Часть 4.

одвиженiи. Съ точки зрiнiя традицiонной теорiи уже здесь заключается проблема. Ибо истинно определенному логическому постиженiю кажется доступной лишь отдельная фигура, находящаяся передъ нами въ твердыхъ замкнутыхъ границахъ, между гЬмъ какъ переходъ одной фигуры въ другую грозить ввергнуть насъ снова въ хаосъ простого представленiя, ви чувственное царство «становденiя». На первый взглядъ можетъ; действительно, казаться, что съ признанiемъ понятiя о движенiи въ картезiанскую геометрiю вводится -вопреки ея собственной основной тенденцiи-элеменгь, не вполне поддающейся рацiонаяизацiи. Движенiе сейчасъ же приводить къ вопросу о движущемся «субъекте»; но подобный субъектъ разве не предполагает*, мате-рiальнаго тела, т. е. чисто-эмпирическаго момента? Но это сомнете исчезаетъ, какъ только мы станемъ детальнее анализировать функцiю, приписываемую здесь понятiю движенiя. Различный фигуры плоскихъ кривыхъ возникаютъ благодаря тому, что мы при-писываемъ некоторой определенной точке, разсматриваемой какъ основной элементъ, различные ряды поступательнаго движенiя по отношенiю къ некоторой вертикальной и некоторой горизонтальной оси. Изъ соединенiя этихъ видовъ движенiя можно, въ конце кон-цовъ, вывести вполне и однозначно различный линiи, являющiяся, такимъ образомъ, «путями» (траэкторiями) точекъ. Здесь, какъ мы ви-димъ, движенiе обозначаетъ не конкретный, но чисто-идеальный про-цессъ: оно-выраженiе того синтеза, благодаря которому связывается въ единство пространственнаго образованiя последовательное многообразие подоженiй, соединенныхъ какимъ-нибудь закономъ. Какъ прежде понятiе о ч и с л i, такъ теперь понятiе о двиясенiи является лишь примеромъ общаго понятiя о ряде. Каждая отдельная точка на плоскости определяется прежде всего своими разстоянiями отъ двухъ неподвижныхъ прямыхъ и благодаря этому можетъ занять неизменное систематическое положенiе въ совокупности возможныхъ положенiй. Полученныя такимъ образомъ особи -точки, характеризуемыя однозначными числовыми значенiями, не остаются попросту другъ подле друга, но сопоставляются между собой по некоторымъ сложнымъ правиламъ соответствiя, соединяясь такимъ образомъ въ единыя фигуры. Представленiе

100

о «движенiи» точекъ есть не что иное, какъ чувственный символъ «и втизсь югическихъ актовъ установленiя соответствiя. Геометрическая линiя, какъ объектъ воззренiя, превращается благодаря иону въ чистый p я д ъ числовыхъ значенiй, связанныхъ межи собою нiкоторымъ определеннымъ аналитическимъ правилом*. все наблюдаемый чувственно свойства, по которымъ мы от-лнчаемъ динiи другъ отъ друга-напримеръ, постоянство или изменчивость въ ихъ направленiи и кривизне-должны, поскольку имъ нужно придать точное логическое выраженiе, быть представлены, какъ особенности этихъ рядовъ числовыхъ значенiй.

Такимъ образомъ, понятiе о движенiи служить здесь не для целей конкретизацiи, более яснаго воззренiя, а для целей прогрессирующая рацiонализированiя: данная готовая форма разбивается для того, чтобы сызнова возникнуть изъ некотораго ариометиче-свито закона ряда. Какъ строго соблюдается это требованiе въ декартовой дедукцiи, обнаруживается особенно характерно въ томъ, что именно съ его помощью онъ определяете и отграничиваете саму область геометрiи. «Трансцендентный» кривыя устраняются Декартомъ, ибо при средствахъ анализа, находившихся въ его распоряженiи, требуемая логическая конструкция, дедущiя ивъ отношенiй чистыхъ числовыхъ правилъ, казалась невозможной. Эти кривыя, которыя по своему образованiю въ сфере воззренiя не представляютъ ничего исключительнаго, устраняются все-таки изъ геометрiи, такъ какъ оне не подходять подъ новое определенiе геометрическаго понятiя, благодаря которому это последнее приводится, подъ конецъ, къ некоторой совокупности эiементарныхъ ариеметическихъ операцiй.

Но это показываетъ въ то же время и на пределы картезiан-ской геометрiи, которыя должны были быть раздвинуты при даль-нiйшемъ историческомъ развитiи. Здесь былъ поставленъ новый идеалъ пониманiя; но этотъ идеалъ не могь еще захватить всей совокупности научныхъ вопросовъ, объединявшихся до тЬгь поръ подъ именемъ геометрiи. Для строгости образованiя понятiй пришлось исключить некоторыя важный и обширныя области геометрическаго знанiя. Путь логическаго прогресса былъ поатому теперь недвусмысленно цредуказанъ. Руководящей точкой

101

зренiя остается превращенiепространственныхъ п о н я т i и въ п он я-тiя о рядахъ, но система понятiй лослйдняго рода должна быть настолько углублена и утончена, чтобы можно было благодаря этому обозреть и овладеть не одной только ограниченной частью, но всей совокупностью возможяыхъ геометрическихъ фи-гуръ. Благодаря этому требованiю декартова геометрiя вын.уждена была съ внутренней необходимостью превратиться въ г е о м е т p i ю без ко н ечно-малыхъ. Здесь только выступаетъ въ совершен-номъ виде новая форма образованiя понятiй, раскрывшая намъ аналитическую геометрiю во всей ея всеобщности. Изслiдованiе начинается здесь опять-таки изъ разсмотрiнiя основного ряда X], х2 . . . х„,съ которымъ приведенъвъсоответствiе по некоторому определенному правилу другой рядъ значенiй ylf у2, • • • уп. Но еоответствiе устанавливается здесь не для обычныхъ алгебраиче-скихъ операцiй, какъ сложенiе и вычитанiе, умноженiе и дiленiе чиселъ и т. д.; оно охватываетъ всевозможный формы закономiр-ной зависимости величинъ вообще. Понятiя о числе наполняется и пропитывается общимъ понятiемъ о функцiи; и лишь благодаря совместному дiйствiю обоихъ понятiй оказывается возможнымъ изобразить съ логической полнотой всю геометрiю.

Но при переход* къ геометрiи безконечно-малыхъ высгупаетъ ш> то же время новый рiшающiй моментъ. Лишь изъ соединенiя безконечнаго многообразiя логическихъ соответствiй кривая выступаетъ, какъ логическая совокупность. Лишь методъ, которымъ пользуется анализъ безконечно-малыхъ, объясняетъ съ полной ясностью, почему эта безчисленность опредiляющихъ элементовъ не ведетъ къ уничтоженiю всякой определенности и почему возможно, наобороть, ихъ сызнова связать въ единство геометри-ческаго понятiя. Если въ аналитической геометрiи отдельная точка на плоскости определяется числовыми значенiями своихъ коорди-натъ х и у, то теперь, благодаря дифференцiальному уравнению f (Хi уi у')-О съ каждой подобной данной точкой связывается еще определенное направленiе поступательнаго движенiя, и задача заключается теперь уже въ томъ, чтобы построить изъ совокупности этихъ направленiй некоторую определенную кривую целикомъ, со всеми особенностями ея геометрическаго бытiя.

102

Интегрированiе уравнения обозначаетъ лишь синтезъ этихъ без-адсденныхъ характеристикъ направленiя въ одно единое связное образованiе. Точно также съ помощью дифференпiадьнагоуравненiя второго порядка f (хi уi у', у")=0 устанавливается соответствiе между любой точкой, ея направленiями поступанiя н определеннымъ ра-дiусомъ кривизны, причемъ возникаете сызнова задача вывести изъ совокупности полученныхъ такимъ об^азомъ значенiй кривизны форму самой кривой, какъ irkiaro *). Элементы, съ которыми имеють здесь дело и которыя обозначаются геометрически поня-тiями о направленiй и кривизне, суть, по своему наиболее общему выраженiю, не что иное, какъ простые принципы ряда, которые мы постигаемъ въ ихъ совокупности и ихъ закономерной

изменчивости.

Если мы представляемъ себе, напримеръ, въ смысле анализа безконечно-малыхъ пространство, проходимое движущимся теломъ, какъ интегралъ его скоростей, то употребляемый нами здесь прiемъ заключается въ томъ, что мы въ каждый моментъ приписываемъ происходящему фактически движенiю также определенный законъ поступанiя, которымъ долженъ определяться однозначно переходъ къ следующимъ точаамъ пространства. «Скорость» тела въ определенной точке его траэкторiи въ некоторый данный моментъ времени можно логически постичь и изобразить лишь путемъ сравне-нiя и взаимнаго сопоставления, съ одной стороны, ряда п p о с т p а н-ственныхъ значенiй, а, съ другой,-ряда временныхъ зваченiй. Скорость, разсматриваемая чисто-логически, не есть абсолютное свойство движущейся вещи, но просто выраже-нiе этого взаимнаго отношенiя зависимости. Мы принимаемъ, что тiло, если бы въ разсматриваемой точке прекратилось дЬйствiе на него всякой внешней силы, после этого продолжало бы двигаться равномерно, т. е. что по истеченiи известнаго времени tv, оно прошло бы пространство в\, по истеченiи времени t2=2t, прошло бы 2s, и т. д. Дело здесь идетъ не о томъ, чтобы изобразить логически действительное движенiе тела, указавши отдельныя

•) См. объ этомъ F. Klein., „Einleitung in die h?here Geometrie, Autographierte Vorlesung." Gotting., 1893, I, стр. 143 и ел.

103

места, которыя оно проходить, но о томъ, чтобы конструировать чисто-идеально его траэкторiю по различнымъ законамъ возможнаго соответствiя между точками пространства и моментами времени. Отдельный значенiя внутри этихъ разнообразныхъ рядовъ никогда не воспринимаются фактически, такъ какъ никогда реально не осуществляется равномерность движенiя. Но тймъ не менее мы мысленно нуждаемся въ этихъ гипотетическихъ значенiяхъ и рядахъ значенiй, чтобы вполне ясно представить себе все сложное цiяое, т. е. действительную траэкторiю. То же самое можно сказать и о томъ методе, которымъ пользуется анализъ безконечно-малыхъ въ области геометрiи. Здесь тоже кривая разсматривается прежде всего какъ определенный пор яд о къ точек ъ; но поря-докъ этотъ, представляющiй въ своей непосредственной данности очень запутанную форму ряда, расчленяется логически, будучи раз-сматриваемъ, какъ многообразiе простыхъ законовъ ряда,опре-деляющихъ взаимно другъ друга. Данная конкретная фигура разлагается на совокупность виртуалыiыхъ признаковъ, изменяющихся отъ точки къ точке. Геометрическая форма, казавшаяся съ точки зренiя прямого воззренiя, которую разделяете также элементарная синтетическая геометрiя, чемъ-то известнымъ и непосредственно постояннымъ, представляется теперь лишь косвеннымъ посредственнымъ результатомъ. Непосредственное обрааованiе распадается на многочисленные слои отвошенiй, расположенныхъ другъ надъ другомъ и образующихъ вместе, благодаря существующей между ними определенной форме зависимости одно целое. Но отсюда открывается намъ видъ на важную и обширную проблему. Построение кривой по совокупности ея касательныхъ, какъ это д-влаетъ геометрiя безконечно-малыхъ, есть лишь частный случай более общаго методологическаго прiема. Действительно, всякое математическое образованiе понятiй ставитъ себе двойную задачу: задачу анализа и разложенiя определенной связи отношений на элементарные типы отношенiй и задачу синтеза этихъ простыхъ типовъ и законовъ образованiя въ отношенiя высшаго порядка. Анализъ безконечно-малыхъ есть логически уже первое и совершенное вырааенiе этого направленiя изу-ченiя, ибо уже въ немъ математическое изследованiе переступаетъ

104

границы простого разсмотрйтя величинъ и обращается ко всеобщей теорiи функцiй. Связываемые здесь въ новыя единицы «элементы» не есть сами экстенсивныя величины, соединяющаяся, какъ «части», въ одно целое; они-формы функцiй, определяю-шiя взаимно другъ друга и соединяющiяся такимъ образомъ въ некоторую систему зависимостей. Но прежде, чiмъ разсмо-трiть подробнее это развитiе, придавшее современной математике ея настоящiй отпечатокъ, мы должны обратиться къ спецiальнымъ проблемамъ геометрiи, ибо въ философскихъ спорахъ о приме-няемомъ здесь методе ясно выступаютъ контуры новой и имеющей общее значенiе логической постановки вопроса.

II.

Новая геометрiя добилась строго принципиальной систем ати-вацiи своей области и истинной свободы и универсальности сво-йхъ методовъ лишь тогда, когда отъ геометрiи меры она перешла еъ геометрiи положен!я. По сравненiю съ аналитической геометрiей Декарта этотъ шагь можетъ показаться реакцiей. Воззренiе здесь снова, какъ въ древней синтетической геометрiи, вступаетъ въ свои права. Строго логическая, дедуктиввная форма науки о пространстве получается не тогда, когда мы по м%ре возможнаго ограничиваемъ компетенцiю воззренiя и зам-в-няемъ его чисто-алгебраическими операцiями, а тогда, когда мы его возстановляемъ во всемъ его объеме и самостоятельности. Такимъ образомъ, развитiе снова ведетъ насъ отъ понятiя о числе къ чистому понятiю о форме. Что здесь, въ философекомъ смысле, заключается новый мотивъ, это почувствовалъ и выразилъ еще самъ Декартъ. Въ методахъ Дезарга, заключающихъ въ себе первые начатки проективнаго разсмотренiя пространственныхъ обра-вовъ, онъ видитъ намекъ на некоторую всеобщую «метафизику геометрiи» *). Если проследить за этой «метафизикой» дальше, то

*) Ср. письмо Декарта къ Мерсенню отъ 9 янв. 1639 г. Correspon-dance, ed. Adam-Tannery II, стр. 490.

105

она, повядимому, непосредственно противоречить его собственнымъ тенденцiямъ и выводамъ. И, действительно, новая точка зр-Ьнiя лишь постепенно навоевала себе признанiе въ упорной борьбi противъ монополiи и единодержавiя анадитическихъ методовъ. Критика этихъ методовъ начинается уже у Лейбница и получаетъ свое первое завершенiе въ его обосновапiи анализа положенiя. Уже здесь онъ посылаетъ анализу у n p е к ъ, что онъ не въ со-стоянiи установить тотъ общiй принципъ порядка, которымъ онъ кичится, внутри самой той области, которую приходится упорядочить, но что онъ долженъ для этого обратиться къ совсђмъ чуждой и внешней по отяошенiю къ разсматриваемому предмету точке зрiнiя. Отнесенiе некоторой пространственной фигуры къ произвольно выбраннымъ координатнымъ осямъ вносить некоторый мо-ментъ субъективнаго произвола; абстрактное своеобразие разсма-триваемой формы устанавливается не на основанiи заоючающихся въ ней самой признаковъ, но выражается съ помощью случайнаго отношенiя, которое прияимаетъ различный видъ въ зависимости отъ выбранной системы координатъ. Получится ли изъ вс^хъ подобныхъ различныхъ уравненiй, которыя могутъ согласно этому методу быть употреблены для выраженiя пространственнаго образа, относительно простейшее выраженiе,-это зависитъ отъ индиви-дуальнаго искусства калькулятора, т. е. отъ момента, къ исклю-ченiю котораго стремился строгiй и однозначный ходъ метода. Чтобы устранить этотъ недостатокъ, надо найти методъ, который по логической строгости равнялся бы аналитическимъ методамъ, но который, съ другой стороны, достигалъ бы рацiональнаго углу-бленiя лишь въ границахъ геометрiи и средствами чистаго пространства. Осяовныя формы пространства должны быть сызнова постигнуты какъ то, что онъ1 есть «сами по себе», и должны быть поняты въ своей собственной закономерности безъ переложенiя ихъ на языкъ числовыхъ отношенiй *).

Но и изъ этой точки зренiя (и въ философскомъ отношенiй это самое важное и характерное) мы никоимъ образомъ не при-

*) Подробн-ве объ этомъ см. въ изложенiи лейбницовекаго наброска „Analysis situs" (въ „Leibnitz1 System in s. wiss. Grundlagen", гл. Ш).

106

ходимъ къ способу изследованiя древней элементарной геометрiи. Воввратъ къ воззрительному разсмотренiю фигуръ„лишь по внешности является здесь связующимъ членомъ, ибо содержанiе того что теперь понимается подъ геометрическимъ «воззрiнiемъ», углубилось и преобразовалось. Если, желая пршбръчгги въ фило-софсеомъ столкновенiи мненiй твердый критерiй, предпринять попытку разспросить научныхъ основоположниковъ новейшей геометрiи, что они понимаютъ подъ словомъ «воззрения», то мы уви-димъ прежде всего своеобразное двойственное отношеше. Въ то время, какъ Яковъ Штейнеръ, следуя въ этомъ отношенiй своему учителю и образцу Песталоцци, неутомимъ въ восхваленiяхъ ло-гическаго права и плодотворности чистаго воззренiя; въ то время, кааъ онъ и его ученики видятъ недостатокъ обыкновенной синтетической геометрiи именно въ томъ, что она утилизируетъ воввренiе лишь въ ограниченномъ смысле, а не во всей широте и полноте его значенiя *),-въ это время у Понселе, въ его основ-номъ произведенiи, мы наблюдаемъ совершенно противоположную логическую тенденцiю. Ценнымъ въ новомъ метопе признается то, что здесь можетъ вполне безпрепятственно развиваться геометрическое умозаключение; что при этомъ методе можно, не ствсняя себя рамками чувственяо-представляемаго, привлекать къ разсмотренiю также мнимые и безконечно удаленные элементы, которые не имеютъ никакого индивидуадьнаго геоме-трическаго «существованiя», и доводить такимъ образомъ дедукцiю до ея полной рацiональной законченности.

Но заключающееся здесь въ формулировке основной мысли противоречiе сглаживается, какъ только внимательнее проследить за раввитiемъ этой мысли у обеихъ сторонъ. Оказывается, что и тамъ, где геометрiя положенiя основывается исключительно на воззр-Ьнiи, нодъ этимъ понимается не узкое разсмотренiе отдельной чувственно данной фигуры, но свободное творчество фигуръ по некоторому определенному единому принципу. Различные чувственно возможные случаи какой-нибудь фигуры не разбираются

*) См., напримъръ, Reye, .Die synthetische Geometrie im Altertum und in der Neuzeit", стр. 347.

107

и изучаются, какъ въ греческой геометрiи, порознь, но весь ив. тересъ сосредоточиваться какъ разъ на томъ способе, какимъ они вытекаютъ одинъ изъ другого. Если же разсматривается отдiль-ная фигура, то она никогда не берется сама по себе, но какъ символъ всей связи, къ которой она принадлежитъ, и какъ выраженiе всей совокупности формъ, въ которыя она можетъ быть переведена при соблюдении опред'Ьленныхъ правилъ прео'бра-зованiя. Такимъ образомъ, «воззрйше» никогда не устремляется здесь на особенную фигуру съ ея случайными признаками; наоборотъ, оно направляется-въ смысле Якова Штейнера-на изследованiе зависимости другъ отъ друга геометрическихъ фигуръ *).

И здесь отдельные члены отступаютъ на заднiй планъ передъ соединяющимъ ихъ систематическимъ отногаенiемъ. Это выражается уже въ дедукцiи основныхъ образовъ, поскольку, напримiръ, отдельная прямая определяется не сама по себе, но какъ элемента пучка лучей, или плоскость определяется, какъ элементъ пучка плоскостей. Вообще, оказывается, что здесь вовсе не устранена

*) См. предисловiе къ сочиненiю Я. Штейнера „Systematische Entwicklung der Abh?ngigkeit geometrischer Gestalten voneinander", Berlin, 1832:

„Въ настоящемъ еочивенiи сделана попытка вскрыть ту органическую связь, которой соединены другъ съ другомъ самыя различныя явленiя въ мiр* пространственныхъ формъ. Суздествуетъ небольшое число крайне простыхъ основныхъ отношенiй, выражающихъ тотъ схематизмъ, по которому логически, безъ всякихъ трудностей, развивается вся остальная масса теоремъ. Если хорошо усвоить эти немногiя основныя отно-шенiя, то легко овлад-вваешь всймъ предметом1!; на м'Ьсто хаоса появляется порядокъ; замечаешь, какъ вс* части естественно переплетаются между собой и располагаются въ прекрасн-вйшемъ порядк* въ ряды и какъ родственные элементы соединяются въ хорошо отграниченныя группы. Вм4сгв съ гвмъ этимъ же путемъ мы овладЪваемъ элементами, изъ которыхъ исходитъ природа, чтобы придать съ возможной экономiей и просгЬйшимъ образомъ фигурамъ ихъ безчисленыыя свойства. Ни син-тетическiй, ни аналитически методъ не составляютъ здiсь сущности дЪла; сущность эта заключается въ томъ, что вскрывается зависимость фигуръ другъ отъ друга и тотъ способъ, какимъ развиваются ихъ свойства отъ проствйшихъ изъ ннхъ къ бол'Ье сложнымъ".

108

овная методическая точка зрЪнiя, приведшая къ откры-jjjfc аналитической геометрiи, но, наоборотъ, сохранена и утили-внрована сызнова и плодотворнымъ образомъ въ области пространства. Мотивъ числа устраненъ; но зато тЬмъ чище высту-паегь общiй мотивъ ряда. Мы видели, что у самого Декарта число было принято за основной принципъ не въ силу его соб-ственнаго значенiя, но потому, что оно разсматривалось, какъ чи-сгЬйшiй и совершеннейшiй типъ логически упорядоченнаго много-образiя. Казалось, что строгость логической связи можно перенести на пространство лишь черезъ посредство числа. Нетрудно понять, что здесь должна была возникнуть новая логическая задача, которая, однако, строго непрерывно связана съ результатами аналитической геометрiи. Ненарушимымъ требованiемъ остается систематическое выведенiе пространственныхъ образовъ изъ пер-вичныхъ основныхъ отношенiй, но для удовлетворенiи этого тре-бованiя теперь обращаются къ чисто-геометрическимъ средствамъ, яе прибегая къ окольному пути понятiй о мере и числе.

Начинающееся съ этого пункта развитiе до мельчайшихъ подробностей проникнуто логическими точками зренiя. Особенно заметно это у Понселе, указывавшего въ борьбе, которую ему пришлось вести за принципы своей науки, со все большей определенностью и строгостью на философскiя основы. Возражая критик*, выставленной парижской академiей, и въ особенности Коши, противъ философскихъ предпосылокъ его труда, онъ намеренно подчеркиваете, что въ этихъ предпосылкахъ д^ло идетъ не о вто-ростепенномъ пунктъ, но о собствеяномъ ядрi новой концепцiи. Онъ пользуется зд^сь зам'вчанiемъ Ньютона, что въ геометрiи методъ открытiя означаетъ все, такъ что если методъэтотъ найденъ и твердо установленъ, то результаты получатся сами собой, упадутъ, какъ зръ-лые плоды *). Ученiе о проективыхъ свой-ствахъ фигуръ не желаетъ поэтому быть простымъ матерiальнымъ расширенiемъ области геометрiи, око ставить себе задачей ввести

•) См. Poncelet „Traite des ргоргiеЧёв desflgures», 2-е изд. Paris, 1865, 1 стр. 356, II, стр. 357.

109

новый принципъ изслiдованiя и открытiя *). Первымъ и необхо-димымъ шагомъ является здесь то, чтобы освободить геометрическое мышленiе, вырвать его изъ узкаго кругозора чувственнаго разсмотренiя съ его боязливымъ ц'Ьплянiемъ за особенности данной индивидуальной фигуры. Декартъ упрекалъ древнюю математику въ томъ, что она не можетъ увеличить остроты духа, не утомляя въ то же время силы воображенiя своимъ прил'Ьплетемъ къ чувственнымъ фигурамъ. Понселе вполне присоединяется къ этому упреку. Истинный синтетическiй методъ не можетъ уже вернуться къ этому прiему изслiдованiя. Онъ тогда лишь сравняется съ аналитическими методами, если достигнетъ той же универсальной общности и широты, что и они, но достигнетъ этого, исходя изъ чисто-геоыетрическихъ предаосылокъ. Мы рiшимъ эту двойную задачу, если станемъ разсматривать изучаемую нами частную фигуру не какъ конкретный предметъ изслЪдованiя, но какъ исходный п у н к т ъ, изъ котораго съ помощью определенная правила в а-рiированiя мы выводимъ дедуктивно целую систему возмож-ныхъ фигуръ. Основныя отношенiя, которыя характеризуютъ эту систему и которыя должны быть одинаково удовлетворены въ каждой отдельной фигуре, образуюсь лишь въ своей совокупности на-стоящiй геометрическiй объектъ. Геометръ разсматриваетъ не свойства данной фигуры, но сiть соотношенiй, въ которой она находится съ другими родственными образованiями. Мы говоримъ, что определенная пространственная форма соответственно соотносительна съ другой, если ее можно вывести изъ последней путемъ непрерывнаго преобразованiя одного или н'Ьсколькихъ изъ ея эле-ментовъ положенiя. Но при этомъ остается въ силе предпосылка, что извiiстныя пространственныя основныя отношенiя, являющiяся

*) „La doctrine des proprietes projectives, celle de la perspective-relief, le principe ou Ja loi de continuite, entin la theorie des polaires reci-proques et la theorie des transversales etendue aus lignes et surfaces cour-bes, ne forment pas plus simplement des classes plus ou moins etendnes de problenies et de theoremes, mais constituent proprement, pour la Geometrie pure des priucipes, des raethodes d'investigation et d'invention, des moyens d'extension et d'exposition, dans le genre de ceux qn'on a noinme princi-pes d'exhaustion, methode des inttniment petits etc." (цит. соч. II, стр. 5).

110

\

общими условiями системы, остаются неизменными. Сила и значенiе геометрическаго доказательства основываются всегда да этихъ инварi антахъ разсматриваемой совокупности, а не на томъ, что свойственно отдельнымъ членамъ, какъ таковымъ. Эту именно концепцiю Понселе философскимъ образомъ называетъ принципомъ непрерывности, а впоследствiи, строже и точнее, принципомъ постоянства математиче-скихъ отношен! и. Единственное требованiе, изъ котораго мы нсходимъ, состоитъ, выраженное абстрактно, въ томъ, что возможно сохранить значенiе извiiстныхъ, разъ навсегда опред'вленныхъ от-ношенiй посреди измененiй въ содержанiи отдiльныхъ членовъ отношенiя. Благодаря этому мы начинаемъ разсматривать изучаемую геометрически фигуру въ общемъ положенiи, т. е. разсматри-ваемъ ее съ самаго начала не во вс%хъ ея отдельныхъ частяхъ, но внутри определенной области, въ которой мы можемъ изменять, согласно условiямъ системы, те или иныя отдельныя ея части. Если, начиная съ некотораго начальнаго пункта, эти измененiя протекаютъ непрерывно, то можно будетъ перенести найденный нами на какой-нибудь фигуре систематически особенности на всякую следующую «фазу>, такъ что, въ конце концовъ, можно будетъ распространить свойства, замеченный на отдельномъ случае, на всю совокупность следующихъ одинъ за другимъ членовъ.

Въ этихъ разсужденiяхъ Понселе ясно обнаруживается стре-мденiе къ точному и всеобщему выраженiю новой идеи. Онъ особенно озабоченъ темъ, чтобы не смешали положенный имъ въ основ* методъ перенесенiя отношенiй съ простымъ з а к л ю ч е-нiемъ по аналогiи или индукцiи. Индукцiя идетъ отъ частнаго къ общему; она старается гипотетически связать въ единую целокуiшость множество отдельныхъ фактовъ, которые она наблюдала именно, какъ отдельные, и значить безъ необходимой связи. Здесь же законъ связи выводится не впоследствiи; онъ данъ уже первоначально въ основе, такъ что благодаря ему только и становится определеннымъ въ своемъ значенiи отдельный случай. Условiя, которымъ подчинена вся совокупность, установлены заранее, и спецификацiя получается лишь потому, что къ этимъ условiямъ, при сохраненiи ихъ значенiя, присоединяется

111

еще новый факторъ въ качеств* ограничивающаго момента. Мы съ самаго начала разсматриваемъ метрическiя и проективныя от-ношенiя не въ томъ вид*, въ кавомъ они матерiализованы въ ка~ кой-нибудь особой фигур*, а беремъ ихъ нисколько неопред*лен-ными, такъ что остается свободное м*сто для ихъ развитiя *).

На первый взглядъ можетъ показаться страннымъ и, пара-доксальнымъ, что эта неопределенность исходнаго пункта можетъ служить основанiемъ для плодотворности новаго метода и для его превосходства надъ древними методами. Но вскор* оказьг-вается, что высказанная зд*сь мысль затемнена неточностями и двусмысленностями традицiоннаго логическаго школьяаго язык а, въ которомъ нестрого различаютъ между значенiемъ понятiя и значенiемъ представленiя и благодаря которому поэтому всегда угрожаегь опасность, что тождественный и строго однозначный смыслъ какого-нибудь отвлеченнаго правила расплывется въ аб-страктномъ и схематичномъ родовомъ образ*. То, что съ точки зрiшiя представленiя кажется неопред*леннымъ-ибо оно отодвигаетъ на заднiй планъ индивидуальный черты образ а-то, съ точки зр*нiя понятiя, является основанiемъ для всякаго точ-наго и строгаго опред*ленiя, если только въ немъ содержится общее правило для образованiя единичнаго случая. Между «все-общимъ» и «частнымъ» зд*сь фактически наблюдается то самое отношенiе, которое характеризуетъ всякое подлинное математическое образованiе понятiя: въ общемъ случай не просто отвлекаются отъ особыхъ признаковъ; въ немъ сохраняется возможность вывести и обозр*ть ихъ въ ихъ конкретной цъмокупности изъ одного принципа. Проективное изсл*дованiе какого-нибудь образа исходить, какъ подчеркиваете Понселе, не изъ разсмотрiнiя про-стыхъ свойства вида, но свойствъ рода. Но слово «родъ» озна' чаетъ зд*сь просто связь условiй, въ которомъ стоить всякая отдельная фигура, а не разрозненную совокупность признаковъ, повторяющихся въ ней. Умозаключенiе зд*сь ведется отъ свойствъ связи къ свойствамъ связаннаго, отъ принциповъ ряда къ чле-намъ ряда.

*) „Traite des proprietes projectives", стр. XIII и ел., XXI и ел.

112

.Эта особенность метода выступаетъ съ особенной ясностью въ его основномъ прiем*. Важнейшая форма соотношенiя, которой связываются между собою различные образы, заключается въ прiем'Ь процированiя. Главная задача заключается въ извлеченiи rtrb «метрическихъ» и »дескриптивныхъ» моментовъ фигуры, которые остаются неизм*нимыми въ ея проекцiи. Bei вытекающiя такимъ образомъ другь изъ друга фигуры разсматриваются при втомъ, какъ одно неделимое целое; въ смысле чистой геометрiи положенiя он-Ь представляют^ различный выраженiя одного и того же понятiя. Зд*сь можно непосредственно усмотреть, что принадлежность къ одному понятiю зависитъ не отъ какихъ-ни-будь родовыхъ сходствъ отд*льныхъ экземпляровъ, но предпо-лагаетъ только определенный принципъ преобразованiя, который сохраняется, какъ тождественный. Соединяемыя нами такимъ спо-собомъ въ одну «группу» фигуры могутъ принадлежать по своей чувственно-воззрительной структур* къ совершенно различному «типу>; он* могутъ даже не принадлежать ни къ какому подобному типу, поскольку имъ вообще не соответствуешь геометрическое существованiе въ смысл* прямой доступностивоззр*нiю. Зд*сь сказывается во всемъ своемъ общемъ значенiи новый кри-терiй геометрическаго образованiя понятiй, ибо на этомъ критерiи основывается въ конц*-концовъ допущенiе мнимыхъ вели-чинъ въ геометрiи. Вообще можно различать вм*ст* съ Понселе три различный основныя формы метода «соотношенiя». Мы можемъ перевести определенную, выбранную нами за исходный пунктъ, фигуру въ другую путемъ сохраненiя ея отдiльныхъ частей и ихъ взаимнаго распорядка, такъ что различiе здесь заключается единственно въ абсолютной величин* опред*дяющихъ мементовъ. Въ этомъ случа* мы будемъ говорить о прямомъ соотношенiи; въ томъ же случа*, когда порядокъ отд*льныхъ частей въ выведенной фигур* изм*ненъ или перевернуть, мы будемъ говорить о «косвенномъ» соотношенiи. Но методически наибол*е интересный и важный случай это тотъ, когда при пре-образованiи фигуры изв*стные элементы, бывшiе въ первоначальной фигур* реальными составными частями, совершенно исчезаютъ въ продолженiе процесса. Разсмотримъ кругъ и пересекающую

8 ИЗ

его прямую; путемъ непрерывныхъ измiненiй мы можемъ такъ преобразовать эту геометрическую систему, что подъ конецъ прямая у надеть внi круга, и такимъ образомъ точки пересЂченiя и соответствующая имъ направленiя радiусовъ будутъ выражаться мнимыми значеяiями. Соотнося между собой выведенную фигуру съ первоначальной, мы соединяемъ теперь не фактически наличные элементы, а лишь мысленные: мы имiемъ здесь случай чисто-идеальнаго соотношенiя.

Но именно безъ этихъ идеальныхъ соотношенiй нельзя обойтись, если требуется изъ геометрiи сделать одно единое и замкнутое ц t л о е. Недостатокъ древнихъ методовъ заключается какъ разъ въ томъ, что они отказываются отъ этого основного логиче-скаго средства и разсматриваютъ лишь величины, имiющiя абсолютное и притомъ физическое существованiе. Новая точка зрiшiя разрываетъ съ этимъ ограниченнымъ методомъ, ибо она заранее уже принимаетъ за подлинный объектъ геометрическаго иэсл'Ьдованiя не отдельную фигуру въ ея чувственномъ существо-ванiи, но различные способы зависимости, могущiе существовать между фигурами. Но съ этой точки зрiнiя нъть по существу раз-личiй между реальными и мнимыми элементами: ведь и послiднiе выражаютъ вполне истинныя и имiющiя силу геометрическiя отно-шенiя. То, что при извђстныхъ условiяхъ некоторые элементы какой-нибудь фигуры отпадаютъ, лерестаютъ существовать, уже само по себе не есть какое-то голое отрицательное познанiе; здесь содержится плодотворная и существенно положительная геометрическая концепцiя. Но кроме того мнимые промежуточные члены повсюду помогаютъ намъ вскрывать связь реальныхъ геометря-ческихъ фигуръ, которыя безъ посредства ихъ являлись бы налъ чiмъ-то разнороднымъ, не имiющимъ никакого отношенiя другъ къ другу. Эта идеальная сила логической связи даетъ имъ полное право на «бытiе» въ логически-геометрическомъ смысли. Мнимая величина существуетъ, поскольку она исполняетъ необходимую логическую функцiю въ систем* геометрическихъ положенiй. Единственная «действительность», которую мы вправе ожидать и требовать отъ нея, сводится къ заключающейся въ ней сумм* истинъ, т. е. къ суммевыражаемыхъ ею положенiй и суясде-

114

. Зд*сь, въ области геометрiи, повторяется тотъ самый про-цессъ, который мы уже видели въ области чиселъ: изъ сохраненiя давiстныхъ отношенiй возникаютъ новые «элементы», которые по существу однородны съ первоначальными, ибо, въ конце концовъ, я лоследнiе основываются и сводятся лишь къ истин* извiстныхъ отвошенiй.

Если мы будемъ разсматривать-беря простой примiръ изъ обыкновенной геометрiи-два круга на плоскости, то въ случай яхь пересечения прямая, соединяющая точки ихъ пересеченiя, является новымъ элементомъ со своими особенными свойствами. Точки этой прямой-«общей хорды» обоихъ круговъ-отмечаются твмъ, что проведенныя изъ нихъ къ обоимъ кругамъ касательный иiйютъ одинаковую длину. Но можно проследить и выразить въ абстрактныхъ терминахъ полученное такимъ образомъ геометрическое отношенiе и въ томъ случае, когда круги перестаютъ пе-ресiжаться, а расположены совершенно отдельно. И въ этомъ случае постоянно существуетъ некоторая прямая-такъ называемая «радикальная ось» обоихъ круговъ-которая удовлетворяетъ указанному выше характеристичному условiю и которую можно въ етомъ смысле разсматривать, какъ идеальную общую хорду обоихъ круговъ, на которой расположены обе «мнимыя> точки пересiченiя. Здесь, такимъ образомъ, определенный, данный въ воззренiи элементъ выражается сперва съ помощью некоторыхъ принадлежащихъ ему абстрактныхъ свойствъ, которыя и заме-няютъ его целикомъ, а затемъ сохраняютъ этотъ логическiй n p и-знакъ, после того какъ исчезъ тотъ субстратъ, на которомъ онъ впервые былъ открытъ и обнаруженъ. Мы исходимъ изъ того, что сохраняемъ первоначальное отношенiе и создаемъ путемъ оцределенiя въ «мнимыхъ» точкахъ т* «субъекты», о которыхъ высказывается это отношенiе. Плодотворность этого метода заключается въ томъ, что благодаря ему создается систематическая связь между фигурами, благодаря которой можно переносить поло-женiя, найденный и доказанный на одной фигуре, на другую, на которой они не видны непосредственнымъ образомъ *).

*) Такъ, напримiръ, можно легко доказать, что, если на плоскости

115

На-ряду съ частными матерiальными отношенiямн есть еще прежде всего известный общiя формальныя свойства, соеди-няющiя «несобственные» элементы, созцаваемые геометрiей, съ <собственными» точками. Действительно, Понселе, исходя изъ чисто гаометрическихъ точекъ зр^шя, ввелъ и обосновалъ принципъ «постоянства формальныхъ законовъ» еще до того, какъ имъ стали пользоваться въ алгебрi для оправданiя употре-бленiя обобщенныхъ понятiй о числахъ. Безконечно удаленная точка, въ которой, согласно проективной точки зрiшiя, nepect-каются двi параллельныя прямыя, и безконечно удаленная прямая, по которой пересекаются двi параллельныя плоскости, это логически правильно образованныя понятiя, не потому лишь, что они представляют/в концентрированныя высказывания объ опредi-ленныхъ отношенiяхъ положенiя, но и потому, главнымъ образомъ, что можно показать, что и эти новые элементы вполн'Ь подчиняются геометрическимъ аксiомамъ, поскольку д'Ьло не идетъ объ отношенiяхъ миры. Этимъ дается верховная янстанцiя истины, съ которой должны одинаково сообразоваться какъ «?обствен-, ныя», такъ и «несобственный» точки. Новые элементы-какъ при случай рiзко и отчетливо формулировалъ свою мысль Понселе- парадоксальны по своему объекту, но гвмъ не менйе вполнЪ логичны по своей структурi, поскольку они приводятъ къ строгимъ и безспорнымъ истинамъ *).

даны три какiе-нибудь круга и для каждой пары ихъ построены „ра-дикальныя" оси, то получившiяся такимъ образомъ три прямыя nepeci-каются въ одной точкi; но отсюда, въ свою очередь, вытекаетъ то же самое въ частномъ случай трехъ общихъ хордъ действительно пересз-кающихся круговъ. Такимъ образомъ, реальныя свойства реально общнхъ хордъ открываются и доказываются, исходя изъ свойствъ „идеальныхъ" хордъ. См. Charles „Apercu historique sur l'origine et le developpement des metbodes en Geometrie", 2-е изд., Paris, 1875, стр. 205 и ел. См. также Hankel, »Die Elemente der projektivistischen Geometrie", Lpz., 1875, стр. 7 и ел.

*) Обо всеыъ этомъ см. особенно Poncelet, „Considerations philoso-phiques et techniques sur le principe de continnite dans les lois geomet-riques", § III („Applications d'Analyse et de Geometrie", Paris, 1864, стр. 336 и ел.) и „Traite des proprietes projectives", I, стр. XI и ел., 66 и ел. - Что касается обозначенiя принципа непрерывности прннципомъ „постоянства

116

ВмйсгЬ съ развитiемъ проективной геометрiи - въ детали котораго мы не можемъ здiсь вдаваться-стала получать все бол^е точное выраженiе основная философская идея, на которой она опирается. ЧЪмъ бол'Ье удавалось построить геометрiю ноложенiяна основ* самостоятельныхъ предпосылокъ, тiмъ чаще выступалъ всеобщiй логическiй характеръ и логическое зна-ченiе новаго метода. Вся система проективной геометрiи строго выводится изъ простыхъ понятiй о точи* и прямой, причемъ исходнымъ нунктомъ является разсмотрiнiе гармоническихъ паръ точекъ. При этомъ въ первой стадiи развитiя проективной геометрiи гармоническое положенiе четырехъ точекъ на прямой объясняется еще исключительно съ помощью понятiя о двойномъ отношенiи: точки а, Ь, с, d образуютъ геометрическiй рядъ, когда отношенiе отрезка ab къ отрезку Ъс равно отношенiю отрiзка ad къ отрезку cd. Но, очевидно, при этомъ предполагается уже измйреше и сравненiе опред'iленных'ь раз-стоянiй, т. е. объясненiе это по природ* своей метрическаго характера. Если же его можно все-таки положить въ основу геометрiи положенiя, то потому лишь, что оно представляетъ отношенiе миры, остающееся неизмъ'ннымъ при всякомъ проективномъ преобразованiи данной фигуры. Но все-таки понятiе о мъ'р'Б здiсь не устранено, а включено, какъ самостоятельная составная

часть, въ основы.

Вполн'Ь независимымъ и строго единымъ становится изложенiе проективной геометрiи лишь тогда, когда снята и эта последняя преграда, когда, следовательно, получается чисто-дескриптивнымъ путемъ то свойство, которое метрически представляется въ вид* двойного отношенiя. Основной прiемъ зд*сь дается изв'Ъстнымъ штаудтовскимъ построенiемъ четырехсторонника. Мы находимъ для трехъ данныхъ коллинеарныхъ точекъ а, Ь, с, четвертую гармоническую точку d гЪмъ, что строимъ четырехсторонникъ, въ которомъ двЪ противоположный стороны проходятъ черезъ а,

геометрическихъ отношенiй",см.„Applications", стр. 319;„Traite", II, стр. 357; та же идея высказана въ иной формЪ Шалемъ въ его „Principe des re-lations contingentes" („AperQu historique", стр. 204 и ел., 357 и ел., 368 и ел.).

117

одна дiагональ черезъ b и две другiя протявоположныя стороны черезъ с: точка пересiiченiя второй дiагонали четырехсторонника съ прямой а, Ь, с есть искомая точка d, которая определяется съ помощью этого метода однозначно, такъ какъ можно доказать, что данное построенiе постоянно приводить къ одному и тому же результату, какой бы четырехсторонникъ мы ни положили въ основу, лишь бы онъ удовлетворялъ указаннымъ условiямъ *). Благодаря этому получается, безъ всякаго примiшенiя вспомогательвыхъ метрическихъ средствъ, путемъ прiема, опирающагося исключительно на проведенiи прямыхъ линiй, некоторое основное отношенiе лоло-женiя. Такимъ образомъ, логическiй идеалъ чисто-проективнаго по-строенiя геометрiи приводится къ более простому условiю: этотъ идеалъ былъ бы удовлетворен^ если бы можно было показать, что возможно съ помощью одного этого перваго основного отно-шенiя и его повторнаго примiненiя вывести всi$ точки пространства и придать имъ определенный однозначный порядокъ, д*-лающiй изъ нихъ члены некоторой систематической совокупности.

Доказательство этому было дано действительно въ той форме, которую проективная геометрiя получила у Кэли и Клейна. Здесь мы имеемъ всеобщiй методъ, съ помощью котораго, путемъ по-следовательныхъ гармоническихъ построенiй, мы конструируемъ все точки пространства, придаемъ имъопределенныя числовыя значенiя и такимъ образомъ указываемъ имъ известное по-ложенiе въ не которомъ общемъ порядке ряда. Если мы возь-мемъ три точки на некоторой прямой а, Ь, с, которымъ мы придадимъ соответственно значенiя 0, 1, оо, то съ помощью штаудтовскаго по-строенiя мы найдемъ четвертую гармоническую точку, которой припи-шемъ значенiе 2, затемъ мы найдемъ новую точку, образующую съ точками 1, 2, оо геометрическiй рядъ, и припишемъ ей значенiе 3; поступая такимъ образомъ, мы лолучимъ безконечное многообразiе простыхъ определений положенiя, каждое изъ которыхъ состоять въ отношенiи однозначнаго соответствiя съ некоторымъ целымъ чи-

*) Ср. Standt, „Geometrie der Lage", N?rnberg, 1847, §8, стр. 43 и ел.; Reye, „Die Geometrie der Lage", 4-е изд. Lpz., 1899, I, стр. 5.

118

сломъ. Это многообразiе можно затемъ дополнить въ томъ смысле что оно становится повсюду густымъ многообразiемъ, въ которомъ каадый элементъ соответствуете определенному рацiональному, положительному или отрицательному, числу. Переходъ отсюда къ точечной непрерывности совершается съ помощью дальней-шаго мысленнаго требованiя, аналогичнаго постулату, благодаря которому Дедекиндъ вводитъ въ своей"теорiи иррацiональныя числа, какъ «сеченiя». Такимъ образомъ, мы получаемъ полную скалу, на основе которой можно развить единую проективную метрику, где определены чисто-геометрически эдементарныя дiйствiя сложенiя и вычитанiя, умноженiя и деленiя отрезковъ. Нiтъ никакой принципiальной трудности въ переходе къ образо-ванiямъ высшихъ измеренiй; для этого мы распространяемъ из-сдедованiе, ограничивавшееся первоначально точками одной прямой, на две или несколько прямыхъ *).

Проведете этой идеи имеетъ главнымъ образомъ спецiально-математическiй интересъ; но сверхъ того выступаетъ и всеобщiй философскiй результата, на который указываютъ уже начала новейшей геометрiи. Здесь окончательно пространственныя поня-тiя введены въ схему чистыхъ понятiй о рядахъ. Обозначенiе отдедьныхъ пространственяыхъ точекъ соответственными числовыми вначенiями можетъ, на первыхъ порахъ, вызвать мысль, будто здесь применяются понятiя о величинахъ, понятiя о дли-нахъ и разстоянiяхъ. Въ действительности же число берется здесь лишь въ своемъ наиболее всеобщемъ логическомъ смысле, не какъ выраженiе измеренiя и сравненiя величинъ, но какъ выраженiе порядка въ последованiи. Дело идетъ здесь не о сложенiи или разделены дiинъ отрезковъ и угловъ, но только о разли-ченiи, о градацiи членовъ определенная ряда, элементы котораго сами определяются, какъ чистыя характеристики положенiя. Здiсь

*) Для деталей этого метода, лишь на принципъ котораго мы указали здвсь, см. F. Klein, .Vorlesungen iiЪег nicht-Euklidische Geometrie", 2-е изд., G?ttingen, 1893, стр. 315 и ел., 338 и ел., и „Mathem. An-nalen", IV; 573 и ел.-Ilo вопросу о проективной метрик* см. также Weber - "Wellstein „Encyklop?die der Elementar - Mathematik", t. D, § 18.

119

сохраняется та точка зрiнiя, согласно которой въ общемъ логи-ческомъ изложенiи число было представлено, какъ чистое поряд-новое число и освобождено было отъ всякой связи съ измеримыми величинами. Благодаря этому выставленное уже Декартомъ требо-ванiе удовлетворено новымъ способомъ. Порядокъ пространствен-ныхъ точекъ понятъ такъ ясе, какъ и порядокъ чиселъ. разумеется, по существу своему обе области остаются строго различными: «сущность» (Essenz) фигуры не переходить непосредственно въ сущность числа. Но именно въ этой относительной самостоятельности элементовъ и основного отношенiя ясно высту-паетъ связь во всеобщей дедуктивной методик t. Подобно тому, какъ въ ученiи о числи исходили изъ начальнаго полаганiя единицы, изъ которой потомъ была развернута въ неизм'Ьнномъ порядки, съ помощью опредйленнаго творческаго отношенiя, вся совокупность членовъ, такъ и здесь вначале постулируются несколько различныхъ точекъ и определенное отношенiе положенiя между ними, и въ этомъ открывается принципъ, всестороннее при-мiненiе котораго даетъ намъ всЪ возможный пространственныя нолаганiя. Подъ влiянiемъ этой связи проективная геометрiя была не безъ основанiя названа всеобщей «апрiорной» основной наукой О пространстве, которая не уступаете арвеметике по своей ра-цiональной строгости и чистоте *). Пространство здесь разсматри-вается, действительно, лишь въ своей наиболее общей форме «возможности совместности» (Beisammen), причемъ совсемъ еще не поднимается вопросъ о его спецiальной аксiоматической структуре и въ особенности о значенiи аксiомы о параллельныхъ прямыхъ. Наоборотъ, можно показать, что въ зависимости отъ особыхъ добавочныхъ условiй развитое здесь всеобщее проективное определенiе меры можетъ быть приведено въ связь съ различными теорiями о параллельныхъ и привести такимъ образомъ къ частяымъ-«параболической», «эллиптической» или «гиперболической»-формамъ определенiя меры **).

Такъ изъ многообразiя геометрическихъ методовъ выступаегь

*) Ср. Russell, ,The foundations of Geometry", Cambridge, 1897, стр. 118-*) Ср. F. Klein „Mathem. Annalen", IV, стр. 575 и ел.

120

,ме !отчетливее и точнее единая основная форма геометрическаго Жравованiя понят!и. Логическiе признаки этой формы йребываютъ неизменными, сохраняясь при всемъ разнообразiи ^егныхъ примененiй. Чтобы еще разъ дать себе отчетъ въ этихъ формахъ, следуетъ разсмотреть наиболее общую концепцiю со-»яеменнаго понятiя о геометрiи. Геометрiя здесь примыкаетъ ць.'Т-еорiи группъ, делая, такимъ об.разомъ, свой последнiй, щгвющiй решающее значенiе для всей ея характеристики шагь. Уже само определенiе «группы» содержитъ въ себе новый и важ-ЙНЙ логическiй моментъ, поскольку въ немъ связывается въ одно виденное единство не столько совокупность отдельныхъ элемен-tOBb или образовъ, сколько некоторая система операцiй. Совокупность операцiй образуетъ группу тогда, когда она заключать въ себе вместе съ двумя какими-нибудь операциями и Совдиненiе ихъ, такъ что последовательное применение различ-Яыхъ, прийадлежащихъ къ совокупности, преобразованiй приводить всегда къ оiгерацiямъ, заключающимся уже первоначально B? совокупности. Въ этомъ смысле все геометрическая нреобразо-JteBifl, получающiяся тогда, когда мы разсматриваемъ любыя. дви-Яеиiя какихъ-нибудь элементовъ въ трехмерномъ пространстве, обравуютъ группу: ведь результатъ двухъ следующихъ одно за другимъ движенiй здесь всегда можно изобразить въ виде одного •динственнаго движенiя *).

Въ втомъ понятiи группы мы имеемъ всеобщiй принципъ массификацiи, благодаря которому можно подвести подъ одну единую точку зренiя и обозреть въ ихъ симметрической свази различный возможный формы геометрiи. Если мы зададимъ вебi вопросъ, чтб следуетъ понимать вообще подъ «геометриче-скимъ» свойствомъ, то мы найдемъ, что мы называемъ геометрическими лишь такiя свойства, который остаются неизменными независимо отъ известныхъ пространственныхъ преобразованiй. Теоремы относительно какой-нибудь определенной геометрической фи-*П>ы остаются безъ иэмененiя, если мы придадимъ этой фигуре Другое абсолютное положенiе въ пространстве, если мы увеличимъ

) Ср. F. Klein „Einleitung in die h?here Geometrie", II, стр. l и ел.

121

или уменыпимъ въ одномъ и томъ же отношенiи абсолютный величины составляющих^ ее частей, или, наконецъ, если мы пере-вернемъ относительное расположенiе ея частей, поставивъ на ы-Ь-сто первоначальной фигуры новую, которая относится къ первой какъ ея зеркальное отраженiе. Къ воззренiю той индивидуальной частной фигуры, которая послужила намъ исходнымъ пунктомъ, должна присоединиться мысль о независимости отъ всехъ этихъ преобразованiй, чтобы придать этой фигур* подлинную всеобщность и вмiсте съ гЪмъ, значитъ, и ея геометрическiй характеръ. «Геометрiя тiмъ именно отличается отъ тоаографiи, что лишь т* свойства пространства называются геометрическими, которыя остаются неизменными при известной группе операцiй». Если твердо придерживаться этого объясненiя, то отсюда сейчасъ же открывается видъ на различныя возможный построенiя геометри-ческихъ системъ, которыя логически все равноценны. Ибо такъ какъ при выбор* группы преоб,равованiй, положенной нами въ основу изслiдованiя, мы не связаны напередъ, а, наоборотъ, въ состоянiи расширить эту группу присоединенiемъ новыхъ условiй, то этимъ указывается путь, какъ переходить отъ определенной формы геометрiи черезъ измiненiе основной сектемы, къ которой мы мысленно относимъ все высказыванiя, къ другой конструкции. Если, наприм'Ьръ, мы станемъ разсматривать обыкновенную метрическую геометрiю, какъ она охарактеризована соответственной главной группой пространственныхъ изм'Ьненiй, т. е., следовательно, операцiями движенiя, подобнаго преобразованiя и зеркальнаго от-раженiя, то мы можемъ перейти отъ нея немедленно къ проективной геометрiи, нрисоединивъ къ этой главной трупа* еще совокупность всехъ проективныхъ преобразованiй и разсмотрiвъ свойства, которыя считаются постоянными при этомъ расширенномъ круг* измененiй. Такимъ же точно образомъ можно-какъ подробно показалъ Ф. Клейяъ-методически обосновать и вывести самые различные виды геометрiи, переходя отъ раэсматриваемой вначале главной группы по какому-нибудь определенному правилу къ более обширной системе. Общая задача всехъ этихъ геометрiи заключается въ томъ, чтобы - разъ дано некоторое многообразiе и въ немъ некоторая группа преобразованiй -

122

развить

относящуюся къ этой группе теорiю инварiан-

товъ *).

Этогь универсальный методъ проливаетъ въ то же время яркiй свiгъ на то принпипiальное отношенiе, которое обнаруживается въ понятiяхъ о постоянстве и измененiй при обоснова-нiи геометрiи. Мы видели, какъ съ самыхъ начатковъ греческой математики философiя постоянно обращалась сызнова къ этому отношенiю. Если геометрiя определялась, по платоновскому выра-женiю, какъ наука о «вечно сущемъ>, если были убеждены, что точное доказательство возможно лишь относительно того, что постоянно обнаруживаете себя одинаковымъ образомъ, то изм*не-нiе можно было терпеть, лишь какъ вспомогательное понятiе, но не пользоваться имъ, какъ самостоятельнымъ логическимъ прин-ципомъ. Область становленiя представляла ту сферу, въ которой чистая математическая мысль не обладаетъ более никакой силой и которая, такимъ образомъ, казалась предоставленной всей неопределенности чувственнаго воспрiятiя. Однако, оказалось, что •именно эта конценцiя, пытавшаяся устранить вс* чувственные моменты изъ обоснованiя чистаго математическаго нознанiя, въ кошгб концовъ стала действовать въ геометрiп въ противополож-номъ направденiи. Обязательное требованiе постоянства наглядной пространственной формы ограничило свободу геометрической де-дукцiи: ивследованiе не выходило изъ рамокъ отдельной фигуры, вмiсто того, чтобы обратиться къ разсмотренiю последнихъ ос-новъ закономерной связи отдельныхъ частныхъ фигуръ. Лишь после того, какъ понятiе измененiя было критически проверено анализомъ, могло здесь начаться новое развитiе. Въ теорiи грушгь это развитiе получаетъ свое систематическое завершенiе, ибо здесь основнымъ понятiемъ признается измененiе, которому, еъ Другой стороны, ставятся твердыя логическiя границы. Платоновское объясненiе удерживается, но въ новомъ смысле. Геометрiя, какъ теорiя инварiантовъ, занимается определенными неиз-мiнными отношенiями; но эту неизменность нельзя никакимъ об-

*) О подробностяхъ см. опять-таки эрлангенскую программу Ф. Клейна отъ 1872 г.: ,Vergleichende Betrachtungen ?ber neuere geometrische Forschungen« (перепечатано въ „Mathemat. Anualen", 43, 1893, стр. 63 и ел.).

123

разомъ определить и удержать, не имея въ то же время мысленно въ виду-какъ идеальный заднiй фонъ-определенный основныя ивмiненiя, по отношенiю къ которымъ она им-Ьетъ силу. Неиз-мiнныя геометрическiя свойства суть таковы не сами по себе, но постоянно лишь по отношенiю къ совокупности возможныхъ преобразованiй, которыя мы предполагаемъ въ скрытомъ виде. Постоянство и изменчивость являются, такимъ образомъ, совершенно соотносительными моментами: они определимы лишь другъ черезъ друга и другь съ другомъ вместе. Геометрическое «понятiе» получаетъ свой тождественный и однозначный смыслъ лишь тогда, когда дана определенная группа измененiй, въ связи съ которой его представляют^ Комплексъ, о которомъ идетъ здесь речь, не означаетъ совсемъ абсолютнаго свойства данныхъ объектовъ; онъ имеетъ значенiе всегда лишь относительно определенной мысленной операцiи, избираемой нами за опорную, исходную систему (Bezugssystem). Уже здесь обнаруживается из-ыененiе значенiя въ общей категорiи субстанциальности,- измененiе, которое въ дальнейшемъ изследованiи обнаружится еще яснее: постоянство (Beharrlichkeit) относится не къ сохраненiю вещей и вещественныхъ свойствъ; оно обозначаетъ относительную самосознательность определеняыхъ членовъ некоторой функциональной связи, которые оказываются независимыми элементами по сравненiю съ другими членами.

III.

Развитiе современной математики все сознательнее и строже-приближалось къ идеалу, который поставилъ ей Лейбницъ. Внутри чистой геометрiи это обнаруживается особенно ясно на развивающемся здесь постепенно общемъ понятiи о пространстве. Сведенiе метричеекихъ отношенiй къ нроективнымъ является осуществленiемъ той мысли Лейбница, что пространство, прежде чемъ определять его количественно, должно быть понято въ его качественномъ свойстве «порядка въ совместности» (ordre des coexistences possibles). цепь гармониче-

124

сввхъ построенiй, съ помощью которой получаются точки проек-«дваго пространства, даетъ намъ картину этого порядка, значе-нiе я полная познаваемость котораго заключается какъ разъ 0j томъ, что онъ разсматривается не какъ чувственно данный, не строится въ виде ряда относитедьныхъ полаганiй (Setzungen) да помощью мысли *). Въ в о з з p е н i и мы продолжаемъ брать яементарныя содержанiя геометрiи: точку, прямую, плоскость; ВО все то, что касается связи этихъ содержанiй, должно быть выводимо и разсмотрено чисто-абстрактно. Въ этомъ смысле но-вЬйшая геометрiя пытается даже такое всеобщее отношение, какъ выражаемое словоыъ «между» и представляющееся на первый взглядъ неразложимымъ далее чувственнымъ признакомъ, освободив отъ этой связи съ чувственнымъ воспрiятiемъ и сделать его пригоднымъ для свободнаго логическаго примененiя. То, что о б о-аначаетъ это отношенiе, должно быть установлено-независимо от* И8м4нчиваго чувственнаго матерiала, на которомъ оно обна-

*) Съ исторической точки зренiя интересно указать, что логическая проблема метрики, созидаемой на основ* чисто-проективныхъ отно-шевiв, фактически была уже поставлена Лейбницемъ. Противъ лейбни-Цваскихъ опредвленiй пространства, какъ порядка въ совместности н времени, какъ порядка въ последовательности, Кларкъ, выетупив-шiй въ защиту идей Ньютона объ абсолютномъ пространстве и абсолют-ноыъ времени, выставилъ возраженiе, что они не затрагиваютъ какъ равъ существеннаго содержанiя обоихъ понятiи. Пространство и врем а-это прежде всего количества; положенiе же и поря-Докъ не таковы. Лейбницъ на это отвЪчалъ, что и внутри чистыхъ отношенiй порядка возможны определения величинъ, поскольку можно овiганть предшествующей членъ отъ последующаго и абстрактно определить .разстоянiе" между обоими. „Относительный вещи имеютъ точно т»»ъ же, какъ и абсолютный, свою величину; такъ, напримеръ, въ математик* отношенiя иди пропорцiи имеютъ свою величину, измеряемую яогярнемами; однако, они все-таки остаются отношенiями" (Leibnitz, .Hanptschriften zur Grundlegung der Philosophie", l, „Phil. Bibl.", 107, стр. 189 и ел.). Здесь можно распознать намекъ на вопросъ, который Повторился при современномъ обоснованiи проективной метрики, ибо въ Woft последней действительно „разстоянiе" между двумя точками опре-ДМяется и измеряется догарнемомъ определеннаго двойного отношенiя (Ср. Klein, „Vorlesungen ?ber nicht-Euklidische Geometrie", стр. 65 и ел.).

125

руживается - съ помощью опредiленныхъ а к с i о м ъ связи: и только изъ этихъ аксiомъ оно получаетъ то значенiе и содержанiе съ которымъ оно входить въ математическую д е д у к ц i ю. Вла-' годаря этому расширенiю мы можемъ сделать независимымъ по-нятiе о «между» отъ наглядныхъ моментовъ воззрiзнiя, въ соеди-ненiи съ которыми мы получаемъ его первоначально, и1 можемъ применять его затiмъ также и къ такимъ рядамъ, въ которыхъ выражаемое имъ отношенiе не имъетъ уже непосредственнагочув-ственнаго коррелата *).

Но эта концепцiя имiетъ и дальнiйшiе результаты. Специфи-ческiй пространственный порядокъ совместности и раздельности стремится превратиться во всеобщую систему всевозможныхъ по-рядковъ вообще. Здесь опять-таки мы приходимъ къ лейбницев-ской основной концепцiи математики. Согласно ей математика-это всеобщая наука не о величин i, но о форм i, не о количестве, но о качестве. Основной наукой, такимъ образомъ, становится комбинаторика, поскольку подъ ней понимаютъ не ученiе о числе связей данныхъ элементовъ, но универсальное изображенiе возможныхъ видовъ связи вообще и ихъ взаимной зависимости **). Повсюду, где данъ определенный видъ связи, который мы можемъ выразить по известнымъ основнымъ прави-ламъ и аксiомамъ, мы имеемъ въ математическомъ смысле тождественный «объектъ». Взаимоотношенiе элементовъ, какъ таковое, а не абсолютный свойства ихъ составляютъ настоящiй предметъ математическаго способа разсмотренiя и изследованiя. Два комплекса сужденiй, изъ которыхъ одинъ трактуетъ о прямыхъ и плоскостяхъ, а другой-о кругахъ и шарахъ определенная

*) Подробнее объ этомъ см. у Pasch „Vorles. ?ber neuere Geometrie", § l и 9.

**) „Hinc etiam prodit ignorata hactenus vel neglecta subordinatio Algebrae ad artem Combinatoriam, seu Algebrae Speciosae ad Speciosam generalem, seu scientiae de formulis quantitatem significantibns ad doctri-nam de formulis, seu ordinis similitudinis relationis etc. expressionibus in Universum, vel seientia generalis de qaantitate ad scientiam generalem de qnalitate, ut adeo spedosa nostra Mathematica nihil aliud sit quam speci-men illnstre Artis Combinatoriae seu speciosae generalis". Leibnitz, „Math. Schriften, hg. v. Gerhardt«, т. VII, стр. 61.

126

дучка шаровъ, представляются съ точки зренiя этого способа раземотренiя эквивалентными, поскольку они содержать въ себе одну и ту же сумму абстрактныхъ зависимостей, при простой перемене въ наглядныхъ «субъектахъ», о которыхъ высказываются эти зависимости. Въ этомъ смысле можно заменить «точки», о которыхъ говорить обыкновенная эвклидова геометрiя, шарами и кругами, обратными дарами точекъ гиперболиче-скаго или эллиптическаго пучка шаровъ или даже простыми числовыми тройками безъ всякаго спецiальнаго геометриче-скаго значенiя, причемъ отъ этого совсемъ не изменяется дедуктивная связь отдельныхъ теоремъ, доказываемыхъ нами для втихъ точекъ *). Такимъ образомъ, эта связь образуетъ какой-то особый, чисто-формальный комплексъ, который можно освободить отъ матерiальнаго содержанiя, служащаго ему каждый разъ основой, и разсмотреть самъ по себе въ его закономерности. Особенные элементы разсматриваются при математическомъ обра-зованiи понятiй не по тому, что они суть сами по себе, но постоянно лишь какъ примеры определенной общезначимой формы порядка и связи; и во всякомъ случае для математики они не имеютъ иного «бытiя», кроме того, которое дается имъ участiемъ въ этой форме. Ибо только это бытiе и входитъ въ демонстрацiю, въ процессъ умозаключенiя, и только оно, такимъ образомъ, доступно полной достоверности, которую математика придаетъ своимъ объектамъ.

Особенно ярко выражена эта концепцiя метода чистой математики въ томъ прiеме, который употребилъ Гильбергъ для изложенiя и выведенiя геометрическихъ аксiомъ. У Эвклида, въ его опреде-леиiяхъ, понятiя точки или прямой принимаются за нечто непосредственно данное въ воззренiи и получаютъ такимъ обравомъ некоторое определенное неизменное содержанiе. У Гильберта же составъ первоначальныхъ геометричесаихъ объектовъ определяется исключительно теми условiями, которымъ они подчиняются. Вначале имеется известный рядъ аксiомъ, которыя мы устанавли-

*) См. къ этому очень поучительные примеры и разъясненiя у Wellstein, „Encyklopadie der element-Mathematik", т. II, кн. 1, отд. 2.

127

ваемъ и которыя, какъ это доказывается, совместимы другъ съ другомъ. Bei приписываемыя нами элементамъ свойства вытека-ютъ только изъ этихъ правилъ ихъ связи, положенныхъ нами въ основу. Точка или прямая оэначаетъ здесь просто некоторое обра-зованiе (gebilde), которое находится съ другими подобными образованиями въ отношенiяхъ, онредiленныхъ известными группами аксiомъ. Выраженiемъ сущности элементовъ принимается только эта систематическая «связь» ихъ, а не ихъ отдельные признаки. Въ этомъ смысле гильбертова геометрiя была съ полнымъ правомъ названа чистымъ ученiемъ объ отношении *). Но именно благодаря этому она и является последовательнымъ завершенiемъ направленiя изследованiя, которое мы можемъ проследить въ его чисто-логическихъ моментахъ оть первыхъ начатковъ математики. На первый взглядъ моисетъ показаться, что мы вращаемся въ порочномъ кругЬ, определяя содержанiе основныхъ геометрическихъ понятiй исключительно съ помощью аксiомъ, которымъ они подчиняются: разве аксiомы эти при своей формулировке не предпола-гаютъ уже заранее какихъ-нибудь понятiй? Но эту трудность можно устранить, если проводить строгое различiе между психологи-ческимъ началомъ и логическимъ о с н о в а н i е м ъ. Въ психологи ческомъ смысле мы, разумеется, должны реализовать значенiе определеннагоотношенiяна какихъ-нибудь данныхъ относитель-ныхъ терминах ъ, служащихъ «фундаментомъ» отношенiя. Но термины эти, берущiе начало въ чувственномъ воззренiи, имеютъ не абсолютный, но переменный еоставъ (Bestand). Мы беремъ ихъ какъ гипотетическое начало; ближайшаго же определенiя мы ожидаемъ отъ введенiя ихъ въ связь многообразныхъ комплексовъ условiй, въ которые они последовательно вступаютъ. Только благодаря этому умственному процессу провизорное содержанiе становится прочнымъ логическимъ предметомъ. Поэтому законы связи являются собственнымъ тгротерот т$ 'fuoet, межъ темъ какъ элементы

ВЪ ИХЪ МНИМОЙ абсОЛЮТНОСТИ ПреДСТаВЛЯЮТЪ ЛИШЬ jtp?iepov rcp?g '«та«

Въ воззренiи, кажется намъ, мы постигаемъ разснатриваемый эле-ментъ, какъ свободный, себе довлеющiй еоставъ; но лишь только

*) Wellstein, цит. соч., стр. 116.

128