Часть 5.

Ж.-П.Ш.: В соответствии с различием уровней организации в функциях мозга, локализованные поражения головного мозга позволяют «добраться» и до математических способностей. Вели-

114

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

кий французский нейропсихолог Экаэн [51], с которым ты, может быть, знаком, различает несколько категорий дефицита.

В случае «цифровой алексии и/или аграфии» субъект не в состоянии читать и/или писать цифры, но может сохранять умение пользоваться буквами. Экаэн смог показать, что за чтение и написания цифр отвечает левое полушарие - точнее, теменная доля левого полушария.

Пациенты, страдающие от «пространственной акалькулии», не могут строить ряды из цифр. Этот дефицит, по-видимому, связан с системой визуально-двигательной ориентации, которая позволяет одновременно читать и упорядочивать цифры. В этом случае за управление движением глаз отвечает, скорее всего, правое полушарие.

Третий дефицит называется «анарифметия». Это дефицит собственно способности к счету. Пациент не в состоянии совершать арифметические действия, независимо от своей способности читать, писать и правильно располагать числа. Во всех случаях речь идет о дефицитах, связанных с тем первым уровнем, о котором мы говорили выше.

Интересное подразделение делает Лурия. Он полагает, что все перечисленные дефициты связаны с теменно-затылочной областью коры. Они, по его мнению, отличны от тех, что поражают височную долю и вызывают нарушение памяти. Поражения этого типа приводят к тому, что субъект перестает запоминать то, что он только что сделал. Ему не удается следовать за нитью своих вычислений.

Больные, страдающие поражением лобной доли, имеют нарушения другой природы. Они не воспринимают задачу, которую им необходимо решить. Они теряют нить размышления, им не удается формулировать последовательное рассуждение, они дают импульсивные ответы, в какой-то мере случайные, и упорствуют в своей ошибке. Для обнаружения фронтальных поражений применяется среди многих других тестов и цепочка последовательных вычитаний. Можно также предположить, что лобная доля отвечает за последовательное выполнение математических операций, за решение и даже постановку задач. Возможно, это соответствует второму или третьему уровню.

А. К.: Только не третьему.

Ж.-П.Ш.: Используемые в данном случае тесты являются по необходимости элементарными.

5. НЕЙРОПСИХОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ 115

А. К.: И все равно невозможно разработать тест для третьего уровня.

Ж.-П.Ш.: Почему же невозможно? Вообрази себе, например, такой тест, который могли бы использовать не-математики. Еще один тест, предлагаемый больным с поражением лобной доли, состоит в том, что их просят прочитать, а затем пересказать какую-нибудь историю. Им читают, например, «Красную Шапочку» (Лер-митт) или «Золотого Петушка» (Лурия), а затем просят восстановить историю.

А. К.: Здесь мы все еще остаемся на втором уровне.

Ж.-П.Ш.: Нет, элементы истории восстанавливаются, но целый текст бывает несвязным. Конец перемещается в начало, порядок следования эпизодов путается...

А. К.: Но это же порядок организации, воображение в этом не участвует.

Ж.-П.Ш.: Это верно. Однако найди мне объективный тест воображения. Нейропсихологи будут тебе очень благодарны.

А. К.: Я не знаю такого теста. Однако хочу задать тебе вопрос: часто говорят, что математики теряют творческий потенциал, когда стареют. И это довольно известное явление. Что ты об этом думаешь?

Ж.-П.Ш.: Лобная кора подвержена относительно быстрому старению - в частности, при болезни Альцгеймера. Больные, страдающие этим заболеванием, действительно, могут очень быстро потерять память и способность к счету. То, что они при этом теряют научный творческий потенциал - также вполне правдоподобно. ..

А. К.: Наверняка возможно более четкое различение второго и третьего уровней...

Ж.-П.Ш.: Очень сложно, особенно в рамках обычных операций. Больной с фронтальными нарушениями - какой описан, например, у Лермитта [74] - это больной, который «вписывается в окружающий мир». Когда ему дают какой-либо предмет, он его использует. Ему дают ручку, он ей пишет. Очки он надевает на нос. Молотком забивает гвоздь. Он находится в прямой связи с внешним миром, сохраняя владение речью. Он нормально выполняет рутинные виды деятельности, но ему не удается решать задачи, которые относятся к новым ситуациям. Непредвиденность - это значительное препятствие для человека, страдающего некоторыми видами нарушений лобной доли.

116

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

6. Переход с уровня на уровень посредством вариации-селекции

Ж.-П. Ш.: Думаю, для уточнения различий между вторым и третьим уровнями нам следует задать новый вопрос. Как мы переходим с уровня на уровень? В течение нескольких лет [8, 12, 13, 15] я разрабатывал предположение (аналогичные идеи можно найти и у других авторов [31, 30, 65] ), суть которого заключается в том, что переход с уровня на уровень (причем какой угодно уровень) можно описать в терминах этакого «обобщенного дарвинизма» (см. рис. 23). Переход с некоторого уровня на следующий нуждается в двух фундаментальных составляющих - генераторе разнообразия и системе отбора. Элементы начального уровня комбинируются между собой, меняются случайным образом и вырабатывают некие переходные «формы», в зависимости от следующего более высокого уровня организации. Эти формы порождаются

Доступ к верхним уровням

(социальным и т.д.)

уровень Z

Стабилизация и

усиление

? ???.???\?. Opj. СииНОСЩИ·*! " ^^ "^ " А J г

правила И устойчивость l· Регрессия 1 1 Регулирование между уровнями

? 1

1 Y - \mrmp>WT, Y

Укоренение '

в нижних уровнях

(атомном и т.д.)

время

Рис. 23. Обобщенный дарвинизм

6. ПЕРЕХОД с УРОВНЯ НА УРОВЕНЬ ПОСРЕДСТВОМ ВАРИАЦИИ. .. 117

уже структурированными элементами, т.е. вовсе не обязательно атомами. Стало быть, имеет место производство «дарвиновских» вариаций, которые способны получить временный доступ к высшему уровню организации. Далее механизм селекции стабилизирует некоторые из этих переходных состояний и таким образом порождает более высокий уровень организации.

А. К.: Какой именно механизм селекции?

Ж.-П.Ш.: Общая модель выглядит примерно так:

материя -»- форма -^- функция (вариации) ?

(стабилизация)

Функция действует ретроактивно на переход «материя-форма». Критерий отбора связан, таким образом, с «новой» функцией, определяемой переходной формой, произведенной генератором разнообразия. Если эта новая функция соответствует такому воздействию на внешний мир, которое благоприятствует выживанию организма, то она отбирается.

А. К.: Внутри мозга или вне его?

Ж.-П.Ш.: Я для начала попытался представить очень общую формальную модель, которая, надеюсь, действительна, каков бы ни был рассматриваемый уровень организации в первоначальном состоянии. Попробуем теперь ее применить. Самый простой и самый известный случай - эволюция видов. Генератор разнообразия находится на уровне генома, или хромосомной ДНК. «Дарвиновские» вариации - мутации, рекомбинации, дупликация генов, перенос хромосомного материала - представляют собой случайные, но редкие события, которые вызывают уже вторичные модификации «фенотипа» организма, которые могут сопровождаться «адаптацией» к тем или иным особым условиям окружения. Также может иметь место выделение особых генетических комбинаций, однако отбора при этом не происходит вследствие географической изоляции: этот процесс называют недарвиновской эволюцией, но мне этот термин не очень нравится. Некоторые «нейтральные» элементы впоследствии сохраняются, другие же исчезают.

Нервная система представляет собой точно такой же орган, как и другие. Однако она имеет особый статус. Соединения между нервными клетками, синапсы, не возникают в мгновение ока -

118 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

они образуются в результате долгого и сложного процесса развития, который продолжается у человека вплоть до наступления половой зрелости. То есть в нервной системе происходит внутренняя по отношению к организму эволюция. Более того, различается, по крайней мере, два типа внутренней эволюции: эволюция количества связей, происходящая в процессе развития организма, и эволюция эффективности связей между нейронами, т. е. их состояний активности, что, впрочем, протекает гораздо легче, чем изменение связности.

Рассмотрим сначала первый тип эволюции - эволюцию посредством «эпигенеза», происходящую во время эмбрионального и постнатального развития организации мозга. Для начала предположим, что «человечность» формирующегося мозга (в смысле его отличия от мозга, скажем, обезьяны) определяется неким глубочайшим генетическим детерминизмом церебральной организации. Участвующие в этом развитии гены сейчас активно исследуются у позвоночных. Очень подробно они были исследованы у мухи-дрозофилы, которая, пусть и всего лишь муха, имеет, как и мы, голову, грудную клетку, брюшную полость и конечности. Не так давно [36, 86] были идентифицированы некоторые из генетических детерминант, фиксирующих декартовы координаты эмбриона (по осям «голова-хвост», «спина-живот»), регулирующих сегментацию тела (т. е. тело формируется в виде последовательных сегментов - примерно как у червей) и, наконец, идентифицирующих собственно сегменты (головной, с антеннами и жвалами; грудной, с крыльями и лапками; брюшной, с генитальны-ми органами и т.д.). В течение эмбрионального и постнатального развития эти три совокупности генов проявляют себя дифференциально и последовательно. Результатом этого чередования генетических проявлений является организм, обладающий целостной архитектурой, планом организации, который в рамках одного вида остается неизменным (или почти неизменным) от одного индивида к другому.

Можно предположить, что увеличение площади фронтальной коры, которое мы наблюдаем у млекопитающих (от мыши к человеку) происходит под влиянием некоторых из упомянутых генов. Их число, вероятно, не очень велико. В самом деле, ДНК шимпанзе на 99% идентична ДНК человека. Если какие-то из этих генов остаются активными в передней части эмбрионального зачатка мозга более длительное время, то следствием этого будет дифференци-

6. ПЕРЕХОД с УРОВНЯ НА УРОВЕНЬ ПОСРЕДСТВОМ ВАРИАЦИИ. .. 119

альное увеличение площади поверхности фронтальной коры. Таким образом, общая организация головного мозга человека, основной части нашей церебральной архитектуры, находится во власти генов.

Тем не менее, власть генов имеет свои пределы. Как же их обнаружить? Можно для начала сравнить связность одного и того же нейрона у двух генетически идентичных индивидах (например, у двух однояйцевых близнецов); идентифицировать нейрон можно по его форме и расположению. Опыт был осуществлен Левента-лем [50] на партеногенетических ракообразных дафниях - водяных блохах, обладающих упрощенной нервной системой с фиксированным числом нейронов, причем все эти нейроны располагаются в пространстве всегда одинаково (или почти одинаково). С помощью партеногенеза можно легко получить несколько генетически идентичных индивидов, называемых «изогенными». После чего достаточно разрезать их на тонкие слои, исследовать под электронным микроскопом и сравнить у этих индивидов полное аксонное дендритообразование одного и того же нейрона. Результаты исследования показывают, что главные линии связности у разных индивидов сохраняются неизменными, однако в деталях, на уровне распределения синаптических контактов, появляется определенная вариантность.

Второе «доказательство»: исследование эволюции церебральной связности как функции от объема приобретенного опыта. Маленького котенка или новорожденную обезьяну помещают на так называемый «чувствительный» постнатальный период в искусственное визуальное окружение, отличное от того, в каком обычно развиваются эти животные. В результате у взрослого животного очень сильно и часто необратимо нарушается функциональная специализация индивидуальных нейронов зрительной коры (специфика ориентации, бинокулярность зрения и т.д.). Человек также может по несчастному стечению обстоятельств приобрести подобный «опыт» - например, вследствие врожденной катаракты. Непрозрачность хрусталика на ранних стадиях развития организма приводит к визуальному дефициту и даже к слепоте, сохраняющейся и после операции катаракты (если она была проведена после окончания вышеупомянутого чувствительного периода), т.е. к слепоте на уровне коры головного мозга. Эти опыты, наряду с многими другими, говорят о том, что «установление» взрослой связности обусловлено активностью нервной системы

120

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

в процессе ее развития. Вместе с Филиппом Курежем и Антуа-ном Даншеном [12] мы предложили формальную модель эволюции связности системы нейронов в процессе ее развития по дарвиновской схеме в рамках данной модели; структура генетического материала при этом не изменяется, что позволило нам квалифицировать нашу модель как «эпигенез» посредством селективной стабилизации синапсов. Основная идея заключается в том, что генетические детерминанты, ответственные за распознавание отдельных нейронов, входящих в обе группы клеточных партнеров, одинаковы или почти одинаковы. Для того, чтобы закодировать эту способность к распознаванию, достаточно небольшого числа генов. На определенной критической стадии развития (в чувствительный период) два ансамбля нейронов входят в контакт. Я говорю здесь не о сформировавшихся контактах между нейроном ? первой группы и нейроном у второй группы, но о процессе «установления контакта», бурном, нечетком, множественном и перекрывающемся. На этой стадии можно наблюдать впечатляющее разнообразие всевозможных связей. В действие вступает генератор «дарвиновских вариаций»! Далее происходит «доводка», позволяющая, посредством стабилизации некоторых соединений и удаления других, установить взрослый тип связности. С помощью такой модели можно моделировать простые ситуации обучения, а также более сложные ситуации, возникающие в процессе развития, в частности, человека. В человеческом мозге последовательные волны формирования и отбора синапсов следуют друг за другом, сливаются, накладываются друг на друга последовательными притоками и оттоками... в течение длительного времени после рождения. Необходимо, разумеется, уточнить биологические ограничения, которые ведут к отбору предпочтительных соединений. Эти правила отбора должны зависеть от организма в его целостности и во взаимодействии с внешним миром.

А. К.: А почему бы не использовать все эти связи, коль скоро они уже сформированы? Их просто необходимо использовать. Чем объясняется отбор?

Ж.-П. Ш.: Свой вклад в моделирование конечного состояния сети вносит присущая системе активность. А именно она у нейронов не идентична в точности. В предложенной модели эволюция того или иного синапса определяется локальными правилами эволюции в зависимости от собственного состояния активности

6. ПЕРЕХОД с УРОВНЯ НА УРОВЕНЬ ПОСРЕДСТВОМ ВАРИАЦИИ. .. 121

синапса и от состояния клетки, на которую эта активность проецируется. Например, как я уже говорил, совпадение активности двух контактирующих клеток может вызвать стабилизацию этого контакта. Обучение приводит к новому отношению «вход/выход». После обучения одинаковый сигнал на входе всегда дает одинаковый сигнал на выходе, тогда как до обучения сигналы на выходе от опыта к опыту варьировались.

Описанная формальная модель обладает интересным математическим свойством, которое можно сформулировать в виде теоремы изменчивости. Согласно этой теореме, одинаковое отношение «вход/выход» после обучения можно получить даже в тех случаях, когда в результате отбора сохраняются разные связности. Это вполне согласуется с наблюдениями изменчивости связности, о которых я только что говорил. Известно также, что хотя у большинства людей речевые центры расположены в левом полушарии, есть люди, у которых эти центры размещаются в правом полушарии или распределены по обоим полушариям. Причем по одной лишь манере речи отличить одних от других еще никому не удавалось. Нейрофенотип лее, несмотря на очевидную схожесть функций, изменяется очень сильно. Мы подходим, таким образом, к заключению, крайне значимому в рамках нашего обсуждения. Несмотря на существенные различия в тонкой церебральной организации отдельных математиков, им как-то удается одинаково воспринимать своим мозгом одинаковые математические объекты.

Завершив рассмотрение нейронного дарвинизма эволюции связности, коснемся и другой эволюции - эволюции более высокого уровня, которую можно охарактеризовать как дарвинизм ментальный [14] или психологический. (Это понятие встречается еще у Фрейда: см. [98, с. 244].) Нейронный дарвинизм в ходе развития организма проявляется, главным образом, в самом раннем детстве или еще в эмбриональном состоянии. Эмбрион активен, он проявляет спонтанную активность, которая может вмешаться во «внутренний» отбор синапсов, обеспечивающих координацию между различными нервными центрами. Что до ментального дарвинизма, то он имеет отношение, по большей части, к взрослому мозгу - как на уровне понимания, так и на уровне разума. На шкале психологического времени он производит, скорее, изменения синоптической эффективности, чем эволюцию количества связей. Единицами отбора здесь служат не просто связи

122

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

и элементарные контуры, но совокупности нейронов, способных на координированную активность, Они выбираются из элементов, уже отобранных в результате нейронной эволюции. Генератор разнообразия является здесь не результатом изменчивости связей в процессе развития, но результатом спонтанного и неустойчивого начала активности совокупностей нейронов - так называемой «пре-репрезентации». Возникает активность комбинаторного типа, предвосхищающая взаимодействие с внешним миром. Если в результате этого процесса достигается некая «конгруэнтность», «резонанс» между внутренним и внешним состояниями системы, то пре-репрезентации стабилизируются, «запасаются» в сети. Если резонанса нет, то никакого запечатлевания не происходит. Такое запоминание изменяет величины синаптической эффективности, составляющие в совокупности сохраняемую конфигурацию системы.

Последовательность ментальных репрезентаций, вызываемых процессом размышления в «рабочем разделе» краткосрочной памяти, имеет в своей основе аналогичный ментальный дарвинизм. Применима ли такая модель к работе математика? Можно предположить, что в течение периода «инкубации» различные репрезентации математических объектов сменяются, переходя друг в друга и следуя друг за другом достаточно произвольно. Затем среди репрезентаций или пре-репрезентации происходит нечто вроде внутреннего отбора посредством резонанса. Этот отбор приводит к «объекту-результату», который согласуется с поставленной задачей, т.е. с «интенцией», на которую следовало должным образом отреагировать. На той стадии, на которой мы сейчас находимся, эти идеи носят пока еще очень схематический характер, и я не думаю, что в данный момент их можно сформулировать сколько-нибудь точнее.

Совместно со Станисласом Деэном и Жан-Пьером Надалем мы разработали модель [20], пока еще очень элементарную, сети нейронов, расположенных последовательными слоями, которая способна распознавать порядок следования символов или мелодию, запоминать их и впоследствии воспроизводить. Эта модель дает хорошее объяснение процессу обучения некоторых птиц пению (см. рис. 24). Сейчас мы вплотную приближаемся к возможности детально моделировать некоторые этапы протекания мысли, однако до достижения успеха предстоит еще немало работы.

6. ПЕРЕХОД с УРОВНЯ НА УРОВЕНЬ ПОСРЕДСТВОМ ВАРИАЦИИ. .. 123

Стадия

Начальные вокализации

6 4 VII

?

IV

IV

б

4 III

Пластическое пение

слог 4

слог 4

слог 5

слог 2

46?· viV'TnT1'1'

4+ * · * V \ xiJv t»*N * ?

IV

слог 1 слог

б+ ' ????? 'lYIMvn'?'l' ??>

4+ JjJJJJJJJJJJJJJs JJJ

слог 3

слог 3 Кристаллизованное пение

слоги для обучения

Рис. 24. Обучение болотного воробья пению. Линиями представлена частота производимых звуков в зависимости от времени. Внизу справа показаны слоги, которым обучается воробей. Птенец слышит и запоминает эти слоги в период между 22-м и 62-м днями после появления на свет. Примерно через 200 дней птенец производит первые вокализации и выстраивает их в слоги, услышанные за семь месяцев до этого. В песне взрослой птицы остается только слог № 3. Кристаллизация пения сопровождается потерей (или отсевом) слогов, что свидетельствует о «селекционном» характере обучения. (Рисунок из работы [77])

124

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

sens

Рис. 24 ?. Формальная нейронная сеть, способная распознавать, воспроизводить и записывать в памяти посредством отбора временные последовательности «репрезентаций». Архитектура очень проста: три слоя нейронов (сенсорные, обозначенные на рисунке сокращением sens, входные - inp и внутренние - int), разделенные на группы самовозбуждающихся нейронов (обозначенные кругами), кодирующих «репрезентации». Между собой нейроны соединяются тройками синапсов ЛВС, эффективность которых модулируется химически. Подробнее см. работу [20].

7. Ментальный дарвинизм и математическое творчество

Ж.-П.Ш.: Предлагаю теперь рассмотреть, как определенные формы ментальной активности математика - или мыслительной активности вообще - следуют своего рода эволюции по Дарвину...

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 125

А. К.: Аналогичным образом можно сформулировать гипотезу о дуализме между случайным процессом дарвиновской эволюции и моей верой в независимое существование грубой математической реальности. Логичность и гармоничность этой гипотезы послужат противоядием от случайности. Некоторые сравнительно случайные размышления, приводящие к тому же результату, показывают, что мы на верном пути. На третьем уровне организации именно необъяснимая логичность математической реальности и позволяет, как мне кажется, нескольким независимым совокупностям нейронов входить в резонанс только тогда, когда они пребывают в гармонии.

Ж.-П. Ш.: Да, это комбинаторика пре-репрезентаций.

А. К.: Следует постулировать, что независимо от мозга существует внешний мир, логичность которого может быть воспринята с помощью резонанса случайных механизмов.

Ж.-П.Ш.: Я собирался подсказать тебе похожую мысль. Продвинемся в определении математических объектов как объектов мысли несколько дальше и рассмотрим их сначала как частные ментальные репрезентации, как физические состояния, наблюдаемые через установленную камеру.

А. К.: Сама по себе ментальная репрезентация никакого смысла не имеет...

Ж.-П.Ш.: Она получает вполне явный «смысл», как только ее кому-либо сообщают. Математические объекты и в самом деле представляют собой ментальные репрезентации, основным свойством которых является то, что их можно сообщить от одного индивида к другому - в отличие, скажем, от «невыразимых» состояний великих мистиков или сумасшедших. Ментальные репрезентации способны становиться репрезентациями публичными. Математические объекты можно передавать - вполне «строго и точно» - от одного мозга к другому, ими можно манипулировать, причем способ такого манипулирования практически не зависит от конкретных индивидуумов, пусть и отличающихся друг от друга как генетически, так и эпигенетически.

Некоторые антропологи (например, Спербер [96]) различают несколько типов публичных репрезентаций. Репрезентации «первого порядка» выражают, например, что хлеб - съедобен, лев - опасен, растения - зелены. Эти репрезентации записываются в долговременную память и не допускают никакой эмпирической непоследовательности и никаких противоречий между собой. Бу-

126 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

дучи основаны на частных фактах, они все же имеют универсальное значение, поскольку были множество раз подтверждены. Репрезентации второго порядка по Сперберу - это «репрезентации репрезентаций», отношения мелзду фактами и ментальными состояниями, либо мелзду межсубъектными ментальными состояниями. Он разделяет их на две категории: верования и научные модели. Я добавлю сюда третью категорию - художественные репрезентации [И, с. 20-32].

Верования по определению изменчивы. Они, тем не менее, передаются авторитарно, как и истины, что является, как отмечает Спербер, постоянной провокацией против здравого смысла. Бок о бок с верованиями развиваются гипотезы, научные модели или даже математические объекты, носящие логичный, недвусмысленный, непротиворечивый, предсказательный и генеративный характер. Помимо соответствия реальности, они противопо- || ставляются верованиям еще и в том, что такие построения легко | опровергнуть и впоследствии пересмотреть, тогда как верования 4 не подлежат критике в данном теологическом контексте! Верова- | ния также подвержены эволюции, которую можно интерпретиро- Ц вать в дарвиновских терминах, однако эта эволюция отличается от эволюции математических объектов. Таким образом, можно определить свойства собственно математических объектов как публичных репрезентаций второго порядка - как научных репрезентаций, сформулированных настолько ясно и прозрачно, насколько это вообще возможно.

В процессе отбора и распространения верований гораздо бо- ] \ лее важную роль, как нам представляется, играет не рациональная составляющая, но эмоциональная. Как же происходит отбор среди математических объектов? Из этапов работы математика ты упомянул озарение, возникающее после фазы созревания, в течение которой, по всей видимости, и действует дарвиновская комбинаторика. Можно предположить, что озарение совпадает по времени с наступлением резонанса ментальных репрезентаций. Однако фронтальная кора, где, очевидно, и происходит этот резонанс, напрямую связана с лимбической системой, ответственной за эмоциональные состояния (см."рис. 25). Наша фронтальная кора не только вырабатывает познавательные стратегии, но способна также реализовать и стратегии эмоциональные - посредством очень разветвленной сети связей между фронтальной корой и лимбической системой (см. рис. 26). Думаю, математику следует, наряду

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 127

Рис. 25. Лимбическая система и удовольствие. Очень схематичное представление лимбической системы в виде круга, впервые описанного Папе-цем. Этот круг включает в себя, в частности, гиппокамп, который получает информацию от неокортекса, от гипоталамуса (Hyp), частью которого являются сосцевидные тела (?), от передних ядер (А) и заднего ядра тала-муса (MD). Эти образования проецируются, соответственно, на префрон-тальную кору и на поясную долю, которая напоминает по форме кольцо или лимб, откуда, собственно, и происходит название «большая лимбиче-ская доля», данное ей Полем Брока.

Электрическая стимуляция определенных точек лимбической системы вызывает автостимуляцию и, как следствие, ощущение удовольствия. Стрелками показана реакция, выражающаяся в эрекции пениса мужской особи. (Рисунок из работы [75].)

128

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

парагиппокампальная доля

передняя доля

зона 19

зона 46

верхняя височная борозда

Рис. 26. Сеть анатомических связей, устанавливаемых у обезьяны между лобной долей (зона 46), височной долей (верхняя височная борозда), теменной долей (зона 7А) и лимбической системой (передняя поясная доля, задняя поясная доля и парагиппокампальная доля). В нижней части рисунка показана внешняя сторона левого полушария, в верхней - его же внутренняя сторона. Лимбическая система располагается, главным образом, на внутренних сторонах полушарий мозга, в средней его части. Взаимные соединения между неокортексом и лимбической системой устанавливают связь между познавательной способностью и эмоциями. (Рисунок из работы [41].)

с рациональными стратегиями, развивать и стратегии эмоциональные, дающие ему надежду на достижение результата. В момент озарения резонансы выходят за пределы фронтальной коры, достигая лимбической системы - т. е. можно предположить, что эмоциональное состояние вносит свой вклад и в оценку.

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 129

А. К.: Совершенно верно. И это очень важно.

Ж.-П.Ш.: Функцию оценки, способную распознать достижение «гармонии» между субъектом и его окружением или же внутренней «гармонии» между несколькими репрезентациями, можно реализовать в виде системы удовольствия или системы тревоги.

Наконец, следует различать условия, в которых происходит озарение, и условия передачи информации от одного математика к другому. Речь идет о разных процессах, творчество отлично от передачи знаний. Тем не менее, для осуществления такой передачи мозг получателя должен обладать определенной компетентностью.

А. К.: Разумеется.

Ж.-П.Ш.: Этот определенный уровень компетентности требуется для того, чтобы получатель принял или отбросил предлагаемый ему математический объект или доказательство. Следовательно, необходимо принимать в расчет эту компетентность, характерную для существующего математического контекста. Принятие какого-либо нового предположения сообществом математиков означает, в частности, соответствие этого предположения контексту, его интеграции в этот контекст. Внутренняя взаимосвязанность математических объектов, которая так тебя удивляет, вырабатывается весьма постепенно.

А. К.: Мы, безусловно, постепенно выстраиваем копии этих объектов в нашем мозге в процессе создания мысленных образов, однако это отнюдь не ставит под сомнение существование самой математической реальности.

Ж.-П.Ш.: Математическая реальность выстраивается постепенно, посредством открытий, модификаций, а также резонансов с прочим контекстом. Вот почему я отрицаю реальность математики, предшествующую опыту ее применения. Взаимосвязанность объектов достигается, как мне кажется, не a priori, a a posteriori, и является результатом отсутствия между ними противоречий. Именно поэтому Моррис Клайн и называет свою книгу, посвященную новой истории математики, «Математика: утрата определенности».

А. К.: Итак мы вернулись к исходной точке нашего спора. Думаю, пора через нее, наконец, перешагнуть.

Дарвин и математики

1. Полезность дарвиновской схемы

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Дарвинизм в математике не кажется мне новой идеей. Прежде чем её развивать, думаю, не помешает еще раз уточнить уровни, о которых мы оба уже говорили, для того, чтобы мы могли более четко определить «точки перехода», в которых каждый из нас будет вступать в обсуждение.

АЛЕН Конн: Мне почти нечего добавить. Очень формально можно различить в рамках нашей дискуссии три уровня. Однако я вовсе не претендую на то, что они имеют какой-то абсолютный смысл. Прежде всего, первый уровень определяется способностью к счету, применению заданного алгоритма как быстро, так и правильно. Этот уровень мы уже можем наблюдать в современных компьютерах.

Ж.-П.Ш.: Уровень символических операций.

А. К.: Да, но эти операции могут быть весьма сложными. И всё же какова бы ни была степень сложности, алгоритм всегда задается заранее. Исполнитель этого алгоритма абсолютно не понимает. Таким образом, никакие вариации, никакие изменения стратегии на данном уровне невозможны.

Ж.-П.Ш.: Для этого необходимо перейти на символический уровень, уровень понимания, который Кант помещает между чувствительностью и разумом.

А. К.: На втором уровне, напротив, можно для достижения определенной цели - например, решения задачи - выбрать стратегию и изменять ее в зависимости от результата. Когда происходит ошибка, можно произвести сравнение с другими вычислениями. Иначе говоря, этот уровень предполагает понимание используемого механизма. Выполняя, например, операцию деления, мы понимаем, почему мы выполняем именно эту операцию, а не какую-либо иную. Еще один пример, немного, правда, преувеличенный: запоминая цифру при сложении, мы понимаем, что используем при этом 2-коцикл группы. Следовательно, необходимо,

1. ПОЛЕЗНОСТЬ ДАРВИНОВСКОЙ СХЕМЫ 131

чтобы используемые операции были формализованы, составляли некую иерархию, зависящую от цели, к которой адаптируется выбранная стратегия. И для того, чтобы этого добиться, нужно очень хорошо разбираться в том, что делаешь. В математике именно такой подход часто позволяет решить задачу, если она не слишком сложна или не требует каких-то новых идей. При условии, разумеется, что она не относится к первому уровню, т. е. не является простым вычислением или применением алгоритма.

Ж.-П. Ш.: Можно предположить, что такая форма разума (возможно, низшая) соответствует тактическому разуму Гранже. Здесь вводится применение стратегии и, в случае необходимости (если первая тактика себя не оправдала), поиск новой тактики.

А. К.: Нить рассуждения на втором уровне никогда не обрывается. Мне кажется, именно эта деталь и отличает его наиболее очевидно от третьего уровня. Ни в какой момент времени не возникает разделения между функционированием мозга и объектом, к которому оно применяется.

Ж.-П.Ш.: Мне кажется, именно такое определение и дает Гранже тактическому разуму. Меняется тактика, меняются средства, методы, но математическая интенция остается все той же. Третий же уровень позволяет изменить стратегию целиком, что повлечет за собой и изменение цели.

А. К.: Здесь нужно быть осторожнее. Это не совсем то различие, о котором я говорил. На мой взгляд, третий уровень можно определить следующим образом: в то время, как «разум» (или «мысль») занят какой-то другой задачей, первоначальная задача находится в стадии внутреннего - можно даже сказать, «подсознательного» - разрешения. Главным является именно это разъединение между явным и активным размышлением и иным, неявным функционированием мозга...

Ж.-П.Ш.: Не думаю, что сам факт «сознательности» той или иной операции предполагает наличие какого-то особого уровня. Скорее, речь идет о способе «внутреннего» восприятия происходящего. Главным признаком третьего уровня является, как мне кажется, именно возможность доступа к озарению, позволяющему глобально менять стратегию. Как следствие, создаются новые границы мысли, внутри которых затем может быть применена новая тактика. Теперь, когда мы достигли понимания по всем трем уровням, не кажется ли тебе, что дарвиновская схема в данных условиях может оказаться весьма полезной?

132

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

А. К.: Для оценки ее эффективности мне не достает более или менее точного определения функции оценки. Такая функция позволила бы, например, на втором уровне интуитивно предположить, что одна стратегия лучше другой и сделать выбор. Для того, чтобы дарвинизм работал, нужно все-таки, чтобы мозг мог выбирать среди разных возможностей или среди разных совокупностей нейронов те, которые функционируют наиболее эффективно. Нужно, чтобы критерии выбора могли изменяться в зависимости от предложенной цели. Можем ли мы представить себе, пусть нечетко и неточно, такую функцию оценки (функцию в чем-то аналоговую, но, возможно, адаптируемую под определенные компьютеры) для выбора наилучшей стратегии среди возможных?

Ж.-П.Ш.: Твой ход.

А. К.: Если за основу взять тот принцип, которого я придерживался с самого начала (т. е. признать независимое существование математической реальности), то кое-какие идеи предложить можно - по крайней мере, в качестве примеров, которые можно будет соотнести с опытом и с реальностью. Можно также допустить, что направляющим фактором здесь является внутренняя логичность математики в том смысле, что любая организованная структура противопоставляется случайному. Таким образом, вполне возможно, что именно логичность математики играет роль механизма отбора в процессе построения в мозге образного представления о математической реальности.

Ж.-П. Ш.: Это никоим образом не предполагает, что существование математики первично. Ты говоришь о ней как о направляющем факторе для мысли. Функция оценки есть не что иное, как функция подтверждения интегрированности в логичную непротиворечивую структуру. Это подтверждение происходит в нашем мозге, где в долговременной памяти хранится некоторое количество математических репрезентаций. При появлении нового объекта они входят в своего рода резонанс. Результатом является некая глобальная активность.

А. К.: Я говорил о внутренней логичности.

Ж.-П.Ш.: Так. Я же говорю, что она является внутренней как для мозга, так и для математики, потому что вся математика располагается внутри мозга математика. В частности, в его долговременной памяти. Она представлена указателями, совокупность которых внезапно объединяется под влиянием нового математического объекта. И все они вдруг начинают действовать координиро-

I

1. ПОЛЕЗНОСТЬ ДАРВИНОВСКОЙ СХЕМЫ 133

ванно. Почти все элементы мозаики были уже в наличии. Для завершения не хватало лишь одного кусочка. С добавлением этого самого кусочка вдруг появляется осмысленная картинка.

А. К.: Но давай вернемся к противопоставлению беспорядка и организации. Математическая реальность в силу своей структуры, своей внутренней гармонии - это неистощимый источник организации. При случайном отборе формул резонанс между ними можно получить только тогда, когда все они вместе обладают некоторой взаимосвязанностью. Функция математики как раз и заключается в выявлении этой взаимосвязанности. Можно предположить, что различные группировки активных нейронов входят в резонанс только тогда, когда возникает подобное проявление взаимосвязанности. Эту идею на данный момент еще нельзя сформулировать точнее, однако поразмыслить над ней, безусловно, стоит.

Ж.-П.Ш.: Доступом к такой взаимосвязанности обусловлена изменчивость в течение этапа созревания. Ведь мозг функционирует не как компьютер или машина для игры в шахматы. Далеко не все возможности принимаются во внимание и оцениваются. Напротив, устройство, основанное на принципах комбинаторики, имеет дело, как правило, с весьма небольшим количеством мысленных объектов.

А. К.: Если мозг способен сформировать минимальную структуру, пусть даже соответствующую очень примитивной модели представления мысленного образа математической реальности, то несложно представить механизм эволюции систем внутри мозга, позволяющий создавать более развитые структуры. Возьмем в качестве примера рассуждение по аналогии. Этот тип рассуждения приводит от простой синтаксической структуры к созданию похожей модели, но из элементов, имеющих иную семантическую интерпретацию. Удостоверившись в совместимости этой новой структуры с математической реальностью, можно модифицировать структуру с целью увеличения ее эффективности. Решение задачи, таким образом, не следует с необходимостью из последовательности случайных попыток. Благодаря аналогии, построенной на основе предыдущей модели, можно получить непосредственный доступ к более ограниченному набору решений. Ты тут упомянул о шахматах. Думаю, что великие шахматисты, именно благодаря этой самой интуиции, способны существенно сократить число ходов, которые необходимо рассмотреть, тогда как компьютеру приходится рассматривать этих ходов миллионы.

134 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

Ж.-П.Ш.: Психологи изучили игру великих гроссмейстеров и проанализировали их стратегии [18, 57]. По всей видимости, гроссмейстеры осваивают своего рода новый язык, слова в котором обозначают серии возможных ходов в игре и сами ходы. Количество слов варьируется примерно от 7 до 10 тысяч, что соответствует в среднем словарному составу французского или английского языков. Вместо систематического комбинаторного анализа распределения фигур на шахматной доске, гроссмейстер обращается к своей памяти и вырабатывает соответствующую стратегию. Вместо того, чтобы постоянно изобретать новые стратегии, он предпочитает размышлять, опираясь на образы и стратегии, имеющиеся в его памяти.

А. К.: Здесь мне представляется важным понятие устойчивости конфигураций и форм. Мозг одинаково воспринимает некоторые строго кодированные формы, которые в действительности ;( различны. Например, в игре в шахматы гроссмейстер, благодаря У описанному механизму, приходит к открытию и классификации ^ небольшого количества «аттракторов» среди большого числа воз- // можных конфигураций, разделенных позиционно, но соседству- ;| ющих в его разуме. Этот специфический ментальный механизм, ,| на данный момент пока еще не доступный компьютерам, позво- J ляет ему таким образом свести его задачу к небольшому числу Ц решений. Впрочем, сегодня и искусственный интеллект пытается f сымитировать этот процесс с помощью динамической топологии. |

I

2. Кодирование устойчивых форм I

Ж.-П. Ш.: Таким образом, долговременная память иерархична. ff

Она не имеет ничего общего со словарем, где слова расположены f в алфавитном порядке. Совсем наоборот...

А. К.: Иерархия задается, как мне кажется, механизмами топологии.

Ж.-П.Ш.: Организация долговременной памяти представляет

собой фундаментальную теоретическую проблему для нейробио- ?

логов. Они работают с такими понятиями, как семантические де- |

ревья, иерархические классификации... 1

А. К.: Прежде чем пуститься в топологические разъяснения, не §

могу не обратить внимание на одну вещь. Один из моих коллег, ве- ?

ликолепный математик, решил однажды заняться психоанализом. '*

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 135

Возможно, он подумал, что топология может стать интересным инструментом для психоаналитических исследований. Он рассказывал мне, как однажды, после ознакомления с понятием компактного пространства, Жак Лакан объяснял в своей лекции, что Дон Жуан был компактен, и показал, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие... Кое-кто из группы Лакана также принялся употреблять математические термины, не осознавая их истинного смысла, чтобы произвести впечатление на прочих коллег, столь же не сведущих в математике. Ясно, что полученный таким образом мир химер никакой реальности не соответствует. Наша дискуссия не должна ни в коем случае привести к ложным интерпретациям такого рода. Я, в частности, не претендую на новое понимание функционирования мозга. Я лишь думаю, что было бы хорошо, если бы некоторые элементарные понятия топологии, которые я попробую объяснить в деталях, стали лучше известны ученым-нейробиологам вроде тебя. Почему топология? Как ты объяснил, устройство мозга у разных людей не идентично. Так же различно и восприятие внешних объектов. Однако свойства, по поводу которых существует согласие, имеют характер инварианта «структурной устойчивости» (по терминологии Тома), что достаточно хорошо учитывается в рамках топологической теории.

Ж.-П. Ш.: Ментальные репрезентации и объекты памяти кодируются в мозге в виде форм (в смысле гешталът-теории), несмотря на значительную изменчивость синапсов, в которых они хранятся. Таким образом, в нервной системе протекают процессы воплощения воспринимаемых инвариантов. Это первая проблема. Другая касается способа, которым упорядочиваются репрезентации в памяти. Эти проблемы нужно отделить друг от друга. Начнем с первой...

А. К.: Я сначала попробую объяснить в общих чертах основы симплициальнои топологии и смысл ее самого простого понятия - упомянутого тобою выше «дерева». Задачей симплициальнои топологии является изучение топологических инвариантов объектов, называемых симплициальными комплексами. Симплициаль-ный комплекс - это конечное множество точек, которые я буду называть «вершинами». Ты можешь представлять их себе в виде нейронов, образующих в совокупности достаточно сложный агрегат. Структура этого объекта определяется подмножеством (которое я назову «дельта 1») множества пар вершин. Нары вершин мы

136 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

будем называть «ребрами» - продолжая сравнение с нейронами, ребро можно представить себе как связь двух нейронов. Однако, за исключением случаев, когда симплициальныи комплекс одномерен, структура на этом не заканчивается. Вообще говоря, для любого целого п, меньшего, чем размерность, следует задать подмножество «дельта п» множества фигур, содержащих n вершин. На- Ц пример, если симплициальныи комплекс имеет размерность 2, то Ш следует учитывать не только ребра, но и треугольники. Единствен- fl ное правило согласования заключается в том, что ограничиваю- ff щие треугольник стороны должны быть ребрами. Это означает, | что треугольник ABC принадлежит комплексу (ABC € ?2) толь- f ко тогда, когда три его ребра принадлежат комплексу (AB G ?1), (ВС € ?1), (AC e ?1). Обратное утверждение не верно. Аналогично, если А и В являются вершинами, то соединяющее их ребро не обязательно принадлежит комплексу. Опираясь на эти основы, мы можем применить значительный потенциал симплициальной топологии к нашему случаю.

Симплициальные комплексы размерности 1 не представляют для нас особого интереса. Так, фундаментальные группы связан- | ных с ними топологических пространств - это всегда свободные | группы. Я приведу несколько примеров симплициального комплек- ^ са большей размерности, не пытаясь, впрочем (по крайней мере, | пока), сопоставить им какой-то смысл или реализацию. А для того, | чтобы ты мог себе легко все это представить, я буду использо- | вать для обозначения вершин моего симплициального комплекса | термин «нейроны», для обозначения ребер, которые связывают | нейроны между собой, - термин «простые связи», в случае сово- Ij купности из ? нейронов я буду говорить о «сложных связях». В ка- ;?-честве первого примера рассмотрим симплициальныи комплекс f с топологией двумерной сферы. Комплекс состоит из четырех ней- | ронов А, В, С и D. Каждая пара (AB, AC, BD,... ) имеет связыва- | ющее нейроны ребро. Каждая тройка - треугольник. Этот ком- | плекс двумерен, и не существует связей большего порядка, чем t треугольные связи. Теперь я опишу другой симплициальныи комплекс, эквивалентный предыдущему (т.е. определяющий тот же топологический объект), однако число вершин будет иным. Добавится вершина Е. К прежним ребрам добавим те, что соединяют E с вершинами А, В и С, а ребро ED добавлять не станем. Все треугольники останутся треугольниками - так как их ребра никуда не делись (см. рис. 27), - за исключением треугольника ABC. На-

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 137

пример, фигура АЕВ - треугольник, a AED - не треугольник, потому что ED не является ребром. Полученный симплициаль-ный комплекс имеет размерность 2. Связанное с этим комплексом топологическое пространство гомеоморфно топологическому пространству первого симплициального комплекса. Эти два пространства гомеоморфны двумерной сфере. Переход от первого симплициального комплекса ко второму называется «барицентрическим подразделением».

Сравнивая топологические комплексы с совокупностями нейронов и пытаясь выяснить, существуют ли совокупности нейронов большей размерности, чем размерность 1, мы сталкиваемся с первой трудностью, связанной с обнаружением и правильным определением тройных связей, или треугольников, в симплициальном комплексе. Это можно проделать лишь опытным путем или с помощью машины, способной пользоваться не только механизмом древовидной классификации, но и намного более богатыми ресурсами топологии больших размерностей.

Ж.-П.Ш.: Я думаю, что это очень интересная идея. Известно, что каждый отдельный нейрон образует десятки тысяч связей, которые, очевидно, могут участвовать в различных репрезентациях. Описанная тобой схема позволяет эти возможности использовать. .. Рассмотрим, к примеру, как мой мозг кодирует какую-либо особую фигуру, скажем, твое лицо. Проблема размерности приобретает здесь критическую важность. Ранее мы уже обращались к ментальным репрезентациям, рассматриваемым как физические состояния, определяемые активностью определенных популяций нейронов. Однако эта точка зрения разделяется далеко не всеми. Барлоу [2], например, построил альтернативную теорию, согласно которой каждый нейрон в мозге обладает крайне развитой функциональной специфичностью, которой вполне достаточно для того, чтобы закодировать любую «репрезентацию» - даже такую особенную, как, например, его собственная бабушка или, скажем, желтый «фольксваген». Эта теория известна как теория «бабушкиных клеток» («grandmother cells» по-английски). Некоторые экспериментальные данные это подтверждают. В теменно-височной коре обезьян [88, 26] можно зарегистрировать реакцию отдельных нейронов, которые кодируют распознавание лиц и даже некоторых черт лица (см. рис. 28). Одни нейроны реагируют на лицо в фас или в профиль, другие - на лицо и в фас, и в профиль. Есть нейроны, которые дают реакцию на лицо с глазами и не ре-

138

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

А - (А, В, С, D)

?2 - (AB, AC, AD, ВС, CD)

?3 - (ABC, ABD, ACD, BCD)

? = (А, В, С, D, E)

?2 - (AB, AC, AD, BC, BD, CD, A E, BE, CE)

? = (ABE, ACE, BEC, ABD, ACD, BCD)

Симплициальный комплекс Геометрическая реализация

Рис. 27

агируют, если глаза на лице отсутствуют; есть нейроны, которые реагируют на лицо одного из экспериментаторов и не реагируют на лицо другого, некоторые нейроны оказываются чувствительны даже к направлению взгляда наблюдающего за обезьяной экспериментатора. Это заставляет предположить наличие у некоторых нейронов крайне тонкой функциональной специфич-

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ

139

I_I.

а

и

|10 пиков в сек 10 сек

0° 30° 60° 80° 100° 180

12

Рис. 28. Специфичность реакции отдельных нейронов височной коры макака на очень сложные объекты. Реакция отдельных нейронов регистрируется у бодрствующей обезьяны с помощью микроэлектрода. Каждый нервный импульс представлен в виде вертикальной черты постоянной длины (рисунок на следующей странице). Частота этих импульсов за конечный промежуток времени показана штрихами переменной высот (верхний рисунок). Специфичные реакции нейронов регистрируются в трех разных точках височного кортекса соответственно: реакция на лицо в фас, реакция на лицо в профиль, реакция на руку. Заметим, что для реакции на лицо необходимо наличие у объекта глаз, а для реакции на руку необходимо различать пальцы. (Рисунки из работ [26, 47].)

140

ДАРВИН И МАГЕМАТИКИ

III!

III»

I I

[5°

2 секунды

120°

141

ности. Однако не следует заходить слишком далеко. Поскольку если бы в височной коре в действительности существовал всего лишь один нейрон, кодирующий любой из вышеперечисленных объектов, то шанс обнаружить его был бы крайне мал. Тот факт, что полученные результаты можно воспроизвести, доказывает, что существуют целые популяции нейронов, обладающих этими специфическими свойствами. Очевидно, что они представляют собой ансамбли высокодифференцированных нейронов, принимающие участие в распознавании образов. А нейроны, индивидуально реагирующие на те или иные особые черты, связаны в действительности с другими ансамблями нейронов, которые расположены в первичной и вторичной зрительных зонах и приводятся в действие нейронами сетчатки. Здесь (т. е. в рамках нервной системы) мы имеем дело с системами, обладающими одновременно сложной иерархией и высоким параллелизмом. Таким образом, я не совсем уверен, что в данном конкретном случае можно как-нибудь применить твое предложение позаимствовать подход у симплициальной топологии.