Часть 5.

jgfc,пытаемся закрепить этотъ еоставъ въ еужденiи, какъ онъ распадается на рядъ взаимно поддерживающихъ другъ друга подавши. Понятiе и сужденiе знаютъ единичное только какъ членъ яда, то же время какъ точку систематическаго много-образiя, явдяющагося и здесь, какъ въ области ариеметики, на-вюящимъ логическимъ prius по сравнению со всеми особыми по-даганiями. Поэтому определенiе индивидуальности элемен-.jtigb находится не въ начале, но въ конце развитiя понятiя: ою-логическая цель, къ которой мы приближаемся путемъ прогрессирующая связыванiя обшезначимыхъ отношенiй. Методъ математики предуказываетъ здесь аналогичный методъ т е о p е т и-ческаго естествозн анiя, ключъ и оправданiе котораго онъ содержитъ въ себе (см. гл. V).

Отсюда становится понятнымъ то, что центръ тяжести математ и ческой системы въ теченiе историческаго развитiя постоянно пере-мiщается въ определенномъ направленiи. Кругь объектовъ, къ которымъ применимъ и приложимъ способъ разсмотренiя математики, все расширяется, пока, подъ конецъ, становится вполне оче-виднымъ, что своеобразiе этого метода отнюдь не связано и не ограничено какимъ-нибудь особеннымъ классомъ предметовъ. «Mathesis universalis» должна составить-въ философскомъ смысле, приданномъ ей Декартомъ - основное орудiе для всехъ техъ эа-дачъ, которыя имеютъ дело съ порядкомъ и мерой. Но уже у Лейбница, какъ мы видимъ, отношенiе равноправности этихъ двухъ различныхъ моментовъ заменяется отношевiемъ ихъ iерар-хическаго расподоженiя: ученiе о возможныхъ, абстрактно различ-ъ видахъ связи и координацiи становится предпосылкой наукъ И8м4римыхъ и делимыхъ величинахъ *).

*) См. Leibnitz, „Hauptschriften" („Phil. Bibl"., 107), Lpz., 1904, стр. 5, 50, 62-Для современные взглядовъ см. Kussell „Principles of Mathe-matics", стр. 158 и 419: „Quantity, in fact, though philosophers appear still o regard it ?s very essential to Mathematics, does not occur in pure Mathe-Diatics, and does occur in many cases not at present amenable to mathe-i&atical treatment. The uotion which does occupy the place traditionally Msigned to quantity is Order". См. также опредвлете математики у Григ. Ительсова, какъ науки объ упорядоченные предметахъ" (см. „Revue de Metaphysique". XU, 1904.

129

Въ современной математик* эта мысль получаетъ все более отчетливое выраженiе. Уже прогрессъ проективной геометрiи рас-скрылъ передъ нами область, въ которой осуществленъ идеалъ математическаго излоисенiя независимо отъ вс*хъ вспомогатель-ныхъ средствъ ивмiренiя и сравненiя величинъ. Сама метрика выводится здесь изъ чисто-качественныхъ отношенiй, касающихся только местоположенiя точекъ пространства. Еще характернее это расширенiе традицiонныхъ рамокъ математики въ теорiи группъ, непосредственнымъ объектомъ которой являются не опред'Ьленiя величины или положенiя, носовокуиность опе-рацiй, изсл'Ьдуемыхъ въ ихъ взаимной зависимости. Здесь фактически достигнута высшiй и универсальнБЙшiй принципъ, изъ котораго можно обозреть всю область математики, какъ одно единое цiлое. Задача математическаго наследования, по общему смыслу ея, заключается не въ томъ, чтобы сравнивать данныя величины, но въ томь, чтобы изолировать творческiя отношенiя, на которыхъ опирается возможность всякаго полаганiя величины, и определить ихъ отношенiя другъ къ другу. Элементы и все, что строится на нихъ, являются результатами опредiленныхъ перво-начальныхъ правидъ связыванiя, которыя должно изсл^довать какъ сами по себ* въ ихъ специфической структур*, такъ и въ томъ вид*, который получается изъ ихъ соединенiя и взаимнаго про-никновенiя. Разнообразные алгориемы, созданные нов'Ьйшей математикой: грассмановское ученiе о протяженности, гамильтоновская теорiя кватернiоновъ, проективное исчисленiе отрiзковъ предста-вляютъ лишь различные примеры этого логически уяиверсальнаго прiема. Методическое преимущество всъ-хъ этихъ прiемовъ заключается именно въ томъ, что «исчисленiе» здесь достигаешь полной свободы и самостоятельности, что оно не ограничивается уже однимъ соединенiемъ количествъ, но обращается непосредственно къ синтезу отношенiй.

Что синтезъ этотъ является собственной целью математиче-скихъ операцiй, мы могли заметить въ самой области величияъ уже въ раввитiи анализа безконечно-малыхъ. Но теперь область разсмотрiнiя расширяется, такъ какъ основой моаетъ явиться любой элементъ, поскольку возможно вывести изъ него, путемъ

вовторнаго примененiя опред^леннаго, мысленно закр^пленнаго основного отношенiя, новое образованiе. Въ исчисленiи удерживается одна лишь возможность определена я, и она образуетъ необходимое и достаточное условiе его. Надежность и прочность «iтктнвной постройки не связана ни съ какимъ особеннымъ эле-

A^r^J

иентомъ. Въ одномъ случаi-какъ, напримеръ, въ теорiяхъ Грасс-мана и Гамильтона-мы можемъ разсматривать произведенiе то-адвъ или векторовъ, въ другомъ случае - какъ въ барицентри-ческомъ исчисленiи Мебiуса - мы можемъ определять точки не только по ихъ различному положенiю въ пространстве, но и по различнымъ, принадлежащимъ имъ, массамъ, или мы можемъ ка-ммъ-нибудь образомъ сопоставлять взаимно отрезки или площади трехугольниковъ, силы или пары силъ и вычислять получающiйся отсюда результатъ *). Во всехъ этихъ случаяхъ д*ло идетъ не о томъ, чтобы разложить некоторое данное «целое» на его однородный съ нимъ «части», или о томъ, чтобы снова составить его И8Ъ нихъ; общая задача заключается здесь въ связыванiи какихъ-нибудь абстрактныхъ условiй поступательнаго движенiя вь ряду для полученiя некотораго однозначнаго результата. Если опреде-день исходный элементъ и указанъ принципъ, съ помощью котораго мы, двигаясь равномерно отъ него, можемъ получить много-образiе иныхъ элементовъ, то и соединенiе несколькихъ подоб-ныхъ принциповъ составить операцiю, которую можно свести къ твердымъ систематическимъ правиламъ. Повсюду, где возможенъ подобный переходъ отъ простыхъ рядовъ къ сложнымъ, тамъ указана и новая область для дедуктивно-математическаго разсмотренiя.

Повидимому, эта же всеобщая основная мысль, строго последовательно развившаяся изъ философскаго идеала Декарта и Лейбница о «Mathesis universalis», повела къ одной изъ важней-шихъ и шюдотворвейшихъ концепцiй новейшей математики - къ ученiю о протяженности (Ausdehnungslehre) Германа Грассмана. Общiя разсужденiя, предпосланныя Грассманомъ его труду, могутъ

*) Подробнее объ этихъ различныхъ способахъ исчисленiя см. у Whitehead, „Universal Algebra", I, Cambridge, 1898, и у H. Hankel, „Theorie der komplexen Zahlensysteme", Lpz. 1867.

130

131

показаться, разсматриваемыя, какъ математическiя опред'Ьлешя, не совсiмъ достаточными и темными: но они намiчаютъ ясный самъ по себе методическiй планъ, значенiе которого было разъяснено и подкреплено дальнiашимъ развитiемъ проблемъ *). Поставленная себе Грассманомъ цель заключается въ томъ, чтобы поднять науку о пространстве на степень всеобщей науки, о ф о p м 4. Характеръ же чистыхъ наукъ о форм* определяется гбмъ, что въ нихъ доказательство не выходить изъ рамокъ самого, мышленiя въ другую сферу, но состоитъ исключительно въ комби-нацiи различныхъ актовъ мышленiя. Это требованiе удовлетворено въ науки о числе: ибо все особенныя свойства чиселъ можно, действительно, вывести изъ совокупности упорядоченныхъ полага-нiй, которымъ обязанъ своимъ возникновенiемъ и самъ числовой рядъ. Надо и для геометрiи найти такое же «непосредственное начало», какое уже дано и имеется въ ариеметике **). Для этого нужно и здесь перейти изъ даннаго протяженаго многообразiя къ его простымъ «способамъ порожденiя», сообразно которымъ и можно только вполне обозреть и понять многообразное. Уже при обычномъ изложенiи геометрическихъ элементовъ часто говорятъ о генетическомъ порождены линiи изъ точки, поверхности изъ линiи. Но то, что здесь носить просто образный характеръ, должно получить строго абстрактное значенiе, чтобы оно могло послужить исходнымъ пунктомъ для новой науки. Данныя въ воззренiи наглядныя пространственныя отношенiя могутъ явиться первымъ поводомъ, чтобы подняться до чисто-абстрактныхъ отношенiй; но они не исчерпываютъ ихъ собственнаго значенiя. На мiсто точки, т. е. особеннаго места, мы ставимъ теперь элемент ъ, подъ чвмъ сдедуетъ понимать лишь некое особенное (ein Besonderes), разом атриваемое, какъ отличное отъ другого особеннаго. Этимъ не дается еще какое-нибудь своеобразное, специфическое содержанiе: «поэтому здесь еще не можетъ быть вовсе речи, что это собственно за особенное - ибо это именно просто особенное

*) См. объ этомъ особенно у V. Schlegel „Die Grassmamische Ausdeb-nungslehre", „Ztschr. f. Math. u. Physik", т. 41, 1896.

**) См. Grassmann, „Die lineale Ausdehnnngslehre; ein neuer Zweig der Mathematik« (1844). „Ges. math. n. Wissens. Werke" Lpz., 1894,1, стр. 10, 22.

132

всякаго реальнаго содержанiя - или въ какомъ отношенiй одно особенное отлично отъ другого, ибо оно определяется просто, Какъ отличное, причемъ не дается никакое реальное содержанiе, по отношенiю къ которому оно отлично» *). Точно такъ же при иэмененiяхъ, которымъ мы представляемъ себе въ мысли подчинен-нымъ основной элементъ, мы сознательно абстрагируемъ отъ всякой спецiальной характеристики и лишь твердо придерживаемся абстрактной мысли, что изъ некотораго iiервичнаго начала выте-каеть путемъ постояннаго повторенiя одной и той же операцiи многообразiе членовъ.

Если поэтому конкретное выполненiе грассмановскаго ученiя о протяженности ограничивается прежде всего разсмотренiемъ вполне определенвыхъ видовъ преобразованiя, то общiй планъ съ самаго начала захватываете гораздо дальше. Дело здесь идетъ лишь о той самой наиболее общей функцiи, которую мы приписали математическому понятiю вообще: объ указанiи какого-нибудь количественно опредвленнаго и единаго правила, определяющаго форму перехода отъ однихъ членовъ некотораго ряда къ другимъ. «Отличное должно развиваться по некоторому закону для того, чтобы иорожденiе (das Erzeugniss) могло быть определенными Простая форма протяженности есть такимъ образомъ форма, возникающая благодаря совершающемуся по одному и тому же закону изменению порождающего элемента; совокупность всехъ порождае-мыхъ по этому закону элементовъ мы называемъ системой или областью» **). Аналогично возникаютъ и системы высшихъ поряд-ковъ: мы соединяемъ различныя основныя измеренiя другъ съ дру-гомъ такимъ образомъ, что сперва изъ начадьнаго элемента развивается путемъ оiiределеннаго преобразованiя известное много-Обравiе, а затемъ совокупность членовъ его подвергается новому преобраэованiю. Такъ какъ разсматриваемыя нами области не представляются намъ данными уже какимъ-нибудь инымъ путемъ, но определены и известны намъ лишь благодаря правилу ихъ построенiя, то ясно, что этого правила должно быть доста-

"•) „Ausdehnungslehre", стр. 47. "*) „Amsdehnungslehre", стр. 28.

133

точно, чтобы изобразить исчерпывающимъ образомъ и овладеть логически всеми ихъ признаками.

Bei эти общiя предпосылки получаютъ сейчасъ же болЪе точное математическое значенiе, какъ только Грассманнъ начи-наетъ развивать въ отдельности различные возможные виды связи, отграничивая ихъ другъ отъ друга формальными условiями, кото-рымъ они подчиняются. У него получается такимъ образомъ подробное ученiе о «сложенiи» и «вычитанiи» однородныхъ или неоднородныхъ измiренiй, о внутреннемъ и внiшнемъ умноженiи отрезковъ и точекъ и т. д., причемъ все эти операцiи сходны съ одноименными алгебраическими дМствiями лишь въ изв'Ьстныхъ формальныхъ свойствахъ, какъ, наприм^ръ, въ подчиненiи сочетательному и распределительному законамъ, а сами по себе пред-ставляютъ вполне самостоятельныя действiя, съ помощью кото-рыхъ однозначно определяется изъ какихъ-нибудь элементовъ некоторое новое образованiе. Мы переходимъ отъ относительно про-стыхъ формъ «порожденiя», которыя мы установили съ помощью определений, ко все более сложнымъ, видамъ построенiя многообра-зiя изъ определенныхъ основныхъ отношенiй. Если взять начальный членъ осо и въ то же время указанъ рядъ операцiи Ri R2 Кз... переводящихъ его последовательно въ различный «i <*з аз, аг'аг'аз' и т. д., то должно дедуктивно вывести результатъ совместнаго действiя этихъ операцiи и различные возможные типы этого совмест наго действiя. Поэтому предцосланныя Грассманномъ его труду размышленiя образуютъ въ действительности всеобщую логическую схему, въ которую можно ввести и различные алгориемы, развив-шiеся независимо отъ ученiя о протяженности: ведь въ этихъ ал-гориемахъ, лишь съ новой стороны, выражена та мысль, что настоящими «элементами» математическаго исчисленiя являются не величины, а отношенiя.

Если разсмотреть весь этогъ ходъ мыслей въ его целомъ, то легко заметить, какъ въ немъ все более и более укрепляется и углубляется основная мысль логическаго идеализма. Тен-денцiя современной науки все более и более ведетъ къ тому, что устраняются «данные» элементы, какъ таковые, и имъ не уделяется никакого влiянiя на общую форму хода доказательства.

134

Всякое понятiе и всякое положенiе, которое употребляется въ ходе доказательства и не служить просто для целей наглядности, должно бить обосновано строго и выведено цедиаомъ изъ законовъ конструктивной связи. Логика математики, какъ ее понимаетъ Грассманъ, есть, действительно, въ строгомъ смысле «логика происхожденiя» (Logik des Ursprungs). Когеновская логика чистаго познанiя развила мысль о происхожденiи, на которой она основывается, исходя изъ принциповъ исчисленiя безконечн о-м а л ы х ъ *). Здесь, действительно, данъ первый и самый яркiй примеръ того общаго способа разсмотренiя, который ведетъ отъ понятiя о величине къ понятiю о функцiи, отъ «количества» къ «качеству», какъ настоящему фундаменту. Установленный здесь логическiй яринципъ получаегь новое подтвержденiе при переходе къ дру-гимъ обдастямъ проблемъ современной математики. Все оне, какъ они ни различны по своему содержав!ю, ведутъ въ своемъ построен!и къ основному понятiю о происхожденiи. Ставимое этимъ понятiемъ требованiе удовлетворено повсюду тамъ, где члены какого-нибудь многообразiя выводятся изъ определенныхъ принциповъ ряда и исчерпывающимъ образомъ изображаются ими. Самыя различный формы «исчисленiя», поскольку оне удовлетворяютъ этому условiю, принадлежать къ одному и тому же логическому типу; и оне оказываются ведь одинаково плодотворными въ примененiи къ проблемамъ математического естествознанiя. Такъ, Мебiусъ применилъ свое всеобщее исчисленiе къ строго рацi-ональному построенiю статики, между темъ какъ Максуэлль, исходя изъ основныхъ понятiй исчисленiя векторовъ, развидъ элементы м е х а н и к и **). Действительно, систематическая связь операцiи, разъ она выведена, остается неизмененной, если, ска-жемъ, мы поставимъ на место прямыхъ-силы, на месте определенныхъ произведенiй отрезковъ-пары силъ и такимъ образомъ свяжемъ каждое полученное геометрическое положенiе съ непосредственно соответствующимъ ему механическимъ положенiемъ Вве-

*) Couen. „Logik der reinen Erkenntniss", см. особенно стр. 102 и ел. **) См. M?bius, „Lehrbuch der Statik" (т. I, 1837); см. особенно Hankel. .Theorie der komplexen Zahlensysteme", отдЪлъ VII; Maxwell. „Matter and Motion«, нiмец. перев. ЕiеiзсЫ'я, 2-е изд. Braunschw., 1881.

135

денiе анализа безконечно-малыхъ во всеобъемлющую связь «анализа отношенiй» служить въ то же время для целей установленiя и ограниченiя его собственной проблемы. Понятiе о «безконечно-маломъ» постоянно приводило, несмотря на всii протесты идеалистической логики, къ тому недоразумiнiю, будто здесь величина не столько должна быть понята изъ своего абстрактнаго принципа, сколько скорее составлена изъ своихъ ничтожныхъ, исчезающе-малыхъ, частей. Но этимъ самымъ изменяется сама постановка вопроса, ибо дело идетъ не о томъ, чтобы показать последнiй суб-станцiальный составъ величины, но о томъ лишь, чтобы найти новую логическую точку зрiнiя опредiленiя ея. Но эта точка зрвнiя выступаетъ съ полной ясностью, если поставить рядомъ съ методомъ исчисленiя безконечно-малыхъ иныя возможный формы математическаго «опредiленiя». Если, напримiръ, какъ въ бари-центрическомъ исчисленiи, складываются простыя точки или сумма двухъ направленныхъ отрiзковъ изображается дiагональю постро-еннаго на нихъ параллелограмма, если говорится о произведенiи двухъ или трехъ точекъ или о произведенiи точки и отрезка, то было бы нелепо прописывать вс/Ьмъ этимъ операцiямъ ихъ обычный «ариеметическiй» смыслъ. Здесь исключено отношенiе «пи-лого» къ составляющимъ его «частямъ»; оно заменено всеобщимъ отношенiемъ обусловленнаго къ конституирующимъ его мысленно отдiльнымъ моментамъ. Неизбiжнымъ становится разд'Ьленiе, выдвинутое ясно и определенно уже Лейбницемъ: «рааложенiю на части» противопоставляется везде «разложенiе на понятiя», которое, въ качеств^ универсального основного средства, является порукой надежности и успешности чистой дедукцiи.

IV.

Дальнейшее расширенiе и развитiе, полученное системой эвклидовой геометрiи благодаря метагеометрическимъ изследо-ванiямъ и спекуляцiямъ, выходятъ, съ точки зреяiя его содер-жанiя, изъ рамокъ нашего ивсл'Ёдованiя. Ибо для насъ здесь важно изложить не результаты математики, какъ ни значи-

136

теiьны и ни плодотворны они также и съ точки зренiя критики повнавiя, но исключительно принципъ математическаго о б p а з о-ванiя понятiй. Но и съ этой более узкой точки зренiя необходимо подробнее разсмотреть проблему метагеометрiи, ибо ддя этой проблемы характерно именно то, что она изменила не только составъ математическихъ знанiй, но и представленiе объ основе и происхожденiи. Теперь неустранимо возникаете вопросъ, пригодна ли существовавшая до сихъ поръ концепцiя математическаго понятiя въ виду новыхъ, возникающихъ съ этой стороны задачъ. И философы и математики не сомневаются уже теперь, что здесь мы имеемъ передъ собой правомерное расширенiе первоначальной области проблемъ геометрiи: темъ необходимее изследовать, сохранилась ли логическая форма геометрiи подъ напоромъ нового содержанiя или она не выдержала его и была разорвана.

Въ теченiе некотораго времени казалось, что данный на это самой математикой ответь имеетъ окончательное и решающее вначенiе: изъ метагеометрическихъ изсдедованiй всеми выводился, кавъ необходимое следствiе, эмпирически характеръ гео-метрическихъ понятiй. «Основы геометрiи многихъ измеренiй» Веронезе, содержащiе первый полный историческiй очеркъ всехъ критическихъ попытокъ обновленiя геометрическаго ученiя о прин-ципахъ, выражаютъ, какъ общее убежденiе научныхъ изследова-тедей, то, что, по крайней мере, обыкновенная геометрiя трехмерного пространства опирается исключительно на опыте *). Но если подробнее разсмотреть основанiя и мотивы, по которымъ отдельные изследователи высказали это решенiе, то оказывается, что здесь передъ нами лишь мнимое единство воззренiя. Повиди-мому, геометрiя, какъ только она вступила на почву философской спекуляции, потеряла свою специфическую привилегiю применять употребляемыя ею понятiя въ строго однозначномъ смысле. Здесь ясно выступаетъ вся та неопределенность, которая свой-

•) Veronese. „Grundz?ge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten geradliniger Einheiten", н*м. изд. Lpz. 1894, стр. V 111, ч. l.

137

ственна самому понятiю объ опыт* въ его повседневномъ употре-бленiи. Мы имели бы эмпирическое обоснованiе математическихъ понятiй въ строгомъ смысл* лишь тамъ, где было бы дано доказательство, что свойственное имъ содержанiе въ его цiломъ коренится въ конкретныхъ воспрiятiяхъ и выводимо изъ нихъ. Поэтому единственная последовательная эмпирическая система математики была дана Пашемъ, поскольку онъ пытается ввести элементарные образы-вроде точки и прямой-не сейчасъ же въ ихъ точной абстрактной форм*, но беретъ ихъ сначала исключительно въ томъ значенiи, какое они могугь иметь лишь для чувственнаго ощущенiя. Постоянное успешное примiненiе геометрiи въ области естество-знанiя и практической жизни можетъ, по мнiнiю Паша, основываться лишь на томъ, что ея понятiя точно соответствуют прежде всего фактическими даннымъ въ наблюденiи объектамъ. Лишь позже это первоначальное содержанiе покрывается сетью искус-ственныхъ абстракцiй: это, разумеется, споспешествуете его теоретической разработки, но ничего не прибавляете къ основному запасу истины, заключенному въ ея положенiяхъ. Если отказаться отъ этихъ абстракцiй и решительно вернуться къ подлиннымъ психологическимъ исходнымъ точкамъ, то за геометрiей остается характеръ естественной науки; отъ другихъ частей естествозиавiя она при этомъ отличается лишь тiмъ, что она заимствуешь прямо изъ опыта очень незначительное количество понятiй и законовъ, а все остальное можетъ предоставить развитiю этого разъ усвоен-наго матерiала. «Точка», согласно этой концепцiи, есть не что иное, какъ матерiальное тело, которое оказывается внутри данныхъ каждый разъ границъ наблюденiя недiлимымъ более; отрiзокъ же составляется изъ конечнаго числа подобныхъ точекъ. Согласно этому значенiе и применимость теоремъ геометрiи подлежитъ опре-дiленнымъ ограниченiямъ, которыхъ требуетъ природа геометри-ческихъ объектовъ, какъ простыхъ предметовъ воспрiятiя. Такъ, положенiе, что между двумя точками можно всегда провести одну прямую и только одну, требуетъ той оговорки, что разсматри-ваемыя точки не должны лежать слишкомъ близко другь къ другу; точно такъ же къ этому только случаю применимо положенiе, что между двумя данными точками всегда можно вставить третью

138

точку; оно становится невйрнымъ, какъ только мы перейдемъ известную границу, которую, конечно, нельзя указать съ полной

строгостью *).

Съ избранной Пашемъ исходной точки вей эти разсужденiя вполне правомерны; но вскоре обнаруживается, что невозможно подучить съ помощью ея общую картину всего зданiя научной геометрiи, какъ она развилась исторически. Отъ доаущенiя «соб-ственныхъ» точекъ, изображающихъ фактическiе объекты наблюденiя, приходится потомъ, чтобы придать доказательствамъ истинную строгость и всеобщность, перейти къ признанiю «несобственный» образованiй, являющихся, въ конце концовъ, не чемъ инымъ, какъ результатомъ именно техъ идеальныхъ к о н-струкцiй, которыя первоначально пытались устранить. И здесь употребляются понятiя о совершенно определенныхъ точкахъ, прямыхъ и плоскостяхъ, и здесь они служатъ основой для определенiя техъ элементовъ, въ которыхъ геометрическая идея осуществлена лишь приблизительно. Всякая приблизительная геометрiя должна оперировать предпосылками, заимствуемыми ею у «чистой» геометрiи; она не можетъ служить для вывода ме-тодовъ, частнымъ примененiемъ которыхъ она скорее является **).

Поэтому для эмпирическаго обоснованiя геометрiи приходится попытаться найти другой путь. Веронезе, придерживающейся вначале этой попытки, вскоре, однако, придаетъ новый оборотъ этой мысли, когда онъ подчеркиваетъ, что геометрическую «возможности следуетъ строить не только на прямомъ внешнемъ наблюденiи, но и на «духовныхъ фактахъ». Геометрическiя аксiомы не суть копiи действительныхъ отношенiй чувственнаго воспрiятiя; оне требованiя, благодаря которымъ мы складываемъ сырой матерiалъ чувственныхъ ваечатленiй, чтобы сделать ихъ пригодными для математическаго разсмотренiя: и этотъ <субъективный» элемента получаетъ въ чистой математике, геометрiи и рацiональ-

*) Pasch. „Vorlesungen ?ber neuere Geometrie", стр. 17 и ел. **) Ср. критику системы Паша у Веронезе, цит. соч. стр. 655 и ел. и У Веллынтейна, цит. соч., стр. 128 и ел.

139

ной механик* преимущество iiередъ < объективными. Хотя такимъ образомъ геометрiя и здесь, какъ и прежде, определяется, какъ точная экспериментальная наука, но логическая роль оiшта стала зд'Ьсь совершенно другой. Мы исходимъ изъ «эмпи-рическихъ предварительныхъ размышленiй», изъ извiстныхъ основныхъ фактовъ чувственнаго воззренiя: но эти факты, слушать намъ, пользуясь платоновскимъ выраженiемъ, только «траы-илиномъ>, съкотораго мы сейчасъ же перескакиваамъ къ разсмо-тренiю всеобщихъ комплексовъ условiй, не им'Ьющихъ уже себе коррелата въ области воспрiятiй. Такимъ образомъ, чувственныя содержанiя образуютъ, правда, первый поводъ, но отнюдь не границу математическаго образованiя понятiй и не подлинный составъ того, что получается съ его помощью. Они служатъ первымъ толчкомъ, но они не входятъ, какъ таковыя, въ совокупность дедуктивнаго обоснован!я, которыя приходится создать совершенно независимо. Но разъ установлено это, то съ точки зрiшiя критики познанiя проблема уже решена: видь критика эта интересуется не вопросомъ о началахъ понятiй, но исключительно гвмъ, что означаютъ понятiя, какова ценность ихъ въ качестве элементовъ научнаго обоснованiя.

Поэтому при выводи геометрш многихъ измiренiй приходится аппелировать къ специфической деятельности интеллекта. Въ системе Паша, какъ замЂчаетъ Веронезе, многомерная геометрiя исключена не a posteriori, но a priori, т. е. не фактически, но методически. Ведь данныя наблюденiя становятся на пути каждой попытки проникнуть въ область, лежащую по ту сторону нашихъ пространственных^ возможностей воззренiя. Что здесь требуется, такъ это постоянно чистый актъ построенiя, именно некоторое возможное, «духовное действiе», при которомъ мы переходимъ за границы даннаго, причемъ, однако, новосотворенный элемента определяется напередъ тiмъ, что мы мыслимъ его подчи-яеннымъ известнымъ всеобщимъ законамъ отношенiя. Такъ какъ аксiомы, теоремы и доказательства геометрiи должны были съ са-маго начала подчиняться тому условiю, чтобы не содержать въ себе никакого неопределеннаго элемента воззренiя, то-если мы даже вообще отказываемся отъ наглядности воззренiя-должна

140

остаться, по крайней мере, чисто-гипотетическая связь отвлечен-ныхъ истинъ, доступная сама по себе абстрактному изследова-нiю. «Если,-прибавляетъ Веронезе,-захотять назвать насъ, въ виду изложенныхъ здесь идей, рацiоналистами или идеалистами, то мы примемъ это наименованiе для отличiя отъ тЬхъ, которые желаютъ неправомерно отказать математическому и геометрическому духу въ возможно больрей логической свободе и которые, напримеръ, при каждой новой гипотезе, задаютъ во-просъ, обладаетъ ли она доступнымъ воспрiятiю чисто внешнимъ иаображенiемъ; но мы принимаемъ это наименованiе при условiй, что ему не придаютъ никакого собственно философскаго значенiя»-«Собственно философское» значенiе, которое здесь отклоняется, овначаетъ лишь - какъ доказываете ссылка на П. Дюбуа Рей-нона *)-исключительно гипостазированiе математическихъ идеаль-ныхъ концепцiй и возведете ихъ въ своего рода абсолютный сущности; но это совсемъ не затрагиваете ихъ чисто-абстракт-наго значенiя, какъ гипотезъ**).

Но требуемая такимъ образомъ для геометрическихъ понятiii логическая свобода не можеть относиться лишь къ тЪмъ изъ нихъ, которыя имiютъ дело съ многомерными пространствами, а должна-если стремятся къ истинному единству системы-заключаться уже и въ методахъ обыкновенной эвклидовой геометрiи. Если бы «точка» этой геометрiи была лишь образомъ некотораго существующаго внi мысли объекта-«ибо существуютъ внешнiе предметы, которые даютъ намъ прямо (!) представленiе о точке иди вышваготъ его въ насъ и безъ которыхъ нетъ собственно такъ называемой точки» ***),-то непрерывность построенiя геометрiи была бы нарушена: ибо какая существуетъ аналогiя между элементами, являющимся копiями данныхъ вещей, и элементами, вытекающими изъ однихъ «духовныхъ действiй»? И обратно: если съ помощью этихъ умственныхъ операцiй можно обосновать эле-ментъ многообразiя n измерений, то почему невозможно получить

*) Подробнее см. гл. IV.

**) См. Веронезе, цит. соч. стр. VIII и ел., стр. 658, 687 и т. д. ***) Вероневе, цит. соч., стр. VII, ср. стр. 225 и ел.

141

съ ихъ помощью и частный случай трехъ измiфенiй? ДЬйстви-тельно, какъ разъ тогда, когда сопоставляют^ эвклидово пространство съ другими возможными «формами пространства», выступаютъ особенно наглядно его специфическiе абстрактные признаки. Если съ точки зрiнiя метагеометрiи оно разсматривается, какъ простое начало, какъ данный матерiалъ для далеко идущихъ выводовъ, то съ точки зренiя критики познанiя оно означаетъ, тiшъ не мен'ее, уже конецъ нiкотораго сложнаго мыслеянаго ряда операцiй. Психологическiя изсл'Ьдованiя о происхожденiи представле-нiй о пространстве - даже тi, которыя были произведены съ чисто-сенсуалистической тенденцiей-косвеннымъ образомъ подтвердили и выяснили это. Они показываютъ неопровержимымъ образомъ, что пространство нашего чувственнаго воспрiятiя неравно-значуще съ яространствомъ нашей геометрiи, а въ самыхъ какъ разъ рiшающихъ, конститутивяыхъ признакахъ отлично отъ него. Для чувственнаго воспрiятiя каждое различенiе въ мiстъ1 необ-ходимымъ образомъ связано съ некоторой противоположностью въ содержанiи ощущенiя. «Верхъ» и «низъ>, «право> и «лево» не являются здесь равноценными направленiями, которыя можно безразлично заменить другъ другомъ; наоборотъ, такъ какъ имъ соотвътствуютъ вполнii различныя группы ощущенiй, то они являются качественно своеобразными, не сводимыми другъ къ другу свойствами. Въ пространстве же геометрiи н'Ьтъ совсемъ этихъ противоположностей. Элементъ, какъ таковой, не обладаетъ совсемъ специфическимъ содержаяiемъ; все свое значенiе онъ полу-чаетъ только изъ занимаемаго имъ въ систем* относительнаго п о-ложенiя. Принципъ универсальной однородности точекъ пространства уничтожаете »et различiя, которыя - какъ, например^ различiе между верхомъ и низомъ-касаются лишь отноше-нiя внiшнихъ вещей къ нашему твлу, т. е. къ некоторому отдельному, эмпирически данному объекту *). Точки суть лишь исходные

*) Подробней о различiи между „однороднымъ" геометрическимъ про-странствомъ и ыеоднороднымъ и „анизотропнымъ" физiологическимъ про-сiранствомъ см. Mach. ,Erkenntniss und Irrtum", Lpz., 1905, стр. 331 и ел. Ср. особенно разсужденiя Stumpfa „Zur Einteilung der Wissenschaften („Abhandl. d. Berl. Akad. d. Wiss.", 1906, стр. 71 и ел.).

142

пункты возможныхъ построенiй: причемъ требуется, чтобы можно было распознать и сохранить тождество этихъ построенiй при всемъ различiи исходныхъ элементовъ. На томъ же основанiи опираются и дальнiйшiе признаки геометрическаго пространства-его недрерывность и безконечность: ихъ мы совсiмъ не и м 4 е м ъ данными въ пространственныхъ ощущенiяхъ; они основываются на произведенныхъ нами идеальныхъ дополненiяхъ этихъ ощущенiй. Иллюзiя, будто непрерывность пространства есть чувственно-феноменальное свойство, была окончательно разрушена более глубокимъ математическимъ анализомъ непрерывности, про-ивведеннымъ современнымъ ученiемъ о многообразiяхъ. Изъ пред-ставляемаго намъ чувственнымъ воззрiнiемъ неопределеннаго образа пространства никакимъ образомъ нельзя получить того понятая о непрерывности, которое предполагаешь математикъ и кото-рымъ онъ пользуется въ своихъ дедукцiяхъ. Этимъ путемъ никакъ нельзя изобразить какъ разъ то последнее и решительное различiе, которое отделяетъ непрерывныя многообразiя отъ прочихъ безконечныхъ совокупностей: какъ бы ни была остра чувственная способность различенiя, мы не могли бы съ ея помощью найти какiя бы то ни было различiя между непрерывнымъ многообра-зiемъ и дискретнымъ многообразiемъ, элементы котораго '«повсюду плотны», т. е. между двумя членами котораго-сколь угодно близкими между собой-можно указать еще одинъ членъ, принадлежа-щiй къ самому многообразiю *). Подобно тому, какъ область рацiо-надьныхъ чиселъ постепенно расширилась благодаря ряду а к т о в ъ мысли и превратилась въ непрерывную совокупность всехъ вещественныхъ чиселъ, такъ и пространство чувственности превращается въ безконечное, однородное и непрерывное логическое пространство геометрiи лишь съ помощью ряда умственныхъ операцiй.

Поэтому является большой странностью то, что изъ возможности метагеометрiи умозаключали объ эмпирической обусловленности

*) Объясненiя и прим-Ьры см. особенно у Huntmgton, „The Continuum ?s a type of Order" („Annals of МаiЬетаiiса",2-ясерiя,т. VI и VII) (ср. также мою статью „Kant u. die moderne Mathematik", Kant-Studien ХЦ, 15 и сд.).

143

эвклидова пространства. Отъ того, что на-ряду съ эвклидовой гео-метрiей можно представить себе и другiя системы, обладающая той же логической строгостью связи, первая еще не перестаетъ быть радiональной системой условiй и слiдствiй. Противъ кантов-скаго пониманiя геометрiи, исходя изъ однiхъ и т е х ъ же предпосылокъ, заимствованныхъ съ метагеометрическихъ спекуля-цiй, были, удивительнымъ образомъ, выдвинуты два совершенно противоположныхъ возраженiя. Одни, исходя отсюда, оспаривали чистоту и апрiорность пространства; другiе же указывали, что въ собственномъ изложенiи Канта недостаточно выражена апрiор-ная свобода математическихъ понятiй и ихъ возможное освобо-жденiе отъ всякой чувствевной наглядности. То, что у Канта аксiомы признаются «данными» въ «чистомъ воззрiшiи», это объяснимо лишь той примесью сенсуализма, которая осталась еще въ кантовскомъ идеализме» *). Изъ обоихъ этихъ дiаметрально противоположныхъ упрековъ лишь второй имiетъ вполнii ясный и последовательный смыслъ. Современное расширенiе области математики подкрепило и осветило съ новой стороны не эмпирически, а чясто-логическiй характеръ ея основныхъ понятiй. Роль, которую можно еще приписать теперь опыту, заключается совсiмъ не въ обоснованiи отдбльныхъ системъ, но въ производимомъ между ними выборе. Такъ какъ все системы по своей логической системе равноценны, то-такъ разсуждаютъ-нуженъ принципъ, который руководитъ нами въ примiненiи ихъ; и такъ какъ дЬло идетъ здесь не о простыхъ возможностяхъ, но о понятiй и о проблеме самой реальности, то принципъ этотъ можно искать лишь въ наблюденiи и въ научномъ эксперимент*. Экспериментъ, такимъ образомъ, никогда не служить доказательствомъ или хотя бы опорой математической связи обоснованiя, которая должна поддерживаться цiликомъ сама собой; но онъ указываетъ путь отъ истины понятiй къ ихъ действительности. Наблюдете заполняетъ пробель, оставленный чисто-логическимъ изслiщованiемъ; оно ведетъ отъ многозначныхъ формъ пространства геометрiи къ однозначному пространству фивическихъ предметовъ.

*) WelJstein, цит. соч., стр. 146.

144

Однако, это разсужденiе выходить уже изъ границъ чистой математики, приводя къ проблем^, которая можетъ подучить свое ладное разрiшенiе лишь благодаря критико-познавательному рас-чiененiю и анализу методовъ физики. Въ центръ разсужденiя теперь выдвигается вопросъ о методе и познавательной ценности сам°го физическаго эксперимента. Если отъ эксперимента ожидаютъ подтвержденiя или опроверженiя определенной совокупности математическихъ гипотезъ, то онъ понимается здесь по существу въ баконовскомъ смысле «experimentum crucis». Опытъ и гипотеза согласно этому принадлежать къ различнымъ областямъ: каждая существуетъ сама по себе и функцiонируетъ сама по себе. сЧистый> опытъ, разсматриваемый, какъ свободный отъ всякихъ абстрактныхъ посылокъ, становится судьей ценности твхъ или иныхъ теоретическихъ допущенiй. Но критическiй ана-ли8ъ понятiя объ опыте показываетъ, однако, что предполагаемое здесь разделенiе заключаетъ въ себе внутреннее противоречiе. Никогда дело не обстоитъ такъ, что на одной стороне находится абстрактная теорiя, а на другой-матерiалъ наблюденiя, какъ онъ данъ намъ самъ по себе, безъ всякаго абстрактнаго истолкованiя. Наоборотъ, матерiалъ этотъ, чтобы мы могли приписать ему какую-нибудь определенность, долженъ уже носить въ себе черты какой-нибудь логической обработки. Мы никогда не можемъ противопоставить понятiямъ, которыя мы анализируемъ, данныя опыта, какъ голые «факты»; въ конце концовъ мы всегда имеемъ дЬло съ определенной логической системой связи эмпири-чееки-даннаго, которая измеряется по другой аналогичной системе и обсуждается, исходя изъ нея *). Но если измеряющей экспери-ментъ постоянно связанъ такимъ способомъ съ целой совокупностью предпосылокъ, въ которой заключены какъ чисто-геометрическiя освоения допущенiя о пространстве, такъ и конкретно-физическiя до-пущенiя о свойствахъ телъ, то ясно, что отъ него никогда нельзя ожидать при решенiи спора о геометрическихъ системахъ одно-вначнаго решенiя. Всегда, когда оказывается противоречие между полученной экспериментальнымъ путемъ величиной и вели-

*) Ср. болЪе подробное обоснование въ гл. IV, особенно отд*лъ IV. 10 145

чиной, выведенной дедуктивно на основанiи теорiи, мы вправЬ восстановить необходимое согласiе между теорiей и наблюденiемъ тiмъ, что мы измiняемъ или математическую, иди физическую часть нашей абстрактной гипотезы. И несомненно, что прежде всего ми решились бы на измiненiе физической части нашихъ конструкцiй. Возможное варьированiе условiй подчиняется даже опредiленнымъ праииламъ. Прежде, чемъ мы решились бы,' на основанiи результатовъ астрономическихъ наблюденiй, перейти отъ геометрiи Эвклида къ геометрiи Лобачевскаго, мы попытались бы объяснить новыя данныя опыта, видоизм'Ьнивъ наши физнческiе законы, например!,, отказавшись отъ принципа строго прямоли-нейнаго распространенiя свита. Въ борьбе за первоосновы геометрiи философы не переставали указывать на эту сторону дела. Но, повидимому, лишь разъясненiя Пуанкаре, бывшiя въ этомъ отношенiи, действительно, решающими, сумели убедить въ этомъ и математическiе круги. Въ опыте, - съ цолнымъ правомъ подчеркиваетъ Пуанкаре,-мы всегда им^емъ дiло лишь съ отно-шенiями тiлъ другъ къ другу и ихъ взаимными физическими дМ-ствiями; мы никогда не оперируемъ съ отношенiемъ гЬлъ къ чистому геометрическому пространству или съ отношенiемъ частей пространства между собой. Поэтому напрасно ждать разъясненiй о «сущности» пространства отъ метода, который по всей своей тен-денцiи и существу пресл-вдуегь совсiмъ иныя задачи. Такъ какъ объекты, съ которыми им^етъ дiiло опытъ, совс'Ьмъ иного вида, чемъ предметы, о которыхъ произносятся геометрическая высказы-ванiя-ведь исиытанiе матерiальныхъ вещей никогда не затрагиваете непосредственнымъ образомъ идеальныхъ круговъ или пря-мыхъ,-то мы также и этимъ способомъ никогда не добьемся рi-шенiя и выбора между различными путями, которые открываются передъ геометрическимъ образованiемъ понятiй *).

Такимъ образомъ, передъ нами сызнова встаетъ задача отыскать рацiональный критерiй различенiя, если только мы же-лаемъ, чтобы выборъ между разнообразными системами не совсiшъ завис'влъ отъ нашего субъективнаго произвола. Логическая н е-

противор'Ьчи в ость, свойственная всiмъ этимъ системамъ, есть лишь общее для всехъ нихъ отрицательное усдовiё. Но при всей этой общности есть и различiя,-различiя въ принципi-адьной конструкцiй и въ относительной простоте этой конструкцiй. Съ точки зрiшiя закона тождества и противорiчiя идея разнородности пространства, повидимому, равноправна съ идеей объ однородности его; но нътъ, твмъ не менее, никакого сомненiя, что въ сфер* рацiональной систематики знанiя по-нятiе объ однородности предшествуетъ въ самыхъ различныхъ об-ластяхъ понятiю о неоднородности. Вместе съ успехами конструк-тивныхъ синтезовъ неоднородное начинаютъ постоянно выводиться, путемъ прибавленiя некотораго новаго условiя, изъ однороднаго; оно представляетъ, такимъ образомъ, более сложное умственное об-разованiе. форма эвклидова пространства въ томъ же самомъ смысле «проще» любой иной пространственной формы, въ какомъ въ алгебре мвогочленъ первой степени проще многочлена второй степени *). Въ порядке знанiя, по меньшей мере, имеется здесь необходимая и однозначная последовательность; но при критико-повнавательномъ изследованiи мы согласно этому порядку знанiя определяемъ порядокъ предметовъ. Различiя между эвклидо-вьшъ пространствомъ и пространствомъ, какъ оно представляется согласно гипотезамъ Лобачевскаго или Риыанна, обнаруживаются лишь тогда, когда мы начинаемъ разсматривать части этихъ про-странствъ, переходящiя некоторую определенную величину. Если же, наоборотъ, мы ограничимся разсмотренiемъ творческаго элемента всехъ этихъ пространствъ, то отъ разли-чiй ничего не остается. Для измеренiй безконечно-малыхъ фигуръ полносильны теоремы эвклидовой геометрiи, которая оказывается, такимъ образомъ, въ принципiальномъ смысле основной. Она представляетъ первую и фундаментальную схему, съ которой связаны и надъ которой возвышаются все iiрочiя конструкцiй. Однородность евклидова пространства есть лишь выраженiе того, что оно разсматривается, какъ чистое пространство отношенiи и построе-нiй, и что оно лишено всехъ другихъ матерiальныхъ признаковъ,

*) Ср. Poincare La Science et l'hypothese, гд. 3-5.

*) Poincare, цит. соч., стр. 61.

146

147

которые могутъ указывать на различiе абсолютныхъ вели-ч и н ъ и абсолютнаго направленiя *). Поскольку въ чистой гео-метрiи вообще допустимы абсолютныя опредiлеиiя величинъ, они всегда опираются на некоторую всеобщую связь отношенiя, которая сперва развивается независимо и лишь загвмъ определяется въ частности ближе, путемъ присоединенiя особыхъ условiй.

Такимъ образомъ, эвклидово пространство остается, разумеется, логической гепотезой, входящей вообще въ целую систему воз -можныхъ гипотезъ; но твмъ не менее оно обладаетъ внутри этой системы извiстнымъ особеннымъ зяаченiемъ и ценностью. Изъ некоторой совокупности чистыхъ логически-математическихъ формъ мы извлекаемъ многообразiе, отвечающее определеянымъ p а ц i о-нальнымъ требованiямъ и пытаемся съ его помощью представить и сделать нагляднымъ всю определенность p е а л ь н а г о. Но это не исключаетъ возможности того, что на-ряду съ основной системой и более сложныя системы имеютъ некоторую сферу при-мененiя, въ которой и оне прiобретаютъ конкретное зяаченiе. Во-первыхъ, полученные въ этихъ системахъ результаты можно нередко истолковать такъ, что оне становятся доступны-хотя бы и косвеннымъ образомъ-наглядному представленiю. Теоремы ге-ометрiи Лобачевскаго, какъ показалъ Бельтрами, являются точной копiей теоремъ исевдосферическихъ поверхностей, представляю-щихъ, съ своей стороны, особый отделъ обыкновенной эвклидовой геометрiи; развитая же Риманномъ «эллиптическая геометрiя» плоскости соответствуетъ геометрiи шаровой поверхности эвклидова пространства трехъ измеренiй. Даже при переходе къ системамъ высшихъ измеренiй не прекращается возможность подобной интер-претацiи. Мы можемъ далее выбирать въ пределахъ пространства нашего воззренiя образы, подчиняющееся въ своихъ взаимныхъ отношенiяхъ правиламъ, которыя выведены и доказаны для какого-нибудь многомернаго многообразiя. Такъ, многообразiе всехъ ша-

*) Ср., напримЪръ, Grassman, „Ausdehnungslehre von 1844", § 22: „Простота пространства выражается въ основномъ положен!и: пространство одинаково устроено во всъ-хъ мiстахъ и по всiшъ направленiямъ, т. е. во вс^хъ м'Ьстахъ в по всiшъ направленiямъ могутъ быть произведены одинаковы я построен! я".

148

ровъ образуетъ линейное многообразiе четырехъ измеренiй, форму вотораго можно наследовать и установить въ общей геометрiи *). Но если мы даже откажемся огь этой интерпретацiи съ помощью известныхъ пространственныхъ отношенiй и проблемъ, то этимъ не исключена еще возможность истолковать теоремы не-эввдидовой геометрiи такимъ образомъ, что имъ соответствуетъ определенный конкретный «смыслъ». Ведь все эти теоремы выра-жаютъ лишь некоторую систему отношенiй, не давая окончатель-наго определенiя характера техъ отдельныхъ чденовъ, которые входятъ въ эти отношенiя. Точки, о которыхъ оне трактуюгь, это не самостоятельныя вещи, которымъ присущи сами по себе из-вестныя свойства; оне лишь гипотетическiе термины самого отношенiя, въ которомъ и черезъ которое оне получаютъ лишь впервые все свое своеобразие. Поэтому повсюду, где мы встреча-емъ некоторую совокупность, подчиняющуюся правиламъ связи одного какого-нибудь изъ этихъ ученiй объ отношенiяхъ, тамъ - независимо оть того, каковы качественные признаки ея э л е м е н-товъ, и отъ того, можно ли представить эти элементы наглядно-пространственно--имеется область примененiя абстрактныхъ теоремъ. Поскольку физика представляетъ намъ системы, для полнаго изображенiя которыхъ нужно множество определяющихъ элементовъ, постольку можно-независимо отъ того, доступны ли эти элементы пространственному истолкованiю-говорить о многообразiи многихъ «иамеренiй», которое нужно разбирать и изследовать по развитымъ уже предварительно дедуктивнымъ законамъ этихъ многообразiи.

Во всякомъ случае, ясно видно, что метагеометрическiя изсле-дованiя не угрожаютъ, а, наоборотъ, подтверждаюсь чисто-рацiо-нальную форму геометрическаго образованiя понятiй, какъ оно прогресивно и все точнее устанавливалось. Если даже принять въ разсчетъ все сомненiя, которыя могутъ вызвать эти изсле-дованiя, то сомненiя эти все-таки никогда не затрагиваютъ самой основы понятiй, но лишь возможность ихъ эмпирическаго примененiя. Даже самые радикальные сторонники эмпирической точки

*) Подробнее см. у Веллыптейна, цит. соч., стр. 112.

149

зр'Ьнiя прямо признаютъ, что опытъ, въ его современномъ на-учномъ виде, нигде не подаетъ намъ повода перешагнуть черезъ границы эвклидовой «формы пространства» *). Съ точки зр^нiя нашихъ теперешнихъ познанiй-разсуждаютъ и они-мы гаравi утверждать, что физическое пространство «можно положительно разсматривать, какъ эвклидово». Мы не должны только закрывать для себя возможность того, что въ отдаленномъ будущемъ и здесь можетъ произойти какое-нибудь излгЬненiе. Если будуть установлены какiя-нибудь надежныя наблюденiя, которыя не согласуются съ нашей теперешней системой природы и которыя нельзя привести въ согласiе съ ней даже радикальнейшими измi-ненiями въ физическихъ основахъ этой системы, если, такимъ образомъ, будутъ тщетно испробованы все логическiя измiненiя внутри более узкой области, тогда только должна выступить на сцену мысль, не возможно ли возстановить потерянное единство путемъ перемены «формы пространства». Но если и считаться съ подобными возможностями, то этимъ лишь подтверждается то по-ложенiе, что, при переходе на почву опред'Ьленiя действительности, ни одно утвержденiе, какимъ бы оно ни казалось безспорнымъ, не можетъ претендовать на абсолютную достоверность. О дне только чистыя связи условiй, которыя даетъ математика, господствуютъ безраздельно, между тiмъ какъ утвержденiе, что есть реальности, во всемъ соответствующая этимъ усло-вiямъ, имiетъ постоянно лишь относительное и, значить, проблематическое значенiе. Но система общей геометрiи доказываетъ, что эта проблематичность совсiшъ не затрагиваегь логическаго характера математическаго з н а н i я, какъ такового. Она показы-ваетъ, что чистое л о н я т i е съ своей стороны вооружено и готово для всбхъ возможныхъ измiненiй въ эмпирическихъ свойствахъ воспрiятiй: универсальныя формы рядовъ даютъ намъ орудiя для пониманiя и логическаго владычества надъ всякимъ порядкомъ эмпирическихъ явленiй.

*) См. Enriques, .Problem! della Seien*.-, Bologna, 1906. стр. 293 н

150

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.

Образованiе понятiй въ естествознанiи.

i.

Логическая природа чистыхъ функцiональныхъ понятiй находить свое отчетливейшее выраженiе и свое совершеннейшее подтверждение въ системе математики. Здесь дана намъ область самаго свобод-наго и универсальнаго творчества, въ которой мышленiе перера-стаетъ все границы «даннаго». Предметы, которые мы здесь раз-сматриваемъ и въ объективную природу которыхъ мы пытаемся проникнуть, имеютъ лишь идеальное бытiе; вс'Ь высказываемый нами о нихъ свойства вытекаютъ исключительно изъ закона ихъ первоначальнаго построенiя. Но именно въ этомъ пункте, где развертывается въ самомъ чистомъ виде продуктивность мышде-нiя, открывается и своеобразный пределъ его. Математическiя конструктивный понятiя могутъ оказаться плодотворными и необходимыми въ своей узкой области; но, повидимому, имъ не достаетъ одного существеннаго момента, чтобы служить примеромъ для всей совокупности логическихъ задачъ, типомъ, указывающимъ свойства понятiя вообще. Ведь, хотя логика и ограничивается сферой «формальнаго», но связь ея съ проблемами бытiя нигде не разорвана. Понятiе, логическое сужденiе и умозаключенiе имеютъ своимъ предметомъ строенiе и составъ бытiя. Аристотелевское по-ниманiе и обоснованiе силлогистики повсюду предполагаетъ эту идею; онтологiя даетъ основу для возведенiя логики. Но если это такъ, то математика не можетъ уже служить образцомъ и примеромъ.

151

такъ какъ именно она, держащаяся строго въ границахъ создан-ныхъ ею образовъ, принципiально равнодушна къ проблемамъ бытiя. Можно поэтому признать различiе между «родовыми пона-тiями» въ смысл* традицiоннаго логическаго ученiя и математическими конструктивными понятiями; но возможно было бы попытаться объяснить это различiе тiмъ, что въ цредiлахъ математики не стремятся и не добиваются последней и завершающей функцiи понятiя. Налагаемое нами здесь на себя добровольное самоограниченiе правомерно; но оно сделалось бы методической ошибкой, если бы мы пытались, исходя изъ этой узкой области, определить всю совокупность логическихъ проблемъ. Нельзя произносить рiшенiя насчетъ характера и направленiя логики, основываясь на методе разсмотрiнiя, вращающемся все время въ сфере идеальнаго. Настоящимъ масштабомъ должны здесь быть скорее истинныя понятiя о бытiи, высказыванiя о вещахъ и ихъ дей-ствительныхъ свойствахъ. Вопросъ о эначенiи и функцiи понятiя получаетъ свою окончательную и полную формулировку лишь въ естественно-научныхъ понятiяхъ.

Если исходить изъ этой постановки проблемы, то решенiе, ао-видимому, склоняется въ сторону традиционной логической кон-цепцiи. Естественно-научныя понятiя не знаютъ и не должны знать другой задачи, какъ то, чтобы копировать данные факты воспрiятiя и передавать ихъ содержанiе въ сокращенной форме. Здесь истина и достоверность сужденiя опираются на одномъ лишь наблюденiи; здесь нетъ места творческой свободе и произволу мышленiя; видъ понятiя заранее уже предопределенъ видомъ м а т е p i а л а. Чемъ более мы освобождаемся отъ собственныхъ образованiй, отъ собственныхъ «идоловъ» духа, темъ более чистымъ вырисовывается образъ внешней действительности. Здесь, повиди-мому, сила и действительность понятiя имеетъ своимъ источникомъ пассивное отдаванiе себя объекту. Но вместе съ этимъ мы iгвли-комъ оказываемся на почве всеобщаго основного воззренiя, нашед-шаго свое логическое выраженiе въ теорiи абстракцiи. Понятiе есть лишь копiя даннаго; оно означаетъ лишь из-вестныя черты, находящiяся въ воспрiятiи, какъ таковомъ.

Общепринятое пониманiе смысла и задачи естествознанiя вполне

152

соответствует* этой концеяцiи. Согласно ему все значенiе и вся достоверность естественно-научнаго понятiя зависитъ отъ того тсiовiя, чтобы въ немъ не было ни одного элемента, не имеющаго себi точнаго эквивалента въ мiре действительности. Разумеется, теорiя для полнаго изображенiя определенной группы явленiй должна прибегнуть къ известнымъ гипотетическимъ момен-тамъ. Но даже и въ этомъ случае мы требуемъ, чтобы вводимый такимъ образомъ новый составной элемента могъ быть засви-дътельствованъ хотя бы въ какомъ-нибудь возможномъ воспрiятiи. Гипотеза означаетъ лишь пробелъ въ нашемъ знанiи; она означаете допущенiе определенныхъ данныхъ ощущенiя, которыя до сихъ поръ не были доступны никакому нашему опыту, но на которые, темъ не менее, должно смотреть, съ точки зренiя ихъ качествъ, какъ на вполне однородный съ действительно воспринимаемыми мементами. Совершенное познанiе могло бы отказаться отъ этого asylum ignorantiae; ему действительность была бы п,ели-комъ дана ясной и прозрачной въ фактическихъ воспрiятiяхъ.

Вся современная философiя физики кажется на первый взглядъ все более строгимъ и последовательнымъ проведенiемъ этой основной идеи. Кажется, что только благодаря ей можно отграничить строго другъ отъ друга опытъ и натурфилософскую спекуляцiю, что въ ней дано то необходимое условiе, благодаря которому впервые научное понятiе физики достигаетъ своей определенности и завершенiя. Метафизическому идеалу объясненiя природы противопоставляется теперь более скромная задача совершеннаго и однозначнаго о п и с а н i я действительности. Мы не переступаемъ уже более границъ ощущаемаго, чтобы открыть недостунныя опыту причины и силы, на которыхъ опирается многообразiе и изменчивость нашего мiра воспрiятiи. Содержанiе физики составдяють одни лишь явленiя въ той именно форме, въ которой они непосредственно доступны намъ. Ощущенiя звуковъ, цветовъ, запаха, вкуса, мускульныя чувства, воспрiятiя давленiя и прикосновенiя,- вотъ тоть единственный матерiадъ, изъ котораго строится мiръ физики. А то сверхсметное, что имеется какъ будто въ этомъ мiре-такiя понятiя, какъ атомъ или молекула, эеиръ или энер-гiя - не представляетъ вовсе принципiально новаго элемента,

153

являясь лишь своеобразной маской, въ которой выступаютъ передъ нами данныя чувствъ. Последовательный логическiй ана-лизъ указываетъ мiiру значенiя также и этихъ понятiй, раз-смаiривая ихъ, какъ символы опред*ленныхъ ощущенiй и ком-плексовъ ощущенiй. Повидимому, только такимъ путемъ получается поистин* единство физической методики, ибо теперь она складывается уже не изъ разнородныхъ составныхъ частей; во всеобщемъ понятiй ощущенiя данъ теперь тотъ общiй знаменатель, къ которому, въ конц* концовъ, приводятся вс* высказы-ванiя относительно реальности. То же, что не поддается этому приведенiю, то т*мъ самыыъ доказываетъ, что оно произвольно введенный факторъ, который сызнова долженъ исчезнуть въ ко-нечномъ результат*. Ц*ль философiи физики была бы достигнута, если бы мы могли разложить любое понятiе, входящее въ какую-нибудь физическую теорiю, на сумму воспрiятiй и заменить его этой суммой, если бы мы могли совершить весь обратный путь отъ мысленныхъ сокращен!и, каковыми оказываются, въ конц* концовъ, понятая, къ конкретной полнот* эмпирическихъ отд*ль-ныхъ фактовъ. Согласно этому подлиннымъ логическим ъ идеа-ломъ физики было бы устраненiе вс*хъ элементовъ, не обладаю-щихъ прямымъ чувственнымъ коррелатомъ въ мiр* воспринимае-мыхъ вещей и процессовъ.

Какъ бы ни судить о правом*рности этого идеала, уже въ формулировк,* его имеется двусмысленность, которую сл*дуетъ прежде всего устранить. Изображенiе фактическая» состава фи-зическихъ теорiй см*шано здiсь съ всеобщимъ требованiемъ, обращеннымъ именно къ этимъ теорiямъ. Какой изъ обоихъ этихъ моментовъ зд*сь первоначальный и основной? Им*емъ ли мы зд*сь передъ собой прост*йшее и кратчайшее выраженiе д*йстви-тельнаго метода самой науки, или же, наоборотъ, методъ этотъ изм*ряется по некоторой всеобщей теорiй иознанiя и д*йстви-тельности, которая и р*шаетъ о его значенiи? Въ этомъ посл*д-немъ случай, каковъ бы ни былъ конечный результатъ, методъ разсмотрiнiя принципiально не изм*няется. Тутъ опять-таки дорогу физик* пыталась бы указать опред*ленная метафизика по-знанiя. Добиться р*шенiя въ этомъ вопрос* можно, лишь

154

за самымъ ходомъ физическаго изсл*дованiя и разсмотр*въ непосредственно въ ея д*ятельности раскрывающуюся зд*сь функцiю понятiя. По отношенiю къ еложнымъ фактамъ з н а н i я нужно требовать той же непредуб*жденности, какой позитивистическiй критикъ требуетъ по отношенiю къ бол*е простымъ фактамъ чув-ственнаго воспрiятiя. И зд*сь, прежде ч*мъ умозаключать насчетъ ценности концепцiи д*йствительаости, заключающейся въ н*которой естественно-научной теорiй, сл*дуетъ прежде всего хорошенько постигнуть чисто-«фактическую» сторону ея. Представляетъ ли эта теорiя въ томъ вид*, въ какомъ она развилась исторически, простое собранiе наблюдена!, нанизанныхъ одно на другое, или же она ваключаетъ въ себ* моменты, принадлежащiе другому логическому типу и требующiе поэтому другого обоснованiа?

II.

Уже первый отличительный признакъ, сразу бросающiйся въ глаза при разсмотр*нiи любой естественно-научной теорiй, содер-житъ въ себ* своеобразную трудность, какъ только его разсматри-ваютъ съ точки зр*нiя всеобщаго логическаго основного требова-нiя описанiя даннаго. Теорiй физики получаютъ свою опре-дйленность лишь отъ математической формы, въ которой он* излагаются. Функцiя исчисленiя и изм*ренiя необходима, чтобы дать хотя бы сырой матерiалъ «фактовъ», которые должны быть изложены и соединены въ теорiй. Не считаться съ этой функцiей значило бы уничтожить достов*рность и ясность самихъ фактовъ. Однако, какъ ни очевидна, какъ ни банальна, на первый взглядъ, эта связь, она по существу парадоксальна, какъ только мы вспомнимъ общiя соображенiя о принцип* математи-ческаго образованiя понятiй. Мы в*дь вид*ли, что все содержанiе, свойственное математическимъ понятiямъ, основывается на чистой конструкцiи. То, что дано въ воззр*нiи, образуегъ лишь пси-хологическiй исходный пунктъ: математически познается оно лишь тогда, когда подвергается истолкованiю, превращающему его иъ иную форму многообразiя, которую мы можемъ создать согласно

155

рацiональнымъ законамъ. Но, очевидно, мы должны отбросить всякое подобное истолкованiе тамъ, где дело идетъ лишь о пониманiи даннаго, к а к ъ д а н н а г о, въ его специфической индивидуальной структур* и особенности. Для задачи познанiя природы въ позитивистическомъ смысле слова математическое понятiе пред-ставляетъ не столько правомерное необходимое орудiе, которымъ мы можемъ пользоваться на-ряду съ экспериментомъ и наблюде-нiемъ, сколько некоторую постоянную опасность. Разв* мы не искажаемъ непосредственное бытiе, открывающееся намъ въ чув-ственномъ ощущенiи, когда мы подчиняемъ его схем* нашихъ математическихъ понятiй и этимъ сызнова разлагаемъ эмпирическую определенность и связанность бытiя въ свобод* и произвол* мышленiя?

И, однако, какъ ни ясна и очевидна эта опасность, ея никогда нельзя обойти лли преодолеть. Физикъ можетъ въ качеств* эмпи-ристическаго философа изображать ее въ самыхъ яркихъ краскахъ, но, какъ только онъ вступаетъ на путь научнаго изсл*~ дованiя, онъ сейчасъ же попадается во власть ея. Н*тъ такого точнаго констатированiя пространственно-временяыхъ фактовъ, при которомъ можно было бы обойтись безъ прим*ненiя опред*ленныхъ чиселъ и м-връ. Можно было бы не обратить внимавiя на заключающуюся здесь трудность, если бы д*ло шло только объ элемен-тарныхъ понятiяхъ и образахъ математики. Если первый Кепле-ровъ законъ планетнаго движенiя пользуется чисто-геометрическямъ опредiденiемъ эллипса, какъ коническаго с*ченiя, третiй-ариеме-тическими понятiями куба и квадрата, то эд*сь можно вначад* еще не видеть теоретико-познавательной проблемы; в*дь для наивнаго пониманiя сами ч и ело и фигура представляются какими-то физическими свойствами, присущими вещамъ, подобно ихъ цвету, блеску или твердости. Но ч*мъ больше разрушается эта иллюзiя по м*ре развитiя математическаго образованiя понятiй, тiмъ настойчивее выступаетъ общiй вопросъ. Ибо при построенiи механики и физики приходится все время пользоваться именно более сложными математическими понятiями, которыхъ уже невозможно непосредственно реализовать въ области чувственнаго. Концепцiи, которыя по своему происхожденiю и логическому со-

156

ставу вполнi разрываютъ съ воззренiемъ (Auschauung), принци-пiально выходя изъ рамокъ его, приводятъ къ плодотворн*йшимъ примененiямъ въ самой сфер* воззрев iя. Въ анализе безконечно-иалыхъ это отношенiе выражено особенно ярко; но оно не ограничивается имъ однимъ. Даже такая абстрактная идеальная кон-струкцiя, какъ система комплексныхъ чиселъ, представляетъ новое доказательство этой связи; такъ, нанртгЬръ, Куммеръ проводилъ идею, что наблюдаемый въ этой системе отношения имеютъ свой конкретный субстрата въ отношенiяхъ химическихъ соединенiй. «Химическому соединению соответствуетъ въ комплексныхъ числахъ умножение; элементамъ, или вернее атомнымъ в*самъ ихъ, соот-ввтствуютъ первоначальные множители; а химическiя формулы для разложенiя телъ точно такiя же, какъ формулы для чиселъ. Даже идеальный числа нашей теорiи находятся въ химiи-можетъ быть, даже слишкомъ часто-въ вид* гипотетическихъ радикаловъ, которые не были еще до сихъ поръ представлены, но которые, какъ н идеальныя числа, имЬютъ реальность въ соединенiяхъ... Не сл*-дуетъ разематривать указанный здесь аналогiи, какъ простую игру ума; основа ихъ въ томъ, что химiя, какъ и разсматри-ваемая здесь вiтвь теорiи чиселъ, имеетъ своимъ принципомъ- хотя и въ различныхъ сферахъ бытiя -одно и то же основное понятiе. именно понятiе о соединенiй (Zusammensetzung)» *). Но настоящую проблему представляетъ именно это перенесенiе обра-8овъ, все содержанiе которыхъ коренится въ связи чисто-идеадь-иыхъ построенiи, въ сферу конкретно-фактическаго бытiя. Уже здесь оказывается, что всякая естественно-научная теорiя основывается на своеобразномъ переплетенiи «действительныхъ» и «не дМствительныхъ» элементовъ. Лишь только мы сделаемъ первый шагъ впередъ огь наивнаго наблюденiя отдельныхъ фактовъ, лишь только мы начинаемъ спрашивать о связи и закон* реального, какъ мы переступили уже тесныя рамки, поставленныя намъ требованiями позитивизма. Мы сызнова вынуждены, чтобы быть въ состоянiи хотя бы обозначить строго и адэкватно эту

*) „Crelle's Journal", цит. по Hankel, „Theorie der komplexen Zahlensysteme", стр. 104.

157

связь, обратиться къ никоторой систем*, развивающей только все-общiя гипотетическiя сцiпленiя осяованiй и слiдствiй, и должны зато принципiально отказаться отъ «действительности» ея эле-ментовъ. И даже та форма лознанiя, которой выпадаетъ задача описать н изложить въ ея медьчайшихъ деталяхъ действительность, должна сначала отвернуться отъ этой действительности и заменить ее символами области чиселъ и величинъ.

Уже на первой стадiй развитiя любой естественно-научной тео-рiи можно наблюдать это съ полной ясностью. Точное лонятiе о природе коренится въ мысли о механизме и достижимо лишь на основе этой мысли. Объясненiе природы можетъ пытаться, при дальнейшемъ развитiи, освободиться отъ этой первоначальной схемы, чтобы поставить на ея место более общую и универсальную схему, но движенiе и его законы остаются собственно основной проблемой, на разработке которой впервые знанiе доходить до яснаго уразуменiя себя и своей задачи. Действительность вполне познана, разъ она разложена на систему движенiй. Но это раз-ложенiе никогда не можетъ удаться, пока изследованiе остается въ рамкахъ простыхъ данныхъ воспрiятiя. Движенiе въ обще-научномъ смысле есть не что иное, какъ определенное отношенiе, въ которое входятъ время и пространство. Но сами время и пространство становятся членами этого основного отношенiя не въ нхъ непосредственныхъ психологическихъ и «феноменаль-ныхъ» свойствахъ, но въ ихъ строго - математическихъ признакахъ. Пока мы понимаемъ подъ пространствомъ просто сумму различныхъ зрительныхъ и осязательныхъ ощущенiй, отличающихся качественно другъ отъ друга въ зависимости отъ техъ особыхъ физiологическихъ условiй, при которыхъ они происхо-дятъ, до техъ поръ въ немъ невозможно никакое «движенiе» въ смысле точной физики. Основой физики должно быть непрерывное и однородное пространство чистой геометрiи; но непрерывность и однородность никогда не присущи совокупности чувственныхъ впечатленiй; оне свойственны лишь той форме многообразiя, въ которую мы преобразуемъ конструктивно эти впечатавши на основанiи определенныхъ умственныхъ требований. Такимъ образомъ, само движенiе съ самаго начала втягивается въ

158

этотъ кругъ чисто-абстрактной обусловленности. Идлюзiя думать, будто оно составляетъ фактъ воспрiятiя, или даже тотъ основной фактъ, который намъ прежде нсего представляете каждое внешнее наблюденiе. Этимъ путемъ можно достигнуть лишь идеи о и времён i въ ощущенiяхъ, о качественномъ различiи последователь-ныхъ содержанiй представленiя; но одного этого момента недостаточно, чтобы обосновать то строгое пойятiе о движенiй, въ ко-торомъ нуждается механика. Здесь требуется на-ряду съ разли-чiемъ также н единство, на-ряду съ измененiемъ и тождество; и это тождество никогда не дается простымъ наблюденiемъ, но заключаетъ въ себе своеобразную деятельность мышленiя. Отдель-ныя место по л оженiя Марса, положенныя Кеплеромъ въ основу согласно наблюденiямъ Тихо-Браге. не содержать сами по себi мысли объ орбите Марса; и сколько бы мы ни нагромождали такихъ отдельныхъ определений положенiя, мы бы не дошли до этой мысли, если бы здесь съ самаго начала уже не имелись идеальныя предпосылки, дополняющая и заполняющая пробелы фактическая воспрiятiя. Ощущенiе даетъ намъ лишь мнолсество светящихся точекъ на небе; лишь чисто-математическое понятiе объ эллипсе, которое должно быть предварительно составлено, преобразуете этотъ прерывный аггрегатъ въ непрерывную систему. Каждое высказыванiе насчетъ единой орбиты движущегося тела предполагаете мысль о безконечномъ множестве воз-»ожныхъ местоположенiй; но безконечнаго нельзя воспринимать, какъ такового, оно возникаете лишь въ умственвомъ синтезе, въ предваренiи нiкотораго всеобшаго закона. Лишь тогда, когда мы въ силу этого закона создаемъ некоторое образованiе, охватывающее всю совокупность конструктивно-создаваемыхъ пунктовъ пространства и времени темъ, что съ «аждымъ моментомъ непрерыв-наго времени оно соединяете одно, и только одно, положенiе тела въ пространстве, - лишь тогда получается движенiе, какъ математическiй фактъ.

Такимъ образомъ, мы замечаемъ здесь съ новой стороны, что У»е первый подходъ къ механике зависите отъ посылокъ, вы-ходящихъ изъ рамокъ даннаго iгь чувственномъ опыте. Известное опредйлеше Кирхгофа, согласно которому задачей механики

159

является полное и однозначное описанiе происходящихъ въ природе