь выступаетъ еще рельефнее, если разсмотреть особенную форму аналитической геометрiи у Декарта. И здесь оказывается, что индивидуальная, на первый взглядъ, форма изло-женiя содержитъ въ себе въ действительности черты общаго зна-ченiя, которыя-хотя и въ другомъ виде-пробивались на протя-женiи всей философской исторiи геометрiи. Основное понятiе, изъ котораго исходить Декартъ въ своихъ разсужденiяхъ, это понятiе

99